10变质量系统动力学解析

推导变质量系统动量定理的思路 与常质量系统相比，研究变质量系统动量变化规律的 特殊困难是什么？ 研究对象(质系)也随时间变化！ 设 S t 是变质量系统，S t 是常质量系统。
在 t t , S t St * b, c, d , e
* *
* * P t P t 的动量
P P* P 1 P 2
对系统 Q 用动量定理:
e
*
dP * Re dt
R 是t t * 时刻作用在 Q* 上的外力主向量。
d d * P P F1 F2 R e F dt dt
P1 F1 lim , t
P2 F2 lim t
M M 0 M1 M 2
dM 1 dM 2 dM dt dt dt
dM 1 dM 2 dv M R u1 v u2 v dt dt dt
记
uir ui v (相对速度)， 则
dM 1 dM 2 dv M R u1r u2 r dt dt dt
在
t * t 时刻系统 S
与系统 S 的动量之间关系为
P t * t P t * t P1 P2
即:
P t * P P t * P P1 P2
P P P1 P2
两边同时除以 t ，取极限后可得:
F 称为反推力。
如何借助牛顿第三定律 理解反推力？
变质量系统动量矩定理
设O为惯性空间不动点或质心，同上可推出：
dLO e e M O M1 M 2 M O M dt
LO1 M1 lim , t
LO 2 M 2 lim t
M 称为反推力矩。
变质量质点的运动
dM 1 dM 2 dv R u1r u2 r 讨论 M dt dt dt
1)若 M 2 0 ，即只有分离质量，没有并入质量，则
dM 1 dM dt dt
dv dM M R u1r dt dt
2)若 M 1 0，即只有并入质量，没有分离质量，则
dM dM 2 dt dt
t t * t : S t * t a, b, c
S t * t S t * b, c, d , e
的动量P t * P P t * t
的动量P t * P P t * t
模型假设：设质点系的质量 M(t) 在 t=0 时为 M 0 在任意时刻为
M t M 0 M1 t M 2 t
M1 t ——从零时刻到 t 时刻离开系统的质量， M 2 t ——从零时刻到 t 时刻进入系统的质量，
M1, M 2 是时间的非负、非递减、连续可微函数。
dv dM M R u2 r dt dt
dM 1 dM 2 dv M R u1r u2 r dt dt dt
3)若 M 2 0 且 u1 0
d ，则 Mv R dt
即当没有并入，只有分离质量，并且其绝对速度为 零时，质系动量对时间导数等于外力。 注意：这个结论对一般变质量系统不成立。 4)若 M 2 0 且 u1r 0 ，则
第10章 变质量系统动力学
2018年10月6日
变质量系统动量(矩)定理
变质量系统：质量随时间连续变化的质点系。
例：雨滴下降过程中由于蒸发而质量变小，由于水
汽凝结使质量增加；浮冰在天热时由于溶解而质量
变小，也会由于下雪而质量变大。(自然界的变质
量系统) 又如火箭、电梯、洒水车等(工程中的变质量系统)
dv M R dt
即当没有并入，只有分离质量，并且相对速度为零 时，质系动量定理的形式与常系统相同。
例1 火箭的运动
设火箭在太空中运动，不受任何外力作用 R 0
R e t *
变质量系统的推导 设S是惯性系中运动的封闭曲面，在运动(包括变形) 中有质点并入或离开S围成的区域，这是变质量系统。 记Q为任意时刻S内质点构成的质系，其动量为 P
* * 在某时刻 t t *, S内的质点构成的系为 Q(t ) Q , 动量为 P(t* ) P* 。 S
dM 1 F1 u1 , dt
*
dM 2 F2 u2 dt
M 1 是从 t 0 到 t 时刻离开Q的质量之和， M 2 是从 t 0 到 t * 时刻并入Q的质量之和。
而 P M (t )v ，v 为质点Q的绝对速度。
dM 1 dM 2 dM dv vM R u1 u2 dt dt d u1 是 t t * 时刻离开Q的部分质量的 绝对速度， u2 是 t t * 时刻并入Q的部分质量的 绝对速度。则
P 1 M1u 1,
M 1 是 t 内离开Q的质量 M 2 是t 内并入Q的质量
P2 M 2u2
Q(t * )
经过时间 t 后，S内质系 Q的动量变化为 P * P 而 在 t t *时刻在S内的 Q* 的 动量变为 P * P *
S
Q(t * )
Q1
S
Q2
Q(t)
显然：P* P P* P* P1 P2 P1 是 t 内离开S的部分质量 Q1 的动量。 P2 是 t 内进入S的部分质量 Q2 的动量。
dP dt
t t *
dP dt
t t *
P1 P2 lim t t t 0
dP
t t
*
对常质量系统 S 用动量定理： dt
P1 P2 * (e) * P (t ) R (t ) lim t t t 0