Matlab课件——第5章 数值计算
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matlab第五章函数、导数与积分等
第五章 函数、导数与积分等 的数值计算
函数值、多项式、导数、定积分、 二重积分、非线性方程（组）、级 数的计算
1.函数值的计算
例1 计算y sin x sin 2x sin 3x在x 处的函数值。
6
解：
x=pi/6; y=sin(x)+sin(2.*x)+sin(3.*x); x,y x = 0.5236 y = 2.3660
r = []
1 x4 1
1 4
(
1 x 1
1 x 1
2
x2
) 1
将简单分式之和并为有理分式
例6
a=[2.6667,0.3333];
b=[-2,1];r=[1,-1];
[p,q]=residue(a,b,r)
p=
1.0000
0
0
q=
1 1 -2
-0.0001
3.导数的数值计算
[fx,fy]=gradient(f, x, y) yx=diff(y)./diff(x)
ex2 2dx
解：
function y=f(x)
y=exp(-x.^2/2); [S2,nf]=quad('simp12',-8,8) S2 = 2.5066 nf = 105
Newton Cotes法：[S,nf]=quad8(‘F’,a,b,tol)
2.多项式的计算
多项式的表示法：p=[1,0,-12,5] 多项式在给定点的值：p=[4,-3,2,1];
y=polyval(p,5) y = 436 多项式方程求根:roots p1=[1,0,-12,5];p2=[1,0,-12,20];x1i=roots(p1) x1i = -3.6562 3.2332 0.4230 x2i=roots(p2) x2i = -4.1072 2.0536 + 0.8075i 2.0536 - 0.8075i
函数值、多项式、导数、定积分、 二重积分、非线性方程（组）、级 数的计算
1.函数值的计算
例1 计算y sin x sin 2x sin 3x在x 处的函数值。
6
解：
x=pi/6; y=sin(x)+sin(2.*x)+sin(3.*x); x,y x = 0.5236 y = 2.3660
r = []
1 x4 1
1 4
(
1 x 1
1 x 1
2
x2
) 1
将简单分式之和并为有理分式
例6
a=[2.6667,0.3333];
b=[-2,1];r=[1,-1];
[p,q]=residue(a,b,r)
p=
1.0000
0
0
q=
1 1 -2
-0.0001
3.导数的数值计算
[fx,fy]=gradient(f, x, y) yx=diff(y)./diff(x)
ex2 2dx
解：
function y=f(x)
y=exp(-x.^2/2); [S2,nf]=quad('simp12',-8,8) S2 = 2.5066 nf = 105
Newton Cotes法：[S,nf]=quad8(‘F’,a,b,tol)
2.多项式的计算
多项式的表示法：p=[1,0,-12,5] 多项式在给定点的值：p=[4,-3,2,1];
y=polyval(p,5) y = 436 多项式方程求根:roots p1=[1,0,-12,5];p2=[1,0,-12,20];x1i=roots(p1) x1i = -3.6562 3.2332 0.4230 x2i=roots(p2) x2i = -4.1072 2.0536 + 0.8075i 2.0536 - 0.8075i
MATLAB第5章数值计算PPT教案学习
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5.3 数据拟合
二、最小二乘拟合
1. 线性最小二乘拟合 对于线性数学模型的参数估计，
可以用形如Y=Ax+b的一阶多项式 拟合来估计参数。某些非线性模型 经过变量替换也可以转换为线性模 型，也可以采用第24线页/共4性3页 估计方法。
【调用格式】
5.3 数据拟合
例5.3.2：对于非线性数学模型
例5.1.3 求以下 3个方程组的 4x 6y 3z 13
I： 2x 3y 4z 9
解5x 2 y 3z 10
4x 6 y 3z 13
II：
2x 3y 4z 9
4x 6 y 13
III：
2x 3y 9
5x 2 y 10
第9页/共43页
5.2 函数分析
一、函数的零点
【调用格式】
s = svd(A) [U , S , V] = svd(A)
求矩阵A的奇异值，s为由奇异值 构成的向量 矩阵A的奇异值分解
第5页/共43页
5.1 线性代数
2.矩阵结构特征的奇异值描述
矩阵的奇异值可以描述矩阵的结构特征 。有关 矩阵结 构特征 的MAT LAB 函数有如下几种。
r = rank(A, tol)
q = quadl(fun, a, b, tol, trace)
以采用本节介绍的相关函数，也
可以采用样条积第17页分/共43法页 ，还可以采 用符号积分方法。
5.2 函数分析
【说明】
➢ ➢ ➢ ➢
逐点画出被积函数。 ➢
fun为被积函数，可以用字符串、内联 函数和 函数M 文件的 函数 a和b为积分变量的积分上下限，为常 数数值 。 tol为绝对误差，是一个标量，可以省 略。 trace为跟踪标志，当trace为非零值时 ，随积 分进程 会
《MATLAB的数值计算》课件
误差的传播规律
误差的传播遵循一定的规律，可以通过误差分析 来预测和控制误差的大小和影响。
数值计算的稳定性分析
稳定性的定义
01
如果一个数值方法的解在舍入误差的影响下保持稳定，则称该
方法具有稳定性。
不稳定性的表现
02
不稳定的数值方法可能导致解的振荡、发散或失去物理意义。
稳定性分析的方法
03
稳定性分析可以通过数值实验、数学分析和图形绘制等方法来
GPU加速计算概述
GPU加速计算是一种利用图形处 理器（GPU）进行通用计算的技 术。通过将计算任务分配给GPU 处理，可以显著提高程序的运行 速度。在Matlab中，GPU加速计 算可以利用Matlab的GPU数组和 GPU函数实现。
GPU加速计算的优点
GPU加速计算可以显著提高程序 的运行速度，特别是对于大规模 数据和高维度的计算任务。由于 GPU具有大量的并行处理单元， 可以同时处理多个数据，因此 GPU加速计算在处理大规模数据 时具有很高的效率。
数据分析和机器学习
Matlab提供了大量的数据分析工具和机器学习算法库。
控制系统设计
Matlab具有强大的控制系统设计和分析功能。
信号处理和通信
Matlab在信号处理和通信领域有广泛应用。
02
CATALOGUE
数值计算基础
数值计算的基本概念
数值计算的定义
数值算的应用领域
数值计算是使用数学方法对实际问题 进行近似求解的过程，涉及数学建模 、算法设计、编程实现等方面。
数值计算广泛应用于科学、工程、经 济和社会等领域，是现代科学和技术 发展的重要支撑。
数值计算的特点
数值计算具有高效性、精确性和可重 复性，能够解决许多实际问题，如物 理模拟、金融分析、数据处理等。
误差的传播遵循一定的规律，可以通过误差分析 来预测和控制误差的大小和影响。
数值计算的稳定性分析
稳定性的定义
01
如果一个数值方法的解在舍入误差的影响下保持稳定，则称该
方法具有稳定性。
不稳定性的表现
02
不稳定的数值方法可能导致解的振荡、发散或失去物理意义。
稳定性分析的方法
03
稳定性分析可以通过数值实验、数学分析和图形绘制等方法来
GPU加速计算概述
GPU加速计算是一种利用图形处 理器（GPU）进行通用计算的技 术。通过将计算任务分配给GPU 处理，可以显著提高程序的运行 速度。在Matlab中，GPU加速计 算可以利用Matlab的GPU数组和 GPU函数实现。
GPU加速计算的优点
GPU加速计算可以显著提高程序 的运行速度，特别是对于大规模 数据和高维度的计算任务。由于 GPU具有大量的并行处理单元， 可以同时处理多个数据，因此 GPU加速计算在处理大规模数据 时具有很高的效率。
数据分析和机器学习
Matlab提供了大量的数据分析工具和机器学习算法库。
控制系统设计
Matlab具有强大的控制系统设计和分析功能。
信号处理和通信
Matlab在信号处理和通信领域有广泛应用。
02
CATALOGUE
数值计算基础
数值计算的基本概念
数值计算的定义
数值算的应用领域
数值计算是使用数学方法对实际问题 进行近似求解的过程，涉及数学建模 、算法设计、编程实现等方面。
数值计算广泛应用于科学、工程、经 济和社会等领域，是现代科学和技术 发展的重要支撑。
数值计算的特点
数值计算具有高效性、精确性和可重 复性，能够解决许多实际问题，如物 理模拟、金融分析、数据处理等。
MATLAB的数值运算ppt课件
注意： 点不能遗漏， .*间不能随意加空格符。 两组数的大小必须相等。 例如：
3）矩阵除与数组除
矩阵除：
A\B=inv(A)*B B/A=B*inv(A) A\B≠A/B
矩阵右除：运算符为“/”。如：“X=A/B”是指 方 程X*B=A的解 。 要求：两矩阵的列数必须相等 矩阵左除的运算符为“\”。如： “X=A\B”是指 方 程A*X =B的解。 要求：两矩阵的行数必须相等
Load：用户在使用MATLAB的时候将以MAT文
件保存的矩阵重新装载到MATLAB的工 作空间中。命令格式为：
load 路径\文件名
2）矩阵的修改
直接修改：
用键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修 改的矩阵元素上即可修改。
指令修改：
利用矩阵元素的下标 A(,)= 来修改。
注意： 例如：
MATLAB的数 值运算
本节课将介绍Matlab数值运算的基本知 识，还须注重理论与实际的结合，主要介 绍以下几个方面： 矩阵的创建与保存 向量的生成 矩阵运算与数组运算 多项式运算 线性方程组
1. 矩阵的创建、保存与修改
矩阵: 是线性代数的基本运算单元。 通常矩阵是指含有M行N列数值的矩 形结构。 矩阵中的元素可以是实数或复数。复 数可用特殊函数i，j 输入 。 例如：a=[1 2 3;4 5 6] x=[2 pi/2;sqrt(3) 3+5i]
•
还有伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵、 对角矩阵、范德蒙等矩阵的创建，就不一 一介绍了。 注意：
•Matlab严格区分大小写字母，因 此a与A是两个不同的变量。 •Matlab函数名必须小写。
利用外部数据文件（*.mat）保存和装载 矩阵： Save：将以定义过的矩阵（变量）以MAT文件
MATLAB基础及应用课件(下)第5-8章
图5-4中间的下拉框可以选择拟合算法，可以 试用多种拟合算法，以找出最佳拟合图形。例 如选择Smoothing Spline（平滑样条函数）， 观察Curve Fitting Tool窗口，如图5-5所示。
图5-5 拟合曲线
第5章 MATLAB数值计算
第5章 MATLAB数值计算
5.4.4 图形窗口的拟合和统计工具
第5章 MATLAB数值计算
在图5-6中的“绘制拟合图”中选择拟合方 法（可同时选多种）；
“显示方程”复核框可以选择是否在图形上 显示拟合多项式；
“绘制残差图”复核框选中时会产生第二幅 图形，该图形显示了每一个数据点与计算出来的 拟合曲线之间的距离。
例如选择“线性”和“三次方”拟合方法， 同时选中两个复核框，产生图形如图5-7所示。
MATLAB的图形窗口中提供了简单方便的数 据拟合和基本统计工具。
数据拟合工具可以对所绘制的曲线使用多种 方法进行拟合；
基本统计工具可提供最小值、最大值、平均 值、中位值、标准差、数据范围等统计运算。
1．数据拟合工具
第5章 MATLAB数值计算
使用数据拟合工具首先需要创建一幅图形，在 命令行窗口输入以下程序：
两个矩阵x和y的相关系 数
第5章 MATLAB数值计算
5.2 数值运算 一、 多项式
名称
创建多项 式
求根
求值
多项式乘 法
多项式除 法
多项式求 导
函数格式 P=[ a0 a1 a2 …an-1
an] P=poly(A) roots(P) polyval(P，A)
polyvalm(P,m)
说明
P为多项式（以下各函数中P均为多项式），a0 a1 a2 … an-1 an为按降幂顺序排列的多项式系数 A为向量。创建以向量A中元素为根的多项式
图5-5 拟合曲线
第5章 MATLAB数值计算
第5章 MATLAB数值计算
5.4.4 图形窗口的拟合和统计工具
第5章 MATLAB数值计算
在图5-6中的“绘制拟合图”中选择拟合方 法（可同时选多种）；
“显示方程”复核框可以选择是否在图形上 显示拟合多项式；
“绘制残差图”复核框选中时会产生第二幅 图形，该图形显示了每一个数据点与计算出来的 拟合曲线之间的距离。
例如选择“线性”和“三次方”拟合方法， 同时选中两个复核框，产生图形如图5-7所示。
MATLAB的图形窗口中提供了简单方便的数 据拟合和基本统计工具。
数据拟合工具可以对所绘制的曲线使用多种 方法进行拟合；
基本统计工具可提供最小值、最大值、平均 值、中位值、标准差、数据范围等统计运算。
1．数据拟合工具
第5章 MATLAB数值计算
使用数据拟合工具首先需要创建一幅图形，在 命令行窗口输入以下程序：
两个矩阵x和y的相关系 数
第5章 MATLAB数值计算
5.2 数值运算 一、 多项式
名称
创建多项 式
求根
求值
多项式乘 法
多项式除 法
多项式求 导
函数格式 P=[ a0 a1 a2 …an-1
an] P=poly(A) roots(P) polyval(P，A)
polyvalm(P,m)
说明
P为多项式（以下各函数中P均为多项式），a0 a1 a2 … an-1 an为按降幂顺序排列的多项式系数 A为向量。创建以向量A中元素为根的多项式
MATLAB经典教程(全)PPT课件
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信号时域分析和频域分析
时域分析
研究信号随时间变化的规律，包括波形、幅度、频率、相位等。
频域分析
将信号转换为频域表示，研究信号的频谱结构和频率特性，包括幅 度谱、相位谱、功率谱等。
时域与频域关系
时域和频域是信号分析的两个方面，它们之间存在对应关系，可以 通过傅里叶变换相互转换。
数字信号处理基础
数字信号表示
MATLAB工作环境与界面
MATLAB工作环境
包括命令窗口、工作空间、命令历史窗口、当 前文件夹窗口等。
界面介绍
详细讲解MATLAB界面的各个组成部分，如菜 单栏、工具栏、编辑器窗口等。
基本操作
介绍如何在MATLAB环境中创建、保存、运行脚本和函数，以及如何进行基本 的文件操作。
基本数据类型与运算
数据统计描述性分析
描述性统计量
介绍均值、中位数、众数、方差、标准差等常见 描述性统计量的计算方法和意义。
数据分布形态
通过直方图、箱线图等图形展示数据的分布形态 ，帮助用户了解数据的整体特征。
数据间关系
探讨协方差、相关系数等统计量在揭示数据间关 系方面的应用。
数据可视化方法
二维图形绘制
详细讲解MATLAB中二维图形的绘制方法，包括线图、散点图、 柱状图等。
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
设A为n阶方阵，若存在数λ和n维非零向量x，使得Ax=λx ，则称λ为A的特征值，x为A的对应于特征值λ的特征向量 。
特征值与特征向量的性质
包括特征值的和等于方阵对角线元素之和、特征值的积等 于方阵的行列式等性质。
MATLAB求解
使用MATLAB内置函数`eig`求解方阵的特征值和特征向量 。
2.3 MATLAB数值计算31页PPT文档
例2.3.4 求矩阵A的每列及每行的最大和最小元素， 并求整个矩阵的最大和最小元素。
命令如下：
A=[13,-56,78;25,63,-235;78,25,563;1,0,-1];
max(A)
%求每列最大元素
min(A)
%求每列最小元素
max(A,[],2) %求每行最大元素
min(A,[],2) %求每行最小元素
x
y
z
5
b
-
2
6
Ax b x A 1b
命令如下： A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27]; b=[5,–2,6]'; x=inv(A)*b
一般情况下，用左除比求矩阵的逆的方法更有效，即
x=A\b
3. 方阵的行列式
求方阵A所对应的行列式的值的函数是 det(A) 。 例5.7 用克莱姆(Cramer)方法求解线性方程组。
max(max(A)) %求整个矩阵的最大元素
min(min(A)) %求整个矩阵的最小元素
2. 求矩阵的平均值和中值
平均值：求矩阵和向量元素的平均值的函数是 mean 。 mean(x) 返回向量x所有元素的算术平均值。 mean(A,dim) 当dim是1时，返回一个行相量，其第i个元 素是A的第i列元素的算术平均值；当dim是2时，返回一个 列相量，其第i个元素是A的第i行元素的算术平均值。dim 的省略值为1。
346 3.3333 3 6 1 5.3333 5 2 9 4.3333 1 4 8
中值：是指在数据序列中其值的大小恰好处在中间的元素。 求中值的函数是 median 。
1) a=[1,2,3,4,5] ; median(a) = 3 2) b=[1,2,3,4,5,6] ; median(b) = 3.5000
《matlab数值计算》课件
线性代数
矩阵运算
矩阵和向量的基本运算，矩阵 特征值和特征向量的使用。
线性方程组
线性方程组求解的常用方法， 如高斯消元法、LU分解等。
常微分方程组
利用数值计算方法求解常微分 方程组，理解求解过程和解的 精度。
常微分方程
1
方程求解
了解数值计算中求解常微分方程几种方法及其原理。
2
常微分方程的应用
各领域应用示例：生物学，物理学，化学、流体力学等领域中的ODEs
《Matlab数值计算》PPT 课件
本课程将会带您了解Matlab数值计算的基础知识和技巧，让您轻松掌握计算 工具的应用。
概述
什么是Matlab？
为什么学习Matlab？
Matlab是一款数值计算软件，用 于科学计算、工程计算和数据分 析。它可以进行各种各样的计算， 从简单的加减乘除到高阶算法和 模型求解。
3
探索未知领域
课程结束后学生可以探索其他领域的ODEs
Matlab受到许多领域的欢迎，包 括工程、科学、统计、金融、数 据分析和机器学习等。学习 Matlab可以更好地应用于工业界 和学术研究中。
Matlab的优势
Matlab具有高效的数据分析和可 视化能力，易于编程和操作，具 有强大的算法和功能，在大多数 数学建模问题中都有极佳的性能。
Matlab基础
数值解法分类
数值计算中常用的四类数值 方法：插值法、拟合法、数 值微分和数值积分。
算法优化
在实际计算中，优化算法的 性能非常重要，如何通过算 法优化实现更高效的计算。
插值与拟合
1
插值法
线性插值、多项式插值、样条插值等，
拟合法
2如何找到合适的插值方Fra bibliotek来近似曲线。最小二乘法、非线性拟合等，如何通过
MatlabPPT课件
析、可视化等。
发展历程
02
从1980年代初期推出至今，不断更新迭代，增加功能和性能。
影响力
03
广泛应用于科研、教育、工程等领域，成为科学计算和工程分
析的重要工具。
Matlab应用领域与优势
应用领域
信号处理、图像处理、控制系统、通 信系统、金融建模等。
优势特点
高效的数值计算能力，丰富的函数库 和工具箱，强大的可视化功能，支持 多种编程范式。
数字通信系统
数字通信系统传输数字信号，包括基带传输和频带 传输。数字通信具有抗干扰能力强、易于加密和集 成化等优点。
通信系统性能指标
包括有效性、可靠性和经济性等指标，用于 评价通信系统的性能优劣。
Matlab在信号处理中的应用
信号生成与可视化
信号分析与处理
通信系统建模与仿真
Matlab与其他软件接口
三维图形视角与光照控制
view、camlight等函数用于调整三 维图形的视角和光照效果。
三维图形标注与色彩控制
使用xlabel、ylabel、zlabel等函数 添加坐标轴标签，通过colormap等 函数设置色彩映射。
图像处理基础操作
图像读取与显示
imread、imshow等函数用于读 取和显示图像文件。
控制系统的分类
根据控制信号的性质可分为模拟 控制系统和数字控制系统；根据 系统结构可分为开环控制系统和 闭环控制系统。
传递函数模型建立与转换
传递函数的定义
描述线性定常系统动态特性的数 学模型，表示系统输出量与输入 量之间关系的函数。
传递函数的建立
通过系统微分方程或差分方程， 消去中间变量，得到描述系统输 入输出关系的传递函数。
数值计算方法课程PPT(运用Matlab)
数与数组的点幂
例：x=[1 2 3]; y=[4 5 6];
x.^y =[1^4,2^5,3^6]=[1,32,729]
x.^2 =[1^2,2^ห้องสมุดไป่ตู้,3^2]=[1,4,9] 2.^x = ?
矩阵的“除法”
矩阵的除法：/、\ 右除和左除
若 A 可逆方阵，则
B/A <==> A 的逆右乘 B <==> B*inv(A) A\B <==> A 的逆左乘 B <==> inv(A)*B 通常，矩阵除法可以理解为
X=A\B <==> A*X=B X=B/A <==> X*A=B
当 A 和 B 行数相等时即可进行左除 当 A 和 B 列数相等时即可进行右除
例：设A、B满足关系式：AB＝2B+A,求B。
其中A=[3 0 1; 1 1 0; 0 1 4]。
向量特殊运算介绍
min max mean 最小值 最大值 平均值 sum prod std 总和 总乘积 标准差
format 只改变变量的输出格式，但不会影响变量的值！
几个小技巧
Matlab 的命令记忆功能：上下箭头键
可以先输入命令的前几个字符，再按上下键缩小搜索范围
, then f (2) ?
矩阵
Matlab 的操作对象是 矩阵 矩阵的直接输入
例：>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
矩阵用方括号“[ ]”括起 矩阵同一行中的元素之间用空格或逗号分隔 矩阵行与行之间用 分号分开 直接输入法中，分号可以用回车代替
清除当前工作空间中的变量
clear
MATLAB-第五章
例如: factor： 因式分解
>>factor(x^3-6*x^2+11*x-6)
第五章 MATLAB的符号计算
五、符号运算
1 初等代数运算 （3）符号表达式化简（page48，表3-4）
例如: simplify: 对表达式化简
>>simplify(x^3-6*x^2+11*x-6) >>simplify(sin(x)^2 + cos(x)^2) >>simplify(exp(c*log(sqrt(a+b)))) >>simplify((x^2+5*x+6)/(x+2)) >>simplify(sqrt(16))
第五章 MATLAB的符号计算
三、符号表达式的定义
建立符号表达式有以下2种方法： (1)用sym函数建立符号表达式。 >> f=sym('a*x^2+b*x+c'); (2) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。 >> syms x y a b c >> f=a*x^2+b*x+c (?)利用单引号来生成符号表达式。 >> f='a*x^2+b*x+c'
第五章 MATLAB的符号计算
五、符号运算
1 初等代数运算 （2）符号表达式的加减乘除幂次方运算
例如： >> f1=sym('1/(a-b)'); >> f2=sym('2*a/(a+b)'); >> f3=sym('(a+1)*(b-1)*(a-b)');
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P为多项式系数向量；
C为不定积分常数项，为标量。
polyint(P)，假设 C=0.
返回值为多项式不定积分的系数向量。
5.多项式的根和由根创建多项式
（1）多项式的根
roots函数用于求多项式的根，其用法如下： r = roots(C) 返回以C向量为系数的多项式的所有根r。
实例
• 求方程 3*x^3+0.5x^2+7*x-0.09=0的根。
4.多项式的微积分
（1）多项式的微分
polyder函数计算多项式的微分 polyder(P)，返回多项式P微分的系数向量；
polyder(A,B)，返回多项式A*B微分的系数向量；
[Q,D]=polyder(B,A)，返回多项式B/A微分的系
数向量。
实例
• 如何用MATLAB对一个已知的函数： y=3*x^3+0.5x^2+7*x-0.09进行求导，并 分别作出求导前和求导后的相应曲线。
B(x) R(1) R(2) R(n) ---- = -------- + -------- + ... + -------- + K(x) A(x) x - P(1) x - P(2) x - P(n)
7.多项式曲线拟合
已知在点集上的函数值,构造一个解析函数(其图形 为一曲线)使在原离散点上尽可能接近给定的值，
8.多项式曲线拟合图形用户接口
曲线拟合的图形用户接口可通过图形窗口的
【Tools】菜单中【Basic Fitting】选项启动。
>> x=0:0.1:10; >> y=0.25*x+20*sin(x); >> plot(x,y,'ro')
最小二乘法曲线拟合
• 利用lsqcurvefit函数进行任意表达式曲线拟合 • 原理： min sum {(fun(x,xdata)-ydata).^2}
• P——多项式系数行向量
• X——代入多项式的值
其意义为：
当P为长度为n+1的行向量 [p1,p2, ...,pn,pn+1] 时，
Y = p1xn + p2xn-1 + ... + pnx + pn+1
例子：
>> P=1:6, poly2str(P,'x'), x=5, polyval(P,x) P= 1 2 3 4 5 6 ans = x^5 + 2 x^4 + 3 x^3 + 4 x^2 + 5 x + 6 x= 5 ans = 4881
这一过程称为曲线拟合。
polyfit函数采用最小二乘法对给定数据进行多项式 拟合，其用法如下： • p=polyfit(x,y,n) • [p,s]= polyfit(x,y,n) • 说明：x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为 幂次从高到低的多项式系数向量p。x必须是单调 的。矩阵s用于生成预测值的误差估计。
例子：
>> P=1:6, poly2str(P,'x'), x=[2 3;4 5], polyvalm(P,X) P= 1 2 3 4 5 6 ans = x^5 + 2 x^4 + 3 x^3 + 4 x^2 + 5 x + 6 x= 2 3 4 5 >> x^5 + 2*x^4 + 3*x^3 + 4*x^2 + 5*x + 6 ans = 8256 10881 ans = 8256 10887 14508 19137 14514 19137
• method用于指定插值的方法，有‘nearest’, ‘linear’, ‘spline’,
‘pchip’, ‘cubic’, ‘v5cubic’等方法。各种插值方法在速度 上,Nearest最快,然后是Linear再到Cubic,最慢的是 Spline.但是精度和曲线的平滑度恰好相反,Nearest甚至不
连续~~系统默认的是Linear。
内插运算与外插运算
(1)只对已知数据点集内部的点进行的插值运算称 为内插，可比较准确的估测插值点上的函数值；
(2)当插值点落在已知数据集的外部时的插值称为 外插，要估计外插函数值很难。 y=interp1([x,]y,xi,[method],['extrap'],[extrapval]) []代表可选。 • MATLAB对已知数据集外部点上函数值的预测都 返回NaN，但可通过为interp1函数添加'extrap'参 数指明用于外插，MATLAB的外插结果偏差较大。
>> P=[3 0.5 7 -0.09], x=roots(P) P= 3.0000 0.5000 7.0000 -0.0900 x= -0.0898 + 1.5256i -0.0898 - 1.5256i 0.0128
（2）由根创建多项式
poly函数实现由根创建多项式，其用法如下：
p = poly(r)，输入变量r是多项式的所有根， 返回值为多项式的系数向量，与roots函数是 两个可逆的过程；
3.多项式乘法和除法
deconv函数进行反卷积(deconvolution)和多项式
除法运算， [Q,R] = deconv(B,A)
对向量A和B进行反卷积运算，返回结果为向量Q和余量 R; 如果A和B是多项式的系数向量，它们的反卷积相当于两 个多项式相除，A是被除数，B是除数，Q是商，R是余 数。
例子：
>> P=1:6, poly2str(P,'x'), x=[2 3;4 5], polyval(P,x) P= 1 2 3 4 5 6 ans = x^5 + 2 x^4 + 3 x^3 + 4 x^2 + 5 x + 6 x= 2 3 4 5 ans = 120 543 1818 4881
问题：已知相渗曲线（如图所示），原油的密度为0.9，粘 度为9，地层水的密度为1，粘度为0.45，计算一定饱和度 时的含水率。
6.多项式部分分式展开
residue函数将多项式之比按部分分式展开， 其用法如下：
[R,P,K] = residue(B,A) ，求多项式B/A的 部分分式展开(分解) [B,A]=residue(R,P,K)，从部分分式得到多 项式向量。
6.多项式部分分式展开
[R,P,K] = residue(B,A)
Y = polyval(P,X),
把矩阵或向量X中的每个元素逐个代入多项式中进行
计算；
Y = polyvalm(P,X)，把矩阵X作为整体代入多项式 中进行计算，X必须为方阵。
例子：
>> P=1:6, poly2str(P,'x'), x=[2 3;4 5], polyval(P,x) P= 1 2 3 4 5 6 ans = x^5 + 2 x^4 + 3 x^3 + 4 x^2 + 5 x + 6 x= 2 3 4 5 ans = 120 543 1818 4881
实 例
Sw 0.290 0.356 0.449 0.496 0.543 0.590 0.684 0.730 0.780 Kro Krw 1 0.000 0.63 0.017 0.35 0.069 0.27 0.113 0.2 0.165 0.133 0.227 0.05 0.372 0.01 0.456 0 0.546
Matlab提供了下列关于多项式的函数：
1.多项式表示法
MATLAB采用行向量表示多项式系数，多 项式系数按降幂排列。
poly2str函数将多项式系数向量转换为完 整形式。
>> poly2str([1 0 2],'s') ans = s^2 + 2
2.多项式求值
polyval函数计算多项式的值，其用法为： Y = polyval(P,X),
plot(xdata,ydata,'ro',xdata,yfit) legend('ydata', 'yfit')
5.2 插 值 运 算
插值运算是根据数据的分布规律，找到一个函数表达 式可以连接已知的各点，并用此函数表达式预测两点
之间任意位置上的函数值。
5.2.1 一维插值
5.2.2 二维插值
插值是根据已知输入/输出数据集和当前输 入估计输出值。MATLAB提供大量的插值函 数，如下表所示。
p = poly(A)，输入变量A是方阵，返回值为A 的特征多项式的系数向量。
6.多项式部分分式展开
• 部分分式展开又叫部分分式分解，是将有理函
数分解成许多次数较低有理函数和的形式，来降 低分子或分母多项式的次数，
• 例如：
• 分解后的分式需满足以下条件：
–分式的分母需为不可约多项式；
–分式的分子多项式次数需比其分母多项式次数要低。
第五章 数值计算
目 录
5.1 多项式运算
5.2 插 值 运 算 5.3 数 据 分 析 5.4 功 能 函 数
5.5 微分方程组数值解
习 题
5.1 多项式运算
1.多项式Matlab表示法 2.多项式求值
3.多项式乘法和除法
4.多项式的微积分
5.多项式的根和由根创建多项式
6.多项式部分分式展开 7.多项式曲线拟合 8.多项式曲线拟合图形用户接口
实例
xdata = 0:0.1:10; ydata = 3*sin(xdata)+6; fun = inline('x(1)*sin(xdata)+x(2)','x','xdata'); x = lsqcurvefit(fun,[0 0], xdata, ydata) yfit=feval(fun,x,xdata);
C为不定积分常数项，为标量。
polyint(P)，假设 C=0.
返回值为多项式不定积分的系数向量。
5.多项式的根和由根创建多项式
（1）多项式的根
roots函数用于求多项式的根，其用法如下： r = roots(C) 返回以C向量为系数的多项式的所有根r。
实例
• 求方程 3*x^3+0.5x^2+7*x-0.09=0的根。
4.多项式的微积分
（1）多项式的微分
polyder函数计算多项式的微分 polyder(P)，返回多项式P微分的系数向量；
polyder(A,B)，返回多项式A*B微分的系数向量；
[Q,D]=polyder(B,A)，返回多项式B/A微分的系
数向量。
实例
• 如何用MATLAB对一个已知的函数： y=3*x^3+0.5x^2+7*x-0.09进行求导，并 分别作出求导前和求导后的相应曲线。
B(x) R(1) R(2) R(n) ---- = -------- + -------- + ... + -------- + K(x) A(x) x - P(1) x - P(2) x - P(n)
7.多项式曲线拟合
已知在点集上的函数值,构造一个解析函数(其图形 为一曲线)使在原离散点上尽可能接近给定的值，
8.多项式曲线拟合图形用户接口
曲线拟合的图形用户接口可通过图形窗口的
【Tools】菜单中【Basic Fitting】选项启动。
>> x=0:0.1:10; >> y=0.25*x+20*sin(x); >> plot(x,y,'ro')
最小二乘法曲线拟合
• 利用lsqcurvefit函数进行任意表达式曲线拟合 • 原理： min sum {(fun(x,xdata)-ydata).^2}
• P——多项式系数行向量
• X——代入多项式的值
其意义为：
当P为长度为n+1的行向量 [p1,p2, ...,pn,pn+1] 时，
Y = p1xn + p2xn-1 + ... + pnx + pn+1
例子：
>> P=1:6, poly2str(P,'x'), x=5, polyval(P,x) P= 1 2 3 4 5 6 ans = x^5 + 2 x^4 + 3 x^3 + 4 x^2 + 5 x + 6 x= 5 ans = 4881
这一过程称为曲线拟合。
polyfit函数采用最小二乘法对给定数据进行多项式 拟合，其用法如下： • p=polyfit(x,y,n) • [p,s]= polyfit(x,y,n) • 说明：x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为 幂次从高到低的多项式系数向量p。x必须是单调 的。矩阵s用于生成预测值的误差估计。
例子：
>> P=1:6, poly2str(P,'x'), x=[2 3;4 5], polyvalm(P,X) P= 1 2 3 4 5 6 ans = x^5 + 2 x^4 + 3 x^3 + 4 x^2 + 5 x + 6 x= 2 3 4 5 >> x^5 + 2*x^4 + 3*x^3 + 4*x^2 + 5*x + 6 ans = 8256 10881 ans = 8256 10887 14508 19137 14514 19137
• method用于指定插值的方法，有‘nearest’, ‘linear’, ‘spline’,
‘pchip’, ‘cubic’, ‘v5cubic’等方法。各种插值方法在速度 上,Nearest最快,然后是Linear再到Cubic,最慢的是 Spline.但是精度和曲线的平滑度恰好相反,Nearest甚至不
连续~~系统默认的是Linear。
内插运算与外插运算
(1)只对已知数据点集内部的点进行的插值运算称 为内插，可比较准确的估测插值点上的函数值；
(2)当插值点落在已知数据集的外部时的插值称为 外插，要估计外插函数值很难。 y=interp1([x,]y,xi,[method],['extrap'],[extrapval]) []代表可选。 • MATLAB对已知数据集外部点上函数值的预测都 返回NaN，但可通过为interp1函数添加'extrap'参 数指明用于外插，MATLAB的外插结果偏差较大。
>> P=[3 0.5 7 -0.09], x=roots(P) P= 3.0000 0.5000 7.0000 -0.0900 x= -0.0898 + 1.5256i -0.0898 - 1.5256i 0.0128
（2）由根创建多项式
poly函数实现由根创建多项式，其用法如下：
p = poly(r)，输入变量r是多项式的所有根， 返回值为多项式的系数向量，与roots函数是 两个可逆的过程；
3.多项式乘法和除法
deconv函数进行反卷积(deconvolution)和多项式
除法运算， [Q,R] = deconv(B,A)
对向量A和B进行反卷积运算，返回结果为向量Q和余量 R; 如果A和B是多项式的系数向量，它们的反卷积相当于两 个多项式相除，A是被除数，B是除数，Q是商，R是余 数。
例子：
>> P=1:6, poly2str(P,'x'), x=[2 3;4 5], polyval(P,x) P= 1 2 3 4 5 6 ans = x^5 + 2 x^4 + 3 x^3 + 4 x^2 + 5 x + 6 x= 2 3 4 5 ans = 120 543 1818 4881
问题：已知相渗曲线（如图所示），原油的密度为0.9，粘 度为9，地层水的密度为1，粘度为0.45，计算一定饱和度 时的含水率。
6.多项式部分分式展开
residue函数将多项式之比按部分分式展开， 其用法如下：
[R,P,K] = residue(B,A) ，求多项式B/A的 部分分式展开(分解) [B,A]=residue(R,P,K)，从部分分式得到多 项式向量。
6.多项式部分分式展开
[R,P,K] = residue(B,A)
Y = polyval(P,X),
把矩阵或向量X中的每个元素逐个代入多项式中进行
计算；
Y = polyvalm(P,X)，把矩阵X作为整体代入多项式 中进行计算，X必须为方阵。
例子：
>> P=1:6, poly2str(P,'x'), x=[2 3;4 5], polyval(P,x) P= 1 2 3 4 5 6 ans = x^5 + 2 x^4 + 3 x^3 + 4 x^2 + 5 x + 6 x= 2 3 4 5 ans = 120 543 1818 4881
实 例
Sw 0.290 0.356 0.449 0.496 0.543 0.590 0.684 0.730 0.780 Kro Krw 1 0.000 0.63 0.017 0.35 0.069 0.27 0.113 0.2 0.165 0.133 0.227 0.05 0.372 0.01 0.456 0 0.546
Matlab提供了下列关于多项式的函数：
1.多项式表示法
MATLAB采用行向量表示多项式系数，多 项式系数按降幂排列。
poly2str函数将多项式系数向量转换为完 整形式。
>> poly2str([1 0 2],'s') ans = s^2 + 2
2.多项式求值
polyval函数计算多项式的值，其用法为： Y = polyval(P,X),
plot(xdata,ydata,'ro',xdata,yfit) legend('ydata', 'yfit')
5.2 插 值 运 算
插值运算是根据数据的分布规律，找到一个函数表达 式可以连接已知的各点，并用此函数表达式预测两点
之间任意位置上的函数值。
5.2.1 一维插值
5.2.2 二维插值
插值是根据已知输入/输出数据集和当前输 入估计输出值。MATLAB提供大量的插值函 数，如下表所示。
p = poly(A)，输入变量A是方阵，返回值为A 的特征多项式的系数向量。
6.多项式部分分式展开
• 部分分式展开又叫部分分式分解，是将有理函
数分解成许多次数较低有理函数和的形式，来降 低分子或分母多项式的次数，
• 例如：
• 分解后的分式需满足以下条件：
–分式的分母需为不可约多项式；
–分式的分子多项式次数需比其分母多项式次数要低。
第五章 数值计算
目 录
5.1 多项式运算
5.2 插 值 运 算 5.3 数 据 分 析 5.4 功 能 函 数
5.5 微分方程组数值解
习 题
5.1 多项式运算
1.多项式Matlab表示法 2.多项式求值
3.多项式乘法和除法
4.多项式的微积分
5.多项式的根和由根创建多项式
6.多项式部分分式展开 7.多项式曲线拟合 8.多项式曲线拟合图形用户接口
实例
xdata = 0:0.1:10; ydata = 3*sin(xdata)+6; fun = inline('x(1)*sin(xdata)+x(2)','x','xdata'); x = lsqcurvefit(fun,[0 0], xdata, ydata) yfit=feval(fun,x,xdata);