三角函数图像平移的几种方法讲稿
如何应用三角函数解决几何平移问题
如何应用三角函数解决几何平移问题三角函数是数学中一个非常重要的概念，它在几何学中的应用也非常广泛。
本文将阐述如何应用三角函数解决几何平移问题。
一、基本概念在开始探讨如何应用三角函数解决几何平移问题之前，我们首先需要了解一些基本概念。
几何平移是指将一个图形在平面上按照一定规律沿着某个方向移动一定的距离，并保持图形的形状不变。
平移变换可以通过向量来表示，其中向量的方向表示平移的方向，向量的长度表示平移的距离。
在进行几何平移问题的求解时，我们可以利用三角函数的性质来帮助我们解决。
二、应用一：平移向量的表示在进行几何平移问题的求解时，我们通常会先根据已知条件构造出平移向量。
平移向量可以通过两点之间的坐标差来表示，也可以通过利用三角函数的性质进行求解。
例如，我们考虑将一个点P(x, y)按照向量v(a, b)进行平移，那么平移后的点P'(x', y')的坐标可以表示为：x' = x + ay' = y + b其中，向量v(a, b)表示的是平移的方向和距离。
在这个过程中，我们可以发现x轴和y轴上的平移分别是独立的，因此可以分别进行处理。
这时，我们就可以利用三角函数的性质，将平移向量表示为向量的长度与角度的关系。
三、应用二：平移问题的求解在进行几何平移问题的求解时，我们通常需要确定平移的方向和距离。
可以利用已知条件和三角函数的性质来解决。
例如，假设有一个矩形ABCD，其中矩形ABCD的顶点A的坐标为(0, 0)，顶点B的坐标为(4, 0)，顶点C的坐标为(4, 3)，顶点D的坐标为(0, 3)。
现在需要将矩形ABCD沿着向量v(2, 2)进行平移，求平移后的矩形A'B'C'D'的顶点坐标。
我们可以先求出平移向量的长度和角度。
平移向量的长度可以通过勾股定理来计算，即向量v(a, b)的长度为√(a^2 + b^2)。
平移向量的角度可以通过反三角函数来计算，即角度θ = arctan(b/a)。
三角函数中的平移与伸缩变换
三角函数中的平移与伸缩变换三角函数是数学中的重要概念之一，通过平移和伸缩变换可以对三角函数图像进行调整和变化。
本文将探讨三角函数中的平移与伸缩变换，并说明它们对函数图像的影响。
一、平移变换平移变换是指将函数图像沿着坐标轴平行移动的过程。
在三角函数中，平移变换会改变函数的水平位置。
具体而言，对于三角函数y = f(x)，平移变换可以表示为y = f(x ± b)，其中b为平移量。
1. 正弦函数的平移变换正弦函数y = sin(x)在平移变换下，可以写作y = sin(x ± b)。
当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
2. 余弦函数的平移变换余弦函数y = cos(x)的平移变换形式为y = cos(x ± b)。
与正弦函数类似，当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
3. 正切函数的平移变换正切函数y = tan(x)在平移变换下，可以写作y = tan(x ± b)。
与正弦函数和余弦函数不同，正切函数的平移变换会导致图像的水平拉伸与压缩。
当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
二、伸缩变换伸缩变换是指将函数图像在x轴或y轴上进行拉伸或压缩的过程。
在三角函数中，伸缩变换会改变函数图像的形状和振幅。
具体而言，对于三角函数y = f(x)，伸缩变换可以表示为y = af(bx)，其中a为纵向伸缩因子，b为横向伸缩因子。
1. 正弦函数的伸缩变换正弦函数y = sin(x)在伸缩变换下，可以写作y = a sin(bx)。
纵向伸缩因子a决定了函数图像的振幅，a越大，则振幅越大；a越小，则振幅越小。
横向伸缩因子b决定了函数图像的周期，b越大，则周期越短；b越小，则周期越长。
2. 余弦函数的伸缩变换余弦函数y = cos(x)的伸缩变换形式为y = a cos(bx)。
三角函数图象的平移和伸缩
3得 y =A sin(x +)的图象⎯向⎯上平(⎯移kk⎯个)或单向⎯位下长⎯(k度⎯)→ 得 y = A sin(x +)+k 的图象．y = sin x纵坐标不变横坐标向左平移 π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短 为原来的1/2y = sin(x + )y = sin(2 x + )横坐标不变纵坐标伸长为原 来的3倍先伸缩后平移纵坐标伸长(A 1)或缩短(0A 1)y =sin x 的图象 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→y = 3sin(2x +三角函数图象的平移和伸缩函数y = A sin(x +) + k 的图象与函数 y = sin x 的图象之间可以通过变化 A ，，，k 来相互转 化． A ，影响图象的形状，，k 影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由引起的变 换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都 是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 向左(>0)或向右(0)y = sin x 的图象⎯⎯平⎯移⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = sin(x +)的图象横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)到原来的1(纵坐标不变)得 y = sin(x +)的图象 纵坐标伸长(A 1)或缩短(0<A <1) 为原来的A 倍(横坐标不变)横坐标伸长(01)或缩短(1)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 到原来的1(纵坐标不变)向左(0)或向右(0)得 y = A sin(x ) 的图象 ⎯⎯⎯平移⎯个⎯单位⎯⎯→得 y = A sin x (x +)的图象⎯⎯平⎯移k ⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = A sin(x +)+k 的图象．纵坐标不变 y = sin x横坐标缩短 为原来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移 π/6 个单位横坐标不变y = 3sin(2x + )纵坐标伸长为原 3来的3倍例1 将y = sin x 的图象怎样变换得到函数y = 2sin2x + π+1的图象．解：(方法一)①把y = sin x 的图象沿x 轴向左平移π个单位长度，得y = sin x + π的图象；②将所得 图象的横坐标缩小到原来的1，得y =sin2x +π的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得 y = 2sin2x + π的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象．方法二)①把y = sin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y = 2sin x 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1 ，得y = 2sin2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π个单位长度得y = 2sin2x + π的2 8 8 图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象．得 y = A sin x 的图象y = sin2 xy = sin(2x + )说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由y =sin2x 的图象向左平移8π个单位长度得到的函数图象 的解析式是y = sin 2 x + π 而不是y = sin 2x + π ，把y = sin x + π 的图象的横坐标缩小到原来的1 ，得到 的函数图象的解析式是y = sin 2x + π 而不是y = sin 2 x + π ．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将y =sin2x 的图象怎样变换得到函数 y = cos 2x - π的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．=cos 2x -2a - π = cos 2 -2 - 2根据题意，有 2 x - 2a - π = 2 x - π ，得 a =-π ．24 8 所以将y = sin 2x 的图象向左平移π 个单位长度可得到函数y = cos 2x - π 的图象．解： 有y = cos2( x - a ) - π y = sin2 x = cos在y =中以 x - a 代 x ，。
三角函数图像平移的几种方法讲稿
必修4－系列微课讲稿三角函数图像平移的几种方法大家好，本节微课内容是“三角函数图像平移的几种方法”，主要讲三角函数图像平移的多种方法，达到深刻理解三角函数图像之间的关系的目的。
首先， 我们一起来看下面的例题： 函数cos(2)3y x π=+的图像可由函数sin(2)6y x π=-的图像经过怎样的变换得到？ 分析一：大家不难发现这两个三角函数的名称不一样，一般都会怎么想？。
将这两个函数变为同名三角函数，再考虑平移变换.我们考虑将余弦变正弦，应该用哪个诱导公呢？ 大家容易想到诱导公式(1)cos sin()2x x π=-；可得cos(2)sin(2)36x x ππ+=-，由于出现了-2x,这显然不利于平移； 所以我们应当用诱导公式(2)cos sin()2x x π=+；可得5cos(2)sin(2)36x x ππ+=+ 下面看解答过程： 方法一：解：由诱导公式（2）可将cos(2)3y x π=+ 化为5sin(2)6y x π=+,下面待定系数法即可. 设：52()266x x ππα+-=+，解得：2πα= 所以，函数cos(2)3y x π=+ 的图像可由函数sin(2)6y x π=-的图像向左平移 2π个单位得到.请同学们自己完成将正弦变余弦的情况.分析二：我们是否可以从化归的角度来分析呢？请大家看化归路径：sin(2)sin 2cos 2cos(2)63y x y x y x y x ππ=-→=→=→=+； 请看解答过程： 方法二： 解：将函数sin(2)6y x π=- 的图像向左平移12π个单位得到sin 2y x =的函数的图像; 将所得图像向左平移4π个单位得到函数cos 2y x =的图像; 再将所得图像向左平移6π个单位得到cos(2)3y x π=+函数的图像; 所以,函数cos(2)3y x π=+的图像可由函数sin(2)6y x π=-图像向左平移 12462ππππ++=个单位得到.分析三：注意到两个函数的ω都等于2，我们还可以从两个函数图像的最大值点的位置关系，得出第三种解法.方法三： 解：令sin(2)16x π-=，解得,()3x k k Z ππ=+∈ 令：cos(2)13x π+=解得：,()6x k k Z ππ=-+∈ 当k=0时，知相邻两个最大值点的横坐标相差2π个单位,结合位置关系， 可知，函数cos(2)3y x π=+的图像可由 函数sin(2)6y x π=- 的图像向左平移2π单位得到. 小结：方法一的思路是化为同名三角函数；方法二的思路是化归思想；方法三是特殊值法；思维的角度不同，得出的解决方案也不同.希望大家多加体会与练习，培养自己的发散思维能力.谢谢！。
(完整版)三角函数图像平移变换
三角函数图像平移变换由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量"起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换）先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右（ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍（ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左（ϕ＞0）或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin （ωx ＋ϕ)的图象。
1。
为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( A ）A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ D ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位3.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）(A ）向右平移6π个单位长度 （B)向右平移3π个单位长度(C)向左平移6π个单位长度 （D)向左平移3π个单位长度4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是CA sin(2)3y x π=-，x R ∈B sin()26x y π=+，x R ∈C sin(2)3y x π=+，x R ∈D sin(2)32y x π=+,x R ∈5.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像B（A)向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位6.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象AA 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度7。
三角函数的左右平移和伸缩变换 比赛课 ppt课件
y=si2n0（20/122x/2+7π/3 ）
0
1
0 -1
7
0
-π/6 1
5π/6
y=sin2x
O -1
π/2
π
x
y=sin(2x+π/3)
图像左平移π/6个单位
y=sin2x
y=sin（2x+π/3）
2020/12/27
=sin2（x+π/6）
8
三、解决问题
例、 y=sinx图像如何变为y=sin（2x+ π/3 )图 像？
4
二、实验探究 探究一、y=sin （x+ π/3） 图像与 y=sin（2x+ π/3 )图像关系
y=sin2x与 y=sin（2x+ π/3 )五个关键点之间
有何关系？
x+ π/3
0
2
3 2
2
x
-π/3 π/6 2π/3 7π/6 5π/3
y=si（ x+π/3） 0
1
0
-1
0
2x+π/3
3
2020/12/27
3
6
二、实验探究
探究二、y=sin2x 图像与y=sin（2x+ π/3 ) 图像关系
y=sin2x与 y=sin（2x+ π/3 )五个关键点之间
有何关系？
2x
0
2
3 2
2
x
0 π/4
π/2 3π/4 π
y=sin2x
0
1
0-1Biblioteka 02x+π/3
0
2
3 2
2
x
-π/6 π/12 π/3 7π/12 5π/6
三角函数的平移与伸缩
三角函数的平移与伸缩三角函数在数学中占据着重要的地位，其在几何、物理、工程等各个领域都有广泛的应用。
而三角函数的平移与伸缩是对原本的函数图像进行操作，使其在坐标系中发生移动和变形。
本文将探讨三角函数的平移与伸缩，以及其对函数图像的影响。
1. 平移变换平移是指将函数图像沿着坐标系的横轴或纵轴方向进行移动。
对于正弦函数y = sin(x)和余弦函数y = cos(x)，平移操作可以通过改变自变量x发生。
如果横轴上的平移量为a，那么正弦函数的平移变换可以表示为y = sin(x - a)，余弦函数的平移变换可以表示为y = cos(x - a)。
这样，原本位于x轴上的函数图像将平移至新的位置。
2. 伸缩变换伸缩是指通过改变函数图像在坐标系中的大小和形状来实现。
伸缩操作可以通过改变函数的自变量或因变量进行。
对于正弦函数和余弦函数，分别称为sine函数和cosine函数，它们的伸缩变换形式可以表示为y = A*sin(Bx)和y = A*cos(Bx)。
其中，A和B分别代表着振幅和周期。
振幅A决定了函数图像在纵向上的幅度，而周期B则决定了函数图像在横向上的重复性。
当A增大时，函数图像的“峰”和“谷”之间的距离增大，振幅变大；反之，当A 减小时，振幅变小。
当B增大时，函数图像在横轴方向上的周期变长，每个周期内包含更多的“峰”和“谷”；反之，当B减小时，周期变短，每个周期内的“峰”和“谷”减少。
综合平移和伸缩，我们可以得到更加复杂的三角函数的变换。
例如对于正弦函数y = sin(x)进行平移和伸缩的组合操作，可以表示为y =A*sin(B(x - C)) + D。
其中C为平移量，A为伸缩因子，D为上下方向的平移量。
同样地，对于余弦函数也可以进行类似的操作。
三角函数的平移与伸缩在实际应用中起到了重要的作用。
它们能够改变函数图像在坐标系中的位置和形状，进而影响到相关问题的解决。
例如在物理学中，正弦函数和余弦函数可以用来描述周期性现象，如电磁波的传播及机械振动等。
数学一对一教案 三角函数图像平移
教学内容三角函数图像及其性质 教学目标1、 掌握正弦函数图像及其性质2、 掌握余弦函数图像及其性质3、 掌握正切函数图像及其性质教学重、难点利用三角函数图像及其性质解决问题1一、图像平移知识点函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．一．选择题1．sin480︒等于（ ） A ．12- B ．12C ．32-D ．322．已知2πθπ<<,3sin()25πθ+=-，则tan(π-θ)的值为（ ） A ．34 B ．43 C ．34- D ．43-3．函数y = sin(2x+25π)的图象的一条对称轴方程是 （ ） A ．x = －2π B ．x =－4π C ．x = 8πD ．x =45π4．下列四个函数中，同时具有性质（ ）①最小正周期为π； ②图象关于直线3x π=对称的是A ．sin()26x y π=+B ．sin(2)6y x π=+ C ．|sin |y x = D ．sin(2)6y x π=-5．设f(x)=asin(x πα+)+bcos(x πβ+)，其中a 、b 、α、β都是非零实数，若f(2008)=-1，则f(2009)等于 （ ）A ．-1B ．1C ．0D ．26.要得到函数y ＝sin(2x －3π)的图象，只须将函数y ＝sin2x 的图象 （ ）A.向左平移3πB.向右平移3πC.向左平移6πD.向右平移6π。
第二章 第6节 “关键点法”求三角函数图象平移-解析版
第6节 “关键点法”求三角函数图象平移知识与方法三角函数的图象平移问题有三大类：①给出原解析式和平移方法，求平移后的解析式；②给出平移后的解析式和平移方法，求原解析式；③给出原解析式和平移后的解析式，求平移方法.下面通过一些实例来讲解这些问题如何处理，以及“关键点法”的技巧如何使用.典型例题 【例题】将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位，得到的函数的解析式为y =________. 【解析】由题意，平移后的解析式应为sin 2sin 21236y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【答案】sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 变式1 若将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x =________. 【解析】由题意，将sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭向右平移12π个单位，就可以得到函数()y f x =的图像， 所以()sin 2sin 21263f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝=⎭⎝⎭⎣⎦. 【答案】sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 变式2 为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）个单位. A.向左平移6π B.向右平移6π C.向左平移12π D.向右平移12π 【解析】sin 2sin 236x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2sin 2612x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 对比两个解析式发现在sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中将x 换成12x π+，可以得到sin 212y x π-=⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选C. 【答案】C变式3 为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数5cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）个单位. A.向左平移6π B.向右平移6π C.向左平移12π D.向右平移12π 【解析】解法1：5cos 2cos 2sin 2sin 263236y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， sin 2sin 2612x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对比两个解析式发现在sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中将x 换成12x π+，可以得到sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选C. 解法2：令262x ππ-=可得3x π=，令5206x π-=可得512x π=，因为512312πππ-=所以选C. 【答案】C【反思】解法2的基本原理是利用两个函数图象上的最大值点来求解平移.例如，从上面的求解过程可以看到，5cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上的一个最高点是5,112A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上的一个最高点是,13B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么将点A 移动到点B ，需要向左平移12π个单位，而这两个图象通过平移，不难发现，只要使得有一个最高点重合，则整个图象必定是重合的，从而得出答案.所以这一技巧的规则总结起来就是：求出各自的一个最高点，观察平移.还不明白的同学去看看视频吧.变式4 为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数5cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）个单位. A.向左平移23π B.向右平移23π C.向左平移712π D.向右平移712π 【解析】解法1：sin 2cos 2cos 26266y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 55cos 2cos2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对比两个解析式发现在5cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中将x 换成712x π+可以得到cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选C. 解法2：sin 2sin 266y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令262x ππ-=可得6x π=-，令5206x π-=可得512x π=，因为5712612πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以选C. 【答案】C【反思】前面有负号时，先把负号拿到括号里面，再来找最高点.强化训练1.（★★）将函数cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，得到的图象的解析式为________. 【解析】由题意,平移后的解析式应为cos 2cos 26412y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【答案】cos 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2.（★★）若将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位，得到函数sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则()f x =________. 【解析】由题意，将sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移3π个单位，就可以得到函数()y f x =的图象， 所以()3sin 2sin 2sin 2cos 23124424f x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【答案】cos 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 3.（★★）为了得到函数cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数cos 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）个单位. A.向左平移2π B.向右平移2π C.向左平移6π D.向右平移6π 【解析】cos 3cos3412x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 3cos3412x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 对比两个解析式发现在cos312y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中将x 换成6x π-，可以得到cos312y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故选D.【答案】D4.（★★★）为了得到函数2sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数cos 44y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）个单位. A.向左平移1724π B.向右平移1112π C.向左平移17148π D.向右平移17148π 【解析】解法1：33cos 4sin 4sin 4sin 4424416x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2sin 4sin 436x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对比两个解析式发现在3sin 416y x π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭中将x 换成1748x π-， 可以得到sin 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选D. 解法2：令404x π+=可得16x π=-，令2432x ππ-=，可得724x π=，因为717162448πππ--=-，所以选D. 【答案】D 5.（★★★）为了得到函数cos 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）个单位. A.向左平移3π B.向右平移3π C.向左平移6π D.向右平移6π 【解析】解法1：sin 2sin 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 2sin 2sin 233212y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对比两个解析式发现在sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中将x 换成6x π-可以得到sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选D. 解法2：令262x ππ+=可得6x π=，令23x ππ+=可得3x π=，因为636πππ-=-所以选D. 【答案】D。
人教版高中数学必修四课件：1.5 三角函数图像平移伸缩变换(共22张PPT)
x
sin x 2sin x 1 sin x 2
y
2
1
o
-1 -2
0
2
3
2
2
0
1
0
-1 0
0
2
0
-2 0
0
1
2
0
1 2
0
y=2sinx y=sinx
y= 12sinx
2
3
2
2
x
小结1 函数 y Asin x, x R 的图象
（其中A 0且 A 1）
可以看作把正弦曲线上所有点的
纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当
0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）
而得到． A的作用
引起值域 改变
纵向伸缩
函数 y Asin x, x R 的值域是 A, A
问题2
在同一坐标系中作出函数y=sin2x 及图y象=间sin的12关x的系简。图，并指出它们y=sinx
x
0
4
• 再把所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当
0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）, 得到
y=Asin( x+ )。
变换2:
函数y=Asin(x+ )(其中A>0, >0)的
图象，可看作由下面方法得到：
• 把y=sinx图象上所有点的横坐标缩短(当
>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的 1 倍
函数y Asin(x )的图像
复习：
2．用五点法作函数 y sin x, x 0,2
解答三角函数图象平移问题的技巧
解题宝典三角函数图象平移问题是高考数学中的“常客”.解答此类问题，要求同学们熟练掌握各种三角函数图象的性质、特征以及图象平移的技巧.本文结合一道例题来探究一下解答三角函数图象平移问题的三种技巧：化同名法、逆向思维法、数形结合法.题目：若想得到函数y =sin(2x +π3)的图象，只需要将y =cos 2x 的图象向右平移ϕ个单位，求ϕ的值.解答本题，我们需将两个函数的名称统一起来，结合函数的图形来分析.这里有三种解答方法.一、化同名法化同名法是指运用同角三角函数的基本关系与诱导公式，将不同名称的三角函数化为函数名称相同的三角函数式的方法.在解答三角函数图象平移问题时，我们可以首先利用化同名法，将题目中的三角函数式的名称统一起来，然后再将图象进行平移.解：因为y =cos 2x =sin æèöø2x +π2，则y =sin æèöø2x +π2¾®¾¾¾¾¾¾¾¾向右平移ϕ个单位y =sin[2(x -ϕ)+π2]=sin æèöø2x -2ϕ+π2，所以-2ϕ+π2=π3，解得ϕ=π12.在解题的过程中，我们遵循“先化同名，再平移”的原则，利用诱导公式cos α=sin æèöøα+π2将y =cos 2x转化为正弦函数y =sin æèöø2x -2ϕ+π2，进而建立关于ϕ的关系式，求得ϕ的值.二、逆向思维法逆向思维法是指采取反向思维解决问题的方法.在解答三角函数图象平移问题时，我们可以结合所学的知识，由所求目标逐步向已知条件推导，通过平移图形，得到满足题意的关系式，进而求得结果.解：y =sin æèöø2x +π2¾®¾¾¾¾¾¾¾¾向右平移ϕ个单位y =sin[2()x +ϕ+π3]=sin æèöø2x +2ϕ+π3，则sin æèöø2x +2ϕ+π3=cos 2x ，又因为cos 2x =sin æèöø2x +π2，所以2ϕ+π3=π2，所以ϕ=π12.解答本题，需把函数y =sin(2x +π3)的图象向左平移ϕ个单位得到y =sin æèöø2x +2ϕ+π3，再利用诱导公式cos α=sin æèöøα+π2求得ϕ的值.运用逆向思维法来解题，能帮助我们拓宽解题的思路.在实际做题的过程中，同学们要注意转换思维.三、数形结合法数形结合法是解答三角函数问题的常用方法.在解答三角函数图象平移问题时，我们可以首先结合题意绘制出相应的图形，然后分析已知的和所求的三角函数的图象，通过对比建立关系式，找到解题的思路.解：首先绘制出y =cos 2x 和y =sin(2x +π3)的图象，由图可知y =cos 2x 图象的最高点为G ()0,1，y =sin(2x +π3)图象的最高点E æèöøπ12,1.所以y =cos 2x ¾®¾¾¾¾¾¾¾¾向右平移ϕ个单位y =sin(2x +π3)，就可以转为G ()0,1¾®¾¾¾¾¾¾¾¾向右平移ϕ个单位E æèöøπ12,1，所以ϕ=π12.这里主要运用了数形结合法，通过比较函数y =cos 2x 与函数y =sin(2x +π3)图象的最高点，建立关于ϕ的关系式，求得ϕ的值.数形结合法比较直观，能帮助我们快速找到解题的思路.三角函数图象平移问题较为灵活，没有固定的解法.但是我们在解题的过程中，只要运用发散思维，从多个不同的角度进行分析，就可以得到多种不同的解题方法.（作者单位：安徽省宿州学院附属实验中学）任杰43Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
三角函数的平移与伸缩变换
三角函数的平移与伸缩变换三角函数是数学中常见的函数类型之一，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在数学中，我们常常需要对函数进行变换，以适应不同的需求。
其中，平移和伸缩变换是常用的操作，可用于改变函数的图像以适应不同的参数和条件。
本文将介绍三角函数的平移和伸缩变换的概念、方法和应用。
平移变换是指将函数图像上下左右移动，而不改变其形状。
平移变换的一般形式是f(x) → f(x - a)，其中 a 为平移的距离。
对于三角函数来说，平移变换会改变函数图像的水平和垂直位置。
以正弦函数为例，平移变换可以描述如下：f(x) = A * sin(B * (x - C)) + D其中 A、B、C、D 为常数。
A 控制振幅（垂直拉伸或压缩），B 控制周期（水平拉伸或压缩），C 控制平移（左右平移），D 控制上下平移。
以具体的数值为例，考虑 Y = sin(X) 函数。
如果要将其向右平移π/2 个单位，则可以使用 Y = sin(X - π/2) 实现。
这使得函数图像水平向右平移π/2 个单位。
伸缩变换是指改变函数图像的形状，而不改变其位置。
伸缩变换的一般形式是f(x) → A * f(B * x)，其中 A 和 B 为常数。
对于三角函数来说，伸缩变换会改变函数图像的振幅和周期。
以正弦函数为例，伸缩变换可以描述如下：f(x) = A * sin(B * x)其中 A 为振幅，B 为周期。
A 控制振幅的拉伸和压缩，B 控制周期的拉伸和压缩。
以具体的数值为例，考虑 Y = sin(X) 函数。
如果要将其振幅扩大两倍，则可以使用 Y = 2 * sin(X) 实现。
这使得函数图像在 y 轴方向上拉伸为原来的两倍。
在实际应用中，三角函数的平移和伸缩变换可以方便地用于数据处理、信号处理等领域。
例如，对于一组采样数据，可以通过平移变换将其对齐，以方便比较和分析。
而对于时域信号处理，可以利用伸缩变换改变信号的频谱特性，以达到滤波、降噪等目的。
三角函数图象的平移和伸缩
三角函数图象的平移和伸缩函数 y Asi n ( x) k的图象与函数 y sin x 的图象之间可以通过变化 A，，，k来相互转化． A，影响图象的形状，，k影响图象与x 轴交点的位置．由 A 引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩y sin x 的图象向左 ( >0) 或向右 (0)平移个单位长度得 y sin( x) 的图象横坐标伸长 (0<<1) 或缩短 ( >1)到原来的1(纵坐标不变 )得 y sin(x) 的图象纵坐标伸长 ( A 1) 或缩短 (0< A <1)为原来的 A倍 (横坐标不变 )得 y Asin(x) 的图象向上 ( k 0) 或向下 ( k 0)平移 k 个单位长度得 y Asin( x) k 的图象．y sin x纵坐标不变横坐标向左平移π/3个单位纵坐标不变横坐标缩短为原来的 1/2横坐标不变纵坐标伸长为原来的 3倍先伸缩后平移y sin x 的图象纵坐标伸长 ( A 1)或缩短 (0 A 1)为原来的 A倍( 横坐标不变 )y sin(x)3y sin(2x)3y 3sin(2x)3得 yAsin x 的图象 横坐标伸长 (0 1) 或缩短 ( 1)到原来的 1(纵坐标不变 )得 yAsin( x) 的图象向左 ( 0)或向右 ( 0)平移个单位得 yAsin x( x ) 的图象向上 ( k 0) 或向下 ( k 0)平移 k 个单位长度得 yA sin( x ) k 的图象．纵坐标不变y sin x横坐标缩短为原来的 1/2纵坐标不变横坐标向左平移π /6个单位横坐标不变纵坐标伸长为原来的 3倍y sin 2xy sin(2x)3y 3sin(2x ) 3例 1 将 y sin x 的图象怎样变换得到函数y 2sin2 xπ1 的图象．4解：（方法一）①把y sin x 的图象沿 x 轴向左平移π个单位长度，得y sin xπ的图象；②将所得44图象的横坐标缩小到原来的1，得 y sin 2xπ的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2 倍，得24y 2sin 2xπ的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移 1 个单位长度得到y2sin 2xπ 1 的图象．44（方法二）①把 ysin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2 倍，得 y 2sin x 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1，得 y 2sin2 x 的图象； ③将所得图象沿 x 轴向左平移 π个单位长度得 y 2sin 2 x π 的 2 88 图象；④最后把图象沿 y 轴向上平移 1 个单位长度得到 y π 1 的图象．2sin 2 x4说明： 无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由 ysin 2x 的图象向左平移π个单位长度得到的函数图象8的解析式是 y sin 2xπ而不是 ysin 2 xπ ，把 ysin xπ的图象的横坐标缩小到原来的1，得到884 2的函数图象的解析式是y sin 2xπ而不是y sin 2 x π ．44 对于复杂的变换，可引进参数求解．例 2将 y sin 2 x 的图象怎样变换得到函数y cos 2 xπ的图象．4分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．解： y sin 2 x cos π2x cos 2x π ，22在 y cos 2xπ中以 x a 代 x ，有 y cos 2( x a)πcos 2x2a π ．222 根据题意，有 2 x 2a π 2x π，得 a π．2 4 8所以将 y sin 2 x 的图象向左平移π个单位长度可得到函数y cos 2xπ 的图象．84。
(完整版)三角函数专题——函数图像的平移
三角函数专题——函数图像的平移（敖 东）三角函数图像的平移问题是高考考试中的一个重要考点，在历年高考中几乎都出现了，同样对于广大考生来说也是一个必须重点掌握的内容，那么我们要任何才能完全掌握这一类型的考题呢！下面我们把此类问题做归纳以下三种类型：类型一：简单→复杂 即由最基本的x A y sin =（或者x A y cos =）的函数图像，如何平移到b x A y ++=)sin(ϕω（或者b x A y ++=)cos(ϕω）的函数图像。
例1 1)32sin(+-=πx y 的函数图像，需要由x y sin =如何平移的到？解：（方法一）由x y sin =先向右平移6π得到)6sin(π-=x y ，再横向压缩到原来得到21倍得到)32sin(π-=x y ，再将图像向上平移1个单位，即得1)32sin(+-=πx y 。
（方法二）由x y sin =先横向压缩到原来的21倍得到x y 2sin =，再向右平移6π得到)32sin(π-=x y ，再将图像向上平移1个单位，即得1)32sin(+-=πx y 。
例2.(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A.cos 2y x = B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =【解析】:将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos 22cos y x x =+=,故选B.类型二：复杂→简单即由b x A y ++=)sin(ϕω（或者b x A y ++=)cos(ϕω）的函数图像，如何平移到x A y sin =（或者x A y cos =）的函数图像。
例3、x y sin =的函数图像，需要由1)32sin(+-=πx y 如何平移的到？方法就是例1中反方向平移，其中左移、右移相应的改为右移、左移，向上平移改为向下平移，压缩改为伸长。
高一三角函数图象的平移和伸缩
三角函数图象的平移和伸缩函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换． 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象． 分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数． 解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭． 根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8a =-． 所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象． 练习1、将函数y=3sin （2x+θ）的图象F 1按向量平移得到图象F 2，若图象F 2关于直线对称，则θ的一个可能取值是（ ）A 、B 、C 、D 、 2、将函数的图象按向量平移，得到y=f （x ）的图象，则f （x ）=（ ）A 、B 、C 、D 、sin （2x ）+3 3、要得到函数y=cos()24x π-的图象，只需将y=sin 2x 的图象（ ） A ．向左平移2π个单位 B.同右平移2π个单位 C ．向左平移4π个单位 D.向右平移4π个单位 4、若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x 轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数1y= sinx 2的图象则y=f(x)是（ ） A ． 1y=sin(2)122x π++ B. 1y=sin(2)122x π-+ C. 1y=sin(2)124x π++ D. 1sin(2)124y x π=-+ 5.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位6.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ D ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位7.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）(A)向右平移6π个单位长度 (B)向右平移3π个单位长度(C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3π个单位长度8.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象AA 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度9.把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（C ） A ．（1－y ）sin x +2y －3=0 B ．（y －1）sin x +2y －3=0 C ．（y +1）sin x +2y +1=0D ．－(y +1)sin x +2y +1=0。
三角函数的平移与伸缩规律探究
三角函数的平移与伸缩规律探究三角函数是高中数学中的重要内容，它包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在学习三角函数的过程中，我们不仅要了解其定义和性质，还需要深入研究平移与伸缩规律。
本文将就三角函数的平移和伸缩规律展开探究，并给出相应的例子进行说明。
一、平移规律1. 正弦函数的平移正弦函数表示为y = A*sin(Bx+C) + D，其中A、B、C、D为常数。
其中C决定了函数的平移效果，具体规律如下：- 当C > 0时，图像向左平移|C|个单位；- 当C < 0时，图像向右平移|C|个单位；例如，对于y = sin(x+π/2)这个函数，其图像相对于y = sin(x) 的图像向左平移π/2 个单位。
2. 余弦函数的平移余弦函数表示为y = A*cos(Bx+C) + D，其中A、B、C、D为常数。
其中C决定了函数的平移效果，具体规律如下：- 当C > 0时，图像向左平移|C|个单位；- 当C < 0时，图像向右平移|C|个单位；例如，对于y = cos(x-π/3)这个函数，其图像相对于y = cos(x) 的图像向右平移π/3 个单位。
3. 正切函数的平移正切函数表示为y = A*tan(Bx+C) + D，其中A、B、C、D为常数。
其中C决定了函数的平移效果，具体规律如下：- 当C > 0时，图像向左平移|C|个单位；- 当C < 0时，图像向右平移|C|个单位；例如，对于y = tan(x-π/6)这个函数，其图像相对于y = tan(x) 的图像向右平移π/6 个单位。
二、伸缩规律1. 正弦函数的伸缩正弦函数表示为y = A*sin(Bx+C) + D，其中A、B、C、D为常数。
其中A决定了函数的纵向伸缩效果，具体规律如下：- 当|A| > 1时，纵坐标增幅变大，图像纵向收缩；- 当0 < |A| < 1时，纵坐标增幅变小，图像纵向拉伸；例如，对于y = 2*sin(x)这个函数，其图像相对于y = sin(x) 的图像纵向收缩了2倍。
三角函数平移
函数 y=sin(x+)(0) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有的点向左(当>0时)或 向右(当<0时)平行移动||个单位而得到的.
所有的点向左( >0)
y=sinx 或向右( <0)平移 y=sin(x+)
| | 个单位
的变化引起图象位置发生变化(左加右减)
φ的作用 左右平移
• 要得到函数 y=sin(x + π/8)的图象，只需将 y=sinx
图象（ A）
A. 向左平移π/8个单位 B. 向右平移π/8个单位
C. 向左平移π/4个单位 D. 向右平移π/4个单位
问题2：
函数y=sinx的图象有什么特征？ 对图象又有什么影响?
如何作出它的图象？
它的图象与y＝sinx的图象又有什么关系呢？
2.y=sinx与y=sinx的图象关系:
例2:作函数
2
间的变化关系. y
1
O
2
2
-1
y sin 2x
4 x
y sin 1 x 2
二、函数y=sinx(>0)图象:
函数 y=sinx (>0且0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的1/ 倍(纵坐标不变)而得到的.
所有的点横坐标缩短(>1)
例1. 作函数y sin(x ) 及y sin(x )的图象。
3
4
xx
34
5
46
34
43
151
46
77
43
xx
43
00
22
33 22
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必修4－系列微课讲稿
三角函数图像平移的几种方法
大家好，本节微课内容是“三角函数图像平移的几种方法”，主要讲三角函数图像平移
的多种方法，达到深刻理解三角函数图像之间的关系的目的。
首先， 我们一起来看下面的例题： 函数cos(2)3y x π=+的图像可由函数sin(2)6
y x π=-的图像经过怎样的变换得到？ 分析一：
大家不难发现这两个三角函数的名称不一样，一般都会怎么想？。
将这两个函数变
为同名三角函数，再考虑平移变换.
我们考虑将余弦变正弦，应该用哪个诱导公呢？ 大家容易想到诱导公式(1)cos sin(
)2x x π=-；可得cos(2)sin(2)36x x ππ+=-，由于出现了-2x,这显然不利于平移； 所以我们应当用诱导公式(2)cos sin()2x x π=+；可得5cos(2)sin(2)36
x x ππ+=+ 下面看解答过程： 方法一：
解：由诱导公式（2）可将cos(2)3y x π
=+ 化为5sin(2)6
y x π=+,下面待定系数法即可. 设：52()266x x π
πα+-=+，解得：2
πα= 所以，函数cos(2)3y x π=+ 的图像可由函数sin(2)6y x π=-的图像向左平移 2
π个单位得到.
请同学们自己完成将正弦变余弦的情况.
分析二：
我们是否可以从化归的角度来分析呢？请大家看化归路径：
sin(2)sin 2cos 2cos(2)63
y x y x y x y x ππ
=-→=→=→=+； 请看解答过程： 方法二： 解：将函数sin(2)6y x π=- 的图像向左平移12
π
个单位得到sin 2y x =的函数的图像; 将所得图像向左平移4
π个单位得到函数cos 2y x =的图像; 再将所得图像向左平移6π个单位得到cos(2)3y x π=+函数的图像; 所以,函数cos(2)3y x π=+的图像可由函数sin(2)6
y x π=-图像向左平移
12462ππππ
++=个单位得到.
分析三：
注意到两个函数的ω都等于2，我们还可以从两个函数图像的最大值点的位置关系，得出第三种解法.
方法三：
解：令sin(2)16x π-=，解得,()3
x k k Z ππ=+∈ 令：cos(2)13x π+=解得：,()6x k k Z π
π=-+∈ 当k=0时，知相邻两个最大值点的横坐标相差
2
π个单位,结合位置关系， 可知，函数cos(2)3y x π=+的图像可由 函数sin(2)6y x π=- 的图像向左平移2
π单位得到. 小结：
方法一的思路是化为同名三角函数；
方法二的思路是化归思想；
方法三是特殊值法；
思维的角度不同，得出的解决方案也不同.希望大家多加体会与练习，培养自己的发散思维能力.
谢谢！
3、在进行班级选举中、小队长时应注意，必须把卫生、纪律部门的检查学生先选举在。