第18讲+组合数学【范端喜】.docx
高教版中职数学基础模块《组合与组合数公式及性质》总复习课件
么选法种数有( )
A. 12 B. 28
C. 30
D. 24
4、一个口袋有4 个不同红球，6个不同白球，
从中任取4 个，要使红球的个数不比白球少，
这样取法的种数为( )
A. 115 B. 235
C.210
D. 321
5、学校举办某项活动，某班要从 10人中选6人
参加这项活动，其中的两人要么都参加，要么
�� −
2. 已知: =
，则x=____________；
3. + + +……+ =____________.
D. 以上都不对
一课一案 高效复习
题型2
组合的实际问题
【例2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲乙两地参加实践活动，
两个展区安排一个人，剩下的两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有( B )
A.90种
B. 180种
C. 270种
D. 360种
【解析】根据题意，分3步进行分析：
①在6位志愿者中任选 1个，安排到甲展区，有 =6种情况;
②在剩下的 5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有 =5种情况;
知识要点
1、组合的定义
一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，叫做从n个不同元
素中取出m个元素的____________；
一个组合
个数
2、组合数的概念：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素的组合数的_____，
叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作_______;
3、排列数公式
第二类:有一个语言类节目;
组合数学讲义(1.0版)
1.p12 例9（填空）2.p17 2.生成组合，递归调用算法3.p19 定理2（填空）4.p20 例3（填空）5.p22 性质2 解释组合意义6.p25 （4）解释组合意义7.p28 例5（填空）8.p29 （3）空盒放法( )种9.p32 定理1：第二类stirling （证明）10.p34 例1 （填空）列式11.p36 定理2(3)(填空或大题)证明12.p44 例5 列出式子即可13.p49 4.2.5 定理（填空）14.p51 例4 求解问题15.p56 例2 写出递归关系式（改题目）16.p64 catalan写前几项{1,1,2,5,14,42}（填空）17.p75 定理1 （填空）如例118.p80 例2 （证明）通过定理求解：一个矩形染色19.p86 例如：构建3阶完全的正交拉丁方簇目录第1章绪论 (1)1.1 组合数学的起源 (1)1.2 组合数学的研究内容 (3)1.3 组合数学的应用 (5)实验项目——构造幻方 (5)第2章排列与组合 (7)2.1 加法原理与乘法原理 (7)2.1.1 加法原理 (7)2.1.2 乘法原理 (8)2.1.3 应用举例 (8)2.2 排列与组合 (10)2.2.1 集合的排列 (10)2.2.2 集合的组合 (12)2.2.3 排列和组合的模型 (13)2.3 排列与组合的生成算法 (14)2.3.1 生成排列的算法 (14)2.3.2 生成组合的算法 (16)2.4 多重集合的排列与组合 (17)2.4.1 多重集合的排列 (17)2.4.2 多重集合的组合 (18)2.4.3 排列和组合的模型 (20)第3章二项 (21)3.1 二项式定理 (21)3.1.1 二项式定理及其证明 (21)3.1.2 二项式系数的基本性质 (22)3.1.3 组合恒等式 (24)3.2 多项式定理 (27)3.3 Stirling数（司特林数） (29)3.4 集合的分划 (31)3.4.1 集合分划的定义 (31)3.4.2 第2类stirling数的性质 (32)3.5 正整数的分拆 (34)3.5.1 有序分拆 (34)3.5.2 无序分拆 (35)3.5.3 分拆的Ferrers图（费若斯图） (37)3.6 综合应用——球盒分配问题 (39)第4章容斥原理与鸽笼原理 (41)4.1 容斥原理 (41)4.1.1 间接计数法 (41)4.1.2 容斥原理的三种形式 (43)4.2 容斥原理的应用 (46)4.2.1 有限重集合的r组合 (46)4.2.2 有禁止位置的错排问题 (46)4.2.3 有禁止模式的错排问题 (47)4.2.4 不相邻的排列 (48)4.2.5 不相邻的组合 (49)4.3 鸽笼原理 (49)4.4 Ramsey问题与Ramsey数 (52)4.4.1 Ramsey问题 (52)4.4.2 Ramsey数 (53)第5章递推关系与母函数 (55)5.1 递推关系 (55)5.2 母函数 (57)5.2.1 母函数的定义 (57)5.2.3 利用母函数求解递归关系式 (57)5.2.2 母函数的性质 (59)5.3 Fibonacci序列 (60)5.3.1 Fibonacci序列 (60)5.3.2 Fibonacci数的性质 (62)5.4 Catalan序列 (63)第6章Polya计数理论 (69)6.1 群 (69)6.1.1 群 (69)6.1.2 群的基本性质 (70)6.1.3 子群、循环群、交换群 (71)6.2 置换群 (71)6.2.1 置换群的定义 (72)6.2.2 置换的轮换之积表示 (74)6.3 Burnside 引理 (77)6.3.1 共轭类 (77)6.3.2 k不动置换类 (78)6.3.3 等价类 (79)6.3.4 Burnside引理 (80)6.4 Polya定理 (81)6.4.1 Polya定理的一般形式 (81)6.4.2 母函数型的Polya定理 (82)第7章组合设计 (84)7.1 拉丁方与正交拉丁方 (84)7.1.1 拉丁方 (84)7.1.2 正交拉丁方 (84)7.1.3 正交拉丁方的性质 (85)7.2 正交拉丁方的构造 (85)7.2.1 域的概念 (85)7.2.2 用有限域构造完全的正交拉丁方族 (86)7.2.3 由低阶的正交拉丁方构造高阶的正交拉丁方 (87)7.3 正交拉丁方的应用举例 (88)7.4 平衡不完全区组设计 (89)7.4.1 平衡不完全区组设计的定义 (89)7.4.2 Steiner三元系（斯梯纳三连系） (90)组合数学讲义第1章绪论第1章绪论组合数学是一个历史悠久的数学分支，可追溯到远古时代，18世纪，组合数学得到较深入的研究，20世纪，计算机的诞生使组合数学得以蓬勃发展。
高中第二册(下A)数学组合(2)
组合(2)【教材】10.3组合【目的】1.掌握组合数的两个性质,并能运用它解决一些简单的应用问题.2.初步掌握“一一对应”与“归纳”的思想.3.进一步训练用组合数公式及分类(步)计数原理解决实际问题.【过程】：一、复习引入1.复习:(1)组合数的计算公式的两种表示怎样?有何用途?(2)用组合数公式计算?310=C ,?710=C 它们有何关系?(相等)2.引入:这种相等并非偶然,它正是本节课我们要学习的组合数的性质之一.二、新课1.组合数的性质一(1)提出问题:为什么710310C C =或71010710==C C 呢?46646-=C C 吗? 将其推广到m n nm n C C -=呢? (2)解决问题:引导学生分三个层次解决.a.用“取法”与“剩法”和组合的概念解释:从10个元素中取出7个元素后,还剩下3个元素.就是说,从10个元素中每次取出7个元素的一个组合,与剩下的(10-7)个元素的组合是一一对应的,因此,71010710==C C .(可再举几个例子) b.推广到一般:一般地,从n 个不同元素中取出m 个元素后,剩下(n-m)个元素.因此,从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合,与剩下的(n-m)个元素的每一个组合一一对应,故m n nm n C C -= c.用组合数公式证明:(见教材)(3)几点说明:a.这时组合数的性质一,当2n m >时,用m n nm n C C -=,可将组合数计算大大简化. b.为了使公式在n m =时也成立,规定10=n C . c.公式特征:两边下标同,上标之和等于下标.2.组合数的性质二(1)提出问题:见教材101页例4.分析:本题是一个典型的抽球问题.口袋内7个白球虽然大小相同,但它们仍是不同的元素,为了便于理解可以看成它们编上了号码:白1,白2,…白7,从而让学生理解(1)即是从8个不同元素中每次取出3个的组合,取法为38C 种.对于(2)可启发学生:取出的3个球中含有1个黑球,则只考虑在7个白球中取2个,因而有27C 种取法.对于(3)可让学生分析得出.启发:三个问题结果有何关系呢?38C =37C +27C ,你能对此作出合理解释吗?(2)解决问题:引导学生分三个层次解决.a.用组合数定义解释:38C =37C +27C ,即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以分成两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.故根据分类计数原理,等式成立.b.推广到一般:一般地,从1a ,2a ,…1+n a 这1+n 个不同的元素中取出m 个的组合数是m n C 1+,这些组合可分成两类:一类含1a ,一类不含1a ,含有1a 的组合是从2a ,3a ,…1+n a 这n 个元素中取出(1-m )个元素与1a 组成的,共有1-m n C 个, 不含1a 是从2a ,3a ,…1+n a 这n 个元素中取出m个元素组成的,共有m n C 个,由分类计数原理得: m n C 1+=m n C +1-m nC . c.用组合数公式证明:(见教材)(3)几点说明:a.这是组合数的第二个性质,在下节“二项式定理”中,将会看到它的重要应用.b.此公式在计算、证明的过程中,同样能简化运算.c.公式特征:下标相同,而上标差1的两个组合数之和等于下标比原下标多1上标与高的相同的一个组合数.d.此公式的引入过程,用到了“分类”的思想,“分类”是处理排列组合问题的重要方法.3.例题:例1、计算 (1) 198200C (2)69584737C C C C +++ ( 210 ) (3) 21025242322C C C C C +++++ 例2、求证 2122--+++=n m n m n m n m C C C C例3、解方程 x x C C 217217=+ 例4、求x x x x C C 321383+-+的值. (先求出10=x ,代入的所求值为466)4.练习:教材第103页练习1、2、3三、小结:1.组合数的性质:(1) m n n m n C C -= (2) m n C 1+=m n C +1-m nC2.应用组合数的性质时,要点是当2n m >时,可由m n n m n C C -=简化运算;性质二可正用,即裂项,也可逆用,即并项.3.三个思想:“取法”与“剩法”一一对应的思想,特殊到一般的归纳思想,“含与不含其元素”的分类思想.四、作业:教材第104页 习题第2、4题.。
《组合数学》教案1章(排列组合基础)
（4）特点 ：排列考虑顺序，组合不然。
（二） 数学模 型
（1）排列问题 ：将 r 个有区别的球放入 n 个不同的盒子，每盒 不超过一个，则总的放法数为 P(n，r)。
（2）组合问题 ：将 r 个无区别的球放入 n 个不同的盒子，每盒 不超过一个，则总的放法数为 C(n，r)。
对应关系 元素和位置编号
短路径数为
N Cmm n Cmn n
1.2 两个基本法则
1. 2. 1 加法法则
（一） 加法法 则 常规描述 ：如果完成一件事情有两个方案， 而第一个方案 有 m 种方法，第二个方案有 n 种方法可以实现。只要选 择任何方案中的某一种方法， 就可以完成这件事情， 并且 这些方法两两互不相同。 则完成这件事情共有 m＋n 种方 法。 集合描述 ：设有限集合 A 有 m 个元素， B 有 n 个元素， 且 A 与 B 不相交，则 A 与 B 的并共有 m＋n 个元素。 概率角度描述 ：设事件 A 有 m 种产生方式，事件 B 有 n 种产生方式，则事件“ A 或 B”有 m＋n 种产生方式。当 然 A 与 B 各自所含的基本事件是互相不同的。
（解）常规思路： 50＋25＋12＋6＋3＋2＋1＝99 场 10000 名选手： 5000＋2500＋1250＋625＋312＋…＋ 1 采用一一对应方法： 每场比赛产生一个失败者， 且每个失败
者只能失败一次（场次→失败者） 。反之，要淘汰一个选手，必 须恰好经过一场比赛（失败者→场次） 。
结论：失败者 比赛场次。 应该比赛 99 场。 一般情况：单循环淘汰制， n 个选手，比赛 n－1 场。
（二） 应用
【例 1.2.1】某班又男生 18 人，女生 12 人，从中选出一名代 表参加会议，问共有多少种选法？
组合数学-更多文档分类
组合数学――离散数学中一个古老而前沿的话题海南华侨中学李红庆组合数学与现实生活是形影不离的，在生活中随时可见．例如，你是校学生会体育部长，学校高二年级有１２个班级，要由１６名高二学生组成的校足球队，为了平衡各班情况，每班至少有１名学生参加，就要计算足球队员名额分配的方案的种数．创建幻方：在纸上画一个２×２×２网络图（见右下图），用铅笔沿着网络的线路走，从A到B最短的线路有多少种？其中经过MN的概率是多少？再如在玩扑克游戏中，计算任意取3张牌，恰好是黑桃A，K，Q的概率．所有这些问题都是组合数学问题．组合数学是离散数学中一个古老而前沿的课题．组合数学的问题背景渊源于数学娱乐和游戏之中．它是数学的一门重要分支，而且由于信息技术的发展，计算机给现实生活带来了日趋深远的影响．组合数学的应用越来越具有重要性和广泛性，组合数学自上世纪６０年代以来迅速发展．现在普通高中新课程标准对组合数学引起了足够的重视，组合问题在离散数学中处于承前启后的作用，它既是递推数列、古典概型、排列知识的延伸，又是二项式定理、离散型随机变量的概率分布列知识的奠基内容，是离散数学中一个重要的组成部分，它研究的主要内容——其一是一组离散对象满足一定条件的排列的存在性；其二是如果一组离散对象满足一定条件的排列是可能的，那么会存在多种方法去实现它．此时，人们可以对排列进行构造，用枚举来计数，而在这些环节的操作中，需要通过优化进行分类．为了使大家对组合数学有一些更具体的了解，现在我们回归到组合问题的具体实例上．例1 如图，4横×3纵×3竖的网络图，蚂蚁选择最短路线从A沿着网络线爬到B的不同的方法有多少种？如果线段CD断开，那么蚂蚁从A沿着网络线爬到B的不同的方法又有多少种？问题分析：组合数学经常使用的方法并不高深复杂．最主要的方法是计数时的合理分类和组合模型的转换．但是，要学好组合数学并非易事，既需要一定的数学修养，也要一定理性而创新的思辩能力，才能找到合适的转化模型．例1中问题可以转化到给7个方格填有序的3类数值．解：横轴x 方向的线段编号：1，2，3；纵y 轴方向的线段a ，b ；竖轴z 轴方向的线段编号：一，二．（1）所以蚂蚁从A 沿着网络线爬到B 的不同的方法是从7个方框中选出3个来按顺序填上1，2，3；再从余下的4个方框中选出2个来按顺序填上a ，b ；最后剩下的2个方框由一，二按顺序填上．即322742210C C C ⨯⨯=种；（2）先计算蚂蚁经过CD 的不同的爬法，将数字“二”填入第5个方框中，前面4个方框分别由a ，1，2，一填入，后面2个方框由b ，3填入，见图解121242C C C ⨯二，等于()211422()24C C C ⨯⨯=，那么线段CD 断开，那么蚂蚁从A 沿着网络线爬到B 的不同的方法是21024186-=种．过一把瘾：1．如图，一宗待通关的大型商品共12件，由三条并排的通道依次通关检验（每条4件），每检验一件后由关长亲自复验放行．若A 件恰好是放行的第5件，B 件恰好是放行的第6件，求这12件商品全部被放行的情形有多少种？例2 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图），现要栽种4种不同颜色，每部分栽种一种，且相邻部分不能栽种同种颜色的花，不同的栽种方法有多少种？ 问题分析 显然区域1与其他5个区域的颜色不同，那么可以种同一种颜色的可能有52，53，63，64，42．由于只有四种颜色的花，那么每情形中都有两个的2个区域栽同一种颜色．解：所有组合有：56,,1,423；56,,3,124；56,,2,134；54,,6,132；46,,5,123共有5种情形，每种有4424A =种排列，那么不同的栽种方法有445120A ⨯=种．过一把瘾：2．用四种颜色对下列各图的A ，B ，C ，D，E五个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色．问各有多少种不同的染色方法？例3 某城市规划沿着该城市的中山大道修建10个主题公园，由于一时资金不能全部到位，3个主题公园暂缓修建，两头的主题公园不在暂缓之列，相邻的两个主题公园不能同时列入暂缓之列，那么暂缓修建的方案共有多少种？问题分析：组合问题难点在分类与模型的选择上，本题用直接的方法去解，涉及的问题还是比较复杂的，经过分析可以考虑问题的相对面，暂缓3个公园的修建应该等价于原来有7个主题公园，现在新增加3个主题公园的问题，那么它的模型应该是“插入法”的模型，即7个并排的公园之间的6个空隙中插入3个，见示意图．解：本题等价于在原来7个主题公园的基础上新增加3个主题公园，要求新增加的公园不能加在两端，原来的两个主题公园之间不能同时新增加2个，那么就是在7个并排的小五角星之间的6个空隙中插入3个，即3620C =种不同的方案．过一把瘾：3．方程16x y z w u v +++++=正整数解的组数是多少？附：过一把瘾答案1．给3条通道的商品分别用不同的数序编号：1，2，3，4；a ，b ，c ，d ；Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ．本题实际上是将Ⅲ排在第5个位置，将2排在第6个位置．即213242632C C C C III ⨯⨯，等于()21324263()720C C C C ⨯⨯⨯=种． 2．（a ）由于4种颜色，则组合框图为AB C D E ，或BA D E C 两种，染色的种数是44248A ⨯=种；（b ）组合框图有：EA C DB ，BA C E D ，AB C E D 共三种，染色的种数是44372A ⨯=．3．将用16个小球并成一排，16个小球之间有15个空隙，从其选取5个空隙，每1个插入一块“隔板”，第1块隔板左侧小球的个数是x 的取值，第1块与第2块隔板之间的小球数是y 的取值，…，第5块隔板右侧的小球数是v 的取值，那么16x y z w u v +++++=的正整数解的组数是515C 种．。
高考数学二轮复习专题六排列、组合、二项式定-教学课件
随机变量的均值和方差是概率初步的关键点，解决概率 应用问题时，首先要熟悉几种常见的概率类型，熟练掌握其计 算公式；其次还要弄清问题所涉及的事件具有什么特点、事件 之间有什么联系；再次要明确随机变量所取的值，同时要正确 求出所对应的概率．
统计的主要内容是随机抽样、样本估计总体、变量的相 关性，复习时应关注直方图、茎叶图与概率的结合，同时注 意直方图与茎叶图的数据特点．
数项为________．(用数字作答)
(2)(2012·皖南八校联考)
x＋21xn 的展开式中第五项和第六
项的二项式系数最大，则第四项为________．
[思路点拨] (1)利用二项式定理的通项公式求解；(2)利用二
项式系数的性质及二项展开式的通项公式求解．
[解析] (1)2 x－ 1x6＝2x－x 16＝2x－ x3 16，
[例2] (1)(2012·大纲全国卷)将字母a，a，b，b，c，c排成三
行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则
不同的排列方法共有
()
A．12种
B．18种
C．24种
D．36种
(2)(2012·山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、
蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同
因此共有 A33·A12·1＝12 种不同的排列方法． (2)分两类：第一类，含有 1 张红色卡片，共有不同的取法 C14C212＝264 种；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法 C312－ 3C34＝220－12＝208 种．由分类加法计数原理知不同的取法有 264 ＋208＝472 种． [答案] (1)A (2)C
[类题通法] 解决此类问题的关键： (1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类 再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理． (2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示 意图或表格，使问题形象化、直观化．
高中数学湘教版选择性必修第一册课件：组合与组合数
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的 9 人中选 5 人,共有C95 =126 种
不同的选法.
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选 1 人,有
C31 =3 种选法,再从另外的 9 人中选 4 人,有C94 种选法,共有C31 C94 =378 种不
同的选法.
③有 2 名外科专家参加,有C42 C64 种选法.
所以共有C66 + C41 C65 + C42 C64 =115 种抽调方法.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)组合的概念;
(2)组合数的计算方法;
(3)组合数的性质.
2.方法归纳:公式法求解与组合数有关的计算,直接法、间接法、分类讨论
法求解“在”与“不在”,“至少”与“至多”型组合问题.
n
(n,m∈N
+,m≤n)常用于
m
m
=
n 为具体数的题目,多用于组合数的计
!
(n,m∈N+,m≤n)常用于 n 为字母的题目,多用于解不等式
!(- )!
或证明恒等式.
2.组合数的性质C
=
-
C (n,m∈N+,m≤n)的特点:该公式的下角标相同,都是
n,左右两边的上角标之和等于下角标,即 m+(n-m)=n.一般地,计算C 的值时,
3.分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分类
表达,逐类求解.
变式训练3
某医院从10名医疗专家中抽调6名参加某项义诊活动,其中这10名医疗专
家中有4名是外科专家.问:
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?
【精品课件】高中数学新北师大版选择性必修第一册 第五章 3第1课时组合组合数及其性质 课件(48张)
2．判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1)8 个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ (2)8 个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？ (3)从 1，2，3，…，9 这九个数字中任取 3 个，组成一个三位数，这样的三位数 共有多少个？ (4)从 1，2，3，…，9 这九个数字中任取 3 个，组成一个集合，这样的集合有多 少个？
n（n－1）（n－2）·…·（n－m＋1） m！
进行计算．
(2)涉及字母的可以用阶乘式 Cnm ＝m！（nn－！m）！ 计算．
(3)计算时应注意利用组合数的性质 Cnm ＝Cnn－m 简化运算．
【拓展延伸】 1.在计算与组合数有关的问题时，一般根据所要计算的组合数的特点，若含有具 体数字应选用乘积式；若含有字母则选用阶乘式． 2．在组合数的计算过程中要注意题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数 Cmn 的隐含条件为 m≤n，且 m，n∈N＋.
2．若 1<k<n，那么与 Cnk 不相等的是( )
A．kn＋ ＋11
Ck＋1 n＋1
B．kn
Ck－1 n－1
C．n－n k Ckn－1
D．kn－ －11
Ck－1 n－1
【解析】选 D.Ckn ＝（n－nk！ ）！k！ ，
A 中，kn＋ ＋11
Ck＋1 n＋1
＝kn＋ ＋11
（n＋1）！ （n－k）！（k＋1）！
§3 组 合 第1课时 组合、组合数及其性质
新课程标准
通过实例，理解组 合的概念，能利用 计数原理推导组合 数公式
学业水平要求 1.理解组合与组合数的概念，正确认识组合与排 列的区别与联系．(数学抽象) 2．会推导组合数公式，并会应用公式进行计算． (数学运算) 3．理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证 明．(逻辑推理)
高中数学第五章计数原理3组合问题第1课时组合组合数公式及其性质课件北师大版选择性必修第一册
100
＝100
101×100
99
99
2
+ 100 ＝C101 ＝C101 ＝
＝5
2×1
050.
(2)若 4> 6 ，则n的取值集合是________．
答案：{6，7，8，9}
解析：由
4
>
n！
6
， 得
4！ n−4
>
n！
， 所 以 n2 － 9n － 10<0 ， 得 －
！ 6！ n−6 ！
方法归纳
区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有
无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，
然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，
若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺
序，是组合问题．
跟踪训练1 判断下列问题是排列问题还是组合问题：
C．18
D．9
)
答案：B
解析：∵ Cn10 ＝Cn8 ，
∴n＝18，
20×19
18
n
2
∴ C20 ＝C20 ＝C20 ＝
＝190.故选B.
2×1
题型三 组合数性质的应用
98
99
例3 (1)计算： 97
+
+
99
99
100 ＝________；
答案：5 050
98
解析： 97
99+99
+
99
原等式化为：
−
＝
5！
6！
10×7！
化简得：m2－23m＋42＝0，解得m＝21或m＝2.
组合数学ch04107页PPT文档
二、具有两种性质的情形 设S为有穷集,
P1和P2分别表示两种性质。 A1表示S中具有性质P1的子集。 A2表示S中具有性质P2的子集。
则S中既不具有性质P1也不具有性质 P2的元素个数为：
|A 1IA 2| |S | |A 1| |A 2| |A 1IA 2|
例 在1-n的全排列中，1不在第一个位置，并且2 不在第二个位置的排列数是多少？
例4.1.2 求在1-1000中不能被5,6,8 整除的数的个数。
解：令P1,P2和P3分别表示一个整数能被5，6 和8整除的性质。 S={x|x是整数 并且 1<x<1000}, Ai={x|x∈S ⋀ x具有性质Pi}, i=1,2,3. 则有下面结果： |A1|=⌊ 1000/5 ⌋=200, |A2|=⌊ 1000/6 ⌋=166, |A3|=⌊ 1000/8 ⌋=125,
一、具有一种性质的情形
例4.1.1 求在1,2,…,500中不能被5整除的数 的个数。
解 先求在1和500之间可以被5整除的个 数有 500 ÷ 5 =100个，则不能被5整除的 数有500－100=400个。
• 例 在1-n的全排列中，1不在第一个位置的 排列数是多少？
• 这两个例子实际上用到如下原理： 如果A是集合S的子集，则在A中的元素个数 等于S的元素个数减去不在A中的元素个数。
可以写成 A S A 或者 A S A
其中A 为A相对于S的补集.
例 从{1,2, …,9}中取7个不同的数字构 成七位数，如果不允许5和6相邻，问 有多少种方法？
解：先求5和6相邻的七位数的个数N1.
N1=2×6!×C(7,5)=30240
不同数字的七位数有P(9,7)个，根据 定理5.1,所求的七位数个数 N= P(9,7)N1=151200
高中数学竞赛讲义第十八章 组合【讲义】
第十八章 组合一、方法与例题1．抽屉原理.例1 设整数n ≥4,a 1,a 2,…,a n 是区间(0,2n)内n 个不同的整数,证明：存在集合{a 1,a 2,…,a n }的一个子集,它的所有元素之和能被2n 整除.[证明] （1）若n ∉{a 1,a 2,…,a n },则n 个不同的数属于n-1个集合{1,2n-1},{2,2n-2},…,{n-1,n+1}.由抽屉原理知其中必存在两个数a i ,a j (i ≠j)属于同一集合,从而a i +a j =2n 被2n 整除；（2）若n ∈{a 1,a 2,…,a n },不妨设a n =n,从a 1,a 2,…,a n -1(n-1≥3)中任意取3个数a i , a j , a k (a i ,<a j < a k ),则a j -a i 与a k -a i 中至少有一个不被n 整除,否则a k -a i =(a k -a j )+(a j -a i )≥2n,这与a k ∈(0,2n)矛盾,故a 1,a 2,…,a n-1中必有两个数之差不被n 整除；不妨设a 1与a 2之差(a 2-a 1>0)不被n 整除,考虑n 个数a 1,a 2,a 1+a 2,a 1+a 2+a 3,…,a 1+a 2+…+a n-1.ⅰ）若这n 个数中有一个被n 整除,设此数等于k n ,若k 为偶数,则结论成立；若k 为奇数,则加上a n =n 知结论成立.ⅱ）若这n 个数中没有一个被n 整除,则它们除以n 的余数只能取1,2,…,n-1这n-1个值,由抽屉原理知其中必有两个数除以n 的余数相同,它们之差被n 整除,而a 2-a 1不被n 整除,故这个差必为a i , a j , a k-1中若干个数之和,同ⅰ）可知结论成立.2．极端原理.例2 在n ×n 的方格表的每个小方格内写有一个非负整数,并且在某一行和某一列的交叉点处如果写有0,那么该行与该列所填的所有数之和不小于n.证明：表中所有数之和不小于221n . [证明] 计算各行的和、各列的和,这2n 个和中必有最小的,不妨设第m 行的和最小,记和为k,则该行中至少有n-k 个0,这n-k 个0所在的各列的和都不小于n-k,从而这n-k 列的数的总和不小于(n-k)2,其余各列的数的总和不小于k 2,从而表中所有数的总和不小于(n-k)2+k 2≥.212)(22n k k n =+- 3.不变量原理.俗话说,变化的是现象,不变的是本质,某一事情反复地进行,寻找不变量是一种策略.例3 设正整数n 是奇数,在黑板上写下数1,2,…,2n,然后取其中任意两个数a,b,擦去这两个数,并写上|a-b|.证明：最后留下的是一个奇数.[证明] 设S 是黑板上所有数的和,开始时和数是S=1+2+…+2n=n(2n+1),这是一个奇数,因为|a-b|与a+b 有相同的奇偶性,故整个变化过程中S 的奇偶性不变,故最后结果为奇数. 例4 数a 1, a 2,…,a n 中每一个是1或-1,并且有S=a 1a 2a 3a 4+ a 2a 3a 4a 5+…+a n a 1a 2a 3=0. 证明：4|n.[证明] 如果把a 1, a 2,…,a n 中任意一个a i 换成-a i ,因为有4个循环相邻的项都改变符号,S 模4并不改变,开始时S=0,即S ≡0,即S ≡0(mod4).经有限次变号可将每个a i 都变成1,而始终有S ≡0(mod4),从而有n ≡0(mod4),所以4|n.4．构造法.例5 是否存在一个无穷正整数数列a 1,<a 2<a 3<…,使得对任意整数A,数列∞=+1}{n n A a 中仅有有限个素数.[证明] 存在.取a n =(n!)3即可.当A=0时,{a n }中没有素数；当|A|≥2时,若n ≥|A|,则a n +A均为|A|的倍数且大于|A|,不可能为素数；当A=±1时,a n±1=(n!±1)•[(n!)2±n!+1],当≥3时均为合数.从而当A为整数时,{(n!)3+A}中只有有限个素数.例6 一个多面体共有偶数条棱,试证：可以在它的每条棱上标上一个箭头,使得对每个顶点,指向它的箭头数目是偶数.[证明] 首先任意给每条棱一个箭头,如果此时对每个顶点,指向它的箭头数均为偶数,则命题成立.若有某个顶点A,指向它的箭头数为奇数,则必存在另一个顶点B,指向它的箭头数也为奇数（因为棱总数为偶数）,对于顶点A与B,总有一条由棱组成的“路径”连结它们,对该路径上的每条棱,改变它们箭头的方向,于是对于该路径上除A,B外的每个顶点,指向它的箭头数的奇偶性不变,而对顶点A,B,指向它的箭头数变成了偶数.如果这时仍有顶点,指向它的箭头数为奇数,那么重复上述做法,又可以减少两个这样的顶点,由于多面体顶点数有限,经过有限次调整,总能使和是对每个顶点,指向它的箭头数为偶数.命题成立.5．染色法.例7 能否在5×5方格表内找到一条线路,它由某格中心出发,经过每个方格恰好一次,再回到出发点,并且途中不经过任何方格的顶点？[解] 不可能.将方格表黑白相间染色,不妨设黑格为13个,白格为12个,如果能实现,因黑白格交替出现,黑白格数目应相等,得出矛盾,故不可能.6．凸包的使用.给定平面点集A,能盖住A的最小的凸图形,称为A的凸包.例8 试证：任何不自交的五边形都位于它的某条边的同一侧.[证明] 五边形的凸五包是凸五边形、凸四边形或者是三角形,凸包的顶点中至少有3点是原五边形的顶点.五边形共有5个顶点,故3个顶点中必有两点是相邻顶点.连结这两点的边即为所求.7．赋值方法.例9 由2×2的方格纸去掉一个方格余下的图形称为拐形,用这种拐形去覆盖5×7的方格板,每个拐形恰覆盖3个方格,可以重叠但不能超出方格板的边界,问：能否使方格板上每个方格被覆盖的层数都相同？说明理由.[解] 将5×7方格板的每一个小方格内填写数-2和1.如图18-1所示,每个拐形覆盖的三个数之和为非负.因而无论用多少个拐形覆盖多少次,盖住的所有数字之和都是非负的.另一方面,方格板上数字的总和为12×(-2)+23×1=-1,当被覆盖K层时,盖住的数字之和等于-K,这8．图论方法.例10 生产由六种颜色的纱线织成的双色布,在所生产的双色布中,每种颜色的纱线至少与其他三种颜色的纱线搭配过.证明：可以挑出三种不同的双色布,它们包含所有的颜色.[证明] 用点A1,A2,A3,A4,A5,A6表示六种颜色,若两种颜色的线搭配过,则在相应的两点之间连一条边.由已知,每个顶点至少连出三条边.命题等价于由这些边和点构成的图中有三条边两两不相邻（即无公共顶点）.因为每个顶点的次数≥3,所以可以找到两条边不相邻,设为A1A2,A3A4.（1）若A5与A6连有一条边,则A1A2,A3A4,A5A6对应的三种双色布满足要求.（2）若A 5与A 6之间没有边相连,不妨设A 5和A 1相连,A 2与A 3相连,若A 4和A 6相连,则A 1A 2,A 3A 4,A 5A 6对应的双色布满足要求；若A 4与A 6不相连,则A 6与A 1相连,A 2与A 3相连,A 1A 5,A 2A 6,A 3A 4对应的双色布满足要求.综上,命题得证.二、习题精选1．药房里有若干种药,其中一部分药是烈性的.药剂师用这些药配成68副药方,每副药方中恰有5种药,其中至少有一种是烈性的,并且使得任选3种药恰有一副药方包含它们.试问：全部药方中是否一定有一副药方至少含有4种烈性药？（证明或否定）2．21个女孩和21个男孩参加一次数学竞赛,（1）每一个参赛者最多解出6道题；（2）对每一个女孩和每一个男孩至少有一道题被这一对孩子都解出.求证：有一道题至少有3个女孩和至少有3个男孩都解出.3．求证：存在无穷多个正整数n,使得可将3n 个数1, 2,…, 3n 排成数表a 1, a 2…a nb 1, b 2…b nc 1, c 2…c n满足：（1）a 1+b 1+c 1= a 2+b 2+c 2=…= a n +b n +c n =,且为6的倍数.（2）a 1+a 2+…+a n = b 1+b 2+…+b n = c 1+c 2+…+c n =,且为6的倍数.4．给定正整数n,已知克数都是正整数的k 块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,…,n 克的所有物品,求k 的最小值f(n).5．空间中有1989个点,其中任何3点都不共线,把它们分成点数各不相同的30组,在任何3个不同的组中各取一点为顶点作三角形.试问：为使这种三角形的总数最大,各组的点数应分别为多少？6．在平面给定点A 0和n 个向量a 1,a 2,…,a n ,且使a 1+a 2+…+a n =0.这组向量的每一个排列n i i i a a a ,,,21 都定义一个点集：A 1,A 2,…,A n =A 0,使得n n i i i A A a A A a A A a n12110,,,21-===求证：存在一个排列,使由它定义的所有点A 1,A 2,…,A n-1都在以A 0为角顶的某个600角的内部和边上.7．设m, n, k ∈N,有4个酒杯,容量分别为m,n,k 和m+n+k 升,允许进行如下操作：将一个杯中的酒倒入另一杯中或者将另一杯倒满为止.开始时,大杯中装满酒而另3个杯子却空着,问：为使对任何S ∈N,S<m+n+k,都可经过若干次操作,使得某个杯子中恰有S 升酒的关于m,n,k 的充分必要条件是什么？8．设有30个人坐在一张圆桌的周围,其中的每个人都或者是白痴,或者是聪明人.对在座的每个人都提问：“你右边的邻座是聪明人还是白痴？”聪明人总是给出正确的答案,而白痴既可能回答正确,也可能回答不正确.已知白痴的个数不超过F,求总可以指出一位聪明人的最大的F.9．某班共有30名学生,每名学生在班内都有同样多的朋友,期末时任何两人的成绩都可分出优劣,没有相同的.问：比自己的多半朋友的成绩都要好的学生最多能有多少人？。
精品备课高二数学组合一 人教版 教案
江苏省苏州中学、常州中学精品备课高二数学组合一【教学内容】第十章 排列 组合 和概率10.1 组合要求：1、学习掌握组合、组合数概念和组合数的两个性质。
熟练运用这些基本概念和性质解题； 2、掌握解排列组合题的思想方法，适当地分类，分步，构造恰当的解法解决问题； 3、灵活运用有关概念；开拓解题思路，力争做到一题多解。
【学习指导】 1、掌握组合的概念：定义：从n 个不同元素中，取出m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
排列与组合的共同点，就是要“从n 个不同元素中，任取m 个元素”，而不同的是，对于所取出的m 个元素，前者要“按照一定的顺序排成一列”，而后者却是“不管怎样的顺序并成一组”，即排列是有序的，而组合是无序的。
2、掌握组合数公式：123)2()1()1()2()1(⨯⨯⋅⋅⋅-⋅-⋅+-⋅⋅⋅-⋅-⋅==m m m m n n n n A A C m mmn mn另一个公式)!(!!m n m n C mn -=此公式的作用：当对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常写成这种形式去沟通。
3、组合数性质1：m n n m n C C -= 组合数性质2：mn m n m n C C C 11+-=+通过本节的学习，要理解组合的意义，弄清排列与组合的联系与区别，掌握组合数的计算公式，并能解决相关的数学问题。
组合的应用题是本节教材的难点，它可分为无限制条件的组合、有限制条件的组合以及组合与排列的综合应用题三大类。
对于无限制条件的组合应用题，可应用组合数公式mn C 来计算；对于有限制条件的组合应用题及排列与组合的综合应用题，一般有正向思考与逆向思考两种思路，正向思考时常采用分步及乘法原理的方法或分类及加法原理的方法，逆向思考时常采用求补集的方法解决。
【典型例题分析】例1、某班有45名同学，在毕业典礼会上，每两人握一次手，总共能握多少次手？解：因为每两人握一次手是无序的，所以总共能握：124445245⨯⨯=C =990（次） 例2、从5名男生4名女生中选出4人去参加数学竞赛。
高中数学第一册(上)组合(2)
高中数学第一册(上)组合（2）【课 题】组 合【教学目标】1．掌握组合数的两个性质，并能运用组合数的性质进行化简；2．进一步理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式，并且能够运用公式解决一些简单的应用问题．【教学重点】组合数的性质．【教学难点】组合数的性质．【教学过程】一、复习引入：1．分类计数原理．2．分步计数原理．3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一．定的顺序．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示 5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）6．阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．7．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m -． 8 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同9．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 10．组合数公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且． 二、讲解新课：1 组合数的性质1：m n n m n C C -=．一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想 证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=-，又 )!(!!m n m n C m n -=，∴n n m n C C -= 说明：①规定：10=n C ；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算m n n C -，能够使运算简化. 例如20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002；④y n x n C C =y x =⇒或n y x =+．2．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C ．一般地，从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m n C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m nC 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m n C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．证明：)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+=，∴m n C 1+＝m n C +1-m n C ． 说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；②此性质的作用：恒等变形，简化运算三、讲解范例：例1．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：（1）5638=C ,或=38C +27C 37C ，；（2）2127=C ；（3）3537=C ．例2．（1）计算：69584737C C C C +++；（2）求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C ．解：（1）原式4565664889991010210C C C C C C C =++=+===；证明：（2）右边1121112()()n n n n n n n m m m m m m m C C C C C C C ----+++=+++=+==左边例3．解方程：（1）3213113-+=x x C C ；（2）解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ． 解：（1）由原方程得123x x +=-或12313x x ++-=，∴4x =或5x =， 又由111312313x x x N *⎧≤+≤⎪≤-≤⎨⎪∈⎩得28x ≤≤且x N *∈，∴原方程的解为4x =或x =上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x =和5x =代入检验,这样运算量小得多.（2）原方程可化为2333110x x x C A -++=，即5333110x x C A ++=，∴(3)!(3)!5!(2)!10!x x x x ++=-⋅， ∴11120(2)!10(1)(2)!x x x x =-⋅-⋅-， ∴2120x x --=，解得4x =或3x =-，经检验：4x =是原方程的解四、课堂练习：1．方程382828x x C C -=的解集为（ ）A ．{}4B ．{}9C ．φD ．{}4,92．式子2171010m m C C +-+（m N *∈）的值的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．化简：9981m m m C C C +-+= ；4．若108n n C C =，则20n C 的值为 ；5．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；6．要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同的方法种数是 ；7．5名工人分别要在3天中选择1天休息，不同方法的种数是 ；8．集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，从两个集合中各取出1个元素，不同方法的种数是 ．9．从1,2,3,,20这20个数中选出2个不同的数，使这两个数的和为偶数，有_ 种不同选法10．正12边形的对角线的条数是 ．11．已知221717x x C C +=，求8x C 的值；12．解方程：221564466x x C C C C -+=-．13．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？14．在所有的三位数中，各位数字从高到低顺次减小的数共有 个答案：1. D 2. A 3. 0 4. 190 5. 10 6. 60 7. 2438. mn 9. 90 10. 54 11. 28或者56 12. 2 或者2 13. 63 14. 33103/120A A =，可以保证0在最低位 五、小结 ：组合数的两个性质；从特殊到一般的归纳思想；常用的等式：111010====+++k k k k k k C C C C六、课后作业： 七、板书设计（略）八、教学后记：。
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第十八讲 组合数学
组合数学是自招考试中比较难的问题。
近几年考试中出现组合数学问题的学校主要是清华大学、北京大学、上海交大、中科大等名校。
求解组合数学问题需要敏锐的洞察力、丰富的想象力和必要的技巧，通常没有固定的解题模式可循。
自招考试中组合问题通常有：计数问题、组合恒等式、存在性问题、组合最值等。
解决计数问题的基本方法有：枚举法、利用两个基本原理、算两次方法、利用容斥原理。
证明组合恒等式的常用基本方法有：母函数方法、组合模型法。
解决组合存在性问题的基本方法有：反证法、利用极端原理、构造法等。
解决组合最值问题有估值法等。
真题讲解：
例1、（06复旦）求证：()()()222012n n n n n n C
C C C +++= 。
例2、（09科大）2008个白球和2009个黑球任意排成一列。
求证：无论如何排列，都至少存在一个黑球，其左侧（不包括它自己）的黑球和白球个数相等（可以为0）。
例3、（08北大）在由若干南方球队和北方球队参加的排球单循环赛中，已知南方队比北方队多9支，所有南方队得到的分数总和是所有北方队得到的分数总和的9倍（每场比赛胜者得一分，负者得零分）。
证明：循环赛结束后，某支南方队的积分最高。
例4、（10清华特色）设计一种为一维数轴的全体实数染色的方案，使得数轴上任意两个相
距为1
练习巩固：
1、（03交大）化简1212k n n n k C C C ++++++ 。
11k n k C ++-
2、（08交大）世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A 组，进行主客场比赛。
规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分。
比赛结束后前两名可以晋级。
（1）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分。
于是
甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线；
乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线。
问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？乙
（2）若不考虑（1）中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？13分
3、（08交大）30个人排成矩形，身高各不相同。
把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为b。
（1）a是否有可能比b高？不可能
（2）a和b是否可能相等？可能
4、（09清华）有200件物品，可以用100个相同的箱子装下（每箱装2件）。
现不小心将这200件物品弄乱，于是采用如下装法：任取一件物品，装入第一个箱子；再取一件，若能装入第一箱则装入第一箱，否则装入第二箱；再取一件，若能装入第二件所在箱，则装入，否则装入下一箱；以此类推，直到所有物品都装箱。
问：至少需准备多少箱子才能确保装下这200件物品？
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5、（09北大）某次考试共有333名学生做对了1000道题，做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀，考场中每人做对题目数不全同奇偶。
问：不及格者与优秀者哪个多？
不及格
6、（10五校）对正六边形的边和所有对角线染色，任意三角形三边染色不同，任意两组三角形染色方式不同，求至少要染多少种颜色。
七
7、（09清华）64匹马，速度各不相同。
每场比赛只能有8匹马参赛。
问：能否用不超过50场比赛排出所有马的速度大小顺序？若不能，给出证明；若能，给出比赛方案。
（所有马速度恒定，不考虑疲劳等因素）
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8、（10清华特色）长为L 的木棒（L 为整数）可以锯成长为整数的两段，要求任何时刻所有木棒中的最小者严格小于最短者长度的2倍。
例如长为4的木棒可以锯成22+两段，而长为7的木棒第一次可以锯成34+，第二次可以再将长为4的木棒锯成22+，这时223++三段不能再锯。
问：长为30的木棒至多可以锯成多少段？
6。