组合数学第01讲比赛中的推理(六年级)
北师大版数学六年级上册6.6《比赛场次》说课稿
北师大版数学六年级上册6.6《比赛场次》说课稿一. 教材分析北师大版数学六年级上册6.6《比赛场次》这一节的内容，主要让学生掌握用排列组合的方法解决实际问题。
通过本节课的学习，学生能够理解排列组合的概念，掌握排列组合的计算方法，并能够应用到实际问题中。
教材通过引入比赛场次的问题，让学生在解决实际问题的过程中，体会排列组合的方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于简单的一元一次方程和二元一次方程能够理解和掌握。
但是，对于排列组合的概念和计算方法，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生逐步理解排列组合的概念，并通过例题和练习题，让学生掌握排列组合的计算方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解排列组合的概念，掌握排列组合的计算方法，能够应用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过解决比赛场次的问题，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、合作交流的学习习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：排列组合的概念和计算方法。
2.教学难点：排列组合在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件和教学道具进行教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过引入比赛场次的问题，激发学生的兴趣，引导学生思考如何解决实际问题。
2.讲解排列组合的概念和计算方法：通过讲解和示例，让学生理解排列组合的概念，掌握排列组合的计算方法。
3.应用练习：让学生通过练习题，巩固排列组合的计算方法。
4.解决实际问题：让学生应用排列组合的方法，解决比赛场次的问题。
5.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，引导学生思考如何将排列组合的方法应用到其他实际问题中。
七. 说板书设计板书设计如下：概念：排列组合是数学中的一种计数方法，用于解决实际问题。
组合数学第01讲比赛中地推理(六年级)
知识图谱组合数学第01讲_比赛中的推理-一、比赛中的推理场次计算总分计算具体赛程积分与名次得失球相关一：比赛中的推理知识精讲比赛中的推理:这些问题有各种不同的形式：有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至还有讨论进球数、失球数的．不同类型的问题我们应该用不同的方法来处理．在推理中，画示意图或表格用来分析比赛问题，能够让我们对比赛的情况更为直观明了．1．比赛分类：（1）淘汰赛：每场比赛踢掉一支球队，只取第一名．（2）单循环赛：n支球队，每两队比赛1场，总共比赛场．（3）双循环比赛：n支球队，每两球比赛2场总共比赛场．2．与比赛积分有关的推理问题．两种常见的计分法：（1）2分制计分法：“每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分”．这种情况下，每场比赛无论结果如何，双方总得分都是2分，因此所有选手的总分就等于“比赛场数×2”．（2）3分制计分法：“每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各的1分”．这种情况下，总分就是“胜负场数×3+平局场数×2”，或者写成“比赛场数×2-平局场数”．三点剖析重难点：要注意搞清比赛规则，特别是积分规则，对阵方式，认识总场次、总得分与某个对或人总得分、总场次间的区别与联系．．若是画对阵关系图，注意箭头表胜负，虚线表示平局．题模精讲题模一场次计算例1.1.1、某年级8个班级进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（参加比赛的队每两队之间只进行一场比赛），胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分．某班级共得15分，并以无负局成绩获得冠军，那么该班共胜几场比赛？答案：4解析：该班赛了7场．假设全是平局，应得7分．每将1场平局替换为胜场，总分增分，故该班共胜场．例1.1.2、为弘扬亚运精神，四年级组织了篮球联赛，赛制为单循环制，即每两队之间都要比一场，计划安排15场比赛，应该邀请几个篮球队参加？答案：6解析：由于，故应该邀请6个篮球队参加．例1.1.3、甲、乙、丙、丁与小明五位同学进入象棋决赛．每两人都要比赛一盘，每胜一盘得2分，和一盘得1分，输一盘得0分．到现在为止，甲赛了4盘，共得了2分；乙赛了3盘，得了4分；丙赛了2盘，得了1分；丁赛了1盘，得了2分．那么小明现在已赛了______盘．答案：2解析：由题意可画出比赛图，已赛过的两人之间用线段连接．由图看出小明赛了2盘．例1.1.4、A，B，C三个篮球队进行比赛，规定每天比赛一场，每场比赛结束后，第二天由胜队与另一队进行比赛，败队则休息一天，如此继续下去．最后结果是A队胜10场，B队胜12场，C队胜14场，则A队共打了几场比赛？答案：23场解析：因为A队胜10场，所以A队休息和被击败的天数的和是．26是个偶数，结合我们在分析中得到的结论，可以知道A队休息的天数与被打败的天数是相同的，所以A队休息了13天．因为一共有36场比赛，所以A队打了23场比赛．例1.1.5、有16位选手参加象棋晋级赛，每两人都只赛一盘．每盘胜者积1分，败者积0分．如果和棋，每人各积0.5分．比赛全部结束后，积分不少于10分者晋级．那么本次比赛后最多有_______为选手晋级．答案：11解析：一共比赛了120场，每场比赛两个选手总分会得到1分，所以共有120分，理论上来讲，最多能有人，但是没有晋级的人同样也消耗了120分钟的若干分，所以不可能这120分全部是这12个人获得，故最多不可能是12人；于是接下来考虑11人的情况，这样是可以实现的，11人只需110分，而剩下来的5人正好消耗分，加起来120分．（具体的一种情况可以使前11人之间均为平局，然后他们都赢了最后5名，则前11人每人得分都为10分）．例1.1.6、五支足球队伍比赛，每两个队伍之间比赛一场；胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛完毕后，发现各队得分均不超过9分，且恰有两支队伍同分．设五支队伍的得分从高到低依次为、、、、（有两个字母表示的数是相同的）．若恰好是15的倍数，那么此次比赛中共有______场平局．3解析：体育比赛得分问题，首先算出比赛一共10场，总分在20到30分之间．五位数是15的倍数，利用整除性可知，可为0或者5，考虑到最小，如果，总分最小为分，不成立，所以，即第五名4场全负积0分．第五名负四场，则平局最多为6场，总分最少为24分．又考虑到分数和为3的倍数，总分可能情况为30，27，24．对三种情况分别讨论：（1）总分30分：即无平局情况，那么前四名队伍得分只可能为9，6，3分．不能在只有两个重复的情况下凑出30．所以总分30分情况不存在．（2）总分27分：经测试，存在，满足题目分数要求，且四个队7场胜3场负，恰好满足第五队的4场负，所以此为一解，比赛3场平局．（3）总分24分：在24分情况下，只有前四名只能各胜1场平2场，但不满足只有两队得分相同．所以总分24分情况不存在．综上，唯一存在总分27分情况下，比赛中共有3场平局．题模二总分计算例1.2.1、6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．那么6个人最后得分的总和是_______分．答案：30解析：无论赛果如何，每场共产生2分．6个人共赛了场，因此总分为分．例1.2.2、四支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少？答案：4分如果比赛分出胜负，那么双方得分之和就是3分；如果平局，双方得分之和就是2分．4支队之间要进行场比赛，那么总分就要在12分和18分之间．各队的总得分就是6场比赛的总得分，因此四支球队的总分也要在12分和18分之间．由题意，四支球队的得分是4个连续的自然数．而四个连续自然数的和可能是：，，，，……在12分和18分之间的只有14和18，因此这四支球队的得分可能是2分、3分、4分、5分，或者3分、4分、5分、6分．这两种情况都可能出现吗？如果是3分、4分、5分、6分，总分是18分，那么每场比赛都分出了胜负，但这是不可能的，大家自己想想这是为什么？如果是2分、3分、4分、5分，那么第一名得5分，只能是1胜2平；第二名得4分，只能是1胜1平1负；第三名得3分，可能是1胜2负，也可能是3平；第四名得2分，只能是2平1负．其中只有第三名的比赛结果有两种情况．综合考虑第一名、第二名、第四名的胜负情况：他们一共有2胜5平2负．由于总胜场数与总负场数相同，所以第三名只能是3平．第三名没有平局，容易画出四支队之间的比赛胜负关系，如图所示．因此输给了第一名的只有第二名，他得了4分．例1.2.3、10名选手参加象棋比赛，每两名选手间都要比赛一次．已知胜一场得2分，平一场得1分，负一场不得分．比赛结果：选手们所得分数各不相同，前两名选手都没输过，前两名的总分比第三名多20分，第四名得分与后四名所得总分相等．问：前六名的分数各为多少？答案：17分，16分，13分，12分，11分，9分解析：因为前两名选手都没有输过，所以第一名选手的战绩最好是8胜1平，得17分．第二名最多得16分．可知第三名最多得分．后四名选手之间有6场比赛，每场比赛得2分，一共得12分．所以后四名选手总分最少为12分，从而第四名选手最少得12分．考虑到第三名最多得13分，可知第三名得13分，第四名得12分．于是第一名和第二名总分为33分，也就是第一名得17分，第二名得16分．10名选手之间一共有45场比赛，总分是90．第五名和第六名的总分是．考虑到每一个的得分都小于第四名的得分12，可知第五名得11分，第六名得9分．因此前六名的分数分别为17、16、13、12、11、9．例1.2.4、有A、B、C、D、E五个队分在同一个小组进行单循环足球赛（每两队只进行一场比赛），为争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场各队各得一分，负一场得0分．小组赛结束后，小组中名次在前的两个队出线，请你解答下列问题：（1）小组赛结束后，若A队的积分为9分，设A队胜m场，平n场，则的值是多少？（2）小组赛结束后，设5个队的积分总和为x，那么x的范围是什么？（3）小组赛结束后，若A队的积分为10分，A队能出线吗？请你对A队能否出线作出分析．答案：（1）9（2）（3）能解析：（1）即为A的总分，故．（2）共赛场，每场最少产生2个积分，最多产生3个积分，故5个队的积分总和x最小为，最多为，且易知此范围内任何一种情况均可达到．因此，x的范围是．（3）假设A无法出线，则至少有两队的得分不低于10分，即此三队总分至少为分，进而另两队总分最多为分．但另两队之间会比一场，不可能都积0分，矛盾．因此假设不成立，即A一定能出线．题模三具体赛程例1.3.1、甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘．问：小强已经赛了几盘？分别与谁赛过？答案：2；甲，乙解析：用5个点代表5人，实线代表两人比过，虚线则为没比过．甲与每人都比过，这样丁只与甲比过，乙未与丁比，与另三人比过，进而丙只与甲、乙比过．最终得小强与甲、乙比过2盘．例1.3.2、今有6支球队进行单循环赛，每两队仅赛一场，胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束，各队得分由高到低恰好是等差数列（排名相邻两队得分差相等），其中第三名得8分．这次比赛中平局共有几局？答案：3解析：第三名5场得8分，故最多胜2场．假设其只胜1场，则其积分最多为分，矛盾，因此第三名只能为2胜2平1负．共比了场，故所有队总分最多为分．前五名总分为分，进而第六名最多为分，且与第三名差3个公差，只能为2分．这样，所有队总分为分，平局有局．例1.3.3、五个国家足球队A、B、C、D、E进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空．已知第一天比赛的是A与D，C轮空；第二天A与B比赛，E轮空；第三天A与E 比赛；第四天A与C比赛；B与C的比赛在B与D的比赛之前进行．那么C与E 在哪一天比赛？答案：第五天解析：列表分析，用*表示轮空．题模四积分与名次例1.4.1、A、B、C、D四支球队进行足球比赛，每两队都要比赛一场．已知A、B、C三队的成绩分别是：A队2胜1负，B队2胜1平，C队1胜2负．那么D队的成绩是________胜．答案：解析：D显然有1平．共赛了场，A、B、C共胜5场，再加上1场平局，已经达到6场，因此D没有获胜．例1.4.2、东亚四强赛是由中国、韩国、日本、朝鲜四个国家球队之间进行的一次单循环制比赛，即每支球队都必须分别和其他球队比赛一场．请问：东亚四强赛总共需要比多少场比赛？如果每赢一场得3分，平一场得一分，输一场得0分，那么第一名最多可以的多少分？最少可以得多少分？答案：9；3解析：易知第一名最多为分．若所有比赛均为平局，显然第一名为分．假设某队只得2分、1分或0分，则其至少输了1场，故必有1队至少积3分，因此3分以下不可能为第一名．综上，第一名最多9分，最少3分．例1.4.3、A、B、C、D四支足球队进行一次单循环比赛，赢一场得2分，平局各得1分，输一场不得分．所有比赛结束后，按积分高低排名，A、B两队并列最后一名，C 队第二名，D队第一名．那么A队最多得多少分？答案：2解析：共赛了场，各队总积分为分．A队得分必低于平均分分，即最多2分．易知2分是可达的，如D胜A、B，其余比赛均为平局即可．因此，A队最多得2分．例1.4.4、一张有4人参加的国际象棋单循环比赛的积分表如下，每场比赛胜者得3分，负者减1分，平局则两人各得1分．（1）填出表内空格中的分值．（2）排出这次比赛的名次．答案：（1）见下表（2）余张赵陈解析：若a胜b，则b负于a；若a与b战平，则b与a也战平．由此易将表格补全，进而得到名次．例1.4.5、热火队和雷霆队为了争夺NBA总决赛的冠军，斗得难分难解．在今天晚上的比赛中：（1）两队都没有换过人；（2）除了三名队员外，其他队员得分都互不相同．这三名队员都得了22分，但是不在同一个队中；（3）全场最高个人得分是30分，只有三名队员得分不到20分；（4）热火队中，得分最多和得分最少的球员只相差3分；（5）雷霆队每人的得分正好组成一个等差数列．这场比赛__________队胜，他们的比分是___________________．答案：雷霆，综合条件，可以得到雷霆队得分组成的等差数列的公差只能是4分，队员分别得分为30、26、22、18、14，而热火队得分为22、22、21、20、19．所以雷霆队与热火队的比分是110:104．例1.4.6、世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛（即每个队都与同组的其它三个队各赛一场）．每场比赛胜队得3分，败队得0分，若打成平局，则两队各得1分，小组赛全赛完后，总积分高的两个队出线进入下一轮比赛．如果总积分相同，则还要依次按净胜球多少和进球数多少来排序．试问：（1）每组小组赛需要比赛几场？（2）一个队的积分情况有哪几种可能？（3）若某队只积3分，那么该队的输赢情况有哪几种可能（不考虑三场比赛的先后顺序）？（4）若某队只积3分，那么该队有可能出线吗？请简单叙述理由．（5）至少需要积多少分才能保证一定出线？请简单叙述理由．（6）至少需要积多少分才有可能出线？请简单叙述理由．答案：（1）6（2）0至7分及9分均有可能，共9种（3）1胜2负或3平，共2种（4）可能（5）7（6）2解析：（1）场．（2）可能为、、、、、、、、、，共9种．（3），故可能为1胜2负或3平．（4）可能，如6场均为平局，每队均为3分，则必有2只可以出线．（5）7分．9分显然小组第一出现．若为7分，其战胜的两支球队最多为6分，故7分可确保前两名．若1队3负，另3队均为2胜1负，则必有1只积6分的无法出线．（6）2分．若一支球队全胜，另三只均为2平1负，则必有2分的可以出线．而若积1分或0分，其至少输给过2只球队，那两只至少3分，排名一定在前，即此时必无法出线．题模五得失球相关例1.5.1、现有A、B、C共3支足球队举行单循环比赛，即每两队之间都要比赛一场．比赛积分的规定是胜一场积2分，平一场积1分，负一场积0分．图1是一张记有比赛详细情况的表格．但是，经过核对，发现表中恰好有4个数字是错误的，请你把正确的结果填入图2中．答案：<解析：对于A，赛2场，2胜1平0负，这里至少有一个数字有误，如果只有一个数字有误，那有三种可能：（1）赛3场，2胜0负1平；（2）赛2场，1胜0负1平；（3）赛2场，2胜0负0平．对于（1）、（3）两种情况，后面的积分都是错误的，对于（2）这种情况，后面的进球是错误的，所以对A 来说，至少有两个数字是错误的．对于C，赛1场，0胜2平1负，这里至少有一个数字有误，如果只有一个数字有误，那有两种可能：（1）赛3场，0胜2平1负；（2）赛1场，0胜0平1负．无论哪种情况，后面的积分都是错误的，所以对C来说，也至少有两个数字是错误的．A和C一共至少有4个错误的数字，而总共只有4个数字错误，所以它们各错了两个，B的数字全部正确．三个球队打单循环，每支球队的比赛场数不多于2．对A来说，如果它的两个错误全部出现在前4个数字上，那么它进0球就是对的，所以它没有赢．这时它最多平2场得2分，这样积分出错，矛盾．因此前4个数字只有一个错误，那它的结果是一胜一平或者两胜．如果A的比赛结果是2胜，那进球数是错的，积分也是错的，一共有3个错误，所以A的比赛结果是一胜一平，另一个错误的数字是进球数．用类似的方法可以写出正确的表格，如图所示．我们还容易看出，A平C而胜了B，B胜了C而负于A，C平了A而负于B．再从C的进球数与失球数就可以判断出三场比赛比分分别是：Avs BAvs CBvs C例1.5.2、A、B、C三队比赛篮球，A队以83∶73战胜B队，B队以88∶79战胜C队，C 队以84∶76战胜A队，三队中得失分率最高的出线．一个队的得失分率为，如，A队得失分率为．三队中__________队出线．答案：A解析：这道题没必要算出三队得失分率，得失分率就是衡量一个球队总共是赢了还是输了．A：赢了10分，输了8分，一共赢了2分．B：赢了9分，输了10分，一共输了1分．C：赢了8分，输了9分，一共输了1分，所以A的得失分率最大．随堂练习随练1.1、6支足球队，每两队间至多比赛一场．如果每队恰好比赛了2场，那么符合条件的比赛安排共有_________种．答案：70解析：把六个球队看做六个点，这之间进行连线．则可能形成一个六边形或者两个三角形．如果形成一个六边形，则有种；如果形成两个三角形，则有种．所以共有种．随练1.2、六个人传球，每两人之间至多传一次，那么最多共进行____次传球．答案：13解析：本题是一道比赛场数计数问题，“每两个之间至多传一次”让六个人最多次地传球，则是5+4+3+2+1=15次．但得看是否可传递回去，在传递过程中同两人是否重复．（15条线，代表传球15次）根据一笔画问题：一笔画要求只有2个奇点（不需要回到出发点时）或0个奇点（需要回到出发点时），行不通．所以应减少奇点个数，共有6个奇点，应该去掉两条两条直线，即去掉了4个奇点，剩下2个奇点，可以传递成功，共15-2=13次传球．随练1.3、五支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，那么每支队要赛几场？一共要进行多少场比赛？若这五支球队进行淘汰赛，为了决出冠军，一共需要进行多少场比赛？答案：4；10；4解析：每支队要赛场，共进行场．淘汰赛每场淘汰1支球队，故为了决出冠军，一共需要进行场淘汰赛．随练1.4、6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．请问：（1）各队总分之和最多是__________分，最少是__________分。
小学数学人教新版六年级上册奥数系列讲座：逻辑推理(含答案解析)
小学数学人教新版六年级上册实用资料逻辑推理内容概述体育比赛形式的逻辑推理问题，其中存在的呼应——“一队的胜、负、平分对应着另一队的负、平、胜”对解题有重要作用，有时宜将比赛情况用点以及连这些点的线来表示．需要从整体考虑，涉及数量比较、整数分解等具有一定综性的逻辑推理问题．典型问题1．共有4人进行跳远、百米、铅球、跳高4项比赛，规定每个单项中，第一名记5分，第二名记3分，第三名记2分，第四名记1分．已知在每一单项比赛中都没有并列名次，并且总分第一名共获17分，其中跳高得分低于其他项得分；总分第三名共获11分，其中跳高得分高于其他项得分．问总分第二名在铅球项目中的得分是多少?【分析与解】每个单项的4人共得分5+3+2+1=11分，所以4个单项的总分为11×4=44分，而第一，三名得分为17、11分，所以第二、四名得分之和为44(1711)16-+=分其中第四名得分最少为4分，此时第二名得分最高，为16-4=12分；又因为第三名为11分，那么第二名最低为12分；那么第二名只能为12分，此时第四名4分．于是，第一、二、三、四名的得分依次为17、12、1l、4分，而17只能是5+5+5+2，4只能是1+1+1+1.不难得到下表：由表知总分第二名在铅球项目中的得分是3分．2．4支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少?【分析与解】四个队共赛了24436 2C⨯==场，6场总分m在12(=6×2)与18(=6×3)之间．由于m是4个连续自然数的和，所以m=2＋3＋4=5＝14或m=3+4+5=18．如果m=18，那么每场都产生3分，没有平局，但5=3+1+1表明两场踢平，矛盾．所以m=14，14=3×2+2×4表明6场中只有2场分出胜负．此时第一、二、三、四名得分依次为5、4、3、2．则第三名与所有人打平，那么第二名没有了平局，只能是第一名与第四名打平，这样第一名还有1局胜，第二名还有1局负，所以第一名胜第二名．即输给第一名的队得4分．如下图所示，在两队之间连一条线表示两队踢平，画一条,A B →，表示A 胜,B 各队用它们的得分来表示．评注：常见的体育比赛模式N 个队进行淘汰赛，至少要打1N -场比赛：每场比赛淘汰一名选手；N 个队进行循环赛，一共要打2(1)2N N N C -=场比赛：每个队要打1N -场比赛． 循环赛中常见的积分方式：①两分制：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分；核心关系：总积分=2×比赛场次；②三分制：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得O 分；核心关系：总计分=3×比赛场次-1×赛平场次．3． 6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．现在比赛已进行了4轮，即每队都已与4个队比赛过，各队已赛4场的得分之和互不相同．已知总得分居第三位的队共得7分，并且有4场球踢成平局，那么总得分居第五位的队最多可得多少分?最少可得多少分?【分析与解】 每轮赛3场，最多产生339⨯=分，四轮最多4936⨯=分．现在有4场踢成平局，每平一场少1分，所以总分为364132-⨯=．前三名得分的和至少为78924.++=所以后三名的得分的和至多为32248.-=第5名如果得4分，则后三名的得分的和至少为459,+=这不可能，所以第5名最多得3分，图(a )为取3分时的一种可能的赛况图．显然第5名最少得1分，图(b)为取1分时的一种可能的赛况图．评注：以下由第5名得分情况给出详细赛况：4．某商品的编号是一个三位数．现有5个三位数：874，765，123，364，925，其中每一个数与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字．那么这个三位数是多少?【分析与解】方法一：每一个与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字．五个数，就要有五次相同，列出这五个数：874，765， 123，364，925百位上五个数各不相同，十位上有两个6和两个2，个位上有两个4和两个5．因此，商品编号的个位数字一定和给定5个数中的两个个位数字相同，商品编号的十位数字一定和给定5个数中的两个十位数字相同，商品编号的百位数字只能跟5个数中的一个百位数字相同．若商品编号的个位数字是5，我们就把第二个和第五个数拿走，剩下的三个数的十位数字各不相同，无法满足题目的要求(事实上，十位数字只能取7，而十位上只有一个7)．若商品编号的个位数字是4，拿走第一和第四个数后，十位上仍有两个2，可取十位数字为2，再拿走第三和第五个数，剩第二个数，它的百位是7，所以商品的编号为724．如果一个数与商品编号在某一位有相同数字，那么这个数与商品编号不会再有另外相同数字．因此解的过程中用“拿走”这一说法是恰当的．方法二：商品编号的个位数字只可能是3、4、5．如果是3，那么874，765，364，925这4个数中至多有三个数与商品编号有相同数字(百位有一个相同，十位有两个相同)，还有一个数与商品编号无相同数字，矛盾．如果是5，那么765，925的个位数字是5，从而商品号码的十位数字不是6、2，因此必须是7．这时123、364中至少有一个与商品号码无相同数字，矛盾．所以，该商品号码的个位数字只能是4，而且这个号码应为724．即这个三位数为724．5．某楼住着4个女孩和2个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，最大的男孩比最小的女孩大4岁．求最大的男孩的岁数．【分析与解】本题中最大的孩子，可能是男孩，可能是女孩．－＝岁，则4当最大的孩子为女孩时，即最大的女孩为10岁，那么最小的男孩为1046岁定是最小的女孩，那么最大的男孩是4+4：8岁，满足题意；当最大的孩子为男孩时，即最大的男孩为10岁，那么最小的女孩为10—4=6岁.则4岁一定时最小的男孩，那么最大的女孩为4+4=8岁，也就是说4个年龄不同的女孩的年龄在6—8之间，显然得不到满足．于是，最大的男孩为8岁．．6．某次考试满分是100分，A，B，C，D，E这5个人参加了这次考试．A说：“我得了94分．”B说：“我在5个人中得分最高．”C说：“我的得分是A和D的平均分，且为整数．”D说：“我的得分恰好是5个人的平均分．”E说：“我比C多得了2分，并且在5个人中居第二．”问这5个人各得了多少分?【分析与解】 B、E分别为第一、二名，C介于A、D之间，则当A为第三时，C为第四，D为第五，得5人平均分的人为最后一名，显然不满足．于是D、C、A只能依次为第三、四、五名，有B、E、D、C、A依次为第一、二、三、四、五名，A为94分，C为D、A得平均分，且为整数，所以D的得分为偶数，只可能为98或96(如果为100，则B、E无法取值)，D、C、A得分依次为98、96、94或96、95、94，有E 比C高2分，则E、D、C、A得分依次为98、98、96、94或97、96、95、94.对应5个人的平均分为98或96，而B的得分对应为104或98，显然B得不到104分．所以B、E、D、C、A的得分只能依次是98、97、96、95、94．7．在一次射击练习中，甲、乙、丙3位战士各打了4发子弹，全部中靶．其命中情况如下：①每人4发子弹所命中的环数各不相同；②每人4发子弹所命中的总环数均为17环；③乙有2发命中的环数分别与甲其中的2发一样，乙另2发命中的环数与丙其中的2发一样：④甲与丙只有1发环数相同；⑤每人每发子弹的最好成绩不超过7环．问：甲与丙命中的相同环数是几?【分析与解】条件较多，一次直接求出满足所有条件的情况有些困难，争把条件分类，再逐个满足之．第一步：使用枚举法找出符合每发最多不超过7环、四发子弹命中的环型不相同，和为17环的所有情况；第二步：在这些情况中去掉不符合条件③、④的，剩下的就是符合全部条利的情况，即为答案．满足条件①、②、⑤的只有如下四种情况：甲乙.763117()17 .754117()AB+++=⎫⎬+++=⎭杯都有和；杯丙.753217()45 .654217()CD+++=⎫⎬+++=⎭杯都有和杯从上述四个式子中看出式A与式B有数字1、7相同；式B与式D有数字4和5相同．式B 既与式A有两个数字相同，又与式D有两个数字相同，式B就是乙．式A与式D对应为甲和丙．式A与式D相同的数字是6，所以甲和丙相同的环数是6．。
《组合数学第一讲》课件
概率的乘法公式
如果事件A和B是独立的，那么P(A∩B) = P(A) × P(B)。
贝叶斯公式
用于计算在已知其他相关概率的情况下，某一事件发生的概率。
概率的应用实例
赌博游戏
概率可以用于计算赌博游戏中各种结果的可能性 。
保险业
保险公司使用概率来计算各种风险的赔付概率和 保费。
天气预报
气象学家使用概率来预测天气的发生可能性，例 如降雨的概率。
在排列中，各个元素的位置是独立的，互不影响。
排列的传递性
如果a>b且b>c，则a>c。
排列的公式与定理
排列数的定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，记 为P(n,m)，计算公式为P(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)。
排列数的性质
P(n,m)=P(n,n-m)，P(n,m)=m!/[(n-m)!*m!]。
03
CATALOGUE
组合数学中的计数问题
计数原理
01 02
计数原理
在数学中，计数原理是一种基本原理，用于计算在特定条件下可能发生 的事件的数量。它通常用于组合数学中的计数问题，以确定不同排列和 组合的数量。
分类计数原理
分类计数原理是计数原理的一种，它涉及到将问题分解为几个独立的部 分，然后分别计算每个部分的可能性，最后将各部分的计数相加。
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《组合数学第一 讲》ppt课件
目录
• 组合数学简介 • 组合数学的基本概念 • 组合数学中的计数问题 • 组合数学中的排列问题 • 组合数学中的组合问题 • 组合数学中的概率问题
01
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组合数学第01讲比赛中的推理(六年级)
组合数学第01讲_比赛中的推理知识图谱组合数学第01讲_比赛中的推理-一、比赛中的推理场次计算总分计算具体赛程积分与名次得失球相关一：比赛中的推理知识精讲比赛中的推理:这些问题有各种不同的形式：有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至还有讨论进球数、失球数的．不同类型的问题我们应该用不同的方法来处理．在推理中，画示意图或表格用来分析比赛问题，能够让我们对比赛的情况更为直观明了．1．比赛分类：（1）淘汰赛：每场比赛踢掉一支球队，只取第一名．（2）单循环赛：n支球队，每两队比赛1场，总共比赛场．（3）双循环比赛：n支球队，每两球比赛2场总共比赛场．2．与比赛积分有关的推理问题．两种常见的计分法：（1）2分制计分法：“每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分”．这种情况下，每场比赛无论结果如何，双方总得分都是2分，因此所有选手的总分就等于“比赛场数×2”．（2）3分制计分法：“每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各的1分”．这种情况下，总分就是“胜负场数×3+平局场数×2”，或者写成“比赛场数×2-平局场数”．三点剖析重难点：要注意搞清比赛规则，特别是积分规则，对阵方式，认识总场次、总得分与某个对或人总得分、总场次间的区别与联系．．若是画对阵关系图，注意箭头表胜负，虚线表示平局．题模精讲题模一场次计算例、某年级8个班级进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（参加比赛的队每两队之间只进行一场比赛），胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分．某班级共得15分，并以无负局成绩获得冠军，那么该班共胜几场比赛答案：4解析：该班赛了7场．假设全是平局，应得7分．每将1场平局替换为胜场，总分增分，故该班共胜场．例、为弘扬亚运精神，四年级组织了篮球联赛，赛制为单循环制，即每两队之间都要比一场，计划安排15场比赛，应该邀请几个篮球队参加答案：6解析：由于，故应该邀请6个篮球队参加．例、甲、乙、丙、丁与小明五位同学进入象棋决赛．每两人都要比赛一盘，每胜一盘得2分，和一盘得1分，输一盘得0分．到现在为止，甲赛了4盘，共得了2分；乙赛了3盘，得了4分；丙赛了2盘，得了1分；丁赛了1盘，得了2分．那么小明现在已赛了______盘．答案：2解析：由题意可画出比赛图，已赛过的两人之间用线段连接．由图看出小明赛了2盘．例、A，B，C三个篮球队进行比赛，规定每天比赛一场，每场比赛结束后，第二天由胜队与另一队进行比赛，败队则休息一天，如此继续下去．最后结果是A 队胜10场，B队胜12场，C队胜14场，则A队共打了几场比赛答案：23场解析：因为A队胜10场，所以A队休息和被击败的天数的和是．26是个偶数，结合我们在分析中得到的结论，可以知道A队休息的天数与被打败的天数是相同的，所以A队休息了13天．因为一共有36场比赛，所以A 队打了23场比赛．例、有16位选手参加象棋晋级赛，每两人都只赛一盘．每盘胜者积1分，败者积0分．如果和棋，每人各积分．比赛全部结束后，积分不少于10分者晋级．那么本次比赛后最多有_______为选手晋级．答案：11解析：一共比赛了120场，每场比赛两个选手总分会得到1分，所以共有120分，理论上来讲，最多能有人，但是没有晋级的人同样也消耗了120分钟的若干分，所以不可能这120分全部是这12个人获得，故最多不可能是12人；于是接下来考虑11人的情况，这样是可以实现的，11人只需110分，而剩下来的5人正好消耗分，加起来120分．（具体的一种情况可以使前11人之间均为平局，然后他们都赢了最后5名，则前11人每人得分都为10分）．例、五支足球队伍比赛，每两个队伍之间比赛一场；胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛完毕后，发现各队得分均不超过9分，且恰有两支队伍同分．设五支队伍的得分从高到低依次为、、、、（有两个字母表示的数是相同的）．若恰好是15的倍数，那么此次比赛中共有______场平局．答案：3解析：体育比赛得分问题，首先算出比赛一共10场，总分在20到30分之间．五位数是15的倍数，利用整除性可知，可为0或者5，考虑到最小，如果，总分最小为分，不成立，所以，即第五名4场全负积0分．第五名负四场，则平局最多为6场，总分最少为24分．又考虑到分数和为3的倍数，总分可能情况为30，27，24．对三种情况分别讨论：（1）总分30分：即无平局情况，那么前四名队伍得分只可能为9，6，3分．不能在只有两个重复的情况下凑出30．所以总分30分情况不存在．（2）总分27分：经测试，存在，满足题目分数要求，且四个队7场胜3场负，恰好满足第五队的4场负，所以此为一解，比赛3场平局．（3）总分24分：在24分情况下，只有前四名只能各胜1场平2场，但不满足只有两队得分相同．所以总分24分情况不存在．综上，唯一存在总分27分情况下，比赛中共有3场平局．题模二总分计算例、6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．那么6个人最后得分的总和是_______分．答案：30解析：无论赛果如何，每场共产生2分．6个人共赛了场，因此总分为分．例、四支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少答案：4分解析：如果比赛分出胜负，那么双方得分之和就是3分；如果平局，双方得分之和就是2分．4支队之间要进行场比赛，那么总分就要在12分和18分之间．各队的总得分就是6场比赛的总得分，因此四支球队的总分也要在12分和18分之间．由题意，四支球队的得分是4个连续的自然数．而四个连续自然数的和可能是：，，，，……在12分和18分之间的只有14和18，因此这四支球队的得分可能是2分、3分、4分、5分，或者3分、4分、5分、6分．这两种情况都可能出现吗如果是3分、4分、5分、6分，总分是18分，那么每场比赛都分出了胜负，但这是不可能的，大家自己想想这是为什么如果是2分、3分、4分、5分，那么第一名得5分，只能是1胜2平；第二名得4分，只能是1胜1平1负；第三名得3分，可能是1胜2负，也可能是3平；第四名得2分，只能是2平1负．其中只有第三名的比赛结果有两种情况．综合考虑第一名、第二名、第四名的胜负情况：他们一共有2胜5平2负．由于总胜场数与总负场数相同，所以第三名只能是3平．第三名没有平局，容易画出四支队之间的比赛胜负关系，如图所示．因此输给了第一名的只有第二名，他得了4分．例、10名选手参加象棋比赛，每两名选手间都要比赛一次．已知胜一场得2分，平一场得1分，负一场不得分．比赛结果：选手们所得分数各不相同，前两名选手都没输过，前两名的总分比第三名多20分，第四名得分与后四名所得总分相等．问：前六名的分数各为多少答案：17分，16分，13分，12分，11分，9分解析：因为前两名选手都没有输过，所以第一名选手的战绩最好是8胜1平，得17分．第二名最多得16分．可知第三名最多得分．后四名选手之间有6场比赛，每场比赛得2分，一共得12分．所以后四名选手总分最少为12分，从而第四名选手最少得12分．考虑到第三名最多得13分，可知第三名得13分，第四名得12分．于是第一名和第二名总分为33分，也就是第一名得17分，第二名得16分．10名选手之间一共有45场比赛，总分是90．第五名和第六名的总分是．考虑到每一个的得分都小于第四名的得分12，可知第五名得11分，第六名得9分．因此前六名的分数分别为17、16、13、12、11、9．例、有A、B、C、D、E五个队分在同一个小组进行单循环足球赛（每两队只进行一场比赛），为争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场各队各得一分，负一场得0分．小组赛结束后，小组中名次在前的两个队出线，请你解答下列问题：（1）小组赛结束后，若A队的积分为9分，设A队胜m场，平n场，则的值是多少（2）小组赛结束后，设5个队的积分总和为x，那么x的范围是什么（3）小组赛结束后，若A队的积分为10分，A队能出线吗请你对A队能否出线作出分析．答案：（1）9（2）（3）能解析：（1）即为A的总分，故．（2）共赛场，每场最少产生2个积分，最多产生3个积分，故5个队的积分总和x最小为，最多为，且易知此范围内任何一种情况均可达到．因此，x的范围是．（3）假设A无法出线，则至少有两队的得分不低于10分，即此三队总分至少为分，进而另两队总分最多为分．但另两队之间会比一场，不可能都积0分，矛盾．因此假设不成立，即A一定能出线．题模三具体赛程例、甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘．问：小强已经赛了几盘分别与谁赛过答案：2；甲，乙解析：用5个点代表5人，实线代表两人比过，虚线则为没比过．甲与每人都比过，这样丁只与甲比过，乙未与丁比，与另三人比过，进而丙只与甲、乙比过．最终得小强与甲、乙比过2盘．例、今有6支球队进行单循环赛，每两队仅赛一场，胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束，各队得分由高到低恰好是等差数列（排名相邻两队得分差相等），其中第三名得8分．这次比赛中平局共有几局答案：3解析：第三名5场得8分，故最多胜2场．假设其只胜1场，则其积分最多为分，矛盾，因此第三名只能为2胜2平1负．共比了场，故所有队总分最多为分．前五名总分为分，进而第六名最多为分，且与第三名差3个公差，只能为2分．这样，所有队总分为分，平局有局．例、五个国家足球队A、B、C、D、E进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空．已知第一天比赛的是A与D，C轮空；第二天A与B比赛，E轮空；第三天A与E比赛；第四天A与C比赛；B与C的比赛在B与D的比赛之前进行．那么C与E在哪一天比赛答案：第五天解析：列表分析，用*表示轮空．题模四积分与名次例、A、B、C、D四支球队进行足球比赛，每两队都要比赛一场．已知A、B、C 三队的成绩分别是：A队2胜1负，B队2胜1平，C队1胜2负．那么D队的成绩是________胜．答案：解析：D显然有1平．共赛了场，A、B、C共胜5场，再加上1场平局，已经达到6场，因此D没有获胜．例、东亚四强赛是由中国、韩国、日本、朝鲜四个国家球队之间进行的一次单循环制比赛，即每支球队都必须分别和其他球队比赛一场．请问：东亚四强赛总共需要比多少场比赛如果每赢一场得3分，平一场得一分，输一场得0分，那么第一名最多可以的多少分最少可以得多少分答案：9；3解析：易知第一名最多为分．若所有比赛均为平局，显然第一名为分．假设某队只得2分、1分或0分，则其至少输了1场，故必有1队至少积3分，因此3分以下不可能为第一名．综上，第一名最多9分，最少3分．例、A、B、C、D四支足球队进行一次单循环比赛，赢一场得2分，平局各得1分，输一场不得分．所有比赛结束后，按积分高低排名，A、B两队并列最后一名，C队第二名，D队第一名．那么A队最多得多少分答案：2解析：共赛了场，各队总积分为分．A队得分必低于平均分分，即最多2分．易知2分是可达的，如D胜A、B，其余比赛均为平局即可．因此，A队最多得2分．例、一张有4人参加的国际象棋单循环比赛的积分表如下，每场比赛胜者得3分，负者减1分，平局则两人各得1分．（1）填出表内空格中的分值．（2）排出这次比赛的名次．答案：（1）见下表（2）余张赵陈解析：若a胜b，则b负于a；若a与b战平，则b与a也战平．由此易将表格补全，进而得到名次．例、热火队和雷霆队为了争夺NBA总决赛的冠军，斗得难分难解．在今天晚上的比赛中：（1）两队都没有换过人；（2）除了三名队员外，其他队员得分都互不相同．这三名队员都得了22分，但是不在同一个队中；（3）全场最高个人得分是30分，只有三名队员得分不到20分；（4）热火队中，得分最多和得分最少的球员只相差3分；（5）雷霆队每人的得分正好组成一个等差数列．这场比赛__________队胜，他们的比分是___________________．答案：雷霆，解析：综合条件，可以得到雷霆队得分组成的等差数列的公差只能是4分，队员分别得分为30、26、22、18、14，而热火队得分为22、22、21、20、19．所以雷霆队与热火队的比分是110:104．例、世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛（即每个队都与同组的其它三个队各赛一场）．每场比赛胜队得3分，败队得0分，若打成平局，则两队各得1分，小组赛全赛完后，总积分高的两个队出线进入下一轮比赛．如果总积分相同，则还要依次按净胜球多少和进球数多少来排序．试问：（1）每组小组赛需要比赛几场（2）一个队的积分情况有哪几种可能（3）若某队只积3分，那么该队的输赢情况有哪几种可能（不考虑三场比赛的先后顺序）（4）若某队只积3分，那么该队有可能出线吗请简单叙述理由．（5）至少需要积多少分才能保证一定出线请简单叙述理由．（6）至少需要积多少分才有可能出线请简单叙述理由．答案：（1）6（2）0至7分及9分均有可能，共9种（3）1胜2负或3平，共2种（4）可能（5）7（6）2解析：（1）场．（2）可能为、、、、、、、、、，共9种．（3），故可能为1胜2负或3平．（4）可能，如6场均为平局，每队均为3分，则必有2只可以出线．（5）7分．9分显然小组第一出现．若为7分，其战胜的两支球队最多为6分，故7分可确保前两名．若1队3负，另3队均为2胜1负，则必有1只积6分的无法出线．（6）2分．若一支球队全胜，另三只均为2平1负，则必有2分的可以出线．而若积1分或0分，其至少输给过2只球队，那两只至少3分，排名一定在前，即此时必无法出线．题模五得失球相关例、现有A、B、C共3支足球队举行单循环比赛，即每两队之间都要比赛一场．比赛积分的规定是胜一场积2分，平一场积1分，负一场积0分．图1是一张记有比赛详细情况的表格．但是，经过核对，发现表中恰好有4个数字是错误的，请你把正确的结果填入图2中．答案：<解析：对于A，赛2场，2胜1平0负，这里至少有一个数字有误，如果只有一个数字有误，那有三种可能：（1）赛3场，2胜0负1平；（2）赛2场，1胜0负1平；（3）赛2场，2胜0负0平．对于（1）、（3）两种情况，后面的积分都是错误的，对于（2）这种情况，后面的进球是错误的，所以对A来说，至少有两个数字是错误的．对于C，赛1场，0胜2平1负，这里至少有一个数字有误，如果只有一个数字有误，那有两种可能：（1）赛3场，0胜2平1负；（2）赛1场，0胜0平1负．无论哪种情况，后面的积分都是错误的，所以对C来说，也至少有两个数字是错误的．A和C一共至少有4个错误的数字，而总共只有4个数字错误，所以它们各错了两个，B的数字全部正确．三个球队打单循环，每支球队的比赛场数不多于2．对A来说，如果它的两个错误全部出现在前4个数字上，那么它进0球就是对的，所以它没有赢．这时它最多平2场得2分，这样积分出错，矛盾．因此前4个数字只有一个错误，那它的结果是一胜一平或者两胜．如果A的比赛结果是2胜，那进球数是错的，积分也是错的，一共有3个错误，所以A的比赛结果是一胜一平，另一个错误的数字是进球数．用类似的方法可以写出正确的表格，如图所示．我们还容易看出，A平C而胜了B，B胜了C而负于A，C平了A而负于B．再从C的进球数与失球数就可以判断出三场比赛比分分别是：Avs BAvs CBvs C例、A、B、C三队比赛篮球，A队以83∶73战胜B队，B队以88∶79战胜C队，C队以84∶76战胜A队，三队中得失分率最高的出线．一个队的得失分率为，如，A队得失分率为．三队中__________队出线．答案：A解析：这道题没必要算出三队得失分率，得失分率就是衡量一个球队总共是赢了还是输了．A：赢了10分，输了8分，一共赢了2分．B：赢了9分，输了10分，一共输了1分．C：赢了8分，输了9分，一共输了1分，所以A 的得失分率最大．随堂练习随练、6支足球队，每两队间至多比赛一场．如果每队恰好比赛了2场，那么符合条件的比赛安排共有_________种．答案：70解析：把六个球队看做六个点，这之间进行连线．则可能形成一个六边形或者两个三角形．如果形成一个六边形，则有种；如果形成两个三角形，则有种．所以共有种．随练、六个人传球，每两人之间至多传一次，那么最多共进行____次传球．答案：13解析：本题是一道比赛场数计数问题，“每两个之间至多传一次”让六个人最多次地传球，则是5+4+3+2+1=15次．但得看是否可传递回去，在传递过程中同两人是否重复．（15条线，代表传球15次）根据一笔画问题：一笔画要求只有2个奇点（不需要回到出发点时）或0个奇点（需要回到出发点时），行不通．所以应减少奇点个数，共有6个奇点，应该去掉两条两条直线，即去掉了4个奇点，剩下2个奇点，可以传递成功，共15-2=13次传球．随练、五支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，那么每支队要赛几场一共要进行多少场比赛若这五支球队进行淘汰赛，为了决出冠军，一共需要进行多少场比赛答案：4；10；4解析：每支队要赛场，共进行场．淘汰赛每场淘汰1支球队，故为了决出冠军，一共需要进行场淘汰赛．随练、6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．请问：（1）各队总分之和最多是__________分，最少是__________分。
【6年级奥数课本(上)】第01讲 比赛中的推理
小学奥数创新体系6年级（上册授课课本）最 新 讲 义小学奥数第一讲比赛中的推理这一讲我们学习的主要内容是与比赛有关的逻辑推理问题．这些问题有各种不同的形式：有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至还有讨论进球数、失球数的．不同类型的问题我们应该用不同的方法来处理．在逻辑推理中，特别有用的方法是画示意图或表格，这种方法相信大家并不陌生，用它来分析比赛问题，能够让我们对比赛的情况更为直观明了．例题1编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘．现在编号为1、2、3、4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号一样，那么编号为6的同学赛了几盘？「分析」为了让问题更加直观，我们可以画出一个示意图，用6个点来表示这6个同学．如果两个同学之间比赛过，则把对应的两个点用实线连起来，如果没比赛过，则用虚线连起来．练习1A、B、C、D、E五所小学，每所小学派出1支足球队，共5支足球队进行友谊比赛．不同学校间只比赛1场，比赛进行了若干天后，A校的队长发现另外4支球队赛过的场数依次为4、3、2、1．问：这时候A校的足球队已赛过的场数？例题2A、B、C、D、E、F六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对F，第四天B对C．那么第五天与A队比赛的是那个队？A B C D E F1 D B2 E C3 F D4 C B5「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示．如图，第二列从上到下依次表示A在5天中分别遇到的对手，第三列表示B在5天中遇到的对手，依此类推．观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？练习2五个国家足球队A、B、C、D、E进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空．已知第一天比赛的是A与D，C轮空；第二天A与B比赛，E轮空；第三天A与E比赛；第四天A与C比赛；B与C的比赛在B与D的比赛之前进行．那么C与E在哪一天比赛？例题3甲、乙、丙、丁四个同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：（1）一共有多少场比赛？（2）四个人最后得分的总和是多少？（3）如果最后结果甲得第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得了多少分？「分析」（1）每两人之间都比赛一场，总比赛场数就是从四个人中挑出两人的方法数；（2）比赛的胜负情况有很多种可能？那么总分也有很多种可能吗？大家考虑一下每场比赛，比赛双方的得分之和就知道了；（3）乙、丙最后的分数一样，由于总分是固定的，这个相同的分数既不能太大，也不能太小，那么会是多少呢？练习3有A、B、C、D四支足球队进行单循环比赛，每两队都比赛一场．比赛规定：胜一场得2分，平局各得1分，负一场得0分．全部比赛结束后，A、B两队的总分并列第一名，C队第二名，D队第三名，C队最多得多少分？。
小学奥数组合问题专题--逻辑推理(六年级)竞赛测试.doc
小学奥数组合问题专题--逻辑推理（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________一、xx 题 （每空xx 分，共xx 分） 【题文】在三只盒子里，一只装有两个黑球，一只装有两个白球，还有一只装有黑球和白球各一个．现在三只盒子上的标签全贴错了．你能否仅从一只盒子里拿出一个球来，就确定这三只盒子里各装的是什么球?【答案】能【解析】我们可以枚举，一一尝试．当从贴有“一黑一白”的盒子中取出一个球，如果是白球，那么这只盒子一定装有两个白球，那么贴有“两个黑球”的盒子一定是装有一个白球和一个黑球，最后贴有“两个白球”的盒子一定是装有两个黑球． 对应的，如果从贴有“一黑一白”的盒子中取出一个球，如果是黑球，那么这只盒子一定装有两个黑球，剩下的两只盒子可以同上分析出．所以，只要从标有“一黑一白”盒子中取球即可．【题文】甲、乙、丙、丁4位同学的运动衫上印上了不同的号码．赵说：“甲是2号，乙是3号．”钱说：“丙是4号，乙是2号．”孙说：“丁是2号，丙是3号．”李说：“丁是1号，乙是3号．”又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半．那么丙的号码是几号?【答案】4号【解析】第一种情况．如果赵说的前半话是正确的，那么甲是2号，乙不是3号，而李说：“丁是1号，乙是3号．”所以李的后半句话错误，那么前半句话就正确，所以丁是1号，而孙说：“丁是2号，丙是3号．”所以孙的前半句话错误，那么后半句话正确，所以丙是3号，而钱说：“丙是4号，乙是2号．”所以钱的前半句话错误，那么后半句话正确，所以乙是2号．由甲和乙均是2号，所以开始的假设不正确，即赵的前半句话错误．第二种情况．所以，赵的前半句话错误，那么后半句话正确，所以甲是不是2号，乙是3号，而钱说：“丙是4号，乙是2号．”所以钱的后半句话错误，那么前半句话正确，所以丙是4号，孙说：“丁是2号，丙是3号．”所以孙的后半句话错误，那么前半句话正确，所以丁是2号，而李说：“丁是1号，乙是3号．”所以李的前半句话错误，那么后半句话正确，所以乙是3号．即甲是1号，乙是3号，丙是4号，丁是2号．【题文】某校数学竞赛，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 这8位同学获得前8名．老师让他们猜一下谁是第一名．A 说：“或者F 是第二名，或者H 是第一名．”B 说：“我是第一名．”C 说：“G 是第一名．”D 说：“B 不是第二名．”E 说：“A 说得不对．”F 说：“我不是第一名，H 也不是第一名．”G 说：“C 不是第一名．”H 说：“我同意A 的意见．”老师指出：8个人中有3人猜对了．那么第一名是谁?【答案】C【解析】我们抓住谁是第一名这点，一一尝试，如果A是第一名，那么D、E、F、G这4人都猜对了，不满足；如果B是第一名，那么B、E、F、G这4人都猜对了，不满足；如果C是第一名，那么D、E、F这3人都猜对了，满足；如果D是第一名，那么D、E、F、G这4人都猜对了，不满足；如果E是第一名，那么D、E、F、G这4人都猜对了，不满足；如果F是第一名，那么A、D、G、H这4人都猜对了，不满足；如果G是第一名，那么C、D、E、F、G这5人都猜对了，不满足；如果H是第一名，那么A、D、G、H这4人都猜对了，不满足．所以，第一名是C．【题文】某参观团根据下列条件从A，B，C，D，E这5个地方中选定参观地点：①若去A地，则也必须去B 地；②B，C两地中至多去一地；③D，E两地中至少去一地；④C，D两地都去或者都不去；⑤若去E地，一定要去A，D两地．那么参观团所去的地点是哪些?【答案】C、D【解析】假设参观团去了A地，由①知一定去了B地，由②知没去C地，由④知没去D地，由③知去了E 地，由⑤知去了A、D两地，矛盾．所以开始的假设不正确，那么参观图没有去A地，由由①知也没去了B地，由②知去了C地，由④知去了D 地，因为A、D两地没有都去，所以由⑤知去了没去E地．即参观团去了C、D两地．【题文】人的血型通常分为A型、B型、O型、AB型．子女的血型与其父母间的关系如图所示．现有3个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为O，A，B．每个孩子的父母都戴着同颜色的帽子，颜色也分红、黄、蓝3种，依次表示所具有的血型为AB，A，O．问：穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子?【答案】红、黄、蓝上衣的孩子父母分别戴蓝、黄、红颜色帽子【解析】孩子是O型血的父母只能均是O型或A型血，孩子是A型血的父母只能均是A型或AB型血，孩子是B型血的父母只能均是B型或AB型血．因为现在这些孩子的父母中没有人是B型血，所以孩子是B型血的父母均是AB型血，孩子是A型血的父母只能均是A型血，孩子是O型血的父母只能均是O型血．即穿红、黄、蓝上衣的孩子父母对应的均是O、A、AB型血，对应戴蓝、黄、红颜色帽子．【题文】如下图，有一座4层楼房，每个窗户的4块玻璃分别涂上黑色和白色，每个窗户代表一个数字．每层楼有3个窗户，由左向右表示一个三位数．4个楼层表示的三位数为：791，275，362，612．问：第二层楼表示哪个三位数?【答案】612【解析】因为275、362、612均有数字2，且362、612的个位相同，所以有某两层楼的最右边的窗户涂色情况相同，有4、2层楼最右的窗户涂色情况相同．所以表示2，有第1层的最左边一个窗户也是如此涂色，所以第一层楼表示的数字为275，所以表示7，表示5．而第三层的最左边的窗户也是涂色，所以第三层表示的数为791，所以表示9，表示1．第2层的中间一个窗户也是涂色，即中间数为1，所以第二层代表612．有四层对应的四个三位数为：．【题文】房间里有12个人，其中有些人总说假话，其余的人总说真话．其中一个人说：“这里没有一个老实人．”第二个人说：“这里至多有一个老实人．”第三个人说：“这里至多有两个老实人．”如此往下，至第十二个人说：“这里至多有11个老实人．”问房间里究竟有多少个老实人?【答案】6个【解析】假设这房间里没有老实人，那么第1个人的话正确，说正确话的人应该是老实人，矛盾；假设这房间里只有1个老实人，那么第2～12个人的话都正确，那么应该有11个老实人，矛盾；假设这房间里只有2个老实人，那么第3～12个人的话都正确，那么应该有10个老实人，矛盾；假设这房间里只有3个老实人，那么第4～12个人的话都正确，那么应该有9个老实人，矛盾；假设这房间里只有4个老实人，那么第5～12个人的话都正确，那么应该有8个老实人，矛盾；假设这房间里只有5个老实人，那么第6～12个人的话都正确，那么应该有7个老实人，矛盾；假设这房间里只有6个老实人，那么第7～12个人的话都正确，那么应该有6个老实人，满足；…………以下假设有7～12个老实人，均矛盾，所以这个房间里只有6个老实人．解法二：如果一共有n个老实人，则说“至多0个老实人”、“至多1个老实人”……“至多n—1老实人”的都是骗子；说“至多n个老实人”、“至多n+1个老实人”……“至多11 个老实人”的都是老实人，共有n个老实人、n 骗子，而一共12个人，所以n＝6．综上所述，一共6个老实人．【题文】甲、乙、丙、丁约定上午10时在公园门口集合．见面后，甲说：“我提前了6分钟，乙是正点到的．”乙说：“我提前了4分钟，丙比我晚到2分钟．”丙说：“我提前了3分钟，丁提前了2分钟．”丁说：“我还以为我迟到了1分钟呢，其实我到后1分钟才听到收音机报北京时间10时整．”请根据以上谈话分析，这4个人中，谁的表最快，快多少分钟?【答案】甲的表最快，快4分钟【解析】注意到丁有标准时间依据，从丁开始推算，有各自到达公园的时间为：丁9:59乙9:56丙9:58甲9:50甲说：提前了6分钟，实际上甲提前了10分钟，所以甲表快了4分钟，验证为甲的表的最快．解法二：丁表快2分钟，丁实际上提前了1分钟到达；再依据丙的话，丙表慢1分钟，丙实际提前2分钟到达；再依据乙的话，乙表准时，乙实际提前4分钟到达；再依据甲的话，甲表快4分钟，甲提前了10分钟．于是，甲的表最快，快4分钟．【题文】桌子上放了8张扑克牌，都背面向上，牌放置的位置如下图所示．现在知道：①每张牌都是A，K ，Q，J中的某一张；②这8张牌中至少有一张是Q；③其中只有一张A；④所有的Q都夹在两张K之间；⑤至少有一张K夹在两张J之间；⑥至少有两张K相邻；⑦J与Q互不相邻，A与K也互不相邻．试确定这8张牌各是什么?【答案】【解析】为了方便说明我们将8张牌标上数字，如下图所示，由于至少有一个Q，其两边为K，则这样的KQK在图中的位置只能为下图的a、b、c、d的4种，另一方面，条件⑤告诉我们还有JKJ的存在，因此可以将KQK与JKJ的位置结合起来考虑；对于上图a，JKJ只能在146，或567，若JKJ在146，则无法有两个K相连与条件⑥矛盾若JKJ在567，则在5的J与Q相连，与条件⑦矛盾．对于上图b，JKJ只能为567，再考虑A，由条件⑦，A不能在8，只能在2或3，为使两个K相连，则8为K，由条件④知，2与3中不能有Q，再由条件⑦，知2是J，3是A，此为正确答案．对于上图c，JKJ只能为234则在4的J与Q相连，与条件⑦矛盾．对于上图d，无法填入JKJ，与条件⑤矛盾．综上所述，本题有唯一的答案，如下图．【题文】甲、乙、丙、丁4个同学同在一间教室里，他们当中一个人在做数学题，一个人在念英语，一个人在看小说，一个人在写信．已知：①甲不在念英语，也不在看小说；②如果甲不在做数学题，那么丁不在念英语；③有人说乙在做数学题，或在念英语，但事实并非如此；④丁如果不在做数学题，那么一定在看小说，这种说法是不对的；⑤丙既不是在看小说，也不在念英语．那么在写信的是谁?【答案】丙【解析】我们将①、③、⑤的条件反应在下图中．图中“√”表示对应列的人在做对应行的事，“×”表示对应列的人不在做对应行的事．显然只能是丁在念英语，由②知甲在做数学题，那么丙只能在写信．进一步可以得到如上右图．【题文】在国际饭店的宴会桌旁，甲、乙、丙、丁4位朋友进行有趣的交谈，他们分别用了汉语、英语、法语、日语4种语言．并且还知道：①甲、乙、丙各会两种语言，丁只会一种语言；②有一种语言4人中有3人都会；③甲会日语，丁不会日语，乙不会英语；④甲与丙、丙与丁不能直接交谈，乙与丙可以直接交谈；⑤没有人既会日语，又会法语．请根据上面的情况，判断他们各会什么语言?【答案】见解析【解析】由条件③，④知丙不会日语，⑤知甲不会法语．如下表，×表示不会这门语言，√表示会这门语言．第一种情况．如果丙会汉语，那么由④“甲与丙不能直接交谈”知甲不会汉语，由①知甲会英语，那么丙不会英语，会法语，如下左图．由④“丙不能与丁直接交谈”，所以丁不会汉语也不会法语，那么丁会英语．由上右图知，这样就没有一种语言3人都会与②矛盾，所以开始的假设不正确．第二种情况．也就是说，丙不会汉语，由①知丙会英语、法语．由④“甲与丙不能直接交谈”，所以甲不会英语，由①知甲会汉语．由④“丙与丁不能直接交谈”，所以丁不会英语，也不会法语．由①知丁会汉语，由下左图与②知只能是汉语三者都会．所以乙会汉语，因为④，乙与丙能直接交谈，所以乙会法语，由①知乙不会日语．最终情况如上右图．【题文】甲、乙、丙3个学生分别戴着3种不同颜色的帽子，穿着3种不同颜色的衣服去参加一次争办奥运的活动．已知：①帽子和衣服的颜色都只有红、黄、蓝3种：②甲没戴红帽子，乙没戴黄帽子；③戴红帽子的学生没有穿蓝衣服；④戴黄帽子的学生穿着红衣服；⑤乙没有穿黄色衣服．试问：甲、乙、丙3人各戴什么颜色的帽子，穿什么颜色的衣服?【答案】甲戴黄帽子，穿红衣服；乙戴蓝帽子，穿蓝衣服；丙戴红帽子，穿黄衣服【解析】我们将题中条件利用下图体现出来，其中实线表示两端需同时成立．虚线表示两端不能同时成立．因为戴黄帽子的穿红衣服，而戴红帽子的又不穿蓝衣服，所以对戴红帽子的人而言只能穿黄衣服，所以戴蓝帽子的之只能穿蓝衣服．乙不穿黄衣服，又不带黄帽子→穿红衣服，所以乙只能穿蓝衣服，即乙—蓝帽子—蓝衣服，甲不戴红帽子，而乙戴蓝帽子，所以甲戴黄帽子，即甲—黄帽子—红衣服，所以丙—红帽子－黄衣服．即甲戴黄帽子，穿红衣服；乙戴蓝帽子，穿蓝衣服；丙戴红帽子，穿黄衣服．【题文】甲、乙、丙、丁、戊5人各从图书馆借来一本小说，他们约定读完后互相交换，这5本书的厚度以及他们5人的阅读速度都差不多，因此总是5人同时交换书．经过数次交换后，他们5人每人都读完了这5本书．现已知：①甲最后读的书是乙读的第二本；②丙最后读的书是乙读的第四本；③丙读的第二本书甲在一开始就读了；④丁最后读的书是丙读的第三本；⑤乙读的第四本是戊读的第三本；⑥丁第三次读的书是丙一开始读的那本．设甲、乙、丙、丁、戊5个人最后读的书分别为A，B，C，D，E，根据以上情况确定他们5人读的第四本书各是什么书?【答案】见解析【解析】由①知乙读的第二本书是A，由②知乙读的四本书是C，由④知丙读的第三本书是D，由⑤知戊读的第二本书是C．如下左图．乙读的第三本书是D或E，但是丙读的第三本书是D，而一本书不能同时被二人阅读，所以乙读的第三本书是E，那么乙读的第一本书为D．如上右图．丁读的第三本书只能是A或B，而由⑥知丙读的第一本书是A或B．如果丁读的第三本书是B，那么丙读的第一本书是B，那么丙的第二本书只能是E．由下左图知，这样甲的第三本书只能是A，与其最后读的一本书是A矛盾，所以开始的假设不正确，即丁读的第三本书是A．由⑥知丙读的第一本书也是A，则甲读的第三本书只能是B，由③知丙读的第二本书只能是B或E，而甲读的第一本书与丙读的第二本书一样，但不能是A、B，所以丙读的第二本书、甲读的第一本书均是E．如上右图，这样我们将题中所给的6个条件均全部用完．那么丙读的第四本书是B，丁读的第四本书是E，所以甲读的第四本书是D，则戊读的第四本书是A，如下左图所示．(反复利用某个位置的字母与其同一行、同一列的字母全不都不同)进一步的利用某个位置的字母与其同一行、同一列的字母全不都不同可以将所有的情况列出，如上右图．那么，显然甲、乙、丙、丁、戊读的第四本书依次是D、C、B、E、A．【题文】如图，这是一个挖地雷的游戏，在64个方格中一共有10个地雷，每个方格中至多有一个地雷．对于写有数字的方格，其格中无地雷．但与其相邻(由公共边或公共顶点)的格中有可能有地雷，地雷的个数与该数字相等．请你指出哪些方格中有地雷．【答案】【解析】如下图，我们利用数组将未知区域编号，如第三行第二列称为(3，2)①．我们通过第六行的4个“0”，第6列的2个“0”，所以这6个方格的附近区域都没有地雷．如下左图：②．因为(2，5)，(1，6)，(6，6)这3个位置的附近均只有一个地雷，而这3个位置又各只用一个附近位置可能存在雷，所以这3各位置的附近未知的位置一定有地雷，如上右图．③．而(1，5)，(1，6)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，8)这些位置的附近只有一个地雷，并且这个地雷已经确定，所以它们的附近位置不再有地雷，如下左图所示．④．(1，7)这个方格的附近有2个地雷，其中一个地雷已知，所以还有1个地雷在其附近，但是其附近只有(1，8)这个位置有可能，所以(1，8)格有地雷，如上右图所示．⑤．注意到(4，1)格附近只有1格地雷，而只用(3，2)，(4，2)两个位置中的其中之一有可能，如果是(4，2)格有地雷，那么(3，2)格就没有地雷．而(3，1)格附近必须有2个地雷，现在只有(4，2)格有地雷，所以剩下的唯一有可能存在地雷的(2，2)格一定有地雷，这样就满足了(2，1)格附近只用一个地雷，所以(2，1)格附近的其他格内就没有地雷，即(1，1)，(1，2)格没有地雷，如下左图所示．如果开始假设是(3，2)格有地雷，可推至矛盾．⑥．再看(7，1)格，其附近只有1个地雷，而(8，1)，(8，2)两个位置有可能，假设(8，1)格有地雷，那么(8，2)格无地雷，再根据(7，2)格附近有2个地雷的条件知(8，3)，(8，4)格均有地雷，这样(7，4)格的附近有2个地雷，矛盾，所以开始的假设错误．即(8，2)格有地雷，(8，1)格无地雷，(8，3)格有地雷，(8，4)格无地雷，如上右图所示．⑦．接着看(8，7)格，其附近只有1个地雷，而(8，8)，(7，8)两个位置有可能，假设(8，8)格有地雷，那么(7，8)格无地雷．又因为(7，7)格附近只有一个地雷，所以(6，8)格没有地雷，又因为(6，7)格附近有3个地雷，现在只有(5，6)格有地雷，那么其附近剩下的两个位置(5，8)，(6，8)格均有地雷，但是这样(5，7)格附近就有3个地雷，与条件矛盾，所以开始的假设错误．那么只能是(7，8)格有地雷，(8，8)格无地雷，因为(7，7)格附近不再有地雷，所以(6，8)格也无地雷，又(5，7)格附近要求有2个地雷，现在只有1个地雷，所以剩下的唯一附近位置(5，8)格有地雷，这样也满足(6，7)格附近有3格地雷，如下左图所示．⑧．这样10个地雷均找到，所以剩下的位置均不再有地雷，最终地雷分步情况如上右图．【题文】5位学生A，B，C，D，E参加一场比赛．某人预测比赛结果的顺序是ABCDE，结果没有猜对任何一个名次，也没有猜中任何一对相邻的名次(意即某两个人实际上名次相邻，而在此人的猜测中名次也相邻，且先后顺序相同)；另一个人预测比赛结果为DAECB，结果猜对了两个名次，同时还猜中了两对相邻的名次．求这次比赛的结果．【答案】EDACB【解析】猜中两对相邻的名次，可以有两种情况：一种是3个相连字母的相对位置正确；另一种是两对4个母字各自的位置的对位置正确．第一种情况：3个相连字相字母相对位置正确．这时，如果这3个字母中有一个字母本身的位置，则这3个字母的位置就一下都正确，但这与DAECB中只有两上字母位置正确矛盾，所以5个字母中，位置正确的只能为3个字母之外的两个字母，由于这3个字母相连，则位置正确的字母只能为D、A或D、B，但无论哪一种情况，剩下三个字母相连的位置确定不变，得到的结果均仍为DAECB，这显然是不符合条件．第二种情况：两对4个字母是相邻正确的，这时，因5字母中一共有2个字母为位置是正确的，所以在这4个字母中一定有一个字母位置正确，那么和它相邻位置正确的字母本身位置也正确，并且一共就这样相邻一对字母的位置与实际位置相同，则这对字母有4种可能：①正确顺序为DA□□□：此时，符合DAECB所满足条件的顺序有2组，分别是DACBE、DABEC为正确答案，则C为第3个，不符合ABCDE 所满足的条件；若DABEC为正确答案，则AB相邻，也不符合ABCDE，所满足条件，这样，DA□□□不可能为正确名次．②正确顺序为□AE□□：这时，因另有两个字母的位置是相邻正确的，则只能为CB，可这样推出的实际顺序只能还是DAECB，显然不符合题目条件，这样□AE□□不可能为正确名次．③正确顺序为□□EC□：此时的情况和□AE□□类似，也不可能为正确名次．④正确顺序为□□□CB：此时，符合DAECB所满足条件的顺序有两组，分别是AEDCB、EDACB若AEDCB为正确答案，ABDCE中A的位置正确，不符合条件，经验证，EDACB为正确答案．这样，我们就得到了正确答案：EDACB．【题文】共有4人进行跳远、百米、铅球、跳高4项比赛，规定每个单项中，第一名记5分，第二名记3分，第三名记2分，第四名记1分．已知在每一单项比赛中都没有并列名次，并且总分第一名共获17分，其中跳高得分低于其他项得分；总分第三名共获11分，其中跳高得分高于其他项得分．问总分第二名在铅球项目中的得分是多少?【答案】3分【解析】每个单项的4人共得分5+3+2+1=11分，所以4个单项的总分为11×4=44分，而第一，三名得分为17、11分，所以第二、四名得分之和为分其中第四名得分最少为4分，此时第二名得分最高，为16-4=12分；又因为第三名为11分，那么第二名最低为12分；那么第二名只能为12分，此时第四名4分．于是，第一、二、三、四名的得分依次为17、12、1l、4分，而17只能是5+5+5+2，4只能是1+1+1+1.不难得到下表：由表知总分第二名在铅球项目中的得分是3分．【题文】4支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少?【答案】4分【解析】四个队共赛了场，6场总分在12(=6×2)与18(=6×3)之间．由于是4个连续自然数的和，所以=2＋3＋4=5＝14或=3+4+5=18．如果=18，那么每场都产生3分，没有平局，但5=3+1+1表明两场踢平，矛盾．所以=14，14=3×2+2×4表明6场中只有2场分出胜负．此时第一、二、三、四名得分依次为5、4、3、2．则第三名与所有人打平，那么第二名没有了平局，只能是第一名与第四名打平，这样第一名还有1局胜，第二名还有1局负，所以第一名胜第二名．即输给第一名的队得4分．如下图所示，在两队之间连一条线表示两队踢平，画一条，表示胜各队用它们的得分来表示．常见的体育比赛模式个队进行淘汰赛，至少要打场比赛：每场比赛淘汰一名选手；个队进行循环赛，一共要打场比赛：每个队要打场比赛．循环赛中常见的积分方式：①两分制：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分；核心关系：总积分=2×比赛场次；②三分制：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得O分；核心关系：总计分=3×比赛场次-1×赛平场次．【题文】6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．现在比赛已进行了4轮，即每队都已与4个队比赛过，各队已赛4场的得分之和互不相同．已知总得分居第三位的队共得7分，并且有4场球踢成平局，那么总得分居第五位的队最多可得多少分?最少可得多少分?【答案】最多可得3分，最少可得1分【解析】每轮赛3场，最多产生分，四轮最多分．现在有4场踢成平局，每平一场少1分，所以总分为．前三名得分的和至少为所以后三名的得分的和至多为第5名如果得4分，则后三名的得分的和至少为这不可能，所以第5名最多得3分，图()为取3分时的一种可能的赛况图．显然第5名最少得1分，图(b)为取1分时的一种可能的赛况图．以下由第5名得分情况给出详细赛况：【题文】某商品的编号是一个三位数．现有5个三位数：874，765，123，364，925，其中每一个数与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字．那么这个三位数是多少?【答案】724【解析】方法一：每一个与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字．五个数，就要有五次相同，列出这五个数：874，765， 123，364，925百位上五个数各不相同，十位上有两个6和两个2，个位上有两个4和两个5．因此，商品编号的个位数字一定和给定5个数中的两个个位数字相同，商品编号的十位数字一定和给定5个数中的两个十位数字相同，商品编号的百位数字只能跟5个数中的一个百位数字相同．若商品编号的个位数字是5，我们就把第二个和第五个数拿走，剩下的三个数的十位数字各不相同，无法满足题目的要求(事实上，十位数字只能取7，而十位上只有一个7)．若商品编号的个位数字是4，拿走第一和第四个数后，十位上仍有两个2，可取十位数字为2，再拿走第三和第五个数，剩第二个数，它的百位是7，所以商品的编号为724．如果一个数与商品编号在某一位有相同数字，那么这个数与商品编号不会再有另外相同数字．因此解的过程中用“拿走”这一说法是恰当的．方法二：商品编号的个位数字只可能是3、4、5．如果是3，那么874，765，364，925这4个数中至多有三个数与商品编号有相同数字(百位有一个相同，十位有两个相同)，还有一个数与商品编号无相同数字，矛盾．如果是5，那么765，925的个位数字是5，从而商品号码的十位数字不是6、2，因此必须是7．这时123、364中至少有一个与商品号码无相同数字，矛盾．所以，该商品号码的个位数字只能是4，而且这个号码应为724．即这个三位数为724．【题文】某楼住着4个女孩和2个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，最大的男孩比最小的女孩大4岁．求最大的男孩的岁数．【答案】8岁【解析】本题中最大的孩子，可能是男孩，可能是女孩．当最大的孩子为女孩时，即最大的女孩为10岁，那么最小的男孩为岁，则4岁定是最小的女孩，那么最大的男孩是4+4：8岁，满足题意；当最大的孩子为男孩时，即最大的男孩为10岁，那么最小的女孩为10—4=6岁.则4岁一定时最小的男孩，那么最大的女孩为4+4=8岁，也就是说4个年龄不同的女孩的年龄在6—8之间，显然得不到满足．于是，最大的男孩为8岁．【题文】某次考试满分是100分，A，B，C，D，E这5个人参加了这次考试．A说：“我得了94分．”B说：“我在5个人中得分最高．”C说：“我的得分是A和D的平均分，且为整数．”D说：“我的得分恰好是5个人的平均分．”E说：“我比C多得了2分，并且在5个人中居第二．”问这5个人各得了多少分?【答案】A、B、C、D、E分别得了94、98、95、96、97分【解析】B、E分别为第一、二名，C介于A、D之间，则当A为第三时，C为第四，D为第五，得5人平均分的人为最后一名，显然不满足．于是D、C、A只能依次为第三、四、五名，有B、E、D、C、A依次为第一、二、三、四、五名，A为94分，C为D、A得平均分，且为整数，所以D的得分为偶数，只可能为98或96(如果为100，则B、E无法取值)，D、C、A得分依次为98、96、94或96、95、94，有E比C高2分，则E、D、C、A得分依次为98、98、96、94或97、96、95、94.对应5个人的平均分为98或96，而B的得分对应为104或98，显然B得不。
奥数六年级千份讲义3010610_逻辑推理
逻辑推理1.五个同学在一起进行乒乓球单打比赛，两人至多只能打一盘。
打完后，甲说：“我打了4盘。
”乙说：“我打了1盘。
”丙说：“我打了2盘。
”丁说：“我打了4盘。
”戊说：“我打了3盘。
”如果其中有一人说错了，但确实只有两人赛过的盘数相同，那么还有______盘没有赛过；2.A、B、C、D、E、F六个国家的足球队进行单循环比赛（每两支队恰赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛，已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对F，第四天B对C，那么第五天各队的对阵情况是___对___，___对___，___对___；3.四人进行跳远、百米、铅球、跳高四项比赛，规定每个单项第一名记5分，第二名记3分，第三名记2分，第四名记1分。
没有并列。
赛后总分第一的人共获17分，其中跳高得分低于其它项得分；总分第三的人共获11分，其中跳高得分高于其它项得分，请在表中填出每人各项得分；4.4名棋手进行单循环比赛，胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分，如果各人得的总分不同，且没有人全胜，那么至少有_____局平局，最多有_____局平局；5.意大利、德国、法国、荷兰四国进行一次足球比赛，每队与另外三队各赛一场，按规则胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，已知：1）意大利总进球数是0，并且有平局；2）德国队总进球数是2，且恰好胜过2场；3）法国没有失过球，总积分排第二位（非并列）；4）荷兰队没有平局；那么各队积分从高至低依次是____、____、____、____分；6.四支足球队进行单循环赛，按胜队3分，负队0分，打平各得1分的比赛规则，当比赛结束时每支球队的总分互不相同，那么比赛中最多有_____场平局，这时各队的总积分为______分；7.六年级一、二、三班各选拔出3名学生参加长跑比赛，规定第一名至第九名的得分依次是9、8、7、…、3、2、1分，结果三个班总分相同，且没有并列名次，也没有同一个班学生得相连名次，如果第一名是一班的，第二名是二班的，那么三班的同学所得名次分别为第____、____、____名；8.五支足球队进行单循环赛，每两队之间进行一场比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，最后发现各队得分都不相同，第三名得了7分，并且和第一名打平，那么这五支球队的得分从高到低依次是____、____、____、____、____；9.今有四支足球队，每两队之间恰比赛一场，请将图中这张比赛情况统计表填完整。
高斯小学奥数六年级上册含答案第01讲比赛中的推理
A、 B、 C 三队的比赛情况如下：
场数 胜
平
负 进球 失球
A
3
2
1
0
2
0
B
2
1
1
0
4
3
C
2
0
0
2
3
6
D 问： D 赛了几场？ D 所参与的各场比赛的比分分别是什么？
「分析」 对于整个表格来说总进球数等于总失球数．总胜场应当等于总负场，平局数为偶数
场．另外表格中的 A 很特别，两胜一平却只进两个球，这说明什么呢？
赛结束时发现，有两人并列第二名，两人并列第五名．那么第一名和第四名各得了多少分？
4. 足球甲 A 联赛共有 12 个足球俱乐部参加，实行主客场双循环赛制，即任何两队分别在主场和 客场各比赛一场，胜一场得 3 分，平一场各得 1 分，负一场得 0 分，在联赛结束后按积分的高 低排出名次．那么，在积分榜上第一名与第二名的积分差距最多可达多少分？
其中 4.97 公斤的主体由纯金铸造．底座由两层孔雀石构成，珍贵无比．
1974 年第十届世界
杯赛， 德国队作为冠军第一次领取了该杯． 国际足联规定新杯为流动奖品， 不论哪个队获得
多少冠军，也不能永久占有此杯．在大力神杯的底座下面有能容纳镌刻
17 个冠军队名字的
铭牌 —— 可以持续使用到 2038 年．
5. A、B、 C、 D 四个足球队进行循环比赛，赛了若干场后， A、 B、 C 三队的比赛情况如下：
场数 胜
平
负 进球 失球
A
3
3
0
0
3
0
B
3
2
0
1
4
1
C
2
第六章 组合与推理
第一讲包含与排除【专题导引】集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数字中的最基本的概念之一。
如某班全体学生可以看做一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。
组成集合的每个事物称为这个集合的元素。
如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。
两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。
计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B 的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A+B-AB。
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清楚数量关系和逻辑关系。
有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
【典型例题】【例1】五年级96名学生都订了刊物，有64人订了少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都订的有多少人？【试一试】1、一个班的52人都在做语文和数学作业，有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业，这个班语文、数学作业都做完的有多少人？2、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优的有87人，问语文、数学都得优的有多少人？【例2】某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语中的一种语言。
已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？【试一试】1、某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。
这个学校共有学生多少人？2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语、数双优的有12人，另外还有8人语、数均未获优，这个班共有多少个学生？【例3】在100个外语教师中，懂英语的75人，懂日语的45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师，问：只懂英语的老师有多少人？【试一试】1、40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题，已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人，问：只做对第一题的有多少人？2、五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优，已知语文65人得优，数学78人得优，求只有语文一门得优的人数。
小学数学六年级(上)第01讲 比赛中的推理(含答案)
第一讲比赛中的推理这一讲我们学习的主要内容是与比赛有关的逻辑推理问题．这些问题有各种不同的形式：有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至还有讨论进球数、失球数的．不同类型的问题我们应该用不同的方法来处理．在逻辑推理中，特别有用的方法是画示意图或表格，这种方法相信大家并不陌生，用它来分析比赛问题，能够让我们对比赛的情况更为直观明了．例题1编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘．现在编号为1、2、3、4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号一样，那么编号为6的同学赛了几盘？「分析」为了让问题更加直观，我们可以画出一个示意图，用6个点来表示这6个同学．如果两个同学之间比赛过，则把对应的两个点用实线连起来，如果没比赛过，则用虚线连起来．练习1A、B、C、D、E五所小学，每所小学派出1支足球队，共5支足球队进行友谊比赛．不同学校间只比赛1场，比赛进行了若干天后，A校的队长发现另外4支球队赛过的场数依次为4、3、2、1．问：这时候A校的足球队已赛过的场数？例题2A 、B、C 、D、E、F六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对F，第四天B对C．那么第五天与A队比赛的是那个队？A B C D E F1D B2E C3F D4C B5「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示．如图，第二列从上到下依次表示A在5天中分别遇到的对手，第三列表示B在5天中遇到的对手，依此类推．观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？练习2五个国家足球队A、B、C、D、E进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空．已知第一天比赛的是A与D，C轮空；第二天A与B比赛，E轮空；第三天A与E比赛；第四天A与C比赛；B与C的比赛在B与D的比赛之前进行．那么C与E在哪一天比赛？例题3甲、乙、丙、丁四个同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：（1）一共有多少场比赛？（2）四个人最后得分的总和是多少？（3）如果最后结果甲得第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得了多少分？「分析」（1）每两人之间都比赛一场，总比赛场数就是从四个人中挑出两人的方法数；（2）比赛的胜负情况有很多种可能？那么总分也有很多种可能吗？大家考虑一下每场比赛，比赛双方的得分之和就知道了；（3）乙、丙最后的分数一样，由于总分是固定的，这个相同的分数既不能太大，也不能太小，那么会是多少呢？练习3有A、B、C、D四支足球队进行单循环比赛，每两队都比赛一场．比赛规定：胜一场得2分，平局各得1分，负一场得0分．全部比赛结束后，A、B两队的总分并列第一名，C队第二名，D队第三名，C队最多得多少分？例题44支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少？「分析」4支球队之间一共比赛了多少场？所有比赛的总分最多是多少，最少是多少？你能由此推断出各队的得分吗？练习4甲、乙、丙、丁4个队举行足球单循环赛．规定：每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．已知：（1）比赛结束后4个队的得分都是奇数；（2）甲队总分超过其他各队，名列第一；（3）乙队恰有两场平局，并且其中一场是与丙队平局．那么丁队得了多少分？例题5A、B、C、D四个足球队进行循环比赛，赛了若干场后，A、B、C三队的比赛情况如下：场数胜平负进球失球A321020B211043C200236D问：D赛了几场？D所参与的各场比赛的比分分别是什么？「分析」对于整个表格来说总进球数等于总失球数．总胜场应当等于总负场，平局数为偶数场．另外表格中的A很特别，两胜一平却只进两个球，这说明什么呢？例题6A、B、C、D、E五位同学分别从不同的途径打听到五年级那位获得数学竞赛第一名的同学的情况：A打听到的：姓李，是女同学，13岁，东城区；B打听到的：姓张，是男同学，11岁，海淀区；C打听到的：姓陈，是女同学，13岁，东城区；D打听到的：姓黄，是男同学，11岁，西城区；E打听到的：姓张，是男同学，12岁，东城区．实际上该同学的情况在上面都出现过，而且这五位同学的消息都仅有一项正确，那么第一名的同学应该是哪个区的，今年多少岁呢？「分析」每个同学打听到的消息都只有一项正确，可谓相当的少！个判断，一共才5个正确的，其中关于姓氏、性别、年龄、地区的判断各有几项是正确的呢？课堂内外足球世界杯世界杯（World Cup，FIFA World Cup），世界足球锦标赛是世界上最高荣誉、最高规格、最高水平的足球比赛，与奥运会并称为全球体育两大顶级赛事，是影响力、转播覆盖率很高的全球体育盛事．世界杯是全球各个国家最梦寐以求的神圣荣耀，哪一支国家足球队能得到它，就是名正言顺的世界第一．整个世界都会为之疯狂沸腾，世界杯上发挥出色的球员都会被该国家奉为民族英雄永载史册，所以它亦代表了各个足球运动员的终极梦想．世界杯每四年举办一次，任何国际足联会员国（地区）都可以派出代表队报名参加这项赛事．世界杯的奖杯为大力神杯，它采用意大利人加扎尼亚的设计方案——两个大力士双手举起地球的设计方案．这个造形象征着世界第一运动的规模．该杯高36.8厘米，重6.175公斤，其中4.97公斤的主体由纯金铸造．底座由两层孔雀石构成，珍贵无比．1974年第十届世界杯赛，德国队作为冠军第一次领取了该杯．国际足联规定新杯为流动奖品，不论哪个队获得多少冠军，也不能永久占有此杯．在大力神杯的底座下面有能容纳镌刻17个冠军队名字的铭牌——可以持续使用到2038年．世界杯32支队伍，在小组赛阶段进行的是单循环比赛，16强阶段进行的是淘汰赛，积分规则是3分制．大力神杯作业：1.A、B、C、D四支球队进行足球比赛，每两队都要比赛一场．已知A、B、C三队的成绩分别是：A队二胜一负，B队二胜一平，C队一胜二负．那么D队的成绩是什么？2.6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：（1）一共有多少场比赛？（2）6个人最后得分的总和是多少？（3）得分最高的三名同学的分数之和最多是多少？3.六个人参加乒乓球比赛，每两人之间都要比赛一场，胜者得2分，负者得0分，没有平局．比赛结束时发现，有两人并列第二名，两人并列第五名．那么第一名和第四名各得了多少分？4.足球甲A联赛共有12个足球俱乐部参加，实行主客场双循环赛制，即任何两队分别在主场和客场各比赛一场，胜一场得3分，平一场各得1分，负一场得0分，在联赛结束后按积分的高低排出名次．那么，在积分榜上第一名与第二名的积分差距最多可达多少分？5.A、B、C、D四个足球队进行循环比赛，赛了若干场后，A、B、C三队的比赛情况如下：场数胜平负进球失球A330030B320141C200204D问：D赛了几场？D所参与的各场比赛的比分分别是什么？第一讲 比赛中的推理 【答案详解版】例1． 答案：3详解：5号已经赛过5盘，说明他和其他5个人都已经赛过了．而1号只赛了一盘，所以1号这一盘是同5号赛的，他同其他四个人都没有赛过，如图1所示．再看4号，他赛过4盘，且同1号没有赛过，所以4号赛过的同学是除1号以外的4个人．而2号只赛过两盘，所以2号只同5号、4号赛过，如图2所示．3号赛过3盘，而且他同1号、2号没有赛过，那么同3号赛过的就是4号、5号和6号，如图3所示．于是我们知道同6号赛过的有3号、4号和5号．他赛了3盘．例2．答案：B 详解：如图4，列出表格后发现，每行、每列各有6个字母，而且同一行或列的6个字母互不相同，只需用这一原则把表格补充完整即可．首先可以确定（2，D ）处应填A ．这是因为第2行已经有E 和C ，第4列已经有D 、B 和F ，所以这一个格不能填这些字母，只能填A ．由于第二天A 与D 比赛，那么对应地（2，A ）处也应填D ．第二天余下的一场就是B 对F ，因而（2，B ）处应填F ，（2，F ）处应填B ．我们用类似的方法推理各行、列，最终把整个表格填出来，得到图5．于是，第五天与A 比赛的球队是B ．例3．答案：6；12；3 详解：（1）6；（2）12；（3）3．（1）详解：从四个人中选出两人，有246C 种方法．每两人之间比赛一场，那么一共就有6场比6号1号2号3号 5号4号图16号 1号2号3号 5号4号图26号1号2号3号5号4号图3A B C D E F 1 D B 2 D F E A C B 3 F D 4 C B 5图4A B C D E F 1 E D F B A C 2 D F E A C B 3 C E A F B D 4 F C B E D A 5BAD CFE图5赛；（2）详解：不论胜负还是平局，每场比赛两人得分之和都是2分．一共6场比赛，所以四个人最后得分的总和就是2612⨯=分；（3）详解：四个人得分之和是12分，甲得分最高，丁得分最低，而乙、丙得分相同．如果乙、丙得分是4分，则甲得分超过4分，这三人的得分之和已经超过12分，与题意矛盾．因此乙、丙得分最多是3分．如果乙、丙得分是2分，则丁最多得了1分，而甲至少得了122217---=分．但是连胜3场也只能得6分，不可能达到7分，因此乙、丙得分至少是3分．所以乙、丙得分就是3分．例4．答案：4详解：如果比赛分出胜负，那么双方得分之和就是3分；如果平局，双方得分之和就是2分．4支球队之间要进行246C =场比赛，所以总分就要在12分和18分之间． 由题意，四支球队的得分是4个连续的自然数．而四个连续自然数的和可能是：01236+++=，123410+++=，234514+++=，345618+++=，…… 在12分和18分之间的只有14和18．如果是3分、4分、5分、6分，总分是18分，那么每场比赛都分出了胜负，但这是不可能的（大家自己想想这是为什么）．所以四个连续的分数为2分、3分、4分、5分．于是第一名得5分，只能是1胜2平；第二名得4分，只能是1胜1平1负；第三名得3分，可能是1胜2负，也可能是3平；第四名得2分，只能是2平1负．其中只有第三名的比赛结果有两种情况．综合考虑第一名、第二名、第四名的胜负情况：他们一共有2胜5平2负．由于总胜场数与总负场数相同，所以第三名只能是3平．容易画出四支队之间的比赛胜负关系，如图6所示．因此输给了第一名的只有第二名，他得了4分．例5．答案：3，A :D =1:0，B :D =4:3，C :D=3:5详解：首先A 两场胜场均为1比0胜出，平局为0比0，而且一定是A 以1比0胜C ，同样以1比0胜D ，0比0平B ，而B 胜的那场胜场以4:3胜出，C 的负场以3比5败北，所以不能是B 胜C ，那么一定是B 胜D ，D 胜C ，所以，D 参加了3场比赛．分别是A :D =1:0，B :D =4:3，C :D=3:5．例6．答案：海淀区，12岁详解：5420⨯=个判断，一共才5个正确的，可以推断出第一名同学的姓名、性别、年龄、城区，分别有1项、2项、1项、1项是正确的．先来看性别，有2项正确，那么第一名是女同学；再来看年龄，2个人说是13岁，2个人说是11岁，只有1个人说是12岁，由于只有1项消息正确，则第一名是12岁；再看城区，3人说东城区，1人说海淀区，1人说西城区，那么第一名在海淀区或第一名1胜2平 第二名 1胜1平1负第三名3平 第四名 2平1负 图6者西城区；类似地，可以分析出第一名同学姓李，或姓陈，或姓黄．综合考虑第一名同学的姓名与城区，就很容易判断出唯一的答案：姓黄，是女同学，12岁，海淀区．练习答案：练习1答案：赛2场简答：连线，从胜得最多的和胜得最少的队伍入手分析．练习2答案：第五天简答：列表分析，用*表示轮空，可得下图．练习3答案：3简答：四人总得分是12分，其中C 的分数肯定小于1234÷=分，所以得分不多于3分．四人分别得4分、4分、3分、1分是容易构造出来的，所以C 队得分最多就是3分．练习4答案：3简答：先推断出各队得分分别为7分、5分、3分、1分，然后分析胜负情况即可．A B C D E 1D E * A B 2B A DC * 3E C B * A 4C * A ED 5 * D EB C 图1作业：6.答案：一平二负．简答：B队有一平，只可能平D，所以对A、C是二胜．于是A的两胜是赢了C和D．故C的一胜是胜D，于是D的成绩是一平二负．7.答案：（1）15；（2）30；（3）24．简答：（1）；（2）；（3）．8.答案：10；4．简答：并列第五名的两人至少要各赢1场，所以第四名至少要赢2场，并列第二名至少要各赢3场，第一名至少要赢4场．，而一共要进行15场比赛，所以只能是第一名赢5场得10分，第四名赢2场得4分．9.答案：46．简答：第一名要积分多，最好是要22场全胜，得66分．剩下的11支球队还要比赛（场），每场比赛两队合起来至少得2分，于是剩下11队总共至少得220分．因此得分最多的队伍至少有分，当这11队全平时，第二名只能得20分，因此分差最大为46分．10.答案：2；A与D是1:0、B与D是1:0．简答：由A全胜，且进球数为3，可知A与其他三队的比分都是1:0．B赛了三场，且两胜一负，所以B胜C，而C只比了两场，进球数为0，所以B与C的比分是3:0；而B与D只能是1:0．。
竞赛数学中的组合数学问题
组合数学论文竞赛数学中的组合数学问题20075251徐海波竞赛数学中的组合数学问题组合数学是上个世纪五十年代后逐步建立和完善起来的一门数学分支，组合数学也称为组合学、组合论，组合分析。
教科书上对组合分析的定义：按某种要求把一些元素构成有限集合的研究叫做组合分析。
这种研究比传统的数学讨论的对象更广泛，在实际生活和实践活动中应用性更大。
这种研究一般讨论以下问题：在一定的约束条件下，对象——构成的存在性（有与没有、能与不能）问题；构成的分类与计数；构成的方法（构造方法）及最优化方法。
人们常把竞赛中某些问题称为杂题，又称为组合数学问题。
为什么？中学数学竞赛中的一些问题，很难把它们归类为代数问题或几何问题，但它们涉及到的解题目标和解题方法可以归入组合问题和组合分析；当然一些组合数学的习题也直接用作竞赛题。
初等数学竞赛中的组合问题与组合分析常用的方法有抽屉原理、递推（归）原理、容斥原理、染色方法等，这些原理方法都很一般，重要的是经验和技巧——应用的能力。
本文重点研究竞赛数学中的组合数学计数问题。
计数问题组合数学中的计数问题，数学竞赛题中的熟面孔，看似司空见惯，不足为奇．很多同学认为只要凭借课内知识就可左右逢源，迎刃而解．其实具体解题时，时常会使你挖空心思，也无所适从。
对于这类问题往往首先要通过构造法描绘出对象的简单数学模型，继而借助在计数问题中常用的一些数学原理方可得出所求对象的总数或其范围。
1、计数中求最大值：第一步：分类讨论（1）情况一，推出目标数f ≤m1；（2）情况二，推出目标数f ≤m2；…（s）情况s，推出目标数f ≤m s；第二步：m0=max{m1，m2，…，m s}，则f ≤m0；第三步：构造模型使计数恰好等于常数m0，则常数m0即为最大值。
另一种叙述:第1步：由目标数f≤m推出可以符合条件；第2步：由f =m+1推出是不能符合条件；所以f max = m 。
2、计数中求最小值：第一步：分类讨论（1）情况一，推出目标数f ≥m1；（2）情况二，推出目标数f ≥m2；…（s）情况s，推出目标数 f ≥m s；第二步：m0=min{m1，m2，…，m s}，则f ≥m0；第三步：构造模型使计数恰好等于常数m0，则常数m0即为最小值。
六年级数学思维培养教材
第一讲比赛中的推理本讲中咱们学习的主要内容是与比赛有关的逻辑推理问题，这些问题有各种不同的形式：有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至有讨论进球数、失球数的。
不同类型的问题我们都可能用图表法来处理。
例题1：编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘，现在编号为1、2、3、4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号一样，那么编号为6的同学赛了几盘？[分析] 为了让问题更加直观，我们可以用6个点来分别表示这6个同学，比赛过的两个同学之间就把对应的点用线连起来，标出各自比赛的盘数，使抽象的问题变得直观。
练习1A、B、C、D、E五所小学，每所小学派出1支足球队，共5支足球队进行友谊比赛，不同学校间只比赛1场，比赛进行若干天后，A校的队长发现另外4支球队赛过的场数依次为4、3、2、1。
这时候A校足球队已赛过多少场？例题2 A、B、C、D、E、F六年国家的足球队进行单循环比赛（每队都与其他球队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛。
已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对F，第四天B对C。
那么第五天与A队比赛的是哪个队？[分析] 题目的条件比较多，如何才能化繁为简呢？这种问题我们通常可以运用列表法来分析。
如图，第二列从上到下依次表示A在5天分别遇到的对手，第三列表示B在5天中遇到的对手，依此类推，观察表格，这个表格中的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？练习2 五个国家足球队A、B、C、D、E进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空。
已知第一天比赛的是A与D，C轮空；第二天A与B比赛，E轮空；第三天A与E比赛；第四天A与C比赛；B与以的比赛在B与D的比赛之间进行，那么C与E在哪一天比赛？例题3 甲、乙、丙、丁四个同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定：胜者得2分，平局各得1分，输者得0分。
请问：（1）一共有多少场比赛？（2）四个人最后得分的总和是多少？（3）如果最后结果甲得第一，乙、两并列第二，丁最后一名，那么乙得了多少分？[分析]（1）每两人之间都比赛一场，总比赛场数就是从四人中挑出两人的方法数（四选二）；（2）比赛的胜负情况有多少种可能？那么总分也有多少种可能呢？只要稍加考虑每场比赛双方得分之和就清楚了；（3）乙、丙最后的分数一样，由于总分是固定的，这个相同的分数既不能太大，也不能太小，那么会是多少呢？练习3 有A、B、C、D四支足球队进行单循环比赛，每两队比赛一场，比赛规定：胜一场得2分，平局各得1分，负一场得0分。
北师大版六年级上册数学数学好玩《比赛场次》教学课件
生1 生2 生3 生4 生5 生6 生7 生8 生9 生10
生1
生2 √
生3 √ √
生4 √ √ √ 生5 √ √ √ √
还有别的方法吗？
生6 √ √ √ √ √
生7 √ √ √ √ √ √
生8 √ √ √ √ √ √ √ 生9 √ √ √ √ √ √ √ √
生10 √ √ √ √ √ √ √ √ √
生1 生10 生9
生2 生3 生4
生8
生5
不容易数清生楚7。 生6
问题：从简单的情形开始，找找有什么规律。
生1
生2
生3
生4
生5
比赛 人数
比赛 场次
生1
生2 √
21
生3 √ √
3 1＋2＝3
生4 √ √ √
4 1＋2＋3＝6
生5 √ √ √ √
5 1＋2＋3＋4＝10
问题：从简单的情形开始，找找有什么规律。
2.某种细胞每经过30分便由1个分裂成2个。经 过3时，这种细胞由一个分裂成多少个？画图 找规律，求出结果。
3时=180分，即分裂了6次，第六次分裂 完成是64个。 答：这种细胞由一个分裂成64个。
04 课堂小结
通过这节课的学习活动， 你有什么收获？
谢谢观赏
北师大版六年级上册数学
教学课件
北师大版六年级上册数学
01 情境导入
六（1）班10名同学进行乒乓球比赛，每两名同 学之间要进行一场比赛。
一共要进行多少场比赛呢？
02 探究新知
六（1）班10名同学进行乒乓球比赛，每两名同 学之间要进行一场比赛。
问题：一共要比赛多少场？ 循环赛
你是怎么想的？
可以用列表法解决。
六年级数学思维训练：逻辑推理二
2014年六年级数学思维训练：逻辑推理二一、兴趣篇1．甲、乙两队进行象棋对抗赛，甲队的三人是张、王、李，乙队的三人是赵、钱、孙，按照以往的比赛成绩看，张能胜钱,钱能胜李，李能胜孙，但是第一轮的三场比赛他们都没有成为对手．请问:第一轮比赛的分别是谁对谁？2．甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘,丙赛了2盘，丁赛了1 盘．问：小强已经赛了几盘？分别与谁赛过？3．甲、乙、丙三名选手参加马拉松比赛，起跑后甲处在第一的位置，在整个比赛过程中，甲的位置共发生了7次变化．比赛结束时甲是第几名？(注：整个比赛过程中没有出现三人跑在同一位置的情形．）4．有10名选手参加乒乓球单打比赛,每名选手都要和其它选手各赛一场，而且每场比赛都分出胜负，请问：（1）总共有多少场比赛?（2）这10名选手胜的场数能否全都相同？（3）这10名选手胜的场数能否两两不同?5．6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分,平局各得1分，请问：（1）各队总分之和最多是多少分？最少是多少分?（2）如果在比赛中出现了6场平局，那么各队总分之和是多少？6．红、黄、蓝三支乒乓球队进行比赛，每队派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数,第一名得9分，第二名得8分，…,第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．其中个人评比的情况是：第一名是一位黄队队员，第二名是一位蓝队队员,相邻的名次的队员都不在同一个队．团体评比的情况是：团体第一的是黄队，总分16分；第二名是红队,第三名是蓝队．请问：红队队员分别得了多少分?7．5支球队进行单循环赛，每两队之间比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分,打平则双方各得1分，最后5支球队的积分各不相同，第三名得了7分,并且和第一名打平．请问：这5支球队的得分，从高到低依次是多少？8．有A、B、C三支足球队，每两队比赛一场，比赛结果为:A：两胜，共失2球；B：进4球,失5球；C:有一场踢平,进2球，失8球．则A与B两队间的比分是多少？9．一次考试共有10道判断题，正确的画“√"，错误的画“×”，每道题10分,满分为100分．甲、乙、丙、丁4名同学的解答及甲、乙、丙3名同学得分如下表所示．丁应得_________分．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分题号学生甲××√√××√×√√70乙×√×√√××√√×70丙√×××√√√×××60丁×√×√√×√×√×10．赵、钱、孙、李、周5户人家，每户至少订了A、B、C、D、E这5种报纸中的一种．已知赵、钱、孙、李分别订了其中的2、2、4、3种报纸，而A、B、C、D这4种报纸在这5户人家中分别有1、2、2、2家订户．周姓订户订有这5种报纸中的几种？报纸E在这5户人家中有几家订户？二、拓展篇11．编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘．现在编号为1、2、3、4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等．请问：编号为6的同学赛了几盘?12．五行(火水木金土）相生相克，其中每一个元素都生一个,克一个,被一个生和被一个克，水克火是我们熟悉的，有一个俗语叫做“兵来将挡，水来土掩”,是说土能克水．另外，水能生木，火能生土．请把五行的相生相克关系画出来．13．A、B、C、D、E、F六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对F，第四天B对C请问：第五天与A队比赛的是哪支队伍？14．A、B、C三个篮球队进行比赛，规定每天比赛一场，每场比赛结束后，第二天由胜队与另一队进行比赛,败队则休息一天，如此继续下去，最后结果是A队胜10场,B队胜12场,C队胜14场，则A队共打了几场比赛？15．甲、乙、丙、丁四名同学进行象棋比赛,每两人都比赛一场，规定胜者得2分,平局各得1分，输者得0分,请问：（1）一共有多少场比赛?（2）四个人最后得分的总和是多少?（3）如果最后结果甲得第一,乙、丙并列第二，丁是最后一名，那么乙得了多少分?16．五支足球队进行循环赛，即每两个队之间都要赛一场，每场比赛胜者得2分，输者得0分,平局两队各得1分．比赛结果各队得分互不相同．已知：①第一名的队没有平过;②第二名的队没有输过；③第四名的队没有胜过，问：第一名至第五名各得多少分?全部比赛共打平过几场？17．4支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0 分,平局各得1分．比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问:输给第一名的队的总分是多少?18．甲、乙、丙、丁、戊五个同学的各科考试成绩如表，已知：①每门功课五个人的分数恰巧分别为l、2、3、4、5;②五个人的总分互不相同,且从高到低的顺序排列是：甲、乙、丙、丁、戊；③丙有四门功课的分数相同．请你把表格补充完整．语文数学英语音乐美术总分田24乙丙丁 4戊 3 519．一次足球赛，有A、B、C、D四个队参加,每两队都赛一场，按规则，胜一场得2分,平一场得1分，负一场得0分．比赛结束后,B队得5分，A队得1分．所有场次共进了9个球，B队进球最多，共进了4个球,C队共失了3个球，D队1个球也未进，A队与C队的比赛比分是2：3．问：A队与B队的比赛比分是多少？20．A、B、C、D四个足球队进行循环比赛．赛了若干场后，A、B、C三队的比赛情况如表：问:D赛了几场？D 赛的几场的比分各是多少？场数胜平负进球失球A 3 2 1 0 2 0B 2 1 1 0 4 3C 2 0 0 2 3 6D21．九个外表完全相同的小球，重量分别是1,2，…,9．为了加以区分,它们都被贴上了数字标签，可是有一天,不知被哪个调皮鬼重新乱贴了一通．我们用天平做了两次称量，得到如下结果:（1）①②＞③④⑤⑥⑦；（2）③⑧=⑦，请问：⑨号小球的重量是多少？22．A、B、C、D、E五位同学分别从不同的途径打听到五年级数学竞赛获得第一名的那位同学的情况：A打听到的：姓李，是女同学，13岁，东城区;B打听到的:姓张，是男同学,11岁，海淀区；C打听到的:姓陈，是女同学，13岁，东城区；D打听到的:姓黄，是男同学，11岁,西城区；E打听到的:姓张,是男同学,12岁，东城区．’实际上第一名同学的情况在上面都出现过，而且这五位同学的消息都仅有一项正确,那么第一名的同学应该是哪个区的,今年多少岁呢？三、超越篇23．在一次射击练习中,甲、乙、丙三位战士打了四发子弹，全部中靶，其中命中情况如下:（1)每人四发子弹命中的环数各不相同；（2)每人四发子弹命中的总环数均为17环；（3)乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样，乙另外两发命中的环数与丙其中两发一样；（4）甲与丙只有一发环数相同;（5)每人每发子弹的最好成绩不超过7环．问:甲与丙命中的相同环数是几?24．一次象棋比赛共有10位选手参加,他们分别来自甲、乙、丙3个队．每人都与其余9人比赛一盘，每盘胜者得1分,负者得0分，平局各得0.5分．结果乙队平均得分为3.6分,丙队平均得分为9分，那么甲队平均得多少分？25．A、B、C、D、E这5支足球队进行循环赛，每两队之间比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，打平则双方各得1分，最后5支球队的积分各不相同，从高到低依次为D、A、E、B、C又已知5支球队当中只有A没输过，只有C没赢过，而且B战胜了E．请问:战胜过C的球队有哪些?26．10名选手参加象棋比赛，每两名选手间都要比赛一次，已知胜一场得2分,平一场得1分,负一场不得分．比赛结果：选手们所得分数各不相同，前两名选手都没输过，前两名的总分比第三名多20分,第四名得分与后四名所得总分相等,问：前六名的分数各为多少？27．现有A、B、C共3支足球队举行单循环比赛，即每两队之间都要比赛一场．比赛积分的规定是胜一场积2分,平一场积1分，负一场积0分，表1是一张记有比赛详细情况表格，但是，经过核对，发现表中恰好有4个数字是错误的,请你把正确的结果填入表2中．表1场数胜负平进球失球积分A 2 2 0 1 0 2 3B 2 1 1 0 3 6 2C 1 2 1 2 0 1 1 表2场数胜负平进球失球积分ABC28．9个小朋友从前到后站成一列．现在将红黄蓝三种颜色的帽子各三顶分别戴在这些小朋友的头上．每个小朋友都只能看到站在他前面的小朋友帽子的颜色．后来统计了一下，发现他们看到的红颜色帽子的总次数等于他们看到的黄颜色帽子的总次数,也等于他们看到的蓝颜色帽子的总次数．已知从前往后数第三个小朋友戴着红帽子,第六个小朋友戴着黄帽子，请问：最后一个小朋友戴着什么颜色的帽子？29．有A、B、C三支球队进行比赛，每一轮比赛三个队之间各赛一场．每队胜一场得2分，平一场得1分，负一场不得分．如果三支球队共比赛了7轮,最后A胜的场数最多,B输的场数最少，C的得分最高＜这些都没有并列）．请问：A得了多少分？30．阿奇和8个好朋友去李老师家玩,李老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个两位数，这9个两位数互不相同，且每个小朋友只能看见别人帽子上的数．李老师在纸上写了一个自然数A，问这9位同学:“你们知道自己帽子上的数能否被A整除吗？知道的请举手，"结果有4人举手．李老师又问：“现在你们知道自己帽子上的数能否被24整除吗？知道的请举手．”结果有6人举手．已知阿奇两次都举手了，并且这9位同学都足够聪明且从不说谎．请问：除了阿奇之外的人帽子上8个两位数的总和是多少？2014年六年级数学思维训练:逻辑推理二参考答案与试题解析一、兴趣篇1．甲、乙两队进行象棋对抗赛，甲队的三人是张、王、李，乙队的三人是赵、钱、孙,按照以往的比赛成绩看,张能胜钱，钱能胜李，李能胜孙，但是第一轮的三场比赛他们都没有成为对手．请问:第一轮比赛的分别是谁对谁？考点: 逻辑推理．专题：逻辑推理问题．分析：张能胜钱，说明第一轮只会碰赵或者孙；钱能胜李，说明第一轮只会碰赵或者孙；钱能胜李,说明第一轮只会碰张，或者是王；而李能胜孙,说明第一轮只会碰赵或者钱；由于都没有碰到对手,说明钱只能对上王，遇张不行,故王与钱；而李由于只能碰赵或者钱，在钱有对手的情况下只能选赵,故李与赵,最后得出张与孙．解答:解：根据上述分析可知：张能胜钱，说明第一轮只会碰赵或者孙；钱能胜李，说明第一轮只会碰张,或者是王；李能胜孙,说明第一轮只会碰赵或者钱综上所述：第一轮比赛是张与孙,王与钱，李与赵答：第一轮比赛是张与孙，王与钱,李与赵．点评：本题考查逻辑推理：根据题意及其条件从假设入手,认真分析即可．2．甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1 盘．问:小强已经赛了几盘?分别与谁赛过？考点：最佳方法问题．分析：这道题按照常规思路似乎不太好解决，我们画个图试试，用五个点分别表示参加比赛的五个人,如果某两人已经赛过,就用线段把代表这两个人的点连接起来，因为甲已经赛了4盘，除了甲以外还有4个点，所以甲与其他4个点都有线段相连（见下图），根据图即可做出解答．解答：解：用五个点分别表示参加比赛的五个人，如果某两人已经赛过，就用线段把代表这两个人的点连接起来，因为甲已经赛了4盘,除了甲以外还有4个点，所以甲与其他4个点都有线段相连（见左下图），因为丁只赛了1盘,所以丁只与甲有线段相连，因为乙赛了3盘，除了丁以外，乙与其他三个点都有线段相连（见右上图）,因为丙赛了2盘，右上图中丙已有两条线段相连，所以丙只与甲、乙赛过,由上页右图清楚地看出，小强赛过2盘,分别与甲、乙比赛，答:小强赛过2盘,分别与甲、乙比赛．点评：解答此题的关键是，运用图文结合的方法，将问题简单化．3．甲、乙、丙三名选手参加马拉松比赛,起跑后甲处在第一的位置，在整个比赛过程中，甲的位置共发生了7次变化．比赛结束时甲是第几名？（注：整个比赛过程中没有出现三人跑在同一位置的情形．)考点：逻辑推理．专题：逻辑推理问题．分析:据题意可知，甲原为第一名(奇数）,第一次位置交换后，甲成了第二名（偶数）;第二次位置交换后，甲不是第二名，成了第一名或第三名（奇数）;第三次位置变化后，不管之前甲处于第一名还是第三名，这次甲肯定又成了第二名（偶数)，…;所以可以知道，当甲交换了奇数次位置时，甲一定是第二名；偶数次时，甲一定不在第二名．解答：解：据题意可知,当甲与共交换了奇数次位置时，甲一定是第二名；偶数次时，甲一定不在第二名．所以甲共交换了7次位置时，7是奇数,则甲一定是在第二名．答：比赛的结果甲是第二名．点评：完成本题的关键是通过分析题意得出交换次数的奇偶性与获得名次的奇偶性的关系．4．有10名选手参加乒乓球单打比赛,每名选手都要和其它选手各赛一场，而且每场比赛都分出胜负，请问：（1）总共有多少场比赛？（2）这10名选手胜的场数能否全都相同？（3）这10名选手胜的场数能否两两不同？考点：逻辑推理．专题: 逻辑推理问题．分析：(1)因为每一个选手都和其他选手进行一场比赛,属于单循环赛制中，参赛人数与比赛场数的关系为：比赛场数=×参赛人数×（人数﹣1），由此代入求得问题；解答：解：（1）×10×(10﹣1）=45（场),答：一共要进行45场比赛．（2)45÷10=4（个）…5（场）（不相同,有余数．）答：这10名选手胜的场数不相同．(3）45可以分成1,2，3，4，5，6，7，8，9，0的数列（有五列,是整数,可以）答:这10名选手胜的场数可以两两不同．点评：解答此题一定要理清是两两配对进行淘汰赛：2只能剩1；由此再据人数分情况探讨得出结论．在单循环赛制中，参赛人数与比赛场数的关系为：比赛场数=参赛人数×(参赛人数﹣1）÷2．5．6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分，请问：（1）各队总分之和最多是多少分？最少是多少分？(2）如果在比赛中出现了6场平局，那么各队总分之和是多少？考点：逻辑推理．专题：逻辑推理问题．分析：(1)6支足球队进行单循环比赛,即每两队之间都比赛一场,所以一个球队赛5场，加入五场全胜，则得分最多是：3×5=15分；有一个球队5场全负,得分最少是0分．(2）出现了6场平局，得12分，一共1赛15场，剩下9场就是输或者赢了，9×3=27分，那么总分就是：12+27=39分．解答：解:（1)每支球队赛5场，全胜得分最多：5×3=15(分）最少得分就是全输得0分:答:各队总分之和最多是15分，最少是0分．（2）6×5÷2=15（场）6×2+（15﹣6）×3=12+27=39(分）答:那么各队总分之和是39分．点评：此题应结合题意进行分析，分析过程中最好通过实践操作得出问题答案,并进行验证．6．红、黄、蓝三支乒乓球队进行比赛,每队派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次,按照获胜场数进行排名,并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分,…，第九名得1分；除产生个人名次外,每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．其中个人评比的情况是:第一名是一位黄队队员，第二名是一位蓝队队员，相邻的名次的队员都不在同一个队．团体评比的情况是：团体第一的是黄队，总分16分；第二名是红队，第三名是蓝队．请问：红队队员分别得了多少分？考点：逻辑推理．专题：逻辑推理问题．分析：首先总分是45分，黄队16分，红蓝共29分，又团队第一的是黄队且比赛结果没有并列名次，故只能是红队15分，蓝队14分．第一名是一位黄队队员有9分，第二名是一位蓝队队员有8分，即黄队另两名队员共有7分，蓝队另两名队员共有6分，又每名队员至少1分故第三名是一位红队队员有7分，即红队另两名队员共有8分．．又相邻的名次的队员都不在同一个队故第四名的得6分的队员是黄队，此时黄队最后一名队员1分．故得5分的不是蓝队队员，不然蓝队又有一名队员1分矛盾．故得5分为红队队员，此时红队有一名是3分．故剩下的蓝队为4分和2分，刚好共6分．故得分情况如下：黄：9、6、1 蓝：8、4、2 红：7、5、3，据此解答即可．解答：解:1．由于1到9名分数分别是9到1分，那么总共9人总分就是45分2．由于团队第一名16分，第二名只能是小于等于15，第三名小于等于14．而总分是45．所以第二，第三只能分别是15分，14分．（因为16+15+14=45，没有其他组合等于45分）因此第二名红对共得15分．3．由于单打前两名分别由黄队和蓝队的队员获得．因此红对个人得分最多的一个小于等于7分．又因为相邻名次没有同队的人员，所以红对的三人得分可能是7,5，3或者7，4，2等几种（没有列全）．但是红队总分能达到15分的组合只有7+5+3=15．所以红对队员分别得了7,5，3分．答：红队队员分别得了7，5，3分．点评：本题主要考查了学生根据题意分析推理的能力．7．5支球队进行单循环赛，每两队之间比赛一场,每场比赛胜者得3分,负者得0分，打平则双方各得1分，最后5支球队的积分各不相同，第三名得了7分，并且和第一名打平．请问：这5支球队的得分，从高到低依次是多少？考点：逻辑推理．专题：逻辑推理问题．分析：由于5支足球队进行单循环赛,每两队之间进行一场比赛，则每一队都要和其它四队赛一场，即每支球队进行了4场比赛,全胜得12分，第三名得了7分,并且和第一名打平得一分，那么另三场只能是两胜一负，因各队得分都不相同，第一名平一场,如平再负一场就和第三名得分一样,如果再平一场就得8分，这都不符合题意,所以剩下三场只能胜，积3×3+1=10分,也就是胜2、4、5名，第二名只能是三胜一负，积3×3+0=9分．也就是胜3、4、5名；第三名胜4、5,负2,平1；第四名为负1、2、3，第五名也负1、2、3又因各队比分不同则4胜5积3分,第五名全负，积0分．解答：解：由题意可知，每支球队进行了4场比赛,第三名得了7分，并且和第一名打平，那么另三场只能是两胜一负；因各队得分都不相同,第一名平一场，另三场只能胜，积3×3+1=10分，也就是胜2、4、5名；第二名只能是三胜一负,积3×3+0=9分．也就是胜3、4、5；第三名胜4、5，负2，平1；第四名为负1、2、3，第五名也负1、2、3名；又因各队比分不同则4胜5积3分,则第五名全负,积0分；即:第一名：10分,第二名：9分，第三名：7分，第四名:3分，第五名：0分．答：第一名：10分,第二名：9分，第三名：7分，第四名:3分，第五名：0分．点评：完成本题的关键是抓住“各队得分都不相同，第三名得了7分，并且和第一名打平”这两个条件,以此为突破口,根据赛制与得分之间的逻辑关系进行推理分析，得出结论．8．有A、B、C三支足球队，每两队比赛一场，比赛结果为：A：两胜，共失2球；B:进4球，失5球；C：有一场踢平,进2球，失8球．则A与B两队间的比分是多少？考点：逻辑推理．专题: 逻辑推理问题．分析:A两战两胜,C有一场平说明比赛胜负情况如下：A胜B A胜C B平C；而B C 的比分:0:0 这种情况不存在因为A共失球两个而B C共进球6个1：1 同上2：2 适合条件B另外两个球攻入A的球门3:3 不存在C共进球两个所以得出B：C 为2:2则C另外6个失球失给A,B剩下两个进球，3个失球是跟A比赛的时候故可得出结论：A胜B 3比2A胜C 6比0B平C 2比2解答:解:总进球=总失球A进球+4+2=2+5+8A进球=9A全胜那么B与C打平又因为B比C多进2球那么B对A进的球比C对A进的球多2个又因为A只失2球那么B对A进2球C对A进0球那么B：C=2：2那么A：B=3；2答：A与B两队间的比分是3:2．点评:解答此题的关键是通过题意，结合比赛结果进行分析，进而得出结论．9．一次考试共有10道判断题，正确的画“√”，错误的画“×”,每道题10分，满分为100分．甲、乙、丙、丁4名同学的解答及甲、乙、丙3名同学得分如下表所示．丁应得90分．题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分学生甲××√√××√×√√70乙×√×√√××√√×70丙√×××√√√×××60丁×√×√√×√×√×考点：逻辑推理．专题：逻辑推理问题．分析:观察甲与乙的答案可知，A、B有1、4、6、9这四道题答案相同，6道题答案不同．因为每人都是70分,所以4道答案相同的题都答对了，6道答案不同的题各对了3道;由此可知第1、4、6、9题的答案分别是×、√、×、√;又丙的1、4、6、9题的答案分别是√、×、√、×；所以丙的这四道题答错,又丙得60分，所以丙的其他题目全部答对,即2,3，5,7，8，10的答案分别是×,×、√、√、×、×．由此可知，这10道题的答案分别是：据此即能得出丁得多少分．解答：解：由于A、B有1、4、6、9这四道题答案相同,6道题答案不同．且每人都是70分，所以4道答案相同的题都答对了，6道答案不同的题各对了3道；由此可知第1、4、6、9题的答案分别是×、√、×、√；由于丙的1、4、6、9题的答案分别是√、×、√、×；所以丙的这四道题答错，又丙得60分,所以丙的其他题目全部答对，即2，3,5，7，8,10的答案分别是×，×、√、√、×、×．这10道题的答案分别是：所以丁的只的2题，扣10分，得90分．故答案为：90．点评：此题解题的关键是认真审题，结合题意，通过看图进行分析，进而得出正确答案．10．赵、钱、孙、李、周5户人家，每户至少订了A、B、C、D、E这5种报纸中的一种．已知赵、钱、孙、李分别订了其中的2、2、4、3种报纸，而A、B、C、D这4种报纸在这5户人家中分别有1、2、2、2家订户．周姓订户订有这5种报纸中的几种？报纸E在这5户人家中有几家订户？考点: 逻辑推理．专题：逻辑推理问题．分析：通过分析可知：赵钱孙李一共订了：2+2+4+3=11份A，B，C，D一共订了：1+2+2+2=7份根据题意，周至少订了1份5人一共最少订了11+1=12份那么订E的就有12﹣7=5户如果周订的不止1份，假设周至少订了2份那么5人订报总数至少为11+2=13份那么订E的至少有：13﹣7=6户，这与一共有5户矛盾所以周只能订1种，订E的有5户解答:解：赵钱孙李订的份数：2+2+4+3=11份A，B，C，D订的份数：1+2+2+2=7份根据题意可知周至少订了1份所以5人一共最少订了11+1=12份那么订E的就有12﹣7=5户如果周订的不止1份，假设周至少订了2份那么5人订报总数至少为11+2=13份那么订E的至少有：13﹣7=6户，这与一共有5户矛盾所以周只能订1种，订E的有5户答：周姓订户订有这5种报纸中的1种，报纸E在这5户人家中有5家订户．点评:此题应结合题意进行分析,分析过程中利用推理得出问题答案,并进行验证．二、拓展篇11．编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛,每2个人都要赛1盘．现在编号为1、2、3、4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等．请问：编号为6的同学赛了几盘?考点：逻辑推理．专题：逻辑推理问题．分析:从5号队员开始讨论，他和另外5个队员各赛了1场，由此得出1号只跟5号赛了1场，由此类推即可得出结果．解答：解:因为是每2个人都要赛1盘，所以可以这样推理：①5号赛了5场,说明他与1,2,3,4，6，各赛了1场；②1号赛1场，那么1号只跟5号赛了1场；③4号赛了4场，除了跟5号赛1场，另外3场是跟2，3，6号；④那么2号此时分别和5号、4号已赛了2场；④3号赛了3场，除了和4号，5号之外，又和6号赛了1场．将上述推理过程用图表示为：答:此时6号已经赛了3场．点评：此题逻辑性较强，抓住5号队员逐步展开讨论,即可得出推理结果．12．五行（火水木金土）相生相克，其中每一个元素都生一个，克一个,被一个生和被一个克,水克火是我们熟悉的，有一个俗语叫做“兵来将挡，水来土掩”，是说土能克水．另外，水能生木，火能生土．请把五行的相生相克关系画出来．考点：逻辑推理．专题：逻辑推理问题．分析：五行有‘五行相生’和‘五行相克'，‘五行相生’是互相生旺的意思，表示生成化育,‘五行相克’就是互相反驳、互相战斗、制衡．五行相生:水生木→木生火→火生土→土生金→金生水五行相克:木克土→土克水→水克火→火克金→金克木据此解答即可．解答:解：根据五行相生：水生木→木生火→火生土→土生金→金生水五行相克:木克土→土克水→水克火→火克金→金克木得出图为：。
组合数学讲义及课后答案 1章 排列组合
8 1 6 3 5 7 4 9 2
2 7 6 9 5 1 4 3 8
图1.1.1 3 阶幻方 奇数阶幻方的生成方法： 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是： 把 1(或最小的数)放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的
1/69Leabharlann 《组合数学》第一章
组合数学基础
(n× n－1)个数 (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底 行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在 最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列， 那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前 一个数的下一行同一列的格内。
算法分类： 第一类：数值算法。主要解决数值计算问题，如方程求根、
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《组合数学》
第一章
组合数学基础
解方程组、求积分等，其数学基础是高等数学与线性代数。 第二类：组合算法，解决搜索、排序、组合优化等问题， 其数学基础就是组合数学。 按所研究问题的类型，组合数学所研究的内容可划分为： 组合计数理论 组合设计 组合矩阵论 组合优化 本课程重点：以组合计数理论为主，部分涉及其它内容。 （三） 研究方法
A(0,0) 图1.1.3 最短路径
（2）对应为（元素可重复的）排列问题：一条从 A 到 B 的 路线对应一个由 7 个 x，5 个 y 共 12 个元素构成的排列。 蓝色路径 <——> ｘｙｙｘｘｙｙｘｘｘｘｙ 反之，给定一个排列，按照 x、y 的含义，必对应一条从 A 到 B 的行走路线。例如，排列
一坐上行正中央，依次斜填切莫忘， 上边出格往下填，右边出格往左填， 右上有数往下填，右上出格往下填。 例：将 2，4，6，8，10，12，14，16，18 填入下列幻方：
数学竞赛专题讲座组合数学
举例说明抽屉原理
例1 幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小 朋友任意选择两件，则不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总 有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.
解 从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种： （兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊
猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿） 把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，则根
k0
定义３ 从n个不同的元素中取出m个，按照一 定的顺序排在一个封闭曲线上，叫做环形排列 （或循环排列、圆排列）．
相异元素的 圆排列数公式为：
fn,mA m nmm1!Cnm
二、基础知识
定义４ 从n个不同的元素中，允许重复取出m 个元素，按照一定的顺序排成一列，称为n个 相异元素允许重复的m元排列．
组合问题的知识点并不多，主要在于对问题性质的探索与思考。 联赛中组合题以存在性问题和最值问题以及组合数论问题为主，这类 问题的关键常常在于构造例子或反例。因此，只要我们多加练习这两 类问题，在联赛中还是可以拿到满意的分数的。
2016-07-23
教学资料
• 资料仅供参考
相异元素的可重复排列数计算公式为：Un,mnm. 定义５ 从n个不同的元素中，允许重复取出m
个元素，不管怎样的顺序并成一组，称为n个 相异元素允许重复的m元组合． 相异元素的可重复组合数计算公式为：
f n,mCnmm1.
二、基础知识
定义６ 若n个元素中，有n1个a1， n2个a2．．．
ｎｍ个aｍ，且 n1n2 nmn ，则这ｎ个元素的
二、基础知识
有７个定义、9个定理： 定义１ 从n个不同的元素中取出m个，按照一定
的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出 m个元素的一个排列． 相异元素排列数的计算公式为：
高斯小学奥数六年级上册含答案第01讲比赛中的推理
第一讲比赛中的推理快*布，这定我找体仟 老算抄来的比我们 高出臥进了不少球叽 駅近矗思、IT 罗.工林三所守校之间锻 行了一轮足竦骼环翌- 刚比完・小豪盛皓大 案带回* .战fti rK4rSf BL・■社KVteI■yA**kHf7n#>n这一讲我们学习的主要内容是与比赛有关的逻辑推理问题. 这些问题有各种不同的形式：有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至还有讨论进球数、失球数的•不同类型的问题我们应该用不同的方法来处理.在逻辑推理中，特别有用的方法是画示意图或表格，这种方法相信大家并不陌生，用它来分析比赛问题，能够让我们对比赛的情况更为直观明了.例题1」 ..................... …一…. ...... . .... . ........ ..编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘.现在编号为1、2、3、4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号一样，那么编号为6的同学赛了几盘？「分析」为了让问题更加直观，我们可以画出一个示意图，用6个点来表示这6个同学•如果两个同学之间比赛过，则把对应的两个点用实线连起来，如果没比赛过，则用虚线连起来.A、B、C、D、E五所小学，每所小学派出1支足球队，共5支足球队进行友谊比赛•不同学校间只比赛1场，比赛进行了若干天后，A校的队长发现另外4支球队赛过的场数依次为4、3、2、1.问：这时候A校的足球队已赛过的场数?例题2———— ... —I，每天同A、B、C、D、E、F六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场）时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B对D，第二天C对E,第三天D对F，第四天B对C•那么第五天与A队比赛的是那个队？A B C D E F1D B2E C3F D4C B5「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第二列从上到下依次表示A在5天中分别遇到的对手，第三列表示B在5天中遇到的对手，依此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？练习五个国家足球队A、B、C、D、E进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一天比赛的是A与D , C轮空；第二天A与B比赛，E轮空；第三天A与E比赛；第四天A与C比赛；B与C的比赛在B与D的比赛之前进行.那么C与E在哪一天比赛？例题 2A 、B 、C 、D 、E 、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同C 比赛；B 与C 的比赛在B 与D 的比赛之前进行.那么 C 与E 在哪一天比赛？时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B 对D ，第二天C 对E ,第三天D 对F ，第四天「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第 二列从上到下依次表示 A 在 5 天中分别遇到的对手，第三列表示B 在 5 天中遇到的对手，依此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什 么特点？练习 2五个国家足球队 A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一 天比赛的是 A 与D , C 轮空；第二天 A 与B 比赛，E 轮空；第三天 A 与E 比赛；第四天 A 与B 对C •那么第五天与A 队比赛的是那个队？A 1 2 3 4 5B C DEC BDE B CF例题 2A 、B 、C 、D 、E 、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同C 比赛；B 与C 的比赛在B 与D 的比赛之前进行.那么 C 与E 在哪一天比赛？时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B 对D ，第二天C 对E ,第三天D 对F ，第四天「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第 二列从上到下依次表示 A 在 5 天中分别遇到的对手，第三列表示B 在 5 天中遇到的对手，依此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什 么特点？练习 2五个国家足球队 A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一 天比赛的是 A 与D , C 轮空；第二天 A 与B 比赛，E 轮空；第三天 A 与E 比赛；第四天 A 与B 对C •那么第五天与A 队比赛的是那个队？A 1 2 3 4 5B C DEC BDE B CF例题 2A 、B 、C 、D 、E 、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同C 比赛；B 与C 的比赛在B 与D 的比赛之前进行.那么 C 与E 在哪一天比赛？时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B 对D ，第二天C 对E ,第三天D 对F ，第四天「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第 二列从上到下依次表示 A 在 5 天中分别遇到的对手，第三列表示B 在 5 天中遇到的对手，依此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什 么特点？练习 2五个国家足球队 A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一 天比赛的是 A 与D , C 轮空；第二天 A 与B 比赛，E 轮空；第三天 A 与E 比赛；第四天 A 与B 对C •那么第五天与A 队比赛的是那个队？A 1 2 3 4 5B C DEC BDE B CF例题 2A 、B 、C 、D 、E 、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同C 比赛；B 与C 的比赛在B 与D 的比赛之前进行.那么 C 与E 在哪一天比赛？时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B 对D ，第二天C 对E ,第三天D 对F ，第四天「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第 二列从上到下依次表示 A 在 5 天中分别遇到的对手，第三列表示B 在 5 天中遇到的对手，依此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什 么特点？练习 2五个国家足球队 A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一 天比赛的是 A 与D , C 轮空；第二天 A 与B 比赛，E 轮空；第三天 A 与E 比赛；第四天 A 与B 对C •那么第五天与A 队比赛的是那个队？A 1 2 3 4 5B C DEC BDE B CF例题 2A 、B 、C 、D 、E 、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场） ，每天同 时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天 B 对D ，第二天C 对E ,第三天D 对F ，第四天C 比赛；B 与C 的比赛在B 与D 的比赛之前进行.那么 C 与E 在哪一天比赛？B 对C •那么第五天与A 队比赛的是那个队？A1 2 3 45 B C DEC BD E B CF「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第 二列从上到下依次表示 A 在 5 天中分别遇到的对手，第三列表示B 在 5 天中遇到的对手，依此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什 么特点？练习 2五个国家足球队 A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一 天比赛的是 A 与D , C 轮空；第二天 A 与B 比赛，E 轮空；第三天 A 与E 比赛；第四天 A 与例题 2A 、B 、C 、D 、E 、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场） ，每天同 时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天 B 对D ，第二天C 对E ,第三天D 对F ，第四天C 比赛；B 与C 的比赛在B 与D 的比赛之前进行.那么 C 与E 在哪一天比赛？B 对C •那么第五天与A 队比赛的是那个队？A1 2 3 45 B C DEC BD E B CF「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第 二列从上到下依次表示 A 在 5 天中分别遇到的对手，第三列表示B 在 5 天中遇到的对手，依此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什 么特点？练习 2五个国家足球队 A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一 天比赛的是 A 与D , C 轮空；第二天 A 与B 比赛，E 轮空；第三天 A 与E 比赛；第四天 A 与例题 2A 、B 、C 、D 、E 、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场） ，每天同 时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天 B 对D ，第二天C 对E ,第三天D 对F ，第四天C 比赛；B 与C 的比赛在B 与D 的比赛之前进行.那么 C 与E 在哪一天比赛？B 对C •那么第五天与A 队比赛的是那个队？A1 2 3 45 B C DEC BD E B CF「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第 二列从上到下依次表示 A 在 5 天中分别遇到的对手，第三列表示B 在 5 天中遇到的对手，依此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什 么特点？练习 2五个国家足球队 A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一 天比赛的是 A 与D , C 轮空；第二天 A 与B 比赛，E 轮空；第三天 A 与E 比赛；第四天 A 与例题 2A 、B 、C 、D 、E 、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场） ，每天同时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天 B 对D ，第二天C 对E ,第三天D 对F ，第四天 C 比赛；B 与C 的比赛在B 与D 的比赛之前进行.那么 C 与E 在哪一天比赛？B 对C •那么第五天与A 队比赛的是那个队？A 1 2 3 45 B C DEC BD EBC F 「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第二列从上到下依次表示 A 在 5 天中分别遇到的对手，第三列表示 B 在 5 天中遇到的对手，依 此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？练习 2五个国家足球队 A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一天比赛的是 A 与D , C 轮空；第二天 A 与B 比赛，E 轮空；第三天 A 与E 比赛；第四天 A 与例题 2A 、B 、C 、D 、E 、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场） ，每天同时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天 B 对D ，第二天C 对E ,第三天D 对F ，第四天 C 比赛；B 与C 的比赛在B 与D 的比赛之前进行.那么 C 与E 在哪一天比赛？B 对C •那么第五天与A 队比赛的是那个队？A 1 2 3 4 5BC DE C BD EBCF「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第二列从上到下依次表示 A 在 5 天中分别遇到的对手，第三列表示 B 在 5 天中遇到的对手，依此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？练习 2五个国家足球队 A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一天比赛的是 A 与D , C 轮空；第二天 A 与B 比赛，E 轮空；第三天 A 与E 比赛；第四天 A 与例题 2C 比赛；B 与C 的比赛在B 与D 的比赛之前进行.那么 C 与E 在哪一天比赛？A 、B 、C 、D 、E 、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场） ，每天同 时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天 B 对D ，第二天C 对E ,第三天D 对F ，第四天 「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第二列从上到下依次表示 A 在 5 天中分别遇到的对手，第三列表示 B 在 5 天中遇到的对手，依 此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什 么特点？练习 2五个国家足球队 A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一天比赛的是 A 与D , C 轮空；第二天 A 与B 比赛，E 轮空；第三天 A 与E 比赛；第四天 A 与 B 对C •那么第五天与A 队比赛的是那个队？ A1234 5 B C D E C BD E B C F。
小学六年级数学教案《数学广角简单的排列组合问题》
小学六年级数学教案——《数学广角-----简单的排列组合问题》教学目标：l、使学生通过观察、操作、实验等活动，找出简单事物的排列组合规律。
2、培养学生初步的观察、分析和推理能力以及有顺序地、全面地思考问题的意识。
3、使学生感受数学在现实生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的问题。
使学生在数学活动中养成与人合作的良好习惯。
教学过程：一、创设增境，激发兴趣。
师：今天我们要去数学广角乐园游玩，你们想去吗？二、操作探究，学习新知。
＜一＞组合问题l、看一看，说一说师：那我们先在家里挑选穿上漂亮的衣服吧。
（课件出示主题图）师引导思考：这么多漂亮的衣服，你们用一件上装在搭配一件下装可以怎么穿呢？(指名学生说一说）2、想一想，摆一摆（l）引导讨论：有这么多种不同的穿法，那怎样才能做到不遗漏、不重复呢？①学生小组讨论交流，老师参与小组讨论。
②学生汇报（2）引导操作：小组同学互相合作，把你们设计的穿法有序的贴在展示板上。
（要求：小组长拿出学具衣服图片、展示板）①学生小组合作操作摆，教师巡视参与小组活动。
②学生展示作品，介绍搭配方案。
③生生互相评价。
（3）师引导观察：第一种方案(按上装搭配下装)有几种穿法？（４种）第二种方案(按下装搭配上装)有几种穿法? （４种）师小结：不管是用上装搭配下装，还是用下装搭配上装，只要做到有序搭配就能够不重复、不遗漏的把所有的方法找出来。
在今后的学习和生活中，我们还会遇到许多这样的问题，我们都可以运用有序的思考方法来解决它们。
＜二＞、排列问题师：数学广角乐园到了，不过进门之前我们必须找到开门密码.（课件出示课件密码门）密码是由１、２、3 组成的两位数．（1）小组讨论摆出不同的两位数，并记下结果。
（2）学生汇报交流（老师根据学生的回答，点击课件展示密码）（3）生生相互评价。
方法一：每次拿出两张数字卡片能摆出不同的两位数；方法二：固定十位上的数字，交换个位数字得到不同的两位数；方法三：固定个位上的数字，交换十位数字得到不同的两位数．师小结：三种方法虽然不同，但都能正确并有序地摆出６个不同的两位数，同学们可以用自己喜欢的方法．三、课堂实践，巩固新知。
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知识图谱组合数学第01讲_比赛中的推理-一、比赛中的推理场次计算总分计算具体赛程积分与名次得失球相关一：比赛中的推理知识精讲比赛中的推理:这些问题有各种不同的形式：有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至还有讨论进球数、失球数的．不同类型的问题我们应该用不同的方法来处理．在推理中，画示意图或表格用来分析比赛问题，能够让我们对比赛的情况更为直观明了．1．比赛分类：（1）淘汰赛：每场比赛踢掉一支球队，只取第一名．（2）单循环赛：n支球队，每两队比赛1场，总共比赛场．（3）双循环比赛：n支球队，每两球比赛2场总共比赛场．2．与比赛积分有关的推理问题．两种常见的计分法：（1）2分制计分法：“每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分”．这种情况下，每场比赛无论结果如何，双方总得分都是2分，因此所有选手的总分就等于“比赛场数×2”．（2）3分制计分法：“每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各的1分”．这种情况下，总分就是“胜负场数×3+平局场数×2”，或者写成“比赛场数×2-平局场数”．三点剖析重难点：要注意搞清比赛规则，特别是积分规则，对阵方式，认识总场次、总得分与某个对或人总得分、总场次间的区别与联系．．若是画对阵关系图，注意箭头表胜负，虚线表示平局．题模精讲题模一场次计算例1.1.1、某年级8个班级进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（参加比赛的队每两队之间只进行一场比赛），胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分．某班级共得15分，并以无负局成绩获得冠军，那么该班共胜几场比赛？答案：4解析：该班赛了7场．假设全是平局，应得7分．每将1场平局替换为胜场，总分增分，故该班共胜场．例1.1.2、为弘扬亚运精神，四年级组织了篮球联赛，赛制为单循环制，即每两队之间都要比一场，计划安排15场比赛，应该邀请几个篮球队参加？答案：6解析：由于，故应该邀请6个篮球队参加．例1.1.3、甲、乙、丙、丁与小明五位同学进入象棋决赛．每两人都要比赛一盘，每胜一盘得2分，和一盘得1分，输一盘得0分．到现在为止，甲赛了4盘，共得了2分；乙赛了3盘，得了4分；丙赛了2盘，得了1分；丁赛了1盘，得了2分．那么小明现在已赛了______盘．答案：2解析：由题意可画出比赛图，已赛过的两人之间用线段连接．由图看出小明赛了2盘．例1.1.4、A，B，C三个篮球队进行比赛，规定每天比赛一场，每场比赛结束后，第二天由胜队与另一队进行比赛，败队则休息一天，如此继续下去．最后结果是A队胜10场，B队胜12场，C队胜14场，则A队共打了几场比赛？答案：23场解析：因为A队胜10场，所以A队休息和被击败的天数的和是．26是个偶数，结合我们在分析中得到的结论，可以知道A队休息的天数与被打败的天数是相同的，所以A队休息了13天．因为一共有36场比赛，所以A 队打了23场比赛．例1.1.5、有16位选手参加象棋晋级赛，每两人都只赛一盘．每盘胜者积1分，败者积0分．如果和棋，每人各积0.5分．比赛全部结束后，积分不少于10分者晋级．那么本次比赛后最多有_______为选手晋级．答案：11解析：一共比赛了120场，每场比赛两个选手总分会得到1分，所以共有120分，理论上来讲，最多能有人，但是没有晋级的人同样也消耗了120分钟的若干分，所以不可能这120分全部是这12个人获得，故最多不可能是12人；于是接下来考虑11人的情况，这样是可以实现的，11人只需110分，而剩下来的5人正好消耗分，加起来120分．（具体的一种情况可以使前11人之间均为平局，然后他们都赢了最后5名，则前11人每人得分都为10分）．例1.1.6、五支足球队伍比赛，每两个队伍之间比赛一场；胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛完毕后，发现各队得分均不超过9分，且恰有两支队伍同分．设五支队伍的得分从高到低依次为、、、、（有两个字母表示的数是相同的）．若恰好是15的倍数，那么此次比赛中共有______场平局．答案：3解析：体育比赛得分问题，首先算出比赛一共10场，总分在20到30分之间．五位数是15的倍数，利用整除性可知，可为0或者5，考虑到最小，如果，总分最小为分，不成立，所以，即第五名4场全负积0分．第五名负四场，则平局最多为6场，总分最少为24分．又考虑到分数和为3的倍数，总分可能情况为30，27，24．对三种情况分别讨论：（1）总分30分：即无平局情况，那么前四名队伍得分只可能为9，6，3分．不能在只有两个重复的情况下凑出30．所以总分30分情况不存在．（2）总分27分：经测试，存在，满足题目分数要求，且四个队7场胜3场负，恰好满足第五队的4场负，所以此为一解，比赛3场平局．（3）总分24分：在24分情况下，只有前四名只能各胜1场平2场，但不满足只有两队得分相同．所以总分24分情况不存在．综上，唯一存在总分27分情况下，比赛中共有3场平局．题模二总分计算例1.2.1、6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．那么6个人最后得分的总和是_______分．答案：30解析：无论赛果如何，每场共产生2分．6个人共赛了场，因此总分为分．例1.2.2、四支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少？答案：4分解析：如果比赛分出胜负，那么双方得分之和就是3分；如果平局，双方得分之和就是2分．4支队之间要进行场比赛，那么总分就要在12分和18分之间．各队的总得分就是6场比赛的总得分，因此四支球队的总分也要在12分和18分之间．由题意，四支球队的得分是4个连续的自然数．而四个连续自然数的和可能是：，，，，……在12分和18分之间的只有14和18，因此这四支球队的得分可能是2分、3分、4分、5分，或者3分、4分、5分、6分．这两种情况都可能出现吗？如果是3分、4分、5分、6分，总分是18分，那么每场比赛都分出了胜负，但这是不可能的，大家自己想想这是为什么？如果是2分、3分、4分、5分，那么第一名得5分，只能是1胜2平；第二名得4分，只能是1胜1平1负；第三名得3分，可能是1胜2负，也可能是3平；第四名得2分，只能是2平1负．其中只有第三名的比赛结果有两种情况．综合考虑第一名、第二名、第四名的胜负情况：他们一共有2胜5平2负．由于总胜场数与总负场数相同，所以第三名只能是3平．第三名没有平局，容易画出四支队之间的比赛胜负关系，如图所示．因此输给了第一名的只有第二名，他得了4分．例1.2.3、10名选手参加象棋比赛，每两名选手间都要比赛一次．已知胜一场得2分，平一场得1分，负一场不得分．比赛结果：选手们所得分数各不相同，前两名选手都没输过，前两名的总分比第三名多20分，第四名得分与后四名所得总分相等．问：前六名的分数各为多少？答案：17分，16分，13分，12分，11分，9分解析：因为前两名选手都没有输过，所以第一名选手的战绩最好是8胜1平，得17分．第二名最多得16分．可知第三名最多得分．后四名选手之间有6场比赛，每场比赛得2分，一共得12分．所以后四名选手总分最少为12分，从而第四名选手最少得12分．考虑到第三名最多得13分，可知第三名得13分，第四名得12分．于是第一名和第二名总分为33分，也就是第一名得17分，第二名得16分．10名选手之间一共有45场比赛，总分是90．第五名和第六名的总分是．考虑到每一个的得分都小于第四名的得分12，可知第五名得11分，第六名得9分．因此前六名的分数分别为17、16、13、12、11、9．例1.2.4、有A、B、C、D、E五个队分在同一个小组进行单循环足球赛（每两队只进行一场比赛），为争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场各队各得一分，负一场得0分．小组赛结束后，小组中名次在前的两个队出线，请你解答下列问题：（1）小组赛结束后，若A队的积分为9分，设A队胜m场，平n场，则的值是多少？（2）小组赛结束后，设5个队的积分总和为x，那么x的范围是什么？（3）小组赛结束后，若A队的积分为10分，A队能出线吗？请你对A队能否出线作出分析．答案：（1）9（2）（3）能解析：（1）即为A的总分，故．（2）共赛场，每场最少产生2个积分，最多产生3个积分，故5个队的积分总和x最小为，最多为，且易知此范围内任何一种情况均可达到．因此，x的范围是．（3）假设A无法出线，则至少有两队的得分不低于10分，即此三队总分至少为分，进而另两队总分最多为分．但另两队之间会比一场，不可能都积0分，矛盾．因此假设不成立，即A一定能出线．题模三具体赛程例1.3.1、甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘．问：小强已经赛了几盘？分别与谁赛过？答案：2；甲，乙解析：用5个点代表5人，实线代表两人比过，虚线则为没比过．甲与每人都比过，这样丁只与甲比过，乙未与丁比，与另三人比过，进而丙只与甲、乙比过．最终得小强与甲、乙比过2盘．例1.3.2、今有6支球队进行单循环赛，每两队仅赛一场，胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束，各队得分由高到低恰好是等差数列（排名相邻两队得分差相等），其中第三名得8分．这次比赛中平局共有几局？答案：3解析：第三名5场得8分，故最多胜2场．假设其只胜1场，则其积分最多为分，矛盾，因此第三名只能为2胜2平1负．共比了场，故所有队总分最多为分．前五名总分为分，进而第六名最多为分，且与第三名差3个公差，只能为2分．这样，所有队总分为分，平局有局．例1.3.3、五个国家足球队A、B、C、D、E进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空．已知第一天比赛的是A与D，C轮空；第二天A与B比赛，E轮空；第三天A与E比赛；第四天A与C比赛；B与C的比赛在B与D的比赛之前进行．那么C与E在哪一天比赛？答案：第五天解析：列表分析，用*表示轮空．题模四积分与名次例1.4.1、A、B、C、D四支球队进行足球比赛，每两队都要比赛一场．已知A、B、C三队的成绩分别是：A队2胜1负，B队2胜1平，C队1胜2负．那么D队的成绩是________胜．答案：解析：D显然有1平．共赛了场，A、B、C共胜5场，再加上1场平局，已经达到6场，因此D没有获胜．例1.4.2、东亚四强赛是由中国、韩国、日本、朝鲜四个国家球队之间进行的一次单循环制比赛，即每支球队都必须分别和其他球队比赛一场．请问：东亚四强赛总共需要比多少场比赛？如果每赢一场得3分，平一场得一分，输一场得0分，那么第一名最多可以的多少分？最少可以得多少分？答案：9；3解析：易知第一名最多为分．若所有比赛均为平局，显然第一名为分．假设某队只得2分、1分或0分，则其至少输了1场，故必有1队至少积3分，因此3分以下不可能为第一名．综上，第一名最多9分，最少3分．例1.4.3、A、B、C、D四支足球队进行一次单循环比赛，赢一场得2分，平局各得1分，输一场不得分．所有比赛结束后，按积分高低排名，A、B两队并列最后一名，C队第二名，D队第一名．那么A队最多得多少分？答案：2解析：共赛了场，各队总积分为分．A队得分必低于平均分分，即最多2分．易知2分是可达的，如D胜A、B，其余比赛均为平局即可．因此，A队最多得2分．例1.4.4、一张有4人参加的国际象棋单循环比赛的积分表如下，每场比赛胜者得3分，负者减1分，平局则两人各得1分．（1）填出表内空格中的分值．（2）排出这次比赛的名次．答案：（1）见下表（2）余张赵陈解析：若a胜b，则b负于a；若a与b战平，则b与a也战平．由此易将表格补全，进而得到名次．例1.4.5、热火队和雷霆队为了争夺NBA总决赛的冠军，斗得难分难解．在今天晚上的比赛中：（1）两队都没有换过人；（2）除了三名队员外，其他队员得分都互不相同．这三名队员都得了22分，但是不在同一个队中；（3）全场最高个人得分是30分，只有三名队员得分不到20分；（4）热火队中，得分最多和得分最少的球员只相差3分；（5）雷霆队每人的得分正好组成一个等差数列．这场比赛__________队胜，他们的比分是___________________．答案：雷霆，解析：综合条件，可以得到雷霆队得分组成的等差数列的公差只能是4分，队员分别得分为30、26、22、18、14，而热火队得分为22、22、21、20、19．所以雷霆队与热火队的比分是110:104．例1.4.6、世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛（即每个队都与同组的其它三个队各赛一场）．每场比赛胜队得3分，败队得0分，若打成平局，则两队各得1分，小组赛全赛完后，总积分高的两个队出线进入下一轮比赛．如果总积分相同，则还要依次按净胜球多少和进球数多少来排序．试问：（1）每组小组赛需要比赛几场？（2）一个队的积分情况有哪几种可能？（3）若某队只积3分，那么该队的输赢情况有哪几种可能（不考虑三场比赛的先后顺序）？（4）若某队只积3分，那么该队有可能出线吗？请简单叙述理由．（5）至少需要积多少分才能保证一定出线？请简单叙述理由．（6）至少需要积多少分才有可能出线？请简单叙述理由．答案：（1）6（2）0至7分及9分均有可能，共9种（3）1胜2负或3平，共2种（4）可能（5）7（6）2解析：（1）场．（2）可能为、、、、、、、、、，共9种．（3），故可能为1胜2负或3平．（4）可能，如6场均为平局，每队均为3分，则必有2只可以出线．（5）7分．9分显然小组第一出现．若为7分，其战胜的两支球队最多为6分，故7分可确保前两名．若1队3负，另3队均为2胜1负，则必有1只积6分的无法出线．（6）2分．若一支球队全胜，另三只均为2平1负，则必有2分的可以出线．而若积1分或0分，其至少输给过2只球队，那两只至少3分，排名一定在前，即此时必无法出线．题模五得失球相关例1.5.1、现有A、B、C共3支足球队举行单循环比赛，即每两队之间都要比赛一场．比赛积分的规定是胜一场积2分，平一场积1分，负一场积0分．图1是一张记有比赛详细情况的表格．但是，经过核对，发现表中恰好有4个数字是错误的，请你把正确的结果填入图2中．答案：<解析：对于A，赛2场，2胜1平0负，这里至少有一个数字有误，如果只有一个数字有误，那有三种可能：（1）赛3场，2胜0负1平；（2）赛2场，1胜0负1平；（3）赛2场，2胜0负0平．对于（1）、（3）两种情况，后面的积分都是错误的，对于（2）这种情况，后面的进球是错误的，所以对A来说，至少有两个数字是错误的．对于C，赛1场，0胜2平1负，这里至少有一个数字有误，如果只有一个数字有误，那有两种可能：（1）赛3场，0胜2平1负；（2）赛1场，0胜0平1负．无论哪种情况，后面的积分都是错误的，所以对C来说，也至少有两个数字是错误的．A和C一共至少有4个错误的数字，而总共只有4个数字错误，所以它们各错了两个，B的数字全部正确．三个球队打单循环，每支球队的比赛场数不多于2．对A来说，如果它的两个错误全部出现在前4个数字上，那么它进0球就是对的，所以它没有赢．这时它最多平2场得2分，这样积分出错，矛盾．因此前4个数字只有一个错误，那它的结果是一胜一平或者两胜．如果A的比赛结果是2胜，那进球数是错的，积分也是错的，一共有3个错误，所以A的比赛结果是一胜一平，另一个错误的数字是进球数．用类似的方法可以写出正确的表格，如图所示．我们还容易看出，A平C而胜了B，B胜了C而负于A，C平了A而负于B．再从C的进球数与失球数就可以判断出三场比赛比分分别是：Avs BAvs CBvs C例1.5.2、A、B、C三队比赛篮球，A队以83∶73战胜B队，B队以88∶79战胜C队，C队以84∶76战胜A队，三队中得失分率最高的出线．一个队的得失分率为，如，A队得失分率为．三队中__________队出线．答案：A解析：这道题没必要算出三队得失分率，得失分率就是衡量一个球队总共是赢了还是输了．A：赢了10分，输了8分，一共赢了2分．B：赢了9分，输了10分，一共输了1分．C：赢了8分，输了9分，一共输了1分，所以A的得失分率最大．随堂练习随练1.1、6支足球队，每两队间至多比赛一场．如果每队恰好比赛了2场，那么符合条件的比赛安排共有_________种．答案：70解析：把六个球队看做六个点，这之间进行连线．则可能形成一个六边形或者两个三角形．如果形成一个六边形，则有种；如果形成两个三角形，则有种．所以共有种．随练1.2、六个人传球，每两人之间至多传一次，那么最多共进行____次传球．答案：13解析：本题是一道比赛场数计数问题，“每两个之间至多传一次”让六个人最多次地传球，则是5+4+3+2+1=15次．但得看是否可传递回去，在传递过程中同两人是否重复．（15条线，代表传球15次）根据一笔画问题：一笔画要求只有2个奇点（不需要回到出发点时）或0个奇点（需要回到出发点时），行不通．所以应减少奇点个数，共有6个奇点，应该去掉两条两条直线，即去掉了4个奇点，剩下2个奇点，可以传递成功，共15-2=13次传球．随练1.3、五支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，那么每支队要赛几场？一共要进行多少场比赛？若这五支球队进行淘汰赛，为了决出冠军，一共需要进行多少场比赛？答案：4；10；4解析：每支队要赛场，共进行场．淘汰赛每场淘汰1支球队，故为了决出冠军，一共需要进行场淘汰赛．随练1.4、6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．请问：（1）各队总分之和最多是__________分，最少是__________分。