专题：对数函数知识点总结及类型题归纳
对数函数考点与题型归纳
对数函数考点与题型归纳一、基础知识1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).y＝log a x的3个特征(1)底数a>0，且a≠1；(2)自变量x>0；(3)函数值域为R.2．对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即恒有log a1＝0当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a,<1两种情况进行讨论.3．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．二、常用结论对数函数图象的特点(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象．(2)函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称．(3)当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势．考点一 对数函数的图象及应用[典例] (1)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )(2)已知当0<x ≤14时，有x <log a x ，则实数a 的取值范围为________．[解析] (1)因为y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x >1，lg (1－x )，x <1.当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．(2)若x <log a x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，作出图象如图所示．由图象知14<log a 14， 所以⎩⎨⎧0<a <1，a 12>14，解得116<a <1.即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫116，1. [答案] (1)A (2)⎝⎛⎭⎫116，1 [变透练清]1.[变条件]若本例(1)函数变为f (x )＝2log 4(1－x )，则函数f (x )的大致图象是( )解析：选C 函数f (x )＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；函数f (x )＝2log 4(1－x )在定义域上单调递减，排除D.故选C.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a ＞1.答案：(1，＋∞)3.[变条件]若本例(2)变为不等式x 2<log a x (a >0，且a ≠1)对x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，求实数a 的取值范围．解：设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x ) ＝x 2在⎝⎛⎭⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立，需f 1⎝⎛⎭⎫12≤f 2⎝⎛⎭⎫12， 所以有⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1. 即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1.考点二 对数函数的性质及应用考法(一) 比较对数值的大小[典例] (2018·天津高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b[解析] 因为c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a ，所以c ＞a .因为b ＝ln 2＝1log 2e ＜1＜log 2e ＝a ，所以a ＞b .所以c ＞a ＞b . [答案] D考法(二) 解简单对数不等式[典例] 已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________．[解析] 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，2x 2＋1>3x >1①或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1②，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解，所以实数x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，12.[答案] ⎝⎛⎭⎫13，12考法(三) 对数型函数性质的综合问题[典例] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)，若f (1)＝1，求f (x )的单调区间． [解] 因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1， 因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0，得－1<x <3， 函数f (x )的定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．[题组训练]1．已知a ＝2-13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a解析：选C 0<a ＝2-13<20＝1，b ＝log 213<log 21＝0，c ＝log 1213＝log 23>1，∴c >a >b .2．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：选A ∵－1<x <0，∴0<x ＋1<1.又∵f (x )>0，∴0<2a <1，∴0<a <12.3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析：要使f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上单调递增，则y ＝ax 2－x 在[3,4]上单调递增，且y ＝ax 2－x >0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤3，9a －3>0，解得a >13.答案：⎝⎛⎭⎫13，＋∞[课时跟踪检测]A 级1．函数y ＝log 3(2x －1)＋1的定义域是( ) A ．[1,2] B ．[1,2) C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D.⎝⎛⎭⎫23，＋∞解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎨⎧log 3(2x －1)≥log 313，x ＞12，解得x ≥23.2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log2x B.12xC ．log 12xD ．2x －2解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x . 3．如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析：选D ∵log 12x <log 12y <log 121，∴x >y >1.4．(2019·海南三市联考)函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )解析：选C 函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C.5．(2018·惠州调研)若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．c >a >bD ．a >b >c解析：选D 依题意，得a >1,0<b ＝log π3<log ππ＝1，而由0<sin 2π5<1,2>1，得c <0，故a >b >c .6．设函数f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：选A 由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．7．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________.解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2，2)，则2α＝2，所以α＝12，故幂函数为f (x )＝x 12.答案：x 128．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则log b a ＝________.解析：f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)． 则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0， 且f (0)＝log a (0＋b )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以log b a ＝1.答案：19．(2019·武汉调研)函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是________． 解析：由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)，得x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.令m (x )＝x 2－4x －5，则m (x )＝(x －2)2－9，m (x )在[2，＋∞)上单调递增，又由a >1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)．答案：(5，＋∞)10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12(－a )＞log 2(－a )，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2(－a )＞log 2(－a ).解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)11．求函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值．解：显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14. 12．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 级1．已知函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)满足f ⎝⎛⎭⎫2a >f ⎝⎛⎭⎫3a ，则f ⎝⎛⎭⎫1－1x >0的解集为( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选C 因为函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2a <3a 且f ⎝⎛⎭⎫2a >f ⎝⎛⎭⎫3a ，所以f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，即0<a <1，结合对数函数的图象与性质可由f ⎝⎛⎭⎫1－1x >0，得0<1－1x<1，所以x >1，故选C. 2．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．解析：令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916， 因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数， 所以f (x )＝f (－x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．。
专题：对数函数知识点总结及类型题归纳
专题：对数函数知识点总结1.对数函数的定义：一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为思考：函数log a y x =与函数xy a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。
|一般的,函数y=a x与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1(x)如:f(x)=2x ,则f -1(x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线y=x 对称函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称专题应用练习一、求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-； （2）log ay =(0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）y =？(5) y=lg11-x (6) y=x 3log=log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________4.函数的定义域是5.函数y ＝log 2(32－4x)的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________{7.求函数2log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。
8.求下列函数的定义域、值域：（1）2log (3)y x =+； （2）22log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．9.函数f （x ）=x1ln （432322+--++-x x x x ）定义域10.设f(x)=lgx x -+22,则f )2()2(xf x +的定义域为11.函数f(x)=)1(log 1|2|2---x x 的定义域为12.函数f(x)=229)2(1x x x g --的定义域为 ；`13.函数f （x ）=x1ln （432322+--++-x x x x ）的定义域为14222loglog log y x =的定义域是1. 设f (x )＝lg(ax 2－2x ＋a ),(1) 如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值范围； (2) 如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值范围． 15.已知函数)32(log )(221+-=ax x x f（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围、（2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围（3）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值； （4）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值.16.若函数()2x y f =的定义域为[]1,0-，则函数()2log y f x =的定义域为 17.已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域.18若函数y=lg(4-a ·2x)的定义域为R ，则实数a 的取值范围为19已知x 满足不等式06log 7)(log 222≤++x x ，函数=)(x f )2(log )4(log 42x x •的值域是'20求函数1log )(log 21221+-=x x y (14)x ≤≤的值域。
专题10 对数与对数函数 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题10对数与对数函数对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log Na ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ；③自然对数：以e 为底，记为ln N ；(3)对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)；③对数换底公式：log log log c a c bb a=；④log ()log log a a a MN M N =+；⑤log log log aa a MM N N=-；⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈；⑦log a b a b =和log b a a b =；⑧1log log a b b a=；2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数．对数函数的图象过定点(10)，，即1x =时，0y =在(0)+∞，上增函数在(0)+∞，上是减函数当01x <<时，0y <，当1x ≥时，y≥当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y≤【方法技巧与总结】1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)a 增大a 增大【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））题型四：对数函数中的恒成立问题题型五：对数函数的综合问题【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++；（2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值；（3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45．例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值.（2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212a b c +=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a b b ---的值．例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（）A ．a ＋b ＝100B ．b －a ＝eC ．28ln 2ab <D ．ln 6b a ->例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（）A ．2B ．4C ．6D ．8例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b >例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（）A ．3-B ．1C ． 3+D ．2+（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x xf x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2 ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（）A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（）Ab a<<B．b a<<Ca b<<D．a b <例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（）A ．0B ．1C ．2D ．a例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．C．⎛ ⎝⎭D．)+∞【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（）A ．1116a ≤<B ．1116a <<C ．1016a <≤D ．1016a <<例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（）A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +．（1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围．例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =.（1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【方法技巧与总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题例26．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知定义域为()0, +的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则方程()242f x x x =-+-的解的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0例27．（2022·四川雅安·三模（文））设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()163xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（）．A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)2例28．（2022·广西柳州·高一期中）已知0a b >>，且1a b +=，则（）A ．sin sin a b>B ．11a b>C ．22a b +>D ．lg lg 0a b +=例29．（2022·河北保定·二模）已知函数2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，函数3443xxy =-在()0,∞+上先增后减.若()231log log x =()321log log 0x a =>，()()242422log log log log x x b ==，()()343433log log log log 0x x c ==>，则（）A ．a c<B ．b a<C ．c a<D ．a b<例30．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则ab的取值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．4例31．（2022·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()22e ln 2xf x x x -=+-的零点，则020e ln x x -+=_______．【过关测试】一、单选题1．（2022·辽宁辽阳·二模）区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行142.510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据lg20.3≈ 1.58≈）（）A ．1393.1610s ⨯B ．1391.5810s ⨯C ．1401.5810s⨯D ．1403.1610s⨯2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知1log 3m p =，9p n =，其中0m >且1m ≠，0n >且1n ≠，若20m n -=，则p 的值为（）A ．3log 2B ．2log 3C ．2D ．33．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正实数x ，y ，z 满足(34zx y ==，则（）A ．111x y z+=B ．111y z x+=C ．112x y z +=D ．112x z y+=4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数()()()ln 22ln 33f x x x =++-，则()f x （）A ．是奇函数，且在()0,1上单调递增B ．是奇函数，且在()0,1上单调递减C ．是偶函数，且在()0,1上单调递增D ．是偶函数，且在()0,1上单调递减5．（2022·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点A ．（2，2）B ．（2，1）C ．（3，2）D ．（2，0）6．（2022·安徽六安·一模（文））设函数()2f x =，()()2ln 41g x ax x =-+，若对任意的1R x ∈，都存在实数2x ，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．[]0,4D ．(]0,27．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设0a >且1a ≠，sin cos a x x x >+对(0,)4x π∈恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(,1)(1,)42ππ⋃D ．[,1)4π8．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（）A b a<<B ．b a<<C a b<<D ．a b <二、多选题9．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（）A ．11a b+的最小值是4B ．1ab ab+的最小值是2C ．22a b +的最小值是D ．22log log a b +的最小值是2-10．（2022·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（）A ．2ab bc ac+=B ．ab bc ac+=C ．4949b b a c⋅=⋅D ．121c b a=-11．（2022·河北·高三阶段练习）下列函数中，存在实数a ，使函数()f x 为奇函数的是（）A ．()(lg f x x =B ．()2f x x ax=+C ．()21xaf x e =--D ．()()2ln 2xx f x x e a =+-12．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（）ABCD三、填空题13．（2022·天津·二模）已知()42log 41log x y +=+，则2x y +的最小值为__________.14．（2022·全国·高三专题练习）已知23e ln 3x x x -+=，则3e ln x x -+=__________．15．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()241,1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若1()2f a <≤，则实数a的取值范围为___________.16．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--．当()1,2x ∈时，()21log f x x =-．给出以下4个结论：①函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 成中心对称；②函数()y f x =是以2为周期的周期函数；③当()0,1x ∈时，()()2log 21f x x =--；④函数()y f x =在()(),1k k k +∈Z 上单调递减．其中所有正确结论的序号为______．四、解答题17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值；18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．19．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；21．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()0.51log 1ax f x x -=-在其定义域上是奇函数，a 为常数．(1)求a 的值．(2)证明：()f x 在()1,+∞上是增函数．(3)若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．（2022·北京东城·高三期末）曲线ln y x =在点(,ln )A t t 处的切线l 交x 轴于点M .(1)当t e =时，求切线l 的方程；(2)O 为坐标原点，记AMO 的面积为S ，求面积S 以t 为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.。
对数及对数函数知识点总结及题型分析
对数及对数函数1、对数的基本概念（1）一般地，如果a （1,0≠>a a ）的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对数， 记作b N a=log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式（2）常用对数：N 10log ，记作N lg ； 自然对数N e log （e =2.71828…），记作N ln .（3）指数式与对数式的关系：log xa a N x N =⇔=（0>a ，且1≠a ，0N >）（4）对数恒等式：2、对数的性质（1）负数和零没有对数，即0>N ； （2）1的对数是零，即01log =a ； （3）底的对数等于1，即1log =a a3、对数的运算性质（1）如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M NMa a alog log log -=； ③M n M a n alog log =（2）换底公式： 推论：① b N N b log 1log =； ② ； ③ 1log log =⋅a b b a4、对数函数的定义：函数 叫做对数函数，其中x 是自变量（1）研究对数函数的图象与性质：由于对数函数 与指数函数 互为反函数，所以 的图像和 的图像关于直线 对称。
（2）复习)10(≠>=a a a y x且的图象和性质()010log >≠>=N a a N aNa ，且bNN a a b log log log =b mn b a na m log log =a y log x =(a 0a 1)>≠且a y log x =x y a =a y log x=xy a =y x =2．对数函数的图像：3．对数函数的性质：【回顾一下】① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域为 ； 3) 当____ __时，函数为减函数，当_________时为增函数； 4) 函数与函数 ______ 互为反函数.① 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当时，图象向上无限接近y 轴；当时，图象向下无限接近y 轴)； 4) 函数y ＝log a x 与 的图象关于x 轴对称． ① 函数值的变化特征：题型一、对数式的运算 例题1：填空（1）[])81(log loglog 346＝_____ ___； （2）19lg 3lg 2+-＝ ；（3）04.0log 10log 222+＝_____ ___； （4）3log 28log 316161+＝_____ ___； （5）=⋅⋅⋅4log 5log 7log 3log 7352例题2：若a y x =-lg lg ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛332lg 2lg y x （ ）.A a 3 .Ba 23 .C a .D 2a 题型二 变式、对数运算性质运用 变式1：计算变式2：3128x y ==，则11x y-= .xy a log =)1,0(≠>=a a a y x 且10<<a 1>a 2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+题型三、解对数式方程例题1：已知216log =x ，则=x （ ）.A 2 .B 4 .C 8 .D 32例题2：已知 ① 3log 1log 266-=x ，求x 的值 ； ② 2)25(log 22=--x x ，求x 的值。
高中数学对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .（2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N .②log aNM=log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象a <11))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题题型1（对数的计算）1．求下列各式的值． （1）355log ＋212log 1505log －145log ； （2）log 2125×log 318×log 519.练习题 1．计算：lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 278；2.log 535＋212log －log 5150－log 514； 3.log 2125×log 318×log 519.4. 3991log log 4log 32+-． 5. 4lg 2lg 5lg 22+-221(6).log 24lg log lg 2log 32+-- 7.2lg 2lg3111lg 0.36lg823+++例2．已知实数x 、y 、z 满足3x ＝4y ＝6z＞1. (1)求证：2x ＋1y ＝2z； (2)试比较3x 、4y 、6z 的大小．练习题．已知log 189＝a ，18b＝5，用a 、b 表示log 3645.题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数()22log 1x f x x -=-的定义域为集合A ，关于x 的不等式22a a x--<的解集为B ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．2．设函数22log (22)y ax x =-+定义域为A ．（1）若A R =，求实数a 的取值范围；（2）若22log (22)2ax x -+>在[1,2]x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围．练习题1．已知函数()()2lg 21f x ax x =++（1）若()f x 的定义域是R ,求实数a 的取值范围及()f x 的值域； （2）若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围及()f x 的定义域2 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.题型三（奇偶性及其单调性）例题1．已知定义域为R 的函数f(x)为奇函数，且满足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x－1. (1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(12log 24)的值．2. 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.3.已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.4．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （Ⅰ）求函数()y f x =的定义域； （Ⅱ）判断函数()y f x =的奇偶性；（Ⅲ）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)(a ＞0，a≠1) (1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a ＞1时，求使f(x)＞0的x 的取值范围2．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，(0)0f =，当0x >时，12()log f x x =.（1）求函数()f x 的解析式； （2）解不等式2(1)2f x ->-；3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12()log (1)f x x =-+．（Ⅰ）求(0)f ，(1)f ； （Ⅱ）求函数()f x 的表达式；（Ⅲ）若(1)1f a -<-，求a 的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是C D2.求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.3．设f(x)＝|lg x|，a ，b 为实数，且0＜a ＜b. (1)求方程f(x)＝1的解； (2)若a ，b 满足f(a)＝f(b)＝2f 2a b +⎛⎫⎪⎝⎭， 求证：a·b＝1，2a b+＞1.练习题：1．已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，xx g a -=11log )(，记)()(2)(x g x f x F += （1）求函数)(x F 的定义域及其零点；（2）若关于x 的方程2()2350F x m m -++=在区间)1,0[内仅有一解，求实数m 的取值范围.2．已知函数f(x)＝log 4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 44•23x a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．3.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于题型五：函数方程1方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.2.已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为4．已知函数1,0)((log )(≠>-=a a x ax x f a 为常数）.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若2a =，[]1,9x ∈,求函数()f x 的值域； （Ⅲ）若函数()f x y a =的图像恒在直线21y x =-+的上方，求实数a 的取值范围.5．已知函数221log log (28).242x xy x =⋅⋅≤≤ （Ⅰ）令x t 2log =，求y 关于t 的函数关系式及t 的取值范围； （Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x 的值.6.设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小.。
对数函数(基础知识+基本题型)(含解析)
4.4对数函数（基础知识+基本题型）知识点一 对数函数的概念一般地，我们把函数log (0,a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是()0,.+∞辨析 (1)对数函数的特征：①log a x 的系数是1；②log a x 的底数是不等于1的正数； ③log a x 的真数仅含自变量.x(2)求对数函数的定义域时，应注意：①对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；②对含有字母的式子要分类讨论；③使式子符合实际背景.知识点二 对数函数的图象和性质1.对数函数log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象和性质()0,+∞.R 2.对数函数的图象与性质的对应关系①这些图象都位于y 轴右方 ①x 可取任意正数，函数值.y R ∈ ②这些图象都经过点(1,0)②无论a 为任何正数，总有log 10a =③图象可以分为两类：一类图象在区间(0,1)内纵坐标都小于0，在区间()1,+∞内的纵坐标都大于0；另一类图象正好相反③当1a >时01log 0,1log 0;a a x x x x <<⇒<⎧⎨>⇒>⎩ 当01a <<时01log 0,1log 0a a x x x x <<⇒>⎧⎨>⇒>⎩ ④自左向右看，当1a >时，图象逐渐上升；当01a <<时，图象逐渐下降 ④当1a >时，函数log a y x =是增函数； 当01a <<时，函数log a y x =是减函数3.底数对函数图象的影响(1)函数log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象无限地靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交；(2)在同一平面直角坐标系中，log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象与1log (0,ay x a =>且1)a ≠的图象关于x 轴对称.(3)对数函数单调性的记忆口诀：对数增减有思路，函数图象看底数；底数要求大于0，但等于1却不行； 底数若是大于1，函数从左往右增；底数0到1之间，函数从左往右减； 无论函数增和减，图象都过点(1,0).在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见下图)知识点三 指数函数与对数函数的关系指数函数对数函数解析式()10≠>=a a a y x 且)10(log ≠>=a a x y a 且R ()+∞,0①一般地，函数()y f x a b =±±（a 、b 为正数）的图象可由函数()y f x =的图象变换得到。
对数函数题型归纳大全非常完整
对数与对数函数题型归纳总结知识梳理 1．对数的概念如果a x ＝N (a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log aN ＝N ；②log a a b ＝b (a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c blog ca (a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)．利用换底公式推导下面的结论 ①ab b a log 1log =．推广log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=． ②b mnb a na m log log =，特例：log log n n a a b b = (3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ，③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．3．函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，x 是自量，函数定义域是(0,)+∞．注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5log 5xy =都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．（2）对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 4．对数函数的定义、图象与性质结论1.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 结论 2.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限. 5.反函数指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 例题分析题型一 对数的运算例题1： （1）计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝_____；(2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝___解析：(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.例题2： 设x 、y 、z 为正数，且，则x 、y 、z 之间的关系式为 . 解析：设，由知，取以为底的对数可得，所以，，，所以，所以. 变式1： （1）若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于 (2)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝___，b ＝____ 解析： (1)由题意知lg 2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)， ∴2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，(2x )2－9＝0，2x ＝3，x ＝log 23. (2)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，∴t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ，∴b 2b ＝b b 2，即2b ＝b 2，又a >b >1，得b ＝2，a ＝4. 变式2： 已知1a b >>．若log lo 52g a b b a +=，b a a b =，则a =______，b =____ 分析：进行对数运算常用的方法：（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2lg51+=解析：设log ,1b a t t =>则，所以152t t +=，解得2t =，所以2a b =， 于是由b a a b =，得22b b b b =，所以22b b =， 解得2,4b a ==．题型二 对数函数的定义域346x y z==346x y z t ===0x >1t >t log 3log 4log 61t t t x y z ===1log 3t x =1log 4t y=1log 6t z =1111log 6log 3log 2log 422t t t t z x y -=-===1112z x y-=例题3： 函数y =__________．解析：要使()21log 1y x =-+有意义，则()21log 10x -+≥，即()2log 11x +≤，即012x <+≤，即11x -<≤，即函数()21log 1y x =-+的定义域为(]1,1-．变式3： 函数256()lg 3x x f x x -+-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]- 分析：求函数的定义域主要从三个方面考虑：（1）分式中的分母要求不等于0；（2）偶次根式的被开方数要求非负；（3）对数式的真数要求为正数． 解析：由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564||0,03x x x x -+-≥>-，解得44,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C ．题型三 对数函数的值域 例题4： 求下列函数的值域：（1）31log y x =-；（2）()212log 23y x x =--．解析：（1）∵31log 0x -≥∴33log 1log 3x ≤=∴0x <<3，函数的定义域为(]0,3x ∈∵31log 0x -≥函数的值域为[)0,y ∈+∞． （2）∵2230x x -->∴3x >或1x -<所以函数的定义域为()(),13,x ∈-∞-+∞因为2230x x -->，即223x x --能取遍一切正实数，所以()212log 23x x R --∈ 所以函数的值域为y R ∈． 题型四 对数函数的奇偶性例题5： 若函数()f x 为奇函数，当0x >时，()2log f x x =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1解析：()()2211log 11log 1022f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选C ．变式4： 若函数()2lg 2+1f x a x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭为奇函数，则实数a =_______．解析：12-题型五 对数函数的对称性例题6： 若1x 满足522=+x x ，2x 满足5)1(log 222=-+x x ，则=+21x x 解析：x x 252-=，x x 25)1(log 22-=-，即x x -=-2521，x x -=-25)1(log 2，作出12-=x y ，x y -=25，)1(log 2-=x y 的图象（如图）．由图知12-=x y 与)1(log 2-=x y 的图象关于1-=x y 对称，它们与x y -=25的交点A 、B 的中点为x y -=25与1-=x y 的交点C ，47221=+=x x x C ，∴2721=+x x题型六 对数函数的单调性例题7： 求函数()20.1log 253y x x =--的递减区间． 解析：先求函数的定义域，由22530x x -->，得12x -<，或3x >．令2253u x x =--，0.1log y u =，∵对数的底数0.11<，∴函数0.1log y u =减函数，由复合函数单调性“同增异减”的规律可知，要求原函数的单调间区间，只需求函数2253u x x =--（12x -<，或3x >）的递增区间即可．∵22549253248u x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，∴函数2253u x x =--（12x -<，或3x >）的递增区间()3,+∞，所以函数()20.1log 253y x x =--的递减区间为()3,+∞．变式5： 函数()()2log 45a f x x x =--（1a >）的单调递增区间是（） A ．(),2-∞- B ．(),1-∞- C ．()2,+∞ D ．()5,+∞分析：复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．解析：由函数()()2log 45a f x x x =--得2450x x -->，得1x <-或5x >， 根据题意，设245u x x =--，则()229u x =--，图象开口向上， 因函数()()2log 45a f x x x =--为单调增函数， 由1a >得：()log a f x u =也是增函数，又因245u x x =--在()5,+∞上是增函数，故x 的取值范围是()5,+∞，故选D ． 变式6： 已知函数()212log y x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是___________．分析：（1）忽视真数要求大于0的条件；（2）只注意真数所对应的二次函数的单调性而忽视外层函数的单调性．解析：令2t x ax a =-+，则有函数()f x 在区间()2,+∞上是减函数，可得函数t 在区间()2,+∞上是增函数，且(2)0t >，所以22(2)420at a ⎧≤⎪⎨⎪=->⎩，解得4a ≤所以实数a 的取值范围是4a ≤变式7： 若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________.解析：令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎨⎧g （1）＞0，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1，2).．变式8： 已知函数 (a >0，且a ≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.()()8a f x log ax ＝－()1f x >解析：当时，在[1，2]上是减函数，由在区间[1，2]上恒成立，则，解之得。
对数及对数函数-知识点及题型归纳
- .可修编 .●高考明方向1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3.知道对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a>0，且a ≠1)．★备考知考情通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容- .可修编 .在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点.一、知识梳理《名师一号》P27注意：知识点一对数及对数的运算性质1.对数的概念一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N(a>0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”．- .可修编 .注意：(补充)关注定义---指对互化的依据2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a ≠1，M>0，N>0，那么①log a (MN)＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝nlog a M(n ∈R)；④log a mM n＝n m log a M.(2)对数的性质①a logaN ＝N ；②log a a N ＝N(a>0，且a ≠1)．-.可修编 .(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N log a b(a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d. 注意：(补充)特殊结论:log 10,log 1a a a ==知识点二 对数函数的图象与性质1.对数函数的图象与性质（注意定义域!）a>1 0<a<1- .可修编 .2.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．(补充)设y ＝f(x)存在反函数，并记作y ＝f －1(x)，1) 函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f －1(x)的图象- .可修编 .关于直线y x 对称．2) 如果点P(x 0，y 0)在函数y ＝f(x)的图象上，则必有f －1(y 0)＝x 0，反函数的定义域、值域分别为原来函数的值域、定义域．3)函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f －1(x)的单调性相同．二、例题分析：（一）对数式的运算例1.(1)《名师一号》P27 对点自测1(2013·XX 文3)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c b- .可修编 .C ．log a (bc)＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c)＝log a b ＋log a c解析 由对数的运算性质：log a (bc)＝log a b ＋log a c ，可判断选项C ，D 错误；选项A ，由对数的换底公式知，log a b ·log c b ＝log c a ⇒lgb lga ·lgb lgc ＝lga lgc⇒lg 2b ＝lg 2a ，此式不恒成立，故错误；对选项B ，由对数的换底公式知，log a b ·log c a ＝lgb lga ·lga lgc ＝lgb lgc＝log c b ，故恒成立． 答案 B- .可修编 .例1.(2) (补充) 计算下列各式的值 (1)2lg 2lg 3111lg 0.36lg823+=++ (2) 温故知新P22 第8题()22log 3lg5lg 2lg504+⋅+= (3)235111log log log 2589⋅⋅=答案：(1) 1 (2)10 (3)-12- .可修编 .注意： 准确熟练记忆对数运算性质多练lg 2lg51+=《名师一号》P28 高频考点 例1【规律方法】 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．例2.(1)《名师一号》P27 对点自测2(2014·XX 卷)已知4a ＝2，lgx ＝a ，则x ＝________.解析 ∵4a ＝2，∴a ＝log 42＝12.由lgx ＝12，- .可修编 . 得x ＝10 12＝10.例2.（2）《名师一号》P28 高频考点 例1(1)若x ＝log 43，则(2x －2－x )2等于( )A.94B.54C.103D.43解析:由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x ＝3，2－x ＝33，-.可修编. ⎝⎭注意：指数与对数的互化a b＝N⇔b＝logaN(a>0，a≠1，N>0)．练习:(补充)已知1135,2a b ka b==+=求k答案:k=例3.《名师一号》P28 高频考点例1(2)- .可修编 .已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，3－x ＋1，x ≤0，则f(f(1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72因为f(1)＝log 21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2. 因为log 312<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32 ＋1＝2＋1＝3.所以f(f(1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝2＋3＝5.-.可修编 .二、对数函数的图象及性质的应用 例1. (补充)求下列函数的定义域． (1)y ＝log 0.5(4x －3). (2)y ＝log (x ＋1)(16－4x )．解析：(1)由函数定义知：⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(4x －3)≥04x －3>0∴⎩⎪⎨⎪⎧4x －3≤14x －3>0，即34<x ≤1.-.可修编 .故原函数的定义域是{x|34<x ≤1}．(2)由函数有意义知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x ＋1≠116－4x>0∴⎩⎪⎨⎪⎧x>－1x ≠0x<2即－1<x<2，且x ≠0.故原函数的定义域为{x|－1<x<0，或0<x<2}． 练习：已知集合(){}22log x y x ax a R =--=XX 数a 的取值X 围．- .可修编 .解析：设f(x)＝x 2－ax －a ，则y ＝log 2f(x)， 依题意，f(x)>0恒成立，∴Δ＝a 2＋4a<0 ∴－4<a<0，即a 的X 围为(－4,0)例2.《名师一号》P27 对点自测5(2014·XX 卷)函数f(x)＝log 2x ·log 2(2x)的最小值为________．-.可修编 .解析 根据对数运算性质，f(x)＝log 2x ·log2 (2x)＝12log 2x ·[2log 2(2x)]＝log 2x(1＋log 2x)＝(log 2x)2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14，当x ＝22时，函数取得最小值－14.注意：换元后“新元”的取值X 围．练习：1、求下列函数的值域- .可修编 .（1）y ＝log 15(－x 2＋2x ＋4)[答案] [－1，＋∞)（2）f(x)＝log 22x －3log 2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤2[解析] 令t ＝log 2x ，∵12≤x ≤2∴－1≤t ≤1.∴函数化为y ＝t 2－6t ＋2＝(t －3)2－7∵－1≤t ≤1.∴当t ＝－1，即x ＝12时，y max ＝9.当t ＝1，即x ＝2时，y min ＝－3， ∴函数的值域为[－3,9].2、已知集合(){}22log y y x ax aR =--=XX数a的取值X围．[分析]当且仅当f(x)＝x2－ax－a的值能够取遍一切正实数时，y＝log2(x2－ax－a)的值域才为R.而当Δ<0时，f(x)>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R，而f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏)．要使f(x)能取遍一切正实数，作为二次函数，f(x)图像应与x轴有交点(但此时定义域不再为R)[正解] 要使函数y＝log2(x2－ax－a)的值域为R，应使f(x)＝x2－ax－a能取遍一切正数，要使f(x)＝x2－ax－a能取遍一切正实数，应有Δ＝a2＋4a≥0，∴a≥0或a≤－4，∴所求a的取值X围为(－∞，－4]∪[0，＋∞)-.可修编.- .可修编 .例3. （1）《名师一号》P27 对点自测4已知a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a (x ＋2 015)＋2的图象恒过定点________．解析 令x ＋2 015＝1，即x ＝－2 014时，y ＝2，故其图象恒过定点(－2 014,2)． 练习:- .可修编 .无论a 取何正数(a ≠1)，函数()33log a y x =-+恒过定点 【答案】()43, 注意：对数函数()01log ,a y x a a =>≠且图象都经过定点(1, 0)例3. （2） (补充)如右下图是对数函数①y ＝log a x ，②y ＝log b x ， ③y ＝log c x ，④y ＝log d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是 ( ) A ．a>b>1>c>d B ．b>a>1>d>c C ．1>a>b>c>d- .可修编 .D ．a>b>1>d>c【答案】B在上图中画出直线y ＝1，分别与①、②、③、④交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1)，由图可知c<d<1<a<b.注意：(补充)两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x ＝1右侧的部分是“底大图低”. 利用1log a a =，图象都经过()1,a 点，作直线1y =，-.可修编 .则该直线与图象的交点的横坐标即为底数a 。
对数与对数函数知识点与例题讲解
对数与对数函数知识点与例题讲解知识梳理： 一、对数1、定义：一般地，如果()0,1x a N a a =>≠，那么实数x 叫做以a 为底N 的对数，记作a x log N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做对数的真数.2、特殊对数⑴通常以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lgN ； ⑵通常以e 为底的对数叫做自然对数，并把e log N 记为lnN . 3、对数的运算⑴运算性质：如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么：①()a a a log MN log M log N =+；②a a a Mlog log M log N N=-；③()n a a log M nlog M n R =∈；④(),0m na a n log M log M n R m m=∈≠；⑤1a b log b log a =；⑥a log N a N =.⑵换底公式：c a c log blog b log a=.二、对数函数1、定义：一般地，函数()01a y log x a a =>≠，且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞.2、图像和性质1>a10<<a图像性质定义域： 值域：过定点 ，即当1=x 时，0=y在R 上是在R 上是非奇非偶函数3、同底的指数函数xa y =与对数函数x y a log =互为反函数，它们的图像关于直线x y =对称.【课前小测】1、2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭写成对数式，正确的是（ ）A 、9123log =- B 、1392log =- C 、()1329log -= D 、()9123log -= 2、函数()0,1a y log x a a =>≠的图像过定点（ ）A 、()1,1B 、()1,0C 、()0,1D 、()0,0 3、49343log 等于（ ） A 、7 B 、2 C 、23 D 、324、函数()()31f x lg x =+的定义域是（ ）A 、1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B 、()0,+∞ C 、(),0-∞ D 、1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5、函数()21f x log x =+的定义域是（ ）A 、(),-∞+∞B 、()0,+∞C 、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D 、10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦考点一、化简和求值例1、⑴552log 10log 0.25+=（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、4 解析：2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2 ⑵计算：3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+． 解：原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅=． 变式、⑴（辽宁卷文10）设25abm +=，且112a b+=，则m =（ ） A 、10 B 、10 C 、20 D 、100 ⑵已知32a=，用a 表示33log 4log 6-；⑶已知3log 2a =，35b=，用a 、b 表示 30log 3．考点二、比较大小例2、较下列比较下列各组数中两个值的大小：⑴6log 7，7log 6； ⑵3log π，2log 0.8； ⑶0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； ⑷5log 3，6log 3，7log 3． 答案：⑴>；⑵>；⑶>，>；⑷>，>．变式、⑴已知函数()|lg |f x x =，若11a b c>>>，则()f a 、()f b 、()f c 从小到大依次为 ；a c b <<⑵已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小． 解：∵log 4log 4m n <， ∴4411log log m n <，当1m >，1n >时，得44110log log m n<<，∴44log log n m <， ∴1m n >>．当01m <<，01n <<时，得44110log log m n<<，∴44log log n m <， ∴01n m <<<．当01m <<，1n >时，得4log 0m <，40log n <， ∴01m <<，1n >， ∴01m n <<<．综上所述，m ，n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<． 考点三、解与对数相关的不等式 例3、⑴解不等式2)1(log 3≥--x x ．解：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≥->->-2)3(11301x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<-<>-2)3(113001x x x x解之得：4＜x ≤5 ∴原不等式的解集为{x |4＜x ≤5}⑵解关于x 的不等式：)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a ． 解：原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a ＞1时有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x（其实中间一个不等式可省,为什么？让学生思考）当0＜a ＜1时有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或∴当a ＞1时不等式的解集为221<<x ；当0＜a ＜1时不等式的解集为42<<x ⑶解不等式24log ax x xxa > 解：两边取以a 为底的对数：当0<a <1时原不等式化为：2log 29)(log 2-<x x a a ∴0)1log 2)(4(log <--x x a a ，4log 21<<x a ， ∴a x a <<4 当a >1时原不等式化为：2log 29)(log 2->x x a a ∴0)1log 2)(4(log >--x x a a ，∴ 21log 4log <>x x a a 或 ，∴a x a x <<>04或 ∴原不等式的解集为}10,|{4<<<<a a x a x 或}1,0|{4><<>a a x a x x 或考点四、对数型函数的性质 ① 定义域、值域例4、⑴函数2()lg(31)f x x ++的定义域是（ ） A 、1(,)3-+∞ B 、1(,1)3- C 、11(,)33- D 、1(,)3-∞-⑵函数(21)log x y -= ）A 、()2,11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B 、()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭⑶函数()()2log 31xf x =+的值域为（ ）A 、()0,+∞B 、[)0,+∞C 、()1,+∞D 、[)1,+∞ 变式、求函数y =的定义域.② 单调性、奇偶性例5、⑴函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________． 解： 令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u . ∵y ＝log 3u是增函数，u ＝x 2－2x ＞0的减区间是(－∞，0)，∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)．⑵设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )＜0的x 的取值范围是（ ） A 、(－∞，0) B 、(0，＋∞) C 、(－∞，log a 3)D 、(log a 3，＋∞)解：由f (x )＜0，即a 2x －2a x －2＞1，整理得(a x －3)(a x ＋1)＞0，则a x ＞3.∴x ＜log a 3. ⑶函数y ＝log 22－x2＋x 的图象（ ）A 、关于原点对称B 、关于直线y ＝－x 对称C 、关于y 轴对称D 、关于直线y ＝x 对称解：∵f (x )＝log 22－x 2＋x ，∴f (－x )＝log 22＋x 2－x ＝－log 22－x2＋x∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．故选A .变式、⑴若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是（ ） A 、),21(+∞ B 、),1(+∞ C 、)1,21( D 、)21,0(⑵若02log )1(log 2<<+a a a a ，则a 的取值范围是 ．⑶若函数)2(log )(22a x x x f a ++= 是奇函数，则a = ．③综合应用例6、设函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫1－ax ，其中0＜a ＜1. ⑴证明：f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； ⑵解不等式f (x )＞1.解析：⑴证明：设0＜a ＜x 1＜x 2，g (x )＝1－ax ，则g (x 1)－g (x 2)＝1－a x 1－1＋a x 2＝a (x 1－x 2)x 1x 2＜0，∴g (x 1)＜g (x 2)．又∵0＜a ＜1，∴f (x 1)＞f (x 2)． ∴f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．⑵∵log a ⎝⎛⎭⎫1－a x ＞1，∴0＜1－ax ＜a ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，x ＜a 1－a ，∴不等式的解集为：{x |a ＜x ＜a1－a}．变式、已知函数22()log (32)f x x x =+-.⑴求函数()f x 的定义域；⑵求证()f x 在(1,3)x ∈上是减函数；⑶求函数()f x 的值域. 随堂巩固1、6632log log +等于（ ）A 、6B 、5C 、1D 、65log 2、在()23a b log -=中，实数a 的取值范围是（ ）A 、2a <B 、2a >C 、23,3a a <<>或D 、3a > 3、下列格式中成立的是（ ）A 、22a a log b log b = B 、a a a log xy log x log y =+C 、()()()a a a log xy log x log y =•D 、a a a xlog log y log x y=- 4、213alog > ，则a 的取值范围是（ ） A 、312a <<B 、30112a a <<<<或C 、213a <<D 、2013a a <<>或 5、已知ab M =()0,0,1a b M >>≠，且log M b x =，则log M a 等于（ ） A 、1x - B 、1x + C 、1xD 、1x - 6、(08山东济宁)已知8log 9a =，2log 5b =，则lg 3等于（ ） A 、1ab - B 、()321a b - C 、()321a b + D 、()312a b -7、已知函数()()32f x lg x =+的定义域为F ，函数()()()12g x lg x lg x =-+-的定义域为G ，那么（ ）A 、G F ≠⊂B 、G F =C 、F G ⊆D 、FG =∅8、(08山东)已知函数()2300x x f x log x x ⎧≤=⎨>⎩，，，12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A 、1- B、log CD 、139、若()6430log log log x =⎡⎤⎣⎦，则12x -等于（ ）A 、9B 、91C 、3D 、3310、若M =⋅32log 4log 3log 3132 ，则M 的值是（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 11、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、2a -B 、5a -C 、23(1)a a -+ D 、231a a -- 12、已知偶函数()x f 在[]4,2上单调递减,那么)8(log 21f 与)(π-f 的大小关系是（ ）A 、)8(log 21f >)(π-f B 、)8(log 21f =)(π-fC 、)8(log 21f < )(π-f D 、不能确定13、若312log 19x-=，则x = ； 14、已知：lg 21.3a =，则lg0.213=___________；15、()2211log log 1a a x x -->+，则a 的取值范围为________________； 16、比较大小⑴8.1log 3 7.2log 3；⑵5log 6 7log 6； 17、若14log 3=x ，则=+-xx44___________；18、已知log 1a x =，log 2b x =，log 4c x =，则log abc x =____________； 19、(08山东) 知()lg lg 2lg 2x y x y +=-，求的值.20、⑴已知a =2lg ，b =3lg ，试用b a 、表示5log 12；⑵已知a =3log 2，b =7log 3，试用b a 、表示56log 14.21、已知())lgf x x =.⑴求()f x 的定义域； ⑵求证：()f x 是奇函数.22、解关于x 的不等式：)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a 解：原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a >1时有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x当0<a <1时有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或∴ 当a >1时不等式的解集为221<<x ； 当0<a <1时不等式的解集为42<<x课后巩固1、()0,1,0log >≠>=N b b a N b 对应的指数式是（ ）A 、N a b =B 、N b a =C 、b a N= D 、a b N =2、设255lg =x，则x 的值等于（ ）A 、10B 、0.01C 、100D 、1000 3、()[]0log log log 234=x ，那么21-x等于（ ）A 、2B 、21C 、4D 、414、化简9log 8log 5log 4log 8543•••的结果是（ ） A 、1 B 、23C 、2D 、3 5、函数()1log 21-=x y 的定义域是（ ）A 、()+∞,1B 、()2,∞-C 、()+∞,2D 、(]2,1 6、若09log 9log <<n m ，那么n m ,满足的条件是（ ）A 、1>>n mB 、1>>m nC 、10<<<m nD 、10<<<n m7、若132log <a ，则a 的取值范围是（ ）A 、()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,132,0B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32C 、⎪⎭⎫⎝⎛1,32 D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,3232,08、函数()176log 221+-=x x y 的值域是（ ）A 、RB 、[)+∞,8C 、()3,-∞-D 、[)+∞,39、函数⎪⎭⎫⎝⎛--=112lg x y 的图像关于（ ） A 、y 轴对称 B 、x 轴对称 C 、原点对称 D 、直线x y =对称 10、图中的曲线是x y a log =的图像，已知a 的值为51,103,34,2，则相应曲线4321,,,C C C C 的a 依次为（ ）A 、103,51,34,2B 、51,103,34,2C 、2,34,103,51D 、51,103,2,3411、比较两个对数值的大小：7ln 12ln ；7.0log 5.0 8.0log 5.0. 12、计算()=•+50lg 2lg 5lg 2.13、函数()()x xx f -+=1lg2是 函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）.14、函数xa y =的反函数的图像经过点()2,9，则a 的值为 . 15、已知函数()()1log +=x x f a ，()()x x g a -=1log ()10≠>a a ，且 ⑴求函数()()x g x f +的定义域；（10分） ⑵判断函数()()x g x f +的奇偶性.（10分）16、已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。
专题09 对数与对数函数(重难点突破)原卷版附答案.pdf
ab 2b
2
.
11
（2）. 求下列函数的定义域： 1
(1)f(x)＝lg(x－2)＋x－3；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)． 【解析】 (1)要使函数有意义,需满足Error!解得 x>2 且 x≠3, 所以函数定义域为(2,3)∪(3,＋∞)． (2)要使函数有意义,需满足Error!解得－1<x<0 或 0<x<4, 所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．
底数,N 叫做真数.
重难点二 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0,且 a≠1). (2)对数的运算法则
如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；
M ②loga N ＝logaM－logaN；
B． y ln(2 x) C． y ln(1 x)
D．
3
y ln(2 x)
（3）．函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示,其中 a,b 为常数,则下列结论正确的是( )
A．a>1,b<0
B．a>1,b>0
C．0<a<1,b>0
D．0<a<1,b<0
（4）．当 a>1 时,在同一坐标系中,函数 y＝a－x 与 y＝logax 的图象为( )
例 2 求下列函数的定义域：
1
1
(1)f(x)＝
；(2)f(x)＝ ＋ln(x＋1)；
1
2－x
log x＋1
2
1
1
【解析】(1)要使函数 f(x)有意义,则 log x＋1>0,即 log x>－1,解得 0<x<2,即函数 f(x)的定义
对数及对数函数-知识点及题型归纳
●高考明方向1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3.知道对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，且a≠1)．★备考知考情通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容. 资料. .. .在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点.一、知识梳理《名师一号》P27注意：知识点一对数及对数的运算性质1.对数的概念一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．. 资料. .. .. 资料. .. .注意：(补充)关注定义---指对互化的依据2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a (MN)＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝nlog a M(n ∈R)；④log a m M n＝n m log a M.(2)对数的性质①a logaN ＝N ；②log a a N ＝N (a>0，且a≠1)．. 资料. .. .(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N log a b(a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d ＝log a d. 注意：(补充)特殊结论:log 10,log 1a a a ==知识点二 对数函数的图象与性质1.对数函数的图象与性质（注意定义域!）a>1 0<a<12.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．(补充)设y＝f(x)存在反函数，并记作y＝f－1(x)，1) 函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)的图象. 资料. .. .. 资料. .. .关于直线y x 对称．2) 如果点P(x 0，y 0)在函数y ＝f(x)的图象上，则必有f －1(y 0)＝x 0 ，反函数的定义域、值域分别为原来函数的值域、定义域．3) 函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f －1(x)的单调性相同．二、例题分析：（一）对数式的运算 例1.(1)《名师一号》P27 对点自测1(2013·陕西文3)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b·log c b ＝log c aB ．log a b·log c a ＝log c b. 资料. .. .C ．log a (bc)＝log a b·log a cD ．log a (b ＋c)＝log a b ＋log a c解析 由对数的运算性质：log a (bc)＝log a b ＋log a c ， 可判断选项C ，D 错误；选项A ，由对数的换底公式知，log a b·log c b ＝log c a ⇒lgb lga ·lgb lgc ＝lga lgc⇒lg 2b ＝lg 2a ，此式不恒成立，故错误；对选项B ，由对数的换底公式知，log a b·log c a ＝lgb lga ·lga lgc ＝lgb lgc＝log c b ，故恒成立． 答案 B. 资料. .. .例1.(2) (补充) 计算下列各式的值 (1) 2lg 2lg 3111lg 0.36lg823+=++ (2) 温故知新P22 第8题()22log 3lg5lg 2lg504+⋅+= (3) 235111log log log 2589⋅⋅=答案：(1) 1 (2)10 (3)-12注意： 准确熟练记忆对数运算性质多练. 资料. .. .lg 2lg51+=《名师一号》P28 高频考点 例1【规律方法】 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．例2.(1)《名师一号》P27 对点自测2(2014·陕西卷)已知4a ＝2，lgx ＝a ，则x ＝________.解析 ∵4a ＝2，∴a ＝log 42＝12.由lgx ＝12， 得x ＝10 12 ＝10.. 资料. .. .例2.（2）《名师一号》P28 高频考点 例1(1)若x ＝log 43，则(2x －2－x )2等于( )A.94B.54C.103D.43解析:由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x ＝3，2－x ＝33， 所以(2x －2－x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝43. 注意：指数与对数的互化a b ＝N ⇔b ＝log a N (a>0，a ≠1，N>0)．. 资料. .. .练习:(补充)已知1135,2a bk a b ==+=求k答案: k =例3.《名师一号》P28 高频考点 例1(2)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2x ，x>0，3－x ＋1，x≤0，则f(f(1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值 是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72. 资料. .. .因为f(1)＝log 21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2.因为log 312<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312 ＋1 ＝3log 32 ＋1＝2＋1＝3.所以f(f(1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝2＋3＝5.二、对数函数的图象及性质的应用例1. (补充)求下列函数的定义域．(1)y ＝log 0.5(4x －3).(2)y ＝log (x ＋1)(16－4x )．. 资料. .. .解析：(1)由函数定义知：⎩⎨⎧ log 0.5(4x －3)≥04x －3>0 ∴⎩⎨⎧ 4x －3≤14x －3>0，即34<x≤1. 故原函数的定义域是{x|34<x≤1}． (2)由函数有意义知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0x ＋1≠116－4x >0∴⎩⎪⎨⎪⎧ x>－1x≠0x<2即－1<x<2，且x≠0.. 资料. .. . 故原函数的定义域为{x|－1<x<0，或0<x<2}．练习：已知集合(){}22log x y x ax a R =--=求实数a 的取值范围．解析：设f(x)＝x 2－ax －a ，则y ＝log 2f(x)，依题意，f(x)>0恒成立，∴Δ＝a 2＋4a<0∴－4<a<0，即a 的范围为(－4,0)例2.《名师一号》P27 对点自测5(2014·重庆卷)函数f(x)＝log 2x ·log 2(2x)的最小值为________．. 资料. .. .解析 根据对数运算性质，f(x)＝log 2x ·log 2 (2x)＝12log 2x·[2log 2(2x)]＝log 2x(1＋log 2x)＝(log 2x)2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14，当x ＝22时，函数取得最小值－14.注意：换元后“新元”的取值范围．. 资料. .. .练习：1、求下列函数的值域（1）y ＝log 15(－x 2＋2x ＋4)[答案] [－1，＋∞)（2）f(x)＝log 22x －3log 2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x≤2 [解析] 令t ＝log 2x ，∵12≤x≤2∴－1≤t≤1. ∴函数化为y ＝t 2－6t ＋2＝(t －3)2－7∵－1≤t≤1.∴当t ＝－1，即x ＝12时，y max ＝9. 当t ＝1，即x ＝2时，y min ＝－3，. 资料. .. . ∴函数的值域为[－3,9].2、已知集合(){}22log y y x ax aR =--=求实数a 的取值范围．[分析]当且仅当f(x)＝x 2－ax －a 的值能够取遍一切正实数时，y ＝log 2(x 2－ax －a)的值域才为R.而当Δ<0时，f(x)>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R ，而f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏)．要使f(x)能取遍一切正实数，作为二次函数，f(x)图像应与x 轴有交点(但此时定义域不再为R)[正解] 要使函数y ＝log 2(x 2－ax －a)的值域为R ，应使f(x)＝x 2－ax －a 能取遍一切正数，要使f(x)＝x 2－ax －a能取遍一切正实数，应有Δ＝a2＋4a≥0，∴a≥0或a≤－4，∴所求a的取值范围为(－∞，－4]∪[0，＋∞)例3. （1）《名师一号》P27 对点自测4已知a＞0且a≠1，则函数y＝log a(x＋2 015)＋2的图象恒过定点________．解析令x＋2 015＝1，即x＝－2 014时，y＝2，故其图象恒过定点(－2 014,2)．. 资料. .. .. 资料. .. .练习:无论a 取何正数(a≠1)，函数()33log a y x =-+恒过定点【答案】()43,注意：对数函数()01log ,a y x a a =>≠且图象都经过定点(1, 0)例3. （2） (补充)如右下图是对数函数①y ＝log a x ，②y ＝log b x ，③y ＝log c x ，④y ＝log d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是 ( )A．a>b>1>c>dB．b>a>1>d>cC．1>a>b>c>dD．a>b>1>d>c【答案】B在上图中画出直线y＝1，分别与①、②、③、④交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1)，由图可知c<d<1<a<b.注意：(补充)两个单调性相同的对数函数，. 资料. .. .. 资料. .. .它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”.利用1logaa=，图象都经过()1,a点，作直线1y=，则该直线与图象的交点的横坐标即为底数a。
对数函数专题——含参对数函数完整版题型汇总
对数函数专题——含参对数函数完整版题型汇总一、定义与性质1. 对数函数的定义对数函数是指定义域在正数集合上的函数，它的函数值是指数函数的反函数。
通常用符号 $\log$ 表示对数函数。
2. 对数函数的性质- 对数函数的图像是一条倾斜的曲线，与指数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称。
- 对数函数具有单调递增性质，即随着自变量的增加，函数值也会增加。
- 对数函数的定义域是正数集合，值域是实数集合。
二、常见题型1. 对数运算题型例题：计算 $\log_3 27$。
解析：由于 $3^3 = 27$，所以 $\log_3 27 = 3$。
2. 对数方程题型例题：求解方程 $2^x = 8$。
解析：将 $8$ 表示成 $2$ 的幂次形式得到 $8 = 2^3$，所以$2^x = 2^3$，即 $x = 3$。
3. 对数不等式题型例题：求解不等式 $\log_2 \left( \frac{x}{3} \right) \geq 2$。
解析：根据对数定义，$\log_2 \left( \frac{x}{3} \right) \geq2$ 可转化为 $\frac{x}{3} \geq 2^2$，即 $\frac{x}{3} \geq 4$。
解得$x \geq 12$。
三、注意事项1. 在计算对数函数的值时，要注意指数与对数的关系，充分运用指数函数和对数函数的定义和性质。
2. 在解对数方程和不等式时，要注意将题目中的式子转化为指数形式，再进行相应的运算。
以上是对数函数专题中含参对数函数完整版题型汇总的简要内容。
对数函数作为数学中常见的函数之一，在应用中具有广泛的用途。
掌握对数函数的基本定义、性质和解题方法，有助于提高数学问题的解决能力。
根据对数函数知识点及题型归纳总结
根据对数函数知识点及题型归纳总结一、对数函数的基本概念- 对数函数是指以某个正数为底数的幂运算与常用对数的函数关系。
- 常用对数是以10为底的对数，通常用符号log表示。
- 自然对数是以常数e（约等于2.718）为底的对数，通常用符号ln表示。
二、对数函数的性质1. 对数函数的定义域和值域：- 对数函数的定义域为正实数集合。
- 对数函数的值域为实数集合。
2. 对数函数的图像特点：- 对数函数的图像是一条平滑的曲线，且过点(1, 0)。
- 对数函数的图像在(0, +∞)上是递增的。
- 自然对数函数ln(x)的图像在(0, +∞)上是上凸的。
3. 对数函数的性质和运算法则：- 对数函数中，底数为1的对数函数恒等于0。
- 对数函数的乘法法则：loga(mn) = loga(m) + loga(n)。
- 对数函数的除法法则：loga(m/n) = loga(m) - loga(n)。
- 对数函数的幂运算法则：loga(m^k) = k·loga(m)。
三、对数函数的常见题型1. 简单计算题型：- 计算给定底数和真数的对数值。
- 根据对数值计算给定底数和真数。
2. 方程求解题型：- 将对数方程转化为指数方程求解。
- 求解含对数的复合方程。
3. 不等式求解题型：- 将对数不等式转化为指数不等式求解。
- 求解含对数的复合不等式。
4. 图像应用题型：- 根据对数函数的图像特点作图。
- 根据图像解决实际问题。
总结：对数函数是数学中常用的函数之一，掌握对数函数的基本概念、性质和运算法则，能够灵活运用对数函数解决各种题型和实际问题。
希望通过这份文档，能够帮助大家系统地研究和掌握对数函数相关知识。
对数函数分类专题复习
对数函数分类专题复习一、常见对数函数的类型- 自然对数函数：$$y = \ln(x)$$- 以$$10$$为底的对数函数：$$y = \log_{10}(x)$$- 以$$a$$为底的对数函数：$$y = \log_a(x)$$二、基本性质1. 对数函数的定义域：对数函数的自变量$$x$$必须大于$$0$$，即$$x > 0$$。
2. 对数函数的值域：自然对数函数的值域为$$(-\infty,+\infty)$$，以$$10$$为底的对数函数和以$$a$$为底的对数函数的值域为$$(-\infty, +\infty)$$。
3. 对数函数的图像特点：自然对数函数的图像是开口向上的单调递增函数，以$$10$$为底的对数函数和以$$a$$为底的对数函数的图像也是开口向上的单调递增函数。
4. 对数函数的反函数：对数函数的反函数是指数函数，即反函数关系为$$x = a^y$$。
三、常用性质与公式- 对数函数的性质：1. $$\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$$（乘法公式）2. $$\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)$$（除法公式）3. $$\log_a(x^n) = n\cdot \log_a(x)$$（幂函数公式）- 对数函数的常用公式：1. $$\ln(e) = 1$$2. $$\log_a(1) = 0$$3. $$\log_a(a) = 1$$四、解对数函数的常见方法- 解对数函数的常见方法包括：1. 利用性质和公式化简表达式，然后求解；2. 转化为指数形式进行求解；3. 利用换底公式进行求解。
五、常见应用举例- 对数函数在许多科学和工程领域中有广泛的应用，例如：1. 在物理学中，对数函数可以用来描述时间、温度、声音等的变化规律；2. 在经济学中，对数函数可以用来描述货币的增长和利率的变化；3. 在生物学中，对数函数可以用来描述细胞的增长和衰退。
对数函数及其性质知识点总结与例题讲解
底数
a 1
0 a 1
y
y
图象
1
O
1
x
O
x
定义域
0,
值域
R
定点 性
过定点 1,0 ,即当 x 1时, y 0
质 函数值 当 0 x 1 时, y 0 ;
当 0 x 1 时, y 0 ;
的正负
当 x 1时, y 0 .
当 x 1时, y 0 .
∴定点的坐标为 3,3
∴函数 y b xc 2 的图象恒过点 3,3
令 x c 3 c 0 ,则 c 3, y b0 2 3 ,符合题意.
∴实数 c 的值是 3.
例 9. 已知函数 f x log2 1 2x ,则函数的值域是【 】
注意 若比较图象与直线 y 1的交点,交点的横坐标越大,对应的函数的底数越小.
说明 在平面直角坐标系中,对数函数 y loga x 的图象与直线 y 1的交点为 a,1,即交
点的横坐标等于对数函数的底数,故在第一象限内,交点的横坐标越大,对数函数的底数就
越大;对数函数
y
log a
（A） 1,1
（B） 1,2
（C） 2,1
（D） 2,2
解:令 x 1 1,则 x 2 , y loga 1 1 1
∴函数 f x 的图象恒过点 2,1 .
选择【 C 】.
例 6. （ 1 ） 函 数 f x loga 2x 3 4 （ a 0 且 a 1） 的 图 象 恒 过 定 点
∴ log2 1≤ log2 x log2 64 ,∴ 0 ≤ log2 x 6 ,即 0 ≤ y 6 .
2023年高三数学《对数函数》知识梳理与题型战法
2023年高三数学《对数函数》知识梳理与题型战法第二章 函数2.5.1对数函数（题型战法）知识梳理一 对数的概念1.（1）；（2） （3）2.. .二 对数的运算法则（1）积 （2）商 （3）幂 （4）换底公式：， 推论:. 三对数函数的图像与性质 （1）定义域是()0+∞，，因此函数图象一定在y 轴的右边. （2）值域是实数集R .（3）函数图象一定过点()1,0.（4）当a >1时，log a y x =是增函数；当0<a <1时，log a y x =是减函数. （5）对数函数的图象（6）对数函数log a y x =和1log ay x =的图象关于x 轴对称. log 10a =log 1a a =log log a b N a a Na N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭N N lg log 10简记作log ln e N N 简记作()log log log a a a MN M N =+log log log a a a M M N N=−log log a a M M αα=)1,0(log log log ≠>=c c aM M c c a )1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a题型战法题型战法一 对数与对数的运算典例1．计算： (1)7lg142lg lg 7lg183−+−；(2)求x 的值：5log (lg )1x =.【答案】(1)0；(2)510.【解析】【分析】（1）根据对数的运算法则计算即可；（2）根据对数的概念将对数式改为指数式即可求解.(1)原式()()()2lg 272lg7lg3lg7lg 32=⨯−−+−⨯ lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg2=+−++−−=0；(2)55log (lg )1lg 510x x x =⇒=⇒=.变式1-1．计算求值 (1)()3620189−⎛⎫−−− ⎪⎝⎭；(2)221lg lg2log 24log log 32+++；(3)已知623a b ==，求11a b−的值．【答案】(1)44 (2)92(3)1【解析】【分析】（1）由指数的运算法则计算（2）由对数的运算法则计算（3）将指数式转化为对数式后计算(1)()33622023218323172271449−⨯⎛⎫−−−=⨯−−=−−= ⎪⎝⎭；(2)221lg lg 2log 24log log 32+++()32232lg 2lg 2log 38log 3log 3=−++⨯+−2239log 33log 322=++−=； (3)6log 3a =，2log 3b =， 则31log 6a =，31log 2b =； 所以33311log 6log 2log 31a b−=−==．变式1-2．计算：13341log 2log 278⎛⎫−⨯+ ⎪⎝⎭． 【答案】12−.【解析】【分析】根据指数与对数的运算性质即可求解.【详解】 原式213321132231log 2log lg 2lg532⎡⎤⎛⎫=−⨯+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎢⎥⎣⎭⎦()3213log 2lo 132g lg 2lg522+⨯=−⨯⨯+ ()3213log 2l 13og 102lg 22+⨯=−⨯⨯ 132122=−+ =12−． 变式1-3．计算： (1)ln 2ln 3ln 36+； (2)22lg 2lg 52lg 2lg5++；(3)23log 9log 4⋅；(4)414log 28log 56+； (5)154311lg log 9log 125log 10032+−−；(6)81log 32+(8)235111log log log 2589⋅⋅． 【答案】(1)12(2)1(3)4 (4)12− (5)92−(6)1−(7)ln3e(8)12−【解析】【分析】根据指数幂的运算性质及换底公式逐一计算即可.(1)解：ln 2ln 3ln 61ln 362ln 62+==； (2)解：()222lg 2lg 52lg 2lg5lg 2lg51++=+=；(3)解：()2323log 9log 42log 32log 24⋅=⋅=；(4)解：2141444224111log 28log 56log 28log 56log log 2log 2222−+=−===−=−； (5)解：154311lg log 9log 125log 10032+−− 2223515231lg10log log 5log 23−−−⎛⎫=+−− ⎪⎝⎭52232=−−−+ 92=−；(6)解：81log 32+32532log 2lg10−=+52133=−+=−； (7)1ln3ln3e =+=；(8)解：235111log log log 2589⋅⋅ 232235log 5log 2log 3−−−=⋅⋅23512log 5log 2log 312=−⋅⋅=−. 变式1-4．计算：(1)230223482e lg 2lg5log 4log 927−−−⎛⎫−+++⨯ ⎪⎝⎭；(2)若3log 21x =，求22x x −+的值．【答案】(1)14(2)103 【解析】【分析】（1）根据分数指数幂、对数的运算法则及换底公式计算可得；（2）根据换底公式的性质得到2log 3x =，再根据指数对数恒等式得到2x ，即可得解；(1)解：230223482e lg 2lg5log 4log 927−−−⎛⎫−+++⨯ ⎪⎝⎭222322322lg 22lg5log 2log 2783⎛⎫=−−−+⨯ ⎪⎝⎭ ()2333239122lg2lg52log 2log 3222442⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=−−+⎢+⋅=−−⎝⎥+⎣=⎭⎦ (2)解：3log 21x =，∴231log 3log 2x ==， ∴2o 3l g 223x ==，11022333x x −∴+=+=．题型战法二 对数函数的概念典例2．已知函数①4x y =；②log 2x y =；③3log y x =−；④0.2log y =⑤3log 1y x =+；⑥()2log 1y x =+.其中是对数函数的是（ ）A ．①②③B ．③④⑤C ．③④D ．②④⑥【答案】C【解析】【分析】依据对数函数的定义即可判断.【详解】根据对数函数的定义，只有符合log a y x =（0a >且1a ≠）形式的函数才是对数函数，其中x 是自变量，a 是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中313log log y x x =−=，是对数函数；④中0.20.04log log y x =，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 故选：C .变式2-1．给出下列函数： ①223log y x =；②3log (1)y x =−；③(1)log x y x +=；④log e y x =. 其中是对数函数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的特征判断即可得答案.【详解】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．故选:A.变式2-2．下列函数是对数函数的是（ ）A ．y ＝ln xB ．y ＝ln(x ＋1)C ．y ＝log xeD ．y ＝log xx【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的定义判断．【详解】 A 是对数函数，B 中真数是1x +，不是x ，不是对数函数，C 中底数不是常数，不是对数函数，D 中底数不是常数，不是对数函数．故选：A ．变式2-3．函数()()25log a f x a a x =+− 为对数函数，则18f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．3B ． 3−C ．3log 6−D ．3log 8−【答案】B【解析】【分析】 可以先根据对数函数的性质来确定a 的取值范围，再带入18得出结果．【详解】因为函数()f x 为对数函数，所以函数()f x 系数为1，即251a −=，即2a =或3−，因为对数函数底数大于0，所以2a =，()2log f x x =， 所以138f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭． 【点睛】对数函数的系数等于一、真数大于0、底数大于0且不等于1．变式2-4．对数函数的图像过点M (125，3)，则此对数函数的解析式为（ ） A ．y ＝log 5xB ．y ＝15log xC ．y ＝13log xD ．y ＝log 3x【答案】A【解析】【分析】设对数函数y ＝log ax (a >0，且a ≠1)，将点代入即可求解.【详解】设函数解析式为y ＝log ax (a >0，且a ≠1)．由于对数函数的图像过点M (125，3)，所以3＝log a 125，得a ＝5.所以对数函数的解析式为y ＝log 5x .故选：A.题型战法三 对数函数的图像典例3．在同一坐标系中，函数2x y =与2log y x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合对数函数与指数函数的性质，即可得出结果.【详解】由指数函数与对数函数的单调性知： 2x y =在R 上单调递增，2log y x =在()0+∞，上单调递增，只有B 满足.故选：B.变式3-1．函数()x f x a −=与()log a g x x =−在同一坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分别讨论1a >和01a <<时函数()x f x a −=与()log a g x x =−在的单调性和所过定点，利用排除法即可求解.【详解】由对数和指数函数的性质可得0a >且1a ≠，当1a >时，()x f x a −=过点()0,1在R 上单调递减，()log a g x x =−过点()1,0在()0,∞+单调递减，所以排除选项C ，当01a <<时，()x f x a −=过点()0,1在R 上单调递增，()log a g x x =−过点()1,0在()0,∞+单调递增，所以排除选项AD ，故选：B.变式3-2．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b【答案】D【解析】【分析】 根据对数函数的图象与单调性确定大小．【详解】y ＝log ax 的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log bx ，y ＝log cx 的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b ，c ∈（0，1），又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b .故选：D ．变式3-3．已知函数()log 31a y x =++(0a >且1)a ≠，则函数恒过定点（ ） A ．()1,0B ．()2,0−C ．()0,1D ．()2,1−【答案】D【解析】【分析】利用对数函数过定点求解.【详解】令31+=x ，解得2x =−，1y =，所以函数恒过定点()2,1−，故选：D变式3-4．函数()log 231a y x =−+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．()2,1 B ．()2,0 C ．()2,1− D ．()1,1【答案】A 【解析】 【分析】令真数为1，求出x 的值，再代入函数解析式可得定点P 的坐标. 【详解】令231x −=，可得2x =，此时log 111a y =+=，故点P 的坐标为()2,1. 故选：A.题型战法四 对数函数的定义域典例4．函数()()ln 2f x x =−的定义域为（ ） A ．[)0,2 B ．(),2−∞ C ．[)0,∞+ D ．()0,2【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的性质和二次根式的性质求解． 【详解】由题意020x x ≥⎧⎨−>⎩，解得02x ≤<．故选：A ．变式4-1．使式子(31)log (3)x x −−有意义的x 的取值范围是（ ） A ．3x > B ．3x < C ．133x <<D ．133x <<且23x ≠【答案】D 【解析】 【分析】对数函数中，底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式，求出x 的取值范围. 【详解】由题意得：31031130x x x −>⎧⎪−≠⎨⎪−>⎩，解得：133x <<且23x ≠.故选：D变式4-2．函数y = ）A ．[2,)+∞B ．(,2]−∞C ．[1,2]D ．(1,2]【答案】D 【解析】 【分析】根据根式、对数函数的性质有011x <−≤，即可得定义域. 【详解】由题设，12log (1)0x −≥，即011x <−≤，可得12x <≤. 所以函数定义域为(1,2]. 故选：D变式4-3．函数()()ln e 2xf x =−+）A ．()1,2B ．()ln 2,2C ．()()ln 2,11,2⋃D ．[)(]ln 2,11,2⋃【答案】C 【解析】 【分析】根据使函数有意义得到不等式组，解得即可； 【详解】解：因为()()ln e2xf x =−， 所以e 201020x x x ⎧−>⎪−≠⎨⎪−>⎩，解得ln 22x <<且1x ≠，所以函数的定义域为()()ln 2,11,2⋃； 故选：C变式4-4．已知函数()21log xf x x−=，()1f x +的定义域为M ，()2f x 的定义域为N ，则（ ） A ．M N = B ．M N ⋂=∅C ．M ⊆ND ．N ⊆M【答案】B【解析】 【分析】分别求出()1f x +的定义域为M 和()2f x 的定义域为N 即可求解. 【详解】()21log 1xf x x −+=+，则{}10M x x =−<<， ()2122log 2xf x x −=，则102N x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，所以M N ⋂=∅，故选：B ．题型战法五 对数函数的值域典例5．函数ln(2)1y x =−+的值域为（ ） A ．R B ．(1,)+∞ C ．[1,)+∞ D ．(2,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】由ln y x =的值域为R 可得ln(2)1y x =−+的值域为R . 【详解】由对数函数ln y x =的值域为R 2个单位得函数1ln(2)y x =−的值域为R ， 则ln(2)1y x =−+的值域为R ， 故选：A.变式5-1．函数()2log 21xy =+的值域是（ ）A ．[1,)+∞B ．(0,1)C ．(,0)−∞D ．(0,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质可求原函数的值域. 【详解】设21x t =+，则211x t =+>，故()2log 210x+>， 故()2log 21xy =+的值域为(0,)+∞，故选：D.变式5-2．函数()()1lg 4211x x f x +=−+的最小值是（ ）．A ．10B ．1C ．11D ．lg11【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法，令14211x x t +=−+，则lg y t =，先求出t 的范围，从而可求出函数的最小值 【详解】设14211x x t +=−+，则lg y t =，因为()()221421122211211010x x x x x t +=−+=−⋅+=−+≥，所以lg lg101y t =≥=，所以()()1lg 4211x x f x +=−+的最小值为1，故选：B变式5-3．若函数()()2ln ,0,2,03x a x f x x x x ⎧−−≤<=⎨−+≤≤⎩的值域为[)3,∞−+，则a 的取值范围是（ ）A ．)3e ,0⎡−⎣B ．31e ,e ⎡⎫−−⎪⎢⎣⎭C ．31e ,e ⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦D ．31e ,e⎛⎫−− ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】求出当03x ≤≤和0a x ≤<时的取值范围，结合值域关系建立不等式进行求解即可 【详解】当03x ≤≤ 时，22()2(1)1[3,1]f x x x x =−+=−−+∈− 当0a x ≤< 时，()ln()[ln(),)f x x a =−−∈−−+∞ 要使()f x 的值域为[)3,∞−+则3ln()1a −≤−−≤ ，31e ea ∴−≤≤−故选：C变式5-4．已知函数()23log y x m =+的值域为[2,)+∞，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．9D ．27【答案】C 【解析】根据对数型复合函数的性质计算可得； 【详解】解：因为函数()23log y x m =+的值域为[2,)+∞，所以2y x m =+的最小值为9，所以9m =；故选：C题型战法六 对数函数的单调性典例6．函数213log (2)y x x =−的单调减区间为（ ） A ．(0,1] B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[0,2]【答案】A 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，利用二次函数的性质求得函数的单调区间，结合复合函数单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式220x x −>，即22(2)0x x x x −=−<，解得02x <<， 即函数()f x 的定义域为()0,2，令()22g x x x =−，可得其图象开口向下，对称轴的方程为1x =，当(0,1]x ∈时，函数()g x 单调递增，又由函数13log y x=在定义域上为单调递减函数， 结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数213log (2)y x x =−的单调减区间为(0,1].故选：A.变式6-1．函数()()212log 6f x x x =−++的单调递增区间是（ ） A ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫− ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，进而根据“同增异减”求得答案.由题意，()2260602,3x x x x x −++>⇒−−<⇒∈−，()212125log 24f x x ⎡⎤⎛⎫=−−+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，按照“同增异减”的原则可知，函数的单调递增区间是1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.变式6-2．已知函数()()22log 45f x x x =−−在(),a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(],1−∞− B ．(],2−∞ C ．[)2,+∞ D ．[)5,+∞【答案】D 【解析】 【分析】复合函数单调性问题，第一步确定定义域，第二步同增异减，即可得到答案. 【详解】由2450x x −−>，得1x <−或5x >，即函数()f x 的定义域为(,1)(5+)−∞−∞，， 令245t x x =−−，则()229t x =−−，所以函数t 在(),1−∞−上单调递减，在(5+)∞，上单调递增，又函数lg y t =在()0,+∞上单调递增， 从而函数()f x +)∞，，由题意知(+)(5+)a ∞⊆∞，，，∴5a ≥ . 故选：D.变式6-3．已知函数()log (3)a f x ax =−在[]0,1上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,3 C ．()0,3 D ．()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性同增异减求得a 的取值范围. 【详解】由于0a >且1a ≠，所以3y ax =−为减函数， 根据复合函数的单调性同增异减可知1a >.所以310131a a a −⨯>⎧⇒<<⎨>⎩.故选：B变式6-4．已知()()()2213,2log 23,2a x a x a x f x x x ⎧−−+≤⎪=⎨−−>⎪⎩是(),−∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．5,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[]1,6D ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据()f x 的单调性列不等式组，由此求得a 的取值范围. 【详解】因为()()()2213,2log 23,2a x a x a x f x x x ⎧−−+≤⎪=⎨−−>⎪⎩是(),−∞+∞上的减函数，所以()21221422130a a a a −⎧≥⎪⎪>⎨⎪−−+≥⎪⎩，解得562a ≤≤．故选：A题型战法七 比较大小与解不等式典例7．若13π212log 3,log 3a b c ===，，则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c << D ．a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性进行判断可. 【详解】因为103πππ221221,0log 1log 3log π=1,log log 103>==<<<=， 所以c b a <<，故选：A变式7-1．设2log 0.3a =，122log 5b =，0.30.4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行求解判断即可. 【详解】因为22log 0.3log 10a =<=，122225log log log 2152b ==>=，0.3000.40.41c <=<=， 所以有b c a >>， 故选：B变式7-2．若0.80.60.80.6log log 0.2a b c ===，8，，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数与指数函数的性质判断． 【详解】由对数函数和指数函数性质得：0.6log 80<，0.80.8log 0.2log 0.81>=，0.800.61<<，所以b a c <<． 故选：D ．变式7-3．不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．1133x −<< B ．0x < C ．113x −<< D ．103x <<【答案】D 【解析】 【分析】先利用对数函数单调性解不等式，再判断出充分不必要条件. 【详解】由()211log 31133x x +<⇔−<<，由于1110333x x <<⇒−<<，而1133x −<<⇒103x <<，故不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是103x <<，A 选项是充要条件，B 选项是既不充分也不必要条件，C 选项是必要不充分条件. 故选：D.变式7-4．设函数()133,12log ,1x x f x x x −⎧≤=⎨−>⎩，则满足()3f x ≤的x 的取值范围是（ ）A ．[)0,+∞B ．[)1,+∞C ．(),0−∞D ．[)0,1【答案】A 【解析】 【分析】分1x ≤和1x >两种情况解不等式即可 【详解】当1x ≤时，由()3f x ≤，得133x −≤，得11x −≤，解得01x ≤≤， 当1x >时，由()3f x ≤，得32log 3x −≤，得13x ≥，所以1x >， 综上，0x ≥， 故选：A题型战法八 对数函数的应用典例8．人们常用里氏震级e M 表示地震的强度，S E 表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为2lg 4.83e s M E =−，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏4.2级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏6.0级地震，则后者释放的能量大约为前者的（ ）倍．(参考数据：0.30.710~2.00,10 5.01=) A ．180 B ．270 C ．500 D ．720【答案】C 【解析】 【分析】设前者、后者的里氏震级分别为e e M M '''、，前者、后者释放出的能量分别为E '、E ''，根据已知关系式列式相减，利用对数运算法则可得． 【详解】设前者、后者的里氏震级分别为e e M M '''、，前者、后者释放出的能量分别为E '、E ''，则其满足关系2lg 4.83e s M E ''=−和2 4.83e s M lgE ''''=−，两式作差可以得到22lg lg ,33e e s s M M E E ''''''−=−，即 2.710s sE E '''=，所以 2.730.3101010500s s E E '''==÷≈，故选：C ．变式8-1．中国的5G 技术领先世界，5G 技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C 取决于信道带宽W ，经科学研究表明：C 与W 满足2log (1)SC W N=+，其中S 是信道内信号的平均功率，N 是信道内部的高斯噪声功率，SN为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W ，而将信噪比S N从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）(附：lg 20.3010≈) A ．10% B ．20%C ．30%D ．40%【答案】B 【解析】 【分析】 先计算1000S N=和4000SN =时的最大数据传输速率1C 和2C ，再计算增大的百分比211C C C −即可. 【详解】 当1000SN=时，122log 1001log 1000C W W =≈； 当4000SN=时，222log 4001log 4000C W W =≈. 所以增大的百分比为：2122112log 4000lg 4000lg 4lg10001111log 1000lg1000lg1000C C C W CC W −+=−=−=−=−lg 42lg 220.30100.220%lg100033⨯==≈≈=. 故选：B.变式8-2．中国的5G 技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C （单位：bit/s ）取决于信道宽度W （单位：HZ ）､信道内信号的平均功率S （单位：dB ）、信道内部的高斯噪声功率N （单位：dB ）的大小，其中SN叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度W 变为原来2倍，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）（附：lg 20.3≈） A ．110% B ．120% C ．130% D ．140%【答案】D 【解析】 【分析】利用对数减法与换底公式可求得结果. 【详解】 当1000SN=时，2log 1001C W =； 当40000SN=时，信道宽度W 变为原来2倍，22log 4001C W =. 因为222210002222log 4001log 10012log 400142log 10004114log 21lg 21 1.4log 1001log 1001log 10003W W W −+=−≈−=+=+≈.故选：D.变式8-3．声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足12()10lg110x f x −=⨯⨯. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ） A ．105倍 B ．108倍 C ．1010倍 D ．1012倍【答案】B 【解析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为12,x x ，根据题意得出()1140f x =，()260f x =，计算求12x x 的值. 【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为12,x x ，()111210lg 140110x f x −=⨯=⨯，2110x =， ()221210lg60110x f x −=⨯=⨯，6210x −=，所以81210x x =， 因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的810倍. 故选：B变式8-4．某工厂2015年生产某产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年增产20%，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件（已知lg20.3010=，1g30.4771=）（ ）A ．2019年B ．2020年C ．2021年D ．2022年【答案】D 【解析】 【分析】根据2016年开始每年比上一年增产20%，由()21206n+%>求解即可. 【详解】2015年为初始值，再过1年，即2016年，产品的年产量为()2120%+， 再过n 年（n N ∈），这家工厂生产这种产品的年产量为()2120%n+， 由()21206n+%>得，1.23n >， 两边取对数得，lg1.2lg3n >， 即lg3lg3lg30.47716.2lg1.2lg1212lg 2lg310.60300.47711n >===≈−+−+−， 而n N ∈，故7n =，即2022年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于读懂函数模型，熟练掌握对数的运算，才能根据实际情况突破难点.题型战法九 反函数典例9．已知函数()2log f x x =，其反函数为（ ）A ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()21log f x x=C ．()f xD ．()2xf x =【答案】D 【解析】 【分析】利用反函数定义求解. 【详解】()2log f x x =的反函数为2log x y =，即2x y =，故其反函数为()2x f x =.故选：D变式9-1．函数21()1(2)2f x x x =+<−的反函数是（ ）A ．3)y x =≤<B ．3)y x >C ．3)y x =≤<D ．3)y x =>【答案】D 【解析】 【分析】设211(2)2y x x =+<−，反解后可得反函数.【详解】设211(2)2y x x =+<−，则3y >，且3)x y =>，故原函数的反函数为3)y x ==>， 故选：D.变式9-2．设函数()x f x a b =+（0a >，且1a ≠）的图象过点()0,1，其反函数的图象过点()2,1，则a b +等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A 【解析】 【分析】反函数过点(),m n ，则原函数过点(),n m 【详解】()f x 反函数的图象过点(2,1),则()f x 的图象过点(1,2)所以0112a b a b ⎧+=⎨+=⎩,解得20a b =⎧⎨=⎩,所以2a b += 故选 ：A变式9-3．已知函数()3log f x x =与()g x 的图像关于y x =对称，则()1g −=（ ） A ．3 B ．13C ．1D ．1−【答案】B 【解析】 【分析】根据同底的指数函数和对数函数互为反函数可解. 【详解】由题知()g x 是()3log f x x =的反函数，所以()3x g x =，所以()11133g −−==.故选：B.变式9-4．与函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是（ ）A ．4x y =B ．4x y −=C ．14log y x =D ．4log y x =【答案】C 【解析】 【分析】利用函数x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数可得出结果. 【详解】因为函数x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数，且这两个函数的图象关于直线y x =对称，因此，与函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是14log y x=. 故选：C.。
对数与对数函数知识点及题型归纳总结
对数与对数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、对数概念a xN(N 0) n log a N(a 0且a 1) ，叫做以 a 为底 N 的对数. 注：① N 0，负数和零没有对数；② log a 1 0,log a a 1 ；③lg N log 10 N,ln N log e N .二、对数的运算性质(1) log a (MN) log a M log a N(M,N R ); (2)log a M log a M log a N(M,N R );N(3) log a M nnlog a M(M R ); (4) log a b log cb (a 0且a 1,b 0,c 0且c 1() 换底公式) log c a(5) log a mb nn log a b(a,b 0,m 0,a 1,n R)； am (6) a loga NN(N 0,a 0且a 1)；(6)log a a NN(N R,a 0且a 1). 化常数为指数、对数值常用这两个恒等式 .三、对数函数1)般地，形如 y log a x(a 0且a1) 的函数叫对数函数特殊地 log a b1 log b a(a,b0且a 1,b 1)；题型归纳及思路提示题型 1 对数运算及对数方程、对数不等式 思路提示对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等 .对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正 . 一、对数运算例 2.56 2log 510 log 5 0.25 (解析 2log 510 log 5 0.25 log 5 102 log 5 0.25 log 5 (100 0.25) 故选 C .评注 熟记对数的各种运算性质是求解本类问题的前提 变式 1 已知 x, y 为正实数，则（A.2lg x lg y 2lg x 2lgyB.2lg( x y)解析 5lg30 (1)lg0.5 x,3A.0B.1C.2D.4分析 nlog a x mlog a y log a x nlog am n mymlog a (x ny m).log 5 5222lg x 2lgy 2lgx 2lg y变式 2 (lg 2)2lg4变式 3lg522lg83 例 2.57log2781log 48解析log 27 81 log 33 34所以原式 4 3 17.(lg 2)243,log 4 8 log 22 2332log2 2变式 1log 2 ( 6 4 2 6 4 2)例 2.58 5lg30 (1)lg0.53分析 a b(a,b 0) log c a log c b.lg5 lg 20264 3log 33lg5 (lg5) 2C.2lg x lgy 2lgx 2lg yD.2lg(xy) 32)若 a 4，求函数 f(x)的零点 .三、对数不等式log a a 2x2a x2 ，则使 f(x) 0的 x 的取值范围是()A.( ,0)B.(0, )C.( ,log a 3)D.(log a 3, )分析 先将对数不等式化为同底的形式，再利用单调性转化为指数不等式求解 . 解析 f(x) log a a 2x 2a x 2 0 log a 1，又 0 a 1，函数 y log a x 在 (0, )上单调递减，得则lg x lg 5lg30 ( 1)lg0.5lg 5lg30lg13lg0.5lg30 lg5 lg 0.5 lg 1(lg30 lg3) lg5 (lg5 lg10)(lg1 lg3) lg5 lg3 lg5 lg 3 lg5 lg3lg15所以 x 二、对数方程 例 2.59 解下列方151(1) (lg x lg3) lg5 2 2 (2)log x 2 1(2x 23x 1)1lg(x 10); 2 1.分析 利用对数的运算性质化简后求解 .11解析(1) (lg x lg3) lg5 lg(x22xlgx lg3 2lg5 lg(x 10) ，即lg10) lg ，首先方程中的 x 应满足x 10，原方程可变形为 25 x 2525 ，得 x 25 ，从而 x 15或 x 5(舍)，经检验，x 10 3 x 10x 15 是原方程的解 .2( 2)log x 21(2x 3x1) 1 ，x 21 0且 x 212x 23x 1 x 21，解得 x 2.1经检验 x 2 是方程的解 . 评注解对数方程一定要注意对数方程成立条件下 x 的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依据变式 1 函数 f (x) log 2(4x 1)ax.1)若函数 f (x) 是R 上的偶函数，求实数a 的值；例 2.60 设 0 a 1，函数 f (x)所以 x log a 3. 故选 C.的解集为 .例 2.61 设 a log 5 4,b （log 5 3）2,c log 45,则（）A.a c bB.b c aC.a b c Db. a c分析利用对数函数的单调性来比较对数的大小，通常借助 0和 1作为分界点解析 因为y log 5 x 在 （0, ）上单调递增，所以log 5 3 log 54 1,且 log 4 5 1 (log 5 3)2log 53 log 54 1 log 45 b a c故选 D .变式1设a lg e,b (lg e)2,c lg e ，则( )A.a b cB.a c bC.c a b Dc. b alog 3 0.3变式 2 设 a 5log 23.4,b 5log 43.6,c1 5，则（ ）A.a b cB.b a cC.a c bD.ca b1, y log 5 2,z e 2，则()变式4（2012 大纲全国理 9） 已知x lnA.x yz B.z xyC.z y xD.y z x题型 2 对数函数的图像与性质思路提示研究和讨论题中所涉及的函数图像与性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法 问题是数和形结合的护体解释 .它为研究函数问题提供了思维方向、对数函数的图像 例 2.62如图 2-15所示，曲线 C 1,C 2,C 3,C 4是底数分别为 a,b,c,d 的对数函数的图像， 对应的底数 a, b, c, d 的取值依次为（）a 2x2a x2 1即a 2x2a x3 0 (a x3)(a x1) 0，因为 a x1 0 ，故 a x3 ，又 0 a 1，变式 1 已知函数 f （x ） 为R 上的偶函数，且在 0, 上为增函数，10 ，则不等式 3log 1 x 0.图像与性质则曲线 C 1,C 2,C 3,C 4分析 给出曲线的图像，判定 C 1,C 2,C 3,C 4所对应的 a,b,c,d 的值，可令 y 1求解.解析如图 2-16所示，作直线 y 1交C 1,C 2,C 3,C 4于A,B,C,D ，其横坐标大小为 0 c d 1 a b ， 11 那么C 1,C 2,C 3,C 4所对应的底数 a,b,c,d 的值可能一次为 2,3, , .故选 B .32评注对 数函数 在同一 直角坐标系中 的图像的相对位置与底数大小的关系如图 2-16 所示，则 0 c d 1 a b .ylog a x(a 0且a 1)在第一象限的图像， a 越大，图像越靠近 x 轴； a 越小， 图像越靠近 y 轴.变式 1 若函数 f(x) a x (a 0且a 1)是定义域为 R 的增函数，则函数 f (x) log a (x 1)的图像大 致是( )11A.3, 2, ,32 11C.2,3, 1 , 123 B.2,3, 1,13,2D.3, 2, 21 , 1323y log a (x 1) 2恒过顶点 (0, 2) .变式 1 函数 y log a (x 2) 2x 1 的图像过定点 二、对数函数的性质(单调性、最值(值域) )分析本题考查对数函数的单调性和最值变式 2 设 a,b,c 均为正数，且 2alog 1 a, 2log 1 b, 21log 2 c，则A.a b C.c a cB.c b a b Db. ac 例 2.63 函数 y log a (x 1) 2的图像必过定点 分析 对数函数 y log a x(a 0且a 1)的图像过定点 (1,0) ，即 log a 1 0.解析因为 y log a x(a 0且a 1) 恒 过点 (1,0) ，故令 x 1 1,即 x 0 时 ， y log a (x 1) 0 ，故例 2.64 设 a 1，函数 f (x) log a x 在区间 a,2a上的最大值与最小值之差为1，则 a ( ) 2令t log 2 x12,3，则 f (x)2g(t) t 23t 2当t 3 ,即 x 222时， f ( x) min 11;当t 3,即 x48时, f ( x)max 2.变式 1 已知f (x) 2 log 3 x(x1,9 ) ，求函数 22g(x) f (x) f (x 2) 的最大值与最小值又 f (x) (log 2 x 1)(log 2 x 2) 3log 2 x 2.(log 2 x)2解析因 为 对 数 函 数 的 底 a 1 ， 所以函数f (x) log a x 在 区 间a,2a 上 单 调 递 增 ， 故 f (x)maxlog a 2a, f(x)minlog a a1,log a 2a1，即 log a 2 1 解得 22a 4 故选 D .变式 1若函数 f (x)log a x(0 a1)在区间 a,2a 上的最大值是最小值的 3倍，则 a 等于( )A. 2 4B. 22C.14D.12例 2.65 设 2(log 1 x)2 27log 1 x20,求f(x)log 2 x log 2 x 24的最大值和最小值 .解析 2(log 1 x)227log 1 x2(2log 1 x 21) (log 1 x 3) 023 log 1 x212解得8.3xxx xlog 2 x(x 0)log ( x)(x 0)，且f(a) f( a) 则实数 a 的取值范围是 .2C.(3, )D. 3,0,2 ，则区间 a,b 的长度的最大值与最小值的差为 题型 3 对数函数中的恒成立问题思路提示 (1)利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解； (2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题,1 上恒成立 .解析依题意，函数 f (x)的图像如图 2-17所示，知 f (x)为奇函数，由 f(a) f( a) 的得 f(a) 0 ，解得A.(2 2, )B. 3 2,a b ，且 f (a) f (b) ，则2b 的取值范围是(例 2.67 已知函数 f(x) lg 1 2 a 4 ，若 x ,1 时有意义，a 得取值范围 .解析 因为f(x) lgxx 1 2x a 4x 在x3,1 上有意义，即1 2x40 在 ,1 上恒成立 .令g(x),x ,1 .例 2.66 若函数 f (x)变式 2 定义区间x 1,x 2 (x 1 x 2) 的长度为 x 2 x 1 ，已知函数 f(x) log 1 x 的定义域为 a,b 2，值域为所以 axx若 g(x) 存在最大值， 则 g(x) a 恒成立等价于 g(x)max a ；A.(0,1)B.(1,2)C. 1,2D. 0,121在2 ,1 上 为减函数 ，故 g(x) 在 ,1 上为增 函数， 所以对 任意的,1 时， g(x) g(1)因为 a ,1 上恒成立，所以 a所以 a 的取值范围是3,4若 g(x) 不存在最大值，设其值域为 g(x)m,n ，则 g(x) a 恒成立等价于 a n .变式 1 当 x (1,2) 时，不等式2x1log a x 恒成立，则 a 的取值范围是()1.设 a log 1 2,b log 1 3,c，则( )222A.a b cB.a c bC.b c aDb. a clog 2 ( x 1)(x 2)2.设函数 f(x)x1 12 1(x 2)，若 f (x 0) 1 ，则 x 0 的取值范围是()A.( ,0) U(2,) B.(0,2)C.( , 1)U (3, )D.( 1,3)3.设定义在区间 (1 axb,b)上的函数 f (x) lg 是奇函数 (a,b R 且a1 2x2)，则 A. 1, 2B. 0, 2C.(1, 2)D.(0, 2)4.已知 y log a (2ax) 在 0,1 上是 x 的减函数，则a 的取值范围是()最有效训练题0.2a b的取值范围是()A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(2, )评注 为了求 a 的取值范围， 把a 进行了分离， 变式 2 函数 f (x) log a (x 3a)(a0且a 1)，当点 P(x, y) 是函数 y f(x)图像上的点时，点Q(x 2a, y)是函数 y g(x) 图像上的点 .1) 写出函数 y g(x) 的解析式； 2) 当 a a 2,a 3 时，恒有f(x) g(x) 1，试确定 a 的取值范围2y f (x) log 5 x 的零点个数是()A.3B.4C.5D.67.设函数 f(x) ln(x 1) ，若 1 a b 且f(a) f(b)，则 a b 的取值范围是 ___________________ .8.已知 lg x lg y 2lg(2 x 3y) ，则 log 2 y ________________ .3x29.若函数 y log a (x 1 2 ax 1)在 1,2 上为增函数，则实数 a 的取值范围是 _____________ ..1 ax11.设 f(x) log 1 为奇函数， a 为常数 .2 x 1(1)求 a 的值；(2)证明： f(x)在区间 (1, )内单调递增；3)若对于区间 3,4 上的每一个 x 值，不等式 f (x)1212.已知集合 P,2 ，函数 y log 2( ax 22x 2) 的定义域为 Q .1)若 PI Q，求实数 a 的取值范围；2)若方程 log 2 ( ax 2 2x 2) 2在 P 内有解，求实数 a 的取值范围则函数2x ，10.已知函数f (x) log2x ，正实数m,n满足m n，且f(m) f(n)，若f(x) 在区间m2,n 上的最大值为2 ，则m n __________________ .m 恒成立，求实数m 的取值范围2。
专题对数函数知识点总结及类型题归纳
专题：对数函数知识点总结1.对数函数的定义：一般地,函数 x y a log = 叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为思考：函数log a y x =与函数xy a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系 ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称;一般的,函数y=a x 与y=log a x a>0且a ≠1互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=fx 存在反函数,一般将反函数记作y=f -1x如:fx=2x ,则f -1x=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线y=x对称函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称专题应用练习一、求下列函数的定义域10.2log (4);y x =-； 2log 1ay x =- (0,1).a a >≠；32(21)log (23)x y x x -=-++ 42log (43)y x =- 5 y=lg11-x 6 y=x 3log =log5x-17x-2的定义域是________________ =)8lg(2x - 的定义域是_______________3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________4.函数y=13log (21)x -的定义域是5.函数y ＝log 232－4x 的定义域是 ,值域是 .6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________7.求函数2log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域;8.求下列函数的定义域、值域：12log (3)y x =+； 222log (3)y x =-； 32log (47)a y x x =-+0a >且1a ≠．9.函数fx=x1ln 432322+--++-x x x x 定义域10.设fx=lgx x -+22,则f )2()2(xf x +的定义域为 11.函数fx=)1(log 1|2|2---x x 的定义域为12.函数fx=229)2(1x x x g --的定义域为 ；13.函数fx=x1ln 432322+--++-x x x x 的定义域为14222loglog log y x =的定义域是1. 设f x ＝lg ax 2－2x ＋a ,1 如果f x 的定义域是－∞, ＋∞,求a 的取值范围；2 如果f x 的值域是－∞, ＋∞,求a 的取值范围． 15.已知函数)32(log )(221+-=ax x x f1若函数的定义域为R ,求实数a 的取值范围 2若函数的值域为R ,求实数a 的取值范围 3若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ,求实数a 的值；4若函数的值域为]1,(--∞,求实数a 的值.16.若函数()2x y f =的定义域为[]1,0-,则函数()2log y f x =的定义域为 17.已知函数f2x 的定义域是-1,1,求flog 2x 的定义域.18若函数y=lg4-a ·2x 的定义域为R,则实数a 的取值范围为19已知x 满足不等式06log 7)(log 222≤++x x ,函数=)(x f )2(log )4(log 42x x •的值域是 20求函数1log )(log 21221+-=x x y (14)x ≤≤的值域;21已知函数fx=log 211-+x x +log 2x-1+log 2p-x.1求fx 的定义域；2求fx 的值域.解：fx 有意义时,有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-+,③0,②01,①011x p x x x由①、②得x ＞1,由③得x ＜p,因为函数的定义域为非空数集,故p ＞1,fx 的定义域是1,p. 2fx=log 2x+1p-x=log 2-x-21-p 2+4)1(2+p 1＜x ＜p,①当1＜21-p ＜p,即p ＞3时,0＜-x-4)1(4)1()21222+≤++-p p p ,∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ≤2log 2p+1-2. ②当21-p ≤1,即1＜p ≤3时,∵0＜-x-),1(24)1()2122-<++-p p p ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ＜1+log 2p-1. 综合①②可知：当p ＞3时,fx 的值域是-∞,2log 2p+1-2;当1＜p ≤3时,函数fx 的值域是-∞,1+log 2p-1.二、利用对数函数的性质,比较大小 例1、比较下列各组数中两个数的大小：12log 3.4,2log 3.8； 20.5log 1.8,0.5log 2.1； 37log 5,6log 7； 42log 3,4log 5,321.0.91.1, 1.1log 0.9,0.7log 0.8的大小关系是____________2.已知a 2>b>a>1,则m=log a b,n=log b a,p= log bab的大小关系是____________ 3.已知log m 5>log n 5,试确定m 和n 的大小关系4.已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1,则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是5.已知log 21b ＜log 21a ＜log 21c,比较2b ,2a ,2c 的大小关系.6.设323log ,log 3,log 2a b c π===,则7.()()()221,,log log log log d d d d x d a x b x c x ∈===已知试比较，的大小。
对数与对数函数_及经典题
对数与对数函数二、知识要点梳理知识点一、对数及其运算我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算.(一)对数概念:1. 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:log a N=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2. 对数恒等式：3. 对数具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即；(2)1的对数为0，即；(3)底的对数等于1，即.(二)常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e为底的对数叫做自然对数，.(三)对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.(四)积、商、幂的对数已知(1)；推广：(2)；(3).(五)换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a＞0，a≠1，M＞0的前提下有:(1)令log a M=b，则有a b=M，(a b)n=M n，即，即，即:.(2) ，令log a M=b，则有a b=M，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:.知识点二、对数函数1. 函数y=log a x(a＞0，a≠1)叫做对数函数.2. 在同一坐标系内，当a＞1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0＜a＜1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见图1)(1)对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R(2)对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的图像过点(1，0)(3)当a＞1时，三、规律方法指导容易产生的错误(1)对数式log a N=b中各字母的取值范围(a＞0 且a≠1，N＞0，b∈R)容易记错.(2)关于对数的运算法则，要注意以下两点：一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：log a(M±N)=log a M±log a N，log a(M·N)=log a M·log a N，loga.(3)解决对数函数y=log a x (a＞0且a≠1)的单调性问题时，忽视对底数a的讨论.(4)关于对数式log a N的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a，N同侧时，log a N＞0；当a，N异侧时，log a N＜0.经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1.将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1)(2)(3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值2．求值：解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数3.已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：【变式1】求值(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.【变式4】已知：a2+b2=7ab，a＞0，b＞0. 求证：.证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a＞0，b＞0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即.类型四、换底公式的运用4.(1)已知log x y=a，用a表示；(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：a m=x，b n=x，c p=x∴，∴；方法二：.举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1)；(2)；(3)法一：法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5.求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)举一反三：【变式1】求值：解：另解：设=m (m＞0).∴，∴，∴，∴lg2=lgm，∴2=m，即.【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?解：∵∴，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6. 求下列函数的定义域：(1)；(2).思路点拨：由对数函数的定义知：x2＞0，4-x＞0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为x2＞0，即x≠0，所以函数；(2)因为4-x＞0，即x＜4，所以函数.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y=(2) y=ln(a x-k·2x)(a＞0且a≠1，k∈R).解：(1)因为，所以，所以函数的定义域为(1，)(，2).(2)因为a x-k·2x＞0，所以()x＞k.[1]当k≤0时，定义域为R；[2]当k＞0时，(i)若a＞2，则函数定义域为(k，+∞)；(ii)若0＜a＜2，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)；(iii)若a=2，则当0＜k＜1时，函数定义域为R；当k≥1时，此时不能构成函数，否则定义域为.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4].类型七、函数图象问题7．作出下列函数的图象：(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2) y=lg|x|；(3) y=-1+lgx.解：(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3).类型八、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.8. 比较下列各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)log a5.1，log a5.9(a＞0且a≠1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4＜log28.5；解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5；解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4＜log28.5；(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8＜2.7，所以log0.31.8＞log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a＞1时，y=log a x在(0，+∞)上是增函数，且5.1＜5.9，所以，log a5.1＜log a5.9当0＜a＜1时，y=log a x在(0，+∞)上是减函数，且5.1＜5.9，所以，log a5.1＞log a5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=log a5.1，则，令b2=log a5.9，则当a＞1时，y=a x在R上是增函数，且5.1＜5.9所以，b1＜b2，即当0＜a＜1时，y=a x在R上是减函数，且5.1＜5.9所以，b1＞b2，即.举一反三：【变式1】若log m3.5＞log n3.5(m，n＞0，且m≠1，n≠1)，试比较m ，n的大小.解：(1)当m＞1，n＞1时，∵3.5＞1，由对数函数性质：当底数和真数都大于1时，对同一真数，底数大的对数值小，∴n＞m＞1.(2)当m＞1，0＜n＜1时，∵log m3.5＞0，log n3.5＜0，∴0＜n＜1＜m也是符合题意的解.(3)当0＜m＜1，0＜n＜1时，∵3.5＞1，由对数函数性质，此时底数大的对数值小，故0＜m＜n＜1.综上所述，m，n的大小关系有三种：1＜m＜n或0＜n＜1＜m或0＜m＜n＜1.9. 证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1＜x2则又∵y=log2x在上是增函数即f(x1)＜f(x2)∴函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式1】已知f(log a x)=(a＞0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=log a x(x∈R+，t∈R).当a＞1时，t=log a x为增函数，若t1＜t2，则0＜x1＜x2，∴f(t1)-f(t2)=，∵0＜x1＜x2，a＞1，∴f(t1)＜f(t2)，∴f(t)在R上为增函数，当0＜a＜1时，同理可得f(t)在R上为增函数.∴不论a＞1或0＜a＜1，f(x)在R上总是增函数.10．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵y=t为减函数，且0＜t≤4，∴y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3＞0，即-1＜x＜3.∴t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.∴函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.类型九、函数的奇偶性11. 判断下列函数的奇偶性.(1)(2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称又所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握. 类型十、对数函数性质的综合应用12．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1＞0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u 能取遍一切正数的条件是.解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1＞0的解集为R，当a=0时，此不等式变为2x+1＞0，其解集不是R；当a≠0时，有a＞1.∴a的取值范围为a＞1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或0≤a≤1，∴a的取值范围为0≤a≤1.11。
对数函数知识点及题型总结 基础学生版
目录对数函数 (2)模块一：对数与对数运算 (2)考点1：对数运算 (3)模块二：对数函数图像与性质的应用 (3)考点2：对数比较大小 (3)模块二：对数型复合函数 (4)考点3：对数函数相关的复合函数 (4)课后作业： (4)对数函数模块一：对数与对数运算1.对数的概念：一般地，如果b a N =(0a >，且1)a ≠，那么我们把b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a b N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2.常用对数与自然对数对数log a N （0a >且1a ≠），当底数 （1）10a =时，叫做常用对数，记做lg N ；（2）e a =时，叫做自然对数，记做ln N （e 为无理数，e 2.71828≈）． 3.对数的运算性质：如果，且，那么：（1）；（积的对数等于对数的和） 推广（2） ；（商的对数等于对数的差） （3） ．（幂的对数等于底数的对数乘以幂指数）4.换底公式：（）．5.换底公式的几个基本使用： ①； ②；③；④. 0a >100a M N ≠>>，，log ()log log a a a M N M N ⋅=+1212log ()log log log a k a a a kN N N N N N ⋅⋅⋅=+++log log log aa a MM N N=-log log ()a a M M ααα=∈R log log log a b a NN b=010a b a b N >≠>，，，，log log 1a b b a ⋅=log log log a b a b c c ⋅=1log log n a a b b n=log log n m a a mb b n=考点1：对数运算例1.（1）化简求值：253948(log 212)(log 313)2log og og +++； （2）2525(2)lg lg lg lg ++= ． 例2.（1）若496m n ==，则11m n+= ． 模块二：对数函数图像与性质的应用1.对数函数：我们把函数且）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是，值域为实数集．2.对数函数的图象与性质：考点2：对数比较大小例3.（1）若log 0.5log 0.50m n >>，则( ) A ．1m n <<B ．1m n <<C ．1n m <<D ．1n m <<（2）设4log 9a =，4log 25b =，5log 9c =，则( ) A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>例4.求不等式2log (583)2x x x -+>的解集．log (0a y x a =>1a ≠x (0)+∞，R模块二：对数型复合函数单调性、定义域、值域、奇偶性为本模块重点考点3：对数函数相关的复合函数例5.函数212log (12)y x x =--的单调增区间是 ．例6.（1）求函数21124log log 5⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x x 在[]24，上的最值．例7.已知函数22()log 2xf x x+=- （Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）讨论()f x 的奇偶性；（Ⅲ）求使()0f x >的x 的取值范围．例8.已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠． （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（3）若3()25f =，求使()0f x >成立的x 的集合．课后作业：1.2525(2)lg lg lg lg ++= ．2.已知105a =，7lg b =，则56log 14可以用a ，b 表示为( ) A ．133a ba b-+-+B ．12abab++ C ．321abab++ D ．11a b a b +--+3.设4log 9a =，4log 25b =，5log 9c =，则( ) A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b c a >> D ．b a c >>4.求函数21124log log 5⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x x 在[]24，上的最值． 5.已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠． （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（3）若3()25f =，求使()0f x >成立的x 的集合．课后作业：1.2525(2)lg lg lg lg ++= ．2.已知105a =，7lg b =，则56log 14可以用a ，b 表示为( ) A ．133a ba b-+-+B ．12abab++ C ．321abab++ D ．11a b a b +--+3.设4log 9a =，4log 25b =，5log 9c =，则( ) A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>4.求函数21124log log 5⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x x 在[]24，上的最值．5.已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠． （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（3）若3()25f =，求使()0f x >成立的x 的集合．。
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专题：对数函数知识点总结1.对数函数的定义：一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为思考：函数log a y x =与函数xy a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系 ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。
一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1(x)如:f(x)=2x ,则f -1(x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线y=x 对称函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称专题应用练习一、求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-； （2）log 1ay x =- (0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）2log (43)y x =- (5) y=lg11-x (6) y=x 3log 1.y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ 2.y=)8lg(2x - 的定义域是_______________3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________4.函数y=13log (21)x -的定义域是5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 .6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________7.求函数2log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。
8.求下列函数的定义域、值域：（1）2log (3)y x =+； （2）22log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．9.函数f （x ）=x1ln （432322+--++-x x x x ）定义域10.设f(x)=lgx x -+22,则f )2()2(xf x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(log 1|2|2---x x 的定义域为12.函数f(x)=229)2(1x x x g --的定义域为 ；13.函数f （x ）=x1ln （432322+--++-x x x x ）的定义域为14222loglog log y x =的定义域是1. 设f (x )＝lg(ax 2－2x ＋a ),(1) 如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值范围； (2) 如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值范围． 15.已知函数)32(log )(221+-=ax x x f（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围 （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围 （3）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞Y ，求实数a 的值；（4）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值.16.若函数()2x y f =的定义域为[]1,0-，则函数()2log y f x =的定义域为 17.已知函数f(2x ）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域.18若函数y=lg(4-a ·2x )的定义域为R ，则实数a 的取值范围为19已知x 满足不等式06log 7)(log 222≤++x x ，函数=)(x f )2(log )4(log 42x x •的值域是 20求函数1log )(log 21221+-=x x y (14)x ≤≤的值域。
21已知函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x).（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.解：f(x)有意义时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-+,③0,②01,①011x p x x x由①、②得x ＞1,由③得x ＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p ＞1,f(x)的定义域是(1,p). （2）f(x)=log 2［(x+1)(p-x)］=log 2［-（x-21-p ）2+4)1(2+p ］ (1＜x ＜p),①当1＜21-p ＜p ，即p ＞3时，0＜-(x-4)1(4)1()21222+≤++-p p p ,∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ≤2log 2(p+1)-2. ②当21-p ≤1，即1＜p ≤3时，∵0＜-(x-),1(24)1()2122-<++-p p p ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ＜1+log 2(p-1). 综合①②可知：当p ＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log 2(p+1)-2］; 当1＜p ≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log 2(p-1)).二、利用对数函数的性质，比较大小 例1、比较下列各组数中两个数的大小：（1）2log 3.4，2log 3.8； （2）0.5log 1.8，0.5log 2.1； （3）7log 5，6log 7； （4）2log 3，4log 5，321.0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8的大小关系是____________2.已知a 2>b>a>1，则m=log a b ，n=log b a ，p= log b ab的大小关系是____________ 3.已知log m 5>log n 5,试确定m 和n 的大小关系4.已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是5.已知log 21b ＜log 21a ＜log 21c,比较2b ,2a ,2c 的大小关系.6.设323log ,log 3,log 2a b c π===，则7.()()()221,,log log log log d d d d x d a x b x c x ∈===已知试比较，的大小。
8.()221,1log log d d x d a x b x >>==已知试比较，的大小。
9.设0 <x <1，a >0，且a ≠1，试比较| loga （1-x ） |与| loga （1+x ） |的大小。
10.已知函数()lg f x x =，则14f ⎛⎫⎪⎝⎭，13f ⎛⎫⎪⎝⎭，(2)f 的大小关系是______ 三、解指、对数方程：（1）35327x += （2）2212x =（3）55log (3)log (21)x x =+（4）1lg(1)x x -=-1.已知3a =5b =A,且ba 11+=2，则A 的值是 2.已知log 7［log 3(log 2x)］=0，那么12x -等于3.已知log 7［log 3(log 2x)］=0，那么x 21-等于 4..若x ∈(e -1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln 3x,则 5.若()x f x=10，那么()3f 等于6. 已知5()lg f x x =，则(2)f =7. 已知22log (4)log (1)log 5log (21)(01)a a a a x y xy a a +++=+->≠，且，求8log yx的值． 四、解不等式：1.55log (3)log (21)x x <+2.lg(1)1x -<3.设,a b 满足01a b <<<，给出下列四个不等式：①a b a a <，②a b b b <，③a a a b <，④b bb a <，其中正确．．的不等式有 4.已知：(1)()log a f x x =在[3,)+∞上恒有|()|1f x >，求实数a 的取值范围。
5.已知函数2()3,()(1)f x x g x a x =+=-，当22x -≤≤时，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围。
6.求m 的取值范围，使关于x 的方程21(lg )2lg ()04x m x m -+-=有两个大于1的根． （2008·全国）若x ∈(e -1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln 3x,则7.已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb b b a 1log ,log ,1的大小关系是8.已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a 的取值范围 9.已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.10.若函数22log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，a 的取值范围11.已知函数)3(log )(22a ax x x f +-=在区间()2 ,1上是增函数，则实数a 的取值范围是12.若函数f(x)=212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是13.．设函数1211()lg 1x x f x x x -⎧-<=⎨⎩，，，， ≥若0()1f x >，则0x 的取值范围是（ ）14.设a >0且 a ≠1，若函数f (x )＝)32(lg2+-x x a 有最大值，试解不等式)75(log 2+-x x a >0五、定点问题1.若函数y=log a (x+b) (a ＞0,且a ≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则2.若函数y=log a (x+b) (a ＞0,且a ≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则3.函数)10(1)1(log )(≠>+-=a a x x f a 且恒过定点 .六、求对数的底数范围问题1.（1）若4log 15a<(0a >且1)a ≠，求a 的取值范围 2. （2）若(23)log (14)2a a +->，求a 的取值范围 3..若2log 13a<(0a >且1)a ≠，则a 的取值范围________ 4.函数()log (1)a f x x =+的定义域和值域都是[0,1]，则a 的值为 . 5.若函数()log ()a f x a x =-在[2,3]上单调递减，则a 的取值范围是 6.函数y=log0.5(ax+a-1)在x ≥2上单调减，求实数a 的范围7..已知y=a log (2-xa )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围.8.已知函数y=log 2a (x 2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数，求a 的取值范围.9.已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 试求a 的取值范围.10.若函数log (1)a y x =-在[0,1)上是增函数，a 的取值范围是 11.使121log >a成立的a 的取值范围是 12.若定义在(－1，0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是七、最值问题1.函数y ＝log a x 在[2, 10]上的最大值与最小值的差为1，则常数a ＝ .2.求函数21144log log 5[2,4]y x x x =-+∈的最小值 ,最大值 .。