2015高考数学解题思维策略第4讲 数学思维的开拓性

第四讲 数学思维的开拓性

一、概述

数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。

“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。

在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。

数学思维的开拓性主要体现在： 一题的多种解法

例如 已知复数z 满足1||=z ，求||i z -的最大值。 我们可以考虑用下面几种方法来解决： ①运用复数的代数形式； ②运用复数的三角形式； ③运用复数的几何意义；

④运用复数模的性质（三角不等式）||||||||||||212121z z z z z z +≤-≤-；

⑤运用复数的模与共轭复数的关系

z z z ⋅=2||； ⑥（数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆1||=z 与r i z =-||有公共点时，

r 的最大值。

一题的多种解释

例如，函数式

2

21ax y =

可以有以下几种解释：

①可以看成自由落体公式

.212

gt s =

②可以看成动能公式

.21

2mv E =

③可以看成热量公式

.212RI Q =

又如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。“1”可以变换

为：

x tg x a b x x x x

a b a a 2222sec ),(log )(log ,cos sin ,,

log -⋅+，等等。

思维训练实例

例1 已知

.1,12222=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax 分析1 用比较法。本题只要证.0)(1≥+-by ax 为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决。

证法1

)()11(21

)(1by ax by ax +-+=

+-

)()(212222

by ax y x b a +-+++=

,0])()[(21

)]2()2[(21

222222≥-+-=+-++-=y b x a y by b x ax a

所以 .1≤+by ax

分析2 运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范。 证法2 要证 .1≤+by ax 只需证 ,0)(1≥+-by ax 即 ,0)(22≥+-by ax 因为 .1,12

2

2

2

=+=+y x b a

所以只需证 ,0)(2)(2

2

2

2

≥+-+++by ax y x b a

即

.0)()(2

2≥-+-y b x a 因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。

分析3 运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等

式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）

证法3 .2,22222y b by x a ax +≤+≤ .

1222

222=+++≤+∴y b x a by ax

即 .1≤+by ax

分析4 三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数同角关系中

的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。

图4－2－1

证法4

,1,12222=+=+y x b a ∴可设 ∴ββααcos ,sin .cos ,sin ====y x b a

∴,1)cos(cos cos sin sin ≤-=+=+βαβαβαby ax

分析5 数形结合法：由于条件12

2

=+y x 可看作是以原点为圆心，半径为1的单位圆，

而

.

2

2

b

a by ax by ax ++=

+联系到点到直线距离公式，可得下面证法。

证法5 （如图4-2-1）因为直线0:=+by ax l 经过

圆

12

2=+y x 的圆心O ，所以圆上任意一点),(y x M 到直线0=+by ax 的距离都小于或等于圆半径1，

即

.

11||||2

2

≤+⇒≤+=++=

by ax by ax b

a by ax d

简评 五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法。除了证法4、证法5的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择。

例2 如果

,0))((4)(2

=----z y y x x z 求证：z y x 、、成等差数列。 分析 1 要证

z y x 、、，必须有z y y x -=-成立才行。此条件应从已知条件中得出。故

此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换。

证法1

,0))((4)(2=----z y y x x z ,

02,0)2(,0)2()(22)(,

044442222222=-+∴

=-+=++⨯-+=-++-+-∴y z x y z x y z x y z x yz y xz xy x xz z

故

z y y x -=-，即 z y x 、、成等差数列。

分析2 由于已知条件具有

x z z y y x ---,,轮换对称特点，此特点的充分利用就是以换元

去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利。 证法2 设

,,b z y a y x =-=-则.b a z x +=-

于是，已知条件可化为：

.0)(04)(22z y y x b a b a ab b a -=-⇒=⇒=-⇒=-+