第18讲+组合数学【范端喜】.docx

第十八讲 组合数学

组合数学是自招考试中比较难的问题。近几年考试中出现组合数学问题的学校主要是清华大学、北京大学、上海交大、中科大等名校。求解组合数学问题需要敏锐的洞察力、丰富的想象力和必要的技巧，通常没有固定的解题模式可循。

自招考试中组合问题通常有：计数问题、组合恒等式、存在性问题、组合最值等。

解决计数问题的基本方法有：枚举法、利用两个基本原理、算两次方法、利用容斥原理。 证明组合恒等式的常用基本方法有：母函数方法、组合模型法。

解决组合存在性问题的基本方法有：反证法、利用极端原理、构造法等。

解决组合最值问题有估值法等。

真题讲解：

例1、（06复旦）求证：()()()222012n n n n n n C

C C C +++= 。

例2、（09科大）2008个白球和2009个黑球任意排成一列。求证：无论如何排列，都至少存在一个黑球，其左侧（不包括它自己）的黑球和白球个数相等（可以为0）。

例3、（08北大）在由若干南方球队和北方球队参加的排球单循环赛中，已知南方队比北方队多9支，所有南方队得到的分数总和是所有北方队得到的分数总和的9倍（每场比赛胜者得一分，负者得零分）。证明：循环赛结束后，某支南方队的积分最高。

例4、（10清华特色）设计一种为一维数轴的全体实数染色的方案，使得数轴上任意两个相

距为1

练习巩固：

1、（03交大）化简1212k n n n k C C C ++++++ 。

11k n k C ++-

2、（08交大）世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A 组，进行主客场比赛。规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分。比赛结束后前两名可以晋级。

（1）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分。于是

甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线；

乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线。

问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？乙

（2）若不考虑（1）中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？13分

3、（08交大）30个人排成矩形，身高各不相同。把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为b。

（1）a是否有可能比b高？不可能

（2）a和b是否可能相等？可能

4、（09清华）有200件物品，可以用100个相同的箱子装下（每箱装2件）。现不小心将这200件物品弄乱，于是采用如下装法：任取一件物品，装入第一个箱子；再取一件，若能装入第一箱则装入第一箱，否则装入第二箱；再取一件，若能装入第二件所在箱，则装入，否则装入下一箱；以此类推，直到所有物品都装箱。问：至少需准备多少箱子才能确保装下这200件物品？

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5、（09北大）某次考试共有333名学生做对了1000道题，做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀，考场中每人做对题目数不全同奇偶。问：不及格者与优秀者哪个多？

不及格

6、（10五校）对正六边形的边和所有对角线染色，任意三角形三边染色不同，任意两组三角形染色方式不同，求至少要染多少种颜色。

七

7、（09清华）64匹马，速度各不相同。每场比赛只能有8匹马参赛。问：能否用不超过50场比赛排出所有马的速度大小顺序？若不能，给出证明；若能，给出比赛方案。（所有马速度恒定，不考虑疲劳等因素）

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8、（10清华特色）长为L 的木棒（L 为整数）可以锯成长为整数的两段，要求任何时刻所有木棒中的最小者严格小于最短者长度的2倍。例如长为4的木棒可以锯成22+两段，而长为7的木棒第一次可以锯成34+，第二次可以再将长为4的木棒锯成22+，这时223++三段不能再锯。问：长为30的木棒至多可以锯成多少段？

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