广东省广州市2020届高三一模文科数学试题(附答案)
广州市2020届高三年级数学(文科)一模试题(含答案)
二、填空题
13. 2
14. 1
2
15.
9
16.
1 8
，
1 2
1
1 2n
三、解答题 17. (12 分)
（1）解：由于 62.0,63.0内的频率为 0.075 0.225 0.5 0.15，…………………1 分
63.0,63.5 内的频率为 0.75 0.5 0.375， …………………………………2 分
的取值范围是
A. ,1
B. 0,1
C.
0,
1 ln 2
D.
1 ln 2
,
文科数学试题 第 2 页（共 5 页）
11.
已知
F1
，
F2
是双曲线
C
:
x2 a2
y2
1 a
0 的两个焦点，过点 F1 且垂直于 x 轴的直线
与 C 相交于 A ， B 两点，若 AB 2 ，则△ ABF2 的内切圆的半径为
2
A.
3
3
B.
3
22
C.
3
23
D.
3
12. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2 ，E ，F ，G 分别是棱 AD ，CC1 ，C1D1 的
中点，给出下列四个命题:
① EF B1C ;
② 直线 FG 与直线 A1D 所成角为 60 ;
③ 过 E ， F ， G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;
P
（2）解法 1：因为 AC 3PB 2 ，
则 AC 2 ， PB 2
3
.
3
A
O
C
2020届广东省广州市高考数学一模(文)试题(整理含标准答案解析版)
2020届广东省广州市高考数学一模（文）试题一、单选题 1．设集合，，则=（ ）A ．B ．C ．D ．2．高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作试验基地，这n 座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x 1，x 2，…x n ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( ) A ．x 1，x 2，…x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…x n 的最大值 D ．x 1，x 2，…x n 的中位数3．若复数()21a ia R i-∈+为纯虚数，则3ai -=（ ） AB ．13C ．10D4．设等差数列{}an 的前n 项和为Sn ，若则28155a a a +=-,9S =（ ）A ．18B ．36C ．45D ．605．已知4cos()25πθ+=，322ππθ<<，则sin 2θ的值等于( )A.1225 B.1225-C.2425 D.2425-6．若实数x ，y 满足001x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………，则2z y x =-的最小值为( ) A.2B.2-C.1D.1-7．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A.134B.866C.300D.5008．已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln xe x -=，则（ ）A.123x x x <<B.132x x x <<C.213x x x <<D.312x x x <<9．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A.aB.2aD.210．已知函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是( ) A.2(23k -，42)3k +，k Z ∈ B.2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C.2(43k -，44)3k +，k Z ∈ D.2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈11．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( ) A.17(1)a r + B.17[(1)(1)]a r r r +-+ C.18(1)a r +D.18[(1)(1)]a r r r+-+ 12．已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋24x x－，k ∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为A ．（85，＋∞） B ．（165，＋∞） C ．[85，＋∞） D ．[165，＋∞）二、填空题13．已知向量()()3,2,,1a b m =-=．若向量()2//a b b -，则m =_____．14．已知数列{}n a 满足11a =，111(*,2)n n a a a n N n -=++⋯+∈…，则当1n …时，n a =__． 15．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．16．已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为52π，1AB =，若ABC ∆外接圆的圆心1O 在AC 上，半径11r =，则直三棱柱111ABC A B C -的体积为_____．三、解答题17．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75)，第二组[75，85)，⋯⋯第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分． （1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．18．在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足32a =，132435225a a a a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当1212n S S S n++⋯+取最大值时，求n 的值． 19．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，且22sin 30C C -++=． （1）求角C 的大小； （2）若b =，ABC ∆sin A B ，求sin A 及c 的值． 20．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAB 是正三角形，2AB =，BC =PC =E 、H 分别为PA 、AB 的中点．（1）求证：PH AC ⊥； （2）求点P 到平面DEH 的距离．21．已知函数2()f x lnx mx =-，21()2g x mx x =+，m R ∈，()()()F x f x g x =+．（1）讨论函数()f x 的单调区间及极值；（2）若关于x 的不等式()1F x mx -…恒成立，求整数m 的最小值．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos sin x y αααα⎧=⎪⎨=-⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与y 轴交点为P ，经过点P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，证明：PA PB ⋅为定值. 23．已知函数()12()f x x x m m R =-++∈. （1）若2m =时，解不等式()3f x ≤；（2）若关于x 的不等式()23f x x ≤-在[0,1]x ∈上有解，求实数m 的取值范围.2020届广东省广州市高考数学一模（文）试题1. 【答案】B【解析】试题分析：集合，故选B.【考点】集合的交集运算. 2. 【答案】B【解析】根据平均数、标准差、中位数、最值的实际意义逐一判断即可. 【详解】因为平均数、中位数、众数描述样本数据的集中趋势, 方差和标准差描述其波动大小. 所以，表示一组数据12,,...n x x x 的稳定程度的是方差或标准差．故选B ． 【点睛】本题主要考查平均数、标准差、中位数的实际意义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，以及灵活运用所学知识解答问题的能力，属于基础题. 3. 【答案】A【解析】由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可。
2020年广东省广州市高考数学一模试卷和答案(文科)
2020年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝{3，4，5}，N ＝{1，3，6}，则集合{2，7}等于（）A．M∩N B．∁U（M∪N）C．∁U（M∩N）D．M∪N 2．（5分）某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为4800人，4000人，2400人．现采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生人数为70人，则该样本中高中学生人数为（）A．42人B．84人C．126 人D．196人3．（5分）直线kx﹣y+1＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定4．（5分）已知函数f（x）＝，则f[f（）]的值为（）A．4B．2C．D．5．（5分）已知向量＝（2，1），＝（x，﹣2），若|+|＝|2﹣|，则实数x的值为（）A．B．C．D．26．（5分）如图所示，给出的是计算+++…+值的程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞9B．i＞10C．i＞11D．i＞12 7．（5分）设函数f（x）＝2cos（x﹣），若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．4πB．2πC．πD．8．（5分）刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的规则．提出了“割圆术”，并用“割圆术”求出圆周率π为3.14．刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作．其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形的面积，第二步是求圆的内接正十二边形的面积，依此类推．若在圆内随机取一点，则该点取自该圆内接正十二边形的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知sinα﹣cosα＝，0＜α＜π，则cos2α＝（）A．﹣B．C．D．﹣10．（5分）已知点P（x0，y0）在曲线C：y＝x3﹣x2+1上移动，曲线C在点P处的切线的斜率为k，若k∈[﹣，21]，则x0的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，3]C．[﹣，+∞）D．[﹣7，9] 11．（5分）已知O为坐标原点，设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C上位于第一象限内的点．过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为A，若b ＝|F1F2|﹣2|OA|，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．212．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A﹣BD﹣C的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．7πB．8πC．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知复数z＝﹣i．则z2+z4＝．14．（5分）已知函数f（x）＝在区间（0，+∞）上有最小值4，则实数k＝．15．（5分）已知直线a⊥平面α，直线b⊂平面β，给出下列5个命题①若α∥β，则a⊥b；②若α⊥β，则a⊥b：③若α⊥β，则a ∥b：④若a∥b，则α⊥β；⑤若a⊥b则α∥β，其中正确命题的序号是．16．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝，∠ABC＝，∠ADB＝，则tan∠ACD＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＝n﹣S n，设b n＝a n﹣1．（1）求a1，a2，a3；（2）判断数列{b n}是否是等比数列，并说明理由；（3）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）如图1，在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点．将△ADE沿DE折起，使得AB⊥AD，得到如图2的四棱锥A﹣BCDE，连结BD，CE，且BD与CE交于点H．（1）证明：AH上BD；（2）设点B到平面AED的距离为h1，点E到平面ABD的距离为h2，求的值．19．（12分）某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第1夭到第5天的日产卵数据：第x天12345日产卵数y612254995（个）对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．x i x i2（lny i）（x i•lny i）155515.9454.75（1）根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数y关于x 的回归方程为y＝e a+bx（其中e为自然对数的底数），求实数a，b 的值（精确到0.1）；（2）根据某项指标测定，若日产卵数在区间（e6，e8）上的时段为优质产卵期，利用（1）的结论，估计在第6天到第10天中任取两天，其中恰有1天为优质产卵期的概率．附：对于一组数据（v1，μ1），（v2，μ2），…，（v n，μn），其回归直线μ＝α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣•．20．（12分）已知⊙M过点A（，0），且与⊙N：（x+）2+y2＝16内切，设⊙M的圆心M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程：（2）设直线l不经过点B（0，1）且与曲线C相交于P，Q两点．若直线PB与直线QB的斜率之积为﹣，判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+a）e bx（b≠0）的最大值为，且曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与直线y＝x﹣2平行（其中e 为自然对数的底数）．（1）求实数a，b的值；（2）如果0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），求证：3x1+x2＞3．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（θ为参数，且θ∈（，））．（1）求C1与C2的普通方程，（2）若A，B分别为C1与C2上的动点，求|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＜3；（2）若不等式f（x）＜11﹣4x对任意x∈[﹣4，﹣]成立，求实数a的取值范围．2020年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）答案与解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】由已知求出M∩N＝{3}，M∪N＝{1，3，4，5，6}，再求其补集，可判断结果．【解答】解：由已知：M∩N＝{3}，M∪N＝{1，3，4，5，6}，∴∁U（M∩N）＝{1，2，4，5，6，7），∁U（M∪N）＝{2，7}．故选：B．2．【分析】设高中抽取人数为x，根据条件，建立比例关系进行求解即可．【解答】解：设高中抽取人数为x，则，得x＝42，故选：A．3．【分析】判断直线恒过的定点与圆的位置关系，即可得到结论．【解答】解：圆方程可整理为（x+1）2+（y﹣2）2＝4，则圆心（﹣1，2），半径r＝2，直线恒过点（0，1），因为（0，1）在圆内，故直线与圆相交，故选：A．4．【分析】根据分段函数的解析式，先求出f（）的值，再求f[f（）]的值．【解答】解：因为f（x）＝，∴f（）＝ln；∴f[f（）]＝e＝．故选：D．5．【分析】由向量和向量的坐标求出向量和向量的坐标，再利用|+|＝|2﹣|，即可求出x的值．【解答】解：∵向量＝（2，1），＝（x，﹣2），∴＝（2+x，﹣1），＝（4﹣x，4），∵|+|＝|2﹣|，∴，解得x＝，故选：C．6．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出s的值，模拟循环过程可得条件．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：s＝0，n＝2，i＝1不满足条件，第一圈：s＝0+，n＝4，i＝2，不满足条件，第二圈：s＝+，n＝6，i＝3，不满足条件，第三圈：s＝++，n＝8，i＝4，…依此类推，不满足条件，第10圈：s＝+++…+，n＝22，i＝11，不满足条件，第11圈：s＝+++…++，n＝24，i＝12，此时，应该满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i＞11？．故选：C．7．【分析】由题意可知f（x1）≤f（x）≤f（x2），f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1﹣x2|的最小值就是半个周期．【解答】解：函数f（x）＝2cos（x﹣），若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），∴f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1﹣x2|的最小值就是函数的半周期，＝×＝2π；故选：B．8．【分析】设圆的半径为1，分别求出圆的面积及圆内接正十二边形的面积，由测度比是面积比得答案．【解答】解：设圆的半径为1，圆内接正十二边形的一边所对的圆心角为＝30°，则圆内接正十二边形的面积为：12××1×1×sin30°＝3．圆的面积为π×12＝π，由测度比为面积比可得：在圆内随机取一点，则此点在圆的某一个内接正十二边形内的概率是．故选：C．9．【分析】把sinα﹣cosα＝平方可得2sinαcosα的值，从而求得sinα+cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）的值．【解答】解：∵sinα﹣cosα＝，0＜α＜π，∴平方可得：1﹣2sinαcosα＝，2sinαcosα＝＞0．∴α为锐角．∴sinα+cosα═＝＝＝，∴cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）＝﹣×＝﹣．故选：A．10．【分析】先求出y＝x3﹣x2+1的导数，然后求出曲线C在点P（x0，y0）处的切线斜率k，再根据k∈[﹣，21]求出x0的取值范围．【解答】解：由y＝x3﹣x2+1，得y'＝3x2﹣2x，则曲线C在点P（x0，y0）处的切线的斜率为，∵k∈[﹣，21]，∴∈，∴．故选：B．11．【分析】由角平分线的性质可得延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|＝|PB|，可得OA为△BF1F2的中位线，b＝|F1F2|﹣2|OA|＝2c﹣2a再由a，b，c的关系求出离心率．【解答】解：延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|＝|PB|，连接OA，则OA为△BF1F2的中位线，所以|BF1|＝2|OA|，而|BF1|＝|PF1|﹣|PB|＝|PF1|﹣|PF2|＝2a因为b＝|F1F2|﹣2|OA|＝2c﹣2a，而b2＝c2﹣a2所以c2﹣a2＝4（c﹣a）2整理可得3c2﹣8ac+5c2＝0，即3e2﹣8e+5＝0，解得e＝或1，再由双曲线的离心率大于1，可得e＝，故选：C．12．【分析】如图，取BD中点H，连接AH，CH，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°，分别过EF作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°，进而可求得R的值．【解答】解：如图，取BD中点H，连接AH，CH，因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°，设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F，则由AH＝2×＝可得AE＝AH＝，EH＝AH＝，分别过EF作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°，所以OE＝1，则R＝OA＝＝，则三棱锥外接球的表面积4πR2＝4π×＝，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】利用复数的乘方运算和加法法则即可得出．【解答】解：∵z2＝（﹣i）2＝﹣i﹣＝﹣i，∴z4＝（z2）2＝（﹣i）2＝﹣1，∴z2+z4＝﹣1﹣i，故答案是：﹣1﹣i．14．【分析】由函数在（0，+∞）上有最小值可知，k＞0，再由基本不等式即可求得k的值．【解答】解：依题意，k＞0，则，则，解得k＝4．故答案为：4．15．【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用逐一核对四个命题得答案．【解答】解：对于①，由a⊥平面α，α∥β，得a⊥β，又直线b⊂平面β，∴a⊥b，故①正确；对于②，由a⊥平面α，α⊥β，得a∥β或a⊂β，而直线b⊂平面β，∴a与b的关系是平行、相交或异面，故②错误；对于③，由a⊥平面α，α⊥β，得a∥β或a⊂β，而直线b⊂平面β，∴a与b的关系是平行、相交或异面，故③错误；对于④，由a⊥平面α，a∥b，得b⊥α，又直线b⊂平面β，∴α⊥β，故④正确；对于⑤，由a⊥平面α，a⊥b，得b∥α或b⊂α，又直线b⊂平面β，∴α与β相交或平行，故⑤错误．∴其中正确命题的序号是①④．故答案为：①④．16．【分析】设∠ACD＝θ，AC＝1，则AD＝sinθ，进一步可得，再利用正弦定理可得，通过三角恒等变换即可求得tanθ的值，进而得出答案．【解答】解：不妨设∠ACD＝θ，AC＝1，则AD＝sinθ，在△ABD中，，∠ADB＝，则，在△ABD中，由正弦定理得，即，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．【分析】（1）a n＝n﹣S n，可得a1＝1﹣a1，解得a1．a2＝2﹣（a2+），解得a2．a3＝3﹣（a3++），解得a3．（2）a n＝n﹣S n，n≥2时，a n﹣1＝n﹣1﹣S n﹣1，相减可得：a n﹣1＝（a n﹣1），可得：b n＝b n﹣1．即可得出结论．﹣1（3）由（2）可得：b n＝﹣．可得a n＝b n+1，可得S n＝n﹣a n．【解答】解：（1）a n＝n﹣S n，∴a1＝1﹣a1，解得a1＝．a2＝2﹣（a2+），解得a2＝．a3＝3﹣（a3++），解得a3＝．（2）a n＝n﹣S n，n≥2时，a n﹣1＝n﹣1﹣S n﹣1，相减可得：2a n＝a n+1，﹣1变形为：a n﹣1＝（a n﹣1﹣1），由b n＝a n﹣1．可得：b n＝b n﹣1．b1＝a1﹣1＝﹣．∴数列{b n}是等比数列，首项为﹣，公比为．（3）由（2）可得：b n＝﹣×＝﹣．则a n＝b n+1＝1﹣．∴S n＝n﹣a n＝n﹣1+．18．【分析】（1）在图1中，证明BD⊥AC，ED∥BC，则在图2中，有，得DH＝，然后证明△BAD∽△AHD，可得∠AHD＝∠BAD＝90°，即AH⊥BD；（2）由V B＝V E﹣ABD，得，分别求出三角形ABD与﹣AED三角形AED的面积得答案．【解答】（1）证明：在图1中，∵△ABC为等边三角形，且D为边AC的中点，∴BD⊥AC，在△BCD中，BD⊥CD，BC＝2，CD＝1，∴BD＝，∵D、E分别为边AC、AB的中点，∴ED∥BC，在图2中，有，∴DH＝．在Rt△BAD中，BD＝，AD＝1，在△BAD和△AHD中，∵，∠BDA＝∠ADH，∴△BAD∽△AHD．∴∠AHD＝∠BAD＝90°，即AH⊥BD；（2）解：∵V B＝V E﹣ABD，﹣AED∴，则．∵△AED是边长为1的等边三角形，∴．在Rt△ABD中，BD＝，AD＝1，则AB＝．∴，则．19．【分析】（1）根据y＝e a+bx，两边取自然对数得lny＝a+bx，再利用线性回归方程求出a、b的值；（2）根据y＝e1.1+0.7x，由e6＜e1.1+0.7x＜e8求得x的取值范围，再利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】解：（1）因为y＝e a+bx，两边取自然对数，得lny＝a+bx，令m＝x，n＝lny，得n＝a+bm；因为＝＝＝0.693；所以b≈0.7；因为＝﹣b＝﹣0.7×3＝1.088；所以a≈1.1；即a≈1.1，b≈0.7；（2）根据（1）得y＝e1.1+0.7x，由e6＜e1.1+0.7x＜e8，得7＜x＜；所以在第6天到第10天中，第8、9天为优质产卵期；从未来第6天到第10天中任取2天的所有可能事件有：（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共10种；其中恰有1天为优质产卵期的有：（6，8），（6，9），（7，8），（7，9），（8，10），（9，10）共6种；设从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的事件为A，则P（A）＝＝；所以从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的概率为．20．【分析】（1）由两圆相内切的条件和椭圆的定义，可得曲线C的轨迹方程；（2）设直线BP的斜率为k（k≠0），则BP的方程为y＝kx+1，联立椭圆方程，解得交点P，同理可得Q的坐标，考虑P，Q的关系，运用对称性可得定点．【解答】解：（1）设⊙M的半径为R，因为圆M过A（，0），且与圆N相切，所以R＝|AM|，|MN|＝4﹣R，即|MN|+|MA|＝4，由|NA|＜4，所以M的轨迹为以N，A为焦点的椭圆．设椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），则2a＝4，且c＝＝，所以a＝2，b＝1，所以曲线C的方程为+y2＝1；（2）由题意可得直线BP，BQ的斜率均存在且不为0，设直线BP的斜率为k（k≠0），则BP的方程为y＝kx+1，联立椭圆方程x2+4y2＝4，可得（1+4k2）x2+8kx＝0，解得x1＝0，x2＝﹣，则P（﹣，），因为直线BQ的斜率为﹣，所以同理可得Q（，﹣），因为P，Q关于原点对称，（或求得直线l的方程为y＝x）所以直线l过定点（0，0）．21．【分析】（1）对原函数求导数，然后利用在x＝0处切线的斜率为1，函数的最大值为列出关于a，b的方程组求解；（2）利用f（x1）＝f（x2）找到x1，x2的关系式，然后引入t＝x2﹣x1，构造关于t的函数，将3x1+x2转换成关于t的函数，求最值即可．【解答】解：（1）由已知f′（x）＝（bx+ab+1）e bx．则易知f′（0）＝ab+1＝1，∴ab＝0，又因为b≠0，故a＝0．此时可得f（x）＝xe bx（b≠0），f′（x）＝（bx+1）e bx．①若b＞0，则当x时，f′（x）＜0，f（x）递减；．此时，函数f（x）有最小值，无最大值．②若b＜0，则当；x．此时，解得b＝﹣1．所以a＝0，b＝﹣1即为所求．（2）由0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2）得：．∴．设t＝x2﹣x1（t＞0），则e t x1﹣x1＝t，可得，所以要证3x1+x2＞3，即证．∵t＞0，所以e t﹣1＞0，所以即证（t﹣3）e t+3t+3＞0．设g（t）＝（t﹣3）e t+3t+3（t＞0），则g′（t）＝（t﹣2）e t+3．令h（t）＝（t﹣2）e t+3，则h′（t）＝（t﹣1）e t，当t∈（0，1）时，h′（t）＜0，h（t）递减；t∈（1，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）递增．所以h（t）＞h（1）＝3﹣e＞0，即g′（t）＞0，所以g（t）在（0，+∞）上递增．所以g（t）＞g（0）＝0．∴3x1+x2＞3．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果．【解答】解：（1）由题可得：C1的普通方程为2x﹣y﹣5＝0又因为C2的参数方程为，两边平方可得，所以C 2的普通方程为，且．（2）由题意，设C1的平行直线2x﹣y+c＝0联立消元可得：3x2+4cx+c2+3＝0所以△＝4c2﹣36＝0，解得c＝±3又因为，经检验可知c＝3时与C2相切，所以．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【分析】（1）a＝1时，f（x）＝|3x﹣6|+|x+1|，讨论x的取值范围，去掉绝对值求不等式f（x）＜3的解集即可；（2）f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|＜11﹣4x对任意成立，等价于|x+a|＜5﹣x恒成立，去绝对值，从而求出a的取值范围．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝|3x﹣6|+|x+1|＝；当x＜﹣1时，由f（x）＜3得﹣4x+5＜3，解得x＞（不合题意，舍去）；当﹣1≤x≤2时，由f（x）＜3得﹣2x+7＜3，解得x＞2（不合题意，舍去）；当x＞2时，由f（x）＜3得4x﹣5＜3，解得x＜2（不合题意，舍去）；所以不等式f（x）＜3的解集∅；（2）由f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|＜11﹣4x对任意成立，得﹣（3x﹣6）+|x+a|＜11﹣4x，即|x+a|＜5﹣x，所以，所以，得a＞﹣5且a＜5﹣2x对任意成立；即﹣5＜a＜8，所以a的取值范围是（﹣5，8）．。
2020年广东省高考数学一模试卷(文科)(附答案详解)
2020年广东省高考数学一模试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A，B均为全集U={1,2,3,4,5,6,7}的子集，集合A={1,2,3,4}，则满足A∩∁U B={1,2}的集合B可以是()A. {1,2,3,4}B. {1,2,7}C. {3,4,5,6}D. {1,2,3}2.复数z=4+3i3−4i(i为虚数单位)的虚部为()A. −1B. 2C. 5D. 13.已知向量a⃗=(12,−1)向量b⃗ 满足2a⃗+b⃗ =(−1,m)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=()A. −3B. 3C. 1D. 24.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，若四边形AF2BF1是正方形且面积为4，则椭圆C的方程为()A. x24+y22=1 B. x22+y2=1 C. x23+y22=1 D. x24+y23=15.如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t(0<t≤2)左侧的图形的面积为f(t)，则y=f(t)的大致图象为()A.B.C.D.6.若sin(π+α)=√23，则sin(2α−π2)的值为()A. −19B. −59C. 19D. 597.甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为()A. 14B. 13C. 16D. 1368.某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm，则石凳子的体积为()A. 1920003cm3 B. 1600003cm3 C. 160003cm3 D. 640003cm39.执行如图的程序框图，若输出A的值为70169，则输入i的值为()A. 4B. 5C. 6D. 710.已知O是坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过点F的直线l与x轴垂直，且交双曲线C于A，B两点，若△ABO是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为()A. √5+12B. √5−12C. √5−1D. √5+111.在△ABC中，已知A=60°，D是边BC上一点，且BD=2DC，AD=2，则△ABC面积的最大值为()A. √3B. 32√3 C. 2√3 D. 52√312.已知f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，f(1)=0，且当x∈(0,π2)时，f(x)+f′(x)tanx>0，则不等式f(x)<0的解集为()A. (−1,0)∪(1,π2) B. (−1,0)∪(0,1)C. (−π2,−1)∪(1,π2) D. (−π2,−1)∪(0,1)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数f(x)=mx2lnx，若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线ex+y+2020=0平行，则m=______．14. 若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z =2x +y 的最大值为______．15. 如图，已知三棱锥P −ABC 满足PA =PB =PC =AB =2，AC ⊥BC ，则该三棱锥外接球的体积为______．16. 函数f(x)=sinπx +acosπx 满足f(x)=f(13−x)，x ∈[0,32]，方程f(x)−m =0恰有两个不等的实根，则实数m 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知{a n }为单调递增的等差数列，设其前n 项和为S n ，S 5=−20，且a 3，a 5+1，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n 的最小值及取得最小值时n 的值．18. 某城市2018年抽样100户居民的月均用电量(单位：千瓦时)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组，得到如表频率分布表： 分组频数频率[160,180) n 1 0.04 [180,200) 19 f 1 [200,220) n 2 0.22 [220,240) 25 0.25 [240,260) 15 0.15 [260,280) 10 f 2 [280,300]50.05(1)求表中n 1，n 2，f 1，f 2的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m ； (2)该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数u(单位：千瓦时)作为统计数据，如图是部分数据的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合u 与年份t 的关系．①为简化运算，对以上数据进行预处理，令x =t −2014，y =u −195，请你在答题卡上完成数据预处理表；②建立u 关于t 的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数． 附：回归直线y ^=b ^x +a ^的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −．19. 如图，已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1，D 是AB 的中点，E 是C 1C 的中点，且AB =1，AA 1=2． (1)证明：CD//平面A 1EB ； (2)求点A 1到平面BDE 的距离．20.动圆C与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1，x2是方程x2+2mx−4=0的两根．(1)若线段AB是动圆C的直径，求动圆C的方程；(2)证明：当动圆C过点M(0,1)时，动圆C在y轴上截得弦长为定值．21.已知函数f(x)=e x+(m−e)x−mx2．(1)当m=0时，求函数f(x)的极值；(2)当m<0时，证明：在(0,1)上f(x)存在唯一零点．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1.若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|⋅|OQ|=2，记动点Q的轨迹为C2．(1)求C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．|x+3|−2(k∈R)．23.已知函数f(x)=|x−k|+12(1)当k=1时，解不等式f(x)≤1；(2)若f(x)≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A，B均为全集U={1,2,3,4,5,6,7}的子集，集合A={1,2,3,4}，要满足A∩∁U B={1,2}；则1，2∉B，故符合条件的选项为C．故选：C．根据题意得出1，2∉B，即可判断结论．本题考查集合了的交、并、补集的混合运算问题，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵z=4+3i3−4i =(4+3i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=25i25=i，∴复数z=4+3i3−4i的虚部是1，故选：D．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：向量a⃗=(12,−1)，向量b⃗ 满足2a⃗+b⃗ =(−1,m)，设b⃗ =(x,y)，则(1+x,−2+y)=(−1,m)，∴1+x=−1，且−2+y=m，求得x=−2，m=y−2．若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =x2−y=−1−y=0，故y=−1，∴m=y−2=−3，故选：A．由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，求得m的值．本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由AF2BF1是正方形可得b=c，再由AF2BF1的面积为4可得12⋅2c⋅2b=4，即bc=2，又a2=b2+c2，解得：a2=4，b2=2，所以椭圆的方程为：x24+y22=1；故选：A．由四边形AF2BF1是正方形且面积为4可得b，c的值，再由a，b，c之间的关系求出a的值，进而求出椭圆的面积．本题考查椭圆的性质，及正方形的面积与对角线的关系，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：当0<x<1时，函数的面积递增，且递增速度越来越快，此时，CD，不合适，当1≤x≤2时，函数的面积任然递增，且递增速度逐渐变慢，排除A，故选：B．根据面积的变换趋势与t的关系进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数递增速度与t的关系是解决本题的关键．难度不大．6.【答案】B【解析】解：∵sin(π+α)=√23，∴可得sinα=−√23，∴sin(2α−π2)=−cos2α=2sin2α−1=2×(−√23)2−1=−59．故选：B．由已知利用诱导公式可求sinα的值，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可求解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，基本事件总数n=C42=6，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率p=16．故选：C．基本事件总数n=C42=6，由此能求出甲、乙两人选的2本恰好相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是基础题．8.【答案】B【解析】解：如图，正方体AC1的棱长为40cm，则截去的一个正三棱锥的体积为13×12×20×20×20=40003cm3．又正方体的体积为V=40×40×40=64000cm3，∴石凳子的体积为64000−8×40003=1600003cm3，故选：B．由正方体的体积减去八个正三棱锥的体积求解．本题考查多面体体积的求法，考查计算能力，是基础题．9.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得A=12，k=1满足条件1≤i，执行循环体，A=25，k=2满足条件2≤i，执行循环体，A=512，k=3满足条件3≤i，执行循环体，A=1229，k=4满足条件4≤i，执行循环体，A=2970，k=5满足条件5≤i，执行循环体，A=70169，k=6由题意，此时不满足条件6≤i，退出循环，输出A的值为70169，可得输入i的值为5．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.【答案】A【解析】解：由题意可知：|AF|=b2a，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过点F的直线l与x轴垂直，且交双曲线C于A，B两点，若△ABO是等腰直角三角形，可得c=b2a =c2−a2a，e=e2−1，e>1解得e=√5+12．故选：A．由双曲线的性质，结合通径以及半焦距，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．11.【答案】B【解析】解：因为在△ABC 中，已知A =60°，D 是边BC 上一点，且BD =2DC ，AD =2， ；∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=19AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2×13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +49AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2； 即：4=19c 2+49bc ⋅cos60°+49b 2⇒36=c 2+2bc +4b 2≥2√c 2⋅4b 2+2bc =6bc ； ∴bc ≤6，(当且仅当2b =c 时等号成立)； ∵S △ABC =12bcsinA ≤12×6×√32=3√32． 即△ABC 面积的最大值为：3√32． 故选：B ．先根据向量的三角形法则得到AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；对其两边平方，求出bc 的取值范围即可求得结论．本题考查△ABC 的面积的求法以及向量知识的综合应用，涉及到基本不等式，属于中档题目．12.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了利用导数研究的单调性、构造法、方程与不等式的解法，等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．令g(x)=f(x)sinx ，g′(x)=[f(x)+f′(x)tanx]⋅cosx ，当x ∈(0,π2)时，根据f(x)+f′(x)tanx >0，可得函数g(x)单调递增．又g(1)=0，判断g(x)在(0,π2)上的正负情况，根据f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，可得g(x)是定义在(−π2,π2)上的偶函数．进而得出不等式f(x)<0的解集． 【解答】解：令g(x)=f(x)sinx ，g′(x)=f(x)cosx +f′(x)sinx =[f(x)+f′(x)tanx]⋅cosx ，当x ∈(0,π2)时，f(x)+f′(x)tanx >0，∴g′(x)>0，即函数g(x)单调递增． 又g(1)=0，∴x ∈(0,1)时，g(x)=f(x)sinx <0，又sinx >0，所以f(x)<0． x ∈(1,π2)时，g(x)=f(x)sinx >0，又sinx >0，所以f(x)>0． x =0时，f(0)=0，舍去． ∵f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数， ∴g(x)是定义在(−π2,π2)上的偶函数． 则g(x)在(−π2,0)上单调递减，且g(−1)=0，故x ∈(−π2,−1)时，g(x)=f(x)sinx >0，又sinx <0，所以f(x)<0． x ∈(−1,0)时，g(x)=f(x)sinx <0，又sinx <0，所以f(x)>0． ∴不等式f(x)<0的解集为(−π2,−1)∪(0,1)． 故选：D ．13.【答案】−13【解析】解：f′(x)=m(2xlnx +x)，又曲线y =f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线ex +y +2020=0平行， ∴f′(e)=3em =−e ，解得m =−13． 故答案为：−13．求出f(x)的导数，然后根据切线与直线ex +y +2020=0平行，得f′(e)=−e ，列出关于m 的方程，解出m 的值．本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，同时考查学生运用方程思想解题的能力和运算能力．14.【答案】7【解析】解：画出x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，可行域如图阴影部分 由{x =2x −y =−1，得A(2,3)目标函数z=2x+y可看做斜率为−2的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大=2×2+3=7．故答案为：7．先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．15.【答案】3227√3π【解析】解：因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，可得外接圆的半径为r=12AB=1，再由PA=PB=PC=AB=2可得PD⊥面ABC，可得PD=√PA2−AD2=√3，可得球心O在直线PD所在的直线上，设外接球的半径为R，取OP=OA=R，在△OAD中，R2=r2+(PD−R)2，即R2=1+(√3−R)2，解得：R=2√3=2√33，所以外接球的体积V=4π3R3=32√327π，故答案为：32√327π.因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，再由PA=PB=PC可得球心O在直线PD所在的直线上，设为O，然后在直角三角形中由勾股定理可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的体积公式，属于中档题．16.【答案】√3≤m<2或−2<m≤−1【解析】解：函数f(x)=sinπx+acosπx满足f(x)=f(13−x)，则函数的对称轴为x=16，当x=16时，函数f(x)取得最值，即±√1+a 2=sin π6+acos π6，整理得a 2−2√3a +3=0，解得a =√3， 所以f(x)=sinπx +√3cosπx =2sin(πx +π3). 由于x ∈[0,32]，所以π3≤πx +π3≤3π2+π3=11π6，根据函数的图象，当√3≤m <2或−2<m ≤−1时，函数的f(x)的图象与y =m 有两个交点，即方程f(x)−m =0恰有两个不等的实根， 故答案为：√3≤m <2或−2<m ≤−1．首先利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的图象求出函数f(x)的图象和函数y =m 的交点，进一步求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的应用，函数的零点和函数的图象的交点的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．17.【答案】解：(1){a n }为单调递增的等差数列，设公差为d ，d >0，由S 5=−20，可得5a 1+10d =−20，即a 1+2d =−4，①由a 3，a 5+1，a 9成等比数列，可得a 3a 9=(a 5+1)2，即(a 1+2d)(a 1+8d)=(a 1+4d +1)2，化为2a 1d =2a 1+1+8d ，② 由①②解得d =12，a 1=−5， 则a n =−5+12(n −1)=12(n −11)； (2)S n =12n(−5+n−112)=14(n 2−21n)=14[(n −212)2−4414]，由于n 为正整数，可得n =10或11时，S n 取得最小值−552．【解析】(1)设等差数列的公差为d ，d >0，由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；(2)由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，注意n 为正整数，可得所求最值． 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等比中项的性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)n 1=100×0.04=4；n 2=100×0.22=22；f 1=19100=0.19；f 2=10100=0.1．设样本频率分布表的中位数为a ，则0.04+0.19+0.22+0.25×120×(a −20)=0.5，解得a =224，由样本估计总体，可估计2018年该市居民月均用电量的中位数m 为224千瓦时． (2)①数据预处理如下表：②由①可知，x −=0,y −=−21−11+0+19+295=3.2，∴b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2=(−4)×(−21)+(−2)×(−11)+2×19+4×29(−4)2+(−2)2+22+42=26040=6.5，a ̂=y −−b ̂x −=3.2−6.5×0=3.2，∴y 关于x 的线性回归方程为y ̂=6.5x +3.2，∵x =t −2014，y =u −195，∴u −195=6.5(t −2014)+3.2， 故u 关于t 的线性回归方程为u =6.5t −12892.8，当t =2020时，u =6.5×2020−12892.8=237.2(千瓦时)． 故预测2020年该市居民月均用电量的中位数为237.2千瓦时．【解析】(1)根据频数、频率和样本容量的关系可分别求出n 1，n 2，f 1，f 2的值；设样本的中位数为a ，根据中位数的性质可列出关于a 的方程，解之即可得解；(2)①根据折线图中的数据和x =t −2014，y =u −195，算出每组数据对应的x 和y 值即可；②由①中的数据，可求出x −,y −，再根据a ̂,b ̂的参考公式，求出这两个系数后可得y 关于x 的线性回归方程，再把t 和u 代入化简即可得u 关于t 的线性回归方程；令t =2020，算出u 的值就是所求．本题考查对频数、频率分布表的认识、线性回归方程的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19.【答案】(1)证明：取A 1B 的中点F ，连接EF ，DF ，∵D ，F 分别是AB ，A 1B 的中点，∴DF//A 1A ，DF =12A 1A ， ∵A 1A//C 1C ，A 1A =C 1C ，E 是C 1C 的中点，∴DF//EC ，DF =EC ，可得四边形CDEF 为平行四边形，则CD//EF ． ∵CD ⊄平面A 1EB ，EF ⊂平面A 1EB ， ∴CD//平面A 1EB ；(2)解：∵△ABC 是正三角形，D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB ， ∵ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，∴A 1A ⊥平面ABC ，则A 1A ⊥CD ． ∵A 1A ∩AB =A ，∴CD ⊥平面A 1ABB 1， 又由(1)知，CD//EF ，∴EF ⊥平面A 1ABB 1，∵AB =1，AA 1=2，∴CD =√32，则S △A 1BD =12×2×12=12．∴V E−A 1BD =13S △A 1BD ⋅EF =13×12×√32=√312．在Rt △CDE 中，DE =√CD 2+CE 2=√72． ∵AB ⊥CD ，AB ⊥CE ，CD ∩CE =C ， ∴AB ⊥平面CDE ，得AB ⊥DE ，则BD ⊥DE ． ∴S △BDE =12×12×√72=√78． 设点A 1到平面BDE 的距离为d ，由V A 1−BDE =V E−A 1BD ，得13S △BDE ⋅d =√312，即13×√78=√312，则d =2√217．【解析】(1)取A 1B 的中点F ，连接EF ，DF ，由三角形中位线定理可得DF//A 1A ，DF =12A 1A ，再由已知得到DF//EC ，DF =EC ，得四边形CDEF 为平行四边形，则CD//EF.由直线与平面平行的判定可得CD//平面A 1EB ；(2)证明CD ⊥平面A 1ABB 1，又由(1)知，CD//EF ，得到EF ⊥平面A 1ABB 1，再证明AB ⊥平面CDE ，得AB ⊥DE ，则BD ⊥DE ，分别求出平面BDE 与平面A 1BD 的体积，然后利用等体积法求点A1到平面BDE的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．20.【答案】解：(1)∵x1，x2是方程x2+2mx−4=0的两根，∴x1+x2=−2m，x1x2=−4．∵动圆C与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且线段AB是动圆C的直径，∴动圆C的圆心C的坐标为(−m,0)，半径为|AB|2=|x2−x1|2=√(x1+x2)2−4x1x22=√m2+4．∴动圆C的方程为(x+m)2+y2=m2+4；(2)证明：设动圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵动圆C与y轴交于M(0,1)，N(0,y1)，令y=0则x2+Dx+F=0，由题意可知D=2m，F=−4，又动圆C过点M(0,1)，∴1+E−4=0，解得E=3．令x=0，则y2+3y−4=0，解得y=1或y=−4，∴y1=−4.∴动圆C在y轴上截得弦长为|y1−1|=5．故动圆C在y轴上截得弦长为定值．【解析】(1)由韦达定理可得到x1+x2=−2m，x1x2=−4，从而求得圆心与半径，进而求得动圆C的方程；(2)先设出动圆C的方程，再由题设条件解决D、E、F的值，进而求出动圆C在y轴上截得弦长．本题主要考查圆的方程及被坐标轴截得的弦长的问题，属于基础题．21.【答案】解：(1)当m=0时，f(x)=e x−ex，f′(x)=e x−e，又f′(x)是增函数，且f′(1)=0，∴当x>1时，f′(x)>0，当x<1时，f′(x)<0，∴f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴当x=1时，f(x)取得极小值f(1)=0，无极大值；(2)证明：f′(x)=e x−2mx+m−e，令g(x)=f′(x)=e x−2mx+m−e，则g′(x)=e x−2m，当m<0时，则g′(x)>0，故g(x)=f′(x)在(0,1)上单调递增，又g(0)=f′(0)=1+m−e<0，g(1)=f′(1)=−m>0，∴存在x0∈(0,1)，使得g(x0)=f′(x0)=0，且当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，当x ∈(x 0,1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数， 又∵f(0)=1，f(1)=0， ∴f(x)在(0,1)上存在唯一零点．【解析】(1)将m =0带入，求导得f′(x)=e x −e ，再求出函数f(x)的单调性，进而求得极值；(2)求导得f′(x)=e x −2mx +m −e ，令g(x)=f′(x)，对函数g(x)求导后，可知g(x)=f′(x)在(0,1)上单调递增，而g(0)<0，g(1)>0，进而函数f(x)在(0,1)上的单调性，再运用零点存在性定理可得证．本题主要考查利用导数研究函数的极值及函数的零点，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1．若P 为曲线C 1上的动点，Q 是射线OP 上的一动点，且满足|OP|⋅|OQ|=2，记动点Q 的轨迹为C 2．设P(ρ1,θ)，Q(ρ,θ)，则：ρ1cosθ−2ρ1sinθ=1，即ρ1=1cosθ−2sinθ， 由于|OP|⋅|OQ|=2，所以ρ=2cosθ−4sinθ，整理得ρ2=2ρcosθ−4ρsinθ，转换为直角坐标方程为：(x −1)2+(y +2)2=5(原点除外)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1转换为直角坐标方程为：x −2y −1=0． 曲线C 2的圆心为(1,−2)，半径为√5， 所以圆心到直线C 1的距离d =√1+(−2)2=√5．所以|MN|=2√(√5)2−(√5)2=√5．由于点O 到C 1的距离d 2=√12+(−2)2=√5 所以S △OMN =12×|MN|×d 2=12√5√5=35．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)当k =1时，不等式f(x)≤1即为|x −1|+12|x +3|≤3，等价为{x ≥1x −1+12x +32≤3或{−3<x <11−x +12x +32≤3或{x ≤−31−x −12x −32≤3，解得1≤x ≤53或−1≤x <1或x ∈⌀， 则原不等式的解集为[−1,53]；(2)f(x)≥x 对于任意的实数x 恒成立，即为|x −k|+12|x +3|≥x +2恒成立． 当x ≤−2时，|x −k|+12|x +3|≥0≥x +2恒成立； 当x >−2时，|x −k|+12|x +3|≥x +2恒成立等价为|x −k|+x+32≥x +2，即|x −k|≥x+12恒成立，当−2<x ≤−1时，|x −k|≥x+12恒成立；当x >−1时，|x −k|≥x+12恒成立等价为x −k ≥x+12或x −k ≤−x+12恒成立．即x ≥2k +1或x ≤23(k −12)恒成立， 则2k +1≤−1解得k ≤−1， 所以k 的取值范围是(−∞,−1]．【解析】(1)由题意可得|x −1|+12|x +3|≤3，由零点分区间法和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得|x −k|+12|x +3|≥x +2恒成立．讨论x ≤−2恒成立，x >−2时，可得|x −k|≥x+12恒成立，讨论−2<x ≤−1，x >−1时，结合绝对值不等式的解法和恒成立思想，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020年广东省高考数学一模试卷(文科) (含解析)
2020年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A＝{1，2，3，4}，则满足A∩∁U B＝{1，2}的集合B可以是（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，7}C．{3，4，5，6}D．{1，2，3}2．复数z=4+3i3−4i（i为虚数单位）的虚部为（）A．﹣1B．2C．5D．13．已知向量a→=(12，−1)向量b→满足2a→+b→=（﹣1，m），若a→⊥b→，则m＝（）A．﹣3B．3C．1D．24．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，若四边形AF2BF1是正方形且面积为4，则椭圆C的方程为（）A．x24+y22=1B．x22+y2=1C．x23+y22=1D．x24+y23=15．如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t（0＜t≤2）左侧的图形的面积为f（t），则y＝f（t）的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．6．若sin(π+α)=√23，则sin(2α−π2)的值为（ ）A ．−19B ．−59C ．19D ．597．甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为（ ）A ．14B ．13C ．16D ．1368．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm ，则石凳子的体积为（ ）A ．1920003cm 3B ．1600003cm 3C ．160003cm 3D ．640003cm 39．执行如图的程序框图，若输出A 的值为70169，则输入i 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710．已知O 是坐标原点，双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 的直线l 与x 轴垂直，且交双曲线C 于A ，B 两点，若△ABO 是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√5+12B ．√5−12C ．√5−1D ．√5+111．在△ABC 中，已知A ＝60°，D 是边BC 上一点，且BD ＝2DC ，AD ＝2，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．√3B ．32√3C ．2√3D ．52√312．已知f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，f （1）＝0，且当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，则不等式f （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣1，0）∪（1，π2）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（−π2，﹣1）∪（1，π2） D ．（−π2，﹣1）∪（0，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f （x ）＝mx 2lnx ，若曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，则m ＝ ．14．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为 ．15．如图，已知三棱锥P ﹣ABC 满足PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝2，AC ⊥BC ，则该三棱锥外接球的体积为 ．16．函数f（x）＝sinπx+a cosπx满足f（x）＝f（13−x），x∈[0，32]，方程f（x）﹣m＝0恰有两个不等的实根，则实数m的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知{a n}为单调递增的等差数列，设其前n项和为S n，S5＝﹣20，且a3，a5+1，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n的最小值及取得最小值时n的值．18．某城市2018年抽样100户居民的月均用电量（单位：千瓦时），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组，得到如表频率分布表：分组频数频率[160，180）n10.04[180，200）19f1[200，220）n20.22[220，240）250.25[240，260）150.15[260，280）10f2[280，300]50.05（1）求表中n1，n2，f1，f2的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m；（2）该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数u（单位：千瓦时）作为统计数据，如图是部分数据的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合u与年份t的关系．①为简化运算，对以上数据进行预处理，令x＝t﹣2014，y＝u﹣195，请你在答题卡上完成数据预处理表；②建立u关于t的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数．附：回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑n i=1x i y i−nxy ∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．19．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D是AB的中点，E是C1C的中点，且AB＝1，AA1＝2．（1）证明：CD∥平面A1EB；（2）求点A1到平面BDE的距离．20．动圆C与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1，x2是方程x2+2mx﹣4＝0的两根．（1）若线段AB是动圆C的直径，求动圆C的方程；（2）证明：当动圆C过点M（0，1）时，动圆C在y轴上截得弦长为定值．21．已知函数f（x）＝e x+（m﹣e）x﹣mx2．（1）当m＝0时，求函数f（x）的极值；（2）当m＜0时，证明：在（0，1）上f（x）存在唯一零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x−k|+12|x+3|−2(k∈R)．（1）当k＝1时，解不等式f（x）≤1；（2）若f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A＝{1，2，3，4}，则满足A∩∁U B＝{1，2}的集合B可以是（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，7}C．{3，4，5，6}D．{1，2，3}【分析】根据题意得出1，2∉B，即可判断结论．解：∵集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A＝{1，2，3，4}，要满足A∩∁U B＝{1，2}；则1，2∉B，故符合条件的选项为C．故选：C．【点评】本题考查集合了的交、并、补集的混合运算问题，是基础题．2．复数z=4+3i3−4i（i为虚数单位）的虚部为（）A．﹣1B．2C．5D．1【分析】利用复数的运算法则即可得出．解：∵z=4+3i3−4i=(4+3i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=25i25=i，∴复数z=4+3i3−4i的虚部是1，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．已知向量a→=(12，−1)向量b→满足2a→+b→=（﹣1，m），若a→⊥b→，则m＝（）A ．﹣3B ．3C ．1D ．2【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，求得m 的值．解：向量a →=(12，−1)，向量b →满足2a →+b →=（﹣1，m ），设b →=（ x ，y ），则（1+x ，﹣2+y ）＝（﹣1，m ），∴1+x ＝﹣1，且﹣2+y ＝m ， 求得x ＝﹣2，m ＝y ﹣2．若a →⊥b →，则a →⋅b →=x 2−y ＝﹣1﹣y ＝0，故y ＝﹣1，∴m ＝y ﹣2＝﹣3， 故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，属于基础题．4．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上、下顶点分别为A ，B ，若四边形AF 2BF 1是正方形且面积为4，则椭圆C 的方程为（ ） A ．x 24+y 22=1B ．x 22+y 2=1C ．x 23+y 22=1D ．x 24+y 23=1【分析】由四边形AF 2BF 1是正方形且面积为4可得b ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出a 的值，进而求出椭圆的面积． 解：由AF 2BF 1是正方形可得b ＝c ，再由AF 2BF 1的面积为4可得12•2c •2b ＝4，即bc ＝2，又a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆的方程为：x 24+y 22=1；故选：A ．【点评】本题考查椭圆的性质，及正方形的面积与对角线的关系，属于中档题． 5．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x ＝t （0＜t ≤2）左侧的图形的面积为f （t ），则y ＝f （t ）的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据面积的变换趋势与t 的关系进行判断即可．解：当0＜x ＜1时，函数的面积递增，且递增速度越来越快，此时，CD ，不合适， 当1≤x ≤2时，函数的面积任然递增，且递增速度逐渐变慢，排除A ， 故选：B ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数递增速度与t 的关系是解决本题的关键．难度不大．6．若sin(π+α)=√23，则sin(2α−π2)的值为（ ）A．−19B．−59C．19D．59【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可求解．解：∵sin(π+α)=√23，∴可得sinα=−√23，∴sin(2α−π2)=−cos2α＝2sin2α﹣1＝2×（−√23）2﹣1=−59．故选：B．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7．甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为（）A．14B．13C．16D．136【分析】基本事件总数n=C42=6，由此能求出甲、乙两人选的2本恰好相同的概率．解：甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，基本事件总数n=C42=6，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率p=1 6．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是基础题．8．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm，则石凳子的体积为（）A ．1920003cm 3B ．1600003cm 3C ．160003cm 3D ．640003cm 3【分析】由正方体的体积减去八个正三棱锥的体积求解． 解：如图，正方体AC 1 的棱长为40cm ，则截去的一个正三棱锥的体积为13×12×20×20×20=40003cm 3．又正方体的体积为V ＝40×40×40＝64000cm 3，∴石凳子的体积为64000−8×40003=1600003cm 3， 故选：B ．【点评】本题考查多面体体积的求法，考查计算能力，是基础题．9．执行如图的程序框图，若输出A 的值为70169，则输入i 的值为（ ）A．4B．5C．6D．7【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得A=12，k＝1满足条件1≤i，执行循环体，A=25，k＝2满足条件2≤i，执行循环体，A=512，k＝3满足条件3≤i，执行循环体，A=1229，k＝4满足条件4≤i，执行循环体，A=2970，k＝5满足条件5≤i，执行循环体，A=70 169，k＝6由题意，此时不满足条件6≤i，退出循环，输出A的值为70 169，可得输入i的值为5．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．已知O是坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F的直线l与x轴垂直，且交双曲线C于A，B两点，若△ABO是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．√5+12B．√5−12C．√5−1D．√5+1【分析】由双曲线的性质，结合通径以及半焦距，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．解：由题意可知：|AF |=b 2a，双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 的直线l 与x 轴垂直，且交双曲线C 于A ，B 两点，若△ABO 是等腰直角三角形，可得c =b 2a =c 2−a 2a，e ＝e 2﹣1，e ＞1解得e =√5+12．故选：A ．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．11．在△ABC 中，已知A ＝60°，D 是边BC 上一点，且BD ＝2DC ，AD ＝2，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．√3B ．32√3 C ．2√3D ．52√3【分析】先根据向量的三角形法则得到AD →=13AB →+23AC →；对其两边平方，求出bc 的取值范围即可求得结论．解：因为在△ABC 中，已知A ＝60°，D 是边BC 上一点，且BD ＝2DC ，AD ＝2，；∴AD →=AB →+BD →=AB →+23BC →=AB →+23（AC →−AB →）=13AB →+23AC →；∴AD →2=19AB →2+2×13AB →×23AC →+49AC →2；即：4=19c 2+49bc •cos60°+49b 2⇒36＝c 2+2bc +4b 2≥2√c 2⋅4b 2+2bc ＝6bc ；∴bc ≤6，（当且仅当2b ＝c 时等号成立）；∵S △ABC =12bc sin A ≤12×6×√32=3√32． 即△ABC 面积的最大值为：3√32．故选：B ．【点评】本题考查△ABC 的面积的求法以及向量知识的综合应用，涉及到基本不等式，属于中档题目．12．已知f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，f （1）＝0，且当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，则不等式f （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣1，0）∪（1，π2）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（−π2，﹣1）∪（1，π2） D ．（−π2，﹣1）∪（0，1）【分析】令g （x ）＝f （x ）sin x ，g ′（x ）＝[f （x ）+f ′（x ）tan x ]•cos x ，当x ∈（0，π2）时，根据f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，可得函数g （x ）单调递增．又g （1）＝0，可得x ∈（0，1）时，g （x ）＝f （x ）sin x ＜0，sin x ＜0，解得f （x ）＜0．x ＝0时，f （0）＝0，舍去．根据f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，可得g （x ）是定义在（−π2，π2）上的偶函数．进而得出不等式f （x ）＜0的解集．解：令g （x ）＝f （x ）sin x ，g ′（x ）＝f （x ）cos x +f ′（x ）sin x ＝[f （x ）+f ′（x ）tan x ]•cos x ，当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，∴g ′（x ）＞0，即函数g （x ）单调递增．又g （1）＝0，∴x ∈（0，1）时，g （x ）＝f （x ）sin x ＜0，sin x ＜0，解得f （x ）＜0． x ＝0时，f （0）＝0，舍去．∵f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，∴g （x ）是定义在（−π2，π2）上的偶函数．∴不等式f （x ）＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）． 故选：B ．【点评】本题考查了利用导数研究的单调性、构造法、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f （x ）＝mx 2lnx ，若曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，则m ＝ −13．【分析】求出f （x ）的导数，然后根据切线与直线ex +y +2020＝0平行，得f ′（e ）＝﹣e ，列出关于m 的方程，解出m 的值． 解：f ′（x ）＝m （2xlnx +x ），又曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，∴f ′（e ）＝3em ＝﹣e ，解得m =−13．故答案为：−13．【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，同时考查学生运用方程思想解题的能力和运算能力．14．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为 7 ．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．解：画出x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，可行域如图阴影部分由{x =2x −y =−1，得A （2，3） 目标函数z ＝2x +y 可看做斜率为﹣2的动直线，其纵截距越大z 越大，由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大＝2×2+3＝7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．15．如图，已知三棱锥P﹣ABC满足PA＝PB＝PC＝AB＝2，AC⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为3227√3π．【分析】因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，再由PA＝PB ＝PC可得球心O在直线PD所在的直线上，设为O，然后在直角三角形中由勾股定理可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．解：因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，可得外接圆的半径为r=12AB=1，再由PA＝PB＝PC＝AB＝2可得PD⊥面ABC，可得PD=√PA2−AD2=√3，可得球心O在直线PD所在的直线上，设外接球的半径为R，取OP＝OA＝R，在△OAD 中，R 2＝r 2+（PD ﹣R ）2， 即R 2＝1+（√3−R ）2，解得：R =2√3=2√33， 所以外接球的体积V =4π3R 3=32√327π， 故答案为：32√327π．【点评】本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的体积公式，属于中档题．16．函数f （x ）＝sin πx +a cos πx 满足f （x ）＝f （13−x ），x ∈[0，32]，方程f （x ）﹣m ＝0恰有两个不等的实根，则实数m 的取值范围为 √3≤m ＜2或﹣2＜m ≤﹣1 ． 【分析】首先利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的图象求出函数f （x ）的图象和函数y ＝m 的交点，进一步求出结果．解：函数f （x ）＝sin πx +a cos πx 满足f （x ）＝f （13−x ），则函数的对称轴为x =16，当x =16时，函数f （x ）取得最值，即±√1+a 2=sin π6+acos π6，整理得a 2−2√3a +3=0，解得a =√3， 所以f （x ）＝sin πx +√3cosπx =2sin （πx +π3）． 由于x ∈[0，32]，所以π3≤πx +π3≤3π2+π3=11π6，根据函数的图象，当√3≤m＜2或﹣2＜m≤﹣1时，函数的f（x）的图象与y＝m有两个交点，即方程f （x）﹣m＝0恰有两个不等的实根，故答案为：√3≤m＜2或﹣2＜m≤﹣1．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的应用，函数的零点和函数的图象的交点的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知{a n}为单调递增的等差数列，设其前n项和为S n，S5＝﹣20，且a3，a5+1，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n的最小值及取得最小值时n的值．【分析】（1）设等差数列的公差为d，d＞0，由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，注意n为正整数，可得所求最值．解：（1）{a n}为单调递增的等差数列，设公差为d，d＞0，由S5＝﹣20，可得5a1+10d＝﹣20，即a1+2d＝﹣4，①由a3，a5+1，a9成等比数列，可得a3a9＝（a5+1）2，即（a1+2d）（a1+8d）＝（a1+4d+1）2，化为2a1d＝2a1+1+8d，②由①②解得d=12，a1＝﹣5，则a n＝﹣5+12（n﹣1）=12（n﹣11）；（2）S n=12n（﹣5+n−112）=14（n2﹣21n）=14[（n−212）2−4414]，由于n为正整数，可得n＝10或11时，S n取得最小值−55 2．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等比中项的性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．18．某城市2018年抽样100户居民的月均用电量（单位：千瓦时），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组，得到如表频率分布表：分组频数频率[160，180）n10.04[180，200）19f1[200，220）n20.22[220，240）250.25[240，260）150.15[260，280）10f2[280，300]50.05（1）求表中n1，n2，f1，f2的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m；（2）该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数u（单位：千瓦时）作为统计数据，如图是部分数据的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合u与年份t的关系．①为简化运算，对以上数据进行预处理，令x＝t﹣2014，y＝u﹣195，请你在答题卡上完成数据预处理表；②建立u关于t的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数．附：回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑n i=1x i y i−nxy ∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．【分析】（1）根据频数、频率和样本容量的关系可分别求出n1，n2，f1，f2的值；设样本的中位数为a，根据中位数的性质可列出关于a的方程，解之即可得解；（2）①根据折线图中的数据和x＝t﹣2014，y＝u﹣195，算出每组数据对应的x和y值即可；②由①中的数据，可求出x，y，再根据a，b的参考公式，求出这两个系数后可得y关于x的线性回归方程，再把t和u代入化简即可得u关于t的线性回归方程；令t＝2020，算出u的值就是所求．解：（1）n1＝100×0.04＝4；n2＝100×0.22＝22；f1=19100=0.19；f2=10100=0.1．设样本频率分布表的中位数为a，则0.04+0.19+0.22+0.25×120×(a−20)=0.5，解得a＝224，由样本估计总体，可估计2018年该市居民月均用电量的中位数m为224千瓦时．（2）①数据预处理如下表：x＝t﹣2014﹣4﹣2024 y＝u﹣195﹣21﹣1101929②由①可知，x=0，y=−21−11+0+19+295=3.2，∴b=∑n i=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2=(−4)×(−21)+(−2)×(−11)+2×19+4×29(−4)2+(−2)2+22+42=26040=6.5，a=y−b x=3.2−6.5×0=3.2，∴y关于x的线性回归方程为y=6.5x+3.2，∵x＝t﹣2014，y＝u﹣195，∴u﹣195＝6.5（t﹣2014）+3.2，故u关于t的线性回归方程为u＝6.5t﹣12892.8，当t＝2020时，u＝6.5×2020﹣12892.8＝237.2（千瓦时）．故预测2020年该市居民月均用电量的中位数为237.2千瓦时．【点评】本题考查对频数、频率分布表的认识、线性回归方程的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D是AB的中点，E是C1C的中点，且AB＝1，AA1＝2．（1）证明：CD∥平面A1EB；（2）求点A1到平面BDE的距离．【分析】（1）取A1B的中点F，连接EF，DF，由三角形中位线定理可得DF∥A1A，DF=12A1A，再由已知得到DF∥EC，DF＝EC，得四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF．由直线与平面平行的判定可得CD∥平面A1EB；（2）证明CD⊥平面A1ABB1，又由（1）知，CD∥EF，得到EF⊥平面A1ABB1，再证明AB⊥平面CDE，得AB⊥DE，则BD⊥DE，分别求出平面BDE与平面A1BD的体积，然后利用等体积法求点A1到平面BDE的距离．【解答】（1）证明：取A1B的中点F，连接EF，DF，∵D，F分别是AB，A1B的中点，∴DF∥A1A，DF=12A1A，∵A1A∥C1C，A1A＝C1C，E是C1C的中点，∴DF∥EC，DF＝EC，可得四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF．∵CD⊄平面A1EB，EF⊂平面A1EB，∴CD∥平面A1EB；（2）解：∵△ABC是正三角形，D是AB的中点，∴CD⊥AB，∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，则A1A⊥CD．∵A1A∩AB＝A，∴CD⊥平面A1ABB1，又由（1）知，CD∥EF，∴EF⊥平面A1ABB1，∵AB ＝1，AA 1＝2，∴CD =√32，则S △A 1BD =12×2×12=12．∴V E−A1BD=13S △A 1BD ⋅EF =13×12×√32=√312． 在Rt △CDE 中，DE =√CD 2+CE 2=√72．∵AB ⊥CD ，AB ⊥CE ，CD ∩CE ＝C ， ∴AB ⊥平面CDE ，得AB ⊥DE ，则BD ⊥DE ．∴S △BDE =12×12×√72=√78．设点A 1到平面BDE 的距离为d ，由V A 1−BDE =V E−A 1BD ，得13S △BDE ⋅d =√312，即13×√78=√312，则d =2√217．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．20．动圆C 与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且x 1，x 2是方程x 2+2mx ﹣4＝0的两根．（1）若线段AB 是动圆C 的直径，求动圆C 的方程；（2）证明：当动圆C 过点M （0，1）时，动圆C 在y 轴上截得弦长为定值． 【分析】（1）由韦达定理可得到x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝﹣4，从而求得圆心与半径，进而求得动圆C 的方程；（2）先设出动圆C 的方程，再由题设条件解决D 、E 、F 的值，进而求出动圆C 在y 轴上截得弦长．解：（1）∵x 1，x 2是方程x 2+2mx ﹣4＝0的两根，∴x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝﹣4． ∵动圆C 与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且线段AB 是动圆C 的直径， ∴动圆C 的圆心C 的坐标为（﹣m ，0），半径为|AB|2=|x 2−x 1|2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 22=√m +4．∴动圆C 的方程为（x +m ）2+y 2＝m 2+4；（2）证明：设动圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，∵动圆C 与y 轴交于M （0，1），N （0，y 1），令y ＝0则x 2+Dx +F ＝0，由题意可知D ＝2m ，F ＝﹣4，又动圆C 过点M （0，1），∴1+E ﹣4＝0，解得E ＝3．令x ＝0，则y 2+3y ﹣4＝0，解得y ＝1或y ＝﹣4，∴y 1＝﹣4．∴动圆C 在y 轴上截得弦长为|y 1﹣1|＝5．故动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．【点评】本题主要考查圆的方程及被坐标轴截得的弦长的问题，属于基础题． 21．已知函数f （x ）＝e x +（m ﹣e ）x ﹣mx 2． （1）当m ＝0时，求函数f （x ）的极值；（2）当m ＜0时，证明：在（0，1）上f （x ）存在唯一零点．【分析】（1）将m ＝0带入，求导得f ′（x ）＝e x ﹣e ，再求出函数f （x ）的单调性，进而求得极值；（2）求导得f ′（x ）＝e x ﹣2mx +m ﹣e ，令g （x ）＝f ′（x ），对函数g （x ）求导后，可知g（x）＝f′（x）在（0，1）上单调递增，而g（0）＜0，g（1）＞0，进而函数f （x）在（0，1）上的单调性，再运用零点存在性定理可得证．解：（1）当m＝0时，f（x）＝e x﹣ex，f′（x）＝e x﹣e，又f′（x）是增函数，且f′（1）＝0，∴当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴当x＝1时，f（x）取得极小值f（1）＝0，无极大值；（2）证明：f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，令g（x）＝f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，则g′（x）＝e x﹣2m，当m＜0时，则g′（x）＞0，故g（x）＝f′（x）在（0，1）上单调递增，又g（0）＝f′（0）＝1+m﹣e＜0，g（1）＝f′（1）＝﹣m＞0，∴存在x0∈（0，1），使得g（x0）＝f′（x0）＝0，且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，当x∈（x0，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，又∵f（0）＝1，f（1）＝0，∴f（x）在（0，1）上存在唯一零点．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值及函数的零点，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q 的轨迹为C2．设P（ρ1，θ），Q（ρ，θ），则：ρ1cosθ﹣2ρ1sinθ＝1，即ρ1=1cosθ−2sinθ，由于|OP|•|OQ|＝2，所以ρ＝2cosθ﹣4sinθ，整理得ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ，转换为直角坐标方程为：（x﹣1）2+（y+2）2＝5（原点除外）．（2）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1转换为直角坐标方程为：x﹣2y﹣1＝0．曲线C2的圆心为（1，﹣2），半径为√5，所以圆心到直线C1的距离d=√1+(−2)=5．所以|MN|=2√(√5)2−(4√5)2=6√5．由于点O到C1的距离d2=|−1|√1+(−2)=1√5所以S△OMN=12×|MN|×d2=12×6√51√5=35．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x−k|+12|x+3|−2(k∈R)．（1）当k＝1时，解不等式f（x）≤1；（2）若f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由题意可得|x﹣1|+12|x+3|≤3，由零点分区间法和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立．讨论x≤﹣2恒成立，x＞﹣2时，可得|x﹣k|≥x+12恒成立，讨论﹣2＜x≤﹣1，x＞﹣1时，结合绝对值不等式的解法和恒成立思想，可得所求范围．解：（1）当k＝1时，不等式f（x）≤1即为|x﹣1|+12|x+3|≤3，等价为{x≥1x−1+12x+32≤3或{−3＜x＜11−x+12x+32≤3或{x≤−31−x−12x−32≤3，解得1≤x≤53或﹣1≤x＜1或x∈∅，则原不等式的解集为[﹣1，53 ]；（2）f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，即为|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立．当x≤﹣2时，|x﹣k|+12|x+3|≥0≥x+2恒成立；当x＞﹣2时，|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立等价为|x﹣k|+x+32≥x+2，即|x﹣k|≥x+12恒成立，当﹣2＜x≤﹣1时，|x﹣k|≥x+12恒成立；当x＞﹣1时，|x﹣k|≥x+12恒成立等价为x﹣k≥x+12或x﹣k≤−x+12恒成立．即x≥2k+1或x≤23（k−12）恒成立，则2k+1≤﹣1解得k≤﹣1，所以k的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020届广东省广州市高三3月阶段训练(一模)数学(文)试题(含答案解析)
2020届广东省广州市高三3月阶段训练（一模）数学（文）试题一、单选题1．已知复数z i =()1i +，则z =（ ）A ．12B C ．1 D【答案】D【解析】根据复数模的性质直接计算即可. 【详解】(1)z i i =+Q ,|||(1)||||1|z i i i i ∴=+=+=,故选：D 【点睛】本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.2．已知集合{}0,1,2,3A =，}{1,0,1B =-，P A B =⋂，则P 的子集共有（ ） A ．2个 B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B【解析】由交集运算求出集合P ，写出所有子集即可. 【详解】{}0,1,2,3A =Q ，}{1,0,1B =-，{0,1}P A B ∴=⋂=，∴P 的子集有,{0},{1},{0,1}φ共4个，故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，子集的概念，属于容易题.3．设向量a r (),1=m ，b r ()2,1=-，且a b ⊥r r，则m =（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【解析】根据向量垂直则数量积为0直接计算即可求解. 【详解】 a b ⊥r r Q ,()(),12,1210a b m m ∴⋅=⋅-=-=r r,解得12m =， 故选：C 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，向量垂直的性质，属于容易题.4．已知{}n a 是等差数列，35a =，2467a a a -+=，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】根据条件，联立方程组，即可求出公差. 【详解】{}n a Q 是等差数列，35a =，2467a a a -+=,112537a d a d +=⎧∴⎨+=⎩解得2d =， 故选：D 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于容易题. 5．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，23x x >，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】分别判断两个命题p ， q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． 【详解】对于命题p ，取1x =时，10<不成立，故命题p 为假命题， 对于命题q ，1x =-时，23(1)(1)->-成立，故命题 q 为真命题，所以p q ∧为假命题，p q ⌝∧为真命题，p q ∧⌝为假命题，p q ⌝∧⌝为假命题，【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p ，q 的真假是解决本题的关键.6．已知偶函数()f x 满足()()20f x x x x=->，则()}{21x f x +>=（ ） A ．{4x x <-或}0x > B ．{0x x <或}4x > C ．{2x x <-或}2x > D ．{2x x <-或}4x >【答案】A【解析】根据题意可得函数的单调性,将所求不等式转化为()|2|(2)1f x f +>=，则有|2|2x +>，求解即可.【详解】0x Q >时，()2f x x x=-，2(2)212f ∴=-=，Q 函数()f x 为偶函数，()2(|2|)1(2)f x f x f ∴+=+>=，Q 当0x >时，()2f x x x=-为增函数， |2|2x ∴+>，解得0x >或4x <- 故选：A 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及指数不等式的解法，属于基础题. 7．如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点， 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-u u u r u u u r表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解. 【详解】由题意，当0x =时，P 与A 重合，则P '与B 重合，所以||2OP OP BA '-==u u u r u u u r u u u r,故排除C,D 选项；当02x π<<时，||2sin()2cos 2OP OP P P x x π''-==-=u u u r u u u r ，由图象可知选B.故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．()722+πB ．()1022+πC ．()1042+πD ．()1142+π【答案】C【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可， 【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥, 几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+⨯⨯⨯=+， 故选：C 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.9．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 【答案】A【解析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离.椭圆的离心率：=(0,1)ce a∈，（ c 为半焦距; a 为长半轴），设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r ，n ，如图：则,n a c R r a c R =+-=--所以1r R a e +=-,()1r R ec e+=-, ()121111r R e r R e en a c R R r R e e e e+++=+-=+-=+----故选：A 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键，属于中档题.10．已知函数()ln 1f x x a x =--存在极值点，且()0f x ≤恰好有唯一整数解，则实数a 取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．()0,1C ．10,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据函数有极值点可得0a <，()0f x ≤有唯一整数解可转化为1(1)ln x x a -≤有唯一整数解，令1()(1)g x x a=-，()ln h x x =，只需满足(2)2g h >（）即可求解. 【详解】()1af x x '=-Q (0)x >，且()ln 1f x x a x =--存在极值点 ()10af x x'∴=-=有正根，可得0a >，()0f x ≤Q 恰好有唯一整数解，即1(1)ln x x -≤恰好有唯一整数解，令1()(1)g x x a=-，()ln h x x =， 因为(1)1=g h =（）0， 所以只需满足(2)2g h >（）即可，解得10ln 2a <<， 故选：C 【点睛】本题主要考查了函数的极值，利用转化思想处理不等式有唯一整数解，属于中档题.11．已知1F ，2F 是双曲线222:1xC y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A ．B C D 【答案】B【解析】设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径. 【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得22b AB a==，由1b =，可得a =所以双曲线的方程为: 2212x y -=所以12(F F ，所以2121122ABF S AB F F =⋅⋅==V 三角形ABF 2的周长为()()22112242C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+==设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积11S C r r =⋅⋅=⋅=，所以326r =，解得33r =， 故选：B 【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可． 【详解】 如图；连接相关点的线段，O 为BC 的中点，连接EFO ，因为F 是中点，可知1B C OF ⊥，1EO B C ⊥，可知1B C ⊥平面EFO ，即可证明1B C EF ⊥，所以①正确；直线FG 与直线1A D 所成角就是直线1A B 与直线1A D 所成角为60︒；正确； 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形EHFGI ．所以③不正确； 如图：三棱锥B EFG -的体积为： 由条件易知F 是GM 中点， 所以B EFG B EFM F BEM V V V ---==, 而=2311522131=2222BEM ABE EDM ABMD S S S S ∆∆+⨯-⨯⨯-⨯-⨯=-梯形， 1551326F EBMV -=⨯⨯=．所以三棱锥B EFG -的体积为56，④正确； 故选：C ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题．二、填空题13．已知函数()y f x =的图像与2x y =的图像关于直线y x =对称，则()4f =________. 【答案】2【解析】根据函数图像之间的关系知()y f x =与2xy =互为反函数，求解析式计算即可.【详解】因为函数()y f x =的图像与2x y =的图像关于直线y x =对称，所以()y f x =是2xy =的反函数，即2()log f x x =， 所以()24log 42f ==，故答案为：2 【点睛】本题主要考查了反函数的性质，反函数的求法，属于容易题. 14．设x ，y 满足约束条件13,02,x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩ 则2z x y =-的最小值为__________.【答案】1-【解析】先根据条件画出可行域，设2z x y =-，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最大，只需求出直线2z x y =-，取得截距的最小值，从而得到z 最小值即可． 【详解】由约束条件得到如图可行域，由目标函数2z x y =-得到1122y x z =-； 当直线经过A 时，直线在y 轴的截距最大，使得z 最小， 由12x x y =⎧⎨+=⎩得到(1,1)A ，所以z 的最小值为1211-⨯=-； 故答案为：1-．【点睛】本题考查了简单线性规划问题；借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定． 15．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为_________. 【答案】19【解析】分别计算出选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛的基本事件总数和满足1A 和1B 两人组成一队的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案 【详解】从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，共有22339C C =，选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛有11224C C =，故总的事件个数为9436⨯=种，其中1A 和1B 两人组成一队有11224C C =种，故则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为41369=， 故答案为：19． 【点睛】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．16．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1122n n n S a --=，则34a a +=_____________，数列{}2n n a a +-的前n 项和n T =______________. 【答案】18-11122n +- 【解析】（1）根据n S 与n a 的关系即可推导出112n n n a a ++=-，令3n =即可求解； （2）由（1）知112n n n a a ++=-，利用上式可得2112n n n a a ++-=，由等比数列求和公式即可求解. 【详解】1122n n n S a --=Q , 11122n nn S a ++∴-=,两式相减可得：11122n n n na a a ++-+=-， 即112n n n a a ++=-， 所以3431128a a +=-=-，由112n n n a a ++=-可得21112n n n a a ++++=-，两式相减可得：211111222n n n n n a a +++-=-+=，{}2n n a a +∴-是以14为首项，12为公比的等比数列，111(1)114212212n n n T +-∴==--， 故答案为：18-，11122n +-【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，n S 与n a 的关系，等比数列的求和公式，属于较难题.三、解答题17．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm ），得到如下的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）； （2）已知尺寸在[)63.0,64.5上的零件为一等品，否则为二等品. 将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率.【答案】（1）63.47（2）0.2【解析】（1）由频率分布直方图中中位数两边频率相等，即可求出中位数的大小； （2）计算尺寸在[63.0，64.5)外的频率，用频率估计概率，即可得出结论． 【详解】（1）由频率分布直方图的性质得：(0.0750.225)0.50.15+⨯=，0.150.750.50.525+⨯=，所以中位数在[63.0，63.5)内，设为a ， 则0.15(63.0)0.750.5a +-⨯=， 解得63.47a ≈，所以估计中位数为63.47；（2）尺寸在[63.0，64.5)上的频率为(0.7500.6500.200)0.50.8++⨯=， 且10.80.2-=，所以从生产线上随机抽取1个零件，估计所抽取的零件是二等品的概率为0.2． 【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求中位数、概率的应用问题，是基础题． 18．已知,,a b c 分别是△ABC 内角,,A B C 的对边，2222sin sin sin sin sin 3+-=A C A C B .（1）求sin B 的值；（2）若2b =，△ABC ，求△ABC 的周长.【答案】（1（2）2+ 【解析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos B ，然后结合同角平方关系可求sin B ；（2）由已知结合三角形的面积公式可求ac ，然后结合余弦定理即可求解a c +，进而可求三角形的周长． 【详解】（1）因为2222sin sin sin sin sin 3+-=A C A C B ． 由正弦定理可得，22223a cb ac =+-，由余弦定理可得，1cos 3B =， 故22sin 3B =； （2）15sin 22ABC S ac B ac ∆===Q ，所以3ac =， 因为22223a cb ac =+-， 所以28()448123a c ac +=+=+=，所以223a c b ++=+． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，属于中档试题． 19．如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，120APC ︒∠=，90ABC ︒∠=，32AC PB ==.（1）求证：AC PB ⊥； （2）求点C 到平面PAB 的距离. 【答案】（1）证明见解析（235【解析】（1）取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ，证明PO AC ⊥，BO AC ⊥，推出AC ⊥平面OPB ，即可证明AC BP ⊥；（2）在直角三角形ABC 中，由2AC =，O 为AC 的中点，得1BO =，求解3PO =，结合23=PB ，可得PO BO ⊥，又PO AC ⊥，得到PO ⊥平面ABC ，然后利用等体积法求点C 到平面PAB 的距离． 【详解】（1）证明：取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．在PAC ∆中，PA PC =Q ，O 为AC 的中点，PO AC ∴⊥， 在BAC ∆中，BA BC =Q ，O 为AC 的中点，BO AC ∴⊥，OP OB O =Q I ，OP ，OB ⊂平面OPB ，AC ∴⊥平面OPB ，PB ⊂Q 平面POB ，AC BP ∴⊥；（2）在直角三角形ABC 中，由2AC =，O 为AC 的中点，得1BO =， 在等腰三角形APC 中，由120APC ∠=︒，得3PO ， 又23PB =Q ，222PO BO PB ∴+=，即PO BO ⊥， 又PO AC ⊥，AC OB O =I ，PO ∴⊥平面ABC ， 求解三角形可得23PA =，又2AB =221232152()()232PAB S ∆=-． 设点C 到平面PAB 的距离为h ，由C P A ABC P B V V --=，得11311522323⨯=，解得355h =， 故点C 到平面PAB 35． 【点睛】本题考查等体积法的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题． 20．已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-u u u r u u u r.（1）判断点()0,1D -是否在直线AB 上？说明理由； （2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程. 【答案】（1）点()0,1D -在直线AB 上，理由见解析（2）212x y =【解析】（1）由抛物线的方程可得顶点P 的坐标，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出数量积PA PB uu r uu r g ，再由题意4PA PB =-u u u r u u u rg 可得直线AB 恒过(0,1)-，即得D 在直线AB 上；（2）设A ，B 的坐标，可得直线PA ，PB 的斜率及线段PA ，PB 的中点坐标，进而求出线段PA ，PB 的中垂线的方程，两个方程联立求出外接圆的圆心M 的坐标，由（1）可得M 的横纵坐标关于参数k 的表达式，消参数可得M 的轨迹方程． 【详解】(1) 点()0,1D -在直线AB 上.理由如下， 由题意, 抛物线21:34C y x =-的顶点为(0,3)P - 因为直线与抛物线有2个交点， 所以设直线AB 的方程为()()1122,,,y kx b A x y B x y =+，联立2134y x y kx b⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得到244(3)0x kx b --+=， 其中21616(3)0k b ∆=++>，12121244(3)4(3)x x k x x b x x b +==-+=-+，所以()21212242y y k x x b k b +=++=+，()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++2224(3)4k b k b b =-+++2212k b =-+因为()()1122,3,,3PA x y PB x y =+=+u u u r u u u r所以()()121233PA PB x x y y ⋅=+++u u u r u u u r()12111239x x y y y y =++++()()2224(3)123429b k b k b =-++-++++223b b =+-4=，所以2221(1)0b b b ++=+=， 解得1b =-， 经检验，满足>0∆，所以直线AB 的方程为1y kx =-，恒过定点()0,1D -.（2）因为点M 是PAB ∆的外接圆的圆心，所以点M 是三角形PAB 三条边的中垂线的交点，设线段PA 的中点为F ，线段PB 的中点为为E ， 因为(0,3)P -，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y所以1(2x F ，13)2y -，2(2x E ，23)2y -，113PA y k x +=，223PB y k x +=，所以线段PA 的中垂线的方程为：11113()232y x xy x y --=--+， 因为A 在抛物线上，所以211134y x +=， PA 的中垂线的方程为：211143()82x x y x x -+=--，即211418x y x x =-+-，同理可得线段PB 的中垂线的方程为：222418x y x x =-+-， 联立两个方程211222418418x y x x x y x x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩，解得1212221212()3288M x x x x x x x x x y +⎧=-⎪⎪⎨++-⎪=⎪⎩， 由（1）可得124x x k +=，124(3)8x x b =-+=-，所以8432M k x k -⨯=-=，22221212122()288M x x x x x x y k +++===， 即点2(,2)M k k ，所以212M M x y =， 即点M 的轨迹方程为：212x y =． 【点睛】本题考查求直线恒过定点的方程及直三角形外接圆的性质，和直线与椭圆的综合应用，属于难题．21．已知函数()e ln xb f x a x x=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22x y ---0e =.（1）求a ，b 的值；（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02ln 22f x <-. 【答案】（1）2,1a b ==（2）证明见解析【解析】（1）求导，可得f '（1）a =，f （1）be =-，结合已知切线方程即可求得a ，b 的值；（2）利用导数可得0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--，0(1,2)x ∈，再构造新函数2()2,121h x lnx x x =-<<-，利用导数求其最值即可得证． 【详解】（1）函数的定义域为(0,)+∞，2()()x x a b xe e f x x x -'=-，则f '（1）a =，f （1）be =-，故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为0ax y a be ---=， 又曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=， 2a ∴=，1b =；（2）证明：由（1）知，()2x e f x lnx x =-，则22()x xx xe e f x x -+'=，令()2x x g x x xe e =-+，则()2x g x xe '=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递减， 又(0)20g '=>，g '（1）20e =-<， 故存在1(0,1)x ∈，使得1()0g x '=，且当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，由于(0)10g =>，g （1）20=>，g （2）240e =-<， 故存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x =，且当0(0,)x x ∈时，()0>g x ，()0f x '>，()f x 单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0<g x ，()0f x '<，()f x 单调递减，故函数存在唯一的极大值点0x ，且00000()20x x g x x x e e =-+=，即0002,(1,2)1x x e x x =∈-，则0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--， 令2()2,121h x lnx x x =-<<-，则222()0(1)h x x x '=+>-， 故()h x 在(1,2)上单调递增，由于0(1,2)x ∈，故0()h x h <（2）222ln =-，即00222221lnx ln x -<--， 0()222f x ln ∴<-．【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，属于中档题．22．已知曲线1C 的参数方程为cos ,(1sin ,x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数)， 曲线2C的参数方程为sin ,(x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数). （1）求1C 与2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 相交于A ，B两点，且AB =sin α的值.【答案】（1）tan 1y x α=+，221(0)2y x y +=…（2）0 【解析】（1）分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程；（2）把直线的参数方程代入2C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t 的几何意义求解． 【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数），消去参数t ，可得tan 1y x α=+；由曲线2C的参数方程为sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数θ，可得y =即221(0)2y x y +=…． （2）把cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数）代入2212y x +=，得22(1cos )2sin 10t t αα++-=．∴1222sin 1t t cos αα-+=+，12211t t cos α-=+．12||||AB t t ∴=-==解得：2cos 1α=，即cos 1α=±，满足△0>．sin 0α∴=．【点睛】本题考查参数方程化普通方程，特别是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题．23．已知0a >，0b >，且1a b +=. （1）求12a b+的最小值； （2）证明：22212ab b a b +<++. 【答案】（1）3+（2）证明见解析 【解析】（1）利用基本不等式即可求得最小值； （2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证． 【详解】 （1）12122()()333a b a b a b a b b a +=++=+++=+…“b =”时取等号， 故12a b+的最小值为3+； （2）222222222412)155ab bab b ab b b b a b ab b a +++===++++++„当且仅当1,2a b ==时取等号，此时1a b +≠．故2221ab b a b +<++ 【点睛】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．。
2020年广东广州高三一模文科数学试卷答案
【答案】 ①④
【解析】 ①∵
， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ①正确．
②∵ ， 平面 ，
∴或
，
∴ 未必成立． ②错误．
③同理 ， 均是 ， 位置关系中的一种情况，但由题目中条件 ， 可成任
意夹角，
∴②③均错．
④∵ 平面 ， ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ，故④正确．
⑤当平面 与平面 成锐角时，交线为 ，
由
，同理求得
，
所以
，
所以 的值为
．
19. 某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第 天到第 天的日产卵数据： 第天
日产卵数 （个）
对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．
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此时∵ 平面 ，
∴，
但 并不平行于 ，
∴⑤错误，
综上，正确答案为①④．
https:///#/print?id=17dcff57d654467dbaf323a78df2c57a&type=analyze
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，所以
在
中，
，
，
在
和
中，因为
，
所以
，
所以
，
所以
．
（ 2 ）方法一：因为
，
所以
，
， ，
https:///#/print?id=17dcff57d654467dbaf323a78df2c57a&type=analyze
2020年广东一模文科数学(试题和答案)
C. (一~ , - 1)υ(1 ， ?)D( -7 ， 一 l)U (0 , 1)
二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 设函数 f( 对 = mx2 ln x ， 若曲线 y = f(x) 在点 (e ，J( e) )处的切线与直线 ex + y +
2020 = 0 平行，则 m =
9. 执行右边的程序框图，右 ....知 ...比出 A 的值为 一70一 ，则输入 i 的值为
169 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
10.
已知
0 是坐标原点，双曲线 C: 毛一毛=
α '- b'-
1 (α
>O ， b
>0)
的右
焦点为 F ， 过点 F 的直线 l 与 z 轴垂直，且交双曲线 C 于 A ， B
14 .
若 χ ， y 满足约束条件
~r
lI
x-y .N
J
lI
~l ~~'
则
z
=
2x
+ y 的最大值为
I Ix I ~二 2 ，
15. 如图，已知 三棱锥 P -ABC 满足 PA = PB = PC = AB = 2 ,
AC j_ BC ， 则该三棱锥外接球的体积为
,,,,,,,,,"
/A
，、 -
一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A ， B 均为全集 u = 1 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7~ 的子集，集合 A = 11 ,2 ,3 ,4 ~ ，则
2020年广东高三一模数学试卷(文科)
，
，
设 关于 的线性回归方程为
，则
，
且
，
得
，
代人
，
，
有
，
则所求 关于 的线性回归方程为：
，
即
，
14
可预测该市
年居民月均用电量的中位数为： （千瓦时）．
19.（ 1 ）证明见解析．
（2）
．
解析:
（ 1 ）取 的中点 ，连接 ， ，
∵ ， 分别是 ， 的中点，
∴
，
∵
， 是 的中点，
∴
．
∴四边形
是平行四边形．
．
故选 ．
9. B 解析: 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 要使输出 故选 ．
，
；
，
；
，
；
，
；
，
，
，则 ．
10. A 解析:
9
过双曲线
的右焦点 作垂直于 轴的直线，
交双曲线于 ， 两点， 为坐标原点，
若
为等腰直角三角形，
可得
，即
，
可得：
，
，
解得：
，
故选 ．
11. B 解析:
在
中，由
，
则
，
∴
11. 在
中，已知
值为（ ）．
A.
， 是边 上一点，且
，
，则
面积的最大
3
B. C. D.
12. 已知 是定义在
上的奇函数，
，则不等式
的解集为（ ）．
A.
B.
C.
D.
，且当
时，
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
2020年广东省高考数学一模试卷(文科)
高考数学一模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1. 已知会合 A={ x|x-1＜ 2} ， B={ x|1＜ 2 x＜ 16} ，则 A∩B=（）A. （-∞，8）B. （-∞，3）C. （0，8）D. （0，3）2. 复数 z= （ i 为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.3. 双曲线 9x2-16y2=1 的焦点坐标为（）A. （±，0）B. （0，）C. （±5，0）D. （0，±5）4. 若sin）=，则cos2 α=）（（A. B. C. D.5. 已知函数f x）在（-∞ +∞x [-2，1] f x =x2-2x-4，则（，）上单一递减，且当∈时，（）对于 x 的不等式 f（ x）＜ -1 的解集为（）A. （-∞，-1）B. （-∞，3）C. （-1，3）D. （-1，+∞）6.某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为（）A.3πB.4πC.6πD.8π7.履行如图的程序框图，挨次输入 x1=17 ，x2=19 ，x3=20 ，x4=21 ，x5=23，则输出的 S 值及其统计意义分别是（）A. S=4，即5个数据的方差为 4B. S=4，即5个数据的标准差为 4C. S=20，即5个数据的方差为20D. S=20，即5个数据的标准差为208.△ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b，c，已知 cosC+ cosA=1，则 cosB 的取值范围为（）A. （）B.[ ）C. （，1）D. [，1）9. 已知 A， B， C 三点不共线，且点O知足 16 -12 -3 = ，则（）A. =12 +3B. =12 -3C. =-12 +3D. =-12 -310. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比率理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段 AC， CB，使得此中较长的一段AC 是全长 AB与另一段 CB 的比率中项，即知足==≈ ．后代把这个数称为黄金切割数，把点 C 称为线段 AB 的黄金切割点 .在△ABC 中，若点 P，Q 为线段 BC 的两个黄金切割点，在△ABC 内任取一点 M，则点 M 落在△APQ 内的概率为（）A. B. -2 C. D.11. 已知 F 为抛物线 C：x2=4y 的焦点，直线y= x+1 与曲线 C 订交于 A，B 两点， O 为坐标原点，则S△OAB=（）A. B. C. D. 212. 函数 f （ x） =（ kx-2） lnx， g（ x） =2ln x-x，若 f（ x）＜ g（ x）在（ 1， +∞）上的解集中恰有两个整数，则k 的取值范围为（）A. [1- ， - ）B. （1- ， - ]C.[ - ， 2- ）D.（- ， 2- ]二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.f x）= f f 2 =______．已知函数（，则（（））14. 设 x，y 知足拘束条件，则 z=2x+y 的最大值为 ______．15. 在三棱锥 P- ABC 中， AP，AB，AC 两两垂直，且 AP=AB=AC= ，则三棱锥 P-ABC的内切球的表面积为______．16.已知函数 f（ x） =sin（ωx+ ） + （ω＞ 0），点 P， Q， R 是直线 y=m（ m＞ 0）与函数 f（ x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|=|QR|=，则ω+m=______．三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17.设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n， S n=1- a n（ n∈N* ）．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）设 b n=log 2a n，求数列 {} 的前 n 项和 T n．18.在五面体 ABCDEF 中，四边形 CDEF 为矩形，CD=2DE =2AD =2AB=4 ， AC=2，∠EAD=30°．（1）证明： AB⊥平面 ADE；（2）求该五面体的体积．19.某城市的公交企业为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等待人数 y 之间的关系，经过检查获得以下数据：间隔时间 /11 12 13 14 1510分等待人数 y/25 26 29 28 3123人检查小组先从这 6 组数据中选用 4 组数据求线性回归方程，再用剩下的 2 组数据进行查验．查验方法以下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等待人数，再求与实质等待人数y 的差，若差值的绝对值都不超出1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（ 1）从这 6 组数据中随机选用 4 组数据后，求剩下的 2 组数据的间隔时间不相邻的概率；（ 2）若选用的是后边 4 组数据，求 y 对于 x 的线性回归方程= x+，并判断此方程是不是“适合回归方程”；（3）为了使等待的乘客不超出 35 人，试用（ 2）中方程预计间隔时间最多能够设置为多少（精准到整数）分钟．附：对于一组数据（x1，y1），（ x2，y2），，（ x n，y n），其回归直线= x+ 的斜率和截距的最小二乘预计分别为：==，=．20.已知点（1，），（）都在椭圆C：=1（a＞ b＞ 0）上．（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 M（0，1）的直线 l 与椭圆 C 交于不一样两点 P，Q（异于极点），记椭圆与 y 轴的两个交点分别为 A1，A2，若直线 A1P 与 A2Q 交于点 S，证明：点 S 恒在直线 y=4 上．x21. 已知函数 f（ x） =e -2ax（ a∈R）（ 1）若曲线 y=f （ x）在 x=0 处的切线与直线x+2y-2=0 垂直，求该切线方程；（ 2）当 a＞ 0 时，证明 f（ x）≥-4a 2+4a22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为θ，（为参数）已知点Q（ 4， 0），点 P 是曲线 C l上随意一点，点M 为 PQ 的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系．（ 1）求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程；（ 2）已知直线l ：y=kx 与曲线 C2交于 A， B 两点，若=3，求k的值．23.已知函数 f（ x） =|x+a|+2|x-1|（a＞ 0）．（1）求 f（ x）的最小值；（2）若不等式 f （x） -5＜ 0 的解集为（ m， n），且 n-m= ，求 a 的值．第4页，共 15页答案和分析1.【答案】Dx【分析】解：∵会合 A={ x|x-1＜ 2}= （ -∞， 3）， B={ x|1＜ 2 ＜ 16}= （0， 4）应选： D．由 A 与 B，求出两会合的交集即可．本题考察了交集及其运算，娴熟掌握交集的定义是解本题的重点．2.【答案】B【分析】解：∵z= =，∴z=的虚部为．应选： B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的基本观点，是基础题．3.【答案】A【分析】解：双曲线9x2-16y2=1 的标准方程为：，可得 a= ，b= ， c= = ，因此双曲线的焦点坐标为（±，0）．应选： A．直接利用双曲线的方程求解a， b， c 获得焦点坐标即可．本题考察双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考察．4.【答案】B【分析】【剖析】本题主要考察利用引诱公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．利用引诱公式求得cosα的值，再利用二倍角公式求得cos2α的值．【解答】2解： sin（）=-cosα=，则cos2α=2cosα-1=-，应选： B．5.【答案】D【分析】【剖析】本题考察减函数的定义，已知函数求值的方法，依据函数单一性解不等式的方法．依据条件可得出f（ -1）=-1，依据 f（ x）在（ -∞，+∞）上单一递减，即可由f（ x）＜ -1 得出f （x）＜ f（ -1），进而获得x＞ -1，即得出原不等式的解集．【解答】解：∵x∈[-2， 1]时， f（ x）=x2-2x-4；∴f（-1） =-1；∵f（x）在（ -∞， +∞）上单一递减；∴由 f（ x）＜ -1 得， f（ x）＜ f （-1）；∴x＞ -1；∴不等式 f（ x）＜ -1 的解集为（ -1， +∞）．应选： D．6.【答案】A【分析】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左边是一个半圆柱，底面的半径是 1，高为： 4，右边是一个半圆柱，底面半径为1，高是 2，∴组合体的体积是：=3 π，应选： A．几何体是一个简单组合体，左边是一个半圆柱，底面的半径是1，高为： 4，右边是一个半圆柱，底面半径为1，高是 2，依据体积公式获得结果．本题考察由三视图求几何体的体积，考察由三视图复原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．7.【答案】A【分析】解：依据程序框图，输出的 S 是 x1=17，x2=19 ，x3=20 ，x4=21 ，x5=23 这 5 个数据的方差，∵ = （ 17+19+20+21+23 ） =20 ，∴由方差的公式S= [（ 17-20）2+（ 19-20）2+（ 20-20）2+（ 21-20）2+（23-20）2]=4．应选： A．依据程序框图，输出的S 是 x1=17 ，x2=19，x3=20 ，x4=21 ，x5=23 这 5 个数据的方差，先求这 5 个数的均值，而后辈入方差公式计算即可．本题经过程序框图考察了均值和方差，解决问题的重点是经过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．8.【答案】D【分析】解：∵cosC+ cosA=1，∴由余弦定理可得： ? + ? =1 ，化简可得： b2=ac，由余弦定理可得； cosB= = ≥= ，∴≤ cosB＜ 1，即： cosB∈[ ， 1）．应选： D．由余弦定理化简已知等式可得b2=ac，由余弦定理，基本不等式可求cosB≥，联合余弦函数的性质即可得解．本题考察了余弦定理、基本不等式以及余弦函数的性质的综合应用，考察了推理能力和计算能力，属于基础题．9.【答案】A【分析】解：由题意，可知：对于A：==，整理上式，可得：16 -12 -3 =，这与题干中条件相切合，应选： A．本题可将四个选项中的式子进行转变为与题干中式子邻近，再比较，同样的那项即为答案．本题主要考察向量加减、数乘的运算，属基础题．10.【答案】B【分析】【剖析】本题考察了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题．先阅读题意，理解“黄金切割”，再联合几何概型中的面积型可得： BQ=，CP=，因此PQ=BQ+CP-BC=（）a，S△APQ： S△ABC=PQ： BC=（-2）a： a= -2，则在△ABC 内任取一点M，则点 M 落在△APQ 内的概率为=，得解．【解答】解：设 BC=a，由点 P， Q 为线段 BC 的两个黄金切割点，因此 BQ=，CP=，因此 PQ=BQ+CP-BC=（）a，S△APQ： S△ABC =PQ： BC=（-2） a： a= -2，由几何概型中的面积型可得：在△ABC 内任取一点M，则点 M 落在△APQ 内的概率为=，应选 B．11.【答案】C【分析】解：抛物线C：x2=4y 的焦点（ 0， 1），设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），由，整理得： x2-2x-4=0 ，由韦达定理可知：x1+x2=2，y1+y2=3由抛物线的性质可知：|AB|=p+y1+y2=2+3=5 ，点 O 到直线 y= x+1 的距离 d， d= ．∴则△OAB 的面积 S， S= ?|AB|?d=．应选： C．依据抛物线的方程求得焦点坐标，依据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x1 +x2，由抛物线的性质可知|AB|=p+y1+y2，利用点到直线的距离公式求得O到直线y= x+1的距离d，依据三角形的面积公式S=?|AB| d OAB? ，即可求得则△的面积．本题考察抛物线的性质，直线与抛物线的地点关系，考察韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考察计算能力，属于中档题．12.【答案】A【分析】【剖析】本题主要考察函数与方程的应用，利用转变法转变为两个函数图象交点问题，能够数形联合求出对应两点的坐标和斜率是解决本题的重点．将不等式f（ x）＜g（ x）转变为 kx＜ 4- ，设 h（ x）=4- ，求函数的导数，研究函数的极值和图象，利用数形联合确立使（f x）＜ g（ x）在（ 1，+∞）上的解集中恰有两个整数为2， 3，而后求出对应点的坐标和对应直线y=kx的斜率，利用数形联合进行求解即可．【解答】解：当 x＞1 时， lnx＞ 0，由 f（ x）＜ g（x）得（ kx-2）ln x＜ 2ln x-x，即 kx-2＜ 2- ，即 kx＜ 4- ，设 h（ x）=4- ，则 h'（x） =- =-，由 h'（x）＞ 0 得 -（ lnx-1）＞ 0 得 ln x＜1，得 1＜x＜ e，此时 h（ x）为增函数，由 h'（x）＜ 0 得 -（ lnx-1）＜ 0 得 ln x＞1，得 x＞ e，此时 h（x）为减函数，即当 x=e 时， h（ x）获得极大值h（ e） =4- =4-e，作出函数h（ x）的图象，如图，当 x→1时， h（ x）→ -∞，h（ 3） =4-，h（4）=4-=4-，即A（3，4-），B（4，4-），当直线 y=kx 过 A， B 点时对应的斜率k A== -，k B==1-，要使 f（ x）＜ g（ x）在（ 1， +∞）上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为 x=2，和 x=3，即直线 y=kx 的斜率 k 知足 k B≤k<k A，即 1- ≤k< - ，即实数 k 的取值范围是 [1-，-)，应选： A．13.【答案】2【分析】解： f（ 2） =ln2 ，∴f（ f（ 2）） =f（ ln2 ） =e ln2=2．故答案为： 2．利用分段函数的定义、对数的恒等式即可得出．本题考察了分段函数的定义、对数的恒等式，属于基础题．14.【答案】7【分析】解：画出x， y 知足拘束条件表示的平面地区，以下图，由，解得点A（ 3， 1），联合图形知，直线2x+y-z=0 过点 A 时，z=2x+y 获得最大值为2×3+1=7．故答案为： 7．画出拘束条件表示的平面地区，联合图形找出最优解，求出z 的最大值．本题考察了线性规划的简单应用问题，是基础题．15.【答案】【分析】解：如图，由 AP， AB， AC 两两垂直，且AP=AB=AC=，得，∴，设三棱锥P-ABC 的内切球的半径为r ，利用等体积可得：，解得 r=．∴三棱锥 P-ABC 的内切球的表面积为S=．故答案为：．由题意画出图形，利用等体积法求出多面体内切球的半径，则球的表面积可求．本题考察多面体内切球表面积的求法，训练了利用等积法求多面体内切球的半径，是中档题．16.【答案】3【分析】解：函数f（ x） =sin（ωx+ ） + （ω＞ 0），由 2|PQ|=|QR|=，解得|PQ|=，∴T=|PQ|+|QR|= π，∴ω= =2 ，设 P（x0，m），则 Q（ -x0， m）， R（ T+x0， m），∴|PQ |= -2x0， |QR|= +2x0，∴2（ -2x0）= +2 x0，解得 x0= = ，∴m=sin（ 2×）+ = + =1，∴ω+m=2+1=3 ．故答案为： 3．依据题意求出函数 f（ x）的最小正周期 T，得出ω的值，再求出 m 的值，即可求出ω+m 的值．本题考察了正弦函数的图象与性质的应用问题，是中档题．17.【答案】解：（1）数列{ a n}的前n项和为S n，S n=1- a n（n∈N*）①．当 n=1 时，解得：，当 n≥2时， S n-1 =1-a n-1．②① -②得： 2a n=a n -1，因此：（常数），故：数列 { a n} 是以为首项，为公比的等比数列．则：（首项切合通项），因此：．（ 2）因为：，则： b n=log 2a n=-n．因此： b n+1=-（ n+1），则：，故：=．【分析】（ 1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（ 2）利用（ 1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考察的知识重点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列乞降中的应因此 AD⊥CD ，又四边形CDEF 为矩形，因此 CD ⊥DE ，因此 CD ⊥面 ADE，因此 EF⊥面 ADE ，由线面平行的性质定理得：AB∥EF，因此 AB⊥面 ADE（ 2）几何体补形为三棱柱，DE=2， AD=2，AB=2，∠EAD =30°．可得 E 究竟面 ABCD的距离为： 2sin60 °=，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥 F -BCH 的体积，可得=4 = ．【分析】（ 1）证明 AD ⊥CD，CD ⊥DE，推出 CD ⊥面 ADE ，而后证明AB⊥平面 ADE ；（2）转变几何体的体积为棱柱的体积，减去三棱锥的体积，即可求该五面体的体积．本题考察直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考察转变思想以及计算能力．19.【答案】解：（1）设“从这6组数据中随机选用 4 组数据后，剩下的 2 组数据不相邻”为事件 A，记这六组数据分别为1， 2，3， 4 ，5， 6，剩下的两组数据的基本领件有12 ，13， 14， 15 ， 16 ， 23，24， 25，26， 34，35， 36，45， 46，56，共 15 种，此中相邻的有12，23， 34，45，56 ，共 5 种，因此．（ 2）后边 4 组数据是：间隔时间（ x 分钟）12 13 14 15等待人数（ y 人）26 29 28 31因为，，因此，，因此．当 x=10 时，，因此求出的线性回归方程是“适合回归方程”．（ 3）由 1.4x+9.6 ≤35，得，故间隔时间最多可设置为18 分钟．【分析】（ 1）由题意联合古典概型计算公式确立概率值即可；（2）第一求得回归方程，而后确立其能否为“适合回归方程”即可；（3）联合（ 2）中求得的结论获得不等式，求解不等式即可确立间隔时间．本题主要考察古典概型计算公式，线性回归方程及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：（1）由题意可得，解得 a2=4， b2=2，故椭圆 C 的方程为+ =1．证明：（ 2）易知直线l 的斜率存在且不为0，设过点 M（ 0， 1）的直线 l 方程为 y=kx+1，（ k≠0）， P（ x1， y1）， Q（ x2， y2），由2 2，消 y 可得（ k +2 ） x +2kx-3=0 ，∴x1+x2=-，x1x2=-，∵A1（ 0， 2）， A2（ 0，-2），∴直线 A1P 的方程为 y=x+2=?x+2=（ k- ） x+2，则直线 A2Q 的方程为y=x-2= （ k+）-2，由，消 x 可得=，整理可得y= = = +4= +4=4，直线 A1P 与 A2Q 交于点 S，则点 S恒在直线y=4 上【分析】（ 1）由题意可得，解得a2=4，b2=2得椭圆方程，（ 2）先设出直线l 的方程，再分别求出直线A1P的方程，直线A2Q的方程，联立，消x整理可得 y= ，依据韦达定理化简整理可得直线y=4本题考察了椭圆方程的求法，直线和椭圆的地点关系，直线方程的求法，考察了运算求垂直，∴f′（ 0） =2即 f′（ 0）=1-2a=2，解得： a=- ，x∴f（x） =e +x，则 f（ 0） =1．∴切线方程为y=2x+1 ；（2）证明： f′（ x） =e x-2a，由 f′（ x） =e x-2a=0，解得 x=ln2 a．∴当 x∈（ -∞， ln2 a）时， f′（ x）＜ 0，当 x∈（ ln2 a， +∞）时， f′（ x）＞ 0．∴f（x）在（ -∞， ln2a）上单一递减，在（ln2 a， +∞）上单一递加．∴f（x）min=f（ln2 a）=e ln2a-2aln2a=2a-2aln2 a．令 g（ a）=2a-2aln2a+4a2-4a=4 a2-2a-2aln2a=2a(2a-1-la2a)（ a＞0）．要证 g（ a）≥0，即证 2a-1-ln2a≥0，令 h（ a）=2a-1-ln2 a，则 h′（ a） =2- =，当 a∈（ 0，）时， h′（ a）＜ 0，当 a∈（， +∞）时， h′（ a）＞ 0，∴h（ a）≥h（） =0 ，即 2a-1-ln2 a≥0．∴f（x）≥-4a2 +4a．【分析】（ 1 ）求出函数的导数，计算f′（ 0），获得对于 a 的方程，求得 a，获得函数分析式，求得 f（ 0），再由直线方程点斜式得答案；（ 2）把证明 f（ x）≥-4a2+4a 转变为证 f（ x）的最小值大于等于-4a2 +4a，即证 a-1-ln2 a≥0，令 h（ a）=a-1-ln2 a，求其最小值大于等于0 即可．本题考察利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考察利用导数求函数的最值，是中档题．22.【答案】解：（1）消去θ得曲线2 2设 M（ x， y）则 P（ 2x-4， 2y）在曲线C1上，因此（ 2x-4）2+（ 2y）2=4，即（ x-2）2+y2=1，即 x2+y2-4x+3=0，C2轨迹的极坐标方程为：2ρ-4ρ cos θ +3=0．（ 2）当 k＞ 0 时，如图：取AB 的中点 M，连 CM，CA，2 2在直角三角形CMA 中， CM =CA -（ AB）2=1- AB2，①在直角三角形 CMO 中，CM 2=OC2-OM 2=4-（ AB）2=4- AB 2，②由①②得AB= ，∴OM= ， CM=，k= = =．当 k＜ 0 时，同理可得k=-．综上得 k=±．【分析】（ 1）消去θ得曲线 C1的一般方程为： x2+y2 =4；设出 M 的坐标后利用中点公式获得 P 的坐标后辈入 C1德轨迹 C2的直角坐标方程，再化成极坐标方程；（ 2）如图：取AB 的中点 M，连 CM ，CA，在两个直角三角形中，依据勾股定理解得CM ， OM 后可得斜率．本题考察了参数方程化成一般方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f（x）=，∴x=1时， f（ x）的最小值为 a +1 ．（ 2）以下图：当 a+1 ＜ 5＜ 2a+2 即＜a＜ 4 时， f（ x） -5＜ 0 的解集为（ a-3， - ），∴- -a+3= - = ，∴a=3 切合，当 2a+2≤5即0＜ a≤时， f（ x）的解集为（- -1， - ），∴- + +1= ≠．综上可得 a=3 ．【分析】（ 1）去绝对值变为分段函数可求得最小；（2）联合分段函数的图象，依据两种状况议论可得．本题考察了绝对值不等式的解法，属中档题．。
广东省广州市2020届高三综合测试一模数学（文科）试题（含答案）
⼴东省⼴州市2020届⾼三综合测试⼀模数学（⽂科）试题（含答案）⼴东省⼴州市2020届⾼三普通⾼中毕业班综合测试⼀（⼀模）数学（⽂）试题⼀?选择题:本题共12⼩题, 每⼩题5分,共60分?在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}, M={3,4,5}, N={1,3,6}, 则集合{2,7} 等于A. M ∩N .()U B M N ?e .()U C M N ?e D. M ∪N2.某地区⼩学,初中,⾼中三个学段的学⽣⼈数分别为4800⼈,4000 ⼈, 2400 ⼈?现采⽤分层抽样的⽅法调查该地区中⼩学⽣的“智慧阅读”情况,在抽取的样本中,初中学⽣⼈数为70⼈,则该样本中⾼中学⽣⼈数为A.42⼈B.84⼈C.126 ⼈D.196⼈3. 直线kx-y+1=0与圆x 2 +y 2 +2x-4y+1=0的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.不确定4.已知函数ln ,0(),0,x x x f x e x >??=?≤??则1[()]4f f 的值为 A.4 B.2 1.2C 1.4D 5.⼰知向量a =(2, 1), b =(x, -2),若|a +b |=|2a -b |. 则实数x 的值为4.9A 1.2B 9.4C D.26.如图所⽰,给出的是计算-111124622++++L 值的程序框图,其中判断框内应填⼊的条件是A.i> 9B. i> 10C. i> 11D. i> 127.设函数1()2cos()23f x x π=-,若对任意x ∈R 都有12()()()f x f x f x ≤≤成⽴,则12||x x -的最⼩值为 A.4π B.2π C. π .2D π8.刘徽是我国古代伟⼤的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出⼗进⼩数概念的⼈,他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的规则?提出了“割圆术”,并⽤“割圆术”求出圆周率π为3.14.刘徽在割圆术中提出的“割之弥细,所失弥少,割之⼜割以⾄于不可割,则与圆合体⽽⽆所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作?其中“割圆术”的第⼀步是求圆的内接正六边形的⾯积,第⼆步是求圆的内接正⼗⼆边形的⾯积, 依次类推?若在圆内随机取⼀点, 则该点取⾃该圆内接正⼗⼆边形的概率为.A .B 3.C π .D9.已知1sin cos 05a a απ-=?<<，则cos2α= 7.25A - 7.25B 24.25C 24.25D - 10.已知点00(,)P x y 在曲线C:321y x x =-+上移动,曲线C 在点P 处的切线的斜率为k,若1[,21].3k ∈-则0x 的取值范围是75.[,]37A - 7.[,3]3B - 7.[,)3C -+∞ D. [-7,9]11. 已知O 为坐标原点,设双曲线C:22221x y a b-=(a> 0,b> 0)的左,右焦点分别为1,F 2,F 点P 是双曲线C 上位于第⼀象限内的点.过点2F 12F PF ∠的平分线的垂线,垂⾜为A,若12||2||b F F OA =-,则双曲线C 的离⼼率为5.4A 4.3B 5.3C D.212.在三棱锥A-BCD 中,△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三⾓形,且⼆⾯⾓A- BD-C 的平⾯⾓为120°,则该三棱锥的外接球的表⾯积为A.7πB.8π 16.3C π 28.3D π⼆?填空题:本题共4⼩题,每⼩题5分,共20分?13. 已知复数.z 则24z z +=___14.⼰知函数()f x在区间(0,+∞)上有最⼩值4，则实数k=__. 15. 已知直线a ⊥平⾯α,直线b ?平⾯β,给出下列5个命题:①若α//β,则a ⊥b;②若α⊥β,则a ⊥b;③若α⊥β,则a//b;④若a//b,则α⊥β;⑤若a ⊥b,则α// β,其中正确命题的序号是____.16. 如图,在平⾯四边形ABCD 中，,2BAC ADC π∠=∠=,6ABC π∠=,12ADB π∠=则tan ∠ACD=____.三?解答题:共70分?解答应写出⽂字说明?证明过程和演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考⽣都必须做答?第22?23题为选考题,考⽣根据要求做答.(⼀)必考题:共60分?17. (12分)已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且满⾜,n n a n S =-设 1.n n b a =-(1)求123,,a a a(2)判断数列{}n b 是否是等⽐数列,并说明理由;(3)求数列{}n a 的前n 项和.n S18.(12分)如图1,在边长为2的等边△ABC 中,D,E 分别为边AC, AB 的中点?将△ADE 沿DE 折起,使得AB ⊥AD,得到如图2的四棱锥A-BCDE,连结BD, CE,且BD 与CE 交于点H.(1)证明:AH 上BD;(2)设点B 到平⾯AED 的距离为1,h 点E 到平⾯ABD 的距离为2,h 求2h h 的值?19. (12 分)某种昆⾍的⽇产卵数和时间变化有关,现收集了该昆⾍第1夭到第5天的⽇产卵数据: 第x 天1 2 3 4 5 ⽇产卵数y (个) 6 12 25 49 95(1)根据散点图,利⽤计算机模拟出该种昆⾍⽇产卵数y 关于x 的回归⽅程为a bx y e +=(其中e 为⾃然对数的底数),求实数a, b 的值(精确到0.1) ;(2)根据某项指标测定,若⽇产卵数在区间68(,)e e 上的时段为优质产卵期,利⽤(1)的结论,估计在第6天到第10天中任取两天,其中恰有1天为优质产卵期的概率.附:对于⼀组数据1122(,),(,),,(,),n n v v v µµµL 其回归直线µ=α+βv 的斜率和截距的最⼩⼆乘估计分别为1221,n i i n i i inv v v nvv µµβαµβ==?==---?∑∑20.(12分)已知⊙M 过点(3,0).A 且与⊙N ：22(3)16x y ++=内切,设⊙M 的圆⼼M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的⽅程:(2)设直线l 不经过点B(0, 1)且与曲线C 相交于P, Q 两点.若直线PB 与直线QB 的斜率之积为1,4-判断直线l 是否过定点,若过定点,求出此定点坐标;若不过定点,请说明理由.21. (12 分)⼰知函数()()(0)bx f x x a e b =+≠的最⼤值为1,e且曲线y= f(x)在x=0处的切线与直线y=x-2平⾏(其中e 为⾃然对数的底数) .(1)求实数a,b 的值;(2) 如果120,x x <<且12()(),f x f x =求证:123 3.x x +>(⼆)选考题:共10分.请考⽣在第22?23题中任选⼀题作答.如果多做,则按所做的第⼀题计分.22. [选修4-4:坐标系与参数⽅程] (10 分)在平⾯直⾓坐标系xOy 中,曲线1C 的参数⽅程为3,12x t y t =+??=+?(t 为参数),曲线2C 的参数⽅程为x y θ?==?( θ为参数,且3(,)22ππθ∈)(1)求曲线1C 和2C 的普通⽅程;(2)若A, B 分别为曲线12,C C 上的动点,求|AB|的最⼩值.23. [选修4- 5:不等式选讲] (10分)已知函数f(x)=|3x-6|+|x-a|, a ∈R.(1)当a=1时,解不等式f(x)<3;(2)若不等式f(x)<11-4x 对任意3[4,]2 x ∈--恒成⽴,求实数a 的取值范围.。
2020年广东省广州市高考数学一模试卷(文科)含答案解析
5．如果函数 （ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为 ，则ω的值为（ ）
A．3B．6C．12D．24
【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
【分析】根据余弦函数的相邻两个零点之间的距离恰好等于半个周期，即可求得ω的值．
【解答】解：函数 （ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为 ，
∴T=2× = ，
A． B．﹣ C． D．
9．如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+xn=10，则|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=（ ）
A．n+10B．n+20C．2n+10D．2n+20
10．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
15．已知双曲线C： （a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且 ，则双曲线C的离心率为．
16．在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC， ，CD=5，BD=2AD，则AD的长为．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}是等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项．
A．1B．2C．3D．4
12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）
A．8+8 +4 B．8+8 +2 C．2+2 + D． + +
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．函数f（x）=x3﹣3x的极小值为．
2020年3月广州市高考一模数学(文)试卷附答案解析
6．已知偶函数 f x 满足 f x x 2 x 0 ，则 x f x 2 1 （ ） x
A．x x 4 或 x 0
B．x x 0 或 x 4
C．x x 2 或 x 2
D．x x 2 或 x 4
【答案】A
【解析】根据题意可得函数的单调性,将所求不等式转化为 f |x 2| f (2) 1 ，则有 |x 2 | 2 ，求解即
（2）若 C1 与 C2 相交于 A ， B 两点，且 AB 2 ，求 sin 的值.
23．已知 a 0 ， b 0 ，且 a b 1. （1）求 1 2 的最小值；
ab
（2）证明：
ab 2b a2 b2
1
5. 2
4
解析 2020 年 3 月广州市高考一模数学（文）试卷
一、单选题
x （1）求 a ， b 的值；
（2）证明函数 f x 存在唯一的极大值点 x0 ，且 f x0 2 ln 2 2 .
22．已知曲线
C1
的参数方程为
x
y
t cos, 1 t sin ,
(t
为参数
)
，
曲线 C2
的参数方程为
x y
sin , 1 cos
2
( ,
为
参数).
（1）求 C1 与 C2 的普通方程；
3
（1）求证： AC PB ； （2）求点 C 到平面 PAB 的距离.
20．已知点
P
是抛物线
C
:
y
1 4
x2
3 的顶点，
A
，
B
是
C
上的两个动点，且
PA
PB
4
.
（1）判断点 D 0, 1 是否在直线 AB 上？说明理由；
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2020年高考模拟高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．已知复数z＝i（1+i），则|z|＝（）A．B．C．1D．2．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，P＝A∩B，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个3．设向量＝（m，1），＝（2，﹣1），且⊥，则m＝（）A．﹣2B．﹣C．D．24．已知{a n}是等差数列，a3＝5，a2﹣a4+a6＝7，则数列{a n}的公差为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．25．已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＜0；命题q：∃x∈R，x2＞x3，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q6．已知偶函数f（x）满足f（x）＝x﹣（x＞0），则{x|f（x+2）＞1}＝（）A．{x|x＜﹣4或x＞0}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜﹣2或x＞2}D．{x|x＜﹣2或x＞4}7．如图，圆O的半径为1，A，B是圆上的定点，OB⊥OA，P是圆上的动点，点P关于直线OB的对称点为P'，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将|﹣|表示为x 的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]上的图象大致为（）A．B．C．D．8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）A．（7+2）πB．（10+2）πC．（10+4）πD．（11+4）π9．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为（）A．r+R B．r+RC．r+R D．r+R10．已知函数f（x）＝x﹣alnx﹣1存在极值点，且f（x）≤0恰好有唯一整数解，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（0，）D．（，+∞）11．已知F1，F2是双曲线C：﹣y2＝1（a＞0）的两个焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与C相交于A，B两点，若|AB|＝，则△ABF2的内切圆的半径为（）A．B．C．D．12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是棱AD，CC1，C1D1的中点，给出下列四个命题：①EF⊥B1C；②直线FG与直线A1D所成角为60°；③过E，F，G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；④三棱锥B﹣EFG的体积为．其中，正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题13．已知函数y＝f（x）的图象与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则f（4）＝．14．设x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为．15．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生A1，A2，A3和3名女生B1，B2，B3中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则A1和B1两人组成一队参加比赛的概率为．16．记S n为数列{a n}的前n项和，若2S n﹣a n＝，则a3+a4＝，数列{a n+2﹣a n}的前n项和T n＝．三、解答题17．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）；（2）已知尺寸在[63.0，64.5）上的零件为一等品，否则为二等品．将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率．18．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2A+sin2C﹣sin A sin C＝sin2B．（1）求sin B的值；（2）若b＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC，AB＝BC，∠APC＝120°，∠ABC＝90°，AC ＝PB＝2．（1）求证：AC⊥PB；（2）求点C到平面PAB的距离．20．已知点P是抛物线C：y＝﹣3的顶点，A，B是C上的两个动点，且•＝﹣4．（1）判断点D（0，﹣1）是否在直线AB上？说明理由；（2）设点M是△PAB的外接圆的圆心，求点M的轨迹方程．21．已知函数f（x）＝alnx﹣，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x ﹣y﹣2﹣e＝0．（1）求a，b的值；（2）证明函数f（x）存在唯一的极大值点x0，且f（x0）＜2ln2﹣2．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（1）求C1与C2的普通方程；（2）若C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝，求sinα的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1．（1）求+的最小值；（2）证明：＜．参考答案一、选择题1．已知复数z＝i（1+i），则|z|＝（）A．B．C．1D．解：∵z＝i（1+i）＝﹣1+i，∴|z|＝．故选：D．2．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，P＝A∩B，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个解：∵集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，∴P＝A∩B＝{0，1}，∴P的子集共有22＝4．故选：B．3．设向量＝（m，1），＝（2，﹣1），且⊥，则m＝（）A．﹣2B．﹣C．D．2解：∵向量＝（m，1），＝（2，﹣1），且，∴＝2m﹣1＝0，解得m＝，∴实数m＝．故选：C．4．已知{a n}是等差数列，a3＝5，a2﹣a4+a6＝7，则数列{a n}的公差为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2解：∵{a n}是等差数列，a3＝5，a2﹣a4+a6＝7，∴，解得a1＝1，d＝2．∴数列{a n}的公差为2．故选：D．5．已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＜0；命题q：∃x∈R，x2＞x3，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q解：x2﹣x+1＝（x﹣）2+＞0恒成立，故命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＜0为假命题，当x＝﹣1时，x2＞x3，成立，即命题q：∃x∈R，x2＞x3，为真命题，则￢p∧q为真，其余为假命题，故选：B．6．已知偶函数f（x）满足f（x）＝x﹣（x＞0），则{x|f（x+2）＞1}＝（）A．{x|x＜﹣4或x＞0}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜﹣2或x＞2}D．{x|x＜﹣2或x＞4}【分析】偶函数f（x）满足f（x）＝x﹣（x＞0），在（0，+∞）递增，根据单调性判断即可．解：偶函数f（x）满足f（x）＝x﹣（x＞0），在（0，+∞）递增，且f（2）＝1，故f（x+2）＞1，即|x+2|＞2，解得{x|x＞0或者x＜﹣4}，故选：A．7．如图，圆O的半径为1，A，B是圆上的定点，OB⊥OA，P是圆上的动点，点P关于直线OB的对称点为P'，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将|﹣|表示为x 的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]上的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】设PP'的中点为M，则|﹣|＝，当x∈[0，]时，在Rt△OMP中，利用三角函数可知，|PM|＝cos x，所以f（x）＝2cos x，从而得解．解：设PP'的中点为M，则|﹣|＝，当x∈[0，]时，在Rt△OMP中，|OP|＝1，∠OPM＝∠POA＝x，所以cos x＝，所以|PM|＝cos x，|﹣|＝2cos x，即f（x）＝2cos x，x∈[0，]．从四个选项可知，只有选项A正确，故选：A．8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）A．（7+2）πB．（10+2）πC．（10+4）πD．（11+4）π【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱，下部是圆锥，几何体的表面积为：＝（10+4）π．故选：C．9．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为（）A．r+R B．r+RC．r+R D．r+R【分析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率，求出椭圆的长半轴a，半焦距c，即可确定该卫星远地点离地面的距离．解：椭圆的离心率：e＝∈（0，1），（c为半焦距；a为长半轴）只要求出椭圆的c和a，设卫星近地点，远地点离地面距离分别为m，n，由题意，结合图形可知，a﹣c＝r+R，远地点离地面的距离为：n＝a+c﹣R，m＝a﹣c﹣R，a＝，c＝，所以远地点离地面的距离为：n＝a+c﹣R＝＝．故选：A．10．已知函数f（x）＝x﹣alnx﹣1存在极值点，且f（x）≤0恰好有唯一整数解，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（0，）D．（，+∞）【分析】利用导数可知函数f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，再分0＜a≤1及a＞1讨论即可得出结果．解：函数的定义域为（0，+∞），且，又函数f（x）存在极值点，即y＝f′（x）有变号零点，故a＞0，故函数f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，注意到f（1）＝0，x→0时，f（x）＞0，①当0＜a≤1时，显然f（x）≤0恰好有唯一整数解x＝1，满足题意；②当a＞1时，只需满足f（2）＞0，即1﹣aln2＞0，解得；综上，实数a的取值范围为．故选：C．11．已知F1，F2是双曲线C：﹣y2＝1（a＞0）的两个焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与C相交于A，B两点，若|AB|＝，则△ABF2的内切圆的半径为（）A．B．C．D．【分析】设左焦点F1的坐标，由过F1垂直于x轴的直线与椭圆联立可得弦长AB，再由椭圆可得a的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径．解：由双曲线的方程可设左焦点F1（﹣c，0），由题意可得AB＝＝，再由b ＝1，可得a＝，所以双曲线的方程为：﹣y2＝1，所以F1（﹣，0），F2（，0），所以S＝•F1F2＝＝，三角形ABF2的周长为C＝AB+AF2+BF2＝AB+（2a+AF1）+（2a+BF1）＝4a+2AB＝4+2＝6，设内切圆的半径为r，所以三角形的面积S＝＝＝3，所以3＝，解得：r＝，故选：B．12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是棱AD，CC1，C1D1的中点，给出下列四个命题：①EF⊥B1C；②直线FG与直线A1D所成角为60°；③过E，F，G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；④三棱锥B﹣EFG的体积为．其中，正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可．解：如图；连接相关点的线段，O为BC的中点，连接EFO，因为F是中点，可知B1C ⊥OF，EO⊥B1C，可知B1C⊥平面EFO，即可证明B1C⊥EF，所以①正确；直线FG与直线A1D所成角就是直线A1B与直线A1D所成角为60°；正确；过E，F，G三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形ENFGI．所以③不正确；三棱锥B﹣EFG的体积为：V G﹣EBM＝＝．V F﹣EBM＝＝．所以三棱锥B﹣EFG的体积为．④正确；故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数y＝f（x）的图象与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则f（4）＝2．【分析】先利用反函数的定义求出函数f（x）的解析式，即可求出f（4）的值．解：由题意可知，函数y＝f（x）与函数y＝2x互为反函数，∴f（x）＝log2x，∴f（4）＝log24＝2，故答案为：2．14．设x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为﹣1．【分析】先根据条件画出可行域，设z＝x﹣2y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z＝x﹣2y，取得截距的最小值，从而得到z最小值即可．解：由约束条件得到如图可行域，由目标函数z＝x﹣2y得到y＝x﹣z；当直线经过A时，直线在y轴的截距最大，使得z最小，由得到A（1，1），所以z的最小值为1﹣2×1＝﹣1；故答案为：﹣1．15．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生A1，A2，A3和3名女生B1，B2，B3中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则A1和B1两人组成一队参加比赛的概率为．【分析】先设分为甲乙两队，求出基本事件的总数，再根据A1和B1两人组成一队，求出符合条件的个数，相比即可求解．解：设分为甲乙两队；则甲队的人任选的话有：＝9种情况，乙队去选时有：＝4种情况；故共有9×4＝36种情况；若A1和B1两人组成一队，在甲队时，乙队有＝4种情况；在乙队时，甲队有＝4种情况；故共有4+4＝8种情况；所以：A1和B1两人组成一队参加比赛的概率为：＝．故答案为：．16．记S n为数列{a n}的前n项和，若2S n﹣a n＝，则a3+a4＝﹣，数列{a n+2﹣a n}的前n项和T n＝．【分析】（1）直接利用递推关系式的应用求出结果．（2）利用数列的递推关系式的应用和分组求和的应用求出结果．解：（1）由于数列{a n}满足2S n﹣a n＝，①当n≥2时，②，①﹣②得：，整理得，所以．（2）由于，故③，所以④，③﹣④得：，所以…+，＝﹣2×（）+，＝（）﹣+（），＝．故答案为：（1），（2）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）；（2）已知尺寸在[63.0，64.5）上的零件为一等品，否则为二等品．将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率．【分析】（1）由频率分布直方图中中位数两边频率相等，即可求出中位数的大小；（2）计算尺寸在[63.0，64.5）外的频率，用频率估计概率，即可得出结论．解：（1）由频率分布直方图的性质得：（0.075+0.225）×0.5＝0.15，0.15+0.75×0.5＝0.525，所以中位数在[63.0，63.5）内，设为a，则0.15+（a﹣63.0）×0.75＝0.5，解得a≈63.47，所以估计中位数为63.47；（2）尺寸在[63.0，64.5）上的频率为（0.750+0.650+0.200）×0.5＝0.8，且1﹣0.8＝0.2，所以从生产线上随机抽取1个零件，估计所抽取的零件是二等品的概率为0.2．18．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2A+sin2C﹣sin A sin C＝sin2B．（1）求sin B的值；（2）若b＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos B，然后结合同角平方关系可求sin B；（2）由已知结合三角形的面积公式可求ac，然后结合余弦定理即可求解a+c，进而可求三角形的周长．解：（1）因为sin2A+sin2C﹣sin A sin C＝sin2B．由正弦定理可得，，由余弦定理可得，cos B＝，故sin B＝；（2）∵S△ABC＝＝＝，所以ac＝3，因为，所以＝4+8＝12，所以a+c+b＝2+2．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC，AB＝BC，∠APC＝120°，∠ABC＝90°，AC ＝PB＝2．（1）求证：AC⊥PB；（2）求点C到平面PAB的距离．【分析】（1）取AC的中点为O，连接BO，PO，证明PO⊥AC，BO⊥AC，推出AC ⊥平面OPB，即可证明AC⊥BP；（2）在直角三角形ABC中，由AC＝2，O为AC的中点，得BO＝1，求解PO＝，结合PB＝，可得PO⊥BO，又PO⊥AC，得到PO⊥平面ABC，然后利用等体积法求点C到平面PAB的距离．【解答】（1）证明：取AC的中点为O，连接BO，PO．在△PAC中，∵PA＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，在△BAC中，∵BA＝BC，O为AC的中点，∴BO⊥AC，∵OP∩OB＝O，OP，OB⊂平面OPB，∴AC⊥平面OPB，∵PB⊂平面POB，∴AC⊥BP；（2）解：在直角三角形ABC中，由AC＝2，O为AC的中点，得BO＝1，在等腰三角形APC中，由∠APC＝120°，得PO＝，又∵PB＝，∴PO2+BO2＝PB2，即PO⊥BO，又PO⊥AC，AC∩OB＝O，∴PO⊥平面ABC，求解三角形可得PA＝，又AB＝，得＝．设点C到平面PAB的距离为h，由V P﹣ABC＝V C﹣PAB，得，解得h＝，故点C到平面PAB的距离为．20．已知点P是抛物线C：y＝﹣3的顶点，A，B是C上的两个动点，且•＝﹣4．（1）判断点D（0，﹣1）是否在直线AB上？说明理由；（2）设点M是△PAB的外接圆的圆心，求点M的轨迹方程．【分析】（1）由抛物线的方程可得顶点P的坐标，设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出数量积•，再由题意•＝﹣4可得直线AB恒过（0，﹣1），即得D在直线AB上；（2）设A，B的坐标，可得直线PA，PB的斜率及线段PA，PB的中点坐标，进而求出线段PA，PB的中垂线的方程，两个方程联立求出外接圆的圆心M的坐标，由（1）可得M的横纵坐标关于参数k的表达式，消参数可得M的轨迹方程．解：（1）由抛物线的方程可得顶点P（0，﹣3），由题意可得直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y＝kx+4，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立直线与抛物线的方程：，整理可得：x2﹣4kx﹣4（b+3）＝0，△＝16k2+16（3+b）＞0，即k2+3+b＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4（b+3），y1y2＝k2x1x2+kb（x1+x2）+b2＝﹣4k2（b+3）+4k2b+b2＝b2﹣12k2，y1+y2＝k（x1+x2）+2b＝4k2+2b，因为＝（x1，y1+3）（x2，y2+3）＝x1x2+y1y2+3（y1+y2）+9＝﹣4（b+3）+b2﹣12k2+3（4k2+2b）+9＝b2+2b﹣3，而•＝﹣4，所以b2+2b﹣3＝﹣4，解得b＝﹣1，m满足判别式大于0，即直线方程为y＝kx﹣1，所以恒过（0，﹣1）可得点D（0，﹣1）是否在直线AB上．（2）因为点M是△PAB的外接圆的圆心，所以点M是三角形PAB三条边的中垂线的交点，设线段PA的中点为F，线段PB的中点为为E，因为P（0，﹣3），设A（x1，y1），B（x2，y2）所以F（，），E（，），k PA＝，k PB＝，所以线段PA的中垂线的方程为：y﹣＝﹣（x﹣），因为A在抛物线上，所以y1+3＝，PA的中垂线的方程为：y﹣+3＝﹣（x﹣），即y＝﹣x+﹣1，同理可得线段PB的中垂线的方程为：y＝﹣x+﹣1，联立两个方程，解得，由（1）可得x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4（b+3）＝﹣8，所以x M＝﹣＝k，y M＝＝＝2k2，即点M（k，2k2），所以x M2＝，即点M的轨迹方程为：x2＝y．21．已知函数f（x）＝alnx﹣，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x ﹣y﹣2﹣e＝0．（1）求a，b的值；（2）证明函数f（x）存在唯一的极大值点x0，且f（x0）＜2ln2﹣2．【分析】（1）求导，可得f′（1）＝a，f（1）＝﹣be，结合已知切线方程即可求得a，b的值；（2）利用导数可得，x0∈（1，2），再构造新函数，利用导数求其最值即可得证．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），，则f′（1）＝a，f（1）＝﹣be，故曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为ax﹣y﹣a﹣be＝0，又曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2﹣e＝0，∴a＝2，b＝1；（2）证明：由（1）知，，则，令g（x）＝2x﹣xe x+e x，则g′（x）＝2﹣xe x，易知g′（x）在（0，+∞）单调递减，又g′（0）＝2＞0，g′（1）＝2﹣e＜0，故存在x1∈（0，1），使得g′（x1）＝0，且当x∈（0，x1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（x1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，由于g（0）＝1＞0，g（1）＝2＞0，g（2）＝4﹣e2＜0，故存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，且当x∈（0，x0）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故函数存在唯一的极大值点x0，且，即，则，令，则，故h（x）在（1，2）上单调递增，由于x0∈（1，2），故h（x0）＜h（2）＝2ln2﹣2，即，∴f（x0）＜2ln2﹣2．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（1）求C1与C2的普通方程；（2）若C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝，求sinα的值．【分析】（1）分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程；（2）把直线的参数方程代入C2的普通方程，化为关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t的几何意义求解．解：（1）由曲线C1的参数方程为（t为参数），消去参数t，可得y＝x tanα+1；由曲线C2的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，可得，即（y≥0）．（2）把（t为参数）代入，得（1+cos2α）t2+2t sinα﹣1＝0．∴，．∴|AB|＝|t1﹣t2|＝＝．解得：cos2α＝1，即cosα＝±1，满足△＞0．∴sinα＝0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1．（1）求+的最小值；（2）证明：＜．【分析】（1）利用基本不等式即可求得最小值；（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．解：（1），当且仅当“”时取等号，故+的最小值为；（2）证明：，当且仅当时取等号，此时a+b≠1．故＜．。