指派问题
指派问题的概念
指派问题的概念指派问题，这可不是个陌生的名词，您要是觉得陌生，那可就有点落伍啦！啥是指派问题？简单来说，就是把一些任务或者工作分配给一些人或者资源，让效果达到最好或者成本降到最低。
就好比您家里请客吃饭，您得安排谁去买菜、谁去做饭、谁去洗碗，得让这事儿顺顺当当的，大家都能轻松又高效地完成任务，这其实就是一种简单的指派。
再比如说，一个公司有几个项目要做，有几个团队能接手，那怎么把项目分配给最适合的团队，让项目能顺利完成，质量还高，这也是指派问题。
您想想，要是安排得不好，那会咋样？就像让一个根本不会做饭的人去掌勺，最后大家吃得都不开心，这顿饭不就搞砸啦？在生活中，指派问题无处不在。
学校里安排老师教不同的班级和课程，医院里安排医生值班，这不都是在做指派嘛。
要是能把指派问题解决得好，那可不得了。
能节省时间、节省精力，还能让大家都满意。
比如说一个快递公司，要安排快递员去不同的区域送货，如果安排得合理，就能快速送完，客户满意，快递员也不累。
可要是安排不好呢？快递员跑冤枉路，货物送得慢，客户抱怨，公司也损失。
那怎么才能解决好指派问题呢？这可不是拍拍脑袋就能决定的。
得考虑好多因素呢。
比如说每个人或者每个资源的能力和特点，任务的难度和要求，时间的限制等等。
就像安排一场演出，得知道每个演员擅长啥，节目需要啥样的表演，还有演出的时间安排，这都得考虑清楚，才能把节目安排得精彩。
指派问题可不像表面看起来那么简单，这里面的学问大着呢！您要是不认真对待，可能就会搞得一团糟。
但要是能掌握好这个，那不管是生活还是工作，都能变得更加井井有条，您说是不是？所以啊，弄清楚指派问题，学会解决它，对我们的生活和工作那可是太重要啦！。
第4章整数规划——指派问题
4 指派问题
解： 可行解｛c12=0， c24 =0， c31 =0， c43 =0｝是一个独立零元素组， c12=0， c24 =0， c31 =0， c43 =0分别称 为独立零元素； ｛c12=0， c23 =0， c31 =0， c44 =0｝也 是一个独立零元素组，而｛c14=0， c23 =0， c31 =0， c44 =0｝就不是独立零元素 组.
4 指派问题
1）对新矩阵中所有不含“*”元素的行打√ ； 2）对打√的行中，所有打×零元素所在的列打√； 3）对所有打√列中标记“*”元素所在行打√； 4）重复上述2），3）步，直到不能进一步打√为止； 5）对未打√的每一行划一直线，对已打√的每一列划一纵线， 即得到覆盖当前0元素的最少直线数。 第四步：对矩阵未被直线覆盖过的元素中找最小元素，将打 √行的各元素减去这个最小元素，将打√列的各元素加上这个最小 元素（以避免打√行中出现负元素），这样就增加了零元素的个 数，返回第二步。 【例5】 求解例1和例2
X (2)
都是指派问题的最优解。
4 指派问题
4.3 指派问题的求解 指派问题既是一类特殊的整数规划问题，又是特殊的运输问 题，因此可以用多种相应的解法来求解，然而这些解法都没有充 分利用指派问题的特殊性质，有效地减少计算量，直到1955年库 恩（W. W. Kuhn）提出的匈牙利法才有效地解决了指派问题。 匈牙利法的理论基础 定义2 独立零元素组 在效率矩阵中，有一组在不同行不同 列的零元素，称为独立零元素组，其每个元素称为独立零元素。 5 0 2 0 2 3 0 0 C 【例4】 已知效率矩阵 0 5 6 7 4 8 0 0 求其独立零元素组。
0 , 不 指 派 Ai 承 建 商 店 B j x ij ( i , j 1, 2 ,3, 4 ,5 ) 1, 指 派 Ai 承 建 商 店 B j
指派问题的最优解法
指派问题的最优解法指派问题是一个最优化问题，在给定若干个任务和执行者（或机器）的情况下，要求将每个任务指派给一个执行者，并使得总体的执行成本或者效益最优。
指派问题可以用匈牙利算法（Hungarian algorithm）或者KM算法（Kuhn-Munkres algorithm）来求解，这两个算法是目前被广泛采用的指派问题求解方法。
匈牙利算法是一个具有全局优势的贪心算法，它通过不断优化当前的局部选择，最终得到全局最优解。
其基本思想是通过给任务和执行者之间的边标注权重，然后选取最小权重的边进行指派，如果发现某个任务或者执行者已经被指派，就将其它相关的边进行更新，并继续寻找最小权重的边进行指派，直到所有的任务都得到指派。
KM算法是匈牙利算法的一种更加高效的变体。
它首先将指派问题转化为一个最大权匹配问题，然后通过不断调整边的权重，使得每次迭代都可以找到一个指派边的增广路径，并更新相应的匹配结果。
KM算法的核心思想是通过对匹配结果进行调整，减小局部优势并增加全局优势。
无论是匈牙利算法还是KM算法，在最坏情况下的时间复杂度都是O(n^3)，其中n表示任务和执行者的数量。
这两个算法的主要区别在于实现的复杂度和算法的效率，KM算法相对于匈牙利算法来说具有更好的性能。
除了匈牙利算法和KM算法之外，还有一些其他的指派问题求解方法，例如启发式搜索、遗传算法等。
这些方法一般适用于指派问题的规模比较大、复杂度比较高的情况下，但是相对于匈牙利算法和KM算法，它们的效率和准确性可能会有所降低。
总之，指派问题的最优解法可以通过匈牙利算法或者KM算法来求解，具体选择哪一种方法可以根据问题的规模和复杂度来决定。
指派问题
• 用匈牙利算法求下述矩阵对应的指派问题.
8 11 C 15 6 5 6 5 9 11 7 8 2 5 2 7 1 3 4 13 5 0 2 6 1 1 4 0 6 0 0 0 0 1 2 3 10 6 2 1 0 1 4 0 6 0 0 3 0
• 但是求解指派问题最好的算法是由Kuhn于1955
年给出的匈牙利算法.
匈牙利算法
• （对费用矩阵C做以下运算）.
1. 每行减该行最小数.
2. 每列减该列最小数.
3. 从含0最少的行（列）开始，圈出一个0，划 去其所在的行和列. 4. 重复3，直到所有的0都划去或圈出为止.
5. 若已圈出n个零，此即为最优解，否则转6.
0 1 10 2
0 2 6 1
1 4 0 6
* 0 0 * 3 0 *
0 0 10 1
0 1 6 0
1 3 0 5
1 0 4 0
• 用匈牙利算法求下述矩阵对应的指派问题.
15 19 C 26 19 18 23 17 21 21 22 16 23 24 18 19 17
x
j 1 n i 1
n
ij
1, i 1,2, , n 1, j 1,2, , n
x
ij
xij 0, i, j 1,2, , n
• 所以指派问题是多项式时பைடு நூலகம்可解的.
• 指派问题等价于求二分图的总权最小的完美匹 配.因此可以用二分图最小权匹配算法. • 将指派问题的连续松弛问题（线性规划）与运 输问题的线性规划作对比，可以看出指派问题 是一个特殊的运输问题，因此可以用求解运输 问题的表上作业法求解.
运筹学__指派问题
•下面要证明M m. 如图假定覆盖所有0元素的m条直线 有r行、c列，m=r+c.
所有r行上不在j1，…，jc列上的0元 素个数≥ r，这些0元素至少有r个位
于不同列
同理：所有c列上不在i1，…，ir行上
j1 j2
的0元素个数≥c ，且这些0元素至
少有c个位于不同
i1 i2
ir jc
若上述两部分0个数总和为S，则S≥m；其中有m 个，又它们必无重复元素，彼此独立，则SM,故 有m≤M， 故可得M=m.
覆盖所有“0”元素的最少直线数 = 独立的“0”元素 的最多个数
推论1：覆盖所有“0”元素的直线数≥ 不同行不同列的“0”元素的最多个数（m）
推论2：覆盖所有“0”元素的最少直线数≥ 不同行不同列的“0”元素的个数
定理2说明： 1. 只要表中含有不同行或不同列的“0”元素，
都可以通过直线覆盖的方式来找到它们 2. 当覆盖直线的最少条数达到m条时，
（二）算法的基本原理 匈牙利数学家狄·康尼格(D·Konig)证明的两个定理
定理1 如果从指派问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别 减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)， 从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势) 得到一个新的效率矩阵[bij]， 若其中bij=cij-ui-vj，
一、指派问题的数学模型
（一）举例
例7： 有一份中文说明书， 要分别译成英、日、德、俄四种文字， 分别记作E 、 J 、 G 、 R ,交与甲、乙、丙、丁 四个人去完成. 因个人专长不同， 他们完成翻译不同语种的说明书所需的时间(h)如表所示. 应如何指派，使四个人分别完成这四项任务总时间为最小？
任务 人员
将其代入目标函数中得到zb=0，它一定是最小值。 ❖ 这就是以(bij)为系数矩阵的指派问题的最优解。
指派 问题
指派问题（Assignment Problem ）1. 标准指派问题的提法及模型指派问题的标准形式是：有n 个人和n 件事，已知第i 个人做第j 件事的费用为cij （i ，j=1，2，…，n ），要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，使完成这n 件事的总费用最小。
设n2个0-1变量1,i j 0,i j ij x ⎧=⎨⎩若指派第个人做第件事若不指派第个人做第件事(i,j=1,2,…, n) 数学模型为:1111min 1.101,,1,2,,n nij iji j nij i n ij j ijZ c x x s t x x or i j n =====⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪==⎪⎩∑∑∑∑ 其中矩阵C 称为是效率矩阵或系数矩阵。
其解的形式可用0-1矩阵的形式来描述，即 (xij)n ⨯n 。
标准的指派问题是一类特殊的整数规划问题，又是特殊的0-1规划问题和特殊的运输问题。
1955年W. W. Kuhn 利用匈牙利数学家D. Konig 关于矩阵中独立零元素的定理, 提出了解指派问题的一种算法, 习惯上称之为匈牙利解法。
2. 匈牙利解法匈牙利解法的关键是指派问题最优解的以下性质：若从指派问题的系数矩阵C=（cij ）的某行（或某列）各元素分别减去一个常数k ，得到一个新的矩阵C ’=（c ’ij)，则以C 和C ’为系数矩阵的两个指派问题有相同的最优解。
（这种变化不影响约束方程组，而只是使目标函数值减少了常数k ，所以，最优解并不改变。
）对于指派问题，由于系数矩阵均非负，故若能在在系数矩阵中找到n 个位于不同行和不同列的零元素（独立的0元素），则对应的指派方案总费用为零，从而一定是最优的。
匈牙利法的步骤如下：步1：变换系数矩阵。
对系数矩阵中的每行元素分别减去该行的最小元素；再对系数矩阵中的每列元素分别减去该列中的最小元素。
若某行或某列已有0元素，就不必再减了（不能出现负元素）。
步2：在变换后的系数矩阵中确定独立0元素（试指派）。
指派问题
指派问题 运输问题
1. 指派问题（Assignment Problem）
有n项任务由n个人完成，每项任务交给一个人，每人都有一项 任务。由i个人完成j项任务的成本（或效益）为cij。求使总成本 最小（或总效益最大）的分配方案。
设：
0 第i个人不从事第j项任务 x ij 1 第i个人被指派完成第j项任务
1
8 7
2
10 8
3
9Hale Waihona Puke 1143 25
6 9
船
3
4 5
2
7 10
4
7 8
6
5 10
4
2 3
4
7 11
匈牙利法（Hungarian Method）
1.写出行数和列数相同的成本矩阵； 2.压缩成本矩阵：每一行的所有成本均减去行里面 最小的成本，然后每一列的所有成本均减去列里 面最小的成本，使新的成本矩阵每一行每一列至 少有一个为0； 3.以最少的直线（水平或者垂直）划掉所有的0， 若所用直线数与行数相同，则已经找到最优解， 可以跳到第5步，否则就进行第4步； 4.找到没有被划掉的最小的数值，从所有没有被划 掉的数值中减去这一数值，而所有被划掉2次的 划线数值加上这一数值。返回第3步； 5.根据0的位置确定最佳指派方案。
销售 人员
指派问题3 （Assignment Problem）
7项工作分别分派给7个设备的成本若下表所示， 应如何分派？
成本 1 2 3 1 68 14 54 2 48 64 10 3 57 71 54 设备 4 48 50 13 5 84 24 8 6 10 10 9 7 77 84 8
任务
4 5 6 7
一个销售经理要分派6个销售人员负责不同地区 的销售，这些销售人员有不同的关系和能力，他们 的期望销售额如下表所示，应如何分派？
指派问题详解
第一章绪论1、指派问题的背景及意义指派问题又称分配问题，其用途非常广泛，比如某公司指派n个人去做n 件事，各人做不同的一件事，如何安排人员使得总费用最少？若考虑每个职工对工作的效率（如熟练程度等），怎样安排会使总效率达到最大？这些都是一个企业经营管理者必须考虑的问题，所以该问题有重要的应用价值.虽然指派问题可以用0-1规划问题来解，设X(I,J)是0-1变量, 用X(I,J)=1表示第I个人做第J件事, X(I,J)=0表示第I个人不做第J件事. 设非负矩阵C（I，J）表示第I个人做第J件事的费用，则问题可以写成LINGO程序SETS:PERSON/1..N/;WORK/1..N/;WEIGHT(PERSON, WORK): C, X ;ENDSETSDATA:W=…ENDDATAMIN=@ SUM(WEIGHT: C*X);@FOR(PERSON(I): @SUM(WORK(J):X(I,J))=1);@FOR(WORK(J): @SUM(PERSONM(I):X(I,J))=1);@FOR(WEIGHT: @BIN(X));其中2*N个约束条件是线性相关的, 可以去掉任意一个而得到线性无关条件.但是由于有N^2个0-1变量, 当N很大时，用完全枚举法解题几乎是不可能的. 而已有的0-1规划都是用隐枚举法做的，计算量较大. 对于指派问题这种特殊的0-1规划，有一个有效的方法——匈牙利算法，是1955年W. W. Kuhn利用匈牙利数学家D.König的二部图G的最大匹配的大小等于G的最小顶点覆盖的大小的定理提出的一种算法，这种算法是多项式算法，计算量为O(N3).匈牙利算法的基本原理是基于以下两个定理.定理1设C=(C ij)n×n是指派问题的效益矩阵，若将C中的任一行（或任一列）减去该行（或该列）中的最小元素，得到新的效率矩阵C’，则C’对应的新的指派问题与原指派问题有相同的最优解.证明：设X’是最优解, 即@SUM(WEIGHT: C*X’)<= @SUM(WEIGHT: C*X), 则当C中任一行或任一列减去该行或该列的最小数m时,得到的阵C’还是非负矩阵, 且@SUM(WEIGHT: C’*X’)<=@SUM(WEIGHT: C*X)-m=@SUM(WEIGHT: C’*X)定理2效率矩阵C中独立的0元素的最多个数等于覆盖所有0元素的最少直线数. 当独立零元素的个数等于矩阵的阶数时就得到最优解.3、理论基础定义:图G的一个匹配M是图G中不相交的边的集合. 属于匹配M中的边的所有端点称为被该匹配M饱和, 其他的顶点称为M-未饱和的. 如果一个匹配M 饱和了图G的所有顶点，则称该匹配M是一个完全匹配. 可见顶点数是奇数的图没有完全匹配. 一个匹配M称为是极大匹配, 如果它不能再扩张成更大的一个匹配. 一个匹配称为是最大匹配, 如果不存在比它更大的匹配.定义:对于一个匹配M, 图G的一个M-交替路是图G中的边交替地在M中及不在M中的边组成. 从M-未饱和点出发到M-为饱和点结束的M-交替路称为一条M-增广路. 把M-增广路中不是M中的边改成新的匹配M’中的边, 把M-增广路中M中的边不作为M’中的边, 在M-增广路以外的M中的边仍作为M’中的边, 则M’的大小比M大1. 故名M-增广路. 因此最大匹配M不存在M-增广路.定义:若图G和图H有相同的顶点集V, 我们称G和H的对称差,记为G∆H,是一个以V为顶点集的图, 但其边集是G和H的边集的对称差: E(G∆H)=E(G) ∆E(H)=E(G)⋂E(H)-(E(G)⋃E(H))=(E(G)-E(H)) ⋂ (E(H)-E(G))定理: (Berge, 1957) 图G的一个匹配M是最大匹配,当且仅当G中没有M-增广路.证明: 我们只要证明, G中没有M-增广路时, M是最大匹配. 用反证法, 若有一个比M大的匹配M’. 令G的一个子图F, E(F)=M∆M’, 因M和M’都是匹配, F的顶点的最大度数至多是2, 从而F由不相交的路和环组成, 它们的边交替地来自M和M’, 于是F中的环的长度是偶数. 由于M’比M大, F中存在一个连通分支,其中M’中的边数大于M中的边数. 这个分支只能是起始和终止的边都在M’中. 而这就是一条G中的M-增广路. 与假设矛盾. 证毕.定理(Hall, 1935)设G是一个二部图, X和Y是其二分集, 则存在匹配M 饱和X当且仅当对于X中的任意子集S, Y 中与S中的点相邻的点组成的集合N(S)中元素的个数大于等于集合S中元素的个数.证明：必要性是显然的. 对于充分性, 假设 |N(S)|≥|S|, ∀S⊂X, 考虑G的一个最大匹配M, 我们用反证法，若M没有饱和X, 我们来找一个集合S不满足假设即可. 设u∈X是一个M-未饱和顶点, 令S⊂X和T⊂Y分别是从u出发的M-交替路上相应的点.我们来证明M中的一些边是T到S-u上的一个匹配. 因为不存在M-增广路，T中的每个点是M-饱和的. 这意味着T中的点通过M中的边到达S中的一个顶点. 另外, S-u中的每个顶点是从T中的一个顶点通过M中的一条边到达的. 因此M 中的这些边建立了T与S-u的一个双射, 即|T|=|S-u|. 这就证明了M中的这些边是T到S-u上的一个匹配，从而意味着T⊂N(S), 实际上, 我们可证明T=N(S). 这是因为连接S和Y-T中的点y的边是不属于M的, 因为不然的话, 就有一条到达y的M-增广路, 与y∉T矛盾. 故|N(S)|=|T|=|S-u|=|S|-1<|S|, 与假设矛盾.当X与Y的集合的大小相同时的Hall定理称为婚姻问题,是由Frobenius(1917)证明的.推论: k-正则的二部图（X的每一点和Y的每一点相关联的二部图）(k>0)存在完全匹配.证明: 设二分集是X,Y. 分别计算端点在X和端点在Y的边的个数, 得k|X|=k|Y|, 即|X|=|Y|.因此只要证明Hall的条件成立即可. 使X饱和的匹配就是完全匹配. 考虑∀S⊂X, 设连接S与N(S)有m条边, 由G的正则性, m=k|S|. 因这m条边是与N(S)相关联的, m≤k|N(S)|, 即k|S|≤ k|N(S)|, 即|N(S)|≥|S|. 这就是Hall的条件.用求M-增广路的方法来得到最大匹配是很费时的. 我们来给出一个对偶最优化问题.定义:图G的一个顶点覆盖是集合S⊂V(G), 使得G的每条边至少有一个端点在S中. 我们称S中的一个顶点覆盖一些边, 若这个顶点是这些边的公共端点.因为匹配的任意两条边不能被同一个顶点覆盖, 所以顶点覆盖的大小不小于匹配的大小: |S|≥|M|. 所以当|S|=|M| 时就同时得到了最大的匹配和最小的顶点覆盖.定理(König [1931],Egerváry[1931])二部图G的最大匹配的大小等于G的最小顶点覆盖的大小.证明: 设M是G的任一个匹配, 对应的二分集是X,Y. 设U是一个最小的顶点覆盖, 则|U|≥|M|, 我们只要由顶点覆盖U来构造一个大小等于|U|的匹配即完成证明. 令R=U⋃X, T=U⋃Y, 令H, H’分别是由顶点集R⋂(Y-T)及T⋂(X-R)诱导的G的子图. 我们应用Hall的定理来证明H有一个R到Y-T中的完全匹配，H’有一个从T到X-R中的完全匹配. 再因这两个子图是不相交的, 这两个匹配合起来就是G中的一个大小为|U|的匹配.因为R⋂T是G的一个覆盖, Y-T与X-R之间没有边相联接. 假设S⊂R, 考虑在H中S的邻接顶点集N(S), N(S) ⊂Y-T. 如果|N(S)|<|S|, 因为N(S)覆盖了不被T覆盖的与S相关联所有边, 我们可以把N(S) 代替S作为U中的顶点覆盖而得到一个更小的顶点覆盖. U的最小性意味着H中Hall条件成立. 对H'作类似的讨论得到余下的匹配. 证毕.最大匹配的增广路算法输入: 一个二分集为X，Y的二部图G，一个G中的匹配M， X中的M-未饱和顶点的集合U.思路: 从U出发探求M-交替路，令S⊂X，T⊂Y为这些路到达过的顶点集. 标记S中不能再扩张的顶点. 对于每个x∈(S⋂T)-U, 记录在M-增广路上位于x前的点.初始化: S=U,T=∅.叠代: 若S中没有未标记过的顶点, 结束并报告T⋂(X-S)是最小顶点覆盖而M是最大匹配.不然, 选取S中未标记的点x, 考虑每个y∈N(x)且xy∉M, 若y是M-未饱和的, 则得到一个更大的匹配，它是把xy加入原来的匹配M得到的,将x从S中去除. 不然, y是由M中的一条边wy相连接的, w∈X, 把y加入T(也有可能y本来就在T中), 把w加入S. w未标记, 记录w前的点是y. 对所有关联到x的边进行这样的探索后, 标记x. 再次叠代.定理: 增广路算法可以得到一个相同大小的匹配和顶点覆盖.证明: 考虑这个算法终止的情况, 即标记了S中所有的点. 我们要证明R=T⋂(X-S)是大小为|M|的一个顶点覆盖.从U出发的M-交替路只能通过M中的边进入X中的顶点, 所以S-U中的每个顶点通过M与T中的顶点匹配, 并且没有M中的边连接S和Y-T. 一旦一条M-交替路到达x∈S, 可以继续沿着任何未饱和的边进入T, 由于算法是对于x的所有邻域顶点进行探索才终止的,所以从S 到Y-T 没有未饱和边. 从而S 到Y-T 没有边, 证明了R 是一个顶点覆盖.因为算法是找不到M-增广路时终止, T 的每一个顶点是饱和的. 这意味着每个顶点y ∈T 是通过M 匹配与S 中的一个顶点. 由于U ⊂S, X-S 的每个顶点是饱和的, 故M 中与X-S 相关联的边不和T 中的点相连接. 即它们与是饱和T 的边不同的, 这样我们可见M 至少有|T|+|X-S|条边. 因不存在一个比顶点覆盖更大的匹配， 所以有|M|=|T|+|X-S|=|R|.设二部图G 的二分集X 和Y 都是n 个元素的点集, 在其边j i y x 上带有非负的权ij w , 对于G 的一个匹配M, M 上各边的权和记作w(M).定义: 一个n ×n 矩阵A 的一个横截(transversal)是A 中的n 个位置, 使得在每行每列中有且只有一个位置（有的文献中把横截化为独立零元素的位置来表示）.定义: 指派问题就是给定一个图G=n n K ,(完全二部图, 即每个X 中的顶点和Y 中的每个顶点有边相连接的二部图)的边的权矩阵A, 求A 的一个横截, 使得这个横截上位置的权和最大. 这是最大带权匹配问题的矩阵形式.定义: 对于图G=n n K ,，设其二分集是X ，Y ，给定G 的边j i y x 的n ×n 权矩阵W={ij w }.考虑G 的子图v u G ,, 设其二分集是U ⊂X ，V ⊂Y, 边集是E(v u G ,)， 对于子图v u G ,的带权覆盖u,v 是一组非负实数{i u },{j v },使得ij j i w v u ≥+,)(,v u j i G E y x ∈∀, v u G ,的带权覆盖的费用是∑∑+j i v u 记为C(u,v), 最小带权覆盖问题就是求一个具有最小费用C(u,v)的带权覆盖u,v.引理: 若M ⊂E(v u G ,)是一个带权二部子图v u G ,的最大匹配, 且u, v 是v u G ,的带权覆盖, 则C(u,v)≥w(M). 而且, C(u,v)=w(M)当且仅当ij j i w v u =+，M y x j i ∈∀. 这时M 是v u G ,最大带权匹配, u,v 是v u G ,的最小带权覆盖， 定义这时的v u G ,为G 的相等子图（equality subgraph ）.证明: 因为匹配M 中的边是不相交的, 由带权覆盖的定义就得C(u,v)≥w(M). 而且C(u,v)=w(M)当且仅当ij j i w v u =+，M y x j i ∈∀成立. 因一般地有C(u,v)≥w(M).所以当C(u,v)=w(M)时. 意味着没有一个匹配的权比C(u,v)大, 也没有一个覆盖的费用比w(M)小.Kuhn 得到一个指派问题的算法，命名为匈牙利算法, 为的是将荣耀归于匈牙利数学家König 和Egerv áry.指派问题的匈牙利算法(Kuhn[1955], Munkres[1957]):输入G=n n K ,的边的权矩阵A, 及G 的二分集X,Y.初始化: 任取一个可行的带权覆盖，例如)(max ij ji w u =，0=j v ，建立G 的相等子图v u G ,, 其二分集是X, Y ’⊂Y, 求v u G ,的一个最大匹配M. 这个匹配的权和w(M)=C(u,v), M 的带权覆盖是具有最小费用的.叠代: 如M 是G 的一个完全匹配, 停止叠代, 输出最大带权匹配M. 不然, 令U 是X 中的M-未饱和顶点. 令S ⊂X, T ⊂Y 是从U 中顶点出发的M-交替路到达的顶点的集合.令},:min{T Y y S x w v u j i ij j i -∈∈-+=ε.对于所有的S x i ∈, 将i u 减少ε, 对于所有的T y j ∈,将j v 增加ε,形成新的带权覆盖u ’,v ’及对应的新的相等子图v u G '',.如果这个新的相等子图含有M-增广路, 求它的最大匹配M ’, 不然不改变M 再进行叠代.定理: 匈牙利算法能找到一个最大权匹配和一个最小费用覆盖.证明: 算法由一个覆盖开始，算法的每个叠代产生一个覆盖，仅在相等子图有一个完全的匹配为止。
指派问题
第二步：找出矩阵每列的最小元素，再分别从每列中减去， 第二步：找出矩阵每列的最小元素，再分别从每列中减去，有
0 11 122 202 0 11 22 22 25 0 100 180 25 0 0 0 ⇒ 0 5 105 185 0 5 5 5 27 0 145 225 27 0 45 45
表5-34 工作 人员 甲 乙 丙 丁 A 85 95 82 86 B 92 87 83 90 C 73 78 79 80 D 90 95 90 88
x11 x X = 21 x31 x41
x12 x22 x32 x42
x13 x23 x33 x43
x14 x24 x34 x44
指派问题 assignment problem
min 58 75 65 82 69 50 70 55 180 150 170 200 260 58 230 50 ⇒ 250 65 280 55
0 11 122 202 25 0 100 180 0 5 105 185 27 0 145 225
6 17 17 0 0 0 0 0 0 0 45 45
第五步：覆盖所有零最少需要 条直线 表明矩阵中存在4个 条直线， 第五步：覆盖所有零最少需要4条直线，表明矩阵中存在 个 不同行不同列的零元素．容易看出4个 不同行不同列的零元素．容易看出 个“0”的位置 的位置
( 0 ) 30 0 × 32 6 17 17 × ( 0) 0 0 × 0 ( 0) 0 ( 0) 45 45 ( 0 ) 30 × 0 32 6 17 17 × 0 ( 0) 0 × ( 0) 0 0 ( 0) 45 45
指派问题优秀课件
A由甲或丙完毕，乙和丁效率设为M C由丙或丁完毕, 甲和乙效率设为M E由甲，乙或丁完毕，丙效率设为M 虚设一种人，丙和丁旳最小值作为虚 设人旳效率系数，所以应虚设一行为
（34 27 28 23 45）
min 0 0 4 2
列变换
0 13 7 0 60 69
0 5 3 2
0 1 0 0
环节二、试指派(找独立旳0元素)
(记独立0元素个数为m,矩阵阶数为n.当m=n 时,问题到此结束.m<n旳情况下一题讨论)
0 0 0 1
0 6
0 0
13 0 5 1
7 6 3 0
0
9
所以：最优解为0 1
19 18 6 0 13 最终一列减去5 19 18 6 0 8
17 0 1 13 5
17 0 1 13 0
1
19
7
0
22
1 19 7 0 17
0 0 0 0 M
0 0 0 0 M
因为M是一种较大旳数，减去5后来 仍为一种较大旳数，所以仍以M表达
找独立旳0元素并试指派
0 4 6 17 7
ABC D E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
26
20
33
丙 34 27 28 40 32
丁 24 42 30 23 45
要求:
1、E必须完毕，其他一人一项
2、一人完毕两项，其他一人一 项
3、A由甲或丙完毕，C由丙或 丁完毕。E由甲，乙或丁完毕， 丙或丁完毕两项，其 他一 人一项
• 分析：
0
0
0
此时m=n=4，
0 找到了最优解
指派问题遗传算法
指派问题（Assignment Problem）是一种组合优化问题，涉及到在给定的一组任务和一组执行者之间找到最佳的任务-执行者分配方案，以最小化总体成本或最大化总体效益。
遗传算法是一种基于生物学演化过程的启发式优化算法，被广泛应用于解决组合优化问题。
以下是指派问题遗传算法的详细步骤：1. 定义问题：▪任务集合：包含需要执行的所有任务。
▪执行者集合：包含可以执行任务的所有执行者。
▪成本矩阵：描述将任务分配给执行者的成本或效益。
2. 初始化种群：▪随机生成初始的任务-执行者分配方案，形成一个种群。
3. 适应度函数：▪设计适应度函数，用于评估每个个体（分配方案）的优劣。
适应度函数的目标是最小化总体成本或最大化总体效益。
4. 选择操作：▪使用选择操作（如轮盘赌选择）根据个体的适应度值选择父代个体，以构建新的种群。
5. 交叉操作：▪通过交叉操作（如单点交叉或多点交叉）产生新的个体，以模拟生物学中的基因交流。
6. 变异操作：▪引入变异操作，随机改变个体的某些分配，以增加种群的多样性。
7. 替代策略：▪使用替代策略，如代沟保留或精英保留，选择个体进入下一代种群。
8. 终止条件：▪定义终止条件，如达到最大迭代次数或找到满意的解决方案。
9. 迭代过程：▪重复执行选择、交叉、变异、替代等步骤，直到满足终止条件。
10. 最终结果：▪返回种群中具有最佳适应度值的个体，即为指派问题的解。
注意事项：▪调整算法参数，如交叉率、变异率等，以提高算法性能。
▪可以使用不同的交叉和变异操作，根据具体问题的特点进行调整。
示例：考虑一个具体的指派问题，如工人与任务的分配，成本矩阵表示每个工人执行每个任务的成本。
遗传算法将尝试找到最佳的工人-任务分配，以最小化总体成本。
这个过程需要根据具体问题的特点进行调整，但以上步骤提供了一个通用的遗传算法框架，可用于解决指派问题。
指派问题——精选推荐
指派问题设有n 项工作需分配给n 个人去做，每人做一项，由于各人的工作效率不同，因而完成同一工作所需时间也就不同，设人员i 完成工作j 所需时间为ij C （称为效率矩阵），问如何分配工作，使完成所有工作所用的总时间最少？这类问题称为指派问题（assignment problem ），也称最优匹配问题，它是一类重要的组合优化问题。
用10-变量ij x 表示分配情况，1=ij x 表示指派第i 个人完成第j 项任务，0=ij x 表示不分配。
则上述问题可以表示为如下10-线性规划：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======∑∑∑∑====10,,2,1,1,,2,1,1..min1111或ij nj ij ni ij n i nj ijij x n i x nj x t s x C z其中第一个约束条件表示每项工作只能指派给一个人做，第二个约束条件表示每个人只能做一项工作。
求解指派问题的常用方法是Kuhn 于1955年给出的算法，称为匈牙利算法。
由于指派问题的模型是比较典型的10-规划线性规划，可以用LINGO 很方便地求解。
例：分配甲、乙、丙、丁、戊去完成A、B、C、D、E五项任务，每人完成一项，每项任务只能由一个人去完成，五个人分别完成各项任务所需时间如下表所示，试作出任务分配使总时间最少。
解：MODEL:SETS:WORKER/W1..W5/;JOB/J1..J5/;LINKS(WORKER,JOB):C,X;ENDSETSDA TA:C=8,6,10,9,12,9,12,7,11,9,7,4,3,5,8,9,5,8,11,8,4,6,7,5,11;ENDDA TAMIN=@SUM(LINKS:C*X);@FOR(WORKER(I):@SUM(JOB(J):X(I,J))=1); @FOR(JOB(J):@SUM(WORKER(I):X(I,J))=1); @FOR(LINKS:@BIN(X));END。
指派问题
13 0 5 1
7 6 3 0
0 9 ( b ij ) 2 0
第二步： 进行试指派，以寻求最优解。为此，按以 下步骤进行。 经第一步变换后，系数矩阵中每行每 列都已有了0元素；但需找出n个独立的0 元素。若能找出，就以这些独立0元素对 应解矩阵(xij)中的元素为1，其余为0， 这就得到最优解。当n较小时，可用观察 法、试探法去找出n个独立0元素。若n较 大时，就必须按一定的步骤去找，常用 的步骤为：
•减数得零—求初始匹配 •圈零划线—查是否最大匹配 •找数调整—求新的最优匹配 运筹学
指派问题的解法
第一步： 使指派问题的系数矩阵经变换，在各行各列中 都出现0元素。 (1) 从系数矩阵每行元素减去该行的最小元素； (2) 再从所得系数矩阵的每列元素中减去该列 的最小元素。 若某行(列)已有0元素，那就不必再减了。
④
7 4 0 11 0
0 3 8 8 4
2 0 3 0 1
0 0 5 0 4
2 0 0 4 3
运筹学
已具有n个独立0元素。这 就得到了最优解，相应的解 矩阵为： 由解矩阵得最优指派方案 甲—B，乙—D，丙—E，丁—C，戊—A
0 0 0 0 1
想想看！
运筹学
指派问题的形式表述
给定了一系列所要完成的任务（tasks）以及 一系列完成任务的被指派者（assignees）， 所需要解决的问题就是要确定出哪一个人 被指派进行哪一项任务，使总的效率最高？
运筹学
指派问题的假设
被指派者的数量和任务的数量是相同的 每一个被指派者只完成一项任务 每一项任务只能由一个被指派者来完成
表1
任 人员 甲 乙 丙 丁 务
《指派问题》课件
指派问题的扩展研究
多目标指派问题
应用场景：生产调度、资源 分配等
解决方法：线性规划、启发 式算法等
定义：指派问题在多个目标 下的扩展
挑战：如何在多个目标之间 找到最优解
动态指派问题
动态指派问题的定 义
动态指派问题的应 用场景
动态指派问题的求 解方法
动态指派问题的优 化策略
大规模指派问题
问题定义：大规模 指派问题是指在给 定一组任务和一组 资源，如何将任务 分配给资源，使得 总成本最小化或总 收益最大化。
混合算法
混合算法的概念： 将多种算法进行 组合，以获得更 好的优化效果
混合算法的优点： 能够充分利用各 种算法的优点， 提高优化效果
混合算法的应用： 在指派问题中， 混合算法可以结 合多种算法，如 遗传算法、模拟 退火算法等，以 提高优化效果
混合算法的挑战： 如何合理选择和 组合各种算法， 以获得最佳的优 化效果
应用场景：大规 模指派问题广泛 应用于物流、供 应链、生产调度 等领域。
研究方法：大规 模指派问题的研 究方法包括启发 式算法、遗传算 法、神经网络等。
挑战与展望：大规 模指派问题的挑战 在于如何设计高效 的算法，以及如何 解决大规模问题中 的优化问题。未来 的研究方向包括分 布式计算、并行计 算等。
禁忌搜索法：在搜索过程中引入禁忌表，避免重复搜索已搜索过的解
元启发式方法
基本概念：元启发式 方法，也称为元启发 式算法，是一种基于 启发式策略的优化方 法。
特点：元启发式方 法具有自适应性、 鲁棒性和易于实现 等特点。
应用：元启发式方法 在指派问题、路径规 划、调度等问题中都 有广泛的应用。
实例：遗传算法、模 拟退火算法、蚁群算 法等都是元启发式方 法的典型代表。
指派问题
与模型1相比：
1. 约束相同；
2 寻找独立0元素
若看作第三列 上的惟一0元素
用一直线覆 盖所在行
0 0 0 0 0
3 1 2 0 2
0 11 8 7 7 3 3 2 1 5 0 4 3 4 0
只圈出4个0， 即：只有4个独 立的0元素，少 于系数矩阵的 阶数5。
第二列只有惟 一0元素
若C=(cij)n×n的第一行各元素分别加上一个常数k， 得到一个新矩阵C’=(c’ij) n×n
c11 k c C ' 21 cn1 c12 k ... c1n k c22 ... c2 n ... ... cn 2 ... cnn
效率矩阵C’
练习 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄 法五种文字。分别记作E、J、G、R、F。现有甲、乙 、丙、丁、戊五人，他们将中文说明书翻译成不同语 种的说明书所需时间如下表。问应指派何人去完成何 工作，使所需总时间最少？
任务 人
E 12 8 7
J 7 9 17
G 9 6 12
R 7 6 14
F 9 6 9
第五节 指派问题
assignment problem
• • • • 指派问题的数学模型 指派问题解的特点 指派问题的求解方法——匈牙利法 非标准形式的指派问题
一、指派问题的数学模型
例、有四项任务需分派给甲、乙、丙、丁四个人去 做，这四个人都能承担上述四项任务，但完成各项任 务所需时间如下表所示。问应如何分派任务可使完成 任务的总工时最少？
指派问题——匈牙利法
指派问题的匈牙利解法
为 m，令矩阵 B (bij )nn , bij m cij ，则 以 B为效率矩阵的最小化指派问题和以C为 效率矩阵的原最大化指派问题有相同的最优
解；
非标准形式的指派问题
(2) 资源数量(人数等)与事件数不等的指派
•若资源少，事件多，则增加一些虚拟的 资源点，这些虚拟的资源做事件的效率 系数为0，可理解为这些费用(成本)实际 上不会发生；
若◎元素的数目m=n，则该指派问题的最优 解已经得到，否则转入Step 3；
13
指派问题的匈牙利解法——步骤（续）
Step 3. 设有 m<n 个◎, 找最少覆盖所有0的直线 1) 对没有◎的行打√ 2) 对已打√行中含所在列打√ 3) 对已打√列中含◎所在行打√ 4) 重复2)~3), 直至没有要打√的行和列为止 5) 对没有打√的行划横线, 对打√的列划竖线 得到最少覆盖所有0的直线数l。
nn
n
n
cijxij ckjx kj (s) x kj
i1 j1
j1
j1
ik
nn
n
cijxij ckjx kj (s)
i1 j1
j1
ik
z (s)
指派问题的匈牙利解法
• 根据此定理，可以对 做如下改变，目的是 找出C 中的 n个不同行不同列的0元素：
0
指派问题
指派问题 数学试验
§4 指派问题
指派问题是整数规划的一类重要问题。也是在实际生活中经常 遇到的一种问题：由n项不同的工作或任务，需要n个人去完成 （每人只能完成一项工作）。由于每人的知识、能力、经验等 不同，故各人完成不同任务所需的时间（或其它资源）不同。 问应只排哪个人完成何项工作所消耗的总资源最少？ 一。 指派问题的数学模型 引进0-1变量
-4 -7 -6 -6 -6
0 0 → 0 0 0
4 3 11 8 2 10 7 3 3 6 2 1 1 8 0 4 3 6 4 0
-1 -3
✓
0 0 → C1 = 0 0 0
3 0 11 8 1 7 7 3 ✓ 2 3 2 1 ✓ 0 5 0 4 2 3 4 0
在只有一个0元素的行（或列）加圈，表示此人只能做该事 （或此事只能由该人来做），每圈一个“0”，同时把位于同 列（或同行）的其他零元素划去。表示此时已不能再由他 人来做（或此人已不能做其它事）。如此反复，直到矩阵 中所有零元素都被圈去或划去为至。 在遇到所有行和列中，零元素都不止一个时，可任选其中 一个加圈，然后划去同行、同列其他未被标记的零元素。 例
-7 -6 -6 -7
1 0 X * = 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0
从而导出匈牙利解法的思想：
二。匈牙利解法 匈牙利法是1955年由库恩（W.W.Kuhn）根据匈牙利 数学家狄·考尼格（d.konig)关于矩阵中独立零元素的定理 发明的。 匈牙利法的基本原理： 定理1 将效率矩阵的某一行（或某一列）的各个元素都减去 同一个常数t (t可正可负），得到新的矩阵，则以新矩阵为 效率矩阵的指派问题与原指派问题的最优解相同。但其最 优值比原最优值减少t 。 解：设效率矩阵C为
指派问题
0 1 X＝ 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 、丁 做第三项, 最高总分Z＝92＋95＋90＋80＝357
人数和工作数不相等的指派问题
• 像处理不平衡运输问题那样，根据情况，虚设人，或者虚设 工作任务。虚设人完成工作的费用以及任何人完成虚设工作 的费用取零（理解为这些费用实际不会发生）。这样一来， 便可将人数和工作数不相等的指派问题转化为标准形式的指 派问题。
2 2 0 0
0 1 2 1
0 0 0 1
• 步骤三：找出独立零元素。
4 ◎ 0 2 0 Φ
2 ◎ 0 Φ 0 2 1 Φ 0 0 2 ◎ 0 Φ 0 1 1 ◎
4 Φ 0 2 0 ◎
2 ◎ 0 Φ 0 2 1 ◎ 0 0 2 Φ 0 ◎ Φ 0 1 1
' M cij ，其中 M max cij ，则 令 cij
1i , j n
n
n
i 1 j 1
' ' z cij xij (M cij xij ) M xij cij xij Mn z ' i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1
• 找独立0元素，常用的步骤为：
从只有一个0元素的行开始，给该行中的0元素加圈，记作◎ 。
然后划去◎ 所在列的其它0元素，记作Ø ；这表示该列所代 表的任务已指派完，不必再考虑别人了。依次进行到最后一 行。
从只有一个0元素的列开始（画Ø的不计在内），给该列中的0
元素加圈，记作◎；然后划去◎ 所在行的0元素，记作Ø ， 表示此人已有任务，不再为其指派其他任务了。依次进行到 最后一列。
指派问题(含非实用标准指派问题)
第五章 整数规划§1 整数规划的数学模型及特点要求一部分或全部决策变量必须取整数值得规划问题称为整数规划。
其模型为：Max(或min)z=∑=nj j jx c1s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=≥=≤∑=nj nj i ij ij xx x nj x m i b x a ,,,2,10,2,1),(211若要求决策变量只能取值0或1的整数规划称为0-1型整数线性规划。
§5 指 派 问 题 一． 指派问题的标准形式及数学模型在现实生活中，有各种性质的指派问题。
例如，有若干项工作需要分配给若干人（或部门）来完成；有若干项合同需要选择若干个投标者来承包；有若干班级需要安排在各教室上课等等。
诸如此类的问题，它们的基本要求是在满足特定的指派要求条件下，使指派方案的总体效果最佳。
由于指派问题的多样性，有必要定义指派问题的标准形式。
指派问题的标准形式（以人和事为例）是：有n 个人和n 件事，已知第i 个人作第j 件事的费用为),2,1,(n j i c ij =，要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，是完成这n 件事的总费用最少。
为了建立标准指派问题的数学模型，引入2n 个0-1变量：⎩⎨⎧=10ij x这样，问题的数学模型可写成 ∑∑===ni nj ij ijx cz 11min （5.1）s.t ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧======∑∑==n j i x n i x n j x ij n j ij n i ij ,2,1,1,0,2,11,2,1111 （5.3）其中，（5.1）表示每件事必优且只有一个人去做，（5.2）表示每个人必做且只做一件事。
中部分或全部取整数 若指派第i 人作第j 件事若不指派第i 人作第j 事i ，j=1,2,…n（5.2） （5.4）注：○1 指派问题是产量（i a ）、销量（j b ）相等，且i a =j b =1，i ，j=1,2,…n 的运输问题。
○2 有时也称ijc 为第i 个人完成第j 件工作所需的资源数，称之为效率系数（或价值系数）。
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甲 乙 丙
7 9 8 8
5 12 5 5
9 7 4 4
8 11 6 6
某件事不能由某个人做的指派问题
匈牙利指派问题 有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分别承担这些 任务，但由 于每人特长不同，完成各项任务的效率等情况也不同。 现假设必须 指派每个人去完成一项任务，怎样把 n 项任务指派给 n 个人，使 得完成 n 项任务的总的效率最高，这就是指派问题。 例6．有四个工人，要分别指派他们完成四项不同 的工作，每 人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派 工作，才能 使总的消耗时间为最少。如图（1）
5 2 如： 3 4 6
9 3 4 0 7 4 3 0 8 5 9 0 6 2 7 0 5 7 4 0
（1）
4 3 6 5 0
3 2 9 4 0
6
5
5 4 11 7 3 0
（2）
6 0
2 6 8 7 0
一个人可做几件事的指派问题
独立零元素的个数m等于最少直线数l，即l ＝m=3<n=4；
Ø 0 1 ◎ 0 Ø 0 2
34 6 1 Ø 3 0 0 0 ◎ 5 Ø
1 0 Ø 2 ◎ 0 3
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
将该人做此事的效率系数取
做足够大的数，可用M表示。
例：有A B C D 四个公司去投标5个施工工程。其投资额 （万）如下表（3）。其中A不能投第四个工程。
一
甲 乙 丙 丁 20 21 23 18
二
25 27 22 29
三
30 26 29 40
四
27 30 32 25
五
40 36 42 38
由于A不能投资第四个工程，那么使A 对第四个工程的投资额M=100万，则 如表4：
这是一个简单的0—1整数规划模型。我们可以用匈牙利指派法来解决。 匈牙利法：系数矩阵中独立 0 元素的最多个数等于能覆盖所有 0 元 素的最少直线数。从而只需要找到n个独立0元素。 匈牙利解题步骤： 第一步：变换指派问题的系数矩阵（cij ）为(bij)，使在(bij)的各行各列 中都出现0元素，即 (1) 从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素； (2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。 第二步：进行试指派，以寻求最优解。 在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独立0元素，就以 这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优 解。找独立0元素，常用的步骤为：
5
◎ 0
5 3 4 2 3 Ø 0 ◎ 0 3
√
减2
3 3 ◎ 0 0 Ø 6 2 5 2 0 Ø 3
√ 减2
第四步，变换矩阵(bij)
以增加0元素：没有被 直线覆盖的所有元素中
的最小元素为2，然后
√ 减2 打√各行都减去2；打 √各列都加上2，得如 下矩阵，并转第二步进 行试指派：
列最小元
1
1
试指派—圈零得分配方案
2 1 ◎ 0 2 2
找到4个独立o元素，但m<n=4
◎ 5 0 3 3 ◎ 0 5 3 0 Ø 4 2 6 2 Ø 3 0 5 2 Ø ◎ 0 3 0 3
第三步：做最少直线覆盖所有0元素
2 1 ◎ 0 2 2
20 21 23 18
25 27 22 29
30 26 29 40
100 30 32 25
40 36 42 38
小结 对于标准的指派问题，我们可以通过匈牙利 指派解法来解决。而更深入的指派问题，如人 员与任务不等的指派问题，我们仍可以通过转 化成为标准的指派问题，再来解决。 指派问题的目标就是在解决问题时，如何分 派使所消耗的总资源最少(或总体效益最优)。 如：给工人分派工作，给车辆分配道路，给工 件分配机床等等。同时许多网络问题(如旅行 问题、任务分配问题、运输问题等)都可以演 化成指派问题来解决。在现实生活中，指派问 题是十分常见的实际问题，利用数学建模思想， 匈牙利解法可以很好地解决指派问题。
行最 小元
5 2 3 4 6
9 3 6 7 7 4 1 2 8 5 9 6 6 2 7 5 5 7 4 8
3 1 3 2 4
2 1 0 2 2
6 0 3 4 6 3 0 1 5 2 6 3 4 0 5 3 1 3 0 4
指派问题 主讲人：第五组 指导老师：胡松瀛
主讲内容： 1. 整数规划 2. 0—1整数规划 3. 匈牙利指派问题
—、整数规划：我们在解题 过程中往往会出现非整数结 果，然而在现实中，又常常 会遇到有限制整数条件的问 题，如：人力资源分配，工 作的选择等。因此我们就需 要对一些问题做整数规划。
整数规划可分为三种类型； 纯整数规划—即约束决 策变量都是非负整数—人 口的统筹 0—1整数规划—即约束 决策变量只有0和1；人才 的管理 混合型整数规划—即约 束变量部分是非负整数；
1 (当指派第i个人去完成第j件事） ij
n n i 1 j 1
M inf cij xij
x
j 1
n
ij
1
表示第i个人只能完成一个工作任
1
x
i 1
n
ij
表示1个人只能完成第j个任务
指派问题的的价值系数ci j 构成的n 阶方阵C =[ cij ]称为价值矩阵或系数 矩阵 对于问题的每一个可行解,可用X =[ xij ]来表示, 矩阵的每行和每列 中有且只有一个1 在系数矩阵中，位于不同行不同列 的0元素称为独立0元素
即：甲做C工作、乙做D工作、 丙做A工作、丁做E工作、戊 做B工作。
这只是一个简单的指派问题，即 人数与任务的个数相等; 而我们生活中还常常会遇到以下 几种问题： 人数与工作不相等的指派问题； 一个人可做几件事的指派问题； 某件事不能由某个人做的指派 问题；如下：
人数与工作不相等的指派问题 例：某企业招聘工作人员m个，有n个工作；且每个人只能做 一个工作，一个工作只能有一个人做。 若m>n 则：模拟m—n个工作。（1） 若m<n 则：模拟n—m个工作人员。（2）
(1) 从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作◎ 。然 后划去◎ 所在列(行)的其它0元素，记作Ø ；这表示这列所代表的任务 已指派完，不必再考虑别人了。 (2) 给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作◎；然后划去◎ 所在行的0元素，记作Ø ． (3) 反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都被圈出和划掉为 止。
(4) 重复(2)，(3)直到得不出新的打√号的行、
列为止； (5) 对没有打√号的行画横线，有打√号的列 画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直 线数 l 。l 应等于m，若不相等，说明试指派 过程有误，回到第二步(4)，另行试指派；若 l＝m < n，须再变换当前的系数矩阵，以找 到n个独立的0元素，为此转第四步。 第四步：变换矩阵(bij)以增加0元素。 在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元 素，然后打√各行都减去这最小元素；打√各 列都加上这最小元素（以保证系数矩阵中不 出现负元素）。新系数矩阵的最优解和原问 题仍相同。转回第二步。
0—1整数规划：如果整数现行规划问题的 所有决策变量xi仅限于0或1两个数值，则 称此问题为0—1线性整数规划，简称0— 1规划。变量xi称为0—1变量。 当我们面对是与非选择，可用0与1决策； 即i决策量 1是做这件事
x 0是不做这件事
i
一般指派问题的数学模型为：设
x
s.T 务
例一： 有四个工人，要分别指派他们完成四项不同 的工作，每 人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问 应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最 少?
任 务 人员 甲 乙 丙 丁 戊 A B C D E
5 2 3 4 6
9 7 8 6 5
3 4 5 2 7
6 1 9 7 4
7 2 6 5 8
第一步：变换系数矩阵（减去行与列的最小元素）
(4) 若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有 两个，则从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这行各0
元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的那列的这个 0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。 然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行，直到所 有0元素都已圈出和划掉为止。
（5）若◎ 元素的数目m 等于矩阵的阶数n，那么这指 派问题的最优解已得到。若m < n, 则转入下一步。 第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。 (1)对没有◎的行打√号； (2)对已打√号的行中所有含Ø元素的列打√号； (3)再对打有√号的列中含◎ 元素的行打√号；
工作 工人 甲 乙 丙 丁
A 15 19 26 19
B 18 23 17 21
C 21 22 16 23
D 24 18 19 17
解：引入0—1变量 xij，并令 xij = 1(当指派第 i人去完成第j项工作时)或0（当不指派 第 i人去完成第j项工作时)．这可以表示为一个0--1整数规划 问题： Min z =15x11+18x12+21x13+24x14+19x21+23x22+22x23+18x24+26x31+17x32+ 16x33 +19x34+19x41 +21x42+23x43+17x44 s.t. x11+ x12+ x13+ x14= 1 (甲只能干一项工作) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (乙只能干一项工作) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (丙只能干一项工作) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (丁只能干一项工作) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( A工作只能一人干) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( B工作只能一人干) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( C工作只能一人干) x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( D工作只能一人干) xij 为0--1变量，i,j = 1,2,3,4