对数 对数函数

对数 对数函数【重点难点解析】 1．本单元的知识结构2．理解对数定义、掌握对数运算性质，理解对数函数的性质与范围要求，能熟练地进行指数式与对数式互化．3．对数性质的应用、对数函数性质的应用，以及在应用这些性质时能恰当地把握范围要求对问题进行分类讨论．4．有了换底公式，我们才能处理不同底的对数问题，所以它也是重点！ 【考点】1．对数概念的范围要求严格，再配合对数函数的单调性，可以全面考查学生的分析思维能力与逻辑思维能力，这是常考的内容．2．对数及对数函数与其他数学基础知识综合，可以构造种种不同难度的数学问题，来检验学生应用所学数学知识的能力和学生的数学水平，可以说以往各年的高考试题中，每年都有考查对数知识的题目．【典型热点考题】例1 求下列各式中的x 的值：(1)313x =； (2)6414x =； (3)92x =； (4)1255x 2=；(5)171x 2=-．思路分析所求的x 或是指数，或是指数的一部分，只有应用对数概念处理，才能求出x ．所以这个问题的本质是“将指数式化为对数式”，今后遇到难以处理的指数问题时，可以化为对数式处理．解：(1)解法一：∵1331-=∴原式化为1x 33-=∴x ＝－1． 解法二：313x =∴131log x 3-==．(2)∵3x 46414-==∴34log x 34-==-∴x ＝－3．(3)∵92x =∴9log x 2=．(4)∵1255x 2=∴125log x 25=即2x ＝3∴23x =． (5)∵171x 2=-∴1log )1x 2(7=-∴2x －1＝0，21x =．例2 有下列5个等式，其中a>0且a ≠1， ①y log x log )y x (log a a a +=+， ②y log x log )y x (log a a a ⋅=+， ③y log x log 21y x log a a a-=， ④)y x (log y log x log a a a ⋅=⋅， ⑤)y log x (log 2)y x (log a a 22a -=-，将其中正确等式的代号写在横线上_____________．思路分析死记硬背对数运算性质，不易记住而且往往容易记错，这是对数运算中常出的问题．只有对对数概念深刻理解，在此基础上才能更牢固准确地掌握对数运算性质．人类创造对数运算的目的，就是为了化简计算，对数概念能使运算“降级”，即幂和开方的对数降为乘除对数计算(底不变)，乘除法的对数降为加减法对数计算(底不变)，从而达到化简计算的目的．解：只有③是正确的，所以填③∵y log x log yxlog a a a-=y log x log a 21a-=y log x log 21a a -=①是错的∵从①左边看，x ＋y 是初级运算，无法再“降级”，从右边看，)y x (log )y x (log y log x log a a a a +≠⋅=+．②是错的．从②左边看，x ＋y 是初级运算无法降级，从右边看，只有幂的对数才能得到对数乘法，即x log y log x log a a y log a a ⋅=④是错的(前面已作分析) ⑤是错的从左边看，22y x -是减法运算，无法再“降级”，其指数是1，即12222)y x (y x -=-，不可能得到指数2．从右边看，yxlog y log x log aa a =-．点评 一个数学命题在给定的条件下，有时正确，有时不正确，或只对某些特定值正确，而对一般值不正确，我们就作结论，这个命题是错误的．例3 化简下列各式：(1)51lg 5lg 32lg 4-+；(2)536lg27lg 321240lg 9lg 211+--+； (3)3lg 70lg 73lg-+； (4)120lg 5lg 2lg 2-+．思路分析这类问题，可以将整个式子运用对数性质统一为一个单一的对数式(可以作的话)进行运算，这样作运算往往比较复杂，也就容易出错．如果分别使用性质，对每一部分先化简或合并同类“项”，可以化简运算并提高运算的准确性．解：(1)51lg 5lg 32lg 4-+＝4lg2＋3lg5－lg1＋lg5＝4lg2＋4lg5＝4(lg2＋lg5)＝4lg10＝4．(2)536lg 27lg 321240lg 9lg 211+--+5lg 36lg 3lg 32110lg 24lg 3lg 21132-+---+= 5lg 4lg 3lg 23lg 218lg 3lg 3lg -++---=4lg 5lg 18lg +--=4lg 2lg 8lg +-=8lg 8lg -=＝－1． (3)3lg 70lg 73lg-+＝lg3－lg7＋lg7＋lg10－lg3＝lg10＝1． (4)解法一：120lg 5lg 2lg 2-+1)12(lg 5lg 2lg 2-++=1)2lg 1)(2lg 1(2lg 2-+-+=12lg 12lg 22--+=＝0．解法二：120lg 5lg 2lg 2-+1)12(lg 5lg 2lg 2-++=15lg 2lg 5lg 2lg 2-+⨯+=＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5－1＝lg2＋lg5－1＝1－1＝0．例4 利用对数恒等式N a N log a =，求下列各式的值：(1)5log 4log 3log 354)31()51()41(-+(2)2log 2log 4log 7101.0317103-+(3)6lg 3log 2log 100492575-+(4)31log 27log 12log 2594532+-思路分析应用对数恒等式的关键是幂的底数与对数的底数必须相同，当两个底数不一致时，应运用所学的知识，先将其化为“同底”，再用公式计算．解：(1)∵1441-=，1551-=，1331-= ∴5log 4log 3log 354)31()51()41(-+5log 14log 13log 1354)3()5()4(----+=5log 4log 3log 354354----+=1315145log 4log 3log 354----+=111543----+=6023=． (2)1)31(3-=，21)01.0(10-=，1)71(7-=∴2log 2log 4log 7101.0317103-+2log 12log 214log 17101.031])71[(])01.0[(])31[(----+=2log 2log 214log 7101.031)71()01.0()31(----+=1712101.01312log 2log 4log )71()01.0()31(----+=1211224----+=4122-=． (3)∵2525=，2749=，210100= ∴6lg3log 2log 100492575-+6lg23log 22log 2)10()7()5(75-+=6lg 23log 22log 2107575-+=22725)6lg(3log 2log 1075-+=222)6(32-+=＝7．(4)∵2142=，2193=，21)25(5=∴31log 27log 12log 2594532+-31log 2127log 2112log 212594)25()9()4(+-=31log 2127log 2112log 2125942594+-=2125219214)31(log 27log 12log 2594+-=212121)31(2712+-=333232+-=332-=． 例5 化简下列各式：(1))2log 2(log )3log 3(log 9384+⋅+； (2)6log ]18log 2log )3log 1[(46626⋅⋅+-．思路分析当式子中的对数式的底数不同时，难以建立相互间的联系，也就无法进行化简，所以一般先使用“换底公式”，化为同一底的对数，或者经过分析，化为互有关联的数为底的对数．在选择需换的底时，应将式子中现有的数均分解为质因数的连乘积，将基本的、相互关联的数选作新的底数．解：(1)解法一：)2log 2(log )3log 3(log 9384+⋅+)9log 2log 3log 2log )(8log 3log 4log 3log (22222222++= )3log 213log 1)(33log 23log (2222++=3log 233log 6522⋅=45=． 解法二：)2log 2(log )3log 3(log 9384+⋅+)9log 2log 2(log )8log 3log 4log 3log (3332222+⋅+= )22log 2(log )33log 23log (3322+⋅+=2log 233log 6532⋅=2356⨯=45=．(2)6log ]18log 2log )3log 1[(46626⋅⋅+-4log 6log )]3log 6(log 2log )3log 6[(log 66666266++-= 4log 1)]26log 1(2log )2[(log 66626++=2log 21]2log 2log 22[log 626626⋅-+=2log 212log 266⋅=＝1．例6 已知a 5log 3=，75b =，用a 、b 的代数式表示105log 63．思路分析因为需要表示的目标是对数式，所以已知条件也都化为对数式，“已知与所求均逐步在内容和形式上求同”，是一般解数学题时常用的操作方法．本题涉及3和5两个质因数，可以化为以其中一个为底的对数，可以建立相互间的联系． 解法一：∵75b =∴7log 5log 3b 3=∴7log 5log b 33= ∵a 5log 3=∴ab 7log 3=∵73632⨯=，105＝3×5×7∴ab 27log 3log 63log 3233+=+=7log 5log 3log 105log 3333++=＝1＋a ＋ab∴63log 105log 105log 3363=ab2aba 1+++=解法二：∵75b =∴7log b 5= ∵a 5log 3=∴a13log 5=25553log 7log 63log +=3log 27log 55+=a2b += 7log 5log 3log 105log 5555++=b 1a1++=∴63log 105log 105log 5563=a2b b1a 1+++=ab 2aba 1+++=点评 思维方向正确，问题总可解出，但不同方法有繁有简，应该分析、实验、探索，尽量使用简捷的解法．例7 求下列函数的定义域、值域，并画出每个函数的图象．(1))1x (log y 3-=； (2)22x log y =．思路分析定义域是研究函数时的一个重要环节，因为它决定着研究的范围．对数概念对真数、底数有很严格的要求，所以只要问题涉及对数，首先必考虑它的范围要求——对数函数的定义域！这点千万要注意．求值域往往比较复杂，不但应用知识多，而且考虑要全面，往往还需对照课本介绍的最基本的函数的值域或图象特点，对所求函数的值域进行估计(今后还会学习求值域的新知识与新方法)．解：(1))1x (log y 3-=∴1x 01x >⇒>- ∴函数定义域是(1，＋∞)∵x ∈(1，＋∞)时，x －1∈(0，＋∞) ∴函数的值域是R ． (为描图象方便画三栏表)点评 描非直线型函数的图象，一般给出3个点能描出曲线的基本形态即可(太复杂的图象可多给点)．注意有渐近线时，一定要用虚线画出渐近线． (2)∵0x 2>，则x ≠0∴定义域是G ＝{x|x ≠0且x ∈R} ∵x ∈R 时，），∞+∈0(x 2∴函数的值域是R ∵)x (f x log )x (log )x (f 2222==-=-∴22x log )x (f =是偶函数点评 不可化为x log 2y 2=作图，为什么？ 例8 求下列函数的定义域：(1))2x 3(log x 25y a 2--=；(2))8x 6x (log y 2)1x 2(+-=-； (3))x (log log y 212=．思路分析复杂函数的自变量允许取值可能受几种限制，自变量必须同时满足这些限制要求时，所涉及的每个概念才都有意义，整个的统一的函数才有意义．因此，必须取所有每个概念限制范围的交集合，才同时满足全部要求，也就是函数的定义域．一般一种限制给出一个不等关系式，所以求复杂函数的定义域，解多个不等式构成的不等式组即可．解：(1)⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-≥-02x 30)2x 3(log 0x 25a 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≠≤≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≠-≤32x 1x 5x 532x 12x 225x 2∴1x 32<<或1<x ≤5 ∴函数的定义域是{x|1x 32<<或1<x ≤5}． 点评 考虑各种限制要求要一个个来，不能遗漏；对概念的要求把握要准确，如是否有等号等，因为只要一个值不对，整个定义域就是错的！(2)⎪⎩⎪⎨⎧≠->->+-11x 201x 208x 6x 2 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠>><1x 21x 4x 2x 或∴1x 21<<或1<x<2或x>4 ∴函数定义域{x|1x 21<<或1<x<2或x>4}． (3)⎪⎩⎪⎨⎧>>0x 0x log 21 1x 00x 1x <<⇒⎩⎨⎧><∴函数的定义域是x ∈(0，1)．例9 (1)已知3log d 30log c 3b 30a 303303....====，，，，将a 、b 、c 、d 四数从小到大排列为_____________________．(2)若02log 2log m n >>时，则m 与n 的关系是( ) A ．m>n>1 B ．n>m>1 C ．1>m>n>0 D ．1>n>m>0 思路分析比较两个量大小的具体操作是： ①判断量的符号比大小；②同一函数的函数值用函数单调进行比较； ③同号的两数可与1或－1比较； ④上述方法无效时，作差比较．几个量比较时，需两个量两个量逐次比较．解：(1)∵030y x >=.，03y x >=∴03b 030a 303>=>=..， ∵x 30y .=是减函数，x 3y =是增函数 ∴1303003=<..，133003=>.∴b>a>0 ∵x log y 3=是增函数，x log y 30.=是减函数 ∴01log 30log 33=<.，01log 3log 3030=<.. ∴c<0，d<0∵3033031..>≈，则3013.<∴131log 30log 33-=<.,1301log 3log 3030-=>...∴c<－1<d<0,∴c<d<a<b ．点评 题目要求从小到大排列，别写成从大到小排列！另外有些值可直接计算，如0270303..=，直接就有1303<.．(2)∵1log 02log n n =>，2>1∴函数x log y n =是增函数∴n>1，同理m>1 解法一：∵2log 2log m n >∴02log 2log m n >- ∴0m log 1n log 122>-0mlog n log n log m log 2222>⋅- ∵0n log 2>，01log m log 22=> ∴0n log m log 22>-∴n log m log 22> ∴m>n ∴m>n>1．选A ． 解法二：∵m>1，n>1∴作x log y x loag y 42==，图象如图2－17．当x ＝2时，从图上观察得2log 2log 42>∴m>n>1． 解法三：∵02log 2log m n >> 而212log 12log 42==， ∴02log 2log 42>>∴m>n>1．选A ．点评 比较大小是常考题型，要灵活应用所学的知识，力求准确，迅速地给出答案．例10 (1)若a>0且a ≠1，且143log a<，则实数a 的取值范围是( ) A ．0<a<1 B ．43a 0<< C ．43a 043a <<>或 D ．43a 0<<或a>1(2)若1<x<d ，令)x (log log c x log b )x (log a d d 2d 2d ===，，，则( ) A ．a<b<c B ．a<c<b C ．c<b<a D ．c<a<b思路分析既然都是同底对数值的大小比较问题(a log 1a =)，可以直接应用对数函数的单调性质进行比较，由于对数函数的单调性与底数的取值范围有关，所以当底数范围不定时，必须区别底在不同范围，分别讨论求解．解：(1)∵a log 143log a a=< 当a>1时，x log y a =是增函数．∴43a > 联立解得a>1当0<a<1时，x log y a =是减函数．∴43a < 联立解得43a 0<< ∴43a 0<<或a>1时，143log a <成立∴选D ． 点评 注意对讨论的条件a>1(或0<a<1)要充分重视，没有这个条件，也就没有43a >(或43a <)这个结论，所以最后总结论必须由两者联立求得结果！ (2)∵1<x<d ∴函数x log y d =是增函数 ∴1log x log d log d d d >>即1x log 0d <<∴0)x (log log c d d <=0x log 2x log b d 2d >==0)x (log a 2d >=∵2d d )x (log x log 2a b -=-0)x log 2(x log d d >-= ∴b>a>c 即c<a<b ∴选D ．例11 已知函数)x 35(log y )4x 2(log y 3231-=+=，． (1)分别求这两个函数的定义域； (2)求使21y y =的x 的值； (3)求使21y y >的x 值的集合．思路分析函数的定义域是非常重要的概念，只能在定义域的范围内研究有关函数的问题，所以涉及到函数的问题，得到结论后都必须检验，只能保留符合定义域范围的结论；涉及到两个或两个以上的函数的问题，只能保留符合它们定义域的交集合(使对所涉及的函数均有意义)的结论．解：(1)2x 04x 2->⇒>+∴函数)4x 2(log y 31+=的定义域是(－2，＋∞)35x 0x 35<⇒>-∴函数)x 35(log y 32-=的定义域是(－∞，35)． (2)若21y y =即)x 35(log )4x 2(log 33-=+ ∵函数x log y 3=是单调递增函数 ∴函数值相等时，自变量值也相等 ∴2x ＋4＝5－3x 51x = ∵)352(51，-∈∴使21y y =的x 的值为51． (3)若21y y >即)x 35(log )4x 2(log 33->+ ∵函数x log y 3=是增函数∴2x ＋4>5－3x 51x > ∵352<<-x ∴35x 51<<∴使21y y >的x 值的集合是}35x 51|x {<<． 例12 已知函数)x 1x lg()x (f 2-+=(1)求函数的定义域； (2)求证f(x)是奇函数； (3)证明f(x)是减函数． 思路分析此题所求解的三个问题，都可以依据所涉及的函数的有关概念的定义入手，但在具体实施操作时，都会遇到一定的困难，这时必须灵活运用已掌握的知识巧妙处理，使这三个问题的解法各具特色，源于常规方法又不拘泥于常规方法，为我们提供了处理中学数学的某些问题的方法和技巧．解：(1)0x 1x 2>-+∵22x 1x >+对x 取任何实数时都成立 而x |x |x 2≥=∴x 1x 2>+对x 取任何实数时都成立 ∴0x 1x 2>-+对x 取一切实数均成立 ∴函数的定义域是R ．点评 我们运用了实数的绝对值的简明性质，绕过了目前不会解的不等式而求出定义域，这也说明数学中的概念和性质也是化简数学运算的有效手段．(2)解法一：定义域R 关于原点对称)]x (1)x (lg[)x (f 2--+-=-)x 1x lg(2++=∵)x 1x )(x 1x (22-+++1x 1x 22=-+= ∴x1x 1x 1x 22-+=++12)x 1x (--+=∴12)x 1x lg()x (f --+=-)x 1x lg(2-+-=＝－f(x) ∴)x 1x lg()x (f 2-+=是奇函数．解法二：f(x)＋f(－x))x 1x lg()x 1x lg(22+++-+=)]x 1x )(x 1x lg[(22++-+=)x 1x lg(22-+=＝lg1＝0∴f(－x)＝－f(x)∴)x 1x lg()x (f 2-+=是奇函数．点评 奇函数的定义要求：f(－x)＝－f(x)，但在具体应用时，由f(－x)经一系列恒等变换得到－f(x)有时比较困难(如证法1)，如果将抽象的变换及性质应用，化为目标明确的运算(把f(－x)＝－f(x)化为f(－x)＋f(x)＝0)，这时“倒数关系”会由暗到明，顺理成章的会得到结果．所以有时把待证命题适当变形，也会给解决问题带来便利．(3)设21x x ，是任意实数且21x x <)x (f )x (f 12-)x 1x lg()x 1x lg(121222-+--+=∵函数y ＝lgx 是增函数∴)x 1x (x 1x 121222-+--+)x x ()1x 1x (122122--+-+=)x x (11x 1x 122122--+-+=)x x (1x 1x )1x (1x 1221222122--++++-+=)x x (1x 1x x x 1221222122--+++-=)11x 1x x x )(x x (21221212-++++-= )1x 1x 1x x 1x x )(x x (212221122212++++-++--=∵21x x <，∴0x x 12>-01x x 222<+-，01x x 211<+- 01x 1x 2122>+++∴01x 1x )1x x ()1x x (2122211222<++++-++-∴0)x 1x (x 1x 121222<-+--+ 即121222x 1x x 1x -+<-+ ∴)x 1x lg()x 1x lg(121222-+<-+ 即0)x 1x lg()x 1x lg(121222<-+--+∴0)x (f )x (f 12<-即)x (f )x (f 12<∴)x 1x lg()x (f 2-+=在R 上是减函数．点评 化繁为简、抓住关键，处理好部分结论，也能解决全局性的问题． 【同步达纲练习】 一、选择题 1．3log 9log 28的值是( ) A ．32 B ．1 C ．23D ．2 2．函数)1x 2x (log )x (f 22+-=的定义域是( )A ．RB ．(－∞，1)∪(1，＋∞)C ．(0，1)D ．[1，＋∞)3．若函数x 2)x (f =，它的反函数是)x (f 1-，)(f c )4(f b )3(f a 111π===---，，，则下面关系式中正确的是( )A ．a<b<cB ．a<c< bC ．b<c<aD ．b<a<c4．4log33的值是( )A ．16B ．4C ．3D ．25．)2x 2x (log )x (f 25+-=，使f(x)是单调增函数的x 值的区间是( ) A ．R B ．(－∞，1) C ．[1，＋∞] D ．(－∞，1)∪(1，＋∞) 6．函数x1x1log y a-+=(其中a>0且a ≠1)是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数也是偶函数7．2log 3log 3log 2log )3log 2(log 3223223--+的值是( ) A ．6log 2 B ．6log 3 C ．2 D ．1 8．命题甲：a>1且x>y>0 命题乙：y log x log a a >那么甲是乙的( ) A ．充分而非必要条件 B ．必要而非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．如果0<a<1，那么下列不等式中正确的是( )A ．2131)a 1()a 1(-<-B ．1)a 1(a 1>-+C ．0)a 1(log )a 1(>+-D ．0)a 1(log )a 1(<-+10．函数)x 2(log )x (f 2-=在区间(－∞，2)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数 C ．奇函数 D ．偶函数二、填空题1．函数f(x)的定义域是[－1，2]，则函数)x (log f 2的定义域是_____________． 2．若412x log 3=，则x ＝_____________． 3．若)1x (log )x (f 3-=使f(a)＝2，那么a ＝_____________．4．函数)a ax x (log )x (f 23-+=的定义域是R(即(－∞，＋∞))，则实数a 的取值范围是_____________．三、解答题1．试比较22x lg )x (lg 与的大小．2．已知)1a (log )x (f x a -=(a>1) (1)求f(x)的定义域；(2)求使)x (f )x 2(f 1-=的x 的值．四、选择题 1．5log222的值是( )A ．5B ．25C ．125D ．6252．函数)x 2(log )x (f 3-=在定义域区间上是( ) A ．增函数B ．减函数C ．有时是增函数有时是减函数D ．无法确定其单调性3．x log )x (f 2=，若142)a (f 1=--，则实数a 的值是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．14．在区间(0，＋∞)上是增函数的函数是( ) A ．1x )32()x (f +=B ．)1x (log )x (f 232+=C ．)x x lg()x (f 2+=D ．x 110)x (f -=5．3log 15log 15log 5log 52333--的值是( )A ．0B ．1C ．5log 3D ．3log 5 6．函数2x log y 5+=(x ≥1)的值域是( )A ．RB ．[2，＋∞]C ．[3，＋∞]D ．(－∞，2] 7．如果)x 2(log )x (f a -=是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(0，1) D ．(0，2) 8．函数)3x 2x (log y 23--=是单调增函数的区间是( ) A ．(1，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1) 9．如果02log 2log b a >>，那么下面不等关系式中正确的是( ) A ．0<a<b<1 B ．0<b<a<1 C ．a>b>1 D ．b>a>1 10．给出下列函数： ①)x 1x (log )x (f 22-+= ②x 1x1log )x (f 2+-= ③|1x |3)x (f -=④21121)x (f x+-= 其中既不是奇函数又不是偶函数的函数个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 五、填空题1．函数x )31(y =的图象与函数x log y 3-=的图象关于直线_____________对称． 2．函数)1x (log )x (f 24-=，若f(a)>2，则实数a 的取值范围是_____________．3．已知1313)x (f x x +-=，则)21(f 1-＝_____________．4．x log )x (f 21=，当]a a [x 2，∈时，函数的最大值比最小值大3，则实数a ＝_____________．5．])2(log )41)[(log 2(lg 15121--+＝_____________．六、解答题1．实数x 满足方程5)312(log x x 2=-+，求x 值的集合．2．已知b 5log a 7log 1414==，，求28log 35(用a 、b 表示)．参考答案【同步达纲练习】一、1．A2．B 提示：R x 1x 0)1x (2∈≠⇒>-且 3．B4．A5．C提示：函数2x 2x 2+-的增函数区间是[1，＋∞)，也是f(x)增函数的区间． 6．A7．C 提示：2323)2(log 3log 2log =，2232)3(log 2log 3log =，13log 2log 23=⋅ 8．A9．D 提示：1＋a>1，0<1－a<1，则01log )a 1(log )a 1()a 1(=<-++ 10．B提示：u log y 2=是增函数，u ＝2－x 是减函数，复合后)x 2(log y 2-=是减函数． 二、1．]421[，2．913．104．－4<a<0 提示：不等式0a ax x 2>-+的解集是R ⇒⊿0a 4a 2<+=． 三、1．解：22x lg )x (lg -x lg 2)x (lg 2-=＝lgx(lgx －2) 当x>100时，lgx>lg100＝2 ∴lgx －2>0∴0x lg )x (lg 22>-，22x lg )x (lg > 当x ＝100时，lgx ＝2∴0x lg )x (lg 22=-，22x lg )x (lg = 当1<x<100时，0<lgx<2 ∴lgx －2<0∴0x lg )x (lg 22<-，22x lg )x (lg < 当0<x<1时，lgx<0 lgx －2<0∴0x lg )x (lg 22>-，22x lg )x (lg > 当x ＝1时，lgx ＝0∴0x lg )x (lg 22=-，22x lg )x (lg =综上所述：当0<x<1或x>100时，22x lg )x (lg > 当x ＝1或x ＝100时，22x lg )x (lg = 当1<x<100时，22x lg )x (lg < 2．(1)解：01a x >-，即1a x >∵a>1∴x>0∴函数f(x)的定义域是{x|x>0}． (2)解：)1a (log y )x (f x a -== ∴1a a x y -=1a a y x +=∴)1a (log x y a += ∴)1a (log )x (f x a 1+=- 当)x (f )x 2(f 1-=时即)1a (log )1a (log x a x 2a +=-时 ∴1a 1a x x 2+=-02a a x x 2=--02a )a (x 2x =--∴2a x =或1a x -=(无解) ∴2log x a = ∵a>1，即02log a >∴使)x (f )x 2(f 1-=成立的x 值是2log a ．四、1．D2．B 提示：u log y 3=对u 是增函数，u ＝2－x 对x 是减函数，二者复合后f(x)对x 是减函数．3．A4．C 提示：参考2题提示．5．A6．B 提示：x ≥1，01log x log 55=≥7．C 提示：在(－∞，2)内，随x 增加，函数u ＝2－x 函数值减少，而函数)x 2(log )x (f a -=的值增加，只能u log y a =是减函数．8．B 提示：函数定义域是区间(－∞，－1)∪(3，＋∞)，函数3x 2x 2--的增区间是(1，＋∞)，而定义域中)1()3(∞+⊂∞+，，．9．D 提示：1a 02log a >⇒>，同理b>1，代值验算12log 2=，212log 4=，或者作x l o g y x l o g y 42==与的图象，观察x ＝2时的相应的函数值的大小．10．A 提示：①、②、④三个函数都是奇函数，只有③既不是奇函数也不是偶函数．五、1．y ＝x 提示：函数x )31()x (f =的反函数是x log x log )x (f 3311-==-．2．)17()17(∞+--∞，， ．3．1提示：不必求反函数，因为由函数与反函数关系)21(f 1-的21是f(x)的函数值，则131321x x +-=解出)21(f x 1-=． 4．8提示：函数x log )x (f 21=在区间]a a [2，上是减函数，则3a log a log 22121=-．5．21提示：241log 21=，5lg 2lg 2log5=三、1．解：∵x 222log 2log x x == ∴原方程化为：5)312(log 2log x 2x 2=-+52x x 22log )312(2log =- 032231)2(x 2x =-⨯- 0)322)(12(x x =-+∵012x >+∴0322x =-，322x = ∴x ＝5所以x 值的集合是{x|x ＝5}．2．解：35log 28log 28log 141435=5log 7log 4log 7log 14141414++=b a 2log a 214++=b a 714log 2a 14++=ba )7log 1(2a 14+-+=b a a 22a +-+=ba a2+-=。