人教版 九年级数学上册 第23章 旋转 培优训练(含答案)
人教版九年级数学上册 第23章 旋转 综合训练(含答案)
人教版九年级数学上册第23章旋转综合训练一、选择题1. 如图所示的方格纸中，由左边图形到右边图形的变换是()A．向右平移7格B．以线段AB的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB所在直线为对称轴作轴对称C．绕线段AB的中点旋转180°，再以AB所在直线为对称轴作轴对称D．以AB所在直线为对称轴作轴对称，再向右平移7格2. 由图中的三角形仅经过一次平移、旋转或轴对称变换，不能得到的图形是图中的()3. 2018·绵阳在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点A(3，4)逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为()A．(4，－3) B．(－4，3)C．(－3，4) D．(－3，－4)4. 如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点中心对称，则这个点是()A．O1B．O2C．O3D．O45. 若点A(－3，2)关于原点的对称点是点B，点B关于x轴的对称点是点C，则点C的坐标是()A．(3，2) B．(－3，2)C．(3，－2) D．(－2，3)6. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AO B＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是()A．(－1，2＋3) B．(－3，3)C．(－3，2＋3) D．(－3，3)7. 把△ABC各点的横坐标都乘－1，纵坐标都乘－1，符合上述要求的图是()8. 若点P(－a，a－3)关于原点对称的点是第二象限内的点，则a满足() A．a＞3 B．0＜a≤3C．a＜0 D．a＜0或a＞39. 2019·襄阳期末如图，在正方形网格中，格点三角形ABC绕某点顺时针旋转α度(0＜α＜180)，得到格点三角形A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α的值为()A．50 B．60 C．90 D．12010. 2019·河南如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(－3，4)，B(3，4)，将△O AB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为()A．(10，3) B．(－3，10) C．(10，－3) D．(3，－1 0)二、填空题11. 如图所示，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于点E对称，则对称中心点E的坐标是__________.12. 如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C是以点O为对称中心的中心对称图形，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积为________．13. 已知▱ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB 与x轴平行且AB＝2.若点A的坐标为(a，b)，则点D的坐标为________________．14. 2019·呼和浩特已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，若点A的坐标为(2，3)，则点B与点D的坐标分别为() A．(－2，3)，(2，－3)B．(－3，2)，(3，－2)C ．(－3，2)，(2，－3)D ．(－72，212)，(72，－212)15. 如图，在平面直角坐标系中，对点P (1，0)作如下变换：先向上平移(后一次平移比前一次多1个单位长度)，再作关于原点的对称点，即向上平移1个单位长度得到点P 1，作点P 1关于原点的对称点P 2，向上平移2个单位长度得到点P 3，作点P 3关于原点的对称点P 4……那么点P 2020的坐标为____________．16. 2018·陕西如图，点O 是平行四边形ABCD 的对称中心，AD ＞AB ，E ，F是AB 边上的点，且EF ＝12AB ；G ，H 是BC 边上的点，且GH ＝13BC.若S 1，S 2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则S 1与S 2之间的等量关系是S 1S 2＝________．三、解答题17. 如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC 是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可绕点D 旋转，AD ＝30，DM ＝10. (1)在旋转过程中，①当A ，D ，M 三点在同一直线上时，求AM 的长；②当A ，D ，M 三点为同一直角三角形的顶点时，求AM 的长．(2)若摆动臂AD 顺时针旋转90°，点D 的位置由△ABC 外部的点D 1处转到其内部的点D 2处，连接D 1D 2，如图②，此时∠AD 2C ＝135°，CD 2＝60，求BD 2的长．18. 已知：如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，F，G，H 分别为DE，BE，CD的中点．(1)当△ADE绕点A旋转时，如图①，△FGH的形状为________，并说明理由．(2)在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图②，若AB＝3，AD ＝2，求线段FH的长．(3)在△ADE旋转的过程中，若AB＝a，AD＝b(a＞b＞0)，则△FGH的周长是否存在最大值和最小值？若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．19. 2019·福建如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC 绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E.(1)当点E恰好在AC上时，如图①，求∠ADE的度数；(2)若α＝60°，F是边AC的中点，如图②，求证：四边形BEDF是平行四边形．20. 将一副三角尺按图①摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC＝2 3.(1)求GC的长；(2)如图②，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过点H，C作AB的垂线，垂足分别为M，N.通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想；(3)在(2)的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过(1)中的点G时，请直接写出DD′的长度．人教版九年级数学上册第23章旋转综合训练-答案一、选择题1. 【答案】D2. 【答案】B[解析] A可以通过平移得到，B无法通过三种变换中的任何一种得到，C可以通过轴对称得到，D可以通过旋转得到．3. 【答案】B[解析] 如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为(－4，3)．4. 【答案】A[解析] 如图，连接HC和DE交于点O1.5. 【答案】A6. 【答案】B7. 【答案】C8. 【答案】C[解析] 点P (－a ，a －3)关于原点对称的点的坐标为(a ，3－a )．∵点(a ，3－a )在第二象限内，∴⎩⎨⎧a <0，3－a >0，解得a ＜0.9. 【答案】C10. 【答案】D二、填空题11. 【答案】(3，－1) [解析] 连接各组对应点，其交点坐标即为对称中心点E 的坐标．12. 【答案】6[解析] 如图，过点A ′作A ′B ′⊥a ，垂足为B ′，由题意可知，①与②关于点O 中心对称，所以阴影部分的面积可以看作四边形A ′B ′OD 的面积．又A ′D ⊥b 于点D ，直线a ，b 互相垂直，可得四边形A ′B ′OD 是矩形，所以其面积为3×2＝6.13. 【答案】(－2－a ，－b )或(2－a ，－b )[解析] 如图①，∵点A 的坐标为(a ，b )，AB 与x 轴平行，∴B (2＋a ，b )．∵点D 与点B 关于原点对称，∴D (－2－a ，－b )．如图②，∵B (a －2，b )，且点D 与点B 关于原点对称，∴D (2－a ，－b )．14. 【答案】B15. 【答案】(1，－505)[解析] 根据题意可列出下面的表格：观察表格可知：这些点平均分布在四个象限中，序号除以4余1的点在第一象限，横坐标都是1，纵坐标为序号减1除以4的商加1；序号除以4余2的点是序号除以4余1的点关于原点的对称点；序号能被4整除的点在第四象限，横坐标为1，纵坐标为序号除以4的商的相反数；序号除以4余3的点在第二象限，是序号能被4整除的点关于原点的对称点．因为2020÷4＝505，所以点P 2020在第四象限，坐标为(1，－505)．16. 【答案】32 [解析] ∵S 1S △AOB ＝EF AB ＝12，S 2S △BOC ＝GH BC ＝13，∴S 1＝12S △AOB ，S 2＝13S △BOC . ∵点O 是▱ABCD 的对称中心，∴S △AOB ＝S △BOC ＝14S 平行四边形ABCD ，∴S 1S 2＝32.三、解答题17. 【答案】解：(1)①当A，D，M三点在同一直线上时，AM＝AD＋DM＝40或AM＝AD －DM＝20.②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，AM2＝AD2－DM2＝302－102＝800，∵AM>0，∴AM＝20 2.当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2＋DM2＝302＋102＝1000，∵AM>0，∴AM＝10 10.综上所述，满足条件的AM的长为20 2或10 10.(2)如图，连接CD1，由题意得，∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30 2.∵∠AD2C＝135°，∴∠CD2D1＝∠AD2C－∠AD2D1＝90°，∴CD1＝（30 2）2＋602＝30 6.∵∠BAC＝∠D1AD2＝90°，∴∠BAC－∠CAD2＝∠D1AD2－∠CAD2，∴∠BAD2＝∠CAD1.又∵AB＝AC，AD2＝AD1，∴△BAD2≌△CAD1(SAS)，∴BD2＝CD1＝30 6.18. 【答案】解：(1)△FGH是等边三角形．理由如下：如图①，连接BD，CE，延长BD交CE于点M，设BM交FH于点O.∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC.∵EG＝GB，EF＝FD，∴FG＝12BD，FG∥BD.∵DF＝EF，DH＝HC，∴FH＝12CE，FH∥CE，∴FG＝FH.∵∠ADB＋∠ADM＝180°，∴∠AEC＋∠ADM＝180°，∴∠DME＋∠DAE＝180°.∵∠DAE＝60°.∴∠DME＝120°，∴∠BMC＝60°，∴∠GFH＝∠BOH＝∠BMC＝60°，∴△FGH是等边三角形．(2)如图②，连接AF，EC.易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE＝2，EF＝DF＝1，∴AF＝22－12＝ 3.在Rt△ABF中，BF＝AB2－AF2＝ 6.同(1)可得FH＝12CE，BD＝CE，∴CE＝BD＝BF－DF＝6－1，∴FH＝12CE＝6－12.(3)存在．由(1)可知，△FGH是等边三角形，GF＝12BD，∴△FGH的周长＝3GF＝32BD.∵AB＝a，AD＝b，AB－AD≤BD≤AB＋AD，∴BD的最小值为a－b，最大值为a＋b，∴△FGH的周长的最大值为32(a＋b)，最小值为32(a－b)．19. 【答案】解：(1)∵△ABC绕点C顺时针旋转角α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°.∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝12(180°－30°)＝75°，∴∠ADE＝90°－75°＝15°.(2)证明：连接AD.∵F是边AC的中点，∠ABC＝90°，∴BF＝12AC.∵∠ACB＝30°，∴AB＝12AC，∴BF＝AB.∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，BC＝CE，CD＝CA，DE＝AB，∴DE＝BF，△ACD和△BCE均为等边三角形，∴BE＝CB.∵F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE.又∵BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．20. 【答案】13解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝60°，BC＝2 3，∴AB＝43，AC＝6.∵DF垂直平分AB，∴AD＝2 3.又∵∠DAG＝30°，∴DG＝2，AG＝4，∴GC＝AC－AG＝6－4＝2.(2)MD＝ND.证明：∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，∴CD＝DB＝AD.又∵∠B＝60°，∴△CDB是等边三角形，∴∠CDB＝60°.∵CN⊥DB，∴ND＝12DB.∵∠EDF＝90°，∴∠EDA＝180°－∠EDF－∠CDB＝30°. 又∵∠A＝30°，∴∠A＝∠EDA，∴HA＝HD.∵HM⊥AD，∴MD＝12AD.又∵AD＝DB，∴MD＝ND.(3)连接DG，则DG⊥AD′.由(2)知∠A＝∠EDA，由平移知∠E′D′A＝∠EDA，∴∠A＝∠E′D′A.∵D′E′恰好经过(1)中的点G(此时点D′与点B重合)，∴D′G＝AG，∴DD′＝AD＝2 3.。
2021最新人教版 九年级数学上册 第23章 旋转 培优训练 (含答案)
人教版九年级数学第23章旋转培优训练一、选择题1. 如图所示电视台的台标中，是中心对称图形的是( )2. 下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )3. 如图，△DEF是由△ABC绕点O旋转180°得到的，则下列结论不成立的是( )A．点A与点D是对称点B．BO＝EOC．∠ACB＝∠FDE D．AB∥DE4. 如图所示的方格纸中，由左边图形到右边图形的变换是( )A．向右平移7格B．以线段AB的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB所在直线为对称轴作轴对称C．绕线段AB的中点旋转180°，再以AB所在直线为对称轴作轴对称D．以AB所在直线为对称轴作轴对称，再向右平移7格5. 如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点中心对称，则这个点是( )A．O1B．O2C．O3D．O46. 2019·长春德惠期末如图，△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，下列结论中不一定成立的是( )A．∠ABC＝∠A′C′B′B．OA＝OA′C．BC＝B′C′D．OC＝OC′7. 如图，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上的某个点中心对称，则点B的对称点是( )A．点E B．点FC．点G D．点H8. 如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为( )A．4 B．2 5C．6 D．2 69. 如图，将△ABC以点O为旋转中心旋转180°后得到△A′B′C′.ED是△ABC的中位线，经旋转后变为线段E′D′.已知BC＝4，则线段E′D′的长度为( )A．2 B．3 C．4 D．1.510. 2018·潍坊在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取一定点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP 的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP 的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即P(3，60°)或P(3，－300°)或P(3，420°)等，则与点P关于点O对称的点Q的极坐标表示不正确的是( )A．Q(3，240°) B．Q(3，－120°)C．Q(3，600°) D．Q(3，－500°)二、填空题11. 点P(1,2)关于原点的对称点P′的坐标为__________．12. 如图所示，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于点E对称，则对称中心点E的坐标是__________.13. 一副三角尺如图放置，将三角尺ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，使得三角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为________．14. 如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2 5，BC＝ 5.将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB′C′，连接B′C，则B′C＝________．15. 如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF，连接EF，若AB＝3，AC＝2，且α＋β＝∠B，则EF＝________.16. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．17. 如图，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－33x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－33x上，依次进行下去……若点B的坐标是(0，1)，则点O12的纵坐标为________．18. 如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M 对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段PQ的中点．如图3，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(0，0)，点P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O 对称……且这些对称中心依次循环．已知点P1的坐标是(1，1)，则点P2020的坐标为________．三、解答题19. 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED.(1)试判断△BEC是不是等腰三角形，并说明理由；(2)在原图中画△FCE，使它与△BEC关于CE的中点O中心对称，此时四边形BCFE 是什么特殊平行四边形？请说明理由．20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(1，1)，C(3，1)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2；(3)在(2)的条件下，求点A所经过的路径长(结果保留π)．21. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在边AB上，且∠DCE＝45°，BE＝2，AD＝3.将△BCE绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的图形，并求DE的长．22. 如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD ＝30，DM＝10.(1)在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外部的点D1处转到其内部的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．人教版九年级数学第23章旋转培优训练-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】C3. 【答案】C [解析] 根据旋转的性质可知，点A与点D是对称点，BO＝EO，AB∥DE，∠ACB＝∠DFE≠∠FDE.故选C.4. 【答案】D5. 【答案】A [解析] 如图，连接HC和DE交于点O1.6. 【答案】A7. 【答案】D [解析] 由于点B，D，F，H在同一条直线上，根据中心对称的定义可知，只能是点B和点H是对称点，点F和点D是对称点．故选D.8. 【答案】D [解析] 由旋转可得，S正方形ABCD＝S四边形AECF＝20，即AD2＝20，∴AD＝2 5.∵DE＝2，∴在Rt△ADE中，AE＝AD2＋DE2＝2 6.故选D.9. 【答案】A [解析] ∵ED是△ABC的中位线，BC＝4，∴ED＝2.又∵△A′B′C′和△ABC关于点O中心对称，∴E′D′＝ED＝2.10. 【答案】D [解析] ∵P(3，60°)或P(3，－300°)或P(3，420°)，由点Q与点P关于点O中心对称可得，点Q的极坐标为(3，240°)或(3，－120°)或(3，600°)等．二、填空题11. 【答案】(－1，－2)12. 【答案】(3，－1) [解析] 连接各组对应点，其交点坐标即为对称中心点E 的坐标．13. 【答案】15°或60°[解析] 分情况讨论：①若DE⊥BC，设此时直线AD与BC交于点F，则∠BFA＝90°－45°＝45°，∴∠BAD＝180°－60°－45°＝75°，∴α＝90°－∠BAD＝15°；②若AD⊥BC，则∠BAD＝30°，∴α＝90°－∠BAD＝60°.故答案为15°或60°.14. 【答案】5 [解析] 由勾股定理，得AC＝AB2＋BC2＝5.过点C作CE⊥AB′于点E，则四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝ 5.又AB′＝AB＝2 5，∴AE＝EB′＝5，∴CE垂直平分AB′，∴B′C＝AC＝5.15. 【答案】13 [解析] ∵α＋β＝∠B，∴∠EAF＝∠BAC＋∠B＝90°，∴△AEF是直角三角形，且AE＝AB＝3，AF＝AC＝2，∴EF＝AE2＋AF2＝13.16. 【答案】18[解析] 如图．∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∴∠B ＋∠ADC ＝180°.又∵AB ＝AD ，∴将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后点B 与点D 重合，点C 的对应点E 落在CD 的延长线上，∴AE ＝AC ＝6，∠CAE ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ACE＝12AC ·AE ＝12×6×6＝18.17. 【答案】9＋33 [解析] 将y ＝1代入y ＝－33x ，解得x ＝－ 3.∴AB ＝3，OA ＝2，且直线y ＝－33x 与x 轴所夹的锐角是30°.由图可知，在旋转过程中每3次一循环，其中OO 2＝O 2O 4＝O 4O 6＝O 6O 8＝O 8O 10＝O 10O 12＝2＋3＋1＝3＋3.∴OO 12＝6×(3＋3)＝18＋6 3.∴点O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋33.18. 【答案】(1，－3)[解析] 由题意可得点P 2(1，－1)，P 3(－1，3)，P 4(1，－3)，P 5(1，3)，P 6(－1，－1)，P 7(1，1)，可知6个点一个循环，2020÷6＝336……4，故点P 2020的坐标与点P 4的坐标相同，为(1，－3)． 三、解答题19. 【答案】解：(1)△BEC 是等腰三角形．理由：∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DEC ＝∠BCE .∵EC 平分∠BED ，∴∠DEC ＝∠BEC ，∴∠BEC ＝∠BCE ，∴BC ＝BE ，∴△BEC 是等腰三角形．(2)连接BO 并延长至点F ，使OF ＝OB ，连接FE ，FC ，△FCE 即为所求．四边形BCFE 是菱形．理由：∵OB ＝OF ，OE ＝OC ，∴四边形BCFE 是平行四边形．又∵BC ＝BE ，∴▱BCFE 是菱形．20. 【答案】解：(1)如图．(2)如图．(3)如图，∵AO ＝A 2O ＝42＋12＝17，∠AOA 2＝90°，∴点A 所经过的路径长＝14×2π17＝172π.21. 【答案】解：如图，将△BCE 绕点C 逆时针旋转90°，得到△ACF ，连接DF.由旋转的性质，得CE ＝CF ，AF ＝BE ＝2，∠ACF ＝∠BCE ，∠CAF ＝∠B ＝45°.∵∠ACB ＝90°，∠DCE ＝45°，∴∠DCF ＝∠ACD ＋∠ACF ＝∠ACD ＋∠BCE ＝∠ACB －∠DCE ＝90°－45°＝45°，∴∠DCE ＝∠DCF.在△CDE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF ，∠DCE ＝∠DCF ，CD ＝CD ，∴△CDE ≌△CDF(SAS)，∴DE ＝DF.∵∠DAF ＝∠BAC ＋∠CAF ＝45°＋45°＝90°，∴△ADF 是直角三角形，∴DF 2＝AD 2＋AF 2，∴DE 2＝AD 2＋BE 2＝32＋22＝13， ∴DE ＝13.22. 【答案】 解：(1)①当A ，D ，M 三点在同一直线上时，AM ＝AD ＋DM ＝40或AM ＝AD －DM ＝20.②当A ，D ，M 三点为同一直角三角形的顶点时，显然∠MAD 不能为直角． 当∠AMD 为直角时，AM 2＝AD 2－DM 2＝302－102＝800，∵AM>0，∴AM ＝20 2.当∠ADM ＝90°时，AM 2＝AD 2＋DM 2＝302＋102＝1000，∵AM>0，∴AM ＝10 10.综上所述，满足条件的AM的长为20 2或10 10.(2)如图，连接CD1，由题意得，∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30 2.∵∠AD2C＝135°，∴∠CD2D1＝∠AD2C－∠AD2D1＝90°，∴CD1＝（30 2）2＋602＝30 6.∵∠BAC＝∠D1AD2＝90°，∴∠BAC－∠CAD2＝∠D1AD2－∠CAD2，∴∠BAD2＝∠CAD1.又∵AB＝AC，AD2＝AD1，∴△BAD2≌△CAD1(SAS)，∴BD2＝CD1＝30 6.。
部编数学九年级上册第23章旋转(培优卷)(解析版)含答案
第23章 旋转（培优卷）一．选择题（每小题3分，共24分）1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史，2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo 进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】解：A.是中心对称图形，故本选项符合题意；B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A ．2.如图将△ABC 绕点C （0，﹣1）旋转180°得到△ABC ，设点A ¢的坐标为（a ，b ），则A 的坐标为（ ）A ．（﹣a ，﹣b ）B ．（﹣a ，﹣b ﹣1）C ．（﹣a ，﹣b +1）D ．（﹣a ，﹣b ﹣2）【答案】D 【解析】解：Q 将△ABC 绕点C （0，﹣1）旋180°得到△ABC ，,CA CA ¢\=设(),,A m n 而(),,A a b ¢ 由中点坐标公式可得：0212m a n b ì+=ïïí+ï=-ïî ;解得：2m a n b ì=-ïí=--ïî;∴ A （﹣a ，﹣b ﹣2） 故选D3.如图，将ABC V 绕点A 顺时针旋转得到ADE V ，且点D 恰好在AC 上，136BAE CDE Ð=Ð=°，则C Ð的度数是（）A ．24°B ．26°C ．30°D ．36°【答案】A 【解析】解：由题意可知：=E C ÐÐ，EAD CABÐ=Ð又∵136BAE Ð=°,∴1(360)1122EAD CAB BAE Ð=Ð=°-Ð=°又∵136E EAD EDC Ð+Ð=Ð=°,∴24E EDC EAD Ð=Ð-Ð=°，∴24а=C 故选：A ．4.如图，Rt ABC △中，30B Ð=°，90C Ð=°，2AC =，BC 平行于y 轴，以点()0,5A 为旋转中心，将Rt ABC △逆时针旋转30°，得到Rt AB C ¢¢△，则点C ¢的坐标为（ ）A ．()B ．()4C ．()D ．()4【答案】D 【解析】解：过点C ¢向AO 作垂线，垂足为点D ，如图，∵30B Ð=°，90C Ð=°，∴60BAC Ð=°∵∥BC y 轴，∴30BAO B Ð=Ð=°，∴306090BAO BAC Ð+Ð=°+°=°，将Rt ABC △逆时针旋转30°，得到Rt AB C ¢¢△，∴30CAC C AB BAB ¢¢¢Ð=Ð=Ð=°，∴BC AB ¢∥，∴点B ¢在y 轴上，由旋转的性质得，2,60AC AC C AD CAD ¢¢==Ð=Ð=°，∴30AC D ¢Ð=°,∴1121,22AD AC ¢==´= ∵(0,5)A ， ∴5OA =,∴514OD OA AD =-=-=由勾股定理得，C D ¢=∵点C ¢在第二象限，∴点C ¢的坐标为()4故选：D ．5.如图，70BA BC ABC =Ð=°，，将BDC V 绕点B 逆时针旋转至BEA △处，点E ，A 分别是点D ，C 旋转后的对应点，连接DE ，则BED Ð为（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°【答案】A 【解析】∵△BDC 绕点B 逆时针旋转至△BEA 处，点E ，A 分别是点D ，C 旋转后的对应点，∴∠CBD =∠ABE ，BD =BE ，∵∠ABC =∠CBD +∠ABD ，∠EBD =∠ABE +∠ABD ，∠ABC =70°，∴∠EBD =∠ABC =70°，∵BD =BE ，∴∠BED =∠BDE =11(180)(18070)5522EBD °-Ð=°-°=°，故选：A ．6.如图，在平面直角坐标系中，已知点P (0，2)，点A (4，2)．以点P 为旋转中心，把点A 按逆时针方向旋转60°，得点B ．在1M æöç÷ç÷èø，()21M -，()31,4M ，4112,2M æöç÷èø四个点中，直线PB 经过的点是（ ）A ．1M B ．2M C ．3M D ．4M 【答案】B 【解析】解：∵点A （4，2），点P （0，2），∴PA ⊥y 轴，PA =4，由旋转得：∠APB =60°，AP =PB =4，如图，过点B 作BC ⊥y 轴于C ，∴∠BPC =30°，∴BC =2，PC ∴B （2，），设直线PB 的解析式为：y =kx +b ，则222k b b ì+=+ïí=ïî∴2k b ì=ïí=ïî，∴直线PB 的解析式为：y +2，当y =0+2=0，x ∴点M 1（0）不在直线PB 上，当x y =-3+2=1，∴M 2（-1）在直线PB 上，当x =1时，y ，∴M 3（1，4）不在直线PB 上，当x =2时，y ，∴M 4（2，112）不在直线PB 上．故选：B ．7.如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分别连结AP 、BP 、CP ，若AP ＝6，BP ＝8，CP ＝10．则S △ABP +S △BPC ＝（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】如图，将BPC △绕点B 逆时针旋转60°后得AB P ¢V ，连接PP ¢，根据旋转的性质可知，旋转角60PBP CAB ¢Ð=Ð=°，BP BP ¢=，∴BPP ¢V 为等边三角形，8BP BP PP ¢¢===，由旋转的性质可知，10AP PC ¢==，在APP ¢V 中，8¢，6，由勾股定理的逆定理得，APP ¢V 是直角三角形，∵1642BPP S BP BP ¢=×==V11682422APP S AP PP ¢¢=××=´´=V ，∴24ABP BPC BPP APP AP BP S S S S S ¢¢¢+==+=V V V V 四边形．故选：D ．8.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…，若点A （3，0），B （0，4），则点B 2022的横坐标为（ ）A ．12120B ．12128C ．12132D ．12125【答案】C【解析】解：∵点A （3，0），B （0，4），∴OA ＝3，OB ＝4，∴5AB ==，∴OA ＋AB 1＋B 1C 2＝3＋5＋4＝12，∴B 2（12，4），B 4（24，4），B 6（36，4），…，()212,4n B n ∵2022÷2＝1011，∴1011×12＝12132，故选：C ．二．填空题（每小题2分，共16分）9.如果抛物线224y x x m =-+的顶点关于原点对称点的坐标是（－1，－3），那么m 的值是___．【答案】5【解析】∵抛物线y ＝2x 2−4x ＋m 的顶点关于原点对称点的坐标是（−1，−3），∴抛物线y ＝2x 2−4x ＋m 的顶点坐标是（1，3），∴3＝242(4)42m ´--´ ，解得，m ＝5；故答案为：5．10.如图，在平面直角坐标系中，点()1,2A -，4OC =，将平行四边形OABC 绕点O 旋转90°后，点B 的对应点B ¢坐标是______．【答案】()2,3-或()2,3-【解析】解：∵A (-1，2)， OC = 4，∴ C (4，0)，B (3，2)，M (0，2)， BM = 3，AB //x 轴，BM = 3．将平行四边形OABC 绕点O 分别顺时针、逆时针旋转90°后，由旋转得：OM =OM 1=OM 2=2，∠AOA 1=∠AOA 2=90°BM =B 1M 1=B 2M 2=3，A 1B 1⊥x 轴，A 2B 2⊥x 轴，∴B 1和B 2的坐标分别为： (-2，3)， (2，-3)，∴B'即是图中的B1和B2，坐标就是，B' (-2，3)，(2，-3)，故答案为：(-2，3)或(2，-3)．11.如图，△ABC中，∠ABC＝64°，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，使得AA′∥BC，则∠CBC′＝_________°．【答案】52【解析】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△BA′C′，∴BA′=AB，∴∠BAA′=∠BA′A，∵AA′//BC，∴∠A′AB=∠ABC，∵∠ABC=64°，∴∠A′AB=64°，∴∠ABA′=（180°-2×64°）=52°，∵∠CBC′=∠ABA′，∴∠CBC′=52°．故答案为：52．12.如图，ΔABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（-1，0），现将ΔABC绕A点逆时针旋转90°，再向右平移一个单位后点C的对应点C＇的坐标是__________．-【答案】(1,3)【解析】ΔABC绕A点逆时针旋转90°后的图像如图：观察图象，可知C对应的点1C坐标为（-2，3），-∴（-2，3）再向右平移一个单位后点C的对应点C＇的坐标是(1,3)-．故答案是：(1,3)13.如图，在AOB V 中，90AOB Ð=°，3cm AO =，4cm BO =，将AOB V 绕顶点O ，按顺时针方向旋转到11A OB V 处，此时线段1OB 与AB 的交点D 恰好为AB 的中点，12OD AB =，则线段1B D 的长度为______．【答案】1.5cm【解析】∵在△AOB 中，∠AOB ＝90°，AO ＝3cm ，BO ＝4cm ，∴AB 5cm ，∴OD ＝12AB ＝2.5cm ，∵将△AOB 绕顶点O ，按顺时针方向旋转到△A 1OB 1处，∴OB 1＝OB ＝4cm ，∴B 1D ＝OB 1-OD ＝1.5cm ．故答案为：1.5cm ．14.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90º，∠CAB =30º，BC =4．将△ABC 绕点C 逆时针旋转α度（0<α£180），得到△DEC ，A ，B 的对应点分别为D ，E ． 边DC ，DE 分别交直线AB 于F ，G ，当△DFG 是直角三角形时，则BD =__________．【答案】4-【解析】解：根据题意得：CD =AC ，∠CDE =∠A =30°，当∠DFG =90°时，如图：∵∠ACB =90º，∠CAB =30º，BC =4．∴28AB BC ==，∴CD AC ===∵1122ABC S AB CF AC BC D =×=×，∴AC BC CF AB×==∴DF CD CF =-=当∠DGF =90°时，如图：∵∠CDE =∠A =30°，∠DGB =90°，∴∠DFG =60°=∠ABC ，∴点B 与点F 重合，∴4BD CD BC =-=-；综上所述，BD 的长为4-．故答案为：415.如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC V 为等腰三角形，5AC AB ==，8BC =，点A 与坐标原点重合，点C 在x 轴正半轴上，将ABC V 绕点C 顺时针旋转一定的角度后得到11A B C V ，使得点B 对应点1B 在x 轴上，记为第一次旋转，再将11A B C V 绕点1B 顺时针旋转一定的角度后得到211A B C V ，使得点1A 对应点2A 在x 轴上，以此规律旋转，则第2023次旋转后钝角顶点坐标为___________．【答案】(12141,3)【解析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵AB =AC =5，BC =8,∴BD =CD =12BC =4，∴3AD ==，由题意1(9,3)A ，()218,0A ，3(18,0)A ，4(27,3)A ，5(36,0)A ，6(36,0)A ，()745,3A ,…，每3次是一个循环组，202336741¸=×××，∴2023A 在竖直方向的位置与1A 的位置相同，纵坐标为3，∴第2023次旋转后钝角顶点的横坐标为67418912141´+=，∴第2023次旋转后钝角顶点坐标为(12141,3)．故答案为（12141，3）16.如图，在矩形ABCD 中，AB =6BC =，点E 是直线BC 上的一个动点，连接DE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转120°得到线段DG ，连接AG ，则线段AG 的最小值为_________．【解析】解：如图所示，将线段DC 绕点D 顺时针旋转120°得到线段DC ¢，作直线GC ¢交AD 于K ，过点A 作AH GC ¢^于点H ．120,,,EDC EDC GDC CD C D DE DG ¢¢¢Ð=°-Ð=Ð==Q DCE DC G ¢\≌△△（SAS ）90,GC D C KC D ¢¢\Ð=Ð=°=Ð如图所示，当点E 在直线BC 上运动时，G 在直线GC ¢上运动，即点G 的运动轨迹是直线GC ¢．\当点G 运动到H 时，AG 最小，最小值即为AH 的长度．120,90,CDC CDA ¢Ð=°Ð=°Q 30,KDC ¢\Ð=°1,602C K DK C KD AKH ¢¢\=Ð=°=ÐC D CD AB ¢===Q 2,4C K DK ¢\==6AD BC ==Q ，2AK AD DK \=-=在Rt AKH V 中，60AKH Ð=°，11,2KH AK AH \====则线段AG三．解答题（共60分）17.（6分）如图，在ABC V 中，AB ＝BC ，∠CBA ＝60°，点E 是BC 上的一点，连接AE ，将EA 绕点E 顺时针旋转90°得到ED ，点D 恰好在AC 的延长线上，若CE ＝2，求AC 的长．1【解析】解：如图，过点E 作EN ⊥AC 于点N ，∵AB ＝BC ，∠CBA ＝60°，∴ABC V 是等边三角形，∴∠BCA ＝60°，∵EN ⊥AC ，∴∠ENC ＝90°，9030CEN BCA Ð=°-Ð=°，∵CE ＝2，∴1CN =，EN ==由题可知EA 绕点E 旋转90°得到ED ，∴ADE V 是等腰直角三角形，∴45AEN EAD Ð=Ð=°，∴AN NE ==∴1AC AN CN =+=．18.（8分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，ABC V 的顶点均在格点上，点A ，B ，C 的坐标分别为()3,1A --，()2,4B --，()1,2C --．(1)先将ABC V 沿y 轴正方向平移3个单位长度，再沿x 轴负方向平移1个单位长度得到111A B C △，画出111A B C △，点1C 坐标是______；(2)将111A B C △，绕点1B 逆时针旋转90°，得到212A B C V ，画出212A B C V ，点2C 的坐标是______．(3)我们发现点C ，2C 关于某点成中心对称，对称中心坐标是______．【答案】(1)见解析，()2,1-；(2)见解析，()5,0-；(3)()3,1--【解析】(1)解：如图，111A B C △即为所求，()12,1C -故答案为：()2,1-(2)解：如图，111A B C △即为所求，点2C 坐标为()5,0-故答案为：()5,0-(3)解：∵()1,2C --，2C ()5,0-，∴1532--=-，2012-+=-，∴对称中心坐标是()3,1--，故答案为：()3,1--．19.（8分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y ＝x 2+2x 与x 轴的另一个交点为A ，把该抛物线在x 轴及其下方的部分记作C 1，将C 1绕着点O 旋转180°，得到C 2，C 2与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线C2的顶点E的坐标；(2)将C2绕着点B旋转180°得到C3，连接C1与C3的最低点，则阴影部分图形的面积为______．【答案】(1)(1，1)；(2)4【解析】(1)设抛物线y＝x2+2x的顶点为G，∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴G（﹣1，﹣1），∵将C1绕着点O旋转180°，得到C2，∴点G与点E关于原点O对称，∴E（1，1）；(2)设C3的最低点为F，令y＝0，则x2+2x＝0，解得：x＝0或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），由题意：点A与点B关于原点O对称，∴B（2，0），∵将C2绕着点B旋转180°得到C3，∴点E与点F关于原点O对称，∴F（3，﹣1），过点G作GH⊥OA于点H，过点F作FK⊥BD于点K，过点E作EM⊥OB于点M，如图，∵G（﹣1，﹣1），F（3，﹣1），∴GF∥HK，GH＝FK＝1，∵GH⊥OA，FK⊥BD，∴四边形GHKF为矩形．∵G（﹣1，﹣1），F（3，﹣1），∴HO＝1，OK＝3，∴HK＝OH+OK＝4，根据旋转不变性可得：S阴影部分＝S矩形GHKF，∴S阴影部分＝HK•HG＝4×1＝4，故答案为：4．20.（8分）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．(1)延长FD到点G使DG＝BE，连接AG，得到至△ADG，从而可以证明EF＝BE＋FD，请你利用图（1）证明上述结论．(2)如图（2），四边形ABCD中，90¹°∠BAD，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF 与∠BAD 满足______数量关系时，仍有EF ＝BE ＋FD ，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)2BAD EAF ÐÐ=，理由见解析【解析】(1)延长FD 到点G 使DG =BE ，连接AG ．如图（1），在正方形ABCD 中，AB =AD ，90,BAD ADC B Ð=Ð=Ð=°在ABE D 和ADG D 中，AB AD ABE ADGBE DG =ìïÐ=Ðíï=îABE \D ≌ADG D (SAS )，,BAE GAD AE AG \Ð=Ð=，45GAD DAF BAE DAF \Ð+Ð=Ð+Ð=°45EAF GAF \=Ð=а在AEF D 和AGF D 中，GA EA GAF EAFAF AF =ìïÐ=Ðíï=î\AEF D ≌AGF D ，EF GF GD DF BE DF\==+=+(2)2BAD EAFÐÐ=理由如下：如图，延长CB 至M ，使BM =DF ，连接AM ，180,180ABC D ABC ABM Ð+Ð=°Ð+Ð=°Q ，D ABMÐÐ\=在ABM D 和ADF D 中，AB AD ABM DBM DF =ìïÐ=Ðíï=îABM \D ≌ADF D ，,AF AM DAF BAM \=Ð=Ð2BAD EAF ÐÐ=Q ，DAF BAE BAM BAE EAF \Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，EAF EAM\Ð=Ð在EAF D 和ΔEAM 中，AF AM EAF EAMAE AE =ìïÐ=Ðíï=î\EAF D ≌ΔEAM ，EF EM BE BM BE DF \==+=+，EF BE DF\=+21.（10分）如图，ABC V 中，AB AC =，90BAC Ð=°，点D 、E 在BC 边上，45DAE Ð=°，将ACE V 绕点A 顺时针旋转90°得ABF V．(1)求证：BF BC ^；(2)连接DF ，求证：ADF ADE ≌V V ；(3)若3BD =，4CE =，则DF =______，四边形AFDE 的面积＝______．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)5；30【解析】(1)证明：∵将ACE V 绕点A 顺时针旋转90°得ABF V ，∴C ABF Ð=Ð，∵在ABC V 中，AB AC =，90BAC Ð=°，∴45ABC C Ð=Ð=°，∴454590DBF ABC ABF Ð=Ð+Ð=°+°=°，∴BF BC ^．(2)证明：∵将ACE V 绕点A 顺时针旋转90°得ABF V ，∴AF AE =，BAF CAE Ð=Ð，∵45DAE Ð=°，90BAC Ð=°，∴904545BAD CAE Ð+Ð=°-°=°，∴45BAD BAF BAD CAE Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴DAF DAE Ð=Ð，在ADF V 和ADE V 中，AF AE DAF DAE AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()ADF ADE SAS V V ≌．(3)解：如图，过点A 作AH BC ^于H ，∵将ACE V 绕点A 顺时针旋转90°得ABF V ，3BD =，4CE =，∴4BF CE ==，由（1）得，90DBF Ð=°，在Rt DBF V中，5DF ==，由（2）得，ADF ADE ≌V V ，∴5DE DF ==，ADF ADE S S =△△，∴35412BC BD DE CE =++=++=，∵在ABC V 中，AB AC =，90BAC Ð=°，AH BC ^；∴BH CH =，∴162AH BC ==，∴四边形AFDE 的面积：ADF ADE AFDE S S S =+△△四边形2ADE S =△122DE AH =´´´DE AH =´56=´30=．故答案为：5；30．22.（10分）△ABC 和△DEC 是等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，AC BC =，CD CE =．(1)【观察猜想】当△ABC 和△DEC 按如图1所示的位置摆放，连接BD 、AE ，延长BD 交AE 于点F ，猜想线段BD 和AE 有怎样的数量关系和位置关系．(2)【探究证明】如图2，将△DCE 绕着点C 顺时针旋转一定角度()090a a °<<°，线段BD 和线段AE 的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(3)【拓展应用】如图3，在△ACD 中，45ADC Ð=°，CD =，4=AD ，将AC 绕着点C 逆时针旋转90°至BC ，连接BD ，求BD 的长．【答案】(1)BD AE = ，BD AE ^；(2)成立，理由见解析；(3)【解析】(1)BD AE = ，BD AE ^，证明如下：在BCD △和ACE V 中，90ACB DCE Ð=Ð=°Q ，AC BC =，CD CE =，BCD ACE \@V V ，,BD AE CBD CAE \=Ð=Ð，90ACB Ð=°Q ，90CBD BDC \Ð+Ð=°，BDC ADF Ð=ÐQ ，90CAE ADF \Ð+Ð=°，BD AE \^；(2)成立，理由如下：∵ACB DEC Ð=Ð，∴ACB ACD DCE ACD Ð+Ð=Ð+Ð，即BCD ACE Ð=Ð，在BCD △和ACE V 中，∵AC BC =，BCD ACE Ð=Ð，CD CE =，∴BCD ACE V V ≌，∴BD AE =，CBD CAE Ð=Ð，∵BGC AGF Ð=Ð，∴CBD BGC CAE AGF Ð+Ð=Ð+Ð，∵90ACB Ð=°，∴90CBD BGC Ð+Ð=°，∴90CAE AGF Ð+Ð=°，∴90AFB Ð=°，∴BD AE ^；(3)如图，过点C 作CH CD ^，垂足为C ，交AD 于点H ，由旋转性质可得：90ACB Ð=°，AC BC =，∵CH CD ^，∴90DCH Ð=°，∵90ADC CHD Ð+Ð=°，且45ADC Ð=°，∴45CHD Ð=°，∴CHD ADC Ð=Ð，∴CD CH ==在Rt DCH V中：2DH ===，∵90ACB DCH Ð=Ð=°，∴ACB ACH DCH ACH Ð+Ð=Ð+Ð，即ACD BCH Ð=Ð，在ACD △和BCH V 中，∵AC BC =，ACD BCH Ð=Ð，CD CH =，∴ACD BCH ≌△△，∴4BH AD ==，CBH DAC Ð=Ð，∴12CBH DAC Ð+Ð=Ð+Ð，∵90ACB Ð=°，∴190CBH Ð+Ð=°，∴290DAC Ð+Ð=°，∴90BHA Ð=°， ∴BH AD ^，∴BHD △是直角三角形，在Rt BDH V中，BD ==．23.（10分）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG （其中BD >2CE ），直线BG 与DE 交于点H ．(1)如图1，当点G 在CD 上时，请直接写出线段BG 与DE 的数量关系和位置关系；(2)将正方形CEFG 绕点C 旋转一周．①如图2，当点E 在直线CD 右侧时，求证：；②当∠DEC ＝45°时，若AB ＝3，CE ＝1，请直接写出线段DH 的长．BH DH -=【答案】(1)BG＝DE，BG⊥DE；(2)①见解析；【解析】(1)解：BG＝DE，BG⊥DE，理由如下：∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE．∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠HBE+∠BEH＝90°，∴∠BHD＝90°，即．综上可知BG和DE的关系为BG＝DE且．故答案为：BG＝DE且；(2)①证明：如图，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠GCE＝90°，CG＝CE，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴∠CBK＝∠CDH，∵BK＝DH，BC＝DC，∴△BCK≌△DCH(SAS)，∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，∴∠BCK+∠KCD＝∠DCH+∠KCD，即∠KCH＝∠BCD＝90°，∴△KCH是等腰直角三角形，∴，∴；②如图，当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．由（1）同样的方法可知，BH＝DE，∵四边形CEFG为正方形，∴CE＝CH＝1，∴．∵AB＝3，∴设DH＝x，则，在Rt△BDH中，，即，解得：（舍）BG DE^BG DE^BG DE^HK=BH DH BH BK KH-=-==EH=BD===BH DE x222=BH DH BD+222(=xx+12x x==故此时如图，当H ，E 重合时，∠DEC ＝45°，连接BD ．设DH ＝x ，∵BG ＝DH ，∴在Rt △BDH 中，，即解得：故此时综上所述，满足条件的DHDH ==BH DH HG x -222=BH DH BD +222(x x +=12x x ==DH。
人教版九年级上册数学第二十三章 旋转含答案【及含答案】
人教版九年级上册数学第二十三章旋转含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0 α 180°）得到△ADE，若DE AB，则α的值为（）A.65°B.75°C.85°D.130°2、观察下列图形，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3、如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转120°得到△ADE．若点C、D、E在同一条直线上．∠BAC=20°. 则∠ADC 的度数为（）A.20°B.30°C.50°D.60°4、如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（）A. B. C. D.5、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.6、如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为（）A.（0，1）B.（1，﹣1）C.（0，﹣1）D.（1，0）7、如下图所示，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转a度，得到△A1BC1， A1B交AC于A点E，A1C1分别交AC，BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=a，②DF=FC，③A1E=CF，④AD=CE，⑤A1F=CE．其中一定正确的有( )A.①②④B.①③⑤C.②③⑤D.③④⑤8、以下国产新能源电动车的车标图案不是轴对称图形的是（）A. 北汽新能源B. 长城新能源C.东风新能源 D. 江淮新能源9、如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A. B.13π C.25π D.2510、在平面直角坐标系中，点的坐标为，以原点为中心，将点顺时针旋转得到点，则点的坐标为（）A. B. C. D.11、下列轴对称图形中，对称轴的条数四条的有（）个．A.1B.2C.3D.412、下面四个图案是某种衣物的洗涤说明标识．其中没有用到图形的平移，旋转或轴对称设计的是（）A. B. C. D.13、在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形正六边形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是（）A. B. C. D.114、如图是奥迪汽车的标志，则标志图中所包含的图形变换没有的是（）A.平移变换B.轴对称变换C.旋转变换D.相似变换15、在平行四边形、等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是，点的对应点是），连接．若，则________ ．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，将这个梯形绕点D按顺时针方向旋转，使点C落在边AD上的点C′处，点B落在点B′处，如果直线B′C′经过点C，那么旋转角等于________度．18、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=________．19、已知点A（﹣2，3），则点A关于x轴的对称点A1的坐标为________；关于y轴对称点A2的坐标为________，关于原点的对称点A3的坐标为________．20、如图所示直线y= x+ 与x轴、y轴分别交于点A、B，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动到点B1，线段BB1长度为________．21、如图，三角形ABC绕点A逆时针旋转90°到三角形AB'C'的位置．已知∠BAC=36°，则∠B'AC=________度。
人教版数学九年级上册 第23章旋转 巩固练习题含答案)
23.1图形的旋转一．选择题1．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30o后得到△A1BC1，则图中阴影部分的面积为（）A．3B．6C．9D．122．如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转30°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OF A 的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°3．如图，已知正方形ABCD的边长为3，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB 的延长线上的D′处，那么AD′为（）A．6B．3C．18D．34．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．如图，△ABC是等边三角形，D是AC边上的一点，连接BD，把△BCD绕着点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接DE，若BC＝7，BD＝5，则△ADE的周长是（）A．16B．15C．13D．126．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S＝6+3．其四边形AOBO′中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，在矩形ABCD中，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形FECG，且点E落在AD 上，连接BE，BG交CE于点H．连接FH．若FH平分∠EFG，则下列结论：①AE+CH＝EH：②∠DEC＝2∠ABE：③BH＝HG；④CH＝2AB．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△EBD，若点C的对应点D落在AB边上，则旋转角为（）A．140°B．80°C．70°D．40°9．如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到三角形A'OB'，若∠AOB＝21°，则∠AOB′的度数是（）A．21°B．24°C．45°D．66°10．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为9，BF＝1，则AE的长为（）A．3B．4C．D．二．填空题11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC＝3，DE＝1，则线段BD的长为．12．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AC＝4，则CD＝．13．如图，正方形ABCD的边长为1，把这个正方形绕点A旋转，得到正方形AB'C′D'；且点C′在直线AD上，那么△C′D′D的面积是．14．小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转的度数不超过180°）．若二块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是．15．将菱形ABCD以点E为中心，按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成如图所示的图形，若∠BCD＝120°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为．三．解答题16．如图，△ABC中，∠B＝16°，∠ACB＝24°，AB＝6cm，△ABC按逆时针方向旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点．（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；（2）求出∠BAE的度数和AE的长．17．如图所示，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D．（1）求证：△AFC≌△AEB．（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．18．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向外作等边△BCD．（Ⅰ）∠ABD+∠ACD＝；（Ⅱ）∠BAD＝；（Ⅲ）若AB＝3，AC＝2，求AD的长．19．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，D，E分别是AB，AC边的中点，将△ADE绕点A逆时针旋转α角（0°＜α＜100°），得到△AD′E′（如图2），连接D′B，E′C．（1）探究D′B与E′C的数量关系，并给予证明；（2）在旋转过程中，设D′E′与AC交于点P，当△AD′P是等腰三角形时，请直接出旋转角α的度数．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：∵在△ABC 中，AB ＝6，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A 1BC 1，∴△ABC ≌△A 1BC 1，∴A 1B ＝AB ＝6，∴△A 1BA 是等腰三角形，∠A 1BA ＝30°，∴S △A 1BA ＝×6×3＝9，又∵S 阴影＝S △A 1BA +S △A 1BC 1﹣S △ABC ，S △A 1BC 1＝S △ABC ，∴S 阴影＝S △A 1BA ＝9．故选：C ．2．【解答】解：根据旋转的定义可知∠AOD ＝30°，OA ＝OF ，所以∠AOF ＝30°+90°＝120°．所以∠OF A ＝（180°﹣120°）÷2＝30°．故选：C ．3．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝3，∠C＝90°，∴BD＝＝＝3，在Rt△ABD′中，BD′＝BD＝3，AB＝3，∠ABD′＝90°，∴AD′＝＝＝3，故选：B．4．【解答】解：如图，∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝70°，∵将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴AD＝AC，∠DAC＝∠EAB，∴∠ADC＝∠DCA＝70°∴∠DAC＝∠EAB＝40°故选：B．5．【解答】解：∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴BD＝BE，∠DBE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE＝BD＝5，而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴AE＝CD，∴△AED的周长＝AE+AD+DE＝CD+AD+DE＝AC+5＝5+7＝12．故选：D．6．【解答】解：如图，由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，又∵OB＝O′B，AB＝BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′＝60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图，连接OO′，∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′＝OB＝4．故结论②正确；∵△BO ′A ≌△BOC ，∴O ′A ＝5．在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO ′是直角三角形，∠AOO ′＝90°，∴∠AOB ＝∠AOO ′+∠BOO ′＝90°+60°＝150°，故结论③正确；S 四边形AOBO ′＝S △AOO ′+S △OBO ′═×3×4+×42＝6+4，故选：C ．7．【解答】解：如图，作BM ⊥EC 于M ．∵CB ＝CE ，∴∠CBE ＝∠CEB ，∵AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∴∠AEB ＝∠MEB ，∵∠A ＝∠BME ＝90°，BE ＝BE ，∴△BEA ≌△BEM （AAS ），∴AE＝EM，AB＝BM．∵∠BMH＝∠GCH＝90°，∠BHM＝∠GHC，BM＝AB＝CG，∴△BMH≌△GCH（AAS），∴MH＝CH，BH＝HG，∴EH＝EM+MH＝AE+CH，故①③正确，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴2∠AEB+2∠ABE＝180°，∵∠DEC+∠AEC＝180°，∠AEC＝2∠AEB，∴∠DEC+2∠AEB＝180°，∴∠DEC＝2∠ABE，故②正确，∵FH平分∠EFG，∴∠EFH＝45°，∵∠FEH＝90°，∴AB＝EF＝EH，∵EH＞HM＝CH，∴CH＜AB，故④错误．故选：C．8．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝70°，∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△EBD，点C的对应点D落在AB边上，∴旋转角＝∠ABC＝70°，故选：C ．9．【解答】解：∵将三角形AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到三角形A 'OB '， ∴∠AOB ＝∠A 'OB '＝21°，∠A 'OA ＝45°∴∠AOB '＝∠A 'OA ﹣∠A 'OB '＝24°故选：B ．10．【解答】解：∵把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置∴BF ＝DE ＝1，S △AFB ＝S △ADE ，∴S 正方形ABCD ＝S 四边形AECF ＝9∴AD ＝3∴AE ＝＝故选：D ．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：由旋转的性质可知：BC ＝DE ＝1，AB ＝AD ，∠BAD ＝90°， 在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝1，∠ACB ＝90°，由勾股定理得：AB ＝AD ＝＝＝，在Rt △ADB 中，BD ＝＝＝2，即：BD 的长为2，故答案为：2． 12．【解答】解：∵△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED ，∴AC ＝AD ，∠CAD ＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝AD＝CD＝4，故答案为：4．13．【解答】解：如图，过点D'作D'E⊥AD，∵把这个正方形绕点A旋转，得到正方形AB'C′D'；∴AD'＝AD＝CD＝C'D'＝1∴AC'＝＝∴D'E＝＝×（﹣1）×＝当点C'在AD延长线上时，S△C'D'D＝×（+1）×＝当点C'在DA延长线上时，S△C'D'D故答案为：或14．【解答】解：设旋转的度数为α，若DE∥AB，则∠E＝∠ABE＝90°，∴α＝90°﹣30°﹣45°＝15°，若BE∥AC，则∠ABE＝180°﹣∠A＝120°，∴α＝120°﹣30°﹣45°＝45°，若BD∥AC，则∠ACB＝∠CBD＝90°，∴α＝90°，当点C，点B，点E共线时，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴AC∥DE，∴α＝180°﹣45°＝135°，故答案为：15°或45°或90°或135°．15．【解答】解：连接BD ，AC 交于点O ，BE ，DE∵四边形ABCD 是菱形，∠BCD ＝120°∴BO ＝DO ，AO ＝CO ，AC ⊥BD ，∠CAD ＝∠BCD ＝60°，且AB ＝AD ＝2 ∴AO ＝CO ＝1，DO ＝BO ＝AO ＝∴BD ＝2 ∵将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形 ∴∠BED ＝90°，BE ＝DE∴BE ＝DE ＝∵S 四边形DABE ＝S △DBE ﹣S △ABD∴S 四边形DABE ＝﹣×1＝3﹣ ∴S 阴影部分＝4（3﹣）＝12﹣4故答案为：12﹣4三．解答题（共4小题）16．【解答】①∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，A为顶点，∴旋转中心是点A，根据旋转的性质可知：∠CAE＝∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝140°，∴旋转角度是140°；②由旋转可知：△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠EAD＝140°，∴∠BAE＝360°﹣140°×2＝80°，∵C为AD中点，∴AC＝AE＝AB＝×6＝3（cm）．17．【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，∴AE＝AF＝AB＝AC＝1，∠EAF＝∠BAC＝45°，∴∠BAC+∠F AB＝∠EAF+∠F AB，即∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF（SAS）；（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝1，∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴∠BAE＝90°，∴BE＝＝＝，∴BD＝BE﹣DE＝﹣1．18．【解答】解：（Ⅰ）因为四边形内角和360°，所以∠BAD+∠BDC+∠ABD+∠ACD＝360°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣120°﹣60°＝180°．故答案为180°；（Ⅱ）将△ACD绕点D逆时针旋转60°，得到△BED（如图所示），∵DC＝BD，∠BDC＝60°，∴旋转后的三角形DC与BD重合．又∠ABD+∠ACD＝180°，所以∠ABD+∠EBD＝180°，∴A、B、E三点共线．所以△ADE是等边三角形，∴∠BAD＝60°．故答案为60°；（Ⅲ）根据（Ⅱ）可知BE＝AC＝2，则AE＝AB+BE＝3+2＝5．所以AD＝5．故答案为180°，60°．19．【解答】解：（1）D′B＝E′C，证明：如图2，∵AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，∴AD＝AE，∵∠BAC＝∠D′AE′＝100°，∴∠BAD′＝∠CAE′＝100°﹣∠D′AC，在△BAD′和△CAE′中，，∴△BAD′≌△CAE′（SAS），∴D′B＝E′C；（2）解：①当AP＝D′P时，∵∠AD′P＝40°，∴∠D′AP＝∠AD′P＝40°，∴α＝100°﹣40°＝60°；②当AD′＝AP时，此时P和E重合，即α＝0°；③当AD′＝D′P时，∵∠AD′P＝40°，∴∠D′AP＝∠D′P A＝（180°﹣∠AD′P）＝×（180°﹣40°）＝70°，∴α＝100°﹣70°＝30°；综上所述，旋转角α的度数为60°或30°人教版九年级数学23.2 中心对称一、选择题1. 如图，如果甲、乙两图关于点O对称，那么乙图中不符合题意的一块是()2. 2018·达州下列图形中是中心对称图形的是()3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC与△FEC关于点C对称，连接AE，BF，当∠ACB＝______时，四边形ABFE为矩形()A．90°B．60°C．45°D．30°4. 在线段、平行四边形、矩形、等腰三角形、圆这几个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是()A．2 B．3 C．4 D．55. 2019·长春德惠期末如图，△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，下列结论中不一定成立的是()A．∠ABC＝∠A′C′B′ B．OA＝OA′C．BC＝B′C′ D．OC＝OC′6. 2019·襄阳期末如图，在正方形网格中，格点三角形ABC绕某点顺时针旋转α度(0＜α＜180)，得到格点三角形A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α的值为()A．50 B．60 C．90 D．1207. 把△ABC各点的横坐标都乘－1，纵坐标都乘－1，符合上述要求的图是()8. 2020·河北模拟如图所示，A1(1，3)，A2(32，32)，A3(2，3)，A4(3，0)．作折线OA1A2A3A4关于点A4中心对称的图形，得折线A8A7A6A5A4，再作折线A8A7A6A5A4关于点A8中心对称的图形……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点P从原点O出发，沿着折线以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．当t＝2020时，点P的坐标为()A．(1010，3) B．(2020，3 2)C．(2016，0) D．(1010，3 2)二、填空题9. 王老师、杨老师两家所在的位置关于学校对称．如果王老师家距学校2千米，那么他们两家相距________千米．10. 点P(1,2)关于原点的对称点P′的坐标为__________．11. 如图所示，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于点E对称，则对称中心点E的坐标是__________.12. 如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC＝2.若以AC的中点O 为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B′处，则BB′＝________．13. 如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C是以点O为对称中心的中心对称图形，点A 的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积为________．14. 如图，点A，B，C的坐标分别为(2，4)，(5，2)，(3，－1)．若以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则点D的坐标为________．15. 2019·呼和浩特已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，若点A的坐标为(2，3)，则点B与点D的坐标分别为()A．(－2，3)，(2，－3)B．(－3，2)，(3，－2)C．(－3，2)，(2，－3)D．(－72，212)，(72，－212)16. 如图，在平面直角坐标系中，对点P(1，0)作如下变换：先向上平移(后一次平移比前一次多1个单位长度)，再作关于原点的对称点，即向上平移1个单位长度得到点P1，作点P1关于原点的对称点P2，向上平移2个单位长度得到点P3，作点P3关于原点的对称点P4……那么点P2020的坐标为____________．三、作图题17. 如图所示，在7×6的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出△ABC，请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：(1)图①中所画的三角形与△ABC组成的图形是轴对称图形；(2)图②中所画的三角形与△ABC组成的图形是中心对称图形；(3)图③中所画的三角形与△ABC的面积相等，但不全等．四、解答题18. 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED.(1)试判断△BEC是不是等腰三角形，并说明理由；(2)在原图中画△FCE，使它与△BEC关于CE的中点O中心对称，此时四边形BCFE是什么特殊平行四边形？请说明理由．19. 2018·眉山在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：(1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；(2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；(3)已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为(－4，－2)，请直接写出直线l 的函数解析式．人教版九年级数学23.2 中心对称课时训练-答案一、选择题1. 【答案】C[解析] .2. 【答案】B3. 【答案】B[解析] ∵△ABC与△FEC关于点C对称，∴AC＝FC，BC＝EC，∴四边形ABFE是平行四边形．当AC＝BC时，四边形ABFE是矩形，∴BC＝AC＝AB，∴∠ACB＝60°.故选B.4. 【答案】B[解析] 线段、矩形、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B.5. 【答案】A6. 【答案】C7. 【答案】C8. 【答案】A二、填空题9. 【答案】4[解析] ∵王老师、杨老师两家所在的位置关于学校对称，∴王老师、杨老师两家到学校的距离相等．∵王老师家距学校2千米，∴他们两家相距4千米．故答案为4.10. 【答案】(－1，－2)11. 【答案】(3，－1)[解析] 连接各组对应点，其交点坐标即为对称中心点E的坐标．12. 【答案】2 5[解析] ∵△ABC绕AC的中点O旋转了180°，∴OB＝OB′，∴BB′＝2OB.又∵OC＝OA＝12AC＝1，BC＝2，∴在Rt△OBC中，OB＝OC2＋BC2＝12＋22＝5，∴BB′＝2OB＝2 5.13. 【答案】6[解析] 如图，过点A′作A′B′⊥a，垂足为B′，由题意可知，①与②关于点O中心对称，所以阴影部分的面积可以看作四边形A′B′OD的面积．又A′D⊥b于点D，直线a，b互相垂直，可得四边形A′B′OD是矩形，所以其面积为3×2＝6.14. 【答案】(0，1)15. 【答案】B16. 【答案】(1，－505)[解析] 根据题意可列出下面的表格：观察表格可知：这些点平均分布在四个象限中，序号除以4余1的点在第一象限，横坐标都是1，纵坐标为序号减1除以4的商加1；序号除以4余2的点是序号除以4余1的点关于原点的对称点；序号能被4整除的点在第四象限，横坐标为1，纵坐标为序号除以4的商的相反数；序号除以4余3的点在第二象限，是序号能被4整除的点关于原点的对称点．因为2020÷4＝505，所以点P2020在第四象限，坐标为(1，－505)．三、作图题17. 【答案】解：(1)答案不唯一，如图①～②.(2)如图③.(3)答案不唯一，如图④～⑥.四、解答题18. 【答案】解：(1)△BEC是等腰三角形．理由：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE.∵EC平分∠BED，∴∠DEC＝∠BEC，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，∴△BEC是等腰三角形．(2)连接BO并延长至点F，使OF＝OB，连接FE，FC，△FCE即为所求．四边形BCFE是菱形．理由：∵OB＝OF，OE＝OC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵BC＝BE，∴▱BCFE是菱形．19. 【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作，C1(－1，2)．(2)如图，△A2B2C2为所作，C2(－3，－2)．(3)因为点A的坐标为(2，4)，点A3的坐标为(－4，－2)，所以直线l的函数解析式为y＝－x.23.3课时学习图案设计一．选择题1．如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列是国内几所知名大学的图标，若不考虑图标上的文字、字母和数字，其中既可以通过翻折变换，又可以通过旋转变换得到的图形是（）A．清华大学B．浙江大学C．北京大学D．中南大学3．一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法：a．对应线段平行，b．对应线段相等，c．图形的形状和大小都没有发生变化，d．对应角相等，其中正确的是（）A．a．b．c．B．b．c．d．C．a．b．d．D．a．c．d．4．如图，点A，B在方格纸的格点位置上，若要再找一个格点C，使它们所构成的三角形为轴对称图形，则这样的格点C在图中共有（）A．4个B．6个C．8个D．10个5．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7 个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有（）A．4 种B．3 种C．2 种D．1 种6．“飞流直下三千尺”、“坐地日行八万里（只考虑地球自转）”如果只从数学角度看，它们分别蕴含的图形变换是（）A．平移、对称B．对称、旋转C．平移、旋转D．旋转、对称7．将如图所示“你最棒”的微信图案通过平移后可以得到的图案是（）A．B．C．D．8．如图的四个图形中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（）个．A．1B．2C．3D．49．一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（）A．B．C．D．10．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（）A．13B．14C．15D．16二．填空题11．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有种．12．图中能通过基本图形旋转得到的有（请填写序号）13．如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要在其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色的小方格图案成轴对称图形，这样的白色小方格有个，请在图中设计出一种方案．14．如图，这个图形是由“基本图案”ABCDE绕着点顺时针依次旋转次得到的，则每次旋转的角度为．15．如图，在网格图中，平移图A，使它与图B拼合成一个长方形，应将图A向（填“左”或“右”）平移格；再向（填“上”或“下”）平移格．三．解答题16．如图，△ABC的三个顶点在网格上（1）画出三角形关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；（2）直接写出点A1的坐标为．17．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点AB的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并直接写出这时点A2的坐标．18．如图，图中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC在方格纸中的位置如图所示．（1）请在图中建立平面直角坐标系，使得A，B两点的坐标分别为A（2，﹣1），B（1，﹣4），并写出C点坐标；（2）在图中作出△ABC绕坐标原点旋转180°后的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标：（3）在图中作出△ABC绕坐标原点顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出A2，B2，C2的坐标．19．阅读下列材料，完成相应学习任务旋转对称把正n边形绕着它的中心旋转°的整数倍后所得的正n边形重合．我们说，正n边形关于其中心有°的旋转对称．一般地，如果一个图形绕着某点O旋转角α（0＜α＜360°）后所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点O有角α的旋转对称．图1就是具有旋转对称性质的一些图形．任务：（1）如图2，正六边形关于其中心O有的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有的旋转对称；（2）图3是利用旋转变换设计的具有旋转对称性的一个图形，将该图形绕其中心至少旋转与原图形重合；（3）请以图4为基本图案，在图5中利用平移、轴对称或旋转进行图案设计，使得设计出的图案是中心对称图形．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：如图所示：，共3个，故选：C．2．【解答】解：A、是既可以通过翻折变换，又可以通过旋转变换得到的图形，正确；B、可以通过翻折变换，但不可以通过旋转变换得到的图形，错误；C、可以通过翻折变换，但不可以通过旋转变换得到的图形，错误；D、不可以通过翻折变换，但可以通过旋转变换得到的图形，错误；故选：A．3．【解答】解：a、经过旋转变换对应线段不一定平行，b、无论经过平移变换，还是经过旋转变换，对应线段相等，c、无论经过平移变换，还是经过旋转变换，图形的形状和大小都没有发生变化，d、无论经过平移变换，还是经过旋转变换，对应角相等，综上所述，说法正确的是b、c、d．故选：B．4．【解答】解：如图所示，这样的格点C在图中共有10个，故选：D．5．【解答】解：在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对称图形．故选：B．6．【解答】解：根据平移和旋转定义可知：“飞流直下三千尺”是平移；“坐地日行八万里”是旋转．故选：C．7．【解答】解：将如图所示“你最棒”的微信图案通过平移后可以得到的图案是，故选：C．8．【解答】解：图形①可以分别旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形②可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形③可以旋转180°得到，不可以经过轴对称得到，故此选项错误；图形④可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合．故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有3个．故选：C．9．【解答】解：先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是B，故选：B．10．【解答】解：如图1，连接AC，CF，则AF＝3，∴两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格，又∵MN＝20，∴20÷3＝，（不是整数）∴按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后，相当于向右移动了10÷2×3＝15格，向上移动了10÷2×3＝15格，此时M位于如图所示的5×5的正方形网格的点G处，再按如图所示的方式变换4次即可到达点N处，∴从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是10+4＝14次，故选：B．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：如图，有三种方案，故答案为3．12．【解答】解：四幅图中，能通过基本图形旋转得到的有：（1）（2）（3）（4）．故答案为：（1）（2）（3）（4）．13．【解答】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．故答案为：4．14．【解答】解：根据旋转的性质，可知：在点D处有6个角，故360°÷6＝60°，所以它的旋转角为60°．即这个图形是由“基本图案”ABCDE绕着点D顺时针依次旋转5次得到的，则每次旋转的角度为60°．故答案为：D、5、60°．15．【解答】解：∵A图形在B图形的左边可知应先向右平移图形A，点C距点D4个格，∴应先向右平移4个格，此时点C与点D重合，∵点D距点E2个格，∴向上平移2格．故答案为：右，4，上，2．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）点A1的坐标为（1，﹣3）．故答案为（1，﹣3）．17．【解答】解：如图所示：A2（﹣2，3）；．18．【解答】解：（1）坐标系如图所示，C（3，﹣3）；（2）△A1B1C1如图所示，A1（﹣2，1），B1（﹣1，4），C1（﹣3，3）；（3）△A2B2C2如图所示，A（﹣1，﹣2），B（﹣4，﹣1），C2（﹣3，﹣3）．19．【解答】解：（1）正六边形关于其中心O有60°的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有180°的旋转对称；故答案为：60°；180°；（2）∵360°÷5＝72°。
人教版 九年级数学上册 第23章 旋转 培优训练(含答案)
人教版九年级数学第23章旋转培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()2. 如图，将△OAB绕点O逆时针旋转得到△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB＝4 cm，OB＝1 cm，∠B′＝60°，那么A′B的长是()A．4 cm B．3 cmC．2 3 cm D．(4－3)cm3. 由图中的三角形仅经过一次平移、旋转或轴对称变换，不能得到的图形是图中的()4. 如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为()A．4 B．2 5C．6 D．2 65. 如图，两个半圆分别以P，O为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，O，A2在同一条直线上，则对称中心为()A．A2P的中点B．A1B2的中点C．A1O的中点D．PO的中点6. 把△ABC各点的横坐标都乘－1，纵坐标都乘－1，符合上述要求的图是()7. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2对称……如此作下去，则△B2n A2n＋1B2n＋1(n是正整数)的顶点A2n＋1的坐标是()A．(4n－1，3) B．(2n－1，3)C．(4n＋1，3) D．(2n＋1，3)8. 如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为()A．90°－αB．αC．180°－αD．2α9. 2020·河北模拟如图所示，A1(1，3)，A2(32，32)，A3(2，3)，A4(3，0)．作折线OA1A2A3A4关于点A4中心对称的图形，得折线A8A7A6A5A4，再作折线A8A7A6A5A4关于点A8中心对称的图形……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点P从原点O出发，沿着折线以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．当t＝2020时，点P的坐标为()A．(1010，3) B．(2020，3 2)C．(2016，0) D．(1010，3 2)10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM.若BC＝2，∠A＝30°，则线段PM的最大值是()A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0＜α＜180°)得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝________°.12. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为(1，0)，点A 在x轴正半轴上，且AC＝2.将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位长度，则变化后点A的对应点的坐标为________．13. 如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝________°.14. 如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2 5，BC＝ 5.将△ABC绕点A 逆时针旋转90°得到△AB′C′，连接B′C，则B′C＝________．15. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为________．16. 如图，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－33x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－33x上，依次进行下去……若点B的坐标是(0，1)，则点O12的纵坐标为________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，将一个钝角三角形ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B顺时针旋转得到△A1BC1，使得点C落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1.(1)写出旋转角的度数；(2)求证：∠A1AC＝∠C1.18. 2018·眉山在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：(1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；(2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；(3)已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为(－4，－2)，请直接写出直线l的函数解析式．19. 如图，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D 分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转角α(0°＜α＜90°)，连接AF，DE(如图②)．(1)在图②中，∠AOF＝________；(用含α的式子表示)(2)猜想图②中AF与DE的数量关系，并证明你的结论．20. 如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝3，PC＝1.求∠BPC 的度数和等边三角形ABC的边长．人教版九年级数学第23章旋转培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】B[解析] ∵旋转前、后的两个图形是全等图形，AB＝4 cm，OB＝1 cm，∴A′B′＝AB＝4 cm，OB′＝OB＝1 cm.在△OB′B中，∵∠B′＝60°，OB′＝OB，∴△OB′B是等边三角形，∴BB′＝OB＝1 cm，∴A′B＝A′B′－BB′＝4－1＝3(cm)．3. 【答案】B[解析] A可以通过平移得到，B无法通过三种变换中的任何一种得到，C可以通过轴对称得到，D可以通过旋转得到．4. 【答案】D[解析] 由旋转可得，S正方形ABCD＝S四边形AECF＝20，即AD2＝20，∴AD＝25.∵DE＝2，∴在Rt△ADE中，AE＝AD2＋DE2＝2 6.故选D.5. 【答案】D[解析] 因为P，O是对称点，所以PO的中点是对称中心．6. 【答案】C7. 【答案】C[解析] A1(1，3)，A2(3，－3)，A3(5，3)，A4(7，－3)，…，∴点A n 的坐标为⎩⎨⎧（2n －1，3）（n 为奇数），（2n －1，－3）（n 为偶数）.∵2n ＋1是奇数，∴点A 2n ＋1的坐标是(4n ＋1，3)．故选C.8. 【答案】C[解析] 由题意可得∠CBD ＝α，∠C ＝∠EDB.∵∠EDB ＋∠ADB ＝180°， ∴∠C ＋∠ADB ＝180°.由四边形的内角和定理，得∠CAD ＋∠CBD ＝180°. ∴∠CAD ＝180°－∠CBD ＝180°－α.故选C.9. 【答案】A10. 【答案】B[解析] 连接PC.在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，BC ＝2， ∴AB ＝4.根据旋转的性质可知，∠A′CB′＝90°，A′B′＝AB ＝4. ∵P 是A′B′的中点，∴PC ＝12A′B′＝2. ∵M 是BC 的中点，∴CM ＝12BC ＝1. 又∵PM≤PC ＋CM ， 即PM≤3，∴PM 的最大值为3(此时点P ，C ，M 共线)． 故选B.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】90 [解析] 连接AA 1，CC 1，分别作AA 1和CC 1的垂直平分线，两直线相交于点D ，则点D 即为旋转中心，连接AD ，A 1D ，则∠ADA 1＝α＝90°.12. 【答案】(－2，2)[解析] △ABC 绕点C 逆时针旋转90°后，点A 的对应点的坐标为(1，2)，再向左平移3个单位长度，点A 的对应点的坐标为(－2，2)．13. 【答案】20[解析] ∵AB ＝AB′，∠BAB′＝40°，∴∠ABB′＝70°.∵B′C′⊥AB ，∴∠BB′C′＝20°.14. 【答案】5[解析] 由勾股定理，得AC ＝AB 2＋BC 2＝5.过点C 作CE ⊥AB′于点E ，则四边形ABCE 是矩形，∴AE ＝BC ＝ 5.又AB′＝AB ＝2 5，∴AE ＝EB′＝5，∴CE 垂直平分AB′，∴B′C ＝AC ＝5.15. 【答案】15°[解析] 由旋转的性质可知AB ＝AD ，∠BAD ＝150°，∴∠B ＝∠ADB ＝12×(180°－150°)＝15°.16. 【答案】9＋33 [解析] 将y ＝1代入y ＝－33x ，解得x ＝－ 3.∴AB ＝3，OA ＝2，且直线y ＝－33x 与x 轴所夹的锐角是30°.由图可知，在旋转过程中每3次一循环，其中OO 2＝O 2O 4＝O 4O 6＝O 6O 8＝O 8O 10＝O 10O 12＝2＋3＋1＝3＋ 3. ∴OO 12＝6×(3＋3)＝18＋6 3. ∴点O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋3 3.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：(1)旋转角的度数为60°.(2)证明：由旋转的性质知∠ABC ＝∠A 1BC 1＝120°，∠C ＝∠C 1，AB ＝A 1B.∵点A ，B ，C 1在同一直线上，∴∠ABC 1＝180°，∴∠ABA 1＝∠CBC 1＝60°，∴∠A 1BC ＝60°，∵AB ＝A 1B ，∴△ABA 1是等边三角形， ∴∠AA 1B ＝∠A 1BC ＝60°， ∴AA 1∥BC ，∴∠A 1AC ＝∠C. 又∵∠C ＝∠C 1，∴∠A 1AC ＝∠C 1.18. 【答案】解：(1)如图，△A 1B 1C 1为所作，C 1(－1，2)． (2)如图，△A 2B 2C 2为所作，C 2(－3，－2)．(3)因为点A 的坐标为(2，4)，点A 3的坐标为(－4，－2)， 所以直线l 的函数解析式为y ＝－x .19. 【答案】解：(1)∵△OEF 绕点O 逆时针旋转角α， ∴∠DOF ＝∠COE ＝α. ∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠AOD ＝90°， ∴∠AOF ＝90°－α. 故答案为90°－α. (2)猜想：AF ＝DE.证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠AOD ＝∠COD ＝90°，OA ＝OD. ∵∠DOF ＝∠COE ＝α， ∴∠AOF ＝∠DOE.∵△OEF 为等腰直角三角形， ∴OF ＝OE.在△AOF 和△DOE 中，⎩⎨⎧OA ＝OD ，∠AOF ＝∠DOE ，OF ＝OE ，∴△AOF ≌△DOE(SAS)， ∴AF ＝DE.20. 【答案】解：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得到△BP′A(如图)．连接PP′，由旋转的性质知△BPP′为等边三角形，AP′＝PC＝1，∴PP′＝PB＝3，∠BPP′＝∠BP′P＝60°.在△APP′中，∵AP′2＋PP′2＝12＋(3)2＝22＝PA2，∴△APP′是直角三角形，且∠AP′P＝90°，∴∠BP′A＝∠BP′P＋∠AP′P＝60°＋90°＝150°，∴∠BPC＝∠BP′A＝150°.在Rt△APP′中，∵PA＝2，AP′＝1，∴∠APP′＝30°.又∵∠BPP′＝60°，∴∠APB＝90°，∴在Rt△ABP中，AB＝PA2＋PB2＝22＋（3）2＝7，即等边三角形ABC的边长为7.。
部编数学九年级上册23.10《旋转》全章复习与巩固(培优篇)(人教版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题23.10 《旋转》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，阴影部分组成的图案既是关于x 轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O 成中心对称的图形．若点A 的坐标是（1，3），则点M 和点N 的坐标分别是（ ）A ．M （1，﹣3），N （﹣1，﹣3）B ．M （﹣1，﹣3），N （﹣1，3）C ．M （﹣1，﹣3），N （1，﹣3）D ．M （﹣1，3），N （1，﹣3）2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC BC ==△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△ADE ，连接BE ，则12BE AB +的值为（ ）A B ．C D 3．如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且6PA =，8PB =，10PC =．若将PAC △绕点A 逆时针旋转后，得到MAB △，则APB Ð等于（ ）．A ．120°B ．135°C ．150°D ．160°4．如图，在Rt ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，点D 为BC 的中点，直角MDN Ð绕点D 旋转，DM ，DN 分别与边AB ，AC 交于E ，F 两点，下列结论：①DEF V 是等腰直角三角形；②AE CF =；③12ABC AEDF S S =△四边形；④BE CF EF +=，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，CE ＝2BE ，EF ＝2，连按AF ，将线段AF 绕着点A 顺时针旋转90°得到AP ，则线段PE 的最小值为( )A ．B 2C ．4D 16．如图，在平面直角坐标系中，Y OABC 的顶点A 在x 轴上，定点B 的坐标为（8，4），若直线经过点D （2，0），且将平行四边形OABC 分割成面积相等的两部分，则直线DE 的表达式是（ ）A ．y=x-2B ．y=2x-4C ．y=x-1D ．y=3x-67．如图，已知等腰直角三角形ABC 中，AC=BC ，把AB 绕点B 逆时针旋转一定角度到点D ，连接AD 、DC ，使得∠DAC=∠BDC ，当时，线段AC 的长 （ ）A ．3B ．C ．D 8．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P （2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A 的坐标为（2，0），点Q 是直线l 上的一点，点A 关于点Q 的对称点为点B ，点B 关于直线l 的对称点为点C ，若点B 由点A 经n 次斜平移后得到，且点C 的坐标为（8，6），则△ABC 的面积是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．189．在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（ ）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---10．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()2,0，()0,2，()2,0-．一个电动玩具从原点O 出发，第一次跳跃到点1P ，使得点1P 与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点2P ，使得点2P 与点1P 关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点3P ，使得点3P 与点2P 关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点4P ，使得点4P 与点3P 关于点A 成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点2021P 的坐标是（ ）.A ．()4,-0B ．()4,0C ．()4,4D ．()0,4-二、填空题11．如图，已知△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC =△ABC 绕点A 逆时针反向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为_____．12．如图，在Rt △ABC 中，90ACB Ð=o ，30BAC Ð=o ，BC ＝2，线段BC 绕点B 旋转到BD ，连AD ，E 为AD 的中点，连接CE ，则CE 的最大值是___．13．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，60ABC Ð=°，点E 为射线AD 上一动点，连接BE ，将BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ，连接AF ，则AF 的最小值是______．14．如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，且PA =PB =PC个等边三角形ABC 的边长为________．15．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，9BC =，E 是边AB 上一点，2AE =，F 是直线BC 上一动点，将线EF 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG ，连接CG ，DG ，则+CG DG 的最小值是________．16．如图，C 为线段AB 的中点，D 为AB 垂直平分线上一点，连接BD ，将BD 绕点D顺时针旋转60°得到线段DE ，连接AE ，若AB =6AE =，则CD 的长为 __________ ．17．如图所示，抛物线y ＝x 2+2x ﹣3顶点为Q ，交x 轴于点E 、F 两点（F 在E 的右侧），T 是x 轴正半轴上一点，以T 为中心作抛物线y ＝x 2+2x ﹣3的中心对称图形，交x 轴于点K 、L 两点（L 在K 的右侧），已知∠FQL ＝45°，则新抛物线的解析式为 __．18．如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形AB 1C 1D 1 ；把正方形 A 1 B 1 C 1 D 1 边长按原法延长一倍得到正方形 A 2 B 2 C 2 D 2 (如图1（2）)；以此下去，则正方形 A n B n C n D n 的面积为________．三、解答题19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(1，1)．(1)试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C；(2)以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标____________；(3)请在x 轴上找一点D 得到▱ACDB ，则点D 的坐标为________，若直线y =32-x +b 平分▱ACDB 的面积，则b =_______．20．如图，一伞状图形，已知120AOB Ð=°，点P 是AOB Ð角平分线上一点，且2OP =，60MPN Ð=°，PM 与OB 交于点F ，PN 与OA 交于点E ．(1)如图一，当PN 与PO 重合时，探索PE ，PF 的数量关系(2)如图二，将MPN Ð在(1)的情形下绕点P 逆时针旋转a 度()060a <<°，继续探索PE ，PF 的数量关系，并求四边形OEPF 的面积．21．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F .（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H .①求证ADB AOB V V ≌；②求点H 的坐标.（Ⅲ）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE V 的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）.22．[问题提出]（1）如图,ABC ADE V V ①、均为等边三角形，点D E 、分别在边AB AC 、上．将ADE V绕点A 沿顺时针方向旋转，连结BD CE 、．在图②中证明△≌△ADB AEC ．[学以致用]（2）在()1的条件下，当点D E C 、、在同一条直线上时，EDB Ð的大小为 度．[拓展延伸]（3）在()1的条件下，连结CD ．若6,4,BC AD ==直接写出DBC △的面积S 的取值范围．23．（1）发现如图，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =.填空：当点A 位于____________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为_________.（用含a ，b 的式子表示）（2）应用点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，1AB =.如图所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE .①找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE 长的最大值.（3）拓展如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，点P 为线段AB 外一动点，且2PA =，PM PB =，90BPM Ð=°，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.24．（1）观察理解：如图 1，ABC D 中，90,ACB AC BC Ð=°=，直线l 过点C ，点,A B 在直线l 同侧， ,BD l AE l ^^，垂足分别为,D E ，由此可得：90AEC CDB Ð=Ð=°，所 以90CAE ACE Ð+Ð=°， 又 因为90ACB Ð=°， 所以90BCD ACE Ð+Ð=°，所以CAE BCD Ð=Ð，又因为AC BC =，所以AEC CDB D @D （ ）；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，AE AB ^，且,AE AB BC CD =^，且BC CD =，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中实线所围成的图形的面积S =_________；（3）类比探究：如图 3， Rt ABC D 中，90ACB Ð=°,4AC =，将斜边AB 绕点A 逆时针旋转 90°至AB ¢，连接B C ¢，则AB C ¢D 的面积=_________ .（4）拓展提升：如图4，等边EBC D 中，3EC BC ==cm ，点O 在BC 上，且2OC =cm ，动点P 从点E 沿射线EC 以1cm/s 速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转 120°得到线段OF ，设点P 运动的时间为t 秒．①当t =________秒时，OF ∥ED ；②当t =________秒时，点F 恰好落在射线EB 上．参考答案1．C解：M 点与A 点关于原点对称，A 点与N 点关于x 轴对称，由平面直角坐标中对称点的规律知：M 点与A 点的横、纵坐标都互为相反数，N 点与A 点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．所以M （－1，－3），N （1，－3）．2．C【分析】连接EC ，过E 作EH ⊥BC 于H ，先利用勾股定理、旋转的性质可得2,60AB CAE =Ð=°，再根据等边三角形的判定与性质可得AE CE ==，然后根据勾股定理分别求出EH BE 、，由此即可得出答案．解：连接EC ，过E 作EH ⊥BC 于H ，在Rt △ABC 中，AC BC ==∴2AB ===，∴112AB =，由旋转可知：60AC AE CAE ==Ð=°，∴ACE V 是等边三角形，∴60AC AE EC ACE ===Ð=°，∴30BCE Ð=°，∴12EH EC ==∴CH ==∴BH BC CH =-=，∴1BE =====，∴1112BE AB +=+=故选：C．【点拨】本题考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、，通过作辅助线，构造等边三角形是解题关键．3．C【分析】利用旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形判定与性质等知识点，通过旋转的性质得出△APM为等边三角形以及△PMB是直角三角形，从而求得∠APB的度数．解：连接PM，如图，由旋转性质可知，△APC≌△AMB，∴AP=AM，MB=PC=10，∵∠MAP=60°，∴△APM是等边三角形，∴PM=AP=6，∵PB=8，∴MB2=PB2+MP2，∴△PMB是直角三角形，∴∠MPB=90°，∵∠MPA=60°，∴∠APB=150°．【点拨】本题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形判定与性质等知识点，难度较大．通过旋转的性质得出△APM 为等边三角形以及△PMB 是直角三角形是解答本题的第一个关键．4．C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD =∠B =45°，根据同角的余角相等求出∠ADF =∠BDE ，然后利用“角边角”证明△BDE 和△ADF 全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE =DF 、BE =AF ，从而得到△DEF 是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE =CF ，判断出②正确；根据BE +CF =AF +AE ，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE +CF ＞EF ，判断出④错误．解：∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∠B =45°，∵点D 为BC 中点，∴AD =CD =BD ，AD ⊥BC ，∠CAD =45°，∴∠CAD =∠B ，∠BDE +∠ADE =∠ADB =90°∵∠MDN 是直角，∴∠ADF +∠ADE =90°，∴∠ADF =∠BDE ，在△BDE 和△ADF 中，CAD B AD BD ADF BDE ÐÐìïíïÐÐî＝＝＝，∴△BDE ≌△ADF （ASA ），∴DE =DF ，BE =AF ，∴△DEF 是等腰直角三角形，故①正确；∵AE =AB -BE ，CF =AC -AF ，∴AE =CF ，故②正确；∵△BDE ≌△ADF∴BDE ADFS S =V V ∴12ADE ADF ADE BDE BDA ABC AEDF S S S S S S S =+=+==△△△△△△四边形故③正确；∵BE +CF =AF +AE ＞EF ，∴BE +CF ＞EF ，故④错误；综上所述，正确的是①②③，故选：C.【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系、同角的余角相等，熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．5．B【分析】连接AE ，过点A 作AG ⊥AE ，截取AG =AE ，连接PG ，GE ，通过SAS 证明△AEF ≌△AGP ，得PG =EF =2，再利用勾股定理求出GE 的长，在△GPE 中，利用三边关系即可得出答案．解：连接AE ，过点A 作AG ⊥AE ，截取AG =AE ，连接PG ，GE ，∵将线段AF 绕着点A 顺时针旋转90°得到AP ，∴AF =AP ，∠PAF =90°，∴∠FAE +∠PAE =∠PAE +∠PAG =90°，∴∠FAE =∠PAG ，在△AEF 和△AGP 中，,AF AP FAE PAG AE AG =ìïÐ=Ðíï=î∴△AEF ≌△AGP （SAS ），∴PG =EF =2，∵BC =3，CE =2BE ，∴BE =1，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：AE ==，∵AG =AE ，∠GAE =90°，∴GE =，在△GPE 中，PE ＞GE -PG ，∴PE 的最小值为GE -PG 2，故选：B ．【点拨】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6．A【分析】过平行四边形的对称中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，先求出平行四边形对称中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．解：∵点B 的坐标为（8，4），∴平行四边形的对称中心坐标为（4，2），设直线DE 的函数解析式为y=kx+b ，则4220k b k b +=ìí+=î，解得12k b =ìí=-î，∴直线DE 的解析式为y=x-2．故选：A ．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，熟练掌握过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键．7．D【分析】如图（见分析），先根据等腰直角三角形的性质可得45,BAC AC AB Ð=°=，再根据旋转的性质、等腰三角形的性质可得,45AB BD ADC BAC =Ð=Ð=°，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得45,BEC ADC BE AD Ð=Ð=°=，从而可得,2,4BE AD AE DE BE AD ^====，最后利用勾股定理即可得．解：如图，过点C 作CE CD ^，交AD 于点E ，连接BE ，ABC Q V 是等腰直角三角形，AC BC =，45,BAC AB \Ð=°==，即AC AB =，由旋转的性质得：AB BD =，BAD BDA \Ð=Ð，DAC B B C C AC AD D \Ð+=ÐÐ+Ð，DAC BDC Ð=ÐQ ，45ADC BAC \Ð=Ð=°，CDE \V是等腰直角三角形，2,45CE CD DE CED \====Ð=°，又90DCE ACB Ð=Ð=°Q ，DCE ACE ACB ACE \Ð+Ð=Ð+Ð，即ACD BCE Ð=Ð，在BCE V 和ACD △中，BC AC BCE ACD CE CD =ìïÐ=Ðíï=î，()BCE ACD SAS \@V V ，45,BEC ADC BE AD \Ð=Ð=°=，90BED BEC CED \Ð=Ð+Ð=°，即BE AD ^，又AB BD =Q ，2AE DE \==（等腰三角形的三线合一），24BE AD DE \===，在Rt ABE △中，AB ==AC AB \===故选：D ．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造等腰直角三角形和全等三角形是解题关键．8．A【分析】连接CQ ，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB ＝90，延长BC 交x 轴于点E ，过C 点作CF ⊥AE 于点F ，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．解：连接CQ ，如图：由中心对称可知，AQ ＝BQ ，由轴对称可知：BQ ＝CQ ，∴AQ ＝CQ ＝BQ ，∴∠QAC ＝∠ACQ ，∠QBC ＝∠QCB ，∵∠QAC +∠ACQ +∠QBC +∠QCB ＝180°，∴∠ACQ +∠QCB ＝90°，∴∠ACB ＝90°，∴△ABC 是直角三角形，延长BC 交x 轴于点E ，过C 点作CF ⊥AE 于点F ，如图，∵A （2，0），C （8，6），∴AF ＝CF ＝6，∴△ACF 是等腰直角三角形，∵18090ACE ACB Ð=°-Ð=°，∴∠AEC ＝45°，∴E 点坐标为（14，0），设直线BE 的解析式为y ＝kx +b ，∵C ，E 点在直线上，可得：14086k b k b ì+=ïí+=ïî，解得：114k b ì=-ïí=ïî，∴y ＝﹣x +14，∵点B 由点A 经n 次斜平移得到，∴点B （n +2，2n ），由2n ＝﹣n ﹣2+14，解得：n ＝4，∴B （6，8），∴△ABC 的面积＝S △ABE ﹣S △ACE ＝12×12×8﹣12×12×6＝12，故选：A ．【点拨】本题考查轴对称的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，得到B 的坐标是解本题的关键．9．A【分析】先求出C 点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），求出它关于点C 对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．解：当x =0时，y =5，∴C （0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），∵原抛物线与新抛物线关于点C 成中心对称，由20x x ´-=-，2510y y ´-=-；∴对应的原抛物线上点的坐标为(),10x y --；代入原抛物线解析式可得：()()21045y x x -=--×-+，∴新抛物线的解析式为：245y x x =--+；故选：A ．【点拨】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．10．A【分析】根据题意，先求出前几次跳跃后1P 、2P 、3P 、4P 、5P 、6P 、7P的坐标，可得出规律，继而可求点2021P 的坐标．解：由题意得：点()14,0P 、()24,4P -、()30,4P -、()44,4P 、()54,0P -、()60,0P 、()74,0P ，∴点P 的坐标的变化规律是6次一个循环，∵20216336...5¸=，∴点2021P 的坐标是()4,-0．故选：A ．【点拨】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律，解题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标并总结出一般规律．11．1【分析】连接BB ′，设BC ′与AB ′交点为D ，根据∠C ＝90°，AC ＝BC =AB=2，根据旋转，得到∠AC ′B ′＝∠ACB ＝90°，AC ′＝AC ＝B ′C ′＝BC ，AB ＝AB ′＝2，∠BAB ′＝60°，推出BC ′垂直平分AB ′，△ABB ′为等边三角形，得到C ′D 12=AB ′＝1，'60ABB Ð=°，推出1''302ABD B BD ABB Ð=Ð=Ð=°，得到BD =′C ′B ＝C ′D ＋BD ＝1．解：连接BB ′，设BC ′与AB ′交点为D ，如图，△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝BC=∴AB===2，∵△ABC绕点A逆时针反向旋转60°到△AB′C′的位置，∴∠AC′B′＝∠ACB＝90°，AC′＝AC＝B′C′＝BC，AB＝AB′＝2，∠BAB′＝60°，∴BC′垂直平分AB′，△ABB′为等边三角形，∴C′D12=AB′＝1，'60ABBÐ=°，∴1''302ABD B BD ABBÐ=Ð=Ð=°，∴BD=∴C′B＝C′D＋BD＝1故答案为1【点拨】本题考查了旋转图形全等的性质，线段垂直平分线判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形边的性质，作辅助线构造出等边三角形，求出'C D，BD的长是解题的关键．12．3【分析】通过已知求得D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，∴E在以BA中点为圆心，12B D长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值．解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，∴BD ＝2，∴112BD =．由题意可知，D 在以B 为圆心，BD 长为半径的圆上运动，∵E 为AD 的中点，∴E 在以BA 中点为圆心，12B D 长为半径的圆上运动，CE 的最大值即C 到BA 中点的距离加上12BD 长．∵90ACB Ð=o ，30BAC Ð=o ，BC ＝2，∴C 到BA 中点的距离即122AB =，又∵112BD =，∴CE 的最大值即1121322AB BD +=+=．故答案为3．【点拨】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E 点运动轨迹是解题的关键．13【分析】以AB 为边向右作等边△ABK ，连接EK ，证明△ABF ≌△KBE （SAS ），推出AF ＝EK ，根据垂线段最短可知，当KE ⊥AD 时，EK 的值最小，求出EK 即可解决问题．解：如图，以AB 为边向右作等边△ABK ，由60ABC Ð=°可知点K 在BC 上，连接EK ，∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，EK的值最小，即AF的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAK＝∠AKB＝60°，∴∠AKE＝30°，∵AB＝AK＝2，AK＝1，∴AE＝12∴EK=，∴AF【点拨】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．14【分析】将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°得三角形BDA，过B作BH⊥直线AP于H，先证明三角形BDP为等边三角形，利用勾股定理逆定理得∠DPA=90°，进而得∠BPH=30°，利用勾股定理解直角三角形即可得答案．解：将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°，得三角形BDA，BC边落在AB上，过B作BH ⊥直线AP 于H ，如图所示，由旋转知，△BDP 为等边三角形，AD =PC =，∴BP =PD =BD ，∠BPD =60°，∵PA ，∴222PD PA AD +=，∴∠APD =90°，∴∠BPH =30°，∴BH =12BP =，由勾股定理得：AB．【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定、勾股定理逆定理、旋转变换的应用等知识点，解题关键是作旋转变换，将分散的条件集中在同一三角形中．15．13【分析】将FBE V 绕点E 逆时针旋转90°得到GHE △，延长GH 交BC 于点M ，延长CB 至点N ，使CM NM =，连接DN ，由矩形的条件和旋转的性质可得3EH EB ==，90B BEH EHG Ð=Ð=Ð=°，可说明四边形EBMH 是矩形，然后由正方形的性质可得到12CN =，GM CN ^，从而说明GM 是CN 的垂直平分线，进一步推导出CG DG NG DG ND +=+³，当点N ，G ，D 三点共线时，+CG DG 取最小值，最后由勾股定理可求解．解：将FBE V 绕点E 逆时针旋转90°得到GHE △，延长GH 交BC 于点M ，延长CB 至点N ，使CM NM =，连接DN ，∵在矩形ABCD 中，5AB =，9BC =，2AE =，∴3EB AB AE =-=，90B BCD Ð=Ð=°，5CD =，∴3EH EB ==，90B BEH EHG Ð=Ð=Ð=°，∴90EHM Ð=°，∴四边形EBMH 是矩形，∴3BM EH ==，90BMH Ð=°，∴()229312CN CM ==´-=，GM CN ^，∴GM 是CN 的垂直平分线，∴CG NG =，∵F 是直线BC 上一动点，∴CG DG NG DG ND +=+³，∴当点N ，G ，D 三点共线时，+CG DG 取最小值ND ，在Rt NCD V 中，12CN =，5CD =，13ND ===，∴+CG DG 的最小值是13．故答案为：13．【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，垂直平分线，三角形三边的关系，勾股定理等知识，采用了转化的思想方法．确定点C 关于GM 的对称点N 是解题的关键．16．9【分析】连接AD 、BE ，过点E 作EH ⊥AB 于H ，由旋转知，DE =DB ，∠BDE =60°，可证△BDE 是等边三角形，利用等边对等角结合三角形内角和为180°求出18018022ADB ADE BAD EAD °-а-ÐÐ=Ð=，，从而得到3601502BDE BAE °-ÐÐ==°，进而可求出∠HAE =30°．再根据含30度角的直角三角形的性质可求出EH ，AH ，再利用勾股定理即可先后求出BE 和CD ．解：如图，连接AD 、BE ，过点E 作EH ⊥AB 于H ，由旋转知，DE =DB ，∠BDE =60°，∴△BDE 是等边三角形，∴BE =BD ．∵C 为AB 中点，点D 在AB 的垂直平分线上，∴AD =BD =DE ，12BC AB ==∴18018022ADB ADE BAD EAD °-а-ÐÐ=Ð=，，∴()36036022ADB ADE BDE BAD EAD °-Ð+а-ÐÐ+Ð==，即3602BDE BAE °-ÐÐ=．∵∠BDE =60°，∴∠BAE =150°，∴∠HAE =180°-150°=30°．∵AE =6，∴132EH AE ==，∴AH ==∴BH AH AB =+=∴BE ==，∴BD =，∴9CD ==．故答案为：9．【点拨】本题考查了图形的旋转，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，勾股定理以及含30°的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．17．y＝﹣x2+18x﹣77【分析】根据顶点式求得Q点的坐标，进而令0y=求得点,E F的坐标，作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，根据∠FQL＝45°，证明△PQF≌△NFM（AAS），进而求得点M的坐标，求得直线QL的解析式为y11133x=-，继而求得L（11，0），T点坐标为（4，0），根据中心对称的性质可得K（7，0），根据交点式即可写出新抛物线的解析式．解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴Q（﹣1，﹣4），当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴E（﹣3，0），F（1，0），作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，如图，∵∠FQL＝45°，∴△QFM为等腰直角三角形，∴FQ＝FM，∵∠PFQ+∠PQF＝90°，∠PFQ+∠MFN＝90°，∴∠PQF＝∠MFN，∴△PQF≌△NFM（AAS），∴PQ＝FN＝4，MN＝PF＝2，∴M（5，﹣2），设直线QL的解析式为y＝kx+b，把Q （﹣1，﹣4），M （5，﹣2）代入得452k b k b -+=-ìí+=-î，解得13113k b ì=ïïíï=-ïî，∴直线QL 的解析式为y 11133x =-，当y ＝0时，11133x -=0，解得x ＝11，∴L （11，0），∵点E （﹣3，0）和点L （11，0）关于T 对称，∴T 点坐标为（4，0），∵点F 与点K 关于T 点对称，∴K （7，0），∵新抛物线与抛物线y ＝x 2+2x ﹣3关于T 对称，∴新抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣7）（x ﹣11），即y ＝﹣x 2+18x ﹣77．故答案为y ＝﹣x 2+18x ﹣77．【点拨】本题考查了二次函数的性质，中心对称的性质，等腰直角三角形的性质与判定，求抛物线的解析式，求得对称中心是解题的关键．18．5n解：根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答．如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，则把它的各边延长一倍后，三角形AA 1B 1的面积是1，新正方形A 1B 1C 1D 1的面积是5，从而正方形A 2B 2C 2D 2的面积为5×5=25，正方形A n B n C n D n 的面积为5n ．考点：找规律-图形的变化【点拨】解答此类问题的关键是仔细分析所给图形的特征得到规律，再把这个规律应用于解题.19．(1)见分析(2)画图见分析，B 2(－5，－2)(3)(3，0)，6【分析】（1）分别作出点A、B以C为中心，顺时针旋转90°后的对应点A1、B1即可解答；（2）根据中心对称的坐标特征：横纵坐标互为相反数；求得A2、B2、C2的坐标即可；（3）C点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，即可得到点D（3，0）；求出平行四边形ACDB的中心坐标，根据中心对称图形的性质可得直线y经过中心坐标，进而求得b；(1)解：如图，分别作出点A、B以C为中心，顺时针旋转90°后的对应点A1、B1，连接相应顶点得△A1B1C即为所求；(2)解：∵A（3，3），B（5，2），C（1，1），∴A、B、C关于原点的对称点坐标为：A2（-3，-3），B2（-5，-2），C2（-1，-1），如图，△A2B2C2即为所求，(3)解：如图，C点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点D（3，0），连接相应顶点，四边形ACDB为平行四边形；∵A 点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，可得到点B ，∴BD 可由AB 平移得到，即BD ∥AB ，BD =AB ，∴四边形ACDB 是平行四边形，∵C （1，1），B （5，2），平行四边形是中心对称图形，∴平行四边形ACDB 的中心坐标为（3，32），如图所示，当直线y 经过平行四边形中心时，直线两侧的图形关于中心点对称面积相等，∴（3，32）代入直线y =32-x +b ，可得b =6；【点拨】本题考查了图形旋转，中心对称图形的性质，坐标的平移和对称变换，平行四边形的判定和性质；掌握中心对称图形的性质是解题关键．20．（1）＝PE PF ，证明详见分析；（2）＝PE PF 【分析】（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF 是等边三角形，得到PE=PF ；（2）过点P 作PQ ⊥OA ，PH ⊥OB ，根据角平分线的性质得到PQ=PH ，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF ，S 四边形OEPF =S 四边形OQPH ，求得OQ=1，解：（1）∵120AOB а＝，OP 平分AOB Ð，∴60POF а＝，∵60MPN а＝，∴60MPN FOP Ðа＝＝ ，∴PEF D 是等边三角形，∴＝PE PF ；（2）过点P 作PQ OA ^，PH OB ^，∵OP 平分AOB Ð，∴PQ PH ＝，90PQO PHO Ðа＝＝，∵120AOB а＝，∴∠QPH ＝60°，∴QPE FPH EPH Ð+Ð+Ð，∴QPE EPF ÐÐ＝，在QPE D 与HPF D 中EQP FHP QPE HPF PQ PH Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴QPE HPF AAS D D ≌（），∴＝PE PF ，OEPF OQPH S S 四边形四边形＝，∵PQ OA ^，PH OB ^，OP 平分AOB Ð，∴30QPO а＝，∴1OQ ＝，QP＝∴112OPQ S D ´´＝∴四边形OEPF 的面积＝2OPQ S D【点拨】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．21．（Ⅰ）点D 的坐标为(1,3).（Ⅱ）①证明见分析；②点H 的坐标为17(,3)5.（Ⅲ）S £分析：（Ⅰ）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x ，在直角三角形ACD 中运用勾股定理可CD 的值，从而可确定D 点坐标；（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；②由①知BAD BAO Ð=Ð，再根据矩形的性质得CBA OAB Ð=Ð.从而BAD CBA Ð=Ð，故BH=AH ，在Rt △ACH 中，运用勾股定理可求得AH 的值，进而求得答案；（ⅢS ££解：（Ⅰ）∵点()5,0A ，点()0,3B ，∴5OA =，3OB =.∵四边形AOBC 是矩形，∴3AC OB ==，5BC OA ==，90OBC C Ð=Ð=°.∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到的，∴5AD AO ==.在Rt ADC V 中，有222AD AC DC =+，∴DC = 4==.∴1BD BC DC =-=.∴点D 的坐标为()1,3.（Ⅱ）①由四边形ADEF 是矩形，得90ADE Ð=°.又点D 在线段BE 上，得90ADB Ð=°.由（Ⅰ）知，AD AO =，又AB AB =，90AOB Ð=°，∴Rt ADB Rt AOB V V ≌.②由ADB AOB V V ≌，得BAD BAO Ð=Ð.又在矩形AOBC 中，//OA BC ，∴CBA OAB Ð=Ð.∴BAD CBA Ð=Ð.∴BH AH =.设BH t =，则AH t =，5HC BC BH t =-=-.在Rt AHC V 中，有222AH AC HC =+，∴()22235t t =+-.解得175t =.∴175BH =.∴点H 的坐标为17,35æöç÷èø.（ⅢS ££【点拨】本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.22．（1）见分析；（2）60或120；（3）1212S ££【分析】（1）运用SAS 证明△≌△ADB AEC 即可；（2）分“当点E 在线段CD 上”和“当点E 在线段CD 的延长线上”两种情况求出EDB Ð的大小即可；（3）分别求出DBC △的面积最大值和最小值即可得到结论解：（1）,ABC ADE Q V V 均为等边三角形，AD AE \=，AB AC =，DAE BAE BAC BAE \Ð-Ð=Ð-Ð，即BAD CAEÐ=Ð在ADB △和AEC △中AD AE BAD CAEAB AC =ìïÐ=Ðíï=î()ABD ACE SAS \@V V ；（2）当,,D E C 在同一条直线上时，分两种情况：①当点E 在线段CD 上时，如图，∵ADE V 是等边三角形，60ADE AED \Ð=Ð=°，180120AEC AED \Ð=-Ð=°°，由（1）可知，ADB AEC @V V ，120ADB AEC \Ð=Ð=°，1206060EDB ADB ADE \Ð=Ð-=-°=°Ð°②当点E 在线段CD 的延长线上时，如图，ADE Q V是等边三角形，60ADE AED \Ð=Ð=°180120ADC ADE \Ð=-Ð=°°，由（1）可知，ADB AEC@V V 60ADB AEC \Ð=Ð=°，60EDB ADB ADE \Ð=Ð+Ð=° 60120+=°°综上所述，EDB Ð的大小为60°或120°（3）过点A 作AF BC ^于点F ，当点D 在线段AF 上时，点D 到BC 的距离最短，此时，点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图：ABC Q V 是等边三角形，AF BC ^，6BC =6AB BC \==，132BF BC ==AF \==4DF \=此时1164)1222DBC S BC DF =×=´´=V ； 当D 在线段FA 的延长线上时，点D 到BC 的距离最大，此时点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图，ABC Q V 是等边三角形，AF BC ^，6BC =6AB BC \==，132BF BC ==，AF \==4AD =Q4DF AF AD \=+=此时，1164)1222DBC S BC DF =×=´´=V ；综上所述，DBC △的面积S 取值是1212S -££【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．23．（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见分析；②BE 的最大值是4;（3）AM 的最大值是P 的坐标为（）【分析】（1）根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD ≌△EAB ，根据全等三角形的性质得到CD=BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM ，将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，得到△APN。
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人教版九年级数学第23章旋转培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()2. 如图，将△OAB绕点O逆时针旋转得到△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB＝4 cm，OB＝1 cm，∠B′＝60°，那么A′B的长是()A．4 cm B．3 cmC．2 3 cm D．(4－3)cm3. 由图中的三角形仅经过一次平移、旋转或轴对称变换，不能得到的图形是图中的()4. 如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为()A．4 B．2 5C．6 D．2 65. 如图，两个半圆分别以P，O为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，O，A2在同一条直线上，则对称中心为()A．A2P的中点B．A1B2的中点C．A1O的中点D．PO的中点6. 把△ABC各点的横坐标都乘－1，纵坐标都乘－1，符合上述要求的图是()7. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2对称……如此作下去，则△B2n A2n＋1B2n＋1(n是正整数)的顶点A2n＋1的坐标是()A．(4n－1，3) B．(2n－1，3)C．(4n＋1，3) D．(2n＋1，3)8. 如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为()A．90°－αB．αC．180°－αD．2α9. 2020·河北模拟如图所示，A1(1，3)，A2(32，32)，A3(2，3)，A4(3，0)．作折线OA1A2A3A4关于点A4中心对称的图形，得折线A8A7A6A5A4，再作折线A8A7A6A5A4关于点A8中心对称的图形……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点P从原点O出发，沿着折线以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．当t＝2020时，点P的坐标为()A．(1010，3) B．(2020，3 2)C．(2016，0) D．(1010，3 2)10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM.若BC＝2，∠A＝30°，则线段PM的最大值是()A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0＜α＜180°)得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝________°.12. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为(1，0)，点A 在x轴正半轴上，且AC＝2.将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位长度，则变化后点A的对应点的坐标为________．13. 如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝________°.14. 如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2 5，BC＝ 5.将△ABC绕点A 逆时针旋转90°得到△AB′C′，连接B′C，则B′C＝________．15. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为________．16. 如图，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－33x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－33x上，依次进行下去……若点B的坐标是(0，1)，则点O12的纵坐标为________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，将一个钝角三角形ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B顺时针旋转得到△A1BC1，使得点C落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1.(1)写出旋转角的度数；(2)求证：∠A1AC＝∠C1.18. 2018·眉山在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：(1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；(2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；(3)已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为(－4，－2)，请直接写出直线l的函数解析式．19. 如图，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D 分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转角α(0°＜α＜90°)，连接AF，DE(如图②)．(1)在图②中，∠AOF＝________；(用含α的式子表示)(2)猜想图②中AF与DE的数量关系，并证明你的结论．20. 如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝3，PC＝1.求∠BPC 的度数和等边三角形ABC的边长．人教版九年级数学第23章旋转培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】B[解析] ∵旋转前、后的两个图形是全等图形，AB＝4 cm，OB＝1 cm，∴A′B′＝AB＝4 cm，OB′＝OB＝1 cm.在△OB′B中，∵∠B′＝60°，OB′＝OB，∴△OB′B是等边三角形，∴BB′＝OB＝1 cm，∴A′B＝A′B′－BB′＝4－1＝3(cm)．3. 【答案】B[解析] A可以通过平移得到，B无法通过三种变换中的任何一种得到，C可以通过轴对称得到，D可以通过旋转得到．4. 【答案】D[解析] 由旋转可得，S正方形ABCD＝S四边形AECF＝20，即AD2＝20，∴AD＝25.∵DE＝2，∴在Rt△ADE中，AE＝AD2＋DE2＝2 6.故选D.5. 【答案】D[解析] 因为P，O是对称点，所以PO的中点是对称中心．6. 【答案】C7. 【答案】C[解析] A1(1，3)，A2(3，－3)，A3(5，3)，A4(7，－3)，…，∴点A n 的坐标为⎩⎨⎧（2n －1，3）（n 为奇数），（2n －1，－3）（n 为偶数）.∵2n ＋1是奇数，∴点A 2n ＋1的坐标是(4n ＋1，3)．故选C.8. 【答案】C[解析] 由题意可得∠CBD ＝α，∠C ＝∠EDB.∵∠EDB ＋∠ADB ＝180°， ∴∠C ＋∠ADB ＝180°.由四边形的内角和定理，得∠CAD ＋∠CBD ＝180°. ∴∠CAD ＝180°－∠CBD ＝180°－α.故选C.9. 【答案】A10. 【答案】B[解析] 连接PC.在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，BC ＝2， ∴AB ＝4.根据旋转的性质可知，∠A′CB′＝90°，A′B′＝AB ＝4. ∵P 是A′B′的中点，∴PC ＝12A′B′＝2. ∵M 是BC 的中点，∴CM ＝12BC ＝1. 又∵PM≤PC ＋CM ， 即PM≤3，∴PM 的最大值为3(此时点P ，C ，M 共线)． 故选B.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】90 [解析] 连接AA 1，CC 1，分别作AA 1和CC 1的垂直平分线，两直线相交于点D ，则点D 即为旋转中心，连接AD ，A 1D ，则∠ADA 1＝α＝90°.12. 【答案】(－2，2)[解析] △ABC 绕点C 逆时针旋转90°后，点A 的对应点的坐标为(1，2)，再向左平移3个单位长度，点A 的对应点的坐标为(－2，2)．13. 【答案】20[解析] ∵AB ＝AB′，∠BAB′＝40°，∴∠ABB′＝70°.∵B′C′⊥AB ，∴∠BB′C′＝20°.14. 【答案】5[解析] 由勾股定理，得AC ＝AB 2＋BC 2＝5.过点C 作CE ⊥AB′于点E ，则四边形ABCE 是矩形，∴AE ＝BC ＝ 5.又AB′＝AB ＝2 5，∴AE ＝EB′＝5，∴CE 垂直平分AB′，∴B′C ＝AC ＝5.15. 【答案】15°[解析] 由旋转的性质可知AB ＝AD ，∠BAD ＝150°，∴∠B ＝∠ADB ＝12×(180°－150°)＝15°.16. 【答案】9＋33 [解析] 将y ＝1代入y ＝－33x ，解得x ＝－ 3.∴AB ＝3，OA ＝2，且直线y ＝－33x 与x 轴所夹的锐角是30°.由图可知，在旋转过程中每3次一循环，其中OO 2＝O 2O 4＝O 4O 6＝O 6O 8＝O 8O 10＝O 10O 12＝2＋3＋1＝3＋ 3. ∴OO 12＝6×(3＋3)＝18＋6 3. ∴点O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋3 3.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：(1)旋转角的度数为60°.(2)证明：由旋转的性质知∠ABC ＝∠A 1BC 1＝120°，∠C ＝∠C 1，AB ＝A 1B.∵点A ，B ，C 1在同一直线上，∴∠ABC 1＝180°，∴∠ABA 1＝∠CBC 1＝60°，∴∠A 1BC ＝60°，∵AB ＝A 1B ，∴△ABA 1是等边三角形， ∴∠AA 1B ＝∠A 1BC ＝60°， ∴AA 1∥BC ，∴∠A 1AC ＝∠C. 又∵∠C ＝∠C 1，∴∠A 1AC ＝∠C 1.18. 【答案】解：(1)如图，△A 1B 1C 1为所作，C 1(－1，2)． (2)如图，△A 2B 2C 2为所作，C 2(－3，－2)．(3)因为点A 的坐标为(2，4)，点A 3的坐标为(－4，－2)， 所以直线l 的函数解析式为y ＝－x .19. 【答案】解：(1)∵△OEF 绕点O 逆时针旋转角α， ∴∠DOF ＝∠COE ＝α. ∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠AOD ＝90°， ∴∠AOF ＝90°－α. 故答案为90°－α. (2)猜想：AF ＝DE.证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠AOD ＝∠COD ＝90°，OA ＝OD. ∵∠DOF ＝∠COE ＝α， ∴∠AOF ＝∠DOE.∵△OEF 为等腰直角三角形， ∴OF ＝OE.在△AOF 和△DOE 中，⎩⎨⎧OA ＝OD ，∠AOF ＝∠DOE ，OF ＝OE ，∴△AOF ≌△DOE(SAS)， ∴AF ＝DE.20. 【答案】解：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得到△BP′A(如图)．连接PP′，由旋转的性质知△BPP′为等边三角形，AP′＝PC＝1，∴PP′＝PB＝3，∠BPP′＝∠BP′P＝60°.在△APP′中，∵AP′2＋PP′2＝12＋(3)2＝22＝PA2，∴△APP′是直角三角形，且∠AP′P＝90°，∴∠BP′A＝∠BP′P＋∠AP′P＝60°＋90°＝150°，∴∠BPC＝∠BP′A＝150°.在Rt△APP′中，∵PA＝2，AP′＝1，∴∠APP′＝30°.又∵∠BPP′＝60°，∴∠APB＝90°，∴在Rt△ABP中，AB＝PA2＋PB2＝22＋（3）2＝7，即等边三角形ABC的边长为7.。