三角函数平移变换方法(重要)张

三角函数平移变换问题的简易判定

三角函数中的正弦、余弦在水平方向上的平移变换、涉及伸缩的平移变换问题是高考命题的热点之一，它主要以选择题的形式出现，为此本文将价绍能迅速、准确做出断定的简易方法.

先来看问题：sin()y A x ωϕ=+的图象可由sin()y A x ωθ=+（0,0A ω>>）的图象作怎样的变换得到？

易知sin()y A x ωθ=+的图象上所有的点都向左（

0ϕθω->）或向右（0ϕθ

ω

-<）

平移θϕωω-个长度单位得到sin(())y A x ϕθ

ωθω

-=+

+，即sin()y A x ωϕ=+的图象.而()ϕθωω---中的

θω-

、ϕ

ω

-可分别看作令sin()y A x ωθ=+和sin()y A x ωϕ=+中“角”的位置的代数式值为0所求得的x 的值.显然点(,0)ϕω-是所得图象上与原来图象上的点(,0)θω-对应，(,0)θ

ω

-是被移动的点

（本文约定被告移动的点为“起”），而(,0)ϕ

ω

-是所得的点（本文约定移动得到的点为“终”），要从

点(,0)θω-

到点(,0)ϕ

ω

-，得沿x 轴平移()ϕθωω---个长度单位，其余各对对应点也如此.

由此，我们得到三角函数平移变换问题的第一种类型及其简易判定方法：

类型一、两个都是“弦”，且振幅相同、变量系数相同的同名函数间的平移变换问题.

简易判定方法：在判断sin()y A x ωϕ=+是由sin()y A x ωθ=+（0,0A ω>>）经过怎样的变换得到时（余弦的亦然），令0x x θωθω+=⇒=-

（起），且令0x x ϕ

ωϕω

+=⇒=-（终）.为直观起见，可在x 轴上标出这两个点（注：要明确“起”和“终”），平移方向是由“起”指向“终”，平移的长度单位个数是()ϕθ

ωω

-

--. 例1.

函数sin(2)6y x π

=-

的图象可由函数sin(2)3

y x π

=+的图象作怎样的变换得到？

解：令203

x π

+

=得6

x π

=-

（起），令206

x π

-

=，得12

x π

=-

（终）显然sin(2)6

y x π

=-

的

图象可由sin(2)3

y x π

=+

的图象向右平移()1264

πππ

-

--=个单位得到.

我们再来看可转化为类型一的以下两种类型：

类型二、两个都是“弦”，且振幅相同、变量系数相同的异名函数间的平移变换问题.（此时只要用公式sin cos()2

π

αα=-化为同名的，即转化为类型一的问题.）

例2.

为了得到函数cos(2)3

y x π

=+

的图象，

只需将函数sin 2y x =的图象做怎样的变换？ 解：sin 2cos(

2)cos(2)22y x x x π

π==-=-，令202x π-=，得4

x π

=（起）

，令203

x π

+

=，得6

x π

=-

（终），显然向左平移

5()4612

π

ππ

--=个长度单位即可. 类型三、两个都是“弦”，且振幅相同、变量系数不相同的异名函数间的平移变换问题.（此时先用公式sin cos()2

π

αα=-将函数化为同名函数，再通过伸缩变换，转化为类型一的问题.）

例3.

要得到函数2y x =的图象，只需将函数2)4

y x π

=+的图象作怎样的变

换“

解：2)2sin(2)2)4244

y x x x ππππ

=

+=--=-，将这函数图象上各点的横坐

标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得2)4y x π

=-，令04x π-=，得4x π=（起），令

2y x =中的“角”为零得0x =（终），显然向左平移

04

4

π

π

-=

个长度单位即可.

注：在将异名（都是“弦”）函数转化为同名函数时，可将被变换的函数名转化，也可将得到的

函数名转化；

当周期不同时，必化为相同后（转化被变换的）才能找“起”和“终”

练习：

1 ．定义

12142334

a a a a a a a a =-,若函数sin 2 cos2x () 1 3

x f x =

,则将()f x 的图象向右平移

3

π

个单位

所得曲线的一条对称轴的方程是 （ ）

A ．6

x π

=

B ．4

x π

=

C ．2

x π

=

D ．x π=

2 ．关于函数

()=2()f x sin x -cos x cos x 的四个结论:P 1:最大值为2;P 2:把函数

()221f x x =-的图象向右平移

4π

个单位后可得到函数2f (x )(sin x cos x )cos x =-的图象;P 3:单调递增区间为[71188

k ,k ππππ++],k Z ∈; P 4:图象的对称中心为(128

k ,π

π+-),k Z ∈.其中正确的结论有 （ ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

3 ．函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A >0,ϕ<

π

2

的图象如图所示,为了得到()sin 3g x x =的图象,只需将()f x 的图象（ ）