线性代数基础学习书单

线性代数基础学习书单

线性代数是很传统的课程，国内还比较喜欢叫做高等代数，这就更加传统了。一般地，在我们的高等代数里，除了线性空间外，还有大量的矩阵论，一点点多项式理论。大致来说，线性代数可以从两个角度去看它，一是它的几何理论，即线性空间以及线性空间里的线性变换；二是代数方法，那就是矩阵论了。“所谓线性代数学，就是或者直接研究线性空间的几何问题，或者将线性空间的一些几何问题化为化为矩阵问题。所以线性空间理论和矩阵论实际上是相伴而生的。”（许以超，线性代数与矩阵论（第二版）·序言，p.ii）

至于多项式，在这里主要是一个将平面上的几何问题化为代数多项式问题来解决的方案，这是平面解析几何的问题。那么，多项式要不要学，光是看看那么多线性代数教科书里都要包含一章来讲多项式，就知道答案是肯定的。几何问题其实都可以是线性问题，这样，间接地，多项式也就跟线性代数挂上了钩。

不过，是否可以把多项式分出去就是一个值得考虑的问题了。我觉得多项式还是不要放在线性代数课程中为好，一则费时，二则也讲不透。事实上，很多老师会把本来放在前头的多项式挪到后面来讲，甚至干脆就不讲。有一门课叫做“整数与多项式”，不过现在很少在大学课堂里出现了。整数理论是属于数论的，但加减乘除跟多项式是一样的，比较一下算术基本定理和代数基本定理就知道了。另外，多项式其实也不是一个简单的问题，更不只限于跟整数挂钩。在多项式环中，我们有带余除法，若表示为分式，就扩展到有理域了，更进一步，我们去求根的话，那就有实根甚至复根，再则，还有多元多项式的问题。这显然不是在一本线性代数教科书的一章之内就可以交代清楚的。

当代线性代数课是比较注重空间理论的。这是符合线性代数本质的，因为在线性空间里，毕竟都是几何对象。首先得弄清楚这门课的对象，这一点是毫无疑义的。所以，刚开始学习线性代数时，应该把注意力集中在这方面。等到对此有了一个比较透彻的理解时，就该开始苦练矩阵计算的功夫了。矩阵是一种代数方法，虽然它看起来比线性空间理论要古老些，但现代数学的发展却是越来越重代数了，要想把线性代数的水平从本科程度上提高一下的话，代数基本功是重要的——以后可能不一定要用到矩阵论，但作为大一基础课，矩阵论是一个最好的也是最初的代数训练。另外，矩阵论已经相当成熟，有着一整套标准计算技巧和方法，很有实用价值。

还有两个问题要引起注意。一是要看到线性代数与其他课程的关系。比如，很多学校不是从一年级上学期就开这门课的，而是从下学期开，美国有些极端的做法甚至在大三才开课。这种情况其实就暗示了学习线性代数是需要一点其他知识的，尤其是微积分或者说数学分析的知识；另外，当微积分学到多元的时候，在高维空间里说话，也就需要一点线性代数的支持了。线性代数不跟其他东西联系起来，那是没有用的。

第二个问题是，线性代数仍在快速发展中，新的结果很多，要在基础课中追时髦是不太现实的。而且，实际上在本科阶段把它学好了，就已经可以在这个领域里开始做研究了（这一点比其他课都要划算）。所以，我认为在学这门课时，还是把眼睛紧盯着基础为上。

补充一点：线性代数是一门很基础的课程，但是，它不容易学。我觉得比较好的办法是，在学过一本基础教材后，那些“语言”不再是问题的时候，再去读一本高级一点的教材，然后再回头看过来。美国是有第二课程的，可以在这里面找找，或者读一本研究生水平的书。对于初学者，还是从容易入手的开始——

1. 李尚志，线性代数（数学专业用），高等教育出版社，2006

这本书是我觉得比较适合作为初学者入门的教材的。它不算是一本有分量的书，但绝对是一本很好的引论。这是对它的评论：“1.不是从定义出发，而是从问题出发来展开课程内容，

引导学生在分析和解决这些问题的过程中将线性代数的知识重新“发明”一遍，貌似抽象难懂的概念和定理也就成为显而易见。2.“空间为体，矩阵为用”，自始至终强调几何与代数的相互渗透。3.不板着面孔讲数学，努力采用生动活泼、学生喜闻乐见的语言。”

很多学生毕业后抱怨道：线性代数学过，还考了高分，但出来后回头看看，居然还是不懂。不懂的原因一是不知道它是干什么的，二是没注意过各种对象各种角度间的关系。李尚志的这本书，在这方面多少能帮到我们一点。

这本书是作者在中科大讲这门课时形成的。中科大还有两本曾经作为课本的线性代数教材：2. 李炯生、查建国、王新茂，线性代数（第2版），中国科技大学出版社，2010

这本书的第一版是1989年出的，讲义是1984年就用于83级的课堂了。这本书还有一个外号，叫做“亚洲第一难书”。其实，难的只是习题，科大的书大多在叙述上还是挺清晰易懂的。

3. 许以超，线性代数与矩阵论（第二版），高等教育出版社，2008

相对于国内传统的注重矩阵论的教材来说，这一本算是比较注重线性空间的了，但是如它的书名指出的，它仍然是偏重矩阵论的（作者自己也这么认为）。将这本书与李炯生的那本比较一下，可以看到它们有多么相似，毕竟二者就是在同一个大学里隔了个文化大革命而已，那十年本来就可以忽略不计。可以考虑将2、3两本书当做一本书来看。

许以超的这本书源于60年代初的讲义，1966年以《代数学引论》为名出版。80年代，作者在南开、清华、浙大等学校讲这门课时，就已经简化为所谓高等代数（或者叫线性代数）了。

4. 许以超，代数学引论，上海科学技术出版社，1966

1960年作者在北大讲课（当时还是研究生），1961到中科大，承担了几何与代数几乎全部课程（李炯生就是他当时的助教），这本书就是由当时的讲义形成的。这本书有大量的几何（甚至平面解析几何）在内。中科大有一门课就叫“线性代数与解析几何”，不知道跟这本书有没有关系。这是很有意思的一本书，它将解析几何、仿射几何、射影几何、辛几何和线性代数交叉起来作为一个整体来写，并以矩阵论为工具，将很多几何问题化成了代数问题。文革后，这还是很多人考研的一本重头参考书。非常值得当参考书悠闲地读读。

类似的，跟几何有关的（但有点为几何而扯线性代数的味道），这一本也可以看看——

5. 克林根贝尔格，线性代数与几何，沈纯理等译，高等教育出版社，1998

不过，总体来说，线性代数一天到晚在说空间空间，但真的把经典的几何对象结合进来的工作似乎一直不很精彩。这方面的稍微了解一点就是了，后面四章可以看看。

不管线性代数已经多么现代化了，我仍然认为矩阵论是非常重要的，不可偏废的。它是应用的利器。

6. 甘特玛赫尔，矩阵论

这方面最权威的书。上下两卷，有不少内容是一般的教材不会提到的。还有，这几乎是每一个写线性代数教科书的人一定要列出来的参考书。因此，这个可以算是必读书了。

矩阵是个不学不行，学起来又不太容易在高处领会的东西。中国人的办法是做题，做到熟能生巧，估计从前老毛子也是这么办的。当然这是有道理的。不过，我觉得从数学思想上来理解也是个办法，而且很可能事半功倍。许以超在他那本书的序言里说：“在线性空间里取定一组基后，线性映射可以用矩阵来表示，二次型可以用对称方阵来表示。反之，矩阵的几何意义为：它表示了线性空间上的线性映射。”

7. 詹兴致，矩阵论，高等教育出版社，2008

对矩阵有兴趣的，可以看看这本。不是说它有多好，而是说，从这里可以大概知道一点矩阵论现在都有些什么可干的，还有人们大概是如何在干这些勾当的，毕竟这是研究生的教材。走到矩阵分析这一步，跟工科关系比较大，要读下去的话，可看的书不少，我也不懂，就不