高数第一章函数练习题
高等数学课后习题答案--第一章
《高等数学》习题参考资料第一篇 一元函数微积分第一章 极限与连续§1 函 数习 题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。
1． 【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。
3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。
4． 【答案】 设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。
高等数学第一章课后习题答案(带解析)
第一章函数与极限第一节映射与函数一、填空题1.函数ln(2)y x =+的定义域为[1,)(2,1]+∞-- .2.设函数2(1)f x x x +=+，则=)(x f x x -2.3.设函数()f x 的定义域为[0,1]，则(e )xf 的定义域为(,0]-∞.4.已知()sin f x x =,[]2()1f x x ϕ=-,则()x ϕ=2arcsin(1)x -,其定义域为5.设2,0,()e ,0,x x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩()ln x x ϕ=，则复合函数[]()f x ϕ=2ln ,1,01x x x x ⎧-≥⎨<<⎩.6.设函数1,1,()0,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则[]()f f x =1.7.函数(10)y x =-≤<二、单项选择题1.函数lnarcsin 23x xy x =+-的定义域为C .A．(,3)(3,2)-∞-- B.(0,3)C.[3,0)(2,3]- D.(,)-∞+∞2.设(1)f x -的定义域为[0,](0)a a >，则()f x 的定义域为B.A.[1,1]a +B.[1,1]a -- C.[1,1]a a -+ D.[1,1]a a -+3.函数11x y x -=+的反函数是D .A.11x y x -=+ B.11xy x-=+ C.11x y x +=- D.11x y x+=-4.设()f x 为奇函数，()x ϕ为偶函数，且[()]f x ϕ有意义，则[()]f x ϕ为B.A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.以上均不正确三、解答题1.判断函数(ln y x =+的奇偶性，并求其反函数.解：因为()ln(ln(()f x x x f x -=-==-=-，所以()f x 是奇函数.由e yx =，e yx --=，得e e 2y y x --=，所以反函数为e e 2x xy --=2.设)(x f 满足c b a xcx bf x af ,,()1()(=-+均为常数，且)b a ≠,求)(x f .解：x cx bf x af =-+)1()()1(令t x =-1,则t x -=1,故t c t bf t af -=+-1)()1(.xcx bf x af -=+-∴1)()1(.(2)联立(1),(2)得到1(1)(22xbcx ac b a x f ---=.四、证明2()1xf x x =+在其定义域内有界.证明：,x R ∀∈取12M =,使得21()122x x f x M x x =≤==+，所以()f x 在其定义域R 内有界.第二节数列的极限一、单项选择题1.数列极限lim n n y A →∞=的几何意义是D .A．在点A 的某一邻域内部含有{}n y 中的无穷多个点B.在点A 的某一邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点C.在点A 的任何一个邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点D.在点A 的任何一个邻域外部至多含有{}n y 中的有限多个点nn n 632-∞→A.65-B.31 C.35 D.13.数列有界是数列收敛的C条件.A.充分B.充要C.必要D.两者没有关系二、利用数列极限的定义证明:1cos lim0n nn→∞+=.证明：对0ε∀>，要使1cos 1cos 20n n n n nε++-=≤<，只需2n ε>.0ε∀>,取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，就有1cos 0n n ε+-<成立，所以1cos lim0n nn→∞+=.第三节函数的极限一、单项选择题1.=+→x x x 1lim2A.A.32 B.1C.21 D.2.若函数()f x 在某点0x 极限存在，则C.A.()f x 在点0x 的函数值必存在且等于该点极限值B.()f x 在点0x 的函数值必存在,但不一定等于该点极限值C.()f x 在点0x 的函数值可以不存在D.若()f x 在点0x 的函数值存在，必等于该点极限值∞→32x x A.1B.21 C.0D.不存在4.极限0limx x x→=D .A.1B.1- C.0D.不存在二、利用函数极限的定义证明:236lim 53x x x x →--=-.证明：0ε∀>，要使26533x x x x ε---=-<-，只需取δε=，则当03x δ<-<时，就有26533x x x x ε---=-<-成立,所以236lim 53x x x x →--=-.第四节无穷小与无穷大一、单项选择题1.下列命题正确的是C.A.无穷小量的倒数是无穷大量B.无穷小量是绝对值很小很小的数C.无穷小量是以零为极限的变量D.无界变量一定是无穷大量2.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是C.A.1sin(0)x x→ B.1e (0)xx →C.2ln(1)(0)x x +→ D.21(1)1x x x -→-3.下列命题正确的是D.A.两个无穷小的商仍然是无穷小B.两个无穷大的商仍然是无穷大C.112--x x 是1→x 时的无穷小D.1-x 是1→x 时的无穷小4.(附加题)设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=，则下列命题正确的是B.A.若{}n x 发散，则{}n y 发散B.若1n x ⎧⎫⎨⎩⎭为无穷小，则{}n y 必为无穷小C.若{}n x 无界，则{}n y 必有界 D.若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小提示：已知n n x y 为无穷小，当1n x 为无穷小时，必有1()n n n ny x y x =⋅为无穷小；否A，例n x n =发散，21n y n=收敛；否C，例1(1),1(1)n n n n x n y n ⎡⎤⎡⎤=+-⋅=--⋅⎣⎦⎣⎦均无界；否D，例21n x n=有界，n y n =非无穷小.第五节极限运算法则一、填空题1.21lim2x x x x →+=++12. 2.121lim1x x x →+=-∞.3.22121lim1x x x x →-+=-0.4.212lim3n n n →∞+++=+ 12.5.若232lim43x x x kx →-+=-，则常数k =3-.提示：由已知，得23lim(2)0x x x k →-+=，3k ∴=-.6.设213lim 112x a x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭，则常数a =2.提示：由已知，222113lim ,lim()012x x a x x a x x x →→--=∴--=-，从而2a =.7.e 1lim e 1n nn →∞-=+1.提示：11e 1e lim lim 11e 11en n n n n n→∞→∞--==++8.=-+++∞→)2324(lim 2x x x x 21.9.11021lim 21xx x-→-=+-1，1121lim 21xx x+→-=+1，所以11021lim21xx x →-+不存在.提示：11lim 20,lim 2x xx x -+→→==+∞10.已知21sin ,0()1,0x x x f x x x ⎧<⎪⎪=>⎪⎩,则0lim ()x f x →=0.二、计算题1.220()lim h x h x h→+-解：1.2222220000()22limlim lim lim(2)2h h h h x h x x xh h x xh h x h x h h h →→→→+-++-+===+=.2.231lim (2sin )x x x x x→∞-++解：因为2332111lim lim 011x x x x x x x x→∞→∞--==++，而2sin x +为有界函数，所以根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，知231lim (2sin )0x x x x x→∞-+=+.3.322232lim 6x x x x x x →-++--解：32222232(1)(2)(1)2lim lim lim 6(3)(2)35x x x x x x x x x x x x x x x x →-→-→-+++++===----+-.4.21lim1x x →-解：211lim1x x x →→=-1x →=14x →=.5.lim x →+∞解：lim x →+∞=limxlimlimx x ==1=-.6.求)1111(lim 31xx x ---→.解：原式32112lim x x x x --+=→)1)(1()2)(1(lim21x x x x x x ++-+-=→112lim21-=+++-=→x x x x .第六节极限存在准则两个重要极限一、填空题1.0sin lim x x x →=1；sin lim x xx→∞=0.提示：0sin lim1x x x →=；sin 1lim lim sin 0x x x x x x →∞→∞=⋅=.2.0sin limsin x x x x x →-=+0；sin lim sin x x xx x→∞-=+1.提示：00sin 1sin lim lim 0sin sin 1x x x x x x x x x x →→--==++；11sin sin lim lim 11sin 1sin x x xx x x x x xx→∞→∞-⋅-==++⋅.3.1lim 1kxx x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭e k-（k 为正整数）.提示：.()11lim 1lim 1e kxx k k x x x x ---→∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4.10lim 12xx x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭12e-.提示：11221200lim 1lim 1e22xxx x x x ---→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.二、计算题1.30tan sin limx x xx →-解：3200tan sin sin 1cos lim lim cos x x x x x x x x x x →→--=⋅2220002sin sinsin 1122lim lim lim 222x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭. 2.011limsin x x→解：000011limlim lim lim sin sin sin 2x x x x x x x x x →→→→-=⋅.3.0x →解：原式2220002sin 1sin cos 1cos 2lim 6lim 6lim 311cos sin 32x x x x x x x x x x x x x →→→---====-⋅.4.lim n →∞⎛⎫+解：<++<，又1,1n n n n ====，所以根据夹逼准则知，lim 1n →∞⎛⎫+++=⎪⎭.第七节无穷小的比较一、填空题1.当0x →时，sin 3x 是2x 的低阶无穷小；2sin x x +是x 的等价（或同阶）无穷小；1cos sin x x -+是2x 的低阶无穷小；cos 1x -是2arcsin x 的同阶无穷小；1(1)1nx +-是x n的等价（或同阶）无穷小；32x x -是22x x -的高阶无穷小.提示：222000sin 32sin 1cos sin lim,lim 2,lim,x x x xx x x xx xx →→→+-+=∞==∞13222000cos 11(1)1lim ,lim 1,lim 0arcsin 22nx x x x x x x x x x x n→→→-+--=-==-.2.已知0x →时，()12311ax+-与cos 1x -为等价无穷小，则常数a =32-.提示：12230021(1)1233lim lim 1,1cos 1322x x axax a a x x →→+-==-==---.二、计算题1．21tan 1limx x x →-解：2000tan 1tan 1122lim lim lim 2x x x x xx x x x →→→--===--.2.2220(sec 1)lim3sin x x x x →-解：22222222240002(sec 1)(1cos )1lim lim lim3sin 3cos 312x x x x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪--⎝⎭===⋅⋅.3.0tan 2tan lim3sin sin 2x x x x x→--解：000sin 2sin sin tan 2tan cos 2cos cos 2cos lim lim lim 13sin sin 23sin sin 2sin (32cos )x x x x x xx xx x x x x x x x x x →→→--⋅===---.4.20sin cos 1limsin 3x x x x x →+--解：200sin cos 11limlim sin 333x x x x x x x x →→+-==-.第八节函数的连续性与间断点一、填空题1.设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续，则常数,a b 应满足的关系为a b =.提示：()2(0)lim (0)x f a bxa f --→=+==，0sin (0)lim x bxf b x-+→==.2.设0()1,0ln(1),0x f x x bx x x <=-=⎨⎪+⎪->⎪⎩在0x =处连续，则常数a =22，b =1.提示：0(0)lim lim lim x x x axf x ----→→→===，(0)1f =-，00ln(1)(0)lim lim x x bx bxf b x x--+→→+=-=-=-.3.()sin xf x x=的可去间断点为0x =；221()32x f x x x -=-+的无穷间断点为2x =.4.若函数e ()(1)x af x x x -=-有无穷间断点0x =及可去间断点1x =，则常数a =e .提示：由已知，1e lim (1)x x a x x →--存在，所以1lim(e )0xx a →-=，从而e a =.二、单项选择题1.0x =是1()sin f x x x=的A .A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点提示：01lim ()lim sin0x x f x x x→→==2.函数21,0(),012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩D.A.在0,1x x ==处都间断B.在0,1x x ==处都连续C.在0x =处连续，1x =处间断D.在0x =处间断，1x =处连续提示：(0)1,(0)0(0)f f f -+=-==；(1)(1)1,(1)1f f f -+===.3.设函数42,0(),0x f x xk x ≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k =B .A.4B.14C.2D.12提示：021lim ()limlim ,(0)4x x x f x f k x →→→===.4.函数111122,0()221,0x x x x x f x x --⎧-⎪≠⎪=⎨+⎪=⎪⎩在0x =处B .A.左连续B.右连续C.左右均不连续D.连续提示：110lim 20,lim 2xxx x -+→→==+∞，从而(0)1(0),(0)1(0)f f f f -+=-≠==.三、讨论函数11e ,0()ln(1),10x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩在0x =处的连续性.解：111(0)lim ln(1)0(0),(0)lim ee x x xf x f f -+-+--→→=+====，所以()f x 在0x =处不连续，且0x =是第一类跳跃型间断点.四、若2,0()0e (sin cos ),x x a xf x x x x +≤⎧=⎨>+⎩在-∞(，)∞+内连续，求a .解：由于)(x f 在0=x 处连续,所以)0()0()0(f f f ==-+.(0)lim ()lim e (sin cos )1x x x f f x x x +++→→==+=,a a x x f f x x =+==--→→-)2(lim )(lim )0(0,a f =)0(.故1=a .五、设()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且lim ()x f x a →∞=，1,0()0,0f x g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩.试讨论()g x 在0x =处的连续性.解：()0011lim ()lim lim 令x x t t x g x f f t a x →→→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭，(0)0g =，所以当0a =时，()g x 在0x =处连续，当0a ≠时，()g x 在0x =处间断.第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、填空题1.设,0()1,0a x x f x x x +≤⎧=>⎩在(,)-∞+∞内连续，则常数a =12.2.设22,1()1,1x bx x f x x a x ⎧++≠⎪=-⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞处连续，则常数a =1，b =-3.提示：由题意知，1lim ()(1)x f x f a →==，则212lim1x x bx a x→++=-21lim(2)0x x bx →∴++=，则3b =-，进而1a =.3.211lim cos1x x x →-=-cos 2. 4.()2cot 2lim 1tan xx x→+=e .5.21lim 1xx x x →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭4e-.提示：41122412lim lim 1e 11xx x xx x x x x -++--→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-= ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦.6.已知lim 82xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则常数a =ln 2.提示：332233lim lim 1e 822x a x x axx a x aax a a x a x a →∞→∞--⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+== ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3ln 8,ln 2a a ==.7.203sin (1)cos lim (1cos )x x x x x →++=+12.8.0x →=12.提示：原式limx→=0x →=22012limsin 222x x x x x →⋅==⋅.9．函数21()23f x x x =--的连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞．二、单项选择题1.当1→x 时,函数1211e 1x x x ---的极限等于D .A.2B.0C.∞D.不存在但不为∞2.设()f x 在2x =连续，(2)3f =，则2214lim ()24x f x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭D .A.0B.2C.3D.34提示：22222142113lim ()lim ()lim ()(2)244244x x x x f x f x f x f x x x x →→→-⎛⎫-====⎪---+⎝⎭.三、讨论11()1exxf x -=-的连续性，若有间断点，指出其类型.解：()f x 为初等函数，故在其定义区间(,0),(0,1),(1,)-∞+∞内均连续，在其无定义点0,1x x ==间断.据011lim ()lim1ex x x xf x →→-==∞-，知0x =为第二类无穷间断点；据11111111lim ()lim 0,lim ()lim 11e1exx x x x x xxf x f x --++→→→→--====--，知1x =为第一类跳跃间断点.第十节闭区间上连续函数的性质一、单项选择题1.方程sin 2x x +=有实根的区间为A.A.π,32⎛⎫⎪⎝⎭B.π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭C.ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭D.ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭提示：令()sin 2f x x x =+-，分别在各个对应的闭区间上验证零点定理是否成立即可.2.方程(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)x x x x x x x x x ---+---+---(2)(3)(4)0x x x +---=有D 个实根.A.0B.1C.2D.3提示：令()(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)f x x x x x x x x x x =---+---+---(2)(3)(4)x x x +---，又(1)0,(2)0,(3)0,(4)0f f f f <><>，则由零点定理知，方程在(1,2),(2,3),(3,4)分别至少存在一个根；又()f x 是三次多项式，则方程至多有三个根，综上可知方程恰好有三个根.二、证明题1.证明方程e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.证明：令()e 2xf x x =--，则()f x 在[0,2]上连续，且2(0)10,(2)e 40f f =-<=->，根据零点定理，至少存在一点(0,2)ξ∈，使()0f ξ=，所以方程()0f x =，即e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.2.设()f x 在[,]a b 上连续，且(),()f a a f b b <>.证明至少存在一点(,)a b ξ∈，使()f ξξ=.证明：令()()F x f x x =-，则()F x 在[,]a b 上连续，且()()0F a f a a =-<，()()0F b f b b =->，根据零点定理，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ=，即()f ξξ=.3.附加题设()f x 在[,)a +∞上连续，lim ()0x f x →+∞=.证明()f x 在[,)a +∞上有界.证明：由lim ()0x f x →+∞=，对10,X a ε=>∃>，当x X >时，有()()01f x f x ε=-<=，即()f x 在(,)X +∞上有界；又()f x 在[,]a X 上连续，故()f x 在[,]a X 上有界，所以存在10,M >使[]1(),,f x M x a X ≤∀∈，取{}1max 1,M M =，则对[],x a ∀∈+∞()f x M <，即()f x 在[,)a +∞上有界.第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.()03limsin tan ln 12x x x x →=-+14-.提示：()20003331lim lim lim 4sin tan tan (cos 1)222ln 12x x x xx x x x x x x x →→→-⋅===---+.2.2131lim2x x x →-=+-26-.提示：21lim26x x x x →→==-+-.3.已知212lim31x x ax bx →-++=+，其中b a ,为常数，则a =7，b =5.4.若()2sin 2e 1,0,0ax x x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在()+∞∞-,上连续，则a =-2.提示：由题意知，20sin 2e 1lim ax x x x →+-20sin 2e 1lim 22ax x x a a x x →⎛⎫-=+=+= ⎪⎝⎭，从而2a =-.5.曲线21()43x f x x x -=-+的水平渐近线是0y =，铅直渐近线是3x =.二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的C.A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件2.设()2,02,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()2,0,0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦D .A.22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩ B.22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C.22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D.22,02,0x x x x ⎧+<⎨+≥⎩3.下列各式中正确的是D.A．01lim 1exx x +→⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.01lim 1e xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.1lim 1e xx x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D.11lim 1e xx x --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4.设0→x 时，tan e 1x-与n x 是等价无穷小，则正整数n =A.A.1B.2C.3D.4提示：由题意知，当0→x 时，tan e 1tan xx x - 从而n 取1.5.曲线221e 1ex x y --+=-D .A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线6．下列函数在给定区间上无界的是C.A.1sin ,(0,1]x x x ∈ B.1sin ,(0,)x x x∈+∞C.11sin ,(0,1]x x x∈ D.1sin ,(0,)x x x∈+∞三、计算题（每小题7分，共49分）1.2x →解：2222(1)(2)(413)(1)(413)9limlim 4(2)42x x x x x x x →→→+-+===-.2.()21ln(1)lim cos x x x +→解：()()2211ln(1)ln(1)0limcos lim 1cos 1x x x x x x ++→→=+-222001cos 112limlim ln(1)2eeex x x x x x →→---+===.3.()1lim123nnnn →∞++解：()1312333,31233n n n nnnn<++<⋅∴<++<⋅Q1n =，()1lim 1233nnnn →∞∴++=.4．21sinlimx x x解：2111sinsin sinlim lim limlim 112x x x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅⋅.5.设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()21lim ln 12n f f f n n →∞⎡⎤⎣⎦ .解：()()()()()()22ln 1ln 2ln 1limln 12lim n n f f f n f f f n n n →∞→∞+++=⎡⎤⎣⎦L L ()()222ln 12ln ln limlim22n n n n a n aan n →∞→∞++++===L .6.1402e sin lim 1e xx x x x →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解：1144002e sin 2e sin 2lim lim 1111e 1e x x x x x x x x x x --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ +=-=-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，11114444000e 2e 12e sin 2e sin sin lim lim lim 1e 1e e e 1x x x xx x x x x x x x x x x x x +++-→→→-⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪++⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭301lim 1e xx +-→=+=，所以，原式1=.7.已知(lim 1x x →-∞=，求,.a b解：左边22(1)lim limlim x x x x a x b x →-∞→-∞⎡⎤--+⎢==，右边1=，故[]lim (1)1x a x b →-∞--=+，则1,2a b ==-．四、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa b x f x a b a b x x ⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x =处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题8分）解：当a b =时，()0f x ≡，此时()f x 在0x =处连续；当a b ≠时，000011lim ()lim lim lim ln (0)0x x x x x x x x a b a b af x f x x x b→→→→---==-=≠=，故()f x 在0x =处不连续，所以0x =为()f x 得第一类（可去）间断点．五、附加题设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使得1()2f f ξξ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（本题7分）证明：设1()()2F x f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，显然()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，而1(0)(0)2F f f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()()11110222F f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，211(0)(0)022F F f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若1(0)02F F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即(0)0F =或102F ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，此时取0ξ=或12ξ=即可；若1(0)02F F ⎛⎫< ⎪⎝⎭时，由零点定理知：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使()0Fξ=，即1()2f fξξ⎛⎫=+⎪⎝⎭．。
高等数学习题集及答案
D. 无关条件
A. 若 { un} 有界，则 { un} 发散 C. 若 { un} 单调，则 { un} 收敛
B. 若 {un} 有界，则 { un} 收敛 D. 若 { un} 收敛，则 { un} 有界
22. 下面命题错误的是 【 】
A. 若 { un} 收敛，则 { un} 有界
C. 若 { un} 有界，则 { un} 收敛
A. y arcsin x
B. y arccosx
C. y arctan x
D. y arccot x
7. 已知函数 y arcsin( x 1) ，则函数的定义域是 【 】
A. ( , )
B. [ 1,1]
C. ( , )
D. [ 2,0]
8. 已知函数 y arcsin( x 1) ，则函数的定义域是 【 】
A. 连续点
B. 可去间断点
C.跳跃间断点
47. lim xsin 1 的 值为 【
x0
x
A. 1
B.
】 C. 不存在
D. 0
48. 当 x
时下列函数是无穷小量的是 【 】
x cos x
A.
sin x
x2
B.
C.
sin x D. (1 1) x
x
x
x
x
x2 1 x 0
49. 设 f ( x)
， 则下列结论正确的是 【 】
C. e 3
】
D. e3
4
A. e
B. 1
2
C. e
D.
4
e
26. x 1是函数 f ( x)
x x3 的 【 x2 x 2
】
A. 连续点
《高等数学一》第一章-函数--课后习题(含答案解析)
第一章函数历年试题模拟试题课后习题（含答案解析）[单选题]1、设函数，则f(x)=（）A、x(x+1)B、x(x-1)C、(x+1)(x-2)D、(x-1)(x+2)【正确答案】B【答案解析】本题考察函数解析式求解.，故[单选题]2、已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是（）.A、[1，3]B、[-1，5]C、[-1，3]D、[1，5]【正确答案】A【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点，当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3，由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题]3、设函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）.A、[0，2]B、[0，16]C、[-16，16]D、[-2，2]【正确答案】D【答案解析】根据f(x)的定义域，可知中应该满足：[单选题]4、函数的定义域为（）.A、[-1,1]B、[-1,3]C、(-1,1)D、(-1,3)【正确答案】B【答案解析】根据根号函数的性质，应该满足：即[单选题]写出函数的定义域及函数值（）.A、B、C、D、【正确答案】C【答案解析】分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集，故D=(－∞，-1]∪（-1，＋∞）.[单选题]6、设函数,则对所有的x，则f(-x)=（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】本题考察三角函数公式。
.[单选题]7、设则=（）.A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】令则，故[单选题]8、则（）.A、B、C、D、【正确答案】D【答案解析】[单选题]9、在R上，下列函数中为有界函数的是（）.xA、eB、1＋sin xC、ln x【正确答案】B【答案解析】由函数图像不难看出在R上e x,lnx,tanx都是无界的，只有1+sinx可能有界，由于|sinx|≤1,|1+sinx|≤1+|sinx|≤2所以有界.[单选题]10、不等式的解集为（）.A、B、C、D、【正确答案】D【答案解析】[单选题]11、（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】根据二角和公式，[单选题]12、函数的反函数是（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】由所以，故.[单选题]13、已知则（）.A、B、C、D、【正确答案】C【答案解析】[单选题]14、已知为等差数列，，则（）.A、-2B、1C、3D、7【正确答案】A因为同理可得：故d=a4－a3=－2.[单选题]15、计算（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】根据偶次根式函数的意义，可知，故[单选题]16、计算（）.A、0B、1C、2D、4【正确答案】C【答案解析】原式=[单选题]将函数|表示为分段函数时，=（）.A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】由条件[单选题]18、函数f(x)=是（）.A、奇函数B、偶函数C、有界函数D、周期函数【正确答案】C【答案解析】易知不是周期函数，,即不等于，也不等于，故为非奇、非偶函数.，故为有界函数.[单选题]19、函数,则的定义域为（）.A、[1,5]C、(1,5]D、[1,5)【正确答案】A【答案解析】由反正切函数的定义域知：，故定义域为[1,5].[单选题]20、下列等式成立的是()A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】A中(e x)2=，C中，D中[单选题]21、下列函数为偶函数的是()A、y=xsinxB、y=xcosxC、y=sinx+cosxD、y=x(sinx+cosx)【正确答案】A【答案解析】sinx是奇函数，cosx是偶函数。
高等数学第一章 函数试题及答案
第一章 函数、极限、连续一、初等函数我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子表示的函数，称为初等函数。
反正弦函数：]1,1[arcsin -∈=x x y ]2,2[ππ-∈y反余弦函数：]1,1[arccos -∈=x x y ],0[π∈y 反正切函数：),(arctan +∞-∞∈=x x y ]2,2[ππ-∈y 反余切函数：),(cot +∞-∞∈=x xarc y ],0[π∈y从图中不难看出x arcsin 和x arctan 单调递增的，x arccos 和x arc cot 单调递减的二、函数的几种性质1．有界性： 2．奇偶性：（1）奇偶函数的区间X 一定关于原点对称（2）奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y 轴对称。
（3）奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数 （4）偶数个奇（偶）函数之积为偶函数，奇数个奇函数的积为奇函数 一奇一偶函数的乘积仍为奇函数。
3．单调性：4．周期性： ()()x f T x f =+，则称()x f 是周期函数，称T 为()x f 的周期。
（1）由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。
（2）若T 为()x f 的周期，则()ab ax f T 的周期为+ （3）()x f ，()x g ，以T 为周期，则())(x g x f ±也是以T 为周期的函数。
（4）()x f ，()x g 分别是以21,T T 为周期的函数，则())(x g x f ±是以21,T T 的最小公倍数为周期的函数。
()[]1．设()x f 的定义域为[]()0,>-a a a 求()12-x f 的定义域当1≥a 时，则a x +≤1 当10<<a 时a x a +≤≤-∴11 即a x a +≤≤-11或a x a --≤≤+-112．求()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤---<-==2,2122,52,323x x x x x x x f y 的值域，并求它的反函数。
高数第一次课随堂练习函数与极限
随堂练习 一第一章 函数与极限一、填空题1、432lim23=-+-→x kx x x ，则k= 。
2、函数xxy sin =有间断点 ，其中 为其可去间断点。
3、若当0≠x 时 ，xxx f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。
4、=++++∞→352352)23)(1(limx x x x x x 。
5、3)21(lim -∞→=+e nknn ，则k= 。
6、函数23122+--=x x x y 的间断点是 。
7、当+∞→x 时，x1是比3-+x 8、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。
9、函数xe y 1=在x=0处是第 类间断点。
10、设113--=x x y ，则x=1为y 的 间断点。
11、已知33=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
12、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x xxx f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a= 。
13、设⎩⎨⎧>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。
二、计算题1、计算下列极限 （1）)2141211(lim n n ++++∞→ ； （2）2)1(321lim nn n -++++∞→ ；（3）35lim 22-+→x x x ； （4）112lim 221-+-→x x x x（5）)12)(11(lim 2xx x -+∞→ ； （6）x x x 1sin lim 20→ ；（7）xx x x +---→131lim21； （8）)1(lim 2x x x x -++∞→ ；2、计算下列极限 （1）x wx x sin lim0→ ； （2）xxx 5sin 2sin lim 0→ ； （3）x x x cot lim 0→ ；（4）x x x x )1(lim +∞→ ； （5）1)11(lim -∞→-+x x x x ； （6）x x x 1)1(lim -→ ； 3、比较无穷小的阶（1）32220x x x x x --→与，时 ； （2）)1(21112x x x --→与，时 ； (3)当0→x 时 ， 232-+xx与x 。
高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题(含答案)
函数及其表示（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).2．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x ，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A(2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 对于的函数值的集合所有的集合构成值域。
(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
（二）考点分析考点1：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。
考点2：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f1.2函数及其表示练习题（2）一、选择题1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f .A. ⑴、⑵B. ⑵、⑶C. ⑷D. ⑶、⑸2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 1或23. 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ）A. 2,3B. 3,4C. 3,5D. 2,54. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A. 1B. 1或32C. 1，32或 D.5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（ ）A. 沿x 轴向右平移1个单位B. 沿x 轴向右平移12个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13二、填空题1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数422--=x x y 的定义域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 .4.函数0y =_____________________. 5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.三、解答题1.求函数()f x =.2. 求函数12++=x x y 的值域.3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域.4. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.参考答案（2）一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =5. D 平移前的“1122()2x x -=--”，平移后的“2x -”， 用“x ”代替了“12x -”，即1122x x -+→，左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时，这是矛盾的； 当10,(),1a f a a a a<=><-时； 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =， 当1x =时，max 99,1y a a =-==-4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨->⎪⎩ 5. 54- 22155()1()244f x x x x =+-=+-≥-. 三、 1. 解：∵10,10,1x x x +≠+≠≠-，∴定义域为{}|1x x ≠-2. 解： ∵221331(),244x x x ++=++≥∴y ≥，∴值域为)+∞ 3. 解：24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或，222121212()2y x x x x x x =+=+-224(1)2(1)4102m m m m =--+=-+∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.4. 解：对称轴1x =，[]1,3是()f x 的递增区间，max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.144a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得。
高等数学 函数(习题)
第一章 函数习题1-113、用区间表示满足下列不等式的所有x 的集合(1)3||≤x ； ]3,3[-(2)1|2|≤-x ； ]3,1[(3)ε<-||a x ； ),(εε+-a a(4)5||≥x ； ),5[]5,(+∞--∞(5)2|1|>+x . ),1()3,(+∞--∞14、用区间表示满足下列点集,并在数轴上表示出来：(1)}2|3||{<+=x x A ； )1,5(--(2)}3|2|1|{<-<=x x B . )5,3()1,1( -习题1-22、求下列函数的自然定义域 (2)2112++-=x xy ； 解：⎩⎨⎧≥+≠-02012x x ⇒⎩⎨⎧-≥±≠21x x ⇒),1()1,1()1,2[)(+∞---= f D . (4)21arcsin-=x y ； 解：121≤-x ⇒2|1|≤-x ⇒]3,1[)(-=f D . (6)1||)3ln(--=x x y ；⎩⎨⎧>->-01||03x x ⇒⎩⎨⎧><1||3x x ⇒)3,1()1,()( --∞=f D . (6)6712arccos 2---=x x x y . 解：⎪⎩⎪⎨⎧>--≤-0617122x x x ⇒⎩⎨⎧>+-≤-0)2)(3(712x x x ⇒⎩⎨⎧>-<≤≤3 243x x x 或－ ⇒]4,3()2,3[)( --=f D .4、确定函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=.2||1,1,1|| ,1)(22x x x x x f 的定义域并作出函数图形. 解：函数的定义域为 )2,2()(-=f D .其图形为 图形> plot(max((max(1-x^2,0))^(1/2),x^2-1),x=-2..2);7、下列各函数中哪些是周期函数？对周期函数指出其周期(1) x y 2sin =; 解：22cos 1sin )(2x x x f y -===,由于 )(22cos 12)22cos(1)(x f x x x f =-=+-=+ππ, 所以, x y 2sin =是以π为周期的周期函数.注：x T x T x T 2cos )22cos()(2cos 22π=+=+令(2) )cos(θω+=t y (θω,为常数);解：)cos()(θω+==t x f y ,由于)cos()2cos()2(θωθπωωπ+=+±=+t t t f ,, )cos(θω+=t y 是以ωπ2为周期的周期函数.注：)cos()cos()(2θωθωωπω+++=+=t T t T t f T 令 (3) xy 1cos =. 解：x x f y 1cos)(==不是周期函数.因为假设有T ,使得)()(x f T x f =+, 那么 x T x 1cos 1cos =+⇒πk x T x 211+=+ (k 为某整数) ⇒)(2T x x k T x x +++=π⇒)(2T x x k T +=π ⇒ 0=k ⇒0=T .8、设)(x f 为定义在),(l l -内的奇函数,若)(x f 在),0(l 内单调增加,证明)(x f 在)0,(l -内也单调增加.解：)0,(21l x x -∈<∀,有),0(12l x x ∈-<-, ↑)(x f ),0(l ,)()(12x f x f -<-∴,又)(x f 为奇函数,则)()()()(2211x f x f x f x f =--<--=,所以)(x f 在)0,(l -内也单调增加.习题1-33、指出下列函数的复合过程(1)x y 2cos =；解：u y cos =,x u 2=.(2)x e y 1=；解：u e y =,xu 1=.x e y 3sin =；解：u e y =,3v u =,x v sin =.(3))]12arcsin[lg(+=x y ；解：u y arcsin =,v u lg =,12+=x v .4、(1)设12cos )(sin +=x x f ,求)(cos x f . 解：由于2sin 2222cos 12)(sin 2+-=+-⋅-=x x x f , 可见22)(2+-=t t f ,所以x x x f 22sin 22cos 2)(cos =+-=.解2：令x t sin =,则221)sin 21(12cos )(22+-=+-=+=t x x t f ,所以x x x f 22sin 22cos 2)(cos =+-=.(2)设221)1(x x x x f +=+,求)(x f . 解：由于2)1(1)1(222-+=+=+xx x x x x f , 可见2)(2-=t t f , 所以2)(2-=x x f .解2：令xx t 1+=,则22)1(1)(2222-=-+=+=t x x x x t f , 所以2)(2-=x x f .5、已知x x x f -=3)(,x x 2sin )(=ϕ,求)]([x f ϕ,)]([x f ϕ.解：x x x f x f 2sin 2sin )2(sin )]([3-==ϕ,)(2sin ][)]([33x x x x x f -=-=ϕϕ.习题1-42、下列函数中哪些是初等函数？哪些不是初等函数？(1) x x e y 2sin 2+-=;此函数显然是初等函数.(2) )cos 212ln(x x y -+=; 解：此函数显然是初等函数.(3) ⎩⎨⎧<≥-=.0 ,3,0 ,1x x y 解：此函数不是初等函数.(简单的判断:因为函数不连续,由后面知识知函数不是初等函数)(4) ⎩⎨⎧<<+-≤≤-+=.10 ,12,01 ,1x x x x y 图形> plot([x+1,-2*x+1],x=-1..1); 解：令1+=x u ,12+-=x v ,11≤≤-x ，有 2||},min{v u v u v u y --+== 2)]12()1[()12()1(2+--+-+-++=x x x x 2)3(22x x --=, 11≤≤-x ，故此函数是初等函数.3、函数⎩⎨⎧>≤-=.1,,1 ,2x x x x y 能用一个解析式表示吗？为什么？ 图形> plot([2-x,x],x=-1..3); 解：令x u -=2,x v =,有 2||},max{v u v u v u y -++== 2])2[()2(2x x x x --++-=1)1(2)22(222+-=-+=x x , 故此函数能用一个解析式表示,当然是初等函数.4、由xy 2=的图形作下列函数的图形x y 23⋅=; 图形> plot([3*2^x,2^x],x=-2..2);(2) 42+=x y ; 图形> plot([2^x+4,2^x],x=-2..2);(3) x y 2-=; 图形> plot([-2^x,2^x],x=-2..2);(4) x y -=2. 图形> plot([2^(-x),2^x],x=-2..2);5、由x y lg =的图形作下列函数的图形(1) x y lg 3=;图形> plot([3*ln(x)/ln(10),ln(x)/ln(10)],x=0..2,-2.5..2);(2) 2lg x y =;图形> plot([2*ln(abs(x))/ln(10),ln(x)/ln(10)],x=-2..2,-2.5..2); (3) x y lg =; 图形> plot([1/2*ln(x)/ln(10),ln(x)/ln(10)],x=0..2,-1..1); (4) xy 1lg =. 图形> plot([-ln(x)/ln(10),ln(x)/ln(10)],x=0..2,-1..1);6、由x y sin =的图形作下列函数的图形(1) x y 2sin =; 图形> plot([sin(2*x),sin(x)],x=-2*Pi..2*Pi);(2) x y 2sin 2=; 图形> plot([2*sin(2*x),sin(x)],x=-2*Pi..2*Pi);(3) x y 2sin 21-=; 图形> plot([1-2*sin(2*x),sin(x)],x=-2*Pi..2*Pi);习题1-51、某运输公司规定货物的吨公里运输价为:在a 公里以内,每公里k 元;超过a公里,超过部分每公里k 54元.求运价m 和里程s 之间的函数关系. 解：⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤≤=. ),(54,0 ,a s a s k ka a s ks m2、拟建一个容积为v 的长方体水池,设它的底为正方形,如果池底所用材料单位面积的造价是四周单位面积造价的2倍,试将总造价表示成底边长的函数,并确定此函数的定义域.,设底边长为x ,四周单位面积造价为a ,则水池高为2x v , 那么总造价为 )2(242222xv x a x v x a ax y +=⋅⋅⋅+=, ),0(+∞∈x .3、设一矩形面积为A ,试将周长s 表示为宽x 的函数,并求其定义域. 解：依题意,矩形的长为x A ,于是周长s 为 )(2xA x s +=, ),0(+∞∈x .4、在半径为r 的球内嵌入一圆柱,试将圆柱的体积表示为其高的函数,并确定此函数的定义域.解：依题意,设圆柱的高为h ,圆柱的半径为22)2(hr -,那么圆柱的体积为 )4()2(22222h r h h h r y -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ππ, )2,0(r h ∈.5、用铁皮做一个容积为v 的圆柱形罐头筒,试将它的全面积表示成底半径的函数,并确定此函数的定义域.解：依题意,设底半径为r ,则圆柱形底面积为2r π,高为2r v π,那么全面积为 )(222222rv r r v r r S +=⋅+=ππππ, ),0(+∞∈r .6、按照银行规定,某种外币一年期存款的年利率为%2.4,半年期存款的年利率为%0.4,每笔存款到期后,银行自动将其转为同样期限的存款,设将总数为A 单位货币的该种外币存入银行,两年后取出,问存何种期限的存款能有较多的收益？多多少？解：依题意,半年期存款两年后本利和为41%)0.45.01(⨯+=A A ,一年期存款两年后本利和为22%)2.41(+=A A ,由于 A A A A A 00333184.0%)0.45.01(%)2.41(4212=⨯+-+=-.所以, 一年期存款有较多的收益,多A 00333184.0.7、某工厂生产某种产品,年产量为x ,每台售价250元,当年产量600台以内时,可以全部售出, 当年产量超过600台时,经广告宣传又可再多售出200台,每台平均广告费20元,生产再多,本年就售不出去了,建立本年的销售总收入R 与年产量x 的函数关系.解：(1)当6000≤≤x 时, x R 250=；(2)当800600≤<x 时,12000230)600(20250+=--=x x x R ；(3)当800>x 时,19600012000800230=+⨯=R .所以⎪⎩⎪⎨⎧>≤<+≤≤=.800 ,196000,800600 ,12000230,6000 ,250x x x x x R习题1-61、某厂生产录音机的成本为每台50元,预计当以每台x 元的价格卖出时,消费者每月购买x -200台,请将该厂的月利润表达为价格x 的函数.解：依题意,月收入为)200(x x R -=,成本为)200(50x C -=,则月利润为)50)(200()200(50)200(--=---=-=x x x x x C R L .2、当某商品价格为P 时,消费者对该商品的月需求量为P P D 20012000)(-=.(1)画出需求函数图形；(2)将月销售额(即消费者购买此商品的支出)表达为价格的函数；(3)销售额的图形,并解释其经济意义.解：(1) 图形> plot(12000-200*p,p=0..61);(2)月销售额220012000)()(P P P D P P R -=⋅=.(3) 图形> plot(12000*p-200*p^2,p=0..61);由于180000)30(20020012000)(22+--=-=P P P P R ,于是 ①当商品价格不超过30时,月销售额随价格上涨而增加；②当商品价格达到30时,月销售额随价格达到最大180000；③当商品价格超过30时,月销售额随价格上涨而减少；④当商品价格达到60时,因无需求量而使得月销售额0.3、报纸的发行量以一定的速度增加,三个月前发行量为32000份,现在为44000份.(1)写出发行量依赖于时间的函数关系,并画出图形；2个月后的发行量是多少？解：(1)依题意,报纸的发行量每月增加400033200044000=-份,若以现在为时间起点,用x 表示报纸发行的月份数,那么发行量为440004000+=x y . 图形> plot(4000*x+44000,x=0..2);(2)2个月后的发行量是520004400024000=+⨯=y 份.4、某厂生产的手掌游戏机每台可卖110元,固定成本为7500元,可变成本为每台60元.(1) 要卖多少台手掌机,厂家才可保本(收回投资)？(2) 卖掉100台的话,厂家赢利或亏损了多少？(3) 要获得1250元利润,需要卖多少台？解：依题意,设手掌机卖掉x 台,则厂家赢利为750050)607500(110-=+-=-=x x x C R L .(1)令0750050=-=x L ,有150=x ,即要卖150台手掌机,厂家才可保本.(2)因2500750010050-=-⨯=L ,可见卖掉100台的话,厂家亏损2500元.(1)令1250750050=-=x L ,有175=x ,即要获得1200元利润,需要卖175台.5、有两家健身俱乐部,第一家每月会费300元,每次健身收费1元, 第二家每月会费200元,每次健身收费2元,若只考虑经济因素,你会选择哪一家俱乐部(根据年每月健身次数决定)？解：依题意,设每月健身次数为x 次,则第一家与第二家消费费用差额为x x x y -=+-+=100)2200()300(.所以,当每月健身次数小于100次时,0>y ,说明第一家比第二家消费费用要高,当然选择第二家,否则应选择第一家.6、设某商品的需求函数与供给函数分别为PP D 5600)(=和10)(-=P P S . (1)找出均衡价格,并求此时的供给量与需求量；(2)在同一坐标中画出供给与需求曲线；(3)何时供给曲线过P 轴,这一点的经济意义是什么？(1)令)()(P S P D =,即105600-=P P,得均衡价格80=P . 此时的供给量70805600)80(==D ,需求量701080)80(=-=S . (2) 图形> plot([5600/p,p-10],p=8..100);(3)令010)(=-=P P S ,得10=P ,说明只有当商品的价格超过10时,才有厂家愿意生产并提供该商品出售.7、某化肥厂生产某产品1000吨,每吨定价为130元,销售量在700吨以内时,按原价出售,超过700吨时超过的部分需打9折出售,请将销售总收益与总销售量的函数关系用数学表达式表出.解：设总销售量为Q 吨, 销售总收益为R 元,依题意有(1)当7000≤≤Q 时, Q R 130=； (2)当1000700≤<x 时,9100117)700(%90130700130+=-⨯⨯+⨯=Q Q R .所以⎩⎨⎧≤<+≤≤=.1000700 ,9100117,7000 ,130Q Q Q Q R8、某饭店现有高级客房60套,目前租金每天每套200元则基本客满,若提高租金,预计每套租金每提高10元均有一套房间空出来,试问租金定为多少时,饭店房租收入最大？收入多少元？这时饭店将空出多少套高级客房？解：依题意,设每套租金提高n 10元,59,,2,1,0 =n ,饭店房租收入为1200040010)60)(10200(2++-=-+=n n n n R16000)20(102+--=n . 可见,当20=n 时, 房租收入达到最大16000=R 元,此时每套租金为4002010200=⨯+元,这时饭店将空出20=n 套高级客房.。
高数第一册习题及答案
高数第一册习题及答案第一章初等函数及其图形练习1.1 初等函数及其图形一. 确定下列各函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数:x,xf(x),a，a 1. (); a,0x,xx,x，，，，，，？f,x,a，a,fx？fx,a，a解: 为偶函数.1,xf(x),ln2.; 1，x1，x1,x1,x解: ，，, ，，，，为奇函数. ？fx,ln？f,x,ln,,ln,,fx1，x1,x1，x23. f(x),ln(x，1，x)122，，，，，，，，？f,x,ln,x，1，x,ln,,lnx，1，x,,fx解: , 2x，1，x 2为奇函数. ，，，，？fx,lnx，1，x二. 设f(sinx),3,cos2x,求f(cosx)。
22，，，，？fsinx,3,cos2x,2，2sinx？fcosx,2，2cosx解: ,f(x)，,x,0,x,0三.设f(x)在(0,)上定义, 。
求证: 若单调上升,则12xf(x，x),f(x)，f(x)。
1212fx，，，，fx，，，，，，？gx，x,gx,解: 令gx,, ？单调上升, 121xx ，，，，，，gx，x,gx x,x,0, 故12212，，，，，，，，，，，，，，fx，x,x，xgx，x,xgx，x，xgx，x,xgx，xgx 1212121122121122，，，，,fx，fx. 12f(x),arccosx,g(x),sinxf(g(x)),g(f(x))四. 设,试求复合函数的定义域和值域,并作图。
，，，，，，，，,,fgx,arccossinxD,,,.，,R,0,,解: , , ，，，，，，,,,,gfx,sinarccosxD,,1,1R,0,1, , .,x,1,x,0,,0xx,,f(x), , 求复合函数。
五.设(),f(g(x)),g(f(x))gx,,2,x,x,0xx,0,,,x,1,,1,x,0,,,1,,0xx,,2，，，，，，gfx,,1，x,x,,1,解: , fgx，，，，,,2x,1,x,0,2,,x,x,0,第二章极限与连续2.1 数列极限一. 填空:n,12,n|x,1|,,x,1.设,对于任意的正数,当大于正整数[,1]时, ,所以N,nnn，1, ,4n|x,1|,10;当大于正整数19.999时, 。
高等数学第一章函数例题及答案
高等数学第一章 函数、极限、连续§1．1 函数一．求函数的定义域例1．求函数()2100ln ln ln x x x f -+=的定义域 例2．求5ln 1-+-=x x x y 的定义域例3．设()x f 的定义域为[]()0,>-a a a ，求()12-x f 的定义域 例4．设()⎩⎨⎧≤≤<≤=42 ,220 ,1x x x g 求()()()12-+=x g x g x f 的定义域，并求⎪⎭⎫ ⎝⎛23f 。
二．求函数的值域 例1．求3311-=x ey 的值域例2．求()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤---<-==2,2122,52,323x x x x x x x f y 的值域，并求它的反函数 三．求复合函数有关表达式 1．已知()x f 和()x g ，求()[]x g f 例1．已知()1-=x xx f ，求()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11x f f 例2．设()21x x x f +=，求()()[]()重复合n x f x f f f n =例3．设()⎩⎨⎧>≤-=2,02,42x x x x f ，求()[]x f f 2．已知()x g 和()[]x g f ，求()x f 例1．设()x e e e f x xx++=+21，求()x f例2．已知()xxxee f -='，且()01=f ，求()x f例3．设()x x fsin =，求()x f '例4．已知()x x f 2cos 3sin -=，求证()x x f 2cos 3cos += 3．已知()x f 和()[]x g f ，求()x g例．已知()()x x f +=1ln ，()[]x x g f =，求()x g 解：()[]x fx g 1-=实际上为求反函数问题()[]()[]x x g x g f =+=1ln ，()x e x g =+1 ()1-=x e x g 4．有关复合函数方程 例．设()x x f x x f 2311-=⎪⎭⎫⎝⎛-+，求()x f 四．有关四种性质例1．设()()x f x F ='，则下列结论正确的是[ ]（A ）若()x f 为奇函数，则()x F 为偶函数。
高等数学第一章测试题
高等数学第一章测试题测试题一：导数与求导法则1. 求以下函数的导数：(a) $y = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 7x + 4$(b) $y = \sqrt{2x^3 + 5x^2 - 3x + 1}$(c) $y = e^x \cdot \ln{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$2. 利用导数的定义计算以下函数在给定点处的导数：(a) $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$，在点$x = 2$处的导数(b) $g(x) = \frac{1}{x^2}$，在点$x = -1$处的导数(c) $h(x) = \sin{x}$，在点$x = \frac{\pi}{4}$处的导数3. 根据给定函数的导数，确定函数的表达式：(a) 已知函数$f'(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 1$，求$f(x)$。
(b) 已知函数$g'(x) = \frac{1}{x^2} - 3x$，求$g(x)$。
(c) 已知函数$h'(x) = e^x \cdot \cos{x}$，求$h(x)$。
测试题二：微分与应用1. 计算以下函数在给定点处的微分：(a) $y = \sqrt{x^2 + 3x + 2}$，在点$x = 2$处的微分(b) $y = e^x \cdot \ln{x}$，在点$x = 1$处的微分(c) $y = \sin{x} \cdot \cos{2x}$，在点$x = \frac{\pi}{6}$处的微分2. 使用微分，求以下函数的近似值：(a) $f(x) = \sqrt[3]{x}$，当$x$接近于$8$时的近似值(b) $g(x) = \ln{(1 + x)}$，当$x$接近于$0$时的近似值(c) $h(x) = e^{2x}$，当$x$接近于$0$时的近似值3. 利用微分进一步求解以下问题：(a) 当物体从起点开始以速度$v(t) = 5t - 2$移动时，求$t = 3$时的位移。
高等数学习题(第一章)
第一章函数与极限第一节映射与函数习题1.11.设),4()6,( A ，)4,9[ B ，写出B A ，B A ，B A \，)\(\B A A 。
2.设A 、B 、C 是任意三个集合，证明对偶律：cc c B A B A )(。
3.求下列函数的自然定义域：（1）x y cos；（2）)1tan(x y ；（3）)2arcsin( x y ；（4）xx y 1arctan5 ；4.下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？（1）)(x f =2lg x ，)(x g =x lg 2；（2）)(x f =334x x ，)(x g =x x x 1 ；5.设3,03,sin )( x x x x ，求6( ，4( ，)4( ，)2( ，并作出函数)(x y 的图形.6.试证下列函数在指定区间内的单调性：（1）xxy1，)1,( ；（2）x x y ln ，),0( 7.设)(x f 为定义在),(l l 内的奇函数，若)(x f 在),0(l 内单调增加，证明)(x f 在)0,(l 内也单调增加。
8.设下面所考虑的函数都是定义在区间),(l l 上的，证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
9.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？（1）)1(24x x y ；（2）323x x y ；（3）)1ln(2 x x y .10.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）)2sin( x y ；（2）x y 4sin ；（3）x y 2cos .11.求下列函数的反函数：（1）y 35 x ；（2）xxy22；（3）)3ln(1 x y .12.设函数)(x f 在数集X 上有定义，试证：函数)(x f 在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界。
《高数第一章习题》word版
《高数第一章习题》word版高数第一章习题1.设函数y=f(x)，其中f(x)表示x的平方加上2x的倒数，求f(3)的值。
解：根据题意，我们需要计算f(3)的值。
将x=3代入函数y=f(x)中，得到f(3)=3^2+2*(1/3)=9+2/3=9 2/3。
所以，f(3)的值为9 2/3。
2.已知函数y=f(x)，其中f(x)表示x的平方减去2x的平方根，求f(-4)的值。
解：根据题意，我们需要计算f(-4)的值。
将x=-4代入函数y=f(x)中，得到f(-4)=(-4)^2-2sqrt(-4)=16-22i=16-4i。
所以，f(-4)的值为16-4i。
3.设函数y=f(x)，其中f(x)表示x的立方减去x的平方加上2x的倒数，求f(2)的值。
解：根据题意，我们需要计算f(2)的值。
将x=2代入函数y=f(x)中，得到f(2)=2^3-2^2+2*(1/2)=8-4+1=5。
所以，f(2)的值为5。
4.已知函数y=f(x)，其中f(x)表示x的立方加上x的平方减去2x的倒数，求f(0)的值。
解：根据题意，我们需要计算f(0)的值。
将x=0代入函数y=f(x)中，得到f(0)=0^3+0^2-2*(1/0)=0+0-2*(无穷大)。
由于2*(无穷大)是无穷大，所以f(0)的值不存在。
5.设函数y=f(x)，其中f(x)表示x的平方减去2x的平方根的倒数，求f(1)的值。
解：根据题意，我们需要计算f(1)的值。
将x=1代入函数y=f(x)中，得到f(1)=1^2-2*sqrt(1)=1-2= -1。
所以，f(1)的值为-1。
答案：1. f(3)=9 2/3； 2. f(-4)=16-4i； 3. f(2)=5； 4. f(0)不存在； 5. f(1)=-1。
高数第一章函数练习题
第一章 函数一. 单项选择题1.1设xx x f )1ln()(2+=，则=-)(x e f ( ); (A) )1ln(2x x e e+- (B) )1ln(2x x e e -+ (C) )1ln(2x xe e --+ (D) )1ln(2x x e e + 1.2 函数)1ln()(2x x xf -+=为( )；(A) 奇函数 B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 既是奇函数又是偶函数1.3 如果函数)(x f 的定义域为],2,1[则函数]ln 1[x f -的定义域为（ ）（A ）]2ln 1,1[- （B ）(0,1] （C ）],1[e （D ）]1,1[e1.4 如果函数xx f -=11)(,求=)]([x f f （ ） （A ）x x 1- （B ）x x 1+ （C ）1-x x （D ）1+x x 1.5 下列函数为偶函数的是（ ）（A ）x x sin 3- （B ）x x （C ）)cos(sin x （D ）x x cos sin +1.6下列函数为奇函数的是（ ）（A ）x x sin 2+ （B ）)sin(cos x （C ）)cos(sin x （D ）x x 1.7 函数y =的定义域为（ ）； （A ）(1,1)- （B ）(1,)+∞ （C ）(,1)-∞- （D ）(,1)(1,)-∞-⋃+∞1.8下列函数为奇函数的是（ ）（A ）2sin x （B ）2sin x （C ）1-x x （D ）2cos x 1.9设函数xx f -=11)(, 则=)]([x f f ( )； A. x x 1- B. x x 1+ C. 1-x x D. 1+x x 1.10函数11x x e y e -=+是 ( )； A ．偶函数 B ．奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．无法判断1.11 周期函数1+cos 2x π周期为( )(A) 2π (B) 2 (C) 4 (D) π1.12 下列函数（ ）不是周期函数(A)2sin y x = (B)2sin y x = (C)cos(2)y x =- (D)arctan(tan )y x = 1.13 函数2xx e e -+为( )(A) 偶函数 (B) 奇函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 周期函数1.14 函数2xx e e --为( )(A) 偶函数 (B) 奇函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 周期函数1.15 设函数()21f x x x +=+，则f(x)=（ ）A. x (x+1) B ．x (x-1)C. (x+1) (x-2) D ．(x-1) (x+2)1.16 设函数)(x f 的定义域为]4 ,1[ ，则函数)()(2x f x f + 的定义域为 ( );(A) ]4 ,1[ (B) ]2 ,1[ (C) ]2 ,2[- (D) ]2 ,1[]1 ,2[Y --1.17 若1)(3+=x x f ，则=+)1(3x f ( );(A) 13+x (B) 26+x (C) 29+x (D) 233369+++x x x1.19 己知函数)(x f 的定义域为()0 ,1-,则下列函数中( )的定义域为()1 ,0 ;(A) )(x f - (B) )1(x f - (C) )1(x f + (D) )1(2-x f1.20 )0( 1)1(2>++=x x x xf ，则=)(x f ( ) (A) )0( 12>++x x x (B) )0( 112<++x x x(C) )0( 112>++x x (D) )0( 112>++x x x二. 填空题1.21．如果函数)(x f 的定义域为],1,0[则函数)(xe f 的定义域为 ;1.23 函数y =+的定义域为1.25 函数29)1ln(x x y --=的定义域为1.26 设,12cos )(sin +=x x f 则=)(x f1.27设,2)(+=x e x f ,))((2x x f =ϕ则=)(x ϕ1.29 设)1ln()(,43)(2x x x x x f +=+=ϕ,则 ))((x f ϕ的定义城为1.30如果函数)(x f 的定义域为],1,0[则函数)(xe f 的定义域为三. 计算题与证明题 1.31求函数,21111)(22⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=x x x x x f 的定义域，并作该函数图形. 1.32设)(x f 是定义在对称区间内的任意一个函数，证明： 2)()()(x f x f x F --=为奇函数，2)()()(x f x f x G -+=为偶函数.( 提示：利用奇、偶函数的定义 1.33 证明：定义在对称区间内的任何函数均可表为一个奇函数与一个偶函数之和.。
(完整word版)高等数学第一章函数与极限试题
高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（A ） F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数 2．设函数,11)(1-=-x xe xf 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.3．设f (x)=xx 1-，x ≠0,1,则f [)(1x f ]= ( )A ） 1－xB ） x-11 C ） X1 D ） x4．下列各式正确的是 ( ) A ）lim0+→x )x1+1(x=1 B ） lim 0+→x )x1+1(x=e C ） lim ∞→x )x 11－(x=-e D ） lim ∞→x )x1 +1(x-=e 5．已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ( )。
A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。
6．极限：=+-∞→xx x x )11(lim ( ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e7．极限：∞→x lim 332x x +=（ ）A.1；B.∞；C.0；D.2．8．极限：xx x 11lim-+→=（ ） A.0； B.∞； C 21； D.2．9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞+→=（ ）A.0；B.∞；C.2；D.21．10．极限: xxx x 2sin sin tan lim 30-→=（ ） A.0； B.∞； C.161； D.16．二. 填空题11．极限12sin lim 2+∞→x xx x = . 12. lim→x xarctanx =_______________.13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0x f x f x x =_______________；14.=→x xx x 5sin lim0___________； 15. =-∞→n n n)21(lim _________________； 16. 若函数23122+--=x x x y ，则它的间断点是___________________17. 绝对值函数 ==x x f )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,x x x x xx 其定义域是 ,值域是18. 符号函数 ==x x f sgn )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1;0,0;0,1x x x其定义域是 ，值域是三个点的集合()()x x x x f 25lg 12-+-+=19. 无穷小量是 20. 函数)(x f y =在点x0 连续，要求函数yf (x) 满足的三个条件是三. 计算题21.求).111(lim 0x ex xx --+-→ 22.设f(e 1-x )=3x-2,求f(x)(其中x>0); 23.求lim 2 x →(3－x)25--x x ;24.求lim ∞→ x (11-+x x )x; 25.求lim x →)3(2tan sin 22x x x x +26. 已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，求a 的值； 27. 计算极限nnnn 1)321(lim ++∞→28.求它的定义域。
高数(第1章)习题
第一章 函数与极限§1 映射与函数一、 求下列函数的定义域（1）y =（2）1arctan y x=. 二、判断下列函数的奇偶性(1) x x x f 1sin )(2=； (2)1212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f .三、设)(x f 的定义域是[0,1]，求下列函数的定义域(1) )(x e f ； (2) )(ln x f .(3) ()()(0)f x a f x a a ++->.四、求下列函数的反函数(1) 11x y x -=+； (2) 221x x y =+. 五、(1) 设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -.(2) 设1,1()0,1,()1,1x x f x x g x e x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩，计算[][](),()f g x g f x§2 数列的极限一、 写出下列数列的前五项 (1) 3sin 31n n x n =; (2) nx n x n n n )1(1211122-=+++=-， . 二、已知nx nn )1(1-+=，用定义证明：0lim =∞→n n x . 三、用极限定义证明：(1) 若)(∞→→n a x n ，则对任一自然数k ，也有)(∞→→+n a x k n ;(2) 若)(∞→→n a x n ，则)(||||∞→→n a x n ，并举例说明反之未必成立.§3 函数的极限一、 用极限的定义证明(1) 2lim(52)12x x →+=;(2) lim 0x =. 二、研究下列函数在0=x 处的左、右极限，并指出是否有极限 (1)xx x f ||)(=； (2)⎪⎩⎪⎨⎧<+=>-=0,10,00,1)(2x x x x x x f .§4 无穷大与无穷小 §5 极限运算法则一、根据定义证明：(1) 1sin y x x=为当0x →时的无穷小； (2) 12x y x+=为当0x →时的无穷大。
高等数学第一章习题
第一章 函数第一节 函数的概念1． 求下列函数的定义域：（1）y = （2）121y x =-（3）y =（4）sin y =（5）y =arcsin(x -3)（6）1ln(1)y x =-（7）y =（81arctan y x =）2．设f (x )的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域:(1) f (e x );(2) f (ln x );(3) f (arctan x );(4) f (cos x ).3．设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2)。
.4．设32(3)2251,()f x x x x f x +=-+-求；5．设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )]。
..第二节 函数的几种特性1．试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).2．设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.3．证明21()f x x=在()0,1内无界4．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数,指出其周期:(1)y=cos(x-2);(2)y=cos 4x;(3)y=1+sin πx;(4)y=x cos x;(5)y=sin2x.第三节 初等函数1．在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; (2) y =sin u , u =2x , ,81π=x ,42π=x ; (3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;(4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1.2．下列初等函数由哪些基本初等函数复合而成？（1）()2arccos 1y x =-（2）2sec 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（3）(sin cos y ⎡⎤=⎣⎦（4）y =3．将下列三角函数积化和差：（1）sin 2sin8αα （2）sin5cos3αα（3）cos6sin 2αβ （4）cos3cos 4αβ4．证明：（1）arcsin arccos 2x x π+=（2）arctan cot 2x arc x π+=5．证明：（1）()sh x y shxchy chxshy ±=±（2）()ch x y chxchy shxshy ±=±6．证明：（1）反双曲正弦函数(ln y arshx x ==（2）反双曲余弦函数(ln y archx x ==7．下列函数是否为初等函数？（1）y x = （2）(sin y = （3）xy x x =+ （4）311112x x x y e x ⎧--≤≤=⎨<≤⎩第四节 两个常用不等式1． 设12,,...,n a a a 是n 个正数，称12111(...)n na a a +++为12,,...,n a a a 的调和平均值，利用算术平均值与几何平均值的关系证明几何平均值与调和平均值的关系：对任意n 个正数12,,...,n a a a有12111(...)nn a a a ≤+++2.证明下列不等式：（1）1212......n n x x x x x x +++≤+++（2）1212...(...)n n x x x x x x x x ++++≥-+++总复习题一1．填空题．（1）设()f x =，则()f x 的定义域为（2）设101(),212x f x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩则(2)f x +的定义域为 （3）设()1f x x =+，则1f f x ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=（4）设21()1424x x x f x xx x -∞<<⎧⎪=≤≤⎨⎪<<+∞⎩，则其反函数是2．选择题： （1）已知()f x 在[]2,2-上为偶函数 ，且()[]()222,0f x x x x =+∈-，那么当[]0,2x ∈时，()f x 的表达式为（） ()()()()22222,2,2,2.A x x B x x C x x D x x +--+--（2）设()g x 在[],a b 上单调，()f x 在()(),g a g b ⎡⎤⎣⎦上单调，则()()f g x -（ ） ()[]()[]()[]()[]A .在a,b 上单增，B 在a,b 上单减，C 在-b,-a 上单增，D 在-b,-a 上单减（3）下列函数中是偶函数的应为（ ）()()(()()[]()()()((()()()2ln ,22,sgn cos x x A f x x B f x x C f x D f x x x ===+=⋅（4）下列函数中不是周期函数的应为（ ）()()()()()()()()[]2sin ,sincos 23sin 2cos ,x x A f x x B f x C f x x x D f x x x π==+=+=-3.计算题。
高等数学 第一章 函数习题
习题一1．y ＝lg （－x 2）是不是函数关系？为什么？2．Y ＝112--x x 与y ＝x ＋1是不是相同的函数关系？什么？ 3．确定下列函数定义域：（1）y ＝29x - （2）y ＝211x -＋2+x（3）y ＝452+-x （4）y ＝arcsin 21-x （5）y ＝1－e 1－x2 （6）y ＝1||)3lg(--x x （7）y ＝45lg 2x x - （8）y ＝6712arccos 2---x x x4．已知 f （x ）＝x 2－3x ＋2，求f （0），f （1），f （2），f （－x ），f （x 1），f （x ＋1） 5．设f （x ）＝xx -1，求f[f (x)]和f{f[f (x)]} 6．如果f （x ）＝x 5－2x 3＋3x ，证明f （－x ）＝－f （x ） 7．如果f （x ）＝11+---x x e e ，证明f （－x ）＝－f （x ） 8．如果f （x ）＝xx cos 12-，证明f （－x ）＝f （x ） 9．如果f （x ）＝a x ，证明f （x ）·f （y ）＝f （x ＋y ），)()(y f x f ＝f （x －y ） 10．如果f （x ）＝log a x ，证明f （x ）＋f （y ）＝f （x·y ）， f （x ）－f （y ）＝f （yx ） 11．确定下列函数的定义域并作出函数图形： （1）f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>010001x x x（2））f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-2||111||12x x x x 12．将函数y ＝5－|2x －1|用分段形式示，作出函数图形。
13．设f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧>=<010001x x x ，求f （x －1），f （x 2－1） 14．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤=+21210)1(2x x x x x ϕ，求)(x ϕ15．判断下列函数的奇偶性：（1）y ＝21x（2）y ＝tanx （3）y ＝a x （4）y ＝2xx a a -+ （5）y ＝x ＋sinx （6）y ＝xe x（7）y ＝lg xx +-11 16．判断下列函数的单调增减性： （1）y ＝2x ＋1 （2）y ＝（21）x （3）y ＝log a x （4）y ＝1－3x 2（5）y ＝x ＋lgx17．函数y ＝cos3x 的周期是多少？18．求下列函数的反函数：（1）y ＝2x ＋1 （2）y ＝22-+x x （3）y ＝x 3＋2 （4）y ＝1＋lg （x ＋2）19．如果y ＝u 2， u ＝log a x ，将y 表成x 的函数。
高数练习题 第一章 函数与极限
‰高等数学(Ⅰ)练习 第一章 函数、极限与连续________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______习题一 函数一．选择题 1.函数216ln 1x xx y -+-=的定义域为 [ D ] （A ）（0，1） （B ）(0,1)⋃(1,4) （C ）(0,4) （D ）4,1()1,0(⋃] 2.3arcsin 2lgxx x y +-=的定义域为 [ C ] （A ）)2,3(]3,(-⋃-∞ （B ）(0,3) （C ）]3,2()0,3[⋃- （D ）),3(+∞- 3．函数)1ln(2++=x x y 是 [ A ]（A ）奇函数 （B ）非奇非偶函数 （C ）偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 4．下列函数中为偶函数且在)0,(-∞上是减函数的是 [ D ]（A ）222-+=x x y （B ）)1(2x y -= （C ）||)21(x y = （D ）.||log 2x y =二．填空题1. 已知),569(log )3(22+-=x x x f 则=)1(f 22. 已知,1)1(2++=+x x x f 则=)(x f3. 已知xx f 1)(=,x x g -=1)(, 则()=][x g f4. 求函数)2lg(1-+=x y 的反函数5. 下列函数可以看成由哪些基本初等函数复合而成 (1) x y ln tan 2=：(2) 32arcsin lg x y =：__________ _____________________三.计算题1．设)(x f 的定义域为]1,0[, 求)(sin ),(2x f x f 的定义域21x x -+1102()x y x R -=+∈11x -2,tan ,ln ,y u u v v w w ====23,lg ,arcsin ,y v v w w t t x =====2()[11](sin )[2,2]()f x f x k k k Z πππ-+∈的定义域为，的定义域为2.设⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=2||111||1)(2x x x x x ϕ , 求)23(),21(),1(ϕϕϕ-, 并作出函数)(x y ϕ=的图形.4.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角40=ϕ（图1-22）。
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第一章 函数
一. 单项选择题
1.1设x
x x f )1ln()(2+=，则=-)(x e f ( ); (A) )1ln(2x x e e
+- (B) )1ln(2x x e e -+ (C) )1ln(2x x e e --+ (D) )1ln(2x x e e +
1.2 函数)1ln()(2x x x f -+=为( )；
(A) 奇函数 B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 既是奇函数又是偶函数
1.3 如果函数)(x f 的定义域为],2,1[则函数]ln 1[x f -的定义域为（ ）
（A ）]2ln 1,1[- （B ）(0,1] （C ）],1[e （D ）]1,1
[e
1.4 如果函数x
x f -=
11)(,求=)]([x f f （ ） （A ）x x 1- （B ）x x 1+ （C ）1-x x （D ）1+x x 1.5 下列函数为偶函数的是（ ）
（A ）x x sin 3- （B ）x x （C ）)cos(sin x （D ）x x cos sin +
1.6下列函数为奇函数的是（ ）
（A ）x x sin 2+ （B ）)sin(cos x （C ）)cos(sin x （D ）
x x 1.7 函数
y =
的定义域为（ ）； （A ）(1,1)- （B ）(1,)+∞ （C ）(,1)-∞- （D ）(,1)(1,)-∞-⋃+∞
1.8下列函数为奇函数的是（ ）
（A ）2sin x （B ）2sin x （C ）
1-x x （D ）2cos x 1.9设函数x
x f -=11)(, 则=)]([x f f ( )； A. x x 1- B. x x 1+ C. 1-x x D. 1
+x x 1.10函数11
x x e y e -=+是 ( )； A ．偶函数 B ．奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．无法判断
1.11 周期函数1+cos 2x π
周期为( )
(A) 2π (B) 2 (C) 4 (D) π
1.12 下列函数（ ）不是周期函数
(A)2sin y x = (B)2
sin y x = (C)cos(2)y x =- (D)arctan(tan )y x = 1.13 函数2x
x e e -+为( )
(A) 偶函数 (B) 奇函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 周期函数
1.14 函数2x
x e e --为( )
(A) 偶函数 (B) 奇函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 周期函数
1.15 设函数()21f x x x +=+，则f(x)=（ ）
A. x (x+1) B ．x (x-1)
C. (x+1) (x-2) D ．(x-1) (x+2)
1.16 设函数)(x f 的定义域为]4 ,1[ ，则函数)()(2x f x f + 的定义域为 ( );
(A) ]4 ,1[ (B) ]2 ,1[ (C) ]2 ,2[- (D) ]2 ,1[]1 ,2[ --
1.17 若1)(3+=x x f ，则=+)1(3x f ( );
(A) 13+x (B) 26+x (C) 29+x (D) 233369+++x x x
1.19 己知函数)(x f 的定义域为()0 ,1-,则下列函数中( )的定义域为()1 ,0 ;
(A) )(x f - (B) )1(x f - (C) )1(x f + (D) )1(2-x f
1.20 )0( 1)1
(2>++=x x x x
f ，则=)(x f ( ) (A) )0( 12
>++x x x (B) )0( 112<++x x x
(C) )0( 112
>++x x (D) )0( 112>++x x x
二. 填空题
1.21．如果函数)(x f 的定义域为],1,0[则函数)(x
e f 的定义域为 ;
1.23 函数y =+的定义域为
1.25 函数29)
1ln(x x y --=的定义域为
1.26 设,12cos )(sin +=x x f 则=)(x f
1.27设,2)(+=x e x f ,))((2x x f =ϕ则=)(x ϕ
1.29 设)1ln()(,43)(2
x x x x x f +=+=ϕ,则 ))((x f ϕ的定义城为
1.30如果函数)(x f 的定义域为],1,0[则函数)(x
e f 的定义域为
三. 计算题与证明题 1.31求函数,21111)(22
⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=x x x x x f 的定义域，并作该函数图形. 1.32设)(x f 是定义在对称区间内的任意一个函数，证明： 2)()()(x f x f x F --=
为奇函数，2
)()()(x f x f x G -+=为偶函数.( 提示：利用奇、偶函数的定义 1.33 证明：定义在对称区间内的任何函数均可表为一个奇函数与一个偶函数之和.。