现代控制理论习题集

试求最优控制是下列性能指标
取极小值，且求出最优轨线。
6.6设一阶离散系统方程为
边界条件为： 。试求最优控制序列，使下列性能指标
取极小值，并求出状态序列。
6.7设系统状态方程及边界条件为:
; ,
试求最优控制是指标 取极值，并求出最优轨线及最优性能指标。
6.8设系统状态方程及边界条件为:
; ,
试求最有控制及 使 取极值。
1） ；2）
2.8给定系统 和其伴随方程 ，其状态转移矩阵分别用 和 表示，证明： 。
2.9求解下列系统的状态响应。
2.10已知如下离散时间系统， ， 是从单位斜坡函数t采样得到的，求系统的状态响应。
2.11已知如下离散时间系统，试求 ，使系统能在第二个采样时刻转移到原点。
第三章线性系统的能控性与能观性
5.8给定线性定常系统
式中
假设该系统的结构与图4.5所示的相同。试设计一个全维状态观测器，该观测器的期望特征值为 。
5.9给定线性定常系统
该观测器增益矩阵的一组期望的特征值为 。试设计一个全维观测器。
5.10考虑习题4.11给出的同一系统。假设输出y可准确量测。试设计一个最小阶观测器。该最小阶观测器的期望特征值为 。
5.4调节器系统被控对象的传递函数为
定义状态Βιβλιοθήκη Baidu量为
利用状态反馈控制律 ，要求闭环极点为 (i=1,2,3)，其中
试确定必需的状态反馈增益矩阵K。
5.5试用MATLAB求解习题4.6。
5.6给定线性定常系统
式中
试设计一个全维状态观测器。该观测器的期望特征值为 。
5.7考虑习题4.8定义的系统。假设输出y是可以准确量测的。试设计一个最小阶观测器，该观测器矩阵所期望的特征值为 ，即最小阶观测器所期望的特征方程为 。
的响应，并比较这两种系统的响应。
5.14考虑4.7节讨论的倒立摆系统。设计一个状态反馈增益矩阵K，其中已知 和积分增益常数 。假设该系统的期望闭环极点为 。试利用MATLAB确定增益矩阵K和积分增益常数 。再求当单位阶跃输入作用于小车位置时的阶跃响应曲线。
第六章最优控制
6.1设系统状态方程及边界条件为：
《现代控制理论》习题
第一章控制系统的状态空间模型
1.1考虑以下系统的传递函数：
试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。
1.2考虑下列单输入单输出系统：
试求该系统状态空间表达式的对角线标准形。
1.3考虑由下式定义的系统：
式中
试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。
1.4考虑由下式定义的系统：
试求该齐次状态方程的解x(t)。
2.4已知系统方程如下
求输入和初值为以下值时的状态响应和输出响应。
1） ；2）
3） ；4）
2.5验证下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，若满足，求相应的状态系数矩阵A。
2.6对线性定常系统 ，已知
求系统矩阵A。
2.7已知线性时变系统的系统矩阵如下，计算状态转移矩阵 。
3.1考虑由下式定义的系统
式中
试判断该系统是否为状态能控和状态能观测。该系统是输出能控的吗？
3.2下列能控标准形
式中
是状态能控和状态能观测的吗？
3.3考虑如下系统
式中
除了明显地选择 外，试找出使该系统状态不能观测的一组 ， 和 。
3.4给定线性定常系统
式中
试将该状态空间表达式化为能控标准形和能观测标准形。
5.13考虑4.4节讨论的倒立摆系统。假设M、m和l的值与4.4节中的相同。对于该系统，状态变量定义为
试求该系统的状态空间表达式。
假设采用状态反馈控制律 ，试设计一个稳定的控制系统。考虑以下两种情况下的期望闭环极点
情况1： ；
情况2：
试确定在这两种情况下的状态反馈增益矩阵K。再求设计出的系统对初始条件
M=2千克，m=0.5千克，l= 1米
定义状态变量为
输出变量为
试推导该系统的状态空间表达式。
若要求闭环极点为
试确定状态反馈增益矩阵K。
利用已被求出的状态反馈增益矩阵K，用计算机仿真检验该系统的性能。试写出一个MATLAB程序，以求出该系统对任意初始条件的响应。对一组初始条件
米/秒
试求x1(t)，x2(t)，x3(t)和x4(t)对t的响应曲线。
试求最优控制 ，使下列性能指标
取最小值。
6.2求从 到直线 之间距离最短的曲线及最优终端时间。
6.3系统状态方程及边界条件为：
试求最优控制使下列指标取极值并求最优轨线。
6.4设系统状态方程及初始条件为
未给定，试求最有控制及 使下列指标取极值，并求出最优轨线。
6.5设系统状态方程及初始条件为：
中断状态受如下约束
式中
试求其传递函数Y(s)/U(s)。
1.5考虑下列矩阵：
试求矩阵A的特征值λ1,λ2,λ3和λ4。再求变换矩阵P，使得
第二章
2.1用三种方法计算下列矩阵A的矩阵指数函数 。
1） ；2）
2.2计算下列矩阵的矩阵指数函数 。
1） ；2） ；3） ；4）
5) ；6） ；7）
2.2给定线性定常系统
式中
且初始条件为
5.11考虑图4.17所示的I型闭环伺服系统。图中的矩阵A、B和C为
试确定反馈增益常数 和 ,使得闭环极点为 。试利用计算机对所设计的系统进行仿真，并求该系统单位阶跃响应的计算机解，绘出y(t)对t的曲线。
图4.17I型闭环伺服系统
5.12考虑4.4节讨论的倒立摆系统。参见图4.2所示的原理图。假设
4.5试确定下列线性系统平衡状态的稳定性
4.6试确定下列线性系统平衡状态的稳定性。
第五章线性系统的综合
5.1给定线性定常系统
式中
采用状态反馈控制律 ，要求该系统的闭环极点为s=-2±j4，s=-10。试确定状态反馈增益矩阵K。
5.2试用MATLAB求解习题4.3。
5.3给定线性定常系统
试证明无论选择什么样的矩阵K，该系统均不能通过状态反馈控制 来稳定。
3.5给定线性定常系统
式中
试将该状态方程化为能观测标准形。
第四章
4.1试确定下列二次型是否为正定的。
4.2试确定下列二次型是否为负定的。
4.3试确定下列非线性系统的原点稳定性。
考虑下列二次型函数是否可以作为一个可能的Lyapunov函数：
4.4试写出下列系统的几个Lyapunov函数
并确定该系统原点的稳定性。
6.9设系统状态方程为
试确定最优控制 ，使下列性能指标
取极小值。
6.10设有下列受控系统状态方程：
1. 2.
3.
试分别研究有无最优控制使下列性能指标
取极小值？是否存在正定矩阵 ？分析受控系统状态可控性、稳定性与最优解的关系。