插值法(拉格朗日插值)ppt
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《拉格朗日插值》课件
结果分析
通过对比已知数据点和插值函数的结果，评估拟合效果和预测准确度。
总结和展望
本课件介绍了拉格朗日插值的背景、原理、计算方法和应用，并总结了其优缺点。这门课程为数值分析和数据 插值领域提供了基础知识，并为未来的研究和应用提供了展望。
用于数据拟合、函数逼近和误差 估计。
图像处理
用于图像重建、图像修复和图像 插值。
信号处理
用于信号重构、信号滤波和信号 插值。
拉格朗日插值多项式的优缺点
拉格朗日插值多项式具有以下优点和缺点。 优点 简单易懂 计算效率高 适用于小范围插值
缺点 对于大量数据点计算复杂度高 对离散数据敏感 数值误差较大
示例演示：使用拉格朗日插值进行数据的 拟合
2 定义
插值问题是通过插值函数来逼近离散数据点 的函数曲线，以实现数据的拟合和预测。
拉格朗日插值多项式的原理
拉格朗日插值多项式是通过已知数据点构建的一个多项式函数，使得该函数在给定区间内的所有数据点上与已 知数据点完全一致。
插值多项式
拉格朗日插值多项式是通过拉 格朗日基函数构造出的一个多 项式函数。
《拉格朗日插值》PPT课 件
本课件旨在介绍拉格朗日插值的原理、计算方法、应用以及优缺点，帮助大 家更好地理解插值问题的背景和定义。
插值问题的背景和定义
插值问题是数值分析中的基础概念，指的是通过已知数据点构建一个函数，使得该函数在给定区间内的所有数 据点上与已知数据点完全一致。
1 背景
插值问题源于天文学和地理测量等领域中的 数据分析需求。
1
数据点坐日基函数计算
根据已知数据点的坐标值计算拉格朗日基函数。
3
插值多项式计算
将拉格朗日基函数与对应系数相乘并求和得到插值多项式。
通过对比已知数据点和插值函数的结果，评估拟合效果和预测准确度。
总结和展望
本课件介绍了拉格朗日插值的背景、原理、计算方法和应用，并总结了其优缺点。这门课程为数值分析和数据 插值领域提供了基础知识，并为未来的研究和应用提供了展望。
用于数据拟合、函数逼近和误差 估计。
图像处理
用于图像重建、图像修复和图像 插值。
信号处理
用于信号重构、信号滤波和信号 插值。
拉格朗日插值多项式的优缺点
拉格朗日插值多项式具有以下优点和缺点。 优点 简单易懂 计算效率高 适用于小范围插值
缺点 对于大量数据点计算复杂度高 对离散数据敏感 数值误差较大
示例演示：使用拉格朗日插值进行数据的 拟合
2 定义
插值问题是通过插值函数来逼近离散数据点 的函数曲线，以实现数据的拟合和预测。
拉格朗日插值多项式的原理
拉格朗日插值多项式是通过已知数据点构建的一个多项式函数，使得该函数在给定区间内的所有数据点上与已 知数据点完全一致。
插值多项式
拉格朗日插值多项式是通过拉 格朗日基函数构造出的一个多 项式函数。
《拉格朗日插值》PPT课 件
本课件旨在介绍拉格朗日插值的原理、计算方法、应用以及优缺点，帮助大 家更好地理解插值问题的背景和定义。
插值问题的背景和定义
插值问题是数值分析中的基础概念，指的是通过已知数据点构建一个函数，使得该函数在给定区间内的所有数 据点上与已知数据点完全一致。
1 背景
插值问题源于天文学和地理测量等领域中的 数据分析需求。
1
数据点坐日基函数计算
根据已知数据点的坐标值计算拉格朗日基函数。
3
插值多项式计算
将拉格朗日基函数与对应系数相乘并求和得到插值多项式。
研究生数值分析(14)拉格朗日(Lagrange)插值多项式 共22页PPT资料
有 s in 5 0 0 L 2 (5 0 ) 1 6 2 3 (1 8 0 )3 2 0 5 1 0 0 .0 0 0 7 6 7
事实上，
s5 i0 n 0 L 1 (5 ) 0 0 .01 ; s 05 i0 1 n 0 L ~ 1 ( 0 5 ) 0 0 .005
因此做线性内插时取 x00.2,x10.3 相应地 y01 .2 2 1 4 ,y11 .3 4 9 9
由线性插值公式，得
L 1 (x ) 0 x .2 0 0 .3 .3 1 .2 2 1 4 0 x .3 0 0 .2 .2 1 .3 4 9 9
所得近似值为
e 0 . 2 8 5 L 1 ( 0 . 2 8 5 ) 0 0 . 2 . 2 8 5 0 0 . 3 . 3 1 . 2 2 1 4 0 0 . 2 . 3 8 5 0 . 0 2 . 2 1 . 3 4 9 9 1 . 3 3 0 6
由线性插值余项公式
所以
s in 5 0 0 L 1 ( 5 0 ) 1 2 2 3 ( 1 8 0 )2 2 0 5 0 .0 1 3 1 9 0
同理，由
s5 i 0 n L ~ 0 1 ( 5 ) 1 2 0 ( s) i1 n ( ) 2 ( 8 5 4 0 0 ) 5 5 ( 6 0 )3 0 0 0 6 0
插值多项式⑤称为拉格朗日插值多项式，记作 L n ( x )
当n=2时,由⑤式可得三点插值公式
L 2 ( x ) y 0 ( ( x x 0 x x 1 1 ) ) ( ( x x 0 x x 2 2 ) ) y 1 ( ( x x 1 x x 0 0 ) ) ( ( x x 1 x x 2 2 ) ) y 2 ( ( x x 2 x x 0 0 ) ) ( ( x x 2 x x 1 ) 1 ) 这是一个二次函数。用二次函数 L 2 ( x ) 近似
事实上，
s5 i0 n 0 L 1 (5 ) 0 0 .01 ; s 05 i0 1 n 0 L ~ 1 ( 0 5 ) 0 0 .005
因此做线性内插时取 x00.2,x10.3 相应地 y01 .2 2 1 4 ,y11 .3 4 9 9
由线性插值公式，得
L 1 (x ) 0 x .2 0 0 .3 .3 1 .2 2 1 4 0 x .3 0 0 .2 .2 1 .3 4 9 9
所得近似值为
e 0 . 2 8 5 L 1 ( 0 . 2 8 5 ) 0 0 . 2 . 2 8 5 0 0 . 3 . 3 1 . 2 2 1 4 0 0 . 2 . 3 8 5 0 . 0 2 . 2 1 . 3 4 9 9 1 . 3 3 0 6
由线性插值余项公式
所以
s in 5 0 0 L 1 ( 5 0 ) 1 2 2 3 ( 1 8 0 )2 2 0 5 0 .0 1 3 1 9 0
同理，由
s5 i 0 n L ~ 0 1 ( 5 ) 1 2 0 ( s) i1 n ( ) 2 ( 8 5 4 0 0 ) 5 5 ( 6 0 )3 0 0 0 6 0
插值多项式⑤称为拉格朗日插值多项式，记作 L n ( x )
当n=2时,由⑤式可得三点插值公式
L 2 ( x ) y 0 ( ( x x 0 x x 1 1 ) ) ( ( x x 0 x x 2 2 ) ) y 1 ( ( x x 1 x x 0 0 ) ) ( ( x x 1 x x 2 2 ) ) y 2 ( ( x x 2 x x 0 0 ) ) ( ( x x 2 x x 1 ) 1 ) 这是一个二次函数。用二次函数 L 2 ( x ) 近似
第五章插值法PPT课件
三、几何意义、
四、多项式插值问题
对于不同的函数族Φ的选择，得到不同的插值问题 – 当Φ为一些三角函数的多项式集合时:三角插值; – 当Φ为一些有理分式集合时：有理插值； – 当Φ为一些多项式集合时：多项式插值（代数插
值）
特别的取 = Pn span 1, x, x2,, xn , 即
Pn (x) (x) a0 a1x a2x2 anxn, ai R, 0 i n
求得 V n(x0,x1, ,xn) (xixj) 0jin
由于假设ij时，xixj，故所有因子xi-xj0，于 是Vn(x0,x1,…,xn)0。由克莱姆(Grammer)法则，
方程组的解存在且唯一，从而插值多项式是存在唯
一的。
证毕
六、插值余项
引理 已知函数f(x)在[a,b]上具有m-1阶连续导函 数，且在（a,b）上存在m阶导数。 若它在该区间 上有m+1个零点，则它的m阶导函数在(a,b)内至
(xi
) n i0
。
若函数族 中的函数(x) 满足条件
(xi ) f (xi ), i 0,1,, n
（1）
则称 ( x)
为
f
(x)
在
中关于节点
xi
n i0
的一个插值函数。
f (x) ——被插值函数； [a, b] ——插值区间；
xi
n i0
——插值节点；
式（1）——插值条件.
求插值函数(x)的问题称为插值问题。
n
n
若记 n1(x) ，(x则x有i)
n1(x，k)从而(xk xi)
i0
lk(x)(xxkn) 1(n'x)1(xk)
i0,ik
3.插值基函数的性质
拉格朗日(Lagrange)插值
n
Rn ( x ) = K ( Rn(x) 至少有 n+1 个根 ( x ) 充分光滑，x( x 0 )(= ( x)1 ) = 0 ，则 充分光滑， ) Π x xi Rolle’s Theorem: 若 i =0 ) 存在 ξ ∈ (x 0≠, x 1 )(i使得 ′(ξ), = 0 。 ( t ) = R ( t ) K ( x ) n ( t x ) …, n 任意固定 x xi = 0, 求导 考察 注意这里是对 t Π n i = ξ 0 ∈ ( x0 , x1 ), ξ1 ∈i ( 0 1 , x2 ) x 推广： 推广：若 ( x0 ) = ( x1 ) = ( x2 ) = 0 1) (x)有 n+2 个不同的根ξx0) …0xn x ξ ∈ (ξ , ( n)+使得 = ′′(,ξ )ξ= 0 ( a , b ) 有 使得 ′(ξ ) = ′( = (ξ x ) 0 x ∈ 0 ξ1 0 1
外插 的实际误差 ≈ 0.01001 利用 x1 = π , x2 = π 4 3 内插 的实际误差 ≈ 0.00596
~ 0.00538 < R1 5π < 0.00660 sin 50° ≈ 0.76008, ° 18
n=2
( x π )( x π ) 1 ( x π )( x π ) 1 ( x π )( x π ) 4 6 6 L2 ( x ) = π π π π3 × + π π π π3 × + π π π π4 × 3 ( 6 4 )( 6 3 ) 2 ( 4 6 )( 4 3 ) 2 ( 3 6 )( 3 4 ) 2
n 求 n 次多项式 Pn ( x ) = a0 + a1 x + L + a n x 使得
Rn ( x ) = K ( Rn(x) 至少有 n+1 个根 ( x ) 充分光滑，x( x 0 )(= ( x)1 ) = 0 ，则 充分光滑， ) Π x xi Rolle’s Theorem: 若 i =0 ) 存在 ξ ∈ (x 0≠, x 1 )(i使得 ′(ξ), = 0 。 ( t ) = R ( t ) K ( x ) n ( t x ) …, n 任意固定 x xi = 0, 求导 考察 注意这里是对 t Π n i = ξ 0 ∈ ( x0 , x1 ), ξ1 ∈i ( 0 1 , x2 ) x 推广： 推广：若 ( x0 ) = ( x1 ) = ( x2 ) = 0 1) (x)有 n+2 个不同的根ξx0) …0xn x ξ ∈ (ξ , ( n)+使得 = ′′(,ξ )ξ= 0 ( a , b ) 有 使得 ′(ξ ) = ′( = (ξ x ) 0 x ∈ 0 ξ1 0 1
外插 的实际误差 ≈ 0.01001 利用 x1 = π , x2 = π 4 3 内插 的实际误差 ≈ 0.00596
~ 0.00538 < R1 5π < 0.00660 sin 50° ≈ 0.76008, ° 18
n=2
( x π )( x π ) 1 ( x π )( x π ) 1 ( x π )( x π ) 4 6 6 L2 ( x ) = π π π π3 × + π π π π3 × + π π π π4 × 3 ( 6 4 )( 6 3 ) 2 ( 4 6 )( 4 3 ) 2 ( 3 6 )( 3 4 ) 2
n 求 n 次多项式 Pn ( x ) = a0 + a1 x + L + a n x 使得
计算方法—插值法 (课堂PPT)
7
1 1
2 5
4 25
8 125
aa32
4
35
则，
解方程组得a0=10,a1=5,a2=-10,a3=2 即P3(x)=10+5x-10x2+2x3
当n=20,在109次/秒的计算机上计算需几万年！
.
2020/4/2
12
2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值
Chapter2 插值法
第二章 插 值 法
（ Interpolation） 2.1 引言
2.2 拉格朗日插值
2.3 均差与牛顿插值公式
Chapter2 插值法
2.4 埃尔米特插值
2.5 分段低次插值
2.6 三次样条插值
.
2020/4/2
1
2.1 引言
Chapter2 插值法
表示两个变量x,y内在关系一般由函数式 y=f(x)表达。但在实际问题中的函数是多种多 样的,有下面两种情况：
几何意义:L2(x)为过三点(x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)的抛物线。
方法：基函数法，构造基函数l0(x), l1(x), l2(x) (三个二次式)
使L2(x)= y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)满足插值条件。 6 4 4 4 4 4 4 7 4 4 4 4 4 48
.
2020/4/2
15
2.2 拉格朗日插值
Chapter2 插值法
问题的提法： 已知y=f(x)的函数表，x0, x1, x2为互异节
x x0 x1 x2 y y0 y1 y2
点，求一个次数不超过2的多项式 L2(x)=a0+a1x+a2x2 ：L2(x0)=y0, L2(x1)=y1, L2(x2)=y2
《拉格朗日插值》PPT课件
个互不相同的点处的函数值 y f (x ),i 0,1, ,，n 为求
i
i
y f (x的) 近似式，自然应当选 n 次多项式
Pn (x) a0 a1x a2x2 L an xn
使 P (x) 满足条件 n
Pn(xi ) yi , i 0, 1,L ,n
f (x)称为被插函数, pn ( x)称插值多项式,条件(3 3)称插值条件, x0,x1,L , xn称插值节点 o这种求函数近似式的方法称为插值法 o 几何上,其实质是用通过n 1个点( x1, y1)(i 0,1,L , n)的多项式曲 线y pn (x),当作曲线y f ( x)的近似曲线.如图所示 o
14
一次Lagrange插值多项式(2)
一次插值多项式
15
一次Lagrange插值多项式(3)
由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为
它也可变形为
显然有：
16
一次Lagrange插值多项式(4)
记
l0 (x)
x x1 x0 x1
l1 ( x)
x x0 x1 x0
可以看出
L1 ( x)
(0 , 1 ) 使得 ( ) 0
28
N次插值多项式8
注：
通常不能确定 x , 而是估计 f (n1)( x) Mn1 , x(a,b)
将
M n1 (n 1)!
n i0
|
x
xi
|
作为误差估计上限。
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时，f (n1)( x) 0 ,
L2 (x) 为插值函数。 用基函数的方法获得 L2 (x) L2 (x) y0l0 (x) y1l1(x) y2l2 (x)
拉格朗日插值法ppt课件
在节点xi处的函数值必然相等 但在节点 P(x外 )的值可能就会 f(x偏 ) 离 因此 P(x)近似代f(替 x)必然存在着误差 8
整体误差的大小反映了插值函数的好坏 为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函 数都使用代数多项式和有理函数
本章讨论的就是代数插值多项式
二、代数插值多项式的存在唯一性
n1(x) n1(xj )(xxj )
j0,1,2,,n -------(7')
显l然 0(x)l,1(x)l,2(x) , ,ln(x)线性(无 请同学关 们思考)
且
l j ( xi )
1 0
i j i j
i,j0,1,2,,n -------(8)
16
如果 l0(x)l用 1 ,(x)l2 ,(x) ,,ln(x)作 yf(x)的插值 而Pn(x) 为f(x)的插值多 ,则 项式
6
问题
• 是否存在唯一 • 如何构造 • 误差估计
如函 ys数 ixn ,若给 [0,]上 定 5个等分点
其插值函数的图象如图
7
yy
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
0.522
22..55
33
xxx
33..55
对于被插 f(x)和 函插 数值P(函 x) 数
一、插值余项
从上,节 yf可 (x)的 L 知 ag插 ran 值 ge
满足
n
Ln(x) yjlj(x) j0
L n(x i)f(x i) i 0 ,1 , ,n
但 x[a,b]
Ln(x)f(x) 不会完全成立
因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估 计这个截断误差呢？
插值法概述PPT课件
则 Ln(x) yili(x) 即为
i0
拉格朗日(Lagrange) 插值多项式
若引入记号 n 1 ( x ) ( x x 0 )x (x 1 )x . .x n .)(
' n 1 ( x k ) （ x k x 0 ） .x . k . x k 1 ( ) x k ( x k 1 )x k . x . n ) ..
(3)
a0a1xna2xn2...anxnn yn
一般插值多项式的原理
令： 1
A
1
x0
x1
x0n x1n
1
xn
xnn
方程组的矩阵形式如下：
a 0
X
a
1
a
n
y0
Y
y
1
y
n
A Y X
( 4 )
n n1
由 于A (xi xj)0 i1 j0
所以方程组（4）有唯一解。
则 (x k ) 0 (k 0 ,1 ,2 ,.n )..
Lagrange插值余项与误差估计
注 R n ( x 意 ) f ( x ) L n ( 到 x ) K ( x ) n 1 ( x )
故 ( x k 有 ) 0( k 0 , 1 , 2 ,n . )且 .. ( x ) 0
插值引例
三、插值引例
实例1
标准正态分布函数 (x)
查
x0
1
2…
函
┇┇ ┇ ┇┇
数
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 … 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 …
表
┇┇ ┇ ┇┇
求(1.014)
实例2
插值引例
求机翼下轮廓线上一点的近似数值
i0
拉格朗日(Lagrange) 插值多项式
若引入记号 n 1 ( x ) ( x x 0 )x (x 1 )x . .x n .)(
' n 1 ( x k ) （ x k x 0 ） .x . k . x k 1 ( ) x k ( x k 1 )x k . x . n ) ..
(3)
a0a1xna2xn2...anxnn yn
一般插值多项式的原理
令： 1
A
1
x0
x1
x0n x1n
1
xn
xnn
方程组的矩阵形式如下：
a 0
X
a
1
a
n
y0
Y
y
1
y
n
A Y X
( 4 )
n n1
由 于A (xi xj)0 i1 j0
所以方程组（4）有唯一解。
则 (x k ) 0 (k 0 ,1 ,2 ,.n )..
Lagrange插值余项与误差估计
注 R n ( x 意 ) f ( x ) L n ( 到 x ) K ( x ) n 1 ( x )
故 ( x k 有 ) 0( k 0 , 1 , 2 ,n . )且 .. ( x ) 0
插值引例
三、插值引例
实例1
标准正态分布函数 (x)
查
x0
1
2…
函
┇┇ ┇ ┇┇
数
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 … 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 …
表
┇┇ ┇ ┇┇
求(1.014)
实例2
插值引例
求机翼下轮廓线上一点的近似数值
计算方法第二章ppt
当方程组的系数矩阵为非奇异 矩阵（即满秩矩阵）时，高斯 消元法可求得唯一解。
列主元高斯消元法
列主元高斯消元法的 基本思想
在高斯消元法的基础上，每次选取列 中绝对值最大的元素作为主元进行消 元，以避免出现小主元导致的误差放 大问题。
列主元高斯消元法的 步骤
首先选取第一列中绝对值最大的元素 作为主元，通过行交换将其移到第一 行第一列位置，然后进行高斯消元。 在后续的消元过程中，每次均选取当 前列中绝对值最大的元素作为主元进 行消元。
100%
数值解法
通过计算机求解常微分方程的近 似解的方法，主要包括欧拉方法 和龙格-库塔方法等。
80%
离散化与步长
将连续的时间或空间域离散化， 取离散点上的函数值作为近似解 ，步长是相邻离散点间的距离。
欧拉方法
显式欧拉法
一种简单的数值解法，通过前 一步的函数值及其导数来推算 下一步的函数值。
隐式欧拉法
通过求解一个非线性方程来得 到下一步的函数值，具有较高 的精度和稳定性。
改进欧拉法
结合显式欧拉法和隐式欧拉法 的优点，提高算法的精度和效 率。
龙格-库塔方法
龙格-库塔法基本思想
自适应步长龙格-库塔法
通过多步计算并利用泰勒级数展开式， 得到更高精度的近似解。
根据误差估计自动调整步长，实现精 度和计算效率的动态平衡。
标准四阶龙格-库塔法
一种常用的高精度数值解法，具有局 部截断误差为$O(h^5)$的优点。
常微分方程数值解法误差分析
局部截断误差
数值解法在单步计算中所产生的误差，可以通过泰勒级数展开式进行估计。
全局误差
数值解法在整个计算过程中所产生的累积误差，与算法稳定性、步长选择等因素有关。
1 数值分析-拉格朗日插值
2
)
l4
(
x)
144
4
x(
x
6
)(
x
4
)(
x
3
)
于是
sin
12
L4
( 12
)
l0
(
12
)
0
l1
(
12
)
1 2
l2
(
12
)
2 2
l3
(
12
)
3 2
l4
( )
12
1
5 0 15 1 5 2 5 3 1 1 24 8 2 3 2 8 2 24
0.258587908
真值： sin 0.258819045 。
得 1a0 0a1 0an y0 a0 y0 0a0 1a1 0an y1 a1 y1 …… 0a0 0a1 1an yn an yn
Lagrange插值函数Ln(x)
因此所求
n
y (x) Ln (x) l j (x) y j j0
• 按照一个或一些选出的模型类型对数据进行拟合； • 从一些拟合模型中选取最合适的； • 根据收集的数据做出预测. 插值：要求经过所有已知的数据点 拟合：较好地反映数据的整体变化趋势
插值函数的基本概念
通过实验测量得到未知函数y f (x)的相关数据：
(xi , yi ) (i 0,1, 2,..., n) 它反映了y f (x)在这些离散点处的情况： yi f (xi )(i 0,1,..., n). 由于f (x)是未知的.因此就想寻找逼近函数
{p(x) / p(x) a0 a1x a2x2 an xn , ai R,i 1 n}
本定理说明： 一个空间可以有多种不同形式的表示方式.即：空间的基底不惟一。
插值法(拉格朗日插值)ppt课件
i0
x0x1
l (x)
x1x0
8
l (x)
抛物插值
L 2 (x )
(x x 1 )x ( x 2 )y 0 (x x 0 )x ( x 2 )y 1 (x x 0 )x ( x 1 )y 2 (x 0 x 1 )x ( 0 x 2 ) (x 1 x 0 )x ( 1 x 2 ) (x 2 x 0 )x ( 2 x 1 )
可见: Pn(k)(x0)= f (k)(x0) k=0,1,…,n
因此, Pn(x)在点x0邻近会很好的逼近f(x).
Taylor展开方法就是一种插值方法.
泰勒插值要求提供 f(x) 在点x0处的各阶导数,这仅仅 适用于 f(x) 相当简单的情况.
精品课件
4
§1.2 Lagrange插值
• 设函数y = f(x)在区间[a,b]上有定义，且给出 一系列点上的函数值yi=f(xi) (i=0,1,2,…,n)，求 作n次多项式pn(x) 使得
并估计误差。
500 5
18
解： n = 1 分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算 x 0
x1
x2
利用
x0
6
,
x1
4
L 1 (x ) x /6 /4 /4 1 2 x /4 /6 /6 1 2
sin
而
501 2 内要0 端s 0 插计L.点0 1 i通算(x 51，n 1 8常的)插3 2 3 优x1 ,值R 0所于1 .7(9 效R 5 71外在1 6(果1x 8 )推4的) 较 。区这f0好(.2 2 0 选间里)(!。0 x 择的f )( (x 7 x ) 6 s 6)2x ix ( ,s n f in ( 4 2 )) (5x 0) =s0 .i7x,6n 6x 0 4( 46 4, 3 …)
x0x1
l (x)
x1x0
8
l (x)
抛物插值
L 2 (x )
(x x 1 )x ( x 2 )y 0 (x x 0 )x ( x 2 )y 1 (x x 0 )x ( x 1 )y 2 (x 0 x 1 )x ( 0 x 2 ) (x 1 x 0 )x ( 1 x 2 ) (x 2 x 0 )x ( 2 x 1 )
可见: Pn(k)(x0)= f (k)(x0) k=0,1,…,n
因此, Pn(x)在点x0邻近会很好的逼近f(x).
Taylor展开方法就是一种插值方法.
泰勒插值要求提供 f(x) 在点x0处的各阶导数,这仅仅 适用于 f(x) 相当简单的情况.
精品课件
4
§1.2 Lagrange插值
• 设函数y = f(x)在区间[a,b]上有定义，且给出 一系列点上的函数值yi=f(xi) (i=0,1,2,…,n)，求 作n次多项式pn(x) 使得
并估计误差。
500 5
18
解： n = 1 分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算 x 0
x1
x2
利用
x0
6
,
x1
4
L 1 (x ) x /6 /4 /4 1 2 x /4 /6 /6 1 2
sin
而
501 2 内要0 端s 0 插计L.点0 1 i通算(x 51，n 1 8常的)插3 2 3 优x1 ,值R 0所于1 .7(9 效R 5 71外在1 6(果1x 8 )推4的) 较 。区这f0好(.2 2 0 选间里)(!。0 x 择的f )( (x 7 x ) 6 s 6)2x ix ( ,s n f in ( 4 2 )) (5x 0) =s0 .i7x,6n 6x 0 4( 46 4, 3 …)
拉格朗日(Lagrange)插值
x0
18
x1 x2 利用 x0 = π , x1 = π L1 ( x ) = x π / 4 × 1 + x π / 6 × 1 6 4 π / 6 π / 4 2 π / 4 π / 6 2 π sin 50 0 ≈ L1 ( 5 ) ≈ 0.77614 这里 f ( x) = sin x , f (2) (ξ x ) = sinξ x , ξ x ∈(π , π ) 内插通常优于外插。 ) 18 内插通常优于外插。2选择 6 3 ( f (ξ x ) 而 1要计算的3x 所在的区间的x π )( x π ) , R1 ( x) = ( < sinξ x < 2 2 2! 6 4 端点，插值效果较好。 端点，插值效果较好。 sin 50° = 0.7660444… 0.01319 < R1 ( 5π ) < 0.00762 18
+1)
( n + 1) ! Nhomakorabeax
Rn ( x) =
(n + 1) !
∏( x x )
i i =0
注：
M n +1 n 作为误差估计上限。 将 ( n + 1)! ∏ | x x i | 作为误差估计上限。 i =0
通常不能确定 ξx , 而是估计
f ( n + 1 ) ( x ) ≤ M n + 1, x∈(a,b) ∈
这样求Lagrange插值多项式计算量大，不便于实际应用。 Lagrange插值多项式计算量大 注: 这样求Lagrange插值多项式计算量大，不便于实际应用。 过两点直线。 一次多项式插值 --- 过两点直线。 过三点抛物线。 二次多项式插值 --- 过三点抛物线。 则插值多项式不唯一 不唯一。 若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。
18
x1 x2 利用 x0 = π , x1 = π L1 ( x ) = x π / 4 × 1 + x π / 6 × 1 6 4 π / 6 π / 4 2 π / 4 π / 6 2 π sin 50 0 ≈ L1 ( 5 ) ≈ 0.77614 这里 f ( x) = sin x , f (2) (ξ x ) = sinξ x , ξ x ∈(π , π ) 内插通常优于外插。 ) 18 内插通常优于外插。2选择 6 3 ( f (ξ x ) 而 1要计算的3x 所在的区间的x π )( x π ) , R1 ( x) = ( < sinξ x < 2 2 2! 6 4 端点，插值效果较好。 端点，插值效果较好。 sin 50° = 0.7660444… 0.01319 < R1 ( 5π ) < 0.00762 18
+1)
( n + 1) ! Nhomakorabeax
Rn ( x) =
(n + 1) !
∏( x x )
i i =0
注：
M n +1 n 作为误差估计上限。 将 ( n + 1)! ∏ | x x i | 作为误差估计上限。 i =0
通常不能确定 ξx , 而是估计
f ( n + 1 ) ( x ) ≤ M n + 1, x∈(a,b) ∈
这样求Lagrange插值多项式计算量大，不便于实际应用。 Lagrange插值多项式计算量大 注: 这样求Lagrange插值多项式计算量大，不便于实际应用。 过两点直线。 一次多项式插值 --- 过两点直线。 过三点抛物线。 二次多项式插值 --- 过三点抛物线。 则插值多项式不唯一 不唯一。 若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。
数值分析课件-第02章插值法
数值分析课件-第02章插值法
目录
• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数， 使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数 值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连 续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同， 可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一 组离散点，构造一个二元函数通 过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商 的对称性、差商的差分表 示等，以便更好地理解和 应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之 间的关系，以及如何利用 差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简 单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算 新增节点处的差商，原有差商可 重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通 过已知点构造多项式，使得多 项式在已知点处取值与给定数 据相符。该方法简单直观，但 高阶多项式可能导致Runge现 象。
将整个定义域划分为若干个子 区间，在每个子区间上分别构 造插值函数。该方法可以避免 高阶多项式插值的Runge现象 ，但可能导致分段点处的不连 续性。
目录
• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数， 使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数 值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连 续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同， 可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一 组离散点，构造一个二元函数通 过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商 的对称性、差商的差分表 示等，以便更好地理解和 应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之 间的关系，以及如何利用 差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简 单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算 新增节点处的差商，原有差商可 重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通 过已知点构造多项式，使得多 项式在已知点处取值与给定数 据相符。该方法简单直观，但 高阶多项式可能导致Runge现 象。
将整个定义域划分为若干个子 区间，在每个子区间上分别构 造插值函数。该方法可以避免 高阶多项式插值的Runge现象 ，但可能导致分段点处的不连 续性。
计算方法 插值法-Lagrange插值ppt课件
计算方法 (Numerical Analysis)
第1次 Lagrange插值
本讲内容
1. 插值法的基本概念 2. 拉格朗日（Lagrange）插值 3. Lagrange插值的例子 4. Lagrange插值的误差
插值法的基本概念
第二章 插值法
§1 引言 问题的提出
–若函数f(x)的解析式未知，而通过实验观测得到的一组
现要求用线性函数p(x) ax 近b 似地代替f(x)。
选择参数a和b, 使得
p(x0 ) f (x0 )，p(x1) f (x1)
称这样的线性函数P(x)为f(x)的线性插值函数。
线性插值的几何意义: 用通过两点
A(x0, f (x0 )) B(x1, f(x1))
的直线近似地代替曲线y=f(x)，如图所示：
1 xn
x
2 0
…
x12 …
…
xn2 …
xn0
x1n
n i1
i1
(xi x j )
j0
x
n n
称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj （当i≠j），故V≠0。根据克莱姆（Gramer）法则，
方程组的解 a0 , a1, … , an 存在并且唯一，从而P(x)
被唯一确定。
l1(x )
x x0 x1 x0
线性插值 基函数
或者写成：
lk ( x)
1 j0
x xj , xk xj
jk
k 0,1
线性插值基函数具有如下性质：
l0(x0) 1, l0(x1) 0 l1(x0 ) 0 , l1(x1) 1
1 y l0 (x) y l1(x)
l0 (x) l1(x) 1
第1次 Lagrange插值
本讲内容
1. 插值法的基本概念 2. 拉格朗日（Lagrange）插值 3. Lagrange插值的例子 4. Lagrange插值的误差
插值法的基本概念
第二章 插值法
§1 引言 问题的提出
–若函数f(x)的解析式未知，而通过实验观测得到的一组
现要求用线性函数p(x) ax 近b 似地代替f(x)。
选择参数a和b, 使得
p(x0 ) f (x0 )，p(x1) f (x1)
称这样的线性函数P(x)为f(x)的线性插值函数。
线性插值的几何意义: 用通过两点
A(x0, f (x0 )) B(x1, f(x1))
的直线近似地代替曲线y=f(x)，如图所示：
1 xn
x
2 0
…
x12 …
…
xn2 …
xn0
x1n
n i1
i1
(xi x j )
j0
x
n n
称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj （当i≠j），故V≠0。根据克莱姆（Gramer）法则，
方程组的解 a0 , a1, … , an 存在并且唯一，从而P(x)
被唯一确定。
l1(x )
x x0 x1 x0
线性插值 基函数
或者写成：
lk ( x)
1 j0
x xj , xk xj
jk
k 0,1
线性插值基函数具有如下性质：
l0(x0) 1, l0(x1) 0 l1(x0 ) 0 , l1(x1) 1
1 y l0 (x) y l1(x)
l0 (x) l1(x) 1
《拉格朗日插值》课件
计算结果即为待插值点的 预测值。
根据需要，可以对插值结 果进行优化和调整，以提 高精度和适应性。
04
拉格朗日插值法的优缺点
Chaptபைடு நூலகம்r
优点
精确度高
拉格朗日插值法能够提供非常精 确的插值结果，尤其是在数据点 较多的情况下。
易于理解
拉格朗日插值法的原理相对简单 ，容易理解，方便教师和学生进 行教学和交流。
在数据点较少或数据变化较大的情况下， 拉格朗日插值法的插值结果可能会不稳定 ，甚至出现较大的误差。
对异常值敏感
对初值敏感
如果数据集中存在异常值，拉格朗日插值 法的插值结果可能会受到较大影响，导致 误差增大。
该方法对初值的选择较为敏感，如果初值 选择不当，可能会导致迭代不收敛或得到 不正确的插值结果。
VS
高精度计算
通过拉格朗日插值法，可以构造高精度的 数值积分公式，提高计算结果的精度。
在微分方程数值解中的应用
初值问题
在求解微分方程的初值问题时，可以使用拉格朗日插值法对解进行近似，得到数值解。
边值问题
在求解微分方程的边值问题时，可以利用拉格朗日插值法构造数值逼近方案，得到近似 解。
06
总结与展望
《拉格朗日插值》PPT课件
目录
• 引言 • 拉格朗日插值法的基本原理 • 拉格朗日插值法的实现步骤 • 拉格朗日插值法的优缺点 • 拉格朗日插值法的应用实例 • 总结与展望
01
引言
Chapter
拉格朗日插值法的背景
拉格朗日插值法是一种数学方法，用于通过已知的离散 数据点来构造一个多项式，该多项式可以用来估计未知 的数据点。 该方法由意大利数学家约瑟夫·拉格朗日于18世纪提出， 是数值分析中的重要工具之一。
拉格朗日插值法36页PPT
拉格朗日插值法
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
1
0
、倚南窗以寄傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
1
0
、倚南窗以寄傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
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l0(x)
l1-(x)
l2(x)
n次多项式
n1
希望找到li(x)，i
=
0,
…,
n
使得
li(xj)=
1 0
i j i j
；然后令
n
Pn ( x )
li( x )
y i
，则显然有Pn(xi) = yi 。
i0
li(x)
每个与li节有点n 个有根关，x0而…与xi li (x) Ci (x x0)...(x xi
-
定理 (插值多项式的存在唯一性) 满足 P (x i)yi,i0 ,..,n .
的 n 阶插值多项式是唯一存在的。
证明： ( 利用Vandermonde 行列式论证)
a0
a1 x 0
...
a
n
x
n 0
y0
a0 a1x1 ... an x1n y1
...
a0
a1 x n
...
a
n
x
-
例：已知 si6 n1 2,si4 n1 2,si3 n2 3
分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50
l (x)
l (x)
抛物插值
L 2 (x )
(x x 1 )x ( x 2 )y 0 (x x 0 )x ( x 2 )y 1 (x x 0 )x ( x 1 )y 2 (x 0 x 1 )x ( 0 x 2 ) (x 1 x 0 )x ( 1 x 2 ) (x 2 x 0 )x ( 2 x 1 )
3）列表函数
x
x0 x1 x2 …… xn
y=f(x) y0 y1 y2 …… yn
问题：无法求出不在表中的点的函数值，也不能 进一步研究函数的其他性质，如函数的积分和导 数等。因此需寻找y = f(x)的近似函数p(x),但要求 p(xi) = f( 。——插值问- 题
已知精确函数 y = f(x) 在一系列节点 x0 … xn 处测得函数值 y0 = f(x0), … yn = f(xn)，由此构 造一个简单易算的近似函数 p(x) f(x)，满足 条件p(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。这里的 p(x) 称 为f(x) 的插值函数。最常用的插值函数是 …?
pn (xi)= yi (i=0,1,2,…,n)
函数pn (x)为f(x)的插值函数；称x0,x1,… xn称为插值
节点或简称节点。插值节点所界的区间[a,b]称为插
值区间。pn (xi)= yi 称为插值条件。
构造的n次多项式可表示为: Pn(x)= a0 + a1x + a2x2+…+ anxn
设节点 ax0x1xnb，且 f 满足条件 f Cn[a,b], f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差 R n(x)f(x)L n(x)
Rn(x)f(n(n1)1()!)
n
(xxi)
i0
即 R n (x )f(( n n 1 )1 ())( !x x 0 )x ( x 1 )x ( x 2 ) (x x n )
Pn ( xi ) yi , i 0, ... , n
条件：无重合节点，即 i j xi xj
n= 1
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 P 1(x)a0a1x使得
P1( x0 ) y0 , P1( x1 ) y1
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
因此, Pn(x)在点x0邻近会很好的逼近f(x).
Taylor展开方法就是一种插值方法.
泰勒插值要求提供 f(x) 在点x0处的各阶导数,这仅仅 适用于 f(x) 相当简单的情况.
-
§1.2 Lagrange插值
• 设函数y = f(x)在区间[a,b]上有定义，且给出 一系列点上的函数值yi=f(xi) (i=0,1,2,…,n)，求 作n次多项式pn(x) 使得
… xn f 无关 )...(x xn
)
CN插i 次jn值i拉(x多格项x朗j )式日
li (xi ) 1
Ci
ji
( xi
1 xj)
j0
li(x)
n ji
(x xj ) (xi xj )
j0
n
Ln(x) li(x)yi i0
-
➢ 插值余项 /* Remainder */
用简单的插值函数L n(x)代替原复杂函数f(x),其 精度取决于截断误差,即插值余项.
其中 [a,b]
——拉格朗日余项定理
-
注： 通常不能确定 , 而是估计 f(n1)(x)Mn ,1x(a,b)
将
Mn1 n (n1)!i0
|
xxi
|
作为误差估计上限。
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时， f(n1)(x)0,
可知 Rn(x)0，即插值多项式对于次数 n 的多项式 是精确的。
n n
yn
这是一个关于a0 , a1 ,… an 的n+1元线性方程组,其系
数行列式:
n i1
Vn(x0,x1,..x.n,)
(xi xj)
i1 j0
由于i ≠j时, xi ≠ xj ,因此 Vn(x0,x1,..xn .),0 ,即方程组有
唯一解.
-
§2 拉格朗日插值公式
求 n 次多项式 P n (x ) a 0 a 1 x a n x n使得
多项式
p(x) f(x)
x0
x1
x2
x
-
x3
x4
§1.1Taylor插值
函数y = f(x)在点x0处展开有Taylor 多项式: p n (x ) f(x 0 ) f'(x 0 )x ( x 0 ) f''2 (! x 0 )(x x 0 )2 ... f(nn)(!x0)(xx0)n
可见: Pn(k)(x0)= f (k)(x0) k=0,1,…,n
第三章 插值法 /* Interpolation */
• 问题的提出 • 拉格朗日插值 • 牛顿插值 • 埃尔米特插值 • 曲线拟合的最小二乘法
-
§1问题的提出
函数y = f(x) 1）解析式未知；2）虽有解析式但表达式较复杂，
通过实验计算得到的一组数据，即在某个区间 [a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi)，
P1 ( x) y0 称 x为y11 拉xy氏00 (基x 函x数0 )
= x x1 x0 x1
y0 +
x x0 x1 x0
1
y1 li ( x) yi i0
l0(x)
l1(x)
-
线性插值
直线方程的两点式： L 1(x)xx1y0xx0y1
1
x0x1 x1x0
L1(x) i0 l-i ( x) yi