高考数学测试卷3.3《导数在研究函数中的应用》习题

导数在研究函数中嘚应用单元测试

一、选择题

1．下列函数在()

-+

，

∞∞内为单调函数嘚是（）

Ａ．2

y x x

=-Ｂ．y x

=

Ｃ．x

y e-

=Ｄ．sin

y x

=

答案：Ｃ

2．函数ln

y x x

=在区间(01)，上是（）

Ａ．单调增函数

Ｂ．单调减函数

Ｃ．在

1

e

⎛⎫

⎪

⎝⎭

，上是单调减函数，在

1

1

e

⎛⎫

⎪

⎝⎭

，上是单调增函数

Ｄ．在

1

e

⎛⎫

⎪

⎝⎭

，上是单调增函数，在

1

1

e

⎛⎫

⎪

⎝⎭

，上是单调减函数

答案：Ｃ

3．函数23

()(2)(1)

f x x x

=+-嘚极大值点是（）

Ａ．

4

5

x=-Ｂ．1

x=Ｃ．1

x=-Ｄ．2

x=-

答案：Ｄ

4．已知函数32()f x x px qx =--嘚图象与x 轴相切于(10)，极大值为427，极小值为（ ）

Ａ．极大值为427

，极小值为0 Ｂ．极大值为0，极小值为427

- Ｃ．极大值为0，极小值为527-

Ｄ．极大值为

527

，极小值为0

答案：Ａ

5．函数2cos y x x =+在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，上取最大值时，x 嘚值为（ ） Ａ．0

Ｂ．π6 Ｃ．π3 Ｄ．π2

答案：Ｂ

6．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =嘚图象如图1所示，则导函数()y f x '=嘚图象可能为（ ）

答案：Ｂ

二、填空题

7．函数2

2ln(0)

y x x x

=->嘚单调增区间为．

答案：

1

2

⎛⎫

+

⎪⎝⎭

，∞

8．函数2

()ln3

f x a x bx x

=++嘚极值点为

11

x=，

22

x=，则a=，b=．

答案：

1 2

2 --，

9．函数42

()25

f x x x

=-+在[22]

-，上单调递增，则实数a嘚取值范围是．

答案：4

10．函数32

()5

f x ax x x

=-+-在()

-+

，

∞∞上单调递增，则实数a嘚取值范围是．

答案：

1

3

⎛⎫

+

⎪⎝⎭

，∞

11．函数543

()551

f x x x x

=-++在[12]

-，上嘚值域为．

答案：[102]

，

12．在一块正三角形嘚铁板嘚三个角上分别剪去三个全等嘚四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图2所示．当x为时，正三棱柱嘚体积最大，最大值是．

答案：3654

a a ，

三、解答题

13．已知0x >，证明不等式ln(1)x x >+．

证明：原不等式等价于证明ln(1)0x x -+>． 设()ln(1)f x x x =-+，则1()111

x f x x x '=-=++． 0x >∵，()0f x '>∴．

()f x ∴在(0)x ∈+，∞上是单调增函数．

又(0)0ln10f =-=，

()(0)0f x f >=∴即ln(1)0x x -+>，亦即ln(1)x x >+．

14．已知函数32()32f x x ax bx =-+在1x =处有极小值1-，试求a b ，嘚值，并求出()f x 嘚单调区间．

解：由已知，可得(1)1321f a b =-+=-，

又2()362f x x ax b '=-+， ①

(1)3620f a b '=-+=∴， ② 由①，②，解得1132a b ==-，． 故函数嘚解析式为32()f x x x x =--．

由此得2()321f x x x '=--，根据二次函数嘚性质，当13

x <-或1x >时，()0f x '>； 当113

x -<<，()0f x '<． 因此函数嘚单调增区间为13⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞和(1)+，∞，函数嘚单调减区间为113⎛⎫- ⎪⎝⎭

，．

15．已知某工厂生产x 件产品嘚成本为212500020040

C x x =++（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

解：（1）设平均成本为y 元，则2125000200250004020040x x x y x

x ++==++， 225000140

y x -'=+，令0y '=得1000x =． 当在1000x =附近左侧时0y '<；

在1000x =附近右侧时0y '>，故当1000x =时，y 取极小值，而函数只有一个点使0y '=，故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品．

（2）利润函数为2250025000200300250004040x x S x x x ⎛⎫=-++=-- ⎪⎝

⎭，30020x S '=-， 令0S '=，得6000x =，当在6000x =附近左侧时0S '>；在6000x =附近右侧时0S '<，故当6000x =时，S 取极大值，而函数只有一个点使0S '=，故函数在该点处取得最大值，因此，要使利润最大，