2015高考数学解题思维策略第4讲 数学思维的开拓性
利用数学思想速解2015年高考数学选择完整
利用数学思想速解2015年高考数学选择题高考命题在突出主干知识，注重基本技能的同时，强调数学思想方法的考查，，问题的设计始终以数学思想为核心，坚持能力立意，全面考查空间想象，抽象概括、数据处理、推理论证、运算求解等能力。
选择题在高考试题中占有较大的分值，能否快速准确地解答好选择题，是高考成功与否的关键因素之一，有些考生解答这类题时，一味地用常规方法埋头推算，往往是小题大作，既容易出错，又浪费时间．如果能抓住选择题“不必叙述推理过程，解法入口宽，方法多，四选一”的特点，利用中学数学常用的数学思想，实施速解，常可事半功倍． 1 分类讨论思想根据实际情况，把所要研究的对象分成几类来讨论，使每一类变得较为简单和具体，便于操作．分类时要注意避免重复和遗漏． 例1 （15年山东理科）设函数31,1,()2,1.xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的取值范围是 (A)2[,1]3 (B) [0,1] (C) 2[,)3+∞ (D) [1,)+∞分析与解答： 由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121a a ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩，解得23a ≥，答案选(C)．例2（15年广东文科）若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200 分析与解答：当4=s 时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有64444=⨯⨯种； 当3=s 时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有27333=⨯⨯种； 当2=s 时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有8222=⨯⨯种； 当1=s 时，p ，q ，r 都是取0，有1种； 所以()100182764=+++=E card ．当0=t 时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种；当1=t 时，u 取2，3，4中的一个，有3种； 当2=t 时，u 取3，4中的一个，有2种； 当3=t 时，u 取4，有1种；所以t ，u 的取值有104321=+++种，同理v ，w 的取值也有10种，所以()1001010=⨯=F card 种，所以()()200100100=+=+F card E card ，故选D ．2 数形结合思想利用函数图像将数的问题（如方程根的问题、解不等式、求最值，求取值范围等）与某些图形结合起来，利用几何图形的直观性，再辅以简单计算，即可迅速得到正确答案． 例３ （15年北京理科）如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤分析与解答：如图所示，把函数x y 2log =的图像向左平移一个单位得到()1log 2+=x y 的图像，1=x 时两图像相交，不等式的解为11≤<-x ，用集合表示解集选C ．例４（15年天津理科）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是 （A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭分析与解答：由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-+--≤≤---<+-=-+2,22220,240,2222x x x x x x x x x x f x f ，即()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤<++=-+2,8520,20,2222x x x x x x x x f x f()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<.例５.（15年新课标1理科）设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数x 0，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ）A.[-，1）B. [-，）C. [，）D. [，1） 分析与解答：设()()12-=x e x g x，()a ax x h -=，由题知存在唯一的整数0x ，使得()0x g 在直线()a ax x h -=的下方。
高中数学解题思维拓展与应用策略
高中数学解题思维拓展与应用策略在高中数学学习过程中，解题思维的拓展与应用策略是非常重要的。
正确的解题思路和方法可以帮助学生更好地应对各种数学题目，提高解题效率和准确性。
本文将探讨几种数学解题思维拓展与应用策略，帮助学生在数学学习中取得更好的成绩。
首先，数学解题思维的拓展需要培养学生的逻辑思维能力。
在解题过程中，学生需要运用正确的逻辑思维，分析问题、归纳规律、进行推理判断。
这样可以帮助学生更好地理解题目的要求，找到解题的方法和路径。
其次，数学解题思维的拓展还需要培养学生的抽象与推导能力。
数学题目常常涉及到具体问题的抽象和推导，学生需要将具体问题转化为数学符号和表达，进行抽象思维和推导推理。
这需要学生掌握数学概念和方法，通过练习和积累不断提高抽象与推导能力。
再次，数学解题思维的拓展需要培养学生的问题转化能力。
有些数学题目可能需要通过对问题的转化来解决，学生需要具备将问题转化为已知条件或者一些已经熟悉的数学概念和方法的能力。
通过不断练习和实践，学生可以提高问题转化的能力，更好地解决数学题目。
另外，数学解题思维的拓展还需要培养学生的创新思维能力。
数学解题不仅仅是机械性的计算和运用公式，更需要学生在解题过程中发现问题、创造性地应用数学知识解决问题。
培养学生的创新思维能力可以帮助他们更好地解决复杂的数学问题，提高解题的效果和质量。
最后，数学解题思维的拓展需要培养学生的实践能力。
数学学科是需要实践的学科，学生需要在解题的过程中灵活运用所学的知识和方法，不断进行实践和探索。
通过实际的解题实践，学生可以更好地理解和应用数学知识，提高解题的能力和水平。
了解了数学解题思维的拓展与应用策略，学生需要在学习中刻意培养这些能力。
可以通过以下方法来帮助学生提高解题思维：1. 多做例题和习题，通过练习来加深对数学知识和方法的理解和掌握。
2. 参加数学竞赛和数学建模等活动，锻炼解题思维和能力。
3. 注重启发式教学，在课堂上引导学生主动思考和解决问题，培养其解题思维能力。
开拓数学思维的方法
开拓数学思维的方法进展学校生数学思维最有效的（方法）是通过解决问题来实现的。
下面是我整理共享的如何开拓数学思维，欢迎阅读与借鉴，盼望对你们有关心!1如何开拓数学思维在实践操作中开拓思维数学问题和数学思维必需由同学在实践活动中理解和把握,这就要求老师在课堂教学中,细心设计教学的各个环节,引导同学通过实践操作,在操作中自主猎取学问、进展思维。
例如:在教学“圆的熟悉”中,先用现实生活中属于圆形的物体举例,使同学熟悉了圆与其他平面图形的不同之处。
至于怎样画圆,老师不用作示范,就让同学自己想方设法大胆尝试。
“你们会画出标准的圆形吗?看谁的方法最好最多?” 同学相互协作,人人动手、动脑,大胆探究,很快大部分同学都学会借用圆形物体(如硬币、墨水瓶盖等)或圆规画圆;然后,老师进一步激励同学进行探究,“假如要建设一个圆形大花坛能用圆规画出来吗?” 这种教学给同学供应了动手操作的机会,鼓舞同学求异创新,大胆探究,使同学的实践力量、思维力量、探究精神及学习爱好得以最大限度的提高。
在多媒体教学中开拓数学思维“数学是思维的（体操）”。
现代化媒体能形象地模拟思维世界,再现思维过程,促使同学由形象思维向（抽象思维）、（发散思维）过渡,逐步进展（规律思维）力量。
例如在教学“圆柱体的侧面积”时,利用多媒体课件先在屏幕上显示一个圆柱体,让同学想象和思索“圆柱体的侧面绽开后是什么外形?”接着,画面上缓缓绽开圆柱体的侧面,使同学清晰地看到圆柱体的侧面绽开后是一个长方形。
此时,老师再提出问题:“你认为长方形的长相当于圆柱体的什么?长方形的宽相当于圆柱体的什么?”让同学思索并再看一下刚才的演示,进而推导出圆柱体侧面积的计算公式。
至此,同学们的思维得到了进一步的发散,他们认为假如不沿着圆柱体的高绽开侧面,那得到的将是一个平行四边形,平行四边形的底相当于圆柱体的底面周长,平行四边形的高相当于圆柱体的高,并争着动手操作、验证。
2如何开拓学校生的（创新思维）一、抓住同学心理特征激发创新爱好。
如何开拓学生的数学思维
如何开拓学生的数学思维数学思维是指基于数学规律和概念思考和推理的能力，包括逻辑推理、分析问题、解决问题、探究规律等方面。
培养学生的数学思维能力是数学教育中的重要任务。
下面是一些如何开拓学生的数学思维的方法。
一、启发式教学启发式教学是指通过一系列有意义的问题、活动和探究让学生自己发现并理解数学规律和概念的一种教学方法。
引导学生寻找问题的本质、构造数学模型、发现规律和结论，培养学生的创造性思维，是开拓学生数学思维的非常有效和实用的方法。
例如，教师可以提出一个具体的数学问题，例如：100个球可以分成多少组，每组至少有2个球？要求学生尝试用不同的方法解决这个问题，可以让学生们尝试手算或者编程来得出正确的答案。
引导学生探究解决不同问题的方法、模式和规律，培养学生的思维能力。
二、辅助工具辅助工具也是开拓学生数学思维的一种方法。
教师可以利用数学软件、电子计算器、平面图模型等辅助工具，帮助学生进行数学建模、探究规律等方面的活动。
例如，使用随机数生成器或者数学软件来生成多组数据，让学生探究这些数据之间可能存在的规律和关系，从而帮助学生理解数学中的各种概念和规律。
三、应用场景数学学习往往太过于抽象，这使得许多学生难以理解和掌握其中的知识和技能。
因此，教师应当将数学知识和技能应用于生活中具体的场景，这可以帮助学生在生活中自主地将数学知识应用于实际问题，提高学生的数学解决问题的能力。
例如，教师可以利用电脑或者其他技术方法创建一个数学模拟系统，让学生在真实场景中进行数学探究和模拟，例如，让学生通过调查分析消费市场等数据，来推测下一年手机销量的预测。
四、小组互动在实际教学中，小组互动经常被认为是一种非常有用的方法。
通过组织小组互动，教师可以让学生分组完成各种任务，例如数学拓展、研究和实践活动。
这种学习方式可以帮助学生互相学习并相互帮助，提高学生的团队合作和沟通能力，从而更好地开拓学生数学思维。
总的来说，数学思维是学生智力和潜能的重要组成部分，是培养未来创新人才的关键，因此教师们应该通过创新的教学方法来开拓学生的数学思维，提高学生的数学学习能力和解决实际问题的能力。
培养学生数学思维能力“四策略”
培养学生数学思维能力“四策略”
数学思维能力是指学生在数学学习中，通过思考、分析和解决问题的过程中所展现出的一种能力。
培养学生数学思维能力是数学教学中的重要任务之一，对于提高学生的数学素养和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍培养学生数学思维能力的“四策略”，分别是启发性教学策略、问题情境化策略、提问导向策略和探究学习策略。
启发性教学策略是培养学生数学思维能力的一种重要方法。
启发式教学是指通过设计引导学生思考和发现问题的数学学习活动，让学生在实践中积累经验、提高思维能力。
在实施启发性教学时，教师应当注重培养学生的观察、分析和归纳能力，引导学生从具体问题中抽象出一般性规律。
教师还应当关注学生的思维过程，通过适当的提示和引导激发学生的思考，帮助学生养成正确的思维习惯。
问题情境化策略是培养学生数学思维能力的另一种重要方法。
问题情境化是指将抽象的数学概念和算法与实际情境相结合，让学生通过解决实际问题来理解和掌握数学知识。
在问题情境化教学中，教师应利用真实的生活情境设计问题，让学生感受到数学在实际生活中的应用价值。
教师还应引导学生主动思考和提问，培养学生的独立解决问题的能力。
探究学习策略是培养学生数学思维能力的一种重要方法。
探究学习是指让学生主动发现和构建知识，通过解决问题提高数学思维能力。
在探究学习中，教师应为学生提供自主学习的机会，让学生自己探索和发现问题的解决方法。
教师还应引导学生进行合作学习，让学生在交流和合作中相互启发和促进，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
精品 2014-2015年 高中数学解题思维策略
x2 y2 x2
3 2 1 9 x 3 x ( x 3) 2 , 2 2 2
当 x 3 时， x 2 y 2 取最大值，最大值为
9 2
这种解法由于忽略了 y 2 0 这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要 注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽 条件，既要注意主要的已知条件， 又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。 有些问题的观察要从相应的图像着手。
1 1 1 1 . 1 2 2 3 3 4 n(n 1)
这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ，因此，原式等于 1 问题 1 n(n 1) n n 1 2 2 3 n n 1 n 1
这个方程指明两个数的和为 2 ， 这两个数的积为 3 。 由此联想到韦达定理，
x 、 y 是一元二次方程 t 2 2t 3 0 的两个根， x 1 x 3 所以 或 .可见，联想可使问题变得简单。 y 3 y 1
1
高中数学
（3）善于将问题进行转化 数学家 G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。 可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重 要的思维方法。 那么怎样转化呢？概括地讲， 就是把复杂问题转化成简单问题， 把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具 体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。 1 1 1 1 例如，已知 , (abc 0, a b c 0) , a b c abc 求证 a 、 b 、 c 三数中必有两个互为相反数。 恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：
高考数学解题的思维策略
高考数学解题的思维策略《解密数学思维的内核》数学问题解决的思维过程数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。
对于数学解题思维过程，g.波利亚提出了四个阶段*（见附录），即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。
这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。
第一阶段：理解问题是解决问题思维活动的开始。
第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。
第三阶段：计划实施是实现问题解决的过程。
它包括一系列基础知识和基本技能的灵活运用，以及思维过程的具体表达。
它是解决问题思维活动的重要组成部分。
第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。
数学问题解决能力为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，为了进一步提高探索的有效性，我们必须掌握一些解决问题的策略。
一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。
基于这种理解，常用的问题解决策略有：熟悉、简化、可视化、专业化、泛化、整合、间接等。
1、熟悉策略所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。
一般来说，对主题的熟悉程度取决于对主题本身结构的理解和理解。
从结构分析来看，任何解决方案都包含两个方面：条件和结论（或问题）。
因此，为了将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，我们可以更加努力地改变条件、结论（或问题）及其联系方式。
常见的方法有：（一）、充分联想回忆基本知识和题型：波利亚认为，在解决问题之前，我们应该充分联想和回忆与原始问题相同或相似的知识点和问题类型，并充分利用类似问题中的方法、方法和结论，从而解决存在的问题。
高中数学解题中思维开拓性的培养方法
四、按分类计数原理解释将n 封信全排列共有n !种,按照装错信封的个数进行分类,装错i 封的种类有C i n·D i 种,i =0,1,…,n ,D 0代表信全都装对,所以D 0=1.由此可得递推关系:n !=∑ni =0C in ·D i .我们将利用一个引理解出D n .引理:若{a n },{b n }是两个数列,对任意n ∈N ∗,a n =∑ni =0C i n ·b i ,则有b n =∑ni =0(-1)n -i C i n ·a i ,n ∈N ∗.证明:若n ∈N ∗,a n =∑ni =0C in ·b i ,则有:∑ni =0(-1)n -i ·C i n ·a i =∑ni =0(-1)n -i ·C i n ·∑ij =0C j i ·b j=∑n i =0∑ij =0(-1)n -i·C i n·C j i·b j =∑n i =0∑ij =0(-1)n -i·C j n·Cn -i n -j·b j =∑nj =0∑ni =j (-1)n -i·C jn ·C n -in -j ·b j=∑nj =0C j n ·b j ·∑ni =j(-1)n -i ·C n -in -j ,这里∑ni =j(-1)n -i ·C n -i n -j =0,j ≠n ;1,j =n.因此∑n j =0C j n ·b j ·∑n i =j (-1)n -i ·C n -in -j =b n .所以b n =∑ni =0(-1)n -iC in·a i ,n ∈N ∗.引理得证.只需令引理中的a n =n !,b n =D n .由引理可得:D n =∑n i =0(-1)n -i·C in ·i !=∑ni =0(-1)n -i·n !(n -i )!=n !·1-11!+12!-13!+…+(-1)nn !.以上对错排问题的几种不同看法,得到了不同的递推关系,但是殊途同归,加深了对错排问题的理解,其结论的形式优美,让我们再次感受到数学的美妙. 参考文献:[1]张仁海.解决“错位排列”问题的一般方法[J ].数学学习与研究,2017(01):114+117.[责任编辑:杨惠民]高中数学解题中思维开拓性的培养方法楚絮影(江苏省阜宁中学高三13班 224000)摘 要:同学们在学习时,必须应用多种方法培养开拓展思维,提高解题水平.本文对此进行了分析研究.关键词:高中;数学;解题;思维;开拓性;培养中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1008-0333(2019)03-0028-02收稿日期:2018-10-25作者简介:楚絮影(2002.3-),女,江苏省阜宁人,在校学生. 开拓性的思维,是指从多个角度来分析问题的特征、多渠道的分析问题的性质、多元化的思考解决问题的策略.只有具备这样的思维,同学们才能灵活地解决各种数学问题. 一、学会全方位地观察问题,找到准确的解题方向 部分同学在分析数学问题时,只能一味地套用现有的数学问题的公式来解决问题,而不能灵活地观察问题,根据数学问题的特征来分析问题.同学们在解决数学问题时,第一,要学会分析问题的特征;第二,要学会根据问题的特征灵活地转换问题.例1 已知a ,b ,c ,d 都是实数,求证:a 2+b 2+c 2+d 2≥(a -c )2+(b -d )2.很多同学一看到这道题,就觉得这个问题很复杂,他们或者应用平方法,或者尝试应用整体换元法,都很难解决问题.同学们要看到,a 2+b 2+c 2+d 2≥(a -c )2+(b -d )2的结构很像三角形的三边性质的问题.设A (a ,b ),B (c ,d ),那么可得AB=(a -c )2+(b -d )2,|OA |=a 2+b 2,|OB |=c 2+d 2,其中O 为平面直角座标系中的原点.根据三角—82—形三边的性质可知OA +OB ≥AB 并且当且仅当O 在AB 上时,等号成立,于是可得a 2+b 2+c 2+d 2≥(a -c )2+(b -d )2成立.在遇到问题时,我们要学会观察问题的特征,它包括问题的性质特征、结构特征等,然后分析这个问题与哪个数学模型的性质很相似.找到一个与问题性质相似的数学模型以后,可以尝试转换问题,应用数学模型的性质来解决问题.如果要拓宽思维,同学们就必须学会全方位的分析问题的特征,准确的找到解题切入点.这是培养思维开拓性的基础. 二、尝试多渠道地分析问题,找到最佳的解题途径 在分析问题的特征时,如果把问题的特征与不同的问题的性质联系起来,便能获得不同的解题途径.在遇到问题时,我们不能应用单一的视角看待问题的特征,而要对问题进行发散联想,把它与不同问题的性质联系起来,找到不同的解题途径.例2 设π4<x <π2,求y =tan2x tan 3x 的最大值.令tan x =t ,因为π4<x <π2,于是可得t >1.将y =tan2x tan 3x 转换为含t 的分式函数,可得y =tan2x tan 3x =2tan 4x1-tan 2x =2t 41-t2=21t 4-1t2=2(1t 2-12)2-14≤2-14=-8,该值为y =tan2x tan 3x 的最大值.如果应用求导的思路,分析函数的单调性,也可获得答案.还可以把该题与均值不等式的特征联系起来解题.在分析出数学问题的特征以后,同学们要积极的联想问题的特征与哪些数学性质相似,然后应用这些数学问题的性质来解题.同学们在解题时,只要愿意积极联想,主动探索,慢慢就会熟悉各种数学问题的性质,看问题的视角就会变得宽阔.在解决问题时,同学们必须训练自己的联想思维能力,这是培养开拓性思维必须具备的能力. 三、尝试多元化的思考问题,找到多种的解题策略 部分同学在解题时,只会应用建立数学问题的关系,精确计算;应用宏观的视角,依照常规的解题流程;应用正向解题的思路,从已知条件分析到未知答案的方法来思考问题.这些同学没有建立以解决问题为需求,应用多元化的解决问题的策略解决问题的思维.同学们必须学会应用多元化的方法思考问题,以免解题思路过于狭窄.例3 已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c =0(a >0),并且满足关系f (2+x )=f (2-x ),请分析f (0.5)与f (π)哪个大.很多同学看到这样的问题,立即应用常规的思路来解决问题,将f (x )=ax 2+bx +c (a >0)与f (2+x )=f (2-x )联立.然而同学们发现应用这样的方法,二次函数f (x )=ax 2+bx +c =0(a >0)存在多个未知元,在不了解每个未知元对函数f x 的影响下,无法了解二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)的增减性.这些同学们没有意识到,该题需要求的答案是分析f (0.5)与f (π)哪个大,即不需要求出二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)的具体解析式.同学们只需要分析出二次函数f (x )=ax 2+bx +c =0(a >0)图象的开口方向、对称轴即可求出答案,依此思路解题,过程如下.由f (2+x )=f (2-x )可知f (x )是以直线x =2为对称轴,开口向上的抛物线,那么可以了解哪个值与x =2距离越近,即函数值越小.因为2-0.5>2-π,所以f (0.5)>f (π).在分析数学问题时,同学们要建立这样一套解题策略:在求数学问题的取值时,分析解题的需求,根据解题需求分析,是必须精确求值,还是可以估算问题的答案,如果只需要估算获得答案,就要运用估算来提高计算的效率;在判断一个关系是否成立的前提下,是不是可以应用特殊取值的方法来判断,还是只能应用传统的分析抽象数学问题的公式来判断,如果能够应用特殊取值的方法来判断,就要应用这样的策略来化解问题;在推导一个数学公式时,是只能应用正向的方法来推导公式,还是可以应用正向、逆向两个方式来推导公式,如果两个方式都可应用,就要分析应用哪种方式推导更简洁.在分析数学问题时,只有具有这样多元化的解题思路,才能够拓宽看问题的视角,找到多种解题策略.在解决问题时,如果同学们拥有开拓性的思维,就能够全方位分析数学问题的特征,找到多个解题切入点;如果能够应用联想的方法,把一个问题的特征与多个数学问题概念的性质结合起来,就能找到多个解题渠道;如果能够应用多元化的解题思维解决问题,就能找到各种解题渠道.同学们必须在学习时,应用这样的方法培养开拓性思维,提高解题水平. 参考文献:[1]姜正凯.高中数学教学中培养数学思维能力的实践研究[J ].语数外学习:数学教育,2013(12).[2]王喜林.数学思维能力在高中数学教学中的培养[J ].中国科教创新导刊,2013(36).[3]蒋林艳.在高中数学教学中培养学生的数学思维能力的实践研究[J ].新课程学习:上,2013(12).[责任编辑:杨惠民]—92—。
高中数学解题思维拓展
高中数学解题思维拓展在高中数学学习过程中，解题思维的拓展对于提升学生的数学能力至关重要。
只有通过不断思考、实践和训练，才能培养学生的解题思维，提高解决问题的能力。
本文将介绍一些拓展高中数学解题思维的方法和技巧。
一、培养逻辑思维能力逻辑思维是解决数学问题的基础。
通过培养逻辑思维能力，学生可以更好地理解问题、发现问题的本质、建立逻辑关系，从而解决问题。
这里有几个拓展逻辑思维能力的方法：1. 推理思维：通过学习数学定理和公式，学生可以利用推理思维解决一些复杂的数学问题。
通过不断训练，学生可以提高自己的推理思维能力，将已知条件与推理结论相结合，得出正确的解答。
2. 归纳思维：学生可以通过总结、归纳已经学过的知识点，将其应用到解决新问题的过程中。
通过不断归纳和总结，学生可以培养出辨别问题的能力，对于类似问题可以迅速找到解题的思路。
3. 分类思维：数学问题可以有不同的解法和方法，学生可以通过分类思维将问题进行分类，找到解决问题的最佳方法。
通过分类思维，学生可以培养出灵活思维，提高解题效率。
二、培养问题意识和观察力数学问题的解答往往涉及到问题意识和观察力。
通过培养学生的问题意识和观察力，可以帮助他们更好地理解问题，并找到解决问题的方法。
以下是几个培养问题意识和观察力的方法：1. 练习思维导图：学生可以通过思维导图的方式将问题的各个要点整理出来，并进行逻辑连接。
这样可以帮助学生更好地理解问题的结构和关键要素，提高问题分析和解决问题的能力。
2. 多角度观察问题：同一个问题可以从不同的角度进行分析和解答。
鼓励学生从多个角度来观察和分析问题，可以帮助他们培养发现问题本质和解决问题的能力。
3. 实践操作：数学问题的解决往往需要通过实践操作来验证。
鼓励学生在实际生活中多进行探索和实践操作，可以提高他们的观察力和解决问题的能力。
三、锻炼创新思维能力创新思维能力是解决数学问题的关键。
通过培养学生的创新思维能力，可以帮助他们在解决问题的过程中找到新的思路和方法。
数学思维的拓展——提升学生数学思维能力的教学设计方案
数学思维的评价标准
问题解决过程
注重思路和方法 考虑解题步骤
逻辑推理
从因果关系出发 以合理论证为重点
创新能力
独立思考能力 灵活运用知识
数学思维的拓展策略
01 引导学生提出问题
激发求知欲望
02 培养逻辑推理能力
训练辨析和推导能力
03 鼓励创造性思维
促进思维灵感
● 03
第3章 数学思维的培养策略
跨学科融合
作能力
通过游戏化学习
数学建模项目
解决现实问 题
参与实际项目
提高实践操 作和创新思
维
参与项目
培养分析和 解决问题能
力
学生数学建模
数学思维导向教学
数学思维导向教学是根据学生的思维水平设计个 性化教学方案，引导学生运用数学思维解决问题， 帮助他们克服学习困难，建立自信。
数学思维拓展案例分析
01 数学竞赛训练
数学思维的发展历程
基础数学运 算
培养学生的数学 思维
创新思维
借助数学问题培 养学生的创新能
力
抽象思维
引导学生进行推 理和解决问题
数学思维培养的挑战
缺乏兴趣
焦虑与恐惧
教学模式
学生对数学缺乏兴趣和动 力
学生面对复杂问题时表现 出焦虑和恐惧
传统的数学教学模式难以 满足培养数学思维的需求
提升学生数学思维的教学目标
培养快速思维和逻辑推理能力
02 数学游戏设计
锻炼实际运用数学知识的能力
03 数学建模项目
提高实践操作和创新思维
综合分析
数学竞赛训练
数学游戏设计
锻炼学生思维和解题能力 培养快速思维和逻辑推理
锻炼实际运用数学知识 培养团队合作能力
2015高考数学冲刺：非常有效的5大解题思路
2015高考数学冲刺：非常有效的5大解题思路高考数学解题思想一：函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系(或构造函数)运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。
利用转化思想我们还可进行函数与方程间的相互转化。
高考数学解题思想二：数形结合思想中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。
它既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此我们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。
高考数学解题思想三：特殊与一般的思想用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，我们可以直接确定选择题中的正确选项。
不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样精彩。
高考数学解题思想四：极限思想解题步骤极限思想解决问题的一般步骤为：(1)对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量;(2)确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;(3)构造函数(数列)并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。
高考数学解题思想五：分类讨论常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下去，这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解，这就是分类讨论。
引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法则、某些定理、公式的限制，图形位置的不确定性，变化等均可能引起分类讨论。
在分类讨论解题时，要做到标准统一，不重不漏。
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高中数学解题思维拓展方法
高中数学解题思维拓展方法在高中数学学习中，解题是最核心的部分。
很多学生对于解题方法有一定的局限性，只会机械地套用公式和方法，缺乏思维的拓展和创新。
因此，本文将介绍一些高中数学解题思维拓展方法，帮助学生提高解题能力。
1. 分析问题在解题前，首先需要仔细分析问题，明确题目的要求和限制条件。
这个步骤对于解题至关重要，因为只有充分理解问题，才能找到正确的解决思路。
可以通过标注关键词、划分问题类型、列出已知条件等方式帮助自己更清晰地理解问题。
2. 寻找启发有时候，我们在解题过程中会遇到一些困难或者陌生的问题。
这时候，可以通过寻找启发来解决。
启发可以来自于类似的题目、相关的概念或者例题，通过对这些启发的学习和理解，可以帮助我们找到解决问题的思路和方法。
3. 创新思维解题不仅仅是机械地运用方法和公式，更要有创新的思维。
可以尝试从不同的角度去思考问题，运用不同的方法解题。
比如，可以尝试逆向思维，从结果出发反推过程；也可以尝试类比思维，将问题转化为已知的问题进行解答。
这样的创新思维可以帮助我们更深入地理解数学问题，提高解题的能力。
4. 探索实践在解题过程中，不要过于依赖老师或者教材的给出的题目和解答。
可以尝试自己设计一些有趣的问题，进行探索和实践。
通过自己的探索，可以深入理解数学概念和定理，加深对数学的理解和掌握。
5. 多角度思考解题的过程中，可以尝试从多个角度去思考问题。
比如，可以从代数的角度、几何的角度、概率的角度等多个角度来解决同一个问题。
通过不同角度的思考，可以拓宽解题思路，找到更多解题方法。
6. 联系实际解题的过程中，可以将数学问题与实际生活中的问题联系起来，寻找实际背景和应用场景。
通过将数学问题与实际问题联系起来，可以加深对数学知识的理解和记忆，提高解题的效果。
7. 总结归纳解题后，及时进行总结和归纳。
可以将解题的思路、方法、关键步骤等进行记录，形成解题模板和思维导图。
这样可以帮助我们更好地复习和记忆解题方法，提高解题的速度和准确性。
如何开拓学生的数学思维
如何开拓学生的数学思维思维起源于观察，观察又给思维提供资料。
教师在教学实践中动手操作或让学生自己动手操作，最能唤起学生的兴趣，保持学生稳定的注意力。
下面小编给大家整理了关于如何开拓学生的数学思维，希望对你有帮助!1如何开拓学生的数学思维在实践操作中开拓思维数学问题和数学思维必须由学生在实践活动中理解和掌握,这就要求老师在课堂教学中,精心设计教学的各个环节,引导学生通过实践操作,在操作中自主获取知识、发展思维。
例如:在教学“圆的认识”中,先用现实生活中属于圆形的物体举例,使学生认识了圆与其他平面图形的不同之处。
至于怎样画圆,教师不用作示范,就让学生自己想方设法大胆尝试。
“你们会画出标准的圆形吗?看谁的方法最好最多?” 学生相互协作,人人动手、动脑,大胆探索,很快大部分学生都学会借用圆形物体(如硬币、墨水瓶盖等)或圆规画圆;然后,教师进一步激励学生进行探索,“如果要建设一个圆形大花坛能用圆规画出来吗?” 这种教学给学生提供了动手操作的机会,鼓励学生求异创新,大胆探索,使学生的实践能力、思维能力、探索精神及学习兴趣得以最大限度的提高。
在游戏过程中开拓数学思维作为教师,要善于抓住学生的好奇心,通过认真钻研教材,把数学特有的严谨、抽象、简洁、概括等属性以巧妙的形式展现在学生面前,以引发学生的求知欲望。
例如,教学“时、分的认识”时,可让学生猜谜:“小小圆形运动场,三个选手比赛忙,跑的路程有长短,最后时间一个样。
”生动形象且富有感染力的语言,形象地揭示了钟面的特点和时、分、秒间的关系,从而激发了儿童学习新知识的兴趣。
又如,教学“反比例的认识”时,教师可让学生做一个活动,先请12位同学走上讲台,按老师的要求站队。
依次是每行站2人;每行站3人;每行站4人;每行站6人;每行站12人;观察每次站了几行,并做记录。
通过生动有趣的游戏,形象揭示了成反比例关系的量的特点,也激发了学生的求知欲望。
在多媒体教学中开拓数学思维“数学是思维的体操”。
高中数学解题思维策略
第四讲 数学思维的开拓性一、概述数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。
“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。
我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。
通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。
从而培养创新精神和创造能力。
在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。
数学思维的开拓性主要体现在：(1)一题的多种解法例如 已知复数z 满足1||=z ，求||i z -的最大值。
我们可以考虑用下面几种方法来解决：①运用复数的代数形式；②运用复数的三角形式；③运用复数的几何意义；④运用复数模的性质（三角不等式）||||||||||||212121z z z z z z +≤-≤-； ⑤运用复数的模与共轭复数的关系z z z ⋅=2||；⑥（数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆1||=z 与r i z =-||有公共点时，r 的最大值。
(2)一题的多种解释 例如，函数式221ax y =可以有以下几种解释： ①可以看成自由落体公式.212gt s = ②可以看成动能公式.212mv E = ③可以看成热量公式.212RI Q = 又如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。
“1”可以变换为：x tg x a b x x xx a b a a 2222sec ),(log )(log ,cos sin ,,log -⋅+，等等。
1． 思维训练实例例1 已知.1,12222=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax分析1 用比较法。
高中数学解题思维策略
一、《高中数学解题的思维策略》导读数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：一、数学思维的变通性根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案二、数学思维的反思性提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。
三、数学思维的严密性考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。
四、数学思维的开拓性对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。
什么”转变，从而培养他们的思维能力。
《策略》的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了全面验证。
第一讲 数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。
根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：（1）善于观察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。
观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。
要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
例如，求和)1(1431321211+++⋅+⋅+⋅n n . 这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且111)1(1+-=+n n n n ，因此，原式等于1111113121211+-=+-++-+-n n n 问题很快就解决了。
（2）善于联想联想是问题转化的桥梁。
稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。
因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
数学解题思维拓展高中数学题目的解题思维方法与策略
数学解题思维拓展高中数学题目的解题思维方法与策略数学是一门需要思维拓展和策略运用的学科。
在高中数学学习中，解题思维的拓展和方法的运用是提高解题效率和解题能力的关键。
本文将从解题思维的拓展和策略运用两个方面，探讨高中数学题目的解题方法与策略。
一、解题思维的拓展1. 多角度思考在解题过程中，可以从不同的角度进行思考。
例如，在解决几何问题时，可从图形特征、相似性质、三角形等角关系等多个角度进行思考，从而得到更多的启示和解题思路。
2. 灵活运用已知条件在解题时，应充分利用已知条件，通过分析条件之间的关系，寻找蛛丝马迹。
有时一个暗示性的条件可能是解题的关键所在，因此在问题分析时，不可遗漏任何一个已知条件。
3. 建立联系不同的数学知识点之间有着内在的联系，通过建立数学知识之间的联系，可以帮助我们更好地理解问题和解决问题。
建立联系的方式多种多样，例如类比思维、归纳分析等。
4. 迁移思维将解决某类问题的思路和方法迁移到其他问题上，从而拓展解题思维。
例如，在解决代数问题时，可以借鉴几何问题的解题思路，或者利用函数的性质解决不等式问题。
二、策略运用1. 分析问题在解题前，应先将问题进行全面分析，明确问题的目标和要求，并根据具体情况选择合适的解题方法。
分析问题有助于帮助我们理清思路，避免陷入盲目猜测的困境。
2. 构建数学模型数学问题往往可以通过构建数学模型来解决。
构建数学模型的关键是将实际问题转化为数学问题，然后运用相应的数学方法进行求解。
因此，培养构建数学模型的能力对于解决高中数学问题至关重要。
3. 探索性解题探索性解题是指在解题过程中，通过试验、观察和推理，不断尝试不同的方法和思路，以找到解题的线索和规律。
这种解题方法能够培养学生的创造性思维和问题解决能力。
4. 反思总结解题过程中需要不断进行反思和总结，找出解题中的问题和不足之处，并寻找改进的方法。
通过反思总结，可以提高解题的效率和质量，从而更好地应对高中数学题目的挑战。
高中数学解题思维的培养策略
高中数学解题思维的培养策略高中数学对于很多学生来说是一门具有挑战性的学科，其中解题是学好数学的关键环节。
培养良好的解题思维不仅能够帮助学生提高解题效率和准确性，还能增强他们对数学知识的理解和应用能力。
下面将探讨一些培养高中数学解题思维的有效策略。
一、扎实掌握基础知识基础知识是解题的基石。
学生需要熟练掌握数学中的定义、定理、公式等，理解其内涵和适用条件。
例如，在学习函数的性质时，要清楚函数的单调性、奇偶性、周期性的定义和判定方法，以及常见函数的特点。
只有对基础知识有清晰的认识，才能在解题时迅速准确地调用相关知识。
教师在教学过程中，要注重知识的系统性和连贯性，帮助学生构建完整的知识框架。
可以通过反复讲解、练习和测验，强化学生对基础知识的记忆和理解。
同时，引导学生学会对知识进行分类、归纳和总结，形成知识网络，便于在解题时快速检索和运用。
二、注重思维方法的训练1、类比思维类比是一种通过比较相似事物来发现规律和解决问题的思维方法。
在数学中，很多概念和方法都具有相似性。
比如，等差数列和等比数列在定义、通项公式、求和公式等方面有一定的相似性，通过类比可以加深对两者的理解和掌握。
2、逆向思维逆向思维是从问题的相反方向进行思考。
当正面解决问题遇到困难时，尝试从反面入手，往往能找到新的解题途径。
例如，证明一个命题成立比较困难时，可以考虑证明其逆否命题成立。
3、化归与转化思维化归与转化是将复杂问题简单化、陌生问题熟悉化的重要思维方法。
在解题中，常常将一个问题转化为已经解决过的或更容易解决的问题。
比如，将空间几何问题转化为平面几何问题，将分式方程转化为整式方程等。
教师在课堂上要有意识地引导学生运用这些思维方法，通过例题讲解和练习，让学生逐渐掌握并灵活运用。
三、多做练习题，积累解题经验“熟能生巧”在数学解题中同样适用。
通过大量的练习题，可以熟悉各种题型和解题方法，积累解题经验。
但做题不能盲目，要有针对性和选择性。
首先，要选择典型的题目进行练习。
培养学生数学思维能力“四策略”
培养学生数学思维能力“四策略”数学思维是指人们对数学知识的理解、运用、推理等能力，它是培养学生数学素养和发展科学思维的关键之一。
对于学生而言，学习数学不仅仅是为了考试和升学，更重要的是通过数学学习培养和提高自己的思维能力，使自己的思维更加清晰、敏捷、灵活。
那么，如何培养学生的数学思维能力呢？以下是四条策略：一、培养学生的逻辑思维能力逻辑思维是指按照一定的规律和原则，运用好的方法，进行合理的判断、推理的过程，它是发展数学思维的基础。
通过学习逻辑运算、推理规律等训练，可以培养学生的逻辑思维能力，进而提高数学思维水平。
在培养学生逻辑思维能力的过程中，要注意以下几点：1.注重引导学生学习逻辑原理、推理规律等方面的知识和技能，掌握好逻辑分析、演绎推理、归纳推理等方法，提升逻辑思维能力。
2.及时纠正学生的逻辑错误，处理好学生的思维差异，引导学生掌握有效的解题技巧。
3.教师要充分发挥启发性教学的作用，让学生不断思考、发现、解决问题，激发学生学习数学的兴趣，从而提高数学思维水平。
创新思维是指通过思考、观察、实验等各种手段，对事物进行创造性、新颖性的思维活动。
通过培养学生的创新思维能力，可以激发学生的学习兴趣和解决问题的信心，进而推动学生的数学思维水平得到提高。
1.注重培养学生的探究精神和创造性思维，引导学生找出问题的本质，培养解决问题的创新作用。
2.鼓励学生发挥自己的想象力和创造性思维，让学生学会正确地运用数学知识进行科学思考，激发学生的学习兴趣。
3.通过积极鼓励和及时回馈等方式，提高学生在数学学习过程中的创造性和创新能力，推动学生的数学思维水平得到提高。
问题解决能力是指学生在面对问题时，能够有效地分析和解决问题的能力。
通过培养学生的问题解决能力，可以展现学生的学习成果，并提高学生的学习效果和思维水平。
1.注重培养学生的问题意识和解决问题的能力，引导学生了解问题产生的背景、过程和目的，提升问题解决能力。
2.多给学生布置一些实践性问题，在解决问题的同时，加深学生对数学知识的理解，提升数学思维水平。
培养学生数学思维能力“四策略”
培养学生数学思维能力“四策略”培养学生数学思维能力一直是教育工作者关注的重点，而实现这一目标需要采取合理的教学策略。
本文将介绍四个在教学实践中被证明有效的培养学生数学思维能力的策略。
这四个策略分别是培养问题意识、发展抽象思维、鼓励创造性解决问题和提供合适的数学环境。
培养问题意识是培养学生数学思维能力的第一步。
学生需要从课堂中感受到数学与现实生活的关联，通过让学生参与实际问题的解决，引导学生发现问题、分析问题和解决问题的方法。
可以通过提出开放性问题，引发学生的思考和讨论，培养学生的问题意识。
教师也要充分关注学生的问题意识，及时给予鼓励和肯定，激发学生的学习动力。
发展抽象思维是培养学生数学思维能力的关键。
抽象思维是数学思维的核心，对于学生解决复杂问题具有至关重要的作用。
在教学中要注重培养学生的抽象思维能力。
可以通过引导学生建立数学模型，将具体问题转化为抽象形式，培养学生从具体到抽象的思维方式。
教师还应该在教学中灵活运用符号、图形等数学工具，帮助学生从多个角度来理解和解决数学问题，提升学生的抽象思维能力。
鼓励创造性解决问题是培养学生数学思维能力的另一个重要策略。
创造性思维是学生能力的体现，鼓励学生发挥自己的创造力是培养学生数学思维能力的关键。
教师可以通过提供一些具有挑战性的问题，激发学生的思维，鼓励他们尝试不同的解决方法，并尊重他们的独特见解。
教师还可以提供一些探究性的数学活动，让学生自主探索、解决问题，培养学生的创造性思维能力。
提供合适的数学环境是培养学生数学思维能力的基础。
学生需要一个积极、开放、创新的数学学习环境。
教师可以通过设计合适的数学活动和课程，提供良好的教学资源，营造积极活跃的课堂氛围。
教师还可以鼓励学生参与数学竞赛和数学社团等活动，拓宽学生的数学视野，激发学生对数学的兴趣和热情。
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第四讲 数学思维的开拓性一、概述数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。
“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。
我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。
通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。
从而培养创新精神和创造能力。
在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。
数学思维的开拓性主要体现在： 一题的多种解法例如 已知复数z 满足1||=z ，求||i z -的最大值。
我们可以考虑用下面几种方法来解决： ①运用复数的代数形式； ②运用复数的三角形式； ③运用复数的几何意义；④运用复数模的性质（三角不等式）||||||||||||212121z z z z z z +≤-≤-；⑤运用复数的模与共轭复数的关系z z z ⋅=2||； ⑥（数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆1||=z 与r i z =-||有公共点时，r 的最大值。
一题的多种解释例如，函数式221ax y =可以有以下几种解释：①可以看成自由落体公式.212gt s =②可以看成动能公式.212mv E =③可以看成热量公式.212RI Q =又如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。
“1”可以变换为：x tg x a b x x x xa b a a 2222sec ),(log )(log ,cos sin ,,log -⋅+，等等。
思维训练实例例1 已知.1,12222=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax 分析1 用比较法。
本题只要证.0)(1≥+-by ax 为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决。
证法1)()11(21)(1by ax by ax +-+=+-)()(212222by ax y x b a +-+++=,0])()[(21)]2()2[(21222222≥-+-=+-++-=y b x a y by b x ax a所以 .1≤+by ax分析2 运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论。
从而证明原结论正确。
分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。
因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范。
证法2 要证 .1≤+by ax 只需证 ,0)(1≥+-by ax 即 ,0)(22≥+-by ax 因为 .1,12222=+=+y x b a所以只需证 ,0)(2)(2222≥+-+++by ax y x b a即.0)()(22≥-+-y b x a 因为最后的不等式成立，且步步可逆。
所以原不等式成立。
分析3 运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）证法3 .2,22222y b by x a ax +≤+≤ .1222222=+++≤+∴y b x a by ax即 .1≤+by ax分析4 三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。
图4－2－1证法4,1,12222=+=+y x b a ∴可设 ∴ββααcos ,sin .cos ,sin ====y x b a∴,1)cos(cos cos sin sin ≤-=+=+βαβαβαby ax分析5 数形结合法：由于条件122=+y x 可看作是以原点为圆心，半径为1的单位圆，而.22ba by ax by ax ++=+联系到点到直线距离公式，可得下面证法。
证法5 （如图4-2-1）因为直线0:=+by ax l 经过圆122=+y x 的圆心O ，所以圆上任意一点),(y x M 到直线0=+by ax 的距离都小于或等于圆半径1，即.11||||22≤+⇒≤+=++=by ax by ax ba by ax d简评 五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法。
除了证法4、证法5的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法。
可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择。
例2 如果,0))((4)(2=----z y y x x z 求证：z y x 、、成等差数列。
分析 1 要证z y x 、、，必须有z y y x -=-成立才行。
此条件应从已知条件中得出。
故此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换。
证法1,0))((4)(2=----z y y x x z ,02,0)2(,0)2()(22)(,044442222222=-+∴=-+=++⨯-+=-++-+-∴y z x y z x y z x y z x yz y xz xy x xz z故z y y x -=-，即 z y x 、、成等差数列。
分析2 由于已知条件具有x z z y y x ---,,轮换对称特点，此特点的充分利用就是以换元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利。
证法2 设,,b z y a y x =-=-则.b a z x +=-于是，已知条件可化为：.0)(04)(22z y y x b a b a ab b a -=-⇒=⇒=-⇒=-+所以z y x 、、成等差数列。
分析3 已知条件呈现二次方程判别式ac b 42-=∆的结构特点引人注目，提供了构造一个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会。
证法3 当0=-y x 时，由已知条件知,,0z y x x z ==∴=-即z y x 、、成等差数列。
当0≠-y x 时，关于t 的一元二次方程：,0)()()(2=-+-+-z y t x z t y x其判别式=∆,0))((4)(2=----z y y x x z 故方程有等根，显然t ＝1为方程的一个根，从而方程的两根均为1，由韦达定理知.121z y y x y x zy t t -=-⇒=--=⋅即 z y x 、、成等差数列。
简评：证法1是常用方法，略嫌呆板，但稳妥可靠。
证法2简单明了，是最好的解法，其换元的技巧有较大的参考价值。
证法3引入辅助方程的方法，技巧性强，给人以新鲜的感受和启发。
已知1=+y x ，求22y x +的最小值。
分析1 虽然所求函数的结构式具有两个字母y x 、，但已知条件恰有y x 、的关系式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题。
解法1 .1,1x y y x -=∴=+设22y x z +=，则.122)1(222+-=-+=x x x x z 二次项系数为,02>故z 有最小值。
∴ 当21222=⨯--=x 时，.212421242＝）－（－＝最小值⨯⨯⨯z ∴ 22y x +的最小值为.21分析2 已知的一次式1=+y x 两边平方后与所求的二次式22y x +有密切关联，于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。
解法2 ,1)(,12=+∴=+y x y x 即.2122xy y x -=+ ).(1,2222222y x y x y x xy +-≥+∴+≤即,2122≥+y x 当且仅当21==y x 时取等号。
∴ 22y x +的最小值为.21分析3 配方法是解决求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。
解法3 设.22y x z += .2121)21()21(1,12222≥+-+-=+--+=∴=+y x y x y x z y x∴ 当21==y x 时，.21＝最小z 即22y x +的最小值为.21分析4 因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故可得到用解析法求解的启发。
解法4 如图4－2－2，1=+y x 表示直线,l 22y x +表示原点到直线l 上的点),(y x P 的距离的平方。
显然其中以原点到直线l 的距离最短。
此时，,222|100|=-+=d 即.22)(22＝最小y x +所以22y x +的最小值为.21注 如果设,22z y x =+则问题还可转化为直线1=+y x 与圆z y x =+22有交点时，半径z 的最小值。
简评 几种解法都有特点和代表性。
解法1是基本方法，解法2、3、4都紧紧地抓住题设条件的特点，与相关知识联系起来，所以具有灵巧简捷的优点，特别是解法4，形象直观，值得效仿。
设.1,2R z zR z ∈+∉求证：.1||=z分析1 由已知条件21z z+为实数这一特点，可提供设实系数二次方程的可能，在该二次方程有两个虚根的条件下，它们是一对共轭虚根，运用韦达定理可以探求证题途径。
证法1 设),(12R a a z z∈=+当0=a 时，可得0=z 与R z ∉条件不合。
.0≠∴a 于是有 .02=+-a z az∴∉,R z 该方程有一对共轭虚根，设为21,z z ，于是.||||,222121z z z z =∴=又由韦达定理知.1||.1||||,12221221121=∴===⋅=⋅∴==⋅z z z z z z z a az z分析 2 由于实数的共轭复数仍然是这个实数，利用这一关系可以建立复数方程，注意到2||z z z =这一重要性质，即可求出||z 的值。
证法2 设),(12R a a z z∈=+当0=a 时，可得0=z 与R z ∉条件不合，.0≠∴a则有21z z a +=，.11,22z zz z a a +=+∴=即).()()1()1(22z z z z z z z z z z z z ⋅+=⋅+∴+=+ 但,||2z z z =⋅.0)||1)((,||||222=--∴⋅+=⋅+∴z z z z z z z z z 而.1||,2=∴∉-z R z z 即.1||=z 分析3 因为实数的倒数仍为实数，若对原式取倒数，可变换化简为易于进行运算的形式。
再运用共轭复数的性质，建立复数方程，具有更加简捷的特点。
证法3 ,1,122R z z R z z ∈+∴∈+即.11R z z z z z z ∈⋅⋅+=+从而必有.1||.1=∴=⋅z z z简评 设出复数的代数形式或三角形式，代入已知条件化简求证，一般也能够证明，它是解决复数问题的基本方法。
但这些方法通常运算量大，较繁。