分段线性插值法

分段线性插值法

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《数值分析》实验报告

实验序号:实验五 实验名称: 分段线性插值法

1、 实验目的：

随着插值节点的增加，插值多项式的插值多项式的次数也增加，而对于高次的插值容易带来剧烈的震荡,带来数值的不稳定（Rung ｅ现象)。为了既要增加插值的节点,减小插值的区间，以便更好的逼近插值函数,又要不增加插值多项式的次数以减少误差,可采用分段线性插值。

2、 实验内容：

求一个函数ϕ(x )用来近似函数f (ｘ),用分段线性插值的方法来求解近似函数ϕ(x ）并画出近似函数图像及原函数图像。

设在区间[a,b]上，给定n ＋1个插值节点b x x x x a n =<<<<=...210和相应的函数值n y y y ,...,,10,求一个插值函数)(x ϕ,满足以下条件：

（1）

),...,2,1,0()(n j y x j j ==ϕ； （2） )(x ϕ在每一个小区间[1,+j j x x ]上是线性函数。 对于给定函数11-,2511)(2≤≤+=

x x x f 。在区间[]11-，上画出f (x ）和分段线性插值函数)(x ϕ的函数图像。

1. 分段线性插值的算法思想：

分段线性插值需要在每个插值节点上构造分段线性插值基函数)(x l j ,

然后再作它们的线性组合。分段线性插值基函数的特点是在对应的插值节

点上函数值取 1，其它节点上函数值取０。插值基函数如下:

⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它 ,0,)(101010x x x x x x x x l ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<--≤≤--=+++---其它 ,0,,)(11

1111j j j j j j j j j j j x x x x x x x x x x x x x x x l

⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤--=---其它 ,0,)(111n n n n n n x x x x x x x x l 设在节点ａ≤x0＜x1＜…≤b=ｆ（xi)，(i=0,1,2,…,n)求折线函数L(ｘ)满足：

（1） L （x )∈C ［a,ｂ]

（2） L(x[i]=y[i]）

（3） L(x ）在每个小区间(ｘ[i],x[i+１］）上是线性

插值函数￠（x ）叫做区间[a ，b]上对数据（x[ｊ],ｙ［j ］）(j=0,1,２,…,n)的分段区间函数。 利用一介拉格朗日函数，直接得到线性插值函数为：

L(ｘ0)=（x-x[1])/x ［0]－x ［1］;(x ［0]≤x ≤ｘ[1］）

L(x ０)＝0(x[1]≤x ≤ｘ[n])

分段线性方程的表达式:

￠(x ）=∑(j=0,..,ｎ)y[j]*L ［j](x);

3、实验代码:

// LDlg ．c ｐp : im ｐlement ａtion

#include "st ｄaf ｘ．ｈ＂

#include "Ｌ．ｈ"

#in ｃlud ｅ ＂LDlg ．h"

#if ｄe ｆ _DE ＢU Ｇ

#define ｎｅw DEB ＵG ＿NE Ｗ

#undef TH ＩS ＿ ｃh ａｒ T ＨIS ＿FILE ［] = __FI ＬＥ＿＿;

#en ｄｉf

／／//／///／////////////////／／／/／///////／///／/／／／/／／//／///////／///////////／/////

// CＡboutDlg ｄiaｌog uｓｅd for Apｐ Abｏut

cｌaｓs ＣAbouｔＤlg : publｉc CDｉａlｏg

{

ｐublic:

ﻩCAboutＤlg(）;

／/ Dialog Datａ

／／{｛AFX_DＡＴA(ＣＡboｕtDlg)

ﻩｅnuｍ｛ IDD ＝ＩDD_ＡBOUＴBOX };

ﻩ/／｝｝AFＸ_DATA

ﻩ/／ ClａssＷizaｒd genｅｒatｅd viｒtuａl funｃtiｏn ｏverriｄes

ﻩ/／{{ＡFＸ_VIRTUＡＬ(CAｂouｔDｌｇ）

ﻩｐroｔected:

vｉrｔual vｏiｄ DｏＤataEｘchangｅ（ＣDaｔaＥxcｈange* pDX）; // DＤX/D ＤV ｓupｐort

ﻩ//｝}ＡFＸ_VＩＲTUＡL

// Ｉmpｌementａtｉｏｎ

ｐrotｅctｅd:

//｛｛ＡFＸ_MSG(CAboutＤｌg)

ﻩ//｝}AFX＿ＭＳG

ＤECLAＲE_MＥSＳＡGE_ＭＡP()

};

CＡboutＤlｇ:：CAｂoutDlg() : CDiａlog(CAｂoutDlg::IＤＤ)

{

ﻩ//｛｛ＡFＸ＿ＤATA_ＩNIT(CAbouｔＤlg)

//}}AFX_DＡTA_INIＴ

}

void CＡbｏutDlg：:DoDａtａEｘｃhange（CDataＥxchange* ｐＤX)

｛

ﻩCDialｏｇ:：DoDaｔaExｃhａnge(pDX）;

ﻩ/／{{AFＸ_DATA_MAＰ（ＣAｂoutDlg)

ﻩ／／}｝AFX＿DAＴＡ_MＡP

}

BEGＩN＿ＭESSAＧE_MAP(CAboutDlｇ, CDialog)

//{{AFＸ_MSG_MAＰ(ＣＡｂouｔDｌｇ)

ﻩﻩ// Nｏｍessage hanｄlers

//}｝AFＸ_ＭSG_ＭAP

END_ＭEＳＳAＧE_ＭAP()

/////／/／／/／////／////////／／/／/////／/／／/／/／////／//////////／///////////／／///／//／

／/ ＣLDlg dialog

CＬDlｇ:：ＣLDlg(CWｎｄ* ｐParent ／*=ＮULL*/)

: CDｉalog(ＣLDｌg::IＤD，ｐPａrｅnt)

{

//{｛AＦX_DＡTA_IＮIT(CLDlg)

ﻩ／/ NOTE: the CｌａssWｉzaｒd ｗilｌadd member iniｔiａｌizatｉon here

/／}}ＡFＸ＿DAＴＡ＿IＮIT

ﻩ/／Ｎote ｔｈat LoadIｃon does ｎot ｒｅqｕｉrｅ a suｂｓeｑuenｔＤｅstroｙIｃon in Wiｎ32

ｍ_hIcon = AfｘGetApp()－>LoａdＩcoｎ(IＤR＿ＭＡINFRＡＭE);

}