第02讲随机决策理论与方法-1

f (x) 1 ba
1 ba
a
b
主观概率—先验分布估计：分布函数法
二项分布：(离散型)每次随机试验中事件A出现的概率为 p，n次独立试验中事件A出现k次的概率服从二项分布： [Matlab函数：binopdf(k,n,p),binofit(k,n)]
B (p ,k,n ) C n kp k(1 p )n k
时出现状态j的后果
解决问题的主要理论方法：概率论与数理统计
随机决策理论与方法
1、主观概率 2、效用函数 3、决策准则 4、贝叶斯决策分析
主观概率—概率的定义
古典概率的定义：在相同条件下进行了n次试验（随机试 验），其中事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比 值nA/n称为事件A发生的频率，记为fn(A)，则古典概率的定 义为：p(A)=limn→∞fn(A)
主观概率—先验分布估计：分布函数法
随机决策理论与方法
1、主观概率 2、效用函数 3、决策准则 4、贝叶斯决策分析
效用函数—问题的引入
复习
信息集：为减少行动集、自然状态集、后果集的不确定 性开展调查研究所获得的信息。
自然状态集：事物所有可能的自然状态Θ={1,…, n}
行动集：决策主体可能采用的所有行动集合A={a1, …,am}
0.05
不足之处：
区间数n难以确定 似然率(i)估计困难 F(x)通常有较大的尾部误差
增长率 0
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13%
主观概率—先验分布估计：比较法
比较法2-连续型
离散化：同直方图法 比较赋值
➢ 选择一个似然率最大的子区间k作为基准，设其相对似然 率为Rk，然后给出其他各区间i相对于k的似然率Ri，则 (i)=Ri/ΣRi
主观概率—先验分布估计：分位点法
CDF：出生率累积分布函数
主观概率—先验分布估计：分布函数法
与给定形式的分布函数相匹配（最常用也容易滥用） [Matlab工具箱：Statistics Toolbox / Probability Distributions]
均匀分布（连续型）：如果随机变量落在某个区间(a, b) 中任意等长度的子区间内的可能性相等，则它服从均匀 分布，均匀分布的概率密度函数为： [Matlab函数： unifpdf(x,a,b),unifit(DATA)]
区间对分法（分位点法）-连续型
确定事件不可能发生的临界状态取值（如某地区人口出 生率不可能低于9‰，但也不可能超过18‰）；
求中位数：当状态取值为此值时，大于或小于此值的状 态出现的概率相等（如某地区人口出生率的中位数为 12.5‰）；
确定上下四分位点； 确定八分位点（一般仅取到八分位点）。
会破坏原有的优劣关系。 展望的优劣是相对的，没有无限优的展望，也不存在无
限劣的展望。
效用函数—效用的定义
效用的公理化定义：在上述公理系统中，若展望空 间上存在实值函数u，有：
对展望空间中的任意展望P1、P2，P1>P2 iff u(P1)>u(P2) u(P1+(1-)P2)= u(P1)+(1-)u(P2) (复合展望的效用等于
效用函数—问题的引入
礼品a1
1.0
2000元
抽奖a2
0.5
5000元
0.5
0元
在各类决策中，常常面临着这种选择：风险小但期望收益也小；期望 收益大但风险也大！不同的决策人有不同的选择，相同的决策人在不 同的情境下选择也不同。那么在决策中如何描述或表达后果对决策人 的实际价值，以便反映决策人心目中对各种后果的偏好次序呢？
效用的定义
若展望空间上的实值函数u对于展望空间的任意两个展望 P1、P2，有P1≥P2 iff u(P1)≥u(P2)，则称u为效用函数（不 同的决策者u是不同的）。
效用函数—效用的定义
效用存在性公理（理性行为公理）
连通性：任意两个展望的优劣都是可比的。 传递性：展望的优劣满足传递性。 复合保序性：展望的优劣关系是可以复合的，且复合不
Laplace的定义：p(A)=k/n；其中k为事件A所包含的基本事 件数，n为基本事件ei的总数。（基本事件数有限，每个基 本事件等概率）
公理化定义：E是随机实验，S是E的样本空间，对E的每一 事件A，对应有确定的实数p(A)，若p(A)满足：①非负性： p(A)≥0；②规范性：p(S)=1；③列可加性：对两两不相容事 件Ak，有p(∪kAk)=Σkp(Ak)。(Ai∩Aj=Φ,i≠j)
分蛋糕，猜下雨
不下雨 下 雨
主观概率—先验分布估计：直方图法
直方图法（适合于自然状态在实轴某个区间连续取值）
区间离散化：把的取值范围划分为若干子区间1…n； 赋值：估计每个区间的似然率(i)，据此作出直方图； 变换：将直方图拟合为概率分布函数F(x)=Σ≤x ()。
似然率 0.25
0.2
0.15 0.1
n种后果及后果出现的概率（自然状态发生的概率）的组 合，记为：Pi=<p1(i),c1(i);p2(i),c2(i);…;pn(i),cn(i)>，(i=1,2,…,m)
效用函数—效用的定义
复合展望：当无法确定采取某个行动时，可随机选择一 种行动，设选择行动ai的概率为qi。则决策的展望就是一 种复合展望，记为P=<q1, P1; q2, P2;…;qm,Pm>。所有展望 （包括简单展望和复合展望）构成展望空间。
主观概率—概率的定义
客观(Objective)概率：上述三种定义的概率是在多次重复试 验（随机试验）中，随机事件A发生的可能性的大小的度量， 称为客观概率。
主观(Subjective)概率：在实际管理决策中，许多事件的发 生概率是无法通过随机试验获得的，或条件不允许，或事件 本身不允许。因此需要一种方法来人为设定事件发生的概率， 称为主观概率。主观概率是人们根据经验、各方面的知识以 及了解到的客观情况进行分析、推理、综合判断，对特定事 件发生的可能性的信念（或意见、看法）的度量 (Savage,1954)。
cij~<p,c*;1-p,c0> 测得后果cij的效用值为：
u(cij)=p*u(c*)+(1-p)*u(c0)=p
主观概率—先验分布估计：分布函数法
正态分布（高斯分布）： (连续型)若连续型随机变量的
概率密度函数为:
f (x)
1
e(x22)2
2
则称随机变量服从参数为、2的正态分布[Matlab函数： normpdf(x,,), normfit(DATA)] 。
参见相关统计学书籍，看看还有哪些分布函数可供选择 使用？
决策理论与方法
——随机决策理论与方法(1)
2020年12月2日
随机性决策
风险性决策（随机性决策）：指有多种未来状态和 相应后果，但只能得到各种状态发生的概率而难以 获得充分可靠信息的决策问题。
特点：状态的随机性；决策结果的效用特性。 决策的已知变量：
状态空间的概率分布<Θ,P>={<1,p1>,< 2,p2 >,…, <n,pn>} 后果的效用函数(或损失函数)：u(cij)，cij表示采取方案ai
泊松分布： (离散型)每次随机试验中事件A出现的概率为 p，n次（n→∞，但n*p= 为常数）独立试验中事件A出 现k次的概率服从泊松分布：[Matlab函数：poisspdf(k, ), poissfit(DATA)]
p(k,)1ke
k!
主观概率—先验分布估计：分布函数法
主观概率—先验分布估计：分布函数法
传递性假设：若对事件A、B、C，有p(A)>p(B), p(B)>p(C), 则 p(A)>p(C)。（满足连通性和传递性的二元关系才能构成完全 序）
部分与全体关系假设：若事件A是事件B的一部分，则 p(B)≥p(A)。
主观概率—先验分布估计:比较法
比较法1-离散型（对事件发生的各种状态加以比较确定相 对似然率）
效用函数—效用的定义
效用就是偏好的量化值。决策的目标就是使期望效 用极大化。
基本概念及符号
严格序>：a>b表示a优于b。满足传递性和反对称性。 无差异~：a~b表示a与b无差异。满足自反性、对称性和
传递性。 弱序≥：a≥b表示a不劣于b。满足自反性、传递性和反对
称性。 展望/前景(prospect)（事态体）：每种行动i都有n种后果，
展望效用的复合) 对满足上述条件的u1, u2, 必有u1(Pi)=bu2(Pi)+c, 其中b,
c∈R1，b>0。（任意两个决策人的效用是线性相关的）
效用函数—基数性和序数性
前述定义的效用是一种基数效用，不仅能够反映决 策者的偏好次序，还能够反映决策者的偏好强度。
但在实际决策中，有时只需要偏好次序而不一定需 要知道偏好强度就可以决策。此时只需要序数效用 就可以了。
u(cij)=pij*u(c*)+(1-pij)*u(c0)=pij
效用函数—效用函数值的估计
礼品a1
1.0
2000元
抽奖a2
p=?
5000元
Байду номын сангаас
1-p
0元
概率当量法就是调整p值，使得行动a1和a2的效用相当。
效用函数—效用函数值的估计
确定当量法（修正N-M法）：
设u(c*)=1, u(c0)=0； 建立简单展望<p,c*;1-p,c0>，p为0-1间的给定值，如p=0.5 反复向决策人提问，改变cij得到如下的无差异关系：
后果集：决策问题各种可能的后果集合C={cij=c(ai,j)}， cij表示决策人采取行动ai时出现自然状态j时的后果。
主观概率是用来量化自然状态的随机性，那么我们 如何度量一个后果的价值呢？面临两个难题：