指派问题

5 2 如： 3 4 6
9 3 4 0 7 4 3 0 8 5 9 0 6 2 7 0 5 7 4 0
（1）
4 3 6 5 0
3 2 9 4 0
6
5
5 4 11 7 3 0
（2）
6 0
2 6 8 7 0
一个人可做几件事的指派问题
0—1整数规划：如果整数现行规划问题的 所有决策变量xi仅限于0或1两个数值，则 称此问题为0—1线性整数规划，简称0— 1规划。变量xi称为0—1变量。 当我们面对是与非选择，可用0与1决策； 即i决策量 1是做这件事
x 0是不做这件事
i
一般指派问题的数学模型为：设
x
s.T 务
匈牙利指派问题 有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分别承担这些 任务，但由 于每人特长不同，完成各项任务的效率等情况也不同。 现假设必须 指派每个人去完成一项任务，怎样把 n 项任务指派给 n 个人，使 得完成 n 项任务的总的效率最高，这就是指派问题。 例6．有四个工人，要分别指派他们完成四项不同 的工作，每 人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派 工作，才能 使总的消耗时间为最少。如图（1）
(4) 重复(2)，(3)直到得不出新的打√号的行、
列为止； (5) 对没有打√号的行画横线，有打√号的列 画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直 线数 l 。l 应等于m，若不相等，说明试指派 过程有误，回到第二步(4)，另行试指派；若 l＝m < n，须再变换当前的系数矩阵，以找 到n个独立的0元素，为此转第四步。 第四步：变换矩阵(bij)以增加0元素。 在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元 素，然后打√各行都减去这最小元素；打√各 列都加上这最小元素（以保证系数矩阵中不 出现负元素）。新系数矩阵的最优解和原问 题仍相同。转回第二步。
即：甲做C工作、乙做D工作、 丙做A工作、丁做E工作、戊 做B工作。
这只是一个简单的指派问题，即 人数与任务的个数相等; 而我们生活中还常常会遇到以下 几种问题： 人数与工作不相等的指派问题； 一个人可做几件事的指派问题； 某件事不能由某个人做的指派 问题；如下：
人数与工作不相等的指派问题 例：某企业招聘工作人员m个，有n个工作；且每个人只能做 一个工作，一个工作只能有一个人做。 若m>n 则：模拟m—n个工作。（1） 若m<n 则：模拟n—m个工作人员。（2）
指派问题 主讲人：第五组 指导老师：胡松瀛
主讲内容： 1. 整数规划 2. 0—1整数规划 3. 匈牙利指派问题
—、整数规划：我们在解题 过程中往往会出现非整数结 果，然而在现实中，又常常 会遇到有限制整数条件的问 题，如：人力资源分配，工 作的选择等。因此我们就需 要对一些问题做整数规划。
整数规划可分为三种类型； 纯整数规划—即约束决 策变量都是非负整数—人 口的统筹 0—1整数规划—即约束 决策变量只有0和1；人才 的管理 混合型整数规划—即约 束变量部分是非负整数；
若某人可做几件事，则将该人化作相同 的几个“人”来接受指派，且费用系数 取值相同。 例：有甲、乙、丙三个做ABCD四个工作。其中丙可 同时胜任两个工作；如图： A B C D
甲 乙 丙
7 9 8 8
5 12 5 5
9 7 4 4
8 11 6 6
某件事不能由某个人做的指派问题
5
◎ 0
5 3 4 2 3 Ø 0 ◎ 0 3
√
减2
3 3 ◎ 0 0 Ø 6 2 5 2 0 Ø 3
√ 减2
第四步，变换矩阵(bij)
以增加0元素：没有被 直线覆盖的所有元素中
的最小元素为2，然后
√ 减2 打√各行都减去2；打 √各列都加上2，得如 下矩阵，并转第二步进 行试指派：
(4) 若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有 两个，则从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这行各0
元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的那列的这个 0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。 然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行，直到所 有0元素都已圈出和划掉为止。
（5）若◎ 元素的数目m 等于矩阵的阶数n，那么这指 派问题的最优解已得到。若m < n, 则转入下一步。 第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。 (1)对没有◎的行打√号； (2)对已打√号的行中所有含Ø元素的列打√号； (3)再对打有√号的列中含◎ 元素的行打√号；
20 21 23 18
25 27 22 29
30 26 29 40
100 30 32 25
40 36 42 38
小结 对于标准的指派问题，我们可以通过匈牙利 指派解法来解决。而更深入的指派问题，如人 员与任务不等的指派问题，我们仍可以通过转 化成为标准的指派问题，再来解决。 指派问题的目标就是在解决问题时，如何分 派使所消耗的总资源最少(或总体效益最优)。 如：给工人分派工作，给车辆分配道路，给工 件分配机床等等。同时许多网络问题(如旅行 问题、任务分配问题、运输问题等)都可以演 化成指派问题来解决。在现实生活中，指派问 题是十分常见的实际问题，利用数学建模思想， 匈牙利解法可以很好地解决指派问题。
将该人做此事的效率系数取
做足够大的数，可用M表示。
例：有A B C D 四个公司去投标5个施工工程。其投资额 （万）如下表（3）。其中A不能投第四个工程。
一
甲 乙 丙 丁 20 21 23 18
二
25 27 22 29
三
30 26 29 40
四
27 30 32 25
五
40 36 42 38
由于A不能投资第四个工程，那么使A 对第四个工程的投资额M=100万，则 如表4：
列最小元
1
1
试指派—圈零得分配方案
2 1 ◎ 0 2 2
找到4个独立o元素，但m<n=4
◎ 5 0 3 3 ◎ 0 5 3 0 Ø 4 2 6 2 Ø 3 0 5 2 Ø ◎ 0 3 0 3
第三步：做最少直线覆盖所有0元素
2 1 ◎ 0 2 2
行最 小元
5 2 3 4 6
Biblioteka Baidu
9 3 6 7 7 4 1 2 8 5 9 6 6 2 7 5 5 7 4 8
3 1 3 2 4
2 1 0 2 2
6 0 3 4 6 3 0 1 5 2 6 3 4 0 5 3 1 3 0 4
工作 工人 甲 乙 丙 丁
A 15 19 26 19
B 18 23 17 21
C 21 22 16 23
D 24 18 19 17
解：引入0—1变量 xij，并令 xij = 1(当指派第 i人去完成第j项工作时)或0（当不指派 第 i人去完成第j项工作时)．这可以表示为一个0--1整数规划 问题： Min z =15x11+18x12+21x13+24x14+19x21+23x22+22x23+18x24+26x31+17x32+ 16x33 +19x34+19x41 +21x42+23x43+17x44 s.t. x11+ x12+ x13+ x14= 1 (甲只能干一项工作) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (乙只能干一项工作) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (丙只能干一项工作) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (丁只能干一项工作) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( A工作只能一人干) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( B工作只能一人干) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( C工作只能一人干) x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( D工作只能一人干) xij 为0--1变量，i,j = 1,2,3,4
1 (当指派第i个人去完成第j件事） ij
n n i 1 j 1
M inf cij xij
x
j 1
n
ij
1
表示第i个人只能完成一个工作任
1
x
i 1
n
ij
表示1个人只能完成第j个任务
指派问题的的价值系数ci j 构成的n 阶方阵C =[ cij ]称为价值矩阵或系数 矩阵 对于问题的每一个可行解,可用X =[ xij ]来表示, 矩阵的每行和每列 中有且只有一个1 在系数矩阵中，位于不同行不同列 的0元素称为独立0元素
(1) 从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作◎ 。然 后划去◎ 所在列(行)的其它0元素，记作Ø ；这表示这列所代表的任务 已指派完，不必再考虑别人了。 (2) 给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作◎；然后划去◎ 所在行的0元素，记作Ø ． (3) 反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都被圈出和划掉为 止。
例一： 有四个工人，要分别指派他们完成四项不同 的工作，每 人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问 应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最 少?
任 务 人员 甲 乙 丙 丁 戊 A B C D E
5 2 3 4 6
9 7 8 6 5
3 4 5 2 7
6 1 9 7 4
7 2 6 5 8
第一步：变换系数矩阵（减去行与列的最小元素）
独立零元素的个数m等于最少直线数l，即l ＝m=3<n=4；
Ø 0 1 ◎ 0 Ø 0 2
3 5 4
0 ◎
1
5 ◎ 0 4 6 1 Ø 3 0 0 0 ◎ 5 Ø
1 0 Ø 2 ◎ 0 3
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
这是一个简单的0—1整数规划模型。我们可以用匈牙利指派法来解决。 匈牙利法：系数矩阵中独立 0 元素的最多个数等于能覆盖所有 0 元 素的最少直线数。从而只需要找到n个独立0元素。 匈牙利解题步骤： 第一步：变换指派问题的系数矩阵（cij ）为(bij)，使在(bij)的各行各列 中都出现0元素，即 (1) 从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素； (2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。 第二步：进行试指派，以寻求最优解。 在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独立0元素，就以 这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优 解。找独立0元素，常用的步骤为：