2020年重庆八中高三3月月考理科数学试题含答案

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2020届重庆市直属校高三3月月考理科数学试题Word版含答案

2020届重庆市直属校高三3月月考理科数学试题第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合A={x|x 2<9},B={-3,-2,-1,0,1,2},则A∩B=A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-2,-1,0,1,2}D.{-2,–1,0}2.设(1+i)(a+bi)=2,其中a,b 是实数,i 为虚数单位,则|3a+bi|=A.2C.3.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16,则log 2a 9=A.15B.16C.17D.184.若实数x,y 满足约束条件20,20,240x y x y x y -+⎧⎪⎪⎪-⎨⎪⎪+-⎪⎩…„?,则z=x+y 的最小值为A.-8B.-6C.1D.35.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。

这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期。

现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为 A.35 B.710 C.45 D.9106.如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,ABCD 为平行四边形,E,F 分别在线段DB,DD 1上,且112DE DF EB FD ==,G 在CC 1上且平面AEF ∥平面BD 1G ,则1CG CC =A.12B.13C.23D.147.在直角坐标系xOy 中，半径为lm 的⊙C 在t= 0时圆心C 与原点O 重合，⊙C 沿x 轴以1m/s 的速度匀速向右移动，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ，令y=cosx ，则y 关于时间t （0≤t≤l, 单位：s ）的函数的图象大致为8.(()n mx n N +∈的展开式中,各二项式系数和为32,各项系数和为243,则展开式中x 3的系数为A.40B.30C.20D.10 9.设函数f(x)=cos(ωx+φ)(x∈R)(ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,如果127,(,)1212x x ππ∈，x 1≠x ,且f(x 1)=f(x 2),则f(x 1+x 2)=A.2-B.12-C.2 D ．1210.已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上,球O 的半径为4,ΔABC 是边长为6的等边三角形,记ΔABC 的外心为O 1.若三棱锥P-ABC的体积为PO 1=A.B.C.D.11.设双曲线2222:1(0,x y C a b a b-=>>)的左顶点为A,右焦点为F(c,0),若圆A:(x+a)2+y 2=a 2与直线bx-ay=0交于坐标原点O 及另一点E ﹐且存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切,切点为EF 的中点,则双曲线的离心率为D.3212.函数1ln()(0)()(0)x x x f x xe x -'-<⎧⎪=⎨⎪⎩…，若关于x 的方程f 2(x)-af(x)+a-a 2=0有四个不等的实数根,则a的取值范围是 A. 4(,1]5B.(–∞,-1)∪[1,+∞)C.(-∞,-1)∪{1}D.(-1,0)∪{1}第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a r 与b r 的夹角为120°,且(1,3),||a b =-=r r 则a b ⋅=r r ____.14.已知函数f(x)=3|x-a|(a ∈R)满足f(x)=f(4-x),则实数a 的值为____.15.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足222(2)2()0n n S n n S n n -+--+=,n ∈N *,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和T 2020=___.16.设抛物线y 2=2x 的焦点为F,准线为1,弦AB 过点F 且中点为M ﹐过点F,M 分别作AB 的垂线交l 于点P,Q,若|AF|=3|BF|,则|FP|·|MQ|=____.三、解答题:(共70分)17.(本小题满分12分)在ΔABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足(cos )c b A A =+(I)求角B 的大小;(II)若a=4,且BC求ΔABC 的周长.18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为平行四边形,点E 在AB 上,AE=2EB=2,且DE ⊥AB.以DE 为折痕把ΔADE 折起,使点A 到达点F 的位置,且∠FEB=60°.(I)求证:平面BFC ⊥平面BCDE ﹔(II)若直线DF 与平面BCDE,求二面角E-DF-C 的正弦值.19.(本小题满分12分)为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内,武汉某制药厂在该药品的生产过程中,检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测,测量其主要药理成分含量(单位:mg).根据生产经验,可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N(μ,σ2).在一天内抽取的20件产品中,如果有一件出现了主要药理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的药品,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对本次的生产过程进行检查.(I)下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量:其中x i为抽取的第i件药品的主要药理成分含量,i=1,2,…,20.用样本平均数x作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查?(I)假设生产状态正常,记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的药品件数,求P(X=1)及X的数学期望.附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)≈0.9974,0.997419≈0.95.20.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线与C交于A,B两点.ΔABF2的周长为,且椭圆的离心率为2.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程:(I)设点P为椭圆C的下顶点,直线PA,PB与y=2分别交于点M,N,当|MN|最小时,求直线AB的方程.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e ax-x-1,且f(x)≥0.(I)求a﹔(IⅡ)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,问:是否存在x0∈(x1,x2),使f'(x)=k成立?若存在,求出x的值(用x1,x2表示);若不存在,请说明理由.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2(cos2θ+3sin2θ)=12,直线l的参数方程为2x ty t=-+⎧⎪⎨⎪=⎩(t为参数),直线l与曲线C交于M,N两点.(I)若点P的极坐标为(2,π),求|PM|·|PN|的值; (Ⅱ)求曲线C的内接矩形周长的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲.已知函数f(x)=x|x-a|,a∈R.(Ⅰ)当f(2)+f(-2)>4时,求a的取值范围;(Ⅱ)若a>0,∀x,y∈(-∞,a],不等式f(x)≤|y+3|+|y-a|恒成立,求a的取值范围.。

2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科数学试卷-学生用卷

2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第1题5分2+i1−2i=（）．A. −iB. iC. 1+iD. −1+i2、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第2题5分2020~2021学年10月河南洛阳洛龙区洛阳市第一高级中学高一上学期月考第1题若集合A={x∈N|(x−3)(x−2)<6}，则A中的元素个数为（）．A. 3B. 4C. 5D. 63、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第3题5分函数f(x)=e x−e−xx2−1的图象大致为（）．A.B.C.D.4、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第4题5分已知向量a →=(1,2)，|b →|=√2，且a →⊥b →，则|a →+2b →|=（）．A. √13B. √17C. 13D. 175、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第5题5分若直线x −y =0与圆x 2+y 2−4x −6y +9=0相交于A ，B 两点，则|AB|=（）．A. 2B. √7C. 3D. √146、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第6题5分已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos⁡B=3，bcos⁡A=4，则c=（）．A. 4 B. 5 C. 6 D. 77、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第7题5分一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，叫做“物不知数”问题，后由宋朝数学家秦九韶在《数书九章》中给出了完整系统的解答．此类问题在后续发展过程中形成了多种简便快捷的求解方法，右边的程序框图给出了某个“物不知数”问题最小整数解的求解方法——“逐步约束法”．其中，若正整数n除以正整数m的余数为r，则记为n=r(modm)，例如7=1(mod3)．执行该程序框图，则输出的n为（）．A. 20B. 38C. 47D. 538、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第8题5分某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生，要求每个车站至少有一人，则其中小李和小明不在同一车站的概率为（）．A. 712B. 23C. 56D. 11129、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第9题5分直角△ABC 中，AB =AC =√3，D 为BC 边上一点，沿AD 将△ACD 折起，使点C 在平面ABD 内的正投影H 恰好在AB 上，若AH =1，则二面角C −AD −B 的余弦值是（）．A. 13B. √23C. √33D. √2210、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第10题5分若函数f(x)=cos⁡(2x −π6)在(−a,a)上没有最小值，则a 的最大值为（）．A. π12B. π6C. 5π12D. 7π1211、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第11题5分已知函数f(x)={1−|2x −3|,x ∈[1,2]−f (12x),x ∈(2,8]，则下列结论正确的是（）． A. f (2)=f (7)B. 函数f (x )有5个零点C. 函数f (x )在[3,6]上单调递增D. 函数f (x )的值域为[−2,4]12、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第12题5分已知双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，过F1的直线l与y轴相交于点M，与C的右支相交于点P，且M为线段PF1的中点，若C的渐近线上存在一点N，使得MN→=2NP→，则C的离心率为（）．A. √2B. 53C. 2D. √5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第13题5分函数f(x)=cos⁡x+13f′(π2)x，则f′(π2)=．14、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第14题5分若x，y满足约束条件{x−2y⩽04x−y−4⩾05x+4y−20⩾0，则z=x+3y的最小值为．15、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第15题5分若α∈(0,π2)，且sin⁡α+2cos⁡α=√102，则tan⁡(α+π4)=．16、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第16题5分三棱台ABC−A1B1C1中，A1A=B1B=C1C=A1B1=2，AB=4，侧面A1B1BA⊥底面ABC，M为AB的中点，线段MC的长为；该三棱台的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第17题12分已知{a n}是公差不为零的等差数列，S n是其前n项和，若S3=9，且a5是a2与a14的等比中项．(1) 求{a n}的通项公式．(2) 记b n=a n−log2a n，n∈N+，证明：b n<b n+1．18、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第18题12分近几年来，热饮越来越受到年轻人的欢迎．一个研究性学习小组为了研究气温对热饮销售的影响，统计了学校门口一个热饮店在2019年1月份某6天白天的平均气温和热饮销售量，得到以下数据．(1) 求销售量关于气温的回归直线方程，若某天白天的平均气温为16∘C ，估计当天的热饮销售量．(2) 根据表格中的数据计算R 2（精确到0.001），由此解释平均气温对销售量变化的影响．参考公式：b ^=Σn i=1(x i −x)(y i −y)Σn i=1(x i −x)2，a ^=y −b ^x ，R 2=1−Σn i=1(y i −y ^i )2Σn i=1(y i −y)2．19、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第19题12分已知抛物线C:y 2=2px(p >0)，直线l 经过点P (2p,0)，且与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1) 判断△AOB 的形状，并说明理由．(2) 若|OA →+OB →|⋅|OP →|=5√13，且△AOB 的面积为5，求l 的方程．20、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第20题12分如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PD =PB =2，H 为PC 的中点，过AH 的平面分别交线段PD ，PB 于点M ，N ．(1) 若BD//面AMHN ，求证：MN ⊥PC ．(2) 若PA =PC =3，AC =2√6，求AC 与面AMHN 所成角的正弦值的最大值．21、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第21题12分已知函数f(x)=ln⁡x−2(x−1)+12a(x−1)2，其中a⩾1．(1) 证明：函数f(x)有两个极值点x1，x2，并求x12+x22的取值范围．(2) 若曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线与该曲线有且仅有一个公共点，求a的所有可能值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=4k1+k2y=1−k21+k2（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos⁡(θ+π3)=2．(1) 求曲线C和直线l的普通方程．(2) 若P为曲线C上一点，求P到直线l距离的取值范围．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第23题10分设函数f(x)=|x−1|+|2x+a|．(1) 若a=2，求f(x)⩽8的解集．(2) 若f(x)⩾3−|x−1|，x∈R，求a的取值范围．1 、【答案】 B;2 、【答案】 B;3 、【答案】 A;4 、【答案】 A;5 、【答案】 D;6 、【答案】 D;7 、【答案】 D;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】 C;12 、【答案】 B;;13 、【答案】−3214 、【答案】50;715 、【答案】−2;16 、【答案】2;16π;17 、【答案】 (1) a n=2n−1．;(2) 证明见解析．;18 、【答案】 (1) y^=−3x+150，102．;(2) 96.7%，平均气温解释了96.7%的销售量变化（或销售量变化有96.7%是由平均气温引起的）．;19 、【答案】 (1) 直角三角形，证明见解析．;(2) 2x−3y−4=0或2x+3y−4=0．;20 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √19．19;21 、【答案】 (1) 证明见解析，(1,7]．;(2) 1．;22 、【答案】 (1) x24+y2=1(y≠−1)，x−√3y−4=0．;(2) [4−√72,4+√72]．;23 、【答案】 (1) 当x⩾1时，1⩽x⩽73；当−1<x<1时，−1<x<1；当x⩽−1时，−3⩽x<−1．;(2) (−∞,−5]∪[1,+∞)．;。

重庆市第八中学2020届高三下学期第3次月考数学(理)试题 Word版含解析

【答案】C
【解析】
【分析】
作于点E，于点M，根据平面向量的定义，结合锐角三角函数的定义、垂径定理、平面向量的几何意义进行求解即可.
【详解】作图如下：
由题意得：作于点E，于点M，因为，即：所以，又因为，
所以 .即 .
又因为，所以，所以 .即在上的投影为 .
.
故选：C.
【点睛】本题主要考查向量的数量积的几何意义，属于较难题.
17.如图，四棱锥中，底面是正方形，，，且，E为中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由，，即：，又因为，，即：，所以平面 .
（2）通过建立空间直角坐标系，运用向量法即可求出二面角正弦值.
【详解】解：（1）∵底面是正方形，
8.已知数列满足，为其前n项和，若，，则（）
A. 57B. 64C. 124D. 120
【答案】A
【解析】
【分析】
根据完全平方公式和分组分解因式法对已知等式左右两边进行因式分解，结合等比中项的定义、等比数列前n项和公式进行求解即可.
【详解】由，化简得：
即数列是以为首项的等比数列，
【答案】3
【解析】
【Hale Waihona Puke 析】由得，从而有，再由直角三角形性质得，变形可得.
【详解】∵ ，∴ 是直角三角形，又是中点，∴ ，又在双曲线渐近线上，∴ ，∴ ，变形可得：，，∴ ， .故答案为3.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，解题关键是掌握双曲线的性质：即过双曲线的右顶点作轴垂线，交渐近线于点，则， .

重庆八中2020届高三下学期第二次月考数学试题(理科)含答案

19．（本小题满分 12 分）为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂
在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取 20 件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位： mg ）．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的
之内的概率为09974从而主要药理成分含量在之外的概率为00026故19200997400026200950002600494的数学期望为20000260052显然直线ab与my则可知2020级高三下此时mn的最小值为综上当mn最小时直线2020级高三下恒成立从而的直角坐标为20为参数代入曲线pmpn为矩形上的一顶点则该矩形的周长为cos2sin16sin其周长有最大值16
xi2
20x
2)
0.19
．
其中 xi 为抽取的第 i 件药品的主要药理成分含量， i 1 ，2，，20．用样本平均数 x 作为的估计值 ˆ ，用样本标准差 s 作为的估计值 ˆ ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？
（Ⅱ）假设生产状态正常，记 X 表示某天抽取的 20 件产品中其主要药理成分含量在 ( 3 , 3 ) 之
A． 2 3
B． 2 5
C． 2 6
D． 2 7
11．设双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1 a
0,b
0 的左顶点为
A ，右焦点为 F c, 0 ，若圆
A: x a2
y2
a2
与直线 bx ay 0 交于坐标原点 O 及另一点 E ，且存在以 O 为圆心的圆与线段 EF 相切，切点为 EF
魏、晋、南北朝时期．现拟从这 5 部专著中选择 2 部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选 2 部专著

重庆市直属校(重庆市第八中学等)2020届高三3月月考理科数学试题及参考答案

13
14
15
16
答案
5
2
505
16
2021
9
15．由题意 Sn n2 n Sn 2 0 ，因为 an 各项均为正数，所以 Sn 0 ，可得
Sn
n2
n
，所以 an
2n
．
1 an an 1
1
4nn 1
1 4
1 n
1 ， n 1
所以
T2020
1 4
1
1 2
魏、晋、南北朝时期．现拟从这 5 部专著中选择 2 部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选 2 部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为
A． 3 5
B． 7 10
C． 4 5
6．如图，四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， ABCD 为平行四边形，
E, F 分别在线段 DB, DD1上，且
02 a 0 a a2 12 a 1 a a2 0 ，解得 1 a 0 ．综上所述，
a 1,01．
高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 1 页共 6 页
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号
三、解答题：（共 70 分） 17．（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，且满足 c b(cos A （Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）若 a 4 ，且 BC 边上的高为 3 ，求 ABC 的周长．
3 sin A).
理科数学试题第 2 页共 4 页
n
项和
S
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重庆市第八中学2020届高三第2次月考理科数学试题(附答案解析)

重庆八中高2020级高三（下）第2次月考理科数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合{}2|9A x x =<，{}3,2,1,0,1,2B =---，则A B =I （） A.{}0,1,2B.{}1,0,1,2-C.{}2,1,0,1,2--D.{}2,1,0--2.设(1)()2i a bi ++=，其中,a b 是实数，i 为虚数单位，则3a bi +=（） A.2C.3.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+，则29log a =（） A.15B.16C.17D.184.若实数,x y 满足约束条件20,20,240,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值为（）A.8-B.6-C.1D.35.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（） A.35B.710C.45D.9106.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，,E F 分别在线段1,DB DD 上，且112DE DF EB FD ==，G 在1CC 上且平面//AEF 平面1BD G ，则1CGCC =（）A.12B.13C.23D.147.在直角坐标系xOy 中，半径为1m 的C e 在0t =时圆心C 与原点O 重合，C e 沿x 轴以1m/s 的速度匀速向右移动，C e 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ，令cos y x =，则y 关于时间t （01t ≤≤，单位：s ）的函数的图象大致为（）A. B. C. D.8.(()nmx n N ++∈的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中3x 的系数为（） A.40B.30C.20D.109.设函数()cos()f x x ωϕ=+()(0,0)x R ωπϕ∈>-<<的部分图象如图所示，如果127,,1212x x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（）A.2-B.12-C.2D.1210.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，球O 的半径为4，ABC ∆是边长为6的等边三角形，记ABC ∆的外心为1O .若三棱锥P ABC -的体积为1PO =（）A. B. C.D.11.设双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左顶点为A ，右焦点为(, 0)F c ，若圆222:()A x a y a ++=与直线0bx ay -=交于坐标原点O 及另一点E ，且存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切，切点为EF 的中点，则双曲线的离心率为（）A.2D.312.函数()1ln()(0)(0)x f xe x x x x --<⎧=⎨≥⎩，若关于x 的方程()()220f x af x a a -+-=有四个不等的实数根，则a 的取值范围是（） A.4,15⎛⎤⎥⎝⎦B.(,1)[1,)-∞-+∞UC.(,1){1}-∞-UD.(1,0){1}-U第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量a r 与b r 的夹角为120°，且()1,3a =-r，b =r a b ⋅=r r ________.14.已知函数()()3x af x a R -=∈满足()()4f x f x =-，则实数a 的值为________.15.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()222220n n S n n S n n -+--+=，*n N ∈，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和2020T =________. 16.设抛物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，弦AB 过点F 且中点为M ，过点,F M 分别作AB 的垂线交l 于点,P Q ，若3AF BF =，则FP MQ ⋅=________.三、解答题：（共70分）17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且满足(cos )c b A A =. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4a =，且BC，求ABC ∆的周长.18.如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E 在AB 上，22AE EB ==，且DE AB ⊥ .以DE 为折痕把ADE ∆折起，使点A 到达点F 的位置，且60FEB ∠=︒.（Ⅰ）求证：平面BFC ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）若直线DF 与平面BCDE所成角的正切值为5，求二面角E DF C --的正弦值. 19.为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg ）.根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布()2,N μσ .在一天内抽取的20件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查.（Ⅰ）下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量：经计算得20119.9620i i x x ===∑，0.19s ==≈.其中i x 为抽取的第i 件药品的主要药理成分含量，1,2,,20i =L .用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（Ⅱ）假设生产状态正常，记X 表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的药品件数，求(1)P X =及X 的数学期望.附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+≈，190.99740.95≈.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线与C 交于,A B 两点.2ABF ∆后的周长为2. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点P 为椭圆C 的下顶点，直线,PA PB 与2y =分别交于点,M N ，当MN 最小时，求直线AB 的方程.21.已知函数()1axe xf x =--，且()0f x ≥.（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）在函数()f x 的图象上取定两点()()11,A x f x ，()()()2212,B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，问：是否存在()012,x x x ∈，使()0f x k '=成立？若存在，求出0x 的值（用12,x x 表示）；若不存在，请说明理由. 请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()222cos 3sin 12ρθθ+=，直线l 的参数方程为2x ty t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 交于,M N 两点. （Ⅰ）若点P 的极坐标为()2,π，求PM PN ⋅的值；（Ⅱ）求曲线C 的内接矩形周长的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲.已知函数()f x x x a =-，a R ∈.（Ⅰ）当()()224f f +->时，求a 的取值范围；（Ⅱ）若0a >，,(,]x y a ∀∈-∞，不等式()|3|||f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围.高2020级高三（下）3月月考理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）10.由题意ABC S ∆=，1O A =12OO =，设P 到平面ABC 的高为h ，则由V =4h =，所以点P 在小圆2O （如图所示，圆1O与圆2O 所在平面平行）上运动，22OO =，所以2O P =1PO ==.11.联立12221000()x bx ay y x a y a ⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨=++=⎪⎩⎩或32222222a x c a by c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则322222,a a b E cc ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切于其中点，所以OE OF =，c =，化简即得e =12.当0x ≥时，()()11xf x ex -'=-，所以当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，且()00f =，当x →+∞时，()0f x →.当0x <时，()f x 单调递减，所以()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则由上图可知当0t =或1时，方程()t f x =有两个实数根；当(0,1)t ∈时，方程()t f x =有三个实数根；当(,0)(1,)t ∈-∞+∞U 时，方程()t f x =有一个实数根.所以关于x 的方程()()220f x af x a a -+-=有四个不等的实数根等价于关于t 的方程220t at a a -+-=有两个实数根10t =，21t =或者1(0,1)t ∈，2(,0)(1,)t ∈-∞+∞U .当10t =，21t =解得1a =；当1(0,1)t ∈，2(,0)(1,)t ∈-∞+∞U 时，()()222200110a a a a a a -⨯+--⨯+-<，解得10a -<<.综上所述，(1,0){1}a ∈-U .第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）15.由题意()()220n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦，因为{}n a 各项均为正数，所以0n S >，可得2n S n n =+，所以11124(1)n n n a n a a n n +=⋅=+11141n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以202011111150514223202020212021T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L . 16.由对称性，不妨设A 在一象限，设直线AB 的倾斜角为θ，由3AF BF =得31cos 1cos ppθθ=-+ 得1cos 2θ=，所以2AF =，23BF =，23MF = .记AB 与l 的交点为S ，x 轴与l 的交点为R ，则2cosRF SF θ==，tan SF FP θ==tan SM MQ θ==，所以169FP MQ ⋅=. 三、解答题：（共70分）17.解：（Ⅰ）由正弦定理可知：sin sin (cos )C B A A =又因为ABC ∆中A B C π++=，故sin sin()C A B =+.sin()sin (cos )A B B A A ∴+=sin cos cos sin sin cos sin A B A B B A B A ∴+=+sin cos sin A B B A ∴=又因为A 为ABC ∆的内角，故sin 0A ≠cos B B ∴=，(0,)B π∈Q ，6B π∴=（Ⅱ）如图，AD =6B π=，则sin ADc AB B===又4a =，在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos 4b a c ac B =+-⋅=2b ∴=故三角形的周长6a b c =++=+18.解：（Ⅰ）因为DE AB ⊥，所以DE EB ⊥，DE EF ⊥，所以DE ⊥平面BEF ，所以DE BF ⊥①因为22AE EB ==，所以2EF =，1EB =，又60FEB ∠=︒，由余弦定理得：BF =所以222EF EB BF =+，所以FB EB ⊥②由①②得BF ⊥平面BCDE ，所以平面BFC ⊥平面BCDE . （Ⅱ）建系如图，设DE a =，则(1,,0)D a ，(1,0,0)E ，F ，(1,DF a =--因为直线DF 与平面BCDE所成角的正切值为5，所以直线DF 与平面BCDE所成角的正弦值为4，又(0,0,1)n =r为平面BCDE 的法向量，所以cos ,4n DF n DF n DF ⋅==r u u u rr u u u r r u u u r4=，解得2a =. 所以(1,2,0)D ，(2,2,0)C -，则(0,2,0)ED =u u u r，(1,DF =--，设平面EDF 的法向量(,,)m x y z =u r，则200200y ED m x y DF m ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨--+=⎪⋅=⎪⎩⎩u u u r u ru u u r ury x =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩，取1z =得m =u r，同理可取平面DFC的法向量2)p =u r，所以cos ,7m p m p m p ⋅===⋅u r u ru r u r u r u r所以sin ,7m p =u r u r，即得二面角E DF C --的正弦值为7. 19.解：（Ⅰ）由9.96x =，0.19s =，得μ的估计值为ˆ9.96μ=，σ的估计值为ˆ0.19σ=，由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分(9.22)含量在ˆˆˆˆ(3,3)(9.39,10.53)μσμσ-+=之外，因此需对本次的生产过程进行检查.（Ⅱ）抽取的一件药品的主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(20,0.0026)X B .因此11920(1)(0.9974)0.0026P X C ==⨯200.950.00260.0494≈⨯⨯=，X 的数学期望为()200.00260.052E X =⨯=.20.解：（Ⅰ）由题意可得：4a =，ca a=⇒=11c b =⇒= 22:12x C y ⇒+=（Ⅱ）点(0,1)P -，1(1,0)F -，设()11,A x y ，()22,B x y ，则显然直线AB 与x 轴不重合，设:1AB x my =-，则可知1m ≠-由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩得()222210m y my +--=12222m y y m ⇒+=+，12212y y m =-+ 直线()111:10PA y x x y x +--=，令2y =，可得1131M x x y =+，同理2231N x x y =+， 12123311x x MN y y =-=++()()()()()()1221121111311my y my y y y -+--+++121212131m y y y y y y +-=+++==，当0m =时，MN =当0m ≠时，MN ==，由于1(,2)[2,)m m +∈-∞-⋃+∞，则11,1(1,)2211m m⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭++，此时MN 的最小值为6<1m =处取得. 综上，当MN 最小时，直线:1AB x y =-，即1y x =+.21.解：（Ⅰ）若0a ≤，则对一切0x >，()10axe f x x =--<，这与题设矛盾；若0a >，()1axf x ae '=-，令()0f x '=，得11ln x a a=. 当11ln x a a <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当11ln x a a>时，()0f x '>，()f x 单调递增，故当11ln x a a=时，()f x 取最小值11111ln ln 1f a a a a a⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 于是对一切x R ∈，()0f x ≥恒成立，当且仅当111ln 10a a a--≥.① 令()ln 1g t t t t =--，则()ln g t t '=-.当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调递增；当1t >时，()0g t '<，()g t 单调递减.故当1t =时，()g t 取最大值()10g =. 因此，当且仅当11a=即1a =时，①式成立. 综上所述，1a =.（Ⅱ）由题意知，()()212121211x x f x f x e e k x x x x --==---. 令()()2121x x xe e xf x k e x x ϕ-'=-=--，()y x ϕ=在区间[]12,x x 上单调递增；且()()()121121211x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦-，()()()212212211x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦-. 由（Ⅰ）得()10xx e f x =--≥恒成立，从而()()212110x x e x x ---->，()()121210x x e x x ---->，又1210x e x x >-，2210x e x x >-，所以()10x ϕ<，()20x ϕ>.由零点存在性定理得，存在唯一()012,x x x ∈，使()00x ϕ=，且()21021ln x x e e x x x -=-. 综上所述，存在()012,x x x ∈使()0f x k '=成立，且()21021ln x x e e x x x -=-. 22.解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为22312x y +=.因为点P 的直角坐标为(2,0)-，所以点P 在直线l 上.将直线l的参数方程222x y t ⎧'=-+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩（t '为参数）代入曲线C的直角坐标方程中，得22231222⎛⎫⎛⎫''-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭240t ''⇒-=，则12||||4PM PN t t ''⋅=⋅=.（Ⅱ）不妨设,2sin )Q θθ0,2πθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭为矩形上的一顶点，则该矩形的周长为2sin )16sin 3πθθθ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，当且仅当6πθ=，其周长有最大值16.23.解：（Ⅰ）22224a a ⇔---->⇔2222(2)(2)2a a a a a ≤-⎧--+>⇒⎨--++>⎩ 或22(2)(2)2a a a -<≤⎧⎨---+>⎩或2(2)(2)2a a a >⎧⎨--+>⎩，解得(,1)a ∈-∞-. （Ⅱ）max min ()(3)f x y y a ⇔≤++-，其中当,(,]x y a ∈-∞时3(3)()y y a y a y ++-≥++-33a a =+=+（当且仅当[3,]y a ∈-取等号），（()()24a x x f x a =--≤当且仅当2a x =取等号）所以234a a ≤+，解得(0,6]a ∈.。

重庆八中高2020级高三数学理科月考试卷新课标人教版

重庆八中高2020级高三数学理科月考试卷本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题中给出四个选项，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}{}4|),(,2|),(=-==+=y x y x N y x y x M ，则=N M I （）A ．{}1,3-==y xB ．（3，－1）C ．｛3，－1｝D ．｛（3，－1）｝ 2．复数3215i +的共轭复数为（） A ．)21(5i +- B ．i 21+C ．i 21-D ．)21(5i --3．已知R b a ∈,，则“0,>>ab b a ”是“ba 11<”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图，非零向量b OB a OA ==,，且C OA BC ,⊥为垂足，设向量a OC λ=，则λ的值为（）A ．2||a ba ⋅ B ．||||b a ba ⋅⋅C ．2||b ba ⋅ D ．ba b a ⋅⋅|||| 5．在二项式nx )1(+的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数*)(N n n ∈的最小值为（）A ．13B ．12C ．11D ．106．已知函数),2,(),0(,sin 2cos 1)(πππY ∈+=x xxx f 则（）A ．函数图像关于直线π=x 对称B ．函数图象关于点)0,(π对称C ．函数在区间),2(ππ上递减 D ．函数在区间)23,(ππ上递减7．数列{}n a 中，n S a ,11=是前n 项和，当2≥n 时，n n S a 3=，则31lim 1-++∞→n n n S S 的值是（）A ．－2B ．31-C ．54-D ．18．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m ny m x 有相同的焦点)0,(c -和)0,(c ，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率e=（）A ．33 B ．22 C ．41 D ．21 9．如图，在矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，E 为DC 边的中点，沿AE 将△ADE 折起，使二面角D —AE —B 为60°则四棱锥D —ABCE 的体积为（）A ．133927 B ．13399 C ．131327 D ．1313910．函数))((R x x f y ∈=满足：对一切)(7)1(,0)(,2x f x f x f R x -=+≥∈；当[)1,0∈x 时，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--<≤+=125,5250,2)(x x x x f 则=-)32007(f（）A ．3322-B ．32-C ．2D ． 32+第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．已知,1||,2||==与的夹角为3π，若向量m +2与+垂直，则m= 。

重庆市第八中学2020届高三下学期第四次月考数学(理)试题 Word版含解析

12.已知中，，，，是的平分线上一点，且 .若内（不包含边界）的一点满足，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将向量归一化可得，结合向量的线性运算可得，由等和线性质可知，，从而可求出实数的取值范围.
【详解】解：设，则，且，
所以，即，
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质，求出内切圆半径，其面积，从而可求四面体的高，进而可求出体积的最大值.
【详解】解：设球的圆心为，半径为，内切圆圆心为，由题意知三边长为，
则内切圆半径ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，则，
所以四面体的高 .因为，
所以四面体体积的最大值 .
故选:D.
【点睛】本题考查了三棱锥体积的求解.本题的难点是求出球心到三角形所在平面的距离.
故选:C.
【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数模的求解.本题的易错点是化简时，误将当作1进行计算.
2.已知集合，，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令可求出；解对数不等式，可求出，进而可求出两个集合的交集.
详解】解：由题意知，，解得，所以；
由，解得，则，
故答案为:2.
【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了角平分线定理.本题的关键是求出直线与轴的夹角.本题的难点是将所求的值转化为的比值.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 的内的对边分别为，其中，已知 .

重庆八中2020级高三下第三次月考理科数学试卷

重庆八中高2020级高三（下）第3次月考理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合{}1,0,1,2A =-，集合{}2,xB y y x R ==∈，则=B A （）A.{}1,2B.{}0,1 C.{}0,1,2 D.(0,)+∞2.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e i x ＝cos x +isin x ，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A.B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.,21==且()()b a b a -⊥+25，则a 与b 的夹角为（）A.6π B.3π C.23πD.56π4.若7sin 225α=-，且324ππα<<，则cos()4πα-=（）A.45- B.35- C.45D.355.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行．这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异．今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵。

他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人分别来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位。

现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是硕士．则丙是来自哪个院校的，学历是什么（）A ．国防大学，硕士B ．国防大学，博士C ．军事科学院，学士D ．国防科技大学，硕士6.函数4()41x x f x =-的图象大致是（）A. B. C. D.7.现有5名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为（）A ．36B ．24C ．22D ．20xyOxyO xyO xyO8.已知数列{}n a 满足n n n n n n n S a a a a a a ,211112+-+-++⋅=+为其前n 项和，若3,121==a a ，则=5S （）A ．57B ．64C ．124D ．1209.抛物线x y C 8:2=的焦点为N F ,为准线上一点，M 为y 轴上一点，且0=⋅NF NM ，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则MNF ∆的面积为（）A.36 B.62C.32D.32210.我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设ABC ∆三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，面积为S ，则“三斜求积公式”为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=222222241b c a c a S ，若()()()A C a A a b cBC a sin 24sin ,sin 24sin sin 22=-=+-，则用“三斜求积公式”求得的=S （）A.7415 B.66C.36 D.31211.如图，AD 为ABC ∆的外接圆的直径，若2=BC ，且23-=⋅BC AB ，则=⋅BC AD （）A.2B.34C.1D.3212.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，())1(+=x e x f x ，给出下列命题：①函数()x f 有2个零点；②()0>x f 的解集为()()+∞-,10,1 ；③R x x ∈∀21,，都有()()221<-x f x f ；④当12-<≤-x 时，()12212++≥x x x kf ，则2e k ≤.其中真命题的个数是（）A.1 B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在4(1+)x 的二项展开式中，二项式系数最大的项为_________.14．已知{}n a 是等比数列，其中41,252==a a ，则()*+∈+⋅⋅⋅++N n a a a a a a n n 13221的取值范围是_________.15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且斜率为22的直线l 与C 的一条渐近线在第一象限交于点A ，若21AF AF ⊥，则该双曲线的离心率为_________.16．如图，棱长为2的正方体ABCD —A1B 1C 1D 1中，点M 、N 、E 分别为棱AA 1、AB 、AD 的中点，以A 为圆心，1为半径，分别在面ABB 1A 1和面ABCD 内作弧 뜠和뜠 ，并将两弧各五等分，分点依次为M 、P 1、P 2、P 3、P 4、N 以及N 、Q 1、Q 2、Q 3、Q 4、E ．一只蚂蚁欲从点P 1出发，沿正方体的表面爬行至Q 4，则其爬行的最短距离为_________（参考数据：cos90.9877︒=；cos180.9511︒=；cos270.8910︒=）三、解答题：（共70分）17.（12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，,,CD PD BC PB ⊥⊥且AB PA =，E 为PD 中点.（1）求证：⊥PA 平面ABCD ；（2）求二面角C BE A --的正弦值．18.（12分）在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .（1）若()B B A sin 32sin =+，求tan tan AC 的值；（2）若B C A sin cos sin 2=，求ac的值．19.（12分）设直线AC ：y =与直线BD ：y =分别与椭圆E ：2214x y m m+=0m >（）交于点A ，B ，C ，D ，且四边形ABCD 的面积为．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点P （0，2）的动直线l 与椭圆E 相交于M ，N 两点，是否存在经过原点，且以MN 为直径的圆？若存在，请求出圆的方程；若不存在，请说明理由．20.（12分）2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施“3+1+2”高考模式。

2020届重庆市第八中学高三下学期第五次月考数学(理)试题(解析版)

2020届重庆市第八中学高三下学期第五次月考数学（理）试题一、单选题 1．已知集合(){}22,2,,A x y xy x Z y Z =+<∈∈，则A 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】集合A 的元素代表圆内部的点，逐一写出满足条件的点的坐标，即可得到结论【详解】(){}22,2,,A x y xy x Z y Z =+<∈∈22{(,)|2x y x y =+<，x ，}{y Z ∈=(1,0)-，(0,1)-，(0，0),(0，1)，}(1,0)，共5个元素，是平面直角坐标系中5个点．故选：C ．【点睛】本题考查集合的表示以及点与圆的位置关系，解题时需注意集合A 的元素为两坐标均为整数的点，本题属于基础题．2．已知复数2(1)1i z i -=+，则z 的虚部为（）A ．1-B ．1C ．i -D ．i【答案】B【解析】先按复数代数形式的四则运算化简复数，再写其共轭复数，即得虚部. 【详解】22(1)221122i i i i z i i -----====--+，∴1z i =-+，故虚部为1. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数代数形式的四则运算和共轭复数，属于基础题.3．若1m n >>，a ，()1lg lg 2b m n =+，lg 2m n c +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c << B ．c a b << C ．b a c << D ．a c b <<【解析】根据基本不等式即可判断三个式子的大小关系. 【详解】解：因为1m n >>，所以lg lg 0m n >>，则()1lg lg 2b m n =+≥因为lg lg m n >，所以等号不成立，即()1lg lg 2b m n a =+>=，因为2m n +>()1lg lg lg 22m n c m n b +⎛⎫=>=+= ⎪⎝⎭，所以a b c <<，故选:A. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.4．在ABC 中，已知a =b =60A =︒，则ABC 的面积为（）A ．B C D 【答案】A【解析】利用正弦定理，求出角B 、C 的值，再计算ABC 的面积．【详解】ABC 中，a =b =60A =︒，∴sin sin a b A B=，=，解得sin B ，又a b >，060B ∴<<︒，45B ∴=︒，75C ∴=︒，()2sin 75sin 3045+=+=ABC ∴的面积为1132244ABCSab +===．故选：A ．本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了三角形面积的计算问题，是基础题目． 5．下面几种推理中是演绎推理的为（）A ．高三年级有30个班，1班55人，2班56人，三班57人，由此推测各班都超过55人B ．猜想数列112⨯，123⨯，134⨯，…的通项公式为()()*11n a n n n =∈+N C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由等差数列的性质，推测等比数列的性质【答案】C【解析】根据归纳推理，类比推理和演绎推理的定义分别进行判断即可．【详解】对于A ，高三年级有30个班，1班55人，2班56人，三班57人，由此推测各班都超过55人，是归纳推理；对于B ，猜想数列112⨯，123⨯，134⨯，…的通项公式为()()*11n a n n n =∈+N ，是归纳推理；对于C ，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，是演绎推理；对于D ，由等差数列的性质，推测等比数列的性质，为类比推理；故选：C ．【点睛】本题主要考查命题真假的判断，涉及归纳推理，类比推理和演绎推理的判断，理解相应的定义是解答本题的关键．比较基础．6．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】阅读程序框图，程序运行如下：首先初始化数值：1,100,0t M S ===，然后进入循环体：此时应满足t N ≤，执行循环语句：100,10,1210MS S M M t t =+==-=-=+=；此时应满足t N ≤，执行循环语句：90,1,1310MS S M M t t =+==-==+=；此时满足91S <，可以跳出循环，则输入的正整数N 的最小值为2. 故选D.【名师点睛】对算法与程序框图的考查，侧重于对程序框图中循环结构的考查.先明晰算法及程序框图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的起始条件、循环次数、循环的终止条件，更要通过循环规律，明确程序框图研究的数学问题，是求和还是求项.7．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上的小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A ．223B ．203C ．6D ．16【答案】B【解析】根据三视图还原几何体的直观图，再计算几何体的体积即可得答案. 【详解】解：根据三视图得该几何体是边长为2的正方体中截去两个三棱锥得到的.即：如图1的正方体1111ABCD A B C D - 截去111D AC E -和B ACF -得图2的图形.故该几何体的体积为：112082212323V =-⨯⨯⨯⨯⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，考查空间想象能力，是基础题.8．已知()1nx -展开式中第4项与第10项的二项式系数相等，则奇数项的系数和为（） A ．112 B ．112- C ．132 D ．132-【答案】A【解析】由已知可求出14n =，即可求出奇数项的系数和. 【详解】解：由题意知，39n n C C =，所以12n =，则奇数项的系数和为021*********...2C C C +++=,故选: A . 【点睛】本题考查了由已知二项式系数求n 的值，考查了展开式的系数和，属于基础题. 9．已知α为锐角，()3sin 155α-︒=，则()cos 215α+︒=（） A ．31250-B ．31250 C ．250-D ．17250【答案】C【解析】利用二倍角公式求出()cos 230α-，()sin 230α-的值，再利用余弦函数的和角公式可得答案. 【详解】由α为锐角，()3sin 155α-︒=，知()4cos 155α-︒=， ()()27cos 23012sin 1525αα-=--=，()()()24sin 2302sin 15cos 1525ααα-=--=，()()cos 215cos 23045αα⎡⎤∴+=-+⎣⎦()()cos 230cos 45sin 230sin 45αα=---72425225250=⨯-⨯=-，故选：C 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．10．某市政府为加强数学科学研究，计划逐年加大研发资金投入已知市政府1979年全年投入研发资金100万元，2019年全年投入研发资金500万元，若每年投入的研发资金的增长率相同，则该市政府2020年全年投入的研发资金是（）万元. （本题中增长率当0.1x <，可用自然对数的近似公式：ln(1)x x +≈，参考数据：ln5 1.6≈）A ．510B ．520C ．530D ．540【答案】B【解析】设每年增长率为x ，则40100(1)500x +=，两边同时取对数求出x 的值代入即可得出结果. 【详解】设每年增长率为x ，则40100(1)500x +=，两边同时取对数得40ln(1) 1.6x +=，所以40 1.6x =，0.04x =，所以2020年投入500(10.04)520⨯+=. 【点睛】本题主要考查了指对函数的应用.属于较易题. 11．已知实数x ，y 满足()2221x y +-=，则2232x y x y++的最大值为（）A ．12B ．3 C ．1 D ．277【答案】B【解析】设(),P x y 为圆()2221x y +-=上的任意一点，构造直线:30l x y +=，过点p 作PM l ⊥，将2232x y x y ++转化为点p 到直线30x y +=的距离和到原点的距离的比，即223sin 2x y PMPOM OPx y +==∠+，然后利用数形结合法求得POM ∠的范围求解. 【详解】如图所示：设(),P xy 为圆()2221x y +-=上的任意一点，则点P 到直线30x y +=的距离为3x y PM +=，点P 到原点的距离为22OP x y =+，所以223sin 2x y PMPOM OPx y +==∠+，设圆()2221x y +-=与直线y kx =相切则圆心到直线的距离：211k =+，解得3k =±，所以POM ∠的最小值为0，最大值为60，所以30sin 2POM ≤∠≤，即2233022x y x y +≤≤+ 故223x y x y ++的最大值为3，故选：B 【点睛】本题主要考查点到直线的距离，直线与圆的位置关系以及三角函数的性质的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．如图，矩形ABCD 中，222AB AD ==，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △.在翻折过程中，直线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（）A ．102- B 6C 51- D 5 【答案】A【解析】分别取DE，DC 的中点O，F，点A的轨迹是以AF为直径的圆，以,OA OE为,x y轴，过O与平面AOE垂直的直线为z轴建立坐标系，利用向量法求出正弦值为21cossin4cos6αθα-=+，换元后利用基本不等式可得答案.【详解】分别取DE，DC的中点O，F，则点A的轨迹是以AF为直径的圆，以,OA OE为,x y轴，过O与平面AOE垂直的直线为z轴建立坐标系，则()2,1,0C-，平面ABCD的其中一个法向量为n= (0,0.1)，由11A O=，设()1cos,0,sinAαα，则()1cos2,1,sinCAαα=+-，记直线1A C与平面ABCD所成角为θ，则2111cossin4cos64cos6||CA nCA nαθαα⋅-===++⋅设3153535102 cos,,sin222416444tttαθ-⎡⎤⎛⎫=+∈=-+≤-=⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以直线1A C与平面ABCD102-，故选：A.【点睛】本题主要考查利用向量法求线面角，考查了三角函数的恒的变换以及基本不等式的应用，考查了空间想象能力与计算能力，属于综合题.二、填空题13．函数()46xf xx+=-______________.【答案】[)()4,66,-⋃+∞【解析】根据二次根式有意义以及分母不等于零列不等式组求解即可. 【详解】要使函数()46x f x x +=-有意义，则40460x x x +≥⎧⇒≥-⎨-≠⎩且6x ≠，函数()46x f x x +=-的定义域为[)()4,66,-⋃+∞，故答案为：[)()4,66,-⋃+∞ 【点睛】本题主要考查具体函数的定义域，属于基础题.14．如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分（均为整数），其中一个数字模糊不清，则甲的平均得分高于乙的平均得分的概率为______________.【答案】15【解析】由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案．【详解】由茎叶图可得甲的5次得分分别为18，19，20，21，22，则甲的平均得分：15（18+19+20+21+22）＝20 设污损数字为x则乙的5次得分分别为15，16，18，28，（20+x ）则乙的平均成绩：15（15+16+18+28+20+x ）＝19.45x +， ∵0≤x ≤9，x ∈Z ，当x ＝1,2时，甲的平均得分高于乙的平均得分， ∴甲的平均得分高于乙的平均得分的概率为21105=；故答案为：15．【点睛】本题考查了平均数与茎叶图以及古典概型概率计算公式问题，是基础题．15．已知正ABC 的边长为2，PQ 为ABC 内切圆O 的一条直径，M 为ABC 边上的动点，则MP MQ ⋅的取值范围为______________. 【答案】[]0,1【解析】先由正ABC 的性质，求出其内切圆半径，再利用向量的三角形法则，得到=MP MO OP +，=MQ MO OQ +，再结合=OQ OP -，可得到22213MP MQ MO OP MO ⋅=-=-，再根据图像利用临界值法，求出MP MQ ⋅的取值范围. 【详解】如图所示，O 为正ABC 内切圆圆心，OD 为内切圆半径，在BDO △中，=1BD ，=30OBD ︒∠，可求得内切圆半径3OD 又PQ 为圆O 的直径, =OQ OP ∴-，利用向量的线性表示可得，=MP MO OP +，=MQ MO OQ MO OP +=-，2221()()3MP MQ MO OP MO OP MO OP MO ∴⋅=+-=-=-，又M 为ABC 边上的动点，由图可知，当M 为ABC 边的中点时，MO 3即min 0MP MQ ⋅=；当M 为ABC 的顶点时，MO 23即max 1MP MQ ⋅=. MP MQ ∴⋅的取值范围为[]0,1.故答案为：[]0,1. 【点睛】本题主要考查向量知识在几何中的应用，一般在求解此类问题时，常用三角形法则或平行四边形法则把问题转化，结合数形结合思想解决问题.16．已知点P 为椭圆2214x y +=上的任意一点，点1F ，2F 分别为该椭圆的左、右焦点，则1221sin sin PF F PF F ∠+∠的最大值为______________.【答案】3【解析】利用正弦定理表示出21124sin sin PF F PF F t∠+∠=，再求t ，再利用1212||sin F F t F PF =∠求12sin F PF ∠的最大值即可.【详解】在12PF F △中，由正弦定理得2112122112||||||sin sin sin PF PF F F t PF F PF F F PF ===∠∠∠，所以121||sin PF PF F t =∠，212||sin PF PF F t=∠，即求21212112||||||||4sin sin PF PF PF PF PF F PF F t t t t+∠+∠=+==的最大值，也就是求t 的最小值，而121212||sin F F t F PF ==∠，即12sin F PF ∠最大时，由椭圆的性质知当P 为椭圆上顶点时12F PF ∠最大，此时，2,1,a b c ===所以12120F PF ∠=，所以12sin F PF ∠的最大值是1，t ==21sin sin 3PF F PF F ∠+∠==，. 【点睛】本题考查椭圆焦点三角形的问题，考查正弦定理的应用.三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n a S +=+，*n ∈N . （1）求通项公式n a ；（2）设()()()*111nn n n a b n a a +=∈++N ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <.【答案】（1）13-=n n a ；（2）证明见解析.【解析】（1）根据n a 与n S 的关系得13n n a a +=， *n ∈N ，故数列{}n a 是等比数列，公比为3，首项为1，进而得通项公式；（2）结合（1）并列项得111123131n n n b -⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，再根据裂项求和得()114231n n T =-+，由于()10231n >+，故14nT <.【详解】解：（1）因为121n n a S +=+，*n ∈N ，121,3a a ==，所以当2n ≥时，121n n a S -=+，以上两式做差得：12n n n a a a +=-，即13n n a a +=，2n ≥，由于213a a =，所以13n n a a +=， *n ∈N ，所以数列{}n a 是等比数列，公比为3，首项为1，所以13-=n n a .（2）结合（1）得()()()()1111311111231313131n n n n nn n n n a b a a ---+⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭，所以数列{}n b 的前n 项和为： ()1111111111111224410313122314231n n n n n T -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于*n ∈N ，所以()10231n>+，所以()11144231n n T =-<+【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系证明数列是等比数列，裂项求和法，考查运算能力，是中档题.18．重庆八中为了普及环保知识，增强学生的环保意识在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛，高二年级代表队和高一年级代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得100分，答错得0分.假设高二年级代表队中每人答对的概率均为34，高一年级代表队中3人答对得概率分别为45，34，23，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用X 表示高一年级代表队的总得分. （1）求X 的分布列和数学期望；（2）求两队总得分之和等于300分且高二年级获胜的概率. 【答案】(1)答案见解析，数学期望为6653;(2)9128.【解析】(1)由题意可得0,100,200,300X =，分别求出每种情况下的概率，即可求出分布列，进而可求出数学期望.(2) 设A 表示“高一得0分高二得300分”， B 表示“高一得100分高二得200分”，分别求出两事件的概率，求和即可求出所求概率. 【详解】(1)解：由题意知，0,100,200,300X =，则()4321011154360P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()432432432310011111154354354320P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()4324324321320011154354354330P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+-⨯⨯+⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()4322300P X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为所以数学期望为()31326650100200300203053E X =+⨯+⨯+⨯= (2)解：设A 表示“高一得0分高二得300分”， B 表示“高一得100分高二得200分”，则()33194601280P A ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，()2233138144201280P B C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以 ()()()9128P A B P A P B ⋃=+=. 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，确定随机变量，及其概率．解离散型随机变量的分布列的试题时一定要万分小心，特别是列举随机变量取值的概率时，要注意按顺序列举，做到不重不漏，尽量注意概率之和为1，防止出现错误．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，AP ⊥平面CDP ，已知2AP DP ==，Q 为线段DP 的中点.（1）求证：//BP 平面ACQ ；（2）求二面角C BQ P --的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）551【解析】（1）连结BD 交AC 于点O ，连结OQ ,可得//OQ BP ，从而可证.（2）先证明面ADP ⊥面ABCD ，过P 作PH AD ⊥交AD 于H 点，则PH ⊥面ABCD ，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）连结BD 交AC 于点O ，连结OQABCD 为正方形,则O 为BD 的中点，又Q 为DP 中点. 所以//OQ BP ,BP ⊄面ACQ ,OQ ⊂面ACQ , 所以//BP 面ACQ（2）AP ⊥平面CDP ，CD ⊂面CDP ,则AP CD ⊥ 又ABCD 为正方形,所以AD CD ⊥,且ADAP A =所以CD ⊥面ADP , 由CD ⊂面ABCD .所以面ADP ⊥面ABCD . 过P 作PH AD ⊥交AD 于H 点，则PH ⊥面ABCD .2AP DP ==，则22AD =取BC 的中点为N ，以H 为原点， HA 为x 轴，HN 为轴y ，HP 为z 轴建立空间直角坐标系.则()()220,0,2,,0,,2,22,022P Q B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,()222,0C ，设面BPQ 的法向量为()1111,,n x y z =322,22,22BQ ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,22,0,22QP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以1100n BQ n QP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即111113222202222022x y z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ，取()11,1,1n =设面CBQ 的法向量为()2222,,n x y z =322,22,22BQ ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,()22,0,0BC = 所以2200n BQ n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即222232222022220x y z x ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩,取()20,1,4n =所以121212551cos ,51173n n n n n n ⋅===⨯⋅所以二面角C BQ P --的平面角的余弦值55151-【点睛】本题考查证明线面平行，考查求二面角的平面角的余弦值，属于中档题.20．设函数()1e xf x x-=，若()()12f x f x t ==（其中12x x <）.（1）求实数t 的取值范围；（2）证明：()21221x f x f x ⎛⎫> ⎪-⎝⎭.【答案】(1) 1t >;(2)证明见解析.【解析】(1)由导数求函数的单调性，从而可得函数取值趋势，进而由()()12f x f x t ==可得实数t 的取值范围.(2)通过分析将所证问题转化为证明()()222211ln 212221x x x -->--，用换元法令()2211m x m =->，结合导数即可证明不等式成立.【详解】（1）解：函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()()121x e x f x x--'=，当0x <时，()0f x '<，则 ()f x 单调递减，当01x <<时，()0f x '<， ()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，则 ()f x 单调递增.又0x <时，()0f x <； 0x >时，()0f x >，且()11f =；当0x >且0x →时， ()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞，因为()()12f x f x t ==，所以1t >.（2）解：因为()()12f x f x =，所以欲证 ()21221x f x f x ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，即证()22221x f x f x ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，即证222112122221x x x e e x x x --->-，即证 ()()222211ln 212221x x x -->--，令()2211m x m =->，即证11ln 02m m m ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，令 ()11ln ,12h m m m m m ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，因为()()2222211112102222m m m h m m m m m--+'=+-==>，所以 ()h m 在()1,+∞单调递增，所以()()10h m h >=，即11ln 02m m m ⎛⎫--> ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了运用导数求函数的单调性，考查了利用导数证明不等式成立，属于较难题.本题第二问的关键是将问题转化为具体不等式成立问题.21．已知点F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点.点()()2,20A m m m >在C 上，点D 在x 轴上（位于点F 右侧），直线AF ，AD 分别交C 于另一点B ，E ，点G 在线段FD 上且0GA GB GE ++=. （1）求抛物线C 的方程；（2）设BFG ，ADG 的面积分别为BFG S △，ADG S ，求BFG ADGS S的表达式()f m 及()f m 的取值范围.【答案】（1） 24y x = （2）()()242211m f m m m m-=>+，()f m 的取值范围102⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】（1）将()2,2A m m 坐标代入抛物线，可求得答案.（2）设出直线AB 的方程，联立抛物线，得出点B 的坐标，根据条件求出点E 的坐标，写出直线AE 的方程，得到得21D x m =-，求出G x ，由()1BFG B D GG G AAD x y Sf m Sx x y -⋅==-⋅可得出胡答案. 【详解】(1)由()()2,20A m m m >在抛物线()2:20C y px p =>上.所以 ()2222m pm =，解得2p = 所以抛物线的方程为：24y x =（2）由（1）得()1,0F ，设直线AB 的方程为：2112m x y m-=+221124m x y m y x⎧-=+⎪⎨⎪=⎩，()222140m y y m ---=所以2B y m =-，由抛物线方程得21B x m =,即212,B mm ⎛⎫- ⎪⎝⎭0GA GB GE ++=，则()()()0A G B G E G x x x x x x -+-+-=,即3A B E G x x x x ++=()()()0A G B G E G y y y y y y -+-+-=，则3A B E G y y y y ++=点G 在线段FD 上，所以30A B E G y y y y ++==则12E A B y y y m m ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，所以21E y m m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设直线AE 的方程为：()()22221222211m m m y x m m m x m m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-+=-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭令0y = ，得21D x m =-，根据条件点D 位于点F 右侧，则211m ->，即22m >由22222111211333A B E G x x x x m m m m m m ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫==++-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()()22224222212112211132113G B G BFG AD A GD x y m Sm f m Sx x y m m m m m m m m ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫+-⎪⎝⎭⋅--⋅-====-⋅+--⋅令221t m =-则3t >，212tm +=所以22422214434=311422m t t m m t t t t t t y -===++++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=由勾型函数的对称性，可得34y t t=++在3t >上单调递增所以348y t t=++>，所以410324t t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭++， ()()242211m f m m m m-=>+，()f m 的取值范围102⎛⎫ ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查求抛物线的方程，计算由点的坐标，利用三角形的面积之比求出表达式，并求范围，考查运算能力，属于难题.22．在直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为13cos 3sin x y ββ=+⎧⎪⎨=⎪⎩，（β为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为θα=，直线2l 的极坐标方程为2πθα=+.（1）写出曲线C 的极坐标方程；（2）设1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，2l 与曲线C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的取值范围.【答案】（1）22(cos )50ρθθρ-+-=；（2）⎡⎤⎣⎦【解析】（1）参数方程移项、平方相加，消去参数β可得普通方程，将直角坐标方程利用互化公式可得极坐标方程；（2）利用韦达定理结合极径的几何意义求出||PQ 、||MN 的值，利用三角形面积公式以及三角函数的恒的变换、三角函数的有界性可得答案. 【详解】（1）由13cos 3sin x y ββ=+⎧⎪⎨=⎪⎩，（β为参数），消去参数β，得22(1)(9x y -+=，将直角坐标方程化为极坐标方程得22(cos )50ρθθρ--=；（2）设()()12,,,P Q ραρα，由1l联立可得22(cos )50ρααρ-+-=，12122(cos )4sin ,56πρραααρρ⎛⎫∴+==+=- ⎪⎝⎭，12||PQ ρρ=-==用2πα+代替α，可得||MN = 又因为12l l ⊥，12PMQN S PQ MN =⋅=四边形=，2sin 2[0,1]3πα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，PMQN S ⎡⎤∴∈⎣⎦四边形【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程，考查了极坐标方程的应用以及三角形面积公式的应用，属于中档题.23．已知函数()|1||1|f x x x =+--，x ∈R .（Ⅰ）求不等式()1f x ≥的解集；（Ⅱ）若方程()f x a x -=有三个实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）11a -<<.【解析】（Ⅰ）按1x ≤-，11x -<≤，1x >三种情况去掉绝对值符号，列出不等式组，解不等式组即可得到答案.（Ⅱ）由已知可得方程()f x x a -=有三个实数根，令()()g x f x x =-，画出函数()g x 的图象，根据图象即可得到a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）1(1)(1)1x x x ≤-⎧⎨-++-≥⎩或11(1)(1)1x x x -<≤⎧⎨++-≥⎩或1(1)(1)1x x x >⎧⎨+--≥⎩，解得121x ≤-⎧⎨-≥⎩或1112x x -<≤⎧⎪⎨≥⎪⎩或121x >⎧⎨≥⎩，无解或112x ≤≤或1x >，综上，不等式()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（Ⅱ）方程()f x x a -=有三个实数根，令()()g x f x x =-，则2,(,1](),(1,1]2,(1,)x x g x x x x x --∈-∞-⎧⎪=∈-⎨⎪-+∈+∞⎩，作出()g x 的图象如图，若方程()f x a x -=有三个实数根，由()g x 的图象可知，(1)(1)g a g -<<，即11a -<<.【点睛】本题考查含有绝对值的不等式的解法，考查函数与方程的应用问题，属于基础题.。

重庆八中2020级高三下第三次月考理科数学试卷

A．36
B．24
C．22
D．20
重庆八中高 2020 级高三（下）第 3 次月考数学试题（理科）第 1页共 4 页
8. 已知数列 an 满足 an2 2an an1 an1 an1 an1, Sn 为其前 n 项和，若 a1 1, a2 3 ，
则 S5 （）
A．57
B．64
（1）若 sin2A B 3sin B ，求 tan A 的值；
tan C （2）若 2sin Acos C sin B ，求 a 的值．
c
19. （ 12 分）设直线 AC ： y 3 x 与直线 BD ： y 3 x 分别与椭圆 E ：
6
6
x2 y2 1（ m 0）交于点 A，B，C，D，且四边形 ABCD 的面积为 2 3 ． 4m m
14．已知 an 是等比数列，其中 a2
2, a5
1 4
，则 a1a2
a2a3
an an1
n
N
的取值范围是_________.
15.
已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，过 F1 且斜率为
2 2
的直线 l
与C
的一条渐近线在第一象限交于点
C．124
D．120
9.抛物线 C : y2 8x 的焦点为 F , N 为准线上一点， M 为 y 轴上一点，且 NM NF 0 ，
若线段 MF 的中点 E 在抛物线 C 上，则 MNF 的面积为（）
A. 6 3
B. 6 2
C. 3 2
D. 3 2
2
10. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设 ABC 三个内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ，面积为 S ，则“三斜求积公式”为

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