九年级数学几何模型压轴题章末训练(Word版 含解析)
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九年级数学几何模型压轴题章末训练(Word版含解析)
一、初三数学旋转易错题压轴题(难)
1.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6.
(1)如图1,若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD,连接AD,则△ABD的面积为.
(2)如图2,点P为CA延长线上一个动点,连接BP,以P为直角顶点,BP为直角边作等腰直角△BPQ,连接AQ,求证:AB⊥AQ;
(3)如图3,点E,F为线段BC上两点,且∠CAF=∠EAF=∠BAE,点M是线段AF上一个动点,点N是线段AC上一个动点,是否存在点M,N,使CM+NM的值最小,若存在,求出最小值:若不存在,说明理由.
【答案】(1)36;(2)详见解析;(3)存在,最小值为3.
【解析】
【分析】
(1)根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形,求得AD=2BC=12,根据三角形的面积公式即可得到结论;
(2)如图2,过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H,根据等腰直角三角形的性质,得到PQ =PB,∠BPQ=90°,根据全等三角形的性质得到PH=BC,QH=CP,求得CP=AH,得到∠HAQ=45°,于是得到∠BAQ=180°﹣45°﹣45°=90°,即可得到结论;
(3)根据已知条件得到∠CAF=∠EAF=∠BAE=15°,求得∠EAC=30°,如图3,作点C关于AF的对称点D,过D作DN⊥AC于N交AF于M,则此时,CM+NM的值最小,且最小值=DN,求得AD=AC=6,根据直角三角形的性质即可得到结论.
【详解】
解:(1)∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∵∠ACB=90°,
∴BC⊥AD,
∴AD=2BC=12,
∴△ABD的面积=1
2
AD•BC=
1
2
12×6=36,
故答案为:36;
(2)如图,过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H,
∴∠H=∠C=90°,
∵△BPQ是等腰直角三角形,
∴PQ=PB,∠BPQ=90°,
∴∠HPQ+∠BPC=∠QPH+∠PQH=90°,
∴∠PQH=∠BPC,
∴△PQH≌△BPC(AAS),
∴PH=BC,QH=CP,
∵AC=BC,
∴PH=AC,
∴CP=AH,
∴QH=AH,
∴∠HAQ=45°,
∵∠BAC=45°,
∴∠BAQ=180°﹣45°﹣45°=90°,
∴AB⊥AQ;
(3)如图,作点C关于AF的对称点D,过D作DN⊥AC于N交AF于M,
∵∠CAF=∠EAF=∠BAE,∠BAC=45°,
∴∠CAF=∠EAF=∠BAE=15°,
∴∠EAC=30°,
则此时,CM+NM的值最小,且最小值=DN,
∵点C和点D关于AF对称,
∴AD=AC=6,
∵∠AND=90°,
∴DN=1
2
AD=
1
2
6=3,
∴CM+NM最小值为3.【点睛】
本题是几何变换综合题,考查了全等三角形的判定与性质,旋转的性质,等腰直角三角形的性质,含30°角的直角三角形的性质,正确的作出作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
2.我们定义:如图1,在△ABC看,把AB点绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连接B'C'.当α+β=180°时,我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.
特例感知:
(1)在图2,图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.
①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD= BC;
②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为.
猜想论证:
(2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.
拓展应用
(3)如图4,在四边形ABCD,∠C=90°,∠D=150°,BC=12,CD=23,DA=6.在四边形内部是否存在点P,使△PDC是△PAB的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求△PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.
【答案】(1)①1
2
;②4;(2)AD=
1
2
BC,证明见解析;(3)存在,证明见解析,
39.【解析】【分析】
(1)①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形,可得AD=1
2
AB′即可解决问题;
②首先证明△BAC≌△B′AC′,根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题;
(2)结论:AD=1
2
BC.如图1中,延长AD到M,使得AD=DM,连接E′M,C′M,首先证
明四边形AC′MB′是平行四边形,再证明△BAC≌△AB′M,即可解决问题;
(3)存在.如图4中,延长AD交BC的延长线于M,作BE⊥AD于E,作线段BC的垂直平分线交BE于P,交BC于F,连接PA、PD、PC,作△PCD的中线PN.连接DF交PC于O.想办法证明PA=PD,PB=PC,再证明∠APD+∠BPC=180°,即可;
【详解】
解:(1)①如图2中,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AB=AB′=AC′,
∵DB′=DC′,
∴AD⊥B′C′,
∵∠BAC=60°,∠BAC+∠B′AC′=180°,∴∠B′AC′=120°,
∴∠B′=∠C′=30°,
∴AD=1
2AB′=
1
2
BC,
故答案为1
2
.
②如图3中,
∵∠BAC=90°,∠BAC+∠B′AC′=180°,∴∠B′AC′=∠BAC=90°,
∵AB=AB′,AC=AC′,
∴△BAC≌△B′AC′,
∴BC=B′C′,
∵B′D=DC′,
∴AD=1
2B′C′=
1
2
BC=4,
故答案为4.
(2)结论:AD=1
2 BC.
理由:如图1中,延长AD到M,使得AD=DM,连接E′M,C′M