第五章 5.4 平面向量的应用-教师版

1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →

，则A ，B ，C 三点共线．( √ ) (2)向量b 在向量a 方向上的投影是向量．( × )

(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) (4)在△ABC 中，若AB →·BC →

<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )

(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →

＋t (AB →＋AC →

)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )

2、已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形

答案 B

解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →

＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋(－2)2＝22，|AC →

|＝16＋64＝45， |BC →

|＝36＋36＝62，

第1课时

进门测

∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2， ∴△ABC 为直角三角形．

3、已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →

|等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3

答案 D

解析 在△ABC 中，由余弦定理可得AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝BC 2，又AB →·AC →＝|AB →|·|AC →

|·cos A ＝－16，所以AB 2＋AC 2＋32＝100，AB 2＋AC 2＝68.又D 为边BC 的中点，所以AB →＋AC →＝2AD →

，两边平方得4|AD →|2＝68－32＝36，解得|AD →

|＝3，故选D.

4、若向量a ，b 满足|a |＝|2a ＋b |＝2，则a 在b 方向上投影的最大值是( ) A. 3 B ．－3 C. 6 D ．－6 答案 B

解析 由题意得|2a ＋b |2＝4|a |2＋4|a||b |cos 〈a ，b 〉＋|b |2＝16＋8|b |cos 〈a ，b 〉＋|b |2＝4，则cos 〈a ，b 〉＝－|b |2－128|b |＝－(|b |8＋32|b |

)≤－2

|b |8·32|b |＝－3

2，当且仅当|b |＝23时等号成立，所以向量a 在向量b 方向上投影的最大值是|a |cos 〈a ，b 〉＝－ 3.

5、平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP → ·OA →

＝4，则点P 的轨迹方程是____________． 答案 x ＋2y －4＝0

解析 由OP →·OA →

＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4，

即x ＋2y ＝4.

无

题型一 向量在平面几何中的应用 命题点1 向量和平面几何知识的综合

例1 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →

＝1，则AB ＝________.

(2)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →

＋3PB →

|的最小值为________． 答案 (1)1

2

(2)5

解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →

，

又∵AC →＝AD →＋AB →，

作业检查

阶段训练

第2课时

∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)

＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2

＝|AD →

|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2

＝1＋12×12|AB →|－12

|AB →

|2＝1.

∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12

. (2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝y .

则D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，y )， P A →＝(2，－y )，PB →

＝(1，a －y )， 则P A →＋3PB →

＝(5,3a －4y )， 即|P A →＋3PB →

|2＝25＋(3a －4y )2， 由点P 是腰DC 上的动点，知0≤y ≤a . 因此当y ＝34a 时，|P A →＋3PB →

|2取最小值25.

故|P A →＋3PB →

|的最小值为5. 命题点2 三角形的“四心”

例2 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →

＋λ(AB →＋AC →

)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 答案 C

解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →

是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →

的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心． 引申探究

1．在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →

＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？ 答案 A

解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →

|AC →|平分∠BAC ，即AP →

平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．

2．在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →

＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →

|cos C )，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？

答案 D

解析 由条件，得AP →＝λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，从而AP →·BC →

＝λ(AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C

)