黄金分割法 二次插值 牛顿 matlab 程序一维搜索方法比较
《机械优化设计》试卷及答案 新 全
《机械优化设计》复习题及答案一、选择题1、下面 方法需要求海赛矩阵。
A 、最速下降法B 、共轭梯度法C 、牛顿型法D 、DFP 法2、对于约束问题()()()()2212221122132min 44g 10g 30g 0f X x x x X x x X x X x =+-+=--≥=-≥=≥根据目标函数等值线和约束曲线，判断()1[1,1]T X =为 ，()251[,]22TX =为 。
A ．内点；内点B. 外点；外点C. 内点；外点D. 外点；内点3、内点惩罚函数法可用于求解__________优化问题。
A 无约束优化问题B 只含有不等式约束的优化问题C 只含有等式的优化问题D 含有不等式和等式约束的优化问题4、对于一维搜索，搜索区间为[a ，b]，中间插入两个点a 1、b 1，a 1<b 1，计算出f(a 1)<f(b 1)，则缩短后的搜索区间为___________。
A [a 1，b 1]B [ b 1，b]C [a1，b]D [a，b1]5、_________不是优化设计问题数学模型的基本要素。
A设计变量B约束条件C目标函数D 最佳步长6、变尺度法的迭代公式为x k+1=x k-αk H k▽f(x k)，下列不属于H k必须满足的条件的是________。
A. H k之间有简单的迭代形式B.拟牛顿条件C.与海塞矩阵正交D.对称正定7、函数)(Xf在某点的梯度方向为函数在该点的。
A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四种无约束优化方法中，__________在构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数。
A 梯度法B 牛顿法C 变尺度法D 坐标轮换法9、设)f在R上为凸函数的(X(Xf为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则)充分必要条件是海塞矩阵G(X)在R上处处。
A 正定B 半正定C 负定D 半负定10、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述，错误的是，。
优化设计复习题(原)
word 教育资料优化设计复习题一、单项选择题(在每小题列出的选项中只有一个选项是符合题目要求的)1.多元函数F(X)在点X *附近偏导数连续， F ’(X *)=0且H(X *)正定，则该点为F(X)的（ ） ①极小值点 ②极大值点 ③鞍点 ④不连续点 2.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（ ） ①凸函数 ②凹函数 3.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ） ①0.382 ②0.186 ③0.618 ④0.816 4.在单峰搜索区间[x 1,x 3](x 1<x 3)内，取一点x 2，用二次插值法计算得x 4(在[x 1,x 3]内)，若x 2>x 4,并且其函数值F （x 4）<F(x 2)，则取新区间为（ ） ①[x 1,x 4] ②[x 2,x 3] ③[x 1,x 2] ④[x 4,x 3] 5.用变尺度法求一n 元正定二次函数的极小点，理论上需进行一维搜索的次数最多为（ ） ①n 次 ②2n 次 ③n+1次 ④2次6.下列特性中，梯度法不具有的是（ ） ①二次收剑性 ②要计算一阶偏导数 ③对初始点的要求不高 ④只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向 8.对于极小化F(X)，而受限于约束g μ(X)≤0(μ=1,2,…,m)的优化问题，其内点罚函数表达式为（ ） ① Ф(X,r (k))=F(X)-r(k)11/()gX u u m=∑② Ф(X,r (k))=F(X)+r(k)11/()gX u u m =∑③ Ф(X,r (k))=F(X)-r(k)max[,()]01gX u u m=∑④ Ф(X,r (k))=F(X)-r (k)min[,()]01g X u u m=∑9.外点罚函数法的罚因子为（ ） ①递增负序列 ②递减正序列 ③递增正序列 ④递减负序列 10．函数F （X ）为在区间［10，20］内有极小值的单峰函数，进行一维搜索时，取两点13和16，若F （13）<F （16），则缩小后的区间为（ ） ①［10,16］ ②［10,13］ ③［13,16］ ④［16，20］ 11．多元函数F （X ）在X ＊处存在极大值的充分必要条件是：在X *处的Hesse 矩阵（ ） ①等于零 ②大于零 ③负定 ④正定 12．对于函数F （x ）=x 21+2x 22，从初始点x (0)={1,1}T 出发，沿方向s (0)={-1,-2}T进行一维搜索，最优步长因子为（ ）①10／16 ②5／9 ③9／34 ④1／213．目标函数F （x ）=x 21+x 22－x 1x 2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=x 1+x 2-1=0,则目标函数的极小值为（ ） ①1 ②0.5 ③0.25 ④0.1 14. 优化设计的自由度是指( )① 设计空间的维数 ② 可选优化方法数 ③ 所提目标函数数 ④ 所提约束条件数 15. 在无约束优化方法中，只利用目标函数值构成的搜索方法是( ) ①梯度法 ② Powell 法 ③共轭梯度法 ④变尺度法 17. 利用0.618法在搜索区间［a,b ］内确定两点a 1=0.382,b 1=0.618，由此可知区间［a,b ］的值是( ) ①［0,0.382］ ② ［0.382,1］ ③ ［0.618,1］④ ［0,1］18. 已知函数F(X)=x 12+x 22-3x 1x 2+x 1-2x 2+1，则其Hesse 矩阵是( ) ① ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2332 ② ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2332③ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112 ④ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3223 19. 对于求minF(X)受约束于g i (x)≤0(i=1,2,…,m)的约束优化设计问题，当取λi ≥0时，则约束极值点的库恩—塔克条件为( )①()i i 1F X g (X)mi λ=∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子② ()i i 1F X =g (X)mi λ=-∇∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子③ ()i i 1F X g (X)qi λ=∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数④()i i 1F X g (X)qi λ=-∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数20. 在共轭梯度法中，新构造的共轭方向S (k+1)为( ) ① S (k+1)= ∇F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数② S (k+1)=∇F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 ③ S (k+1)=-∇F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数④ S (k+1)=-∇F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 21. 用内点罚函数法求目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c-x ≤0的约束优化设计问题，其惩罚函数表达式为( ) ① (k)1ax b r c-x+-，r (k)为递增正数序列② (k)1ax b r c-x +-，r (k)为递减正数序列 ③ (k)1ax b r c-x ++，r (k)为递增正数序列word 教育资料④ (k)1ax b r c-x++，r (k)为递减正数序列22. f(x)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中的一点，x 4为利用二次插值法求得的近似极值点，若x 4-x 2＜0,且f(x 4)≥f(x 2)，则新的搜索区间为( )① ［x 1,x 4］ ② ［x 2,x 3］ ③ ［x 1,x 2］ ④［x 4,x 3］23. 已知F(X)=x 1x 2+2x 22+4,则F(X)在点X (0)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11的最大变化率为( )① 10 ② 4 ③ 2 ④ 1024.试判别矩阵1111⎡⎣⎢⎤⎦⎥，它是（ ）矩阵 ①单位 ②正定矩 ③负定 ④不定 ⑤半正定 ⑥半负定 25.约束极值点的库恩——塔克条件为：-∇=∇=∑F X g Xii qi()()**λ1，当约束函数是g i (X)≤0和λi>0时，则q 应为（ ）①等式约束数目 ②不等式约束数目 ③起作用的等式约束数目 ④起作用的不等式约束数目26.在图示极小化的约束优化问题中，最优点为（ ） ①A ②B ③C ④D27.内点罚函数(X,r (k))=F(X)-r (k)101g X g X u u u m(),(())≤=∑，在其无约束极值点X ·(r (k))逼近原目标函数的约束最优点时，惩罚项中（ ） ①r (k)趋向零，11g X u u m()=∑不趋向零 ②r (k)趋向零，11g X u u m()=∑趋向零 ③r (k)不趋向零，11g X u u m()=∑趋向零 ④r (k)不趋向零，11g X u u m()=∑不趋向零 29.0.618法在迭代运算的过程中，区间的缩短率是（ ）①不变的 ②任意变化的 ③逐渐变大 ④逐渐变小 30.对于目标函数F(X)受约束于g u (X) ≤0(u=1,2,…，m)的最优化设计问题，外点法惩罚函数的表达式是（ ）①()()(k)(k)2()1X,M F X M {max[(),0]},mk u u g X M =Φ=+∑为递增正数序列②()()(k)(k)2()1X,M F X M {max[(),0]},mk u u g X M =Φ=+∑为递减正数序列③()()(k)(k)2()1X,M F X M {min[(),0]},mk u u g x M =Φ=+∑为递增正数序列 ④()()(k)(k)2()1X,MF X M {min[(),0]},mk uu g x M=Φ=+∑为递减正数序列31.对于二次函数F(X)=12X T AX+b T X+c,若X *为其驻点，则▽F(X *)为（ ）①零 ②无穷大 ③正值 ④负值 32.在约束优化方法中，容易处理含等式约束条件的优化设计方法是（ ）①可行方向法 ②复合形法 ③内点罚函数法 ④外点罚函数法33．已知F(X)=(x 1-2)2+x 22,则在点X (0)=00⎧⎨⎩⎫⎬⎭处的梯度为（ ）①∇=⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()000 ②∇=-⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()020 ③∇=⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()040 ④∇=-⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()04034．Powell 修正算法是一种（ ）①一维搜索方法②处理约束问题的优化方法③利用梯度的无约束优化方法④不利用梯度的无约束优化方法 二、多项选择题(在每小题列出的多个选项中有两个以上选项是符合题目要求的，多选、少选、错选均无分) 35.下列矢量组中，关于矩阵A=105051--⎡⎣⎢⎤⎦⎥..共轭的矢量组是（ ）①s 1={0 1} ,s 2={1 0}T②s 1={-1 1}T ,s 2={1 1}T③s 1={1 0}T ,s 2={1 2}T④s 1={1 1}T ,s 2={1 2}T⑤.s 1={1 2}T ,s 2={2 1}T36. 对于只含不等式约束的优化设计问题，可选用的优化方法有( )① Powell 法 ② 变尺度法 ③ 内点罚函数法 ④ 外点罚函数法E. 混合罚函数法37. 根据无约束多元函数极值点的充分条件，已知驻点X*，下列判别正确的是( )①若Hesse矩阵H(X*)正定，则X*是极大值点②若Hesse矩阵H(X*)正定，则X*是极小值点③若Hesse矩阵H(X*)负定，则X*是极大值点④若Hesse矩阵H(X*)负定，则X*是极小值点⑤若Hesse矩阵H(X*)不定，则X*是鞍点38.下述Hesse矩阵中，正定矩阵为（）①3335⎡⎣⎢⎤⎦⎥②313153337⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦③3445⎡⎣⎢⎤⎦⎥④245434542⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⑤523222327⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦39.F(X)在区间［a,b］上为单峰函数，区间内函数情况如图所示：F1=F2。
一维搜索的最优方法(黄金分割法)
( 1 )＝ ( 2 )＝0.264， f1＝－1.125
新点 ( 2 )＝a 0.618( b a )＝0.354, f 2＝f ( ( 2 ) ) ＝-1.103 (4) 比较函数值，缩短搜索区间 f1 f 2 a 0.118, b ( 2 ) 0.354 判断迭代终止条件: b - a 0.354 0.118 0.236 继续缩短
区间为[a, b] [－0. 5,0.5]，取迭代精度＝0.15。
解：(1) 在初始区间[a, b]内取点并计算函数值。
( 1 )＝b 0.618( b a )＝ 0.118, f1＝f ( ( 1 ) ) ＝－0.854 ( 2 )＝a 0.618( b a )＝0.118,
( 1 )＝b 0.618( b a ) ( 2 )＝a 0.618( b a )
计算f ( ( 1 ) )和f ( ( 2 ) )，令f ( ( 1 ) ) f1 , f ( ( 2 ) ) f 2
( 2 ) 比较函数值，缩小搜索区间 a. f1 f 2 ,则丢掉区间( ( 2 ) ,b ] 部分，取[ a , ( 2 ) ]为 新区间[ a1 , b1 ],在计算中作置换：
(2)+h (3)。计算（ ），令（ ） f3 f f
(3) (3)
(1) 若f 3 f1，则[a,b]=[(3) ,(2)]，停止计算。 (2) 若f 3 f1，则 2h h，(2) (1)，f 2 f1，
(3) (2)，f 3 f 2 (2) h (3)，计算（ ），令（ ） f3 , f f
h 2 1 2 1＝ 2＝1,
2＝ 3＝2 , 3＝ 2 h＝4
matlab编程实现二分法牛顿法黄金分割法最速下降matlab程序代码
matlab编程实现二分法牛顿法黄金分割法最速下降matlab程序代码二分法（Bisection Method）是一种寻找函数零点的数值计算方法。
该方法的基本思想是：首先确定一个区间[a, b]，使得函数在这个区间的两个端点处的函数值异号，然后将区间逐步缩小，直到找到一个区间[a', b']，使得函数在这个区间的中点处的函数值接近于零。
以下是使用MATLAB实现二分法的示例代码：```matlabfunction [x, iter] = bisection(f, a, b, tol)fa = f(a);fb = f(b);if sign(fa) == sign(fb)error('The function has the same sign at the endpoints of the interval');enditer = 0;while (b - a) / 2 > tolc=(a+b)/2;fc = f(c);if fc == 0break;endif sign(fc) == sign(fa)a=c;fa = fc;elseb=c;fb = fc;enditer = iter + 1;endx=(a+b)/2;end```牛顿法（Newton's Method）是一种用于寻找函数零点的数值计算方法。
该方法的基本思想是：通过迭代来逼近函数的零点，每次迭代通过函数的切线来确定下一个近似值，直到满足收敛条件。
以下是使用MATLAB实现牛顿法的示例代码：```matlabfunction [x, iter] = newton(f, df, x0, tol)iter = 0;while abs(f(x0)) > tolx0 = x0 - f(x0) / df(x0);iter = iter + 1;endx=x0;end```黄金分割法（Golden Section Method）是一种用于寻找函数极值点的数值计算方法。
一维搜索方法与MATLAB实现
例3-1 利用进退法求函数52)(24+--=t t t t f 的极值区间，取初始点为0，步长为1.0。
解：在MA TLAB 命令窗口输入主函数syms tf=t^4-t^2-2*t+5;[x1,x2]=minJT(f,0,0.1)进退法确定搜索区间函数文件minJT 如下：function [minx,maxx]=minJT(f,x0,h0,eps)%目标函数：f;%初始点：x0;%初始步长：h0;%精度：esp;%区间左端点：minx;%区间右端点：maxx;format long;if nargin==3esp=1.0e-6;endx1=x0;k=0;h=h0;while 1x4=x1+h;%试探步 k=k+1;f4=subs(f,findsym(f),x4);f1=subs(f,findsym(f),x1);if f4<f1x2=x1;x1=x4;f2=f1;f1=f4;h=2*h;%加大步长 elseif k==1h=-h;%反向搜索 x2=x4;f2=f4;elsex3=x2;x2=x1;x1=x4;break;endendendminx=min(x1,x3);maxx=x1+x3-minx;format short;M函数文件的运行结果如下x1 = 0.3000x2 = 1.5000================================================================== 例3-2 MA TLAB实现，用M函数文件形式求解：syms t;f=t^2-10*t+36;[x,fx]=minHJ(f,-10,10)黄金分割法一维搜索函数文件minHJ如下：function [x,minf]=minHJ(f,a,b,eps)%目标函数：f;%搜素区间左端点：a;%搜索区间右端点：b;%精度：eps;%目标函数取最小值时自变量值：x;%目标函数的最小值：minf;format long;if nargin==3eps=1.0e-6;endl=a+0.382*(b-a); %试探点u=a+0.618*(b-a); %试探点k=1;tol=b-a;while tol>eps && k<100000fl=subs(f,findsym(f),l); %试探点函数值fu=subs(f,findsym(f),u); %试探点函数值if fl>fua=l; %改变区间左端点l=u;u=a+0.618*(b-a); %缩小搜索区间elseb=u; %改变区间右端点u=l;l=a+0.382*(b-a); %缩小搜索区间endk=k+1;tol=abs(b-a);endif k==100000disp('找不到最优点！');x=NaN;minf=NaN;return;endx=(a+b)/2;minf=subs(f,findsym(f),x);format short;M函数文件的运行结果如下：x = 5.0000fx =11.0000=============================================================== 例3-3 MA TLAB实现，用M函数文件形式求解：syms t;f=sin(t);[x,fx]=minPWX(f,4,5)二次插值法一维搜索函数文件minPWX如下：function [x,minf]=minPWX(f,a,b,eps)%目标函数：f;%初始收缩区间左端点：a;%初始收缩区间左端点：b;%精度：eps;%目标函数取最小值时的自变量：x;%目标函数的最小值：minfformat long;if nargin==3eps=1.0e-6;endt0=(a+b)/2;k=0;tol=1;while tol>epsfa=subs(f,findsym(f),a); %搜索区间左端点函数值fb=subs(f,findsym(f),b); %搜索区间右端点函数值ft0=subs(f,findsym(f),t0); %内插点函数值tu=fa*(b^2-t0^2)+fb*(t0^2-a^2)+ft0*(a^2-b^2);td=fa*(b-t0)+fb*(t0-a)+ft0*(a-b);t1=tu/2/td; %插值多项式的极小点ft1=subs(f,findsym(f),t1); %插值多项式的极小值tol=abs(t1-t0);if ft1<=ft0if t1<=t0b=t0; %更新搜索区间右端点t0=t1; %更新内插点elsea=t0; %更新搜索区间左端点t0=t1; %更新内插点endk=k+1;elseif t1<=t0a=t1;elseb=t1;endk=k+1;endendx=t1;minf=subs(f,findsym(f),x);format short;M函数文件的运行结果如下：x = 4.7124fx = -1.0000================================================================ 例3-4 MA TLAB实现，用M函数文件形式求解：syms t;f=t^4-4*t^3-6*t^2-16*t+4;[x,fx]=minNewton(f,3)牛顿法一维搜索函数文件minNewton如下function [x,minf]=minNewton(f,x0,eps)%目标函数：f;%初始点：x0;%精度：eps;%目标函数取最小值时的自变量：x;%目标函数的最小值：minfformat longif nargin==2eps=1.0e-6;enddf=diff(f); %一阶导数d2f=diff(df); %二阶导数k=0;tol=1;while tol>epsdfx=subs(df,findsym(df),x0); %一阶导数值d2fx=subs(d2f,findsym(d2f),x0); %二阶导数值x1=x0-dfx/d2fx;k=k+1;tol=abs(dfx);x0=x1;endx=x1;minf=subs(f,findsym(f),x);format short;M 函数文件的运行结果如下：x =4fx = -156==================================================================例3-5用fminbnd 求函数1)(24-+-=x x x x f 在区间]1,2[-上极小值。
机械优化设计试卷与答案
《机械优化设计》复习问答1. 填空1.使用最速下降法求f(X)=100(x 2 - x 1 2 ) 2 +(1- x 1 ) 2的最优解时，设X (0) = [-0.5, 0.5] T ，第一次迭代的搜索方向是[-47;-50] 。
2.机械优化设计采用数学规划方法，其核心是确定搜索方向，其次是计算最优步长因子。
3.当优化问题是__凸规划__时，任何局部最优解都是全局最优解。
4 、应用进退法确定搜索区间时，最终得到的三个点分别为搜索区间的起点、中点和终点，其函数值形成高-低-高趋势。
5. 涉及 n 个设计变量的优化问题称为n 维优化问题。
6.C X B HX X T T ++21函数的梯度是HX+B 。
n 维空间中存在两个非零向量d 0和d 1 ，满足(d 0 ) T Gd 1 =0，则有_之间d 0和 d 1共轭_____ 关系。
8.设计变量、约束和目标函数是优化设计问题数学模型的基本要素。
9.对于一个无约束的二元函数),(21x x f ，如果),(x 20100x x 在某一点处得到最小值，则必要条件是梯度为零，充分条件是Hessian 矩阵是正定的。
10. Kuhn-Tucker 条件可以描述为目标函数在极值点的梯度是每个起作用的约束函数的梯度的非负线性组合。
1 1.用黄金分割法求一元函数的最小点]10,10[],[-=b a ，初始搜索区间3610)(2+-=x x x f ，第一次区间消去后得到的新区间为[-2.36,2.36] 。
的基本要素是设计变量、约束的目标函数、牛顿法的搜索方向为d k =，计算量大，需要初始点逼近最小值点的位置。
14、函数f(X)=x 1 2 + x 22 -x 1 x 2 -10x 1 -4x 2 +60 表示C X B HX X T T ++21为形式。
15.有一个矩阵 H 、一个向量 d 1 和一个向量 d 2 。
当满足(d 1 )TGd 2 =0时，向量d 1和向量d 2关于H 是共轭的。
黄金分割法以及二次插值法
-黄金分割法以及二次插值法
黄金分割法
• 主要内容： • 概述 • 原理介绍
• 0.618 的确定
概述
• 简介：
• 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于 另一部分与这部分之比。
• 由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割， 也称为中外比。
• 应用：
• 在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛的应用
f3
代入
p
b 2c
可得：
p
b 2c
1 2
2 2
2 3
f1 32 12
f2
12
2 2
f3
2 3 f1 3 1 f2 1 2 f3
c1
( f3 (α3
f1) α1)
c2
( f2 (α2
f1) α1 )
c1
(α2 α3)
α* p
0.5(α1 α3
c1 ) c2
3.如何使α*p尽可能地靠近 α*
,
a m1 3
• 以上两式联立得到
l
L
区间
l
L
2 1 0
• 解得：
5 1 0.6180339884718948
2
二次插值法
• 原理 • 步骤 • 总设计
➢ 二次插值法是用于一元函数 f 在确定的初始区间内搜索
极小点的一种方法。
➢ 利用一个低次插值多项式 p 来逼近原目标函数，然后求 该多项式的极小点(低次多项式的极小点比较容易计算)，
产生新点5 2 ， 0.1, f5 f 5
B 0,若fs f2, 缩小后的区间
为2，3，若fs f2,缩小后的区间为1，2
若fs f2, 缩小后的区间为1，2 ，若fs f，缩小后的区间为2，3
matlab编程实现求解最优解
《现代设计方法》课程关于黄金分割法和二次插值法的Matlab语言实现在《现代设计方法》的第二章优化设计方法中有关一维搜索的最优化方法的一节里，我们学习了黄金非分割法和二次插值法。
它们都是建立在搜索区间的优先确定基础上实现的。
为了便于方便执行和比较，我将两种方法都写进了一个程序之内，以选择的方式实现执行其中一个。
下面以《现代设计方法》课后习题为例。
见课本70页，第2—7题。
原题如下：求函数f(x)=3*x^2+6*x+4的最优点，已知单谷区间为[-3,4],一维搜索精度为0.4。
1、先建立函数f(x),f(x)=3*x^2+6*x+4。
函数文件保存为：lee.m源代码为：function y=lee(x)y=3*x^2+6*x+4;2、程序主代码如下，该函数文件保存为：ll.mclear;a=input('请输入初始点');b=input('请输入初始步长');Y1=lee(a);Y2=lee(a+b);if Y1>Y2 %Y1>Y2的情况k=2; Y3=lee(a+2*b);while Y2>=Y3 %直到满足“大，小，大”为止k=k+1;Y3=lee(a+k*b);endA=a+b;B=a+k*b;elseif Y1<Y2 %Y1<Y2的情况k=1;Y3=lee(a-k*b);while Y1>=Y3 %直到满足“大，小，大”为止k=k+1;Y3=lee(a-k*b);endA=a-k*b;B=a;elseA=a;B=a+b; %Y1=Y2的情况enddisp(['初始搜索区间为',num2str([A,B])])%输出符合的区间xuanze=input('二次插值法输入0，黄金分割法输入1');%选择搜索方式T=input('选定一维搜索精度');if xuanze==1while B-A>T %一维搜索法使精度符合要求C=A+0.382*(B-A);D=A+0.618*(B-A); %黄金分割法选点if lee(C)>=lee(D); %缩小区间A=C;elseB=D;endendelsewhile B-A>T %二次插值法是精度符合要求C=(A+B)/2;W=[1,A,A^2;1,B,B^2;1,C,C^2];w=[lee(A);lee(B);lee(C)];x=W\w; %求线性方程组解，求拟合曲线xx=perms(x)';for n=1:(factorial(3)); %使解得值与a0,a1,a2一一对应t=1+(n-1)*3;a0=xx(t);a1=xx(t+1);a2=xx(t+2);if a0+a1*A+a2*A^2~=lee(A)||a0+a1*B+a2*B^2~=lee(B)...||a0+a1*C+a2*C^2~=lee(C);continueendbreakendxp=-a1/(2*a2); %拟合直线的最低点if lee(C)>=lee(xp); %缩小区间if C>=xp; %xp与C大小不定，导致缩小方式不同B=C;elseA=C;endelseif C>=xp;A=xp;elseB=xp;endendendendX=(A+B)/2;Y=lee(X);disp(['极小值点为',num2str(X),'极值为',num2str(Y)]);%输出结果3、由于我编的程序，其搜索区间是自定的。
机械优化设计选择题有答案
一、单项选择题1. 在有限元中，系统之间只能通过（ A ）来传递内力。
A ．结点B ．网格C ．表面D ．边缘2．通过对有限元的态体分析，目的是要建立一个（ C ）来揭示结点外载荷与结点位移的关系，从而用来求解结点位移。
A ．变换矩阵B ．非线性方程组C ．线性方程组D ．目标函数3．从系统工程的观点分析，设计系统是一个由时间维、（ A ）和方法维组成的三维系统。
A ．逻辑维B ．位移维C ．技术维D ．质量维4. （ B ）称为产品三次设计的第三次设计。
A ．环境设计B ．容差设计C ．工艺设计D ．可靠性设计5．人们将设计的对象系统看成是“黑箱”，集中分析比较系统中的能量、物料和（ D ）三个基本要素的输入输出关系。
A ．时间B ．质量C ．成本D ．信息6．创造技法中的“635法”指针对一个设计问题，召集6人与会，要求每人在卡片上出3个设计方案，（ B ）为一单元，卡片相互交流。
A ．5个问题B ．5分钟时间C ．5个步骤D ．5个标准7．（ D ）更适合表达优化问题的数值迭代搜索求解过程。
A ．曲线或曲面B ．曲线或等值面C ．曲面或等值线D ．等值线或等值面8．机械最优化设计问题多属于（ C ）优化问题。
A. 约束线性B. 无约束线性C. 约束非线性D. 无约束非线性9．当设计变量数目（ B ）时，该设计问题称为中型优化问题。
A. n ＜10B. n ＝10～50C. n ＜50D. n ＞5010．梯度方向是函数具有（ D ）的方向。
A. 最速下降B. 最速上升C. 最小变化D. 最大变化率。
11．若矩阵A 的各阶顺序主子式均大于零，则该矩阵为（ A ）矩阵A. 正定B. 正定二次型C. 负定D. 负定二次型12．多维无约束优化有多种方法，（ D ）不属于其中的方法。
A. 直接法B. 间接法C. 模式法D. 积分法13．为了确定函数单峰区间内的极小点，可按照一定的规律给出若干试算点，依次比较各试算点的函数值大小，直到找到相邻三点的函数值按（ A ）变化的单峰区间为止。
机械优化设计期末复习题及答案
机械优化设计期末复习题及答案一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。
2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。
4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。
5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。
7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 。
8.二元函数在某点处取得极值的必要条件是()00f X ∇= , 充分条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。
10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。
13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。
14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 。
15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。
16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。
matlab插值法
MATLAB插值法引言MATLAB是一种高级编程语言和环境，特别适用于数值计算和数据可视化。
插值法是一种在给定有限的数据点的情况下，通过构造插值函数来估计其他数据点的方法。
在MATLAB中，有多种插值方法可供选择，例如拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。
本文将详细介绍MATLAB中常用的插值方法及其应用。
一、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种多项式插值方法，通过构造一个满足给定数据点要求的多项式函数，来估计其他数据点的函数值。
其基本思想是通过一个多项式函数对已知数据点进行拟合，以实现函数值的估计。
以下是使用MATLAB实现拉格朗日插值法的步骤：1.确定待插值的数据点集合，假设有n个数据点。
2.构造拉格朗日插值多项式。
拉格朗日插值多项式的表达式为：其中，为拉格朗日基函数，其表达式为：3.利用构造的拉格朗日插值多项式求解其他点的函数值。
二、牛顿插值法牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，通过构造一个n次多项式函数来拟合已知数据点，并利用差商的性质来求解其他点的函数值。
使用MATLAB实现牛顿插值法的步骤如下：1.确定待插值的数据点集合，假设有n个数据点。
2.计算差商表。
差商表的计算公式为：3.构造牛顿插值多项式。
牛顿插值多项式的表达式为：4.利用构造的牛顿插值多项式求解其他点的函数值。
三、样条插值法样条插值法是一种通过多段低次多项式来逼近原始数据，以实现光滑插值的方法。
它在相邻数据点处保持一定的连续性，并通过边界条件来确定插值函数的特性。
以下是使用MATLAB实现样条插值法的步骤：1.确定待插值的数据点集合，假设有n个数据点。
2.根据数据点的个数确定样条插值的次数。
一般情况下，插值多项式的次数小于或等于n-1。
3.利用边界条件构造样条插值函数。
常用的边界条件有：自然边界、固定边界和周期边界。
4.利用MATLAB中的插值函数csape或interp1等进行样条插值。
5.利用样条插值函数求解其他点的函数值。
牛顿一次插值公式和二次插值公式
牛顿一次插值公式和二次插值公式
牛顿一次插值公式与二次插值公式
牛顿一次插值公式和二次插值公式是数学中常用的插值方法，用于在给定的数据点集上估计未知函数的值。
这两个插值方法都可以通过已知的数据点来逼近未知函数的值，从而实现数据的预测和拟合。
牛顿一次插值公式是基于线性插值的一种方法。
它假设未知函数在已知数据点之间是线性的，并利用这种线性关系来进行插值。
牛顿一次插值公式的优点是简单易懂，计算量小，适用于数据点较少的情况。
然而，它的缺点是对数据点的分布要求较高，若数据点分布不均匀，插值结果可能不准确。
与之相比，二次插值公式是基于二次多项式插值的一种方法。
它假设未知函数在已知数据点之间是二次多项式的形式，并利用这种二次多项式关系来进行插值。
二次插值公式的优点是对数据点的分布要求较低，适用于数据点分布不均匀的情况。
然而，它的缺点是计算量较大，需要解二次方程组，且容易产生龙格现象。
无论是牛顿一次插值公式还是二次插值公式，它们都是通过已知数据点来逼近未知函数的值。
插值的目的是为了在已知数据点之间填补缺失的数据，从而更好地理解和预测数据的变化趋势。
这两种插值方法在实际应用中都有广泛的应用，例如在地理信息系统、图像处理、信号处理等领域。
总的来说，牛顿一次插值公式和二次插值公式是数学中常用的插值方法。
它们分别基于线性插值和二次多项式插值，通过已知数据点来逼近未知函数的值。
这些插值方法在实际应用中发挥着重要的作用，帮助我们更好地理解和预测数据的变化趋势。
第二部分：03第三章 一维搜索方法
一、一维搜索的基本思想
选定初始点1，初始步长h0。计算函数值y1=f(1)和 y2=f(1+ h0)，比较y1和y2，可分三种情况：
y1>y2，则极小点*必在1右方，作正向搜索寻求第三点。 y1<y2，则极小点*必在1+h0左方，作反向搜索寻第三点。 y1=y2，则极小点*必在1和1+h0之间，则为“高-低-高” 形态，找到初始单峰区间为[1 ， 1+h0]
y 2 y1
1
y3
3
h0
O
22 2 1 1 1
h0
2013年9月22日星期日8时42分35秒
2013年9月22日星期日8时42分36秒
8
第 2 部分：优化设计
第三章 一维搜索方法
y
y3
y1 y1 2 y2
y 2 y y3 3
第 2 部分：优化设计
第三章 一维搜索方法
昆明理工大学机电工程学院
一、一维搜索的基本思想
一维最优化搜索是要在单峰区间求单峰函数的极小 点，通常分两步进行： 确定一个最小值所在的区间； 求出该区间内的最优步长因子k值。 确定搜索区间的外推法 在一维搜索时，假设函数f()具有单谷性，即在所考 虑的区间内部，函数f()有唯一得极小点*。为了确定 极小点*所在得区间[a, b]，应使函数f()在[a, b]区间形 f() 成“高－低－高”趋势。 对于一般情况，分正向 搜索和反向搜索的外推法。
*
b
5
2013年9月22日星期日8时42分35秒
1
2013/9/24
第 2 部分：优化设计
第三章 一维搜索方法
第 2 部分：优化设计
matlab编程实现二分法,牛顿法,黄金分割法,最速下降matlab程序代码
matlab编程实现二分法,牛顿法,黄金分割法,最速下降matlab程序代码用二4224min ()f t t t t =--[,.]t ∈内的极小值点，要求准1.function [t d]=erfenfa(a,b)k=1; %记录循环次数 while abs(a-b)>0.0005c=(a+b)/2;C(k)=c; %存储每次循环中点c 的值if ff(c)<0a=c;endif ff(c)==0t1=c;break ;endif ff(c)>0b=c;endk=k+1;endt=(a+b)/2; %最终符合要求的值d=f(t); %最优解Ckfunction y=f(t)y=t^4-2*t^2-4*t;function y=ff(t)y=4*t^3-4*t-4;运行结果>> [t d]=erfenfa(1,1.5)C =Columns 1 through 91.2500 1.3750 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242 1.3262 1.3252Column 101.3247k =11t =1.3250d =-5.72902.黄金分割法 f (x)=x3-2x+1 初始区间[0, 3]，收敛精度0.5 function [t,f]=huangjinfenge(a,b)m=1-(sqrt(5)-1)/2;t2=a+m*(b-a)f2=g(t2);t1=a+b-t2f1=g(t1);while abs(t1-t2)>0.5if f1<f2< bdsfid="121" p=""></f2<>a=t2;t2=t1f2=f1;t1=a+b-t2f1=g(t1);elseb=t1;t1=t2f1=f2;t2=a+m*(b-a)f2=g(t2);endendt=(t1+t2)/2;f=g(t);function y=g(t)y=t^3-2*t+1;运行结果> [t,f]=huangjinfenge(0,3)t2 =1.1459t1 =1.8541t1 =1.1459t2 =0.7082t =0.9271f =-0.0574>>3. 用牛顿法求解291min ()sin f x x x =--初始迭代点为x 0=0.4, 要求准确到小数点后第5位小数function [t1,d]=Newton(t0)t=t0-ff(t0)/fff(t0);k=1;%记录迭代次数T(1)=t;%存储迭代点while abs(t-t0)>0.000005t0=t;t=t0-ff(t)/fff(t);k=k+1;T(k)=t;endt1=t0;d=f(t1);kTfunction y=f(x)y=9*x^2-sin(x)-1;function y=ff(x)y=18*x-cos(x);function y=fff(x)y=18+sin(x);运行结果>> [t1,d]=Newton(0.4)k =3T =0.0586 0.0555 0.0555t1 =0.0555d =-1.0277>>4. 最速下降法验证课本上的例题求解291min ()sin f x x x =--初始迭代点为x 0=0.4, 要求准确到小数点后第5位小数function [G,g,X,F]=zuisu(X0)F(1)=f(X0);%存储x 点处的值G(:,1)=h(X0); %存储梯度向量g(1)=norm(G(:,1));%存储梯度模长X(:,1)=X0; %存储x 值A=[2,0;0,8];for j=1:2X(:,j+1)=X(:,j)-(G(:,j)'*G(:,j))/(G(:,j)'*A*G(:,j))*G(:,j);F(j+1)=f(X(:,j+1));G(:,j+1)=h(X(:,j+1));g(j+1)=norm(G(:,j+1));endif (G(:,2)'*G(:,1)<1E-10& G(:,3)'*G(:,2)<1E-10)disp(['相邻两搜索方向是正交的'])endfunction y=f(X)y=X(1)^2+4*X(2)^2;function n=h(X)n=[2*X(1),8*X(2)]';运行结果>> [G,g,X,F]=zuisu(X0)相邻两搜索方向是正交的G =2.0000 1.4769 0.2215 8.0000 -0.3692 0.8862g =8.2462 1.5224 0.9134X =1.0000 0.7385 0.1108 1.0000 -0.0462 0.1108F =5.0000 0.5538 0.0613 >>。
一维搜索 黄金分割法 二次插值法
一维搜索黄金分割法二次插值法#include<math.h>#include<stdio.h>#include<conio.h>double f(double);double golden_split(double(*)(),double,double);/*黄金分割法*/ double rcczf(double(*)(),double[],double[],double); /*二次插值法*/ void jtf(double(*)(),double,double *,double *,double *);/*进退法*/ void jtf(double(*objf)(),double a0,double *h0,double *a,double *y) {double h;a[0]=a0;h=*h0;a[1]=a[0]+h,y[1]=objf(a[1]);if(y[1]>y[0]){h=-h;a[2]=a[0],y[2]=y[0];a[0]=a[1],y[0]=y[1];a[1]=a[2],y[1]=y[2];}a[2]=a[1]+h;y[2]=objf(a[2]);while(y[2]<y[1]){h=2*h;a[0]=a[1],y[0]=y[1];a[1]=a[2],y[1]=y[2];a[2]=a[1]+h;y[2]=objf(a[2]);}if(a[2]<a[0]){double temp;temp=a[2],a[2]=a[0],a[0]=temp;temp=y[2],y[2]=y[0],y[0]=temp;}*h0=h; /*返回最后步长*/}double golden_split(double(*f)(),double a,double b){#define lamda 0.6180339#define eps 1.0e-8double a1,a2,y1,y2;a1=b-lamda*(b-a),y1=f(a1);a2=a+lamda*(b-a),y2=f(a2);while(fabs(b-a)>eps&&fabs(y1-y2)>eps){if(y1>=y2){a=a1;a1=a2,y1=y2;a2=a+lamda*(b-a);y2=f(a2);}else{b=a2;a2=a1,y2=y1;a1=b-lamda*(b-a);y1=f(a1);}}return 0.5*(a+b);}double rcczf(double (*f)(),double a[3],double y[3],double h) {double c1,c2,ap,yp;double accu=1.0e-6 ;a[1]=0.4*(a[0]+a[2]);while(1){c1=(y[2]-y[0])/(a[2]-a[0]);c2=((y[1]-y[0])/(a[1]-a[0])-c1)/(a[1]-a[2]);ap=0.5*(a[0]+a[2]-c1/c2);yp=f(ap);if(fabs(y[1]-yp)<accu){if(y[1]<yp) return a[1];else return ap;}else{if((ap-a[1])*h>0){if(y[1]>=ap){a[0]=a[1],y[0]=y[1],a[1]=ap,y[1]=yp;}else {a[2]=ap,y[2]=yp;}}else{if(y[1]>=yp){a[2]=a[1],y[2]=y[1],a[1]=ap,y[1]=yp;}else {a[0]=ap,y[0]=yp;}}}}}double fun(double x){double y;y=x*x-2*x+5;return(y);}void main(){double X,Y;double X1,Y1;double a0,h0,a[3],y[3];int i;a0=0,h0=1;for(i=1;i<3;i++) a[i]=0,y[i]=0;jtf(fun,a0,&h0,a,y);X=golden_split(fun,a[0],a[2]);Y=fun(X);printf("\nthe otimial value is X=%10.4f,\tY=%10.4f\n\n",X,Y);a0=0.1,h0=1;for(i=1;i<3;i++) a[i]=0,y[i]=0;jtf(fun,a0,&h0,a,y);X1=rcczf(fun,a,y,h0);Y1=fun(X1);printf("\n\nthe otimial value is X1=%10.4f,\tY1=%10.4f\n",X1,Y1);printf("Press any key to end up!\n");getch();}。
一维搜索的最优方法(黄金分割法)
05 黄金分割法的应用举例
在函数优化中的应用
一元函数优化
黄金分割法可用于一元函数的极值求解，通过不断缩小搜索区间来逼近最优解。
多元函数优化的辅助手段
在多元函数优化中，黄金分割法可作为辅助手段，用于一维搜索或线搜索过程。
在工程问题中的应用
结构设计优化
在结构设计中，黄金分割法可用于寻 找最优的结构参数，如梁、柱的截面 尺寸等，以实现结构性能和经济性的 平衡。
二分法每次迭代将搜索区间减半，而黄金分割法每次迭代将搜索区间缩小为原来的约 0.618倍。在收敛速度上，二分法通常比黄金分割法更快。但二分法要求函数在搜索区间 内连续且单调，而黄金分割法则没有这样的限制。
与牛顿法相比
牛顿法是一种基于导数信息的搜索方法，具有较快的收敛速度。但在一维搜索问题中，当 导数信息不可用或难以获取时，黄金分割法则更为适用。此外，牛顿法对初始点的选择较 为敏感，而黄金分割法则相对稳健。
解决一维搜索问题的方法有多种，其中黄金分割法是一种较为常用且有效的方法。
黄金分割法简介
黄金分割法是一种通过不断缩小搜索 区间来逼近函数极小值点的方法。
黄金分割法具有简单、快速、稳定等 优点，适用于单峰函数的一维搜索问 题。
它在每次迭代中，通过比较区间两个 端点处的函数值，来确定下一步的搜 索区间。
黄金分割点
在一条线段上，按照黄金分割比 例将线段分割成两部分，分割点
即为黄金分割点。
函数图像
对于一元函数，可以将其图像视 为一条曲线。黄金分割法通过不 断在曲线上选取试探点来逼近最
优解。
搜索区间缩小
每次迭代后，根据试探点的函数 值比较结果，将搜索区间缩小，
使得下一步的搜索更加精确。
黄金分割法的算法步骤
机械优化设计 复习资料
一、填空题1. 用最速下降法求()()2211f x =100)1x x -+-（x 最优解时，设()[]00.5,0.5T x =-,第一步迭代的搜索方向为______。
2. 机械优化设计采用数学的规划法，其核心一是最佳步长，二是搜索方向。
3. 当优化问题是凸规划的情况下，在任何局部最优解就是全域最优解。
4. 应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点，中间点和终点，他们的函数值形成趋势高低高。
5. 包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
6. 函数12TT x Hx B x c ++的梯度为____HX+B _____。
7. 与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向，与梯度成直角的方向为函数值的不变方向。
8. 设G 为n n ⨯对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量0d ,1d ,满足()010d Gd =，则0d ，1d 之间存在共轭关系。
9. 设计变量，目标函数，约束条件是优化设计问题的数学模型的基本要素。
10. 对于无约束二元函数()12,f x x ，若在()01234,x x x =点处取得极小值，其必要条件是在0x 点的梯度为0,充分条件是在0x 点的海赛矩阵正定。
11. K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的负梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
12. 用黄金分割法求一元函数()21036f x x x =-+的极值点，初始搜索区间[][],10,10a b =-，经第一次区间消去后得到新区间___ [2.36 10]______。
13. 优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量，目标函数，约束条件。
14. 牛顿法搜索方向k d =()()21()k k f x f x --∇∇，其计算量大，且要求初始在级极小点附近位置。
.将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T++21的形式 [][]604-10-21-1-221212121+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x x x x 。
一维搜索方法
一维搜索方法：（方法比较）“成功—失败”法、二分法、0.618法（黄金分割法）、牛顿法、二次插值法、D.S.C法、Powell法、D.S.C—Powell组合法。
1、“成功—失败”法：主要思想：从一点出发，按一定的步长搜索新点，若成功，加大步长继续搜索，否则，缩短步长小步后退。
此方法可以求最优解所在区间，称为“搜索区间”。
2、二分法：主要思想：区间[a,b]的中间值x0，判断f（x）的导数在三个点处的值，舍去一部分区间再求f(x)的极小值。
3、0.618法：等比例收缩原则，每次留下来的区间长度是上次留下来的区间长度的w倍。
以及对称原则、去坏留好原则。
W=0.6184、牛顿法：基本思想：在极小值点附近用目标函数的二阶泰勒多项式近似代替目标函数，从而求得目标函数的极小值点的近似值。
5、二次插值法：牛顿法是在x k附近的目标函数用泰勒多项式近似代替，而此法是将f(x)用二次插值多项式p(x)近似代替。
把p(x)的极小值点作为f(x)极小值点的代替，从来求得函数的极小值。
6、D.S.C法：主要思想：利用成功—失败法寻找靠近极小值点的三点，进行二次插值。
优点是：收敛速度快，且不要求函数可微。
7、Powell法：基本思想：在搜索方向开始得到三点x0,x1,x2后，作二次插值，求得最小值x，在四点中去坏留好，在余下的三点中再作二次插值……8、D.S.C—Powell组合法：几种方法比较：D.S.C—Powell组合法是非常好的一种方法，它比任何一个单个方法都好D.S.C—Powell组合法与0.618法比较：D.S.C—Powell法中函数值的计算要比黄金分割法少得多，一般来讲它优于黄金分割法。
但：D.S.C—Powell法不一定能收敛到最优解。
最速下降法与修正牛顿法：对于正定二次函数，牛顿法一步可以求得最优解，对于非二次函数，牛顿法并不能保证有限次求得其最优解，但由于目标函数在极小值的附近近似于二次函数，故当初始点靠近极小值时，牛顿法收敛的速度比较快。
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一维搜索方法应用比较一、黄金分割法（1）黄金分割法的起源黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为"金法"，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为"各种算法中最可宝贵的算法"。
这种算法在印度称之为"三率法"或"三数法则"，也就是我们现在常说的比例方法。
其实有关"黄金分割"，我国也有记载。
虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。
经考证。
欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。
因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。
就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。
在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。
正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"。
我国数学家华罗庚曾致力于推广优选法中的"0.618法"，把黄金分割应用于生活实际及科学应用中。
黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系。
黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。
应用时一般取0.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。
由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。
黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。
最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。
（2）原理及应用一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。
一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。
该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。
图1 黄金分割法原理图黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点α*的一种方法。
它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。
其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。
具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1 ，a2 把[a,b]分为三段。
如果f(a1)>f(a2)，令a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)；如果f(a1)<f(a2) ，令b=a2，a2=a1,a1=b-r*(b-a),如果｜(b-a)/b｜和｜(y1-y2)/y2｜都大于收敛精度ε重新开始。
因为[a,b]为单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小0.618倍或0.382倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区[a,b]逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。
黄金分割法原理如图１所示。
二、牛顿法（1）起源牛顿法最初由艾萨克·牛顿于1736年在Method of Fluxions 中公开提出。
而事实上方法此时已经由Joseph Raphson于1690年在Analysis Aequationum中提出，与牛顿法相关的章节《流数法》在更早的1671年已经完成了。
（2）原理及应用对于一个函数f(x),它的泰勒级数展开式是这样的f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+12f′′(x0)(x−x0)2+...+1n!fn(x0)(x−x0)n当使用牛顿法来求一个方程解的时候，它使用泰勒级数前两项来代替这个函数，即用ϕ(x)代替f(x),其中:ϕ(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)令ϕ(x)=0，则x=x0−f(x0)f′(x0)。
所以，牛顿法的迭代公式是xn+1=xn−f(xn)f′(xn)牛顿法求解n的平方根求解n的平方根，其实是求方程x2−n=0的解利用上面的公式可以得到：xi+1=xi−x2i−n2xi=(xi+nxi)/2编程的时候核心的代码是：x = (x + n/x)/2三、二次插值法二次插值法亦是用于一元函数在确定的初始区间内搜索极小点的一种方法。
它属于曲线拟合方法的范畴。
（1）基本原理在求解一元函数的极小点时，常常利用一个低次插值多项式来逼近原目标函数，然后求该多项式的极小点(低次多项式的极小点比较容易计算)，并以此作为目标函数的近似极小点。
如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时，可以反复使用此法，逐次拟合，直到满足给定的精度时为止。
常用的插值多项式为二次或三次多项式，分别称为二次插值法和三次插值法。
这里我们主要介绍二次插值法的计算公式。
假定目标函数在初始搜索区间中有三点、和，其函数值分别为、和(图2}，且满足，，即满足函数值为两头大中间小的性质。
利用这三点及相应的函数值作一条二次曲线，其函数为一个二次多项式，式中、、为待定系数。
图2根据插值条件，插值函数与原函数在插值结点、、处函数值相等，得（2）为求插值多项式的极小点，可令其一阶导数为零，即（3）解式(3)即求得插值函数的极小点（4）式(4)中要确定的系数可在方程组(2)中利用相邻两个方程消去而得:（5）（6）将式(5)、(6)代入式(4)便得插值函数极小值点的计算公式：（7）把取作区间内的另一个计算点，比较与两点函数值的大小，在保持两头大中间小的前提下缩短搜索区间，从而构成新的三点搜索区间，再继续按上述方法进行三点二次插值运算，直到满足规定的精度要求为止，把得到的最后的作为的近似极小值点。
上述求极值点的方法称为三点二次插值法。
为便于计算，可将式(7)改写为（8）式中：（9）（10）（2）应用四、例题应用（1）黄金分割法求解y=n*n+2*n的最小值。
程序：huangjinfenggefa.mclearclca=-3;b=5;lamda=0.618;epsilon=0.05;i=0; x1=b-lamda*(b-a);f1=x1*x1+2*x1;x2=a+lamda*(b-a);f2=x2*x2+2*x2;ticwhile b-a>=epsilonif f1>=f2a=x1;x1=x2;f1=f2;x2=a+lamda*(b-a);f2=x2*x2+2*x2;elseb=x2;x2=x1;f2=f1;x1=b-lamda*(b-a);f1=x1*x1+2*x1;endfprintf('右边的区间距离');disp(b-x2);fprintf('左边的区间距离');disp(x1-a);i=i+1;X=0.5*(b+a);min=X*X+2*X;fprintf('黄金分割法所得最小极值点为：%f\n',X); fprintf('黄金分割法所得最小极值为：%f\n',min); fprintf('迭代次数为：%f\n',i);endt=toc运行结果：右边的区间距离 1.8880左边的区间距离 1.8886黄金分割法所得最小极值点为：-0.528000黄金分割法所得最小极值为：-0.777216迭代次数为：1.000000右边的区间距离 1.1674左边的区间距离 1.1674黄金分割法所得最小极值点为：-1.472000黄金分割法所得最小极值为：-0.777216迭代次数为：2.000000右边的区间距离0.7214左边的区间距离0.7212黄金分割法所得最小极值点为：-0.888304 黄金分割法所得最小极值为：-0.987524 迭代次数为：3.000000右边的区间距离0.4459左边的区间距离0.4459黄金分割法所得最小极值点为：-1.249028 黄金分割法所得最小极值为：-0.937985 迭代次数为：4.000000右边的区间距离0.2755左边的区间距离0.2754黄金分割法所得最小极值点为：-1.026101 黄金分割法所得最小极值为：-0.999319 迭代次数为：5.000000右边的区间距离0.1704左边的区间距离0.1704黄金分割法所得最小极值点为：-0.888420 黄金分割法所得最小极值为：-0.987550 迭代次数为：6.000000右边的区间距离0.1052左边的区间距离0.1053黄金分割法所得最小极值点为：-0.973595 黄金分割法所得最小极值为：-0.999303 迭代次数为：7.000000右边的区间距离0.0651左边的区间距离0.0651黄金分割法所得最小极值点为：-1.026189 黄金分割法所得最小极值为：-0.999314 迭代次数为：8.000000右边的区间距离0.0402左边的区间距离0.0402黄金分割法所得最小极值点为：-0.993642 黄金分割法所得最小极值为：-0.999960迭代次数为：9.000000右边的区间距离0.0249左边的区间距离0.0249黄金分割法所得最小极值点为：-1.013756 黄金分割法所得最小极值为：-0.999811迭代次数为：10.000000右边的区间距离0.0154左边的区间距离0.0153黄金分割法所得最小极值点为：-1.001326 黄金分割法所得最小极值为：-0.999998迭代次数为：11.000000t =0.0630（3）牛顿法求解y=n*n+2*n的最小值。
程序：newton_1.mfunction y = newton_1(x0,EPSI)x(1)=x0;b=1;i=1;while (abs(b)>EPSI)i=i+1;x(i)=x(i-1)-df(x(i-1))/df2(x(i-1));b=x(i)-x(i-1);fprintf('所得的极小值点为：%f\n',x(i)); endy=x(i);fprintf('总共迭代%f次\n',i-1);endnewton_2.mclear;clc;x0=input('x0=');EPSI=input('EPSI=');ticX=newton_1(x0,EPSI);t=tocfprintf('牛顿法所得极小值点为%f\n',X); fprintf('牛顿法所得极小值为%f\n',f(X)); df.mfunction y = f(n)y=n*n+2*n;enddf2.mfunction y = df(n)y=2*n+2;endf.mfunction y = df2(n)y=2;end运行结果：x0=1EPSI=0.05所得的极小值点为：-1.000000所得的极小值点为：-1.000000总共迭代2.000000次t =0.0283牛顿法所得极小值点为-1.000000牛顿法所得极小值为-1.000000（4）二次插值法求解y=1/4*n^4-2/3*n^3-2*n^2-7*n+8;的最小值程序：ercichazhifa.mclear;clc;i=1;a=input('a=');b=input('b=');h=input('h=');EPSI=input('EPSI=');a1=a;a2=(a+b)/2;a3=b;y1=f(a1);y2=f(a2);y3=f(a3);c1=(y3-y1)/(a3-a1);c2=((y2-y1)/(a2-a1)-c1)/(a2-a3);ap=0.5*(a1+a3-c1/c2);yp=f(ap);ticwhile abs(yp-y2)>EPSIif (ap-a2)*h>0if y2>=ypa1=a2;y1=y2;a2=ap;y2=yp;elsea3=ap;y3=yp;endelseif y2>=ypa3=a2;y3=y2;a2=ap;y2=yp;elsea1=ap;y1=yp;endendc1=(y3-y1)/(a3-a1);c2=((y2-y1)/(a2-a1)-c1)/(a2-a3);ap=0.5*(a1+a3-c1/c2);yp=f(ap);if y2<ypA=a2;Y=y2;elseA=ap;Y=yp;endfprintf('二次插值法所得极值点为%f\n',A); fprintf('二次插值法所得极值为%f\n',Y); fprintf('总共迭代：%f次\n',i);M(i)=A;i=i+1;endt=tocN=1:i;n=1:i;plot(N,M(i-1));f.mfunction y = f(n)y=1/4*n^4-2/3*n^3-2*n^2-7*n+8;end运行结果：a=-3b=5h=1EPSI=0.05二次插值法所得极值点为-1.000000二次插值法所得极值为-1.000000总共迭代：1.000000次t =0.0133（5）总结比较当精度取为0.05时，黄金分割法所得最小极值为：-0.999998，迭代次数为：11次，t = 0.0630s；牛顿法所得极小值点为-1.000000总共迭代2.000000次，t =0.0283s；二次插值法所得极值为-1.00000，总共迭代：1.000000次，t =0.0133s。