(完整版)五年级奥数__二进制问题_讲义

专题二二进制问题

知识要点

用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字表示所有整数的方法被叫做十进制，十进制是最常见的进制，世界上绝大数国家和地区都用这种方法来计数，它的特点是满十进一，退一当十。

除了十进制外，有其它一些进位制，如时间是60进制的，即60秒是一分，60分时1小时。还有三进制、五进制、八进制、十六进制等。它们和十进制计数法的道理实质是一样的。现代计算机上大多用二进制，即满二进一，退一当二，这种进位制只用两个数字0和1，如“1”在二进制中记作1，“2”就要满二进一，记作10，“3”记作11，“4”又一次满二进一，记作100，……。为了区别十进制和二进制，只要在这个数的右下角标上2或10即可。

任何一个十进制正整数N都可以写成各数位上的数字与10的次方数的

=9×103+7×102+5×101+8×100（注：100=1）。乘积的和的形式，如9758

（10）

任何一个二进制数也像十进制数一样，也可以写成各个数位上的数字与

=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1 2的次方数的乘积的和的形式，如110101

（2）

×20

典例评析

化成二进制

例1 将139

（10）

【分析】要将十进制数化为二进制数，只要连续除以2.因为139=69×2+1，即有69个“2”及1个“1”，故应向第二位上进“69”，个位则有1个1；而69=34×2+1，即第二位69又要向第三位进“34”，而本位数字为“1”。但34=17×2，即第三位上的34还应向第四位进“17”，且本位数字为“0”；接下去17=8×2+1，即第四位为1；8=4×2，即第五位为0；4=2×2，即第六位为0；2=2×1，即第七位为0，第八位为1；所以139（10）=10001011（2）。这个过程也可以简算以“短除法”求得。

解因为

的下标10，是为了与其它进位制区别开来，同理说明十进制数139

（10）

10001011

（2）

的下标2是表示的二进制，有时十进制的下标可以省略，但其余的进制，则下标不可省。

特别提出的是，在用“短除法”求得数时，要将每次除以2所得的余数写在被除数的后面，一直得到商是1为止。

例2 将101101

（2）

改成十进制数。

【分析】我们可以思考一下二进制数101101

（2）

上各个数位上的1是怎么进上来的，从右往左数第6位是1，是从第5位上满2才进上去是，这个数可以看做21101，第5位上是2，是因为第4位上满2个2才进过来的，可以看作5101，同理第4位上5，是因为第3位上满5个2才进过来的，应是（11,01），同理得出（22,1），（22,1）得45。对于一个十进制数，如果是7385，可以写成7385=7×103+3×102+8×101+5×100。同理二进制也可以写成这种形式，只不过要将上述形式中的数字换成2的次方数与0或1的乘积，就没必要像上述改写那样麻烦了。

解 101101

（2）

=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1

=25+23+22+1

=32+8+4+1

=45

说明对于任意一个二进制数a

m a

m-1

a

m-2

…a

2

a

1(2)

改写成十进制数，都有如下

的方法：a

m a

m-1

a

m-2

…a

2

a

1(2)

=a

m

×2m-1+a m-1×2m-2+…a

2

×21+a

1

×20。

例3 计算：10110

（2）+1010

（2）

。

【分析】二进制数的加减可以用竖式来计算解 10110

（2）

+ 1010

（2）

100000

（2）

10110

（2）+1010

（2）

=100000

（2）

说明在将相同数位上的数相加时，与十进制加法有所不同，十进制加法中满十进一，而二进制加法中是满二进一，本题中从右往左第2位开始，便连续出现了4次“满二进一”。

例4 计算1101101（2）-1011110（2），并要求验算。

【分析】二进制的减法也可以用竖式来计算，并且可以用加法来检验结果是否正确。。

解 1101101

（2） 1011110

（2）

-1011110

（2）验算 + 1111

（2）

1111

（2） 1101101

（2）

说明在计算二进制数的减法时，与十进制的减法也是有所区别的，十进制减法计算中，本位不够减时，是向前一位借一当十，而在二进制数减法当中，出现不够减时时借一当二。如在本题中，从右往左第2位不够减时向前一位借一当二，得2-1=1，其余数位上则依次类推。为了计算的正确，用减法的逆运算作适当检验。

例5 计算：11101

（2）×11

（2）

【分析】二进制数的乘法计算，同整数乘法一样，也可以列竖式计算，在计算过程当中要注意两点：（1）1乘任何数仍得原数；（2）0乘任何数都得零。。

解 11101（2）×11（2）=1010111（2）

11101

（2）

× 11

（2）

11101

（2）

11101

（2）

1010111

（2）

说明通过两次乘法得出乘积后，用加法求出结果时，要按照二进制数加法的方法计算出结果。

例6 计算：1001011

（2）÷1111

（2）

。

【分析】二进制数的除法同十进制数的除法一样，也可以用竖式计算，但在除的过程当中，要综合运用二进制数的加、减、乘法的计算方法辅助除法计算。

解 1001011（2）÷1111（2）=101（2）

巩固练习

1.将下列二进制数化成十进制的数

（1）1101101

（2）

解：原式＝1×26+1×25+1×23+1×22+1

＝64+32+8+4+1

＝109

（2）111101101

（2）

解：原式＝1×28+1×27+1×26+1×25+1×23+1×22+1

＝256+128+64+32+8+4+1

＝493

2.将下列十进制数化成二进制数。

（1）28

解：短除法可得：11100

（2）

（2）63

解：短除法可得：111111

（2）

3．计算

（1）1100110

（2）+10011

（2）

1100110

（2） + 10011

（2） 1111001

（2）

（2）1010011

（2）-11011

（2）

（要求验算）

解： 1010011

（2） - 11011

（2）