《代数式 整式与分式》知识梳理

代数式整式与分式

【课标要求】

1．在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义；

2．能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示；

3．能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义；

4．会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算；

5．了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）；

6．了解整式的概念，会进行简单的整式加．减运算；会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）；

7．会推导乘法公式：（a＋b）（a－b）=a2－b2；（a＋b）2=a2＋2ab＋b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算；

8．会用提公因式法．公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）；

9．了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加．减．乘．除运算。

【知识梳理】

一．整体感知

第一节代数式

1：代数式的基本概念和写法

代数式是用基本运算符号把数以及表示数的字母连接而成的式子。用字母表示数可以体现一般规律，可以为研究数量之间的关系带来方便。求代数式的值时，一要弄清运算符号，二要弄清运算顺序。

如在前面:

加法结合律（a+b）+c=a+(b+c)

加法交换律a+b=b+a

乘法结合律(a×b)×c=a×(b×c)

乘法交换律a×b=b×a

乘法分配率a×(b+c)=a×b+a×c

（1）三角形面积：ah

（2）长方形面积：ab 长方形周长：2（a+b ）

（3）正方形面积： 正方形周长：4a

（4）平行四边形面积：ah

（5）梯形面积＝ （a+b ）h

（6）圆面积＝π

注意：

1、在含字母地式子里。字母与字母相乘时，“×”省略不写或写作“.”。a ×b 表示为ab ，a.b 。

2、数字与数字相乘一般用“×”，也可用“.”，注意和小数点区分开。

3、字谜与数字的乘积中，数字通常写在字母的左边，a ×2b ＝2ab

代数式就是用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，单独的一个字母或者一个数也数代数式。a ，5，15÷3，4a ，a+b ，t

s 以及a 2等等都叫代数式 例子：用代数式表示：

(1)被3整除得n 的数；

(2)被5除商m 余2的数

分析本题时，可提出以下问题：

(1)被3整除得2的数是几?被3整除得3的数是几?被3整除得n 的数如何表示?

(2)被5除商1余2的数是几?如何表示这个数?商2余2的数呢?商m 余2的数呢?

解：(1)3n ； (2)5m+2

(这个例子直接为以后让学生用代数式表示任意一个偶数或奇数做准备) 例 设字母a 表示一个数，用代数式表示：

(1)这个数与5的和的3倍；(2)这个数与1的差的4

1； (3)这个数的5倍与7的和的一半；(4)这个数的平方与这个数的3

1的和 分析：启发学生，做分析练习如第1小题可分解为“a 与5的和”与“和的3倍”，先将“a 与5的和”例成代数式“a+5”再将“和的3倍”列成代数式“3(a+5)”

解：(1)3(a+5)； (2)41(a-1)； (3)21(5a+7)； (4)a 2+3

1a (通过本例的讲解，应使学生逐步掌握把较复杂的数量关系分解为几个基本的数量关系，培养学生分析问题和解决问题的能力)

2 代数式求值

1．用数值代替代数式里的字母，按代数式指明的运算，计算后所得的结果，叫做代数式的值．

2. 代数式的值是由代数式里字母的取值的确定而确定的

3．只要代数式里的字母给定一个确定的值，代数式就有唯一确定的值与它对应

例1 当x=7，y=4，z=0时，求代数式x(2x-y+3z)的值．

解：当x=7，y=4，z=0时，

x(2x-y+3z)=7×(2×7-4+3×0)

=7×(14-4)

=70．

注意：（1）如果代数式中省略乘号，代入后需添上乘号

（2）如果字母取值是分数，作乘方运算时要加括号；

(3)注意书写格式，“当……时”的字样不要丢；

(4)代数式里的字母可取不同的值，但是所取的值不应当使代数式或代数式所表示的数量关系失去实际意义，如此例中a不能为零，在代数式2n+10中，n 是代数班的个数，n不能取分数．

最后，请学生总结出求代数值的步骤：

①代入数值②计算结果

3. 代数式求值法则

---1. 去括号法则：

(1)括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；

(2)括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去括，括号里各项都改变符号

(3)在去括号的运算中，当()前是“-”号时，容易犯的错误是只将第一项变号，而其他项不变.

(4) 去多重括号，有两种方法，一是由内向外，一是由外向内

(5)去多重括号，有两种方法，一是由内向外，一是由外向内

例子:去括号：

(1)-(p+q)+(m-n)； (2)(r+s)-(p-q)

分析：此两题中都分别要去两个括号，要注意每个()前的符号另外第(2)小题(r+s)前实际上是省略了“+”号

解：(1)-(p+q)+(m-n)

=-p-q+m-n；

(2)(r+s)-(p-q)

=r+s-p+q

例去括号-［a-(b-c)］

解法1：原式=-(a-b+c)

=-a+b-c；

解法2：原式=-a+(b-c)

=-a+b-c

---2.添括号法则：

添上“+”号和括号，括到括号里的各项都不变号；

添上“-”号和括号，括到括号里的各项都改变符号；