一次函数的图像与性质-增减性

合集下载

17.3.3 一次函数的性质(共30张PPT)

小结：一次函数的图象
函数
一次函数
解析式自变量取值范围
y = k x + b (k≠0) 全体实数
图象的特征
经过(0,b)和( b ,0)两点的一条直线.
k
b＞0
b＜0
Zx.xk
图
k＞0
象
的
位
置
k＜0
达标检测 1、将函数y= - 2x的图象沿y轴向上平移 5个单位，得到的直线的解析式为 _y_=_-__2_x_+_5__，图象经过第_一__、_二__、__四象限。
y x 2
y x 2
（增的2大图）而象当从_减_k左_小＜_到_0，时右下这，__时y降_随_函_x数．的
y减少
x增大
想一想
一次函数y＝kx＋b有哪些性质？
概括
一次函数y＝kx＋b有下列性质：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减___小__，这时函数的图象从左到右下__降___．
ox
y=2x+1
当b<0时，向下平移 b 个单位长度
y y= k x
y= k x+b
ox
如：直线y=2x向下平移1个单位长度得到y=2x-1
y=2x-1
一次函数y= k x+b（k≠0）的图象在坐标系中的位置与k,b 符号的关系
（2）k<0时，直线 y= k x+b 可以由 y= k x 通过平移得到。
1、正比例函数 y = kx 的图象都是经过坐标原点（0，0）的一条直线；
2、(1)当 k＞0时，y=kx经过一、三象限， (2)当 k＜0时，y=kx经过二、四象限；

八年级数学下册第二十一章一次函数 21.2 一次函数的图像和性质第2课时一次函数的性质课件

第21章一次函数
21.2 一次函数的图像(tú 和性质 xiànɡ)
第一页，共二十四页。
第21章一次函数
第2课时(kèshí) 一次函数的性质
知识目标目标突破总结反思
第二页，共二十四页。
21.2 一次函数的图象(tú 和性质 xiànɡ)
知识(zhī shi)目标
1.经历(jīnglì)观察图像探索一次函数的增减性的过程，会应用一次函数的增减性解决字母参数问题. 2.经历探索一次函数的图像和k，b的关系的过程，会运用一次函数的图像和比例系数的关系求解字母参数.
D.k＜0，b＜0
[解析] ∵一次函数y＝kx＋b的图像(tú xiànɡ)经过一、三象限，∴k＞0.又∵ 该图像与y轴交于正半轴，∴b＞0.综上所述，k＞0，b＞0.故选A.
第八页，共二十四页。
21.2 一次函数的图象(tú 和性质 xiànɡ)
（2）2017·广安当k＜0时，一次函数y＝kx－k的图像不经过（）
第十六页，共二十四页。
21.2 一次函数的图象(tú 和性质 xiànɡ)
【归纳总结】一次函数的其他性质：
（1）一次函数 y＝kx＋b（k≠0，k，b 为常数）与 x 轴的交点坐
b 标为（－k，0），与
y
轴的交点坐标为（0，b）；
（2）一次函数与不等式的关系：可以根据函数关系式将一个变
量满足的不等关系，转变为另一个变量满足的不等关系，从而确
第二十一页，共二十四页。
21.2 一次函数的图象(tú 和性质 xiànɡ) 2.已知直线y＝2x＋m不经过第二象限，求m的取值范围.
解：∵k＝2>0，
∴直线经过第一、三象限. ∵直线不经过第二象限，
∴直线经过第一、三、四象限，故m<0.

九种基本初等函数图像及性质

九种基本初等函数图像及性质基本初等函数包括一次函数、平方函数、立方函数、根号函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数和正切函数等9种函数。

下面简单介绍它们的图像及性质。

一次函数的图像是一条直线，表达函数的形式为：y=ax+b(a≠0)，其中a表示斜率，b表示函数的截距，函数的性质是其增减性由斜率a决定。

平方函数的图像为一条凹凸不平的抛物线，表达函数的形式为：y=ax2+bx+c，其中a、b、c为实数，a≠0，此函数的性质是其单调性由a的正负决定，是增函数当a>0时，是减函数当a<0时。

立方函数的图像是一条弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d为实数，a≠0，函数的性质是其单调性由a的正负决定，是增函数当a>0时，是减函数当a<0时。

根号函数的图像是一条弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=a√x+b，其中a、b为实数，a>0，此函数的性质是常数变动，函数的解析式在a变动时它的单调性也由正负变化。

指数函数的图像是一条右倾的曲线，表达函数的形式为：y=axb，其中a、b为实数，a>0、b≠0，函数的性质是其单调性由a、b的正负决定，是增函数当a>0且b>0时，是减函数当a>0且b<0时。

对数函数的图像是一个右倾的曲线，表达函数的形式为：y=alogx + b，其中a、b为实数，a>0，此函数的性质是变数变动，函数的解析式在x变动时它的单调性也由正负变化。

正弦函数的图像是一个周期性的曲线，表达函数的形式为：y=Asin（ωx+φ），其中A、ω、φ为实数，A>0，此函数的性质是其单调性由A的正负决定，是增函数当A>0时，是减函数当A<0时。

余弦函数的图像同正弦函数，表达函数的形式为：y=Acos（ωx+φ），其中A、ω、φ为实数，A>0，此函数的性质同正弦函数一样。

正切函数的图像为一个弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=tanx，其中x代表，函数的性质是函数的单调性变化于π/2，函数的解析式在x变动到π。

一次函数的图像与性质-增减性

解析式为
.
讨论一： (1)b的正负性是否影响到一次函数的增减性呢？ (2)一次函数的增减性由谁决定呢？
结论：一次函数y=kx+b和正比例函数一样，k决定直线的倾斜方向与倾斜程度（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；（2）当k＜0时，y随x的增大而_____，这时函数的图象从左到右_____．
12.2.4 一次函数图象与性质 ——k、b的实际意义
学习目标： 1.掌握一次函数的性质 2.掌握k、b的实际意义 3.运用函数性质解决简单问题
考纲要求：一次函数的意义(C) 一次函数的图象和性质(C)
复习回顾：
正比例函数y=kx(k是常数，k≠0）的大致图像与性质有哪些？
y
y
0
x
0
x
练习
(2)当m+1<0即m<-1时y随x的增大而减小。
例2、已知点(2,m) 、(-3,n)都在直线y=3x-1上，试比较 m和n的大小。
解：方法一把两点的坐标代入函数关系式方法二根据函数增减性进行比较方法三图像法
变式.已知点(2,m) 、(-3,n)都在直线y=kx-5(k<0)
上，试比较 m和n的大小。你能想出几种判断的方法?
试一试
1、下列一次函数中，y的值随x的增大而减小的有________
（1）y 1 x 2
（2）y 2x 3
（3）y 3x 4
（4）y x 3
例1、已知函数y=(m+1)x-3 (1)当m取何值时，y随x的增大而增大？ (2)当 m取何值时，y随x的增大而减小？
解（： 1）当m+1>0即m>-1时y随x的增大而增大;

一次函数

一次函数知识点一：一次函数图像的特点两点确定一条直线，根据这个特点，我们在画一次函数的图像时，可以确定两个点，再过这两个点做直线就行了，而且，为了简单，我们常选过点（0，b ）和)0,(kb-作直线。

由观察可知：（1）正比例函数的图像时一条直线，并经过两个象限。

（2）当k>0,其图像经过第一、三象限，当k<0时，其图像经过第二、四象限。

知识点二：一次函数及图像的性质（1）增减性: 对于一次函数y=kx+b当k>0,y 的值随x 的增大而增大；当k<0，y 的值随x 的增大而减小；（2）图像所在的象限：当ｋ>0,b>0,图像位于第一、二、三象限；当k>0,b<0,图像位于第一、三、四象限；当k<0,b>0,图像位于第一、二、四象限；当k<0,b<0，图像位于第二、三、四象限；（3）两直线的位置关系：直线111b x k l +=和直线222b x k l +=⎩⎨⎧≠=相交与则则21212121,//,l l k k l l k k 知识点三：正比例函数图像与一次函数图像的关系一次函数b kx +=y 的图像是一条直线，它可以看作是由直线kx =y 沿y 轴平移b 个单位长度得到（当b >0时，向上平移；当b<0时，向下平移）一次函数的解题技巧一次函数是初中数学最重要的内容之一，它的知识结构体系非常丰富，在具体的解题过程中会运用到许多重要的思想方法：如数形结合思想，函数思想，转化和化归的思想，综合运用思想等，掌握一次函数的解题技巧，可以提高同学们的学习效率，下面举例说明：例题例1 如图，直线y=ax+b 经过点A （-1，-2）和B （-2，0），直线y=2x 过点A ，则不等式02≤+<b kx x 的解集是为：（）A.x<-2B.-2<x<-1C.-2<x<0D.-1<x<0分析：根据不等式2x ＜kx+b ＜0体现的几何意义得到：直线y=kx+b 上，点在点A 与点B 之间的横坐标的范围．解答：解：不等式2x ＜kx+b ＜0体现的几何意义就是直线y=kx+b 上，位于直线y=2x 上方，x 轴下方的那部分点，显然，这些点在点A 与点B 之间．故选B ．点评：本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．二：函数思想通过学习函数使我们逐步用函数的观点，方法去思考问题，将已知条件或所给数量关系进行转化，借助函数的图像或性质去解决问题。

2023年中考数学考点总结+题型专训专题15 一次函数的应用与综合篇(原卷版)

知识回顾专题15一次函数的应用与综合1. 一次函数的图像与性质：一次函数与x 轴的交点坐标公式为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-0 ，k；与y轴的交点坐标公式为：()b ，0。

2. 一次函数的平移：①左右平移，自变量上进行加减。

左加右减。

即若()0≠+=k b kx y 向左移动了m 个单位，则平移后的函数解析式为：()()0≠++=k b m x k y ；若()0≠+=k b kx y 向右移动了m 个单位，则平移后的函数解析式为：()()0≠+-=k b m x k y 。

②上下平移，解析式整体后面进行加减。

上加下减。

k 的取值 b 的取值所在象限y 随x 的变化情况大致图像0＞k0＞b （图像交于y 轴正半轴）一二三象限y 随x 增大而增大0＜b （图像交于y 轴负半轴）一三四象限0＜k0＞b （图像交于y 轴正半轴）一二四象限y 随x 减小而减小0＜b （图像交于y 轴负半轴）二三四象限即若()0≠+=k b kx y 向上移动了m 个单位，则平移后的函数解析式为：()0≠++=k m b kx y ；若()0≠+=k b kx y 向下移动了m 个单位，则平移后的函数解析式为：()0≠-+=k m b kx y 。

3. 一次函数的对称变换：①若一次函数关于x 轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。

即()0≠+=k b kx y 关于x 轴的函数解析式为：()0≠+=-k b kx y ，即()0≠--=k b kx y 。

②若一次函数关于y 轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。

即()0≠+=k b kx y 关于y 轴的函数解析式为：()()0≠+-=k b x k y ，即()0≠+-=k b kx y 。

③若一次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。

即()0≠+=k b kx y 关于原点的函数解析式为：()()0≠+-=-k b x k y ，即()0≠-=k b kx y 。

初中数学知识归纳一次函数的像与性质

初中数学知识归纳一次函数的像与性质初中数学知识归纳：一次函数的像与性质一次函数在初中数学中占据着重要的地位，它是一种线性函数，也被称为直线函数。

在这篇文章中，我们将归纳一次函数的像与性质，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、函数的定义与表达方式一次函数可以表示为 f(x) = ax + b 的形式。

其中，a 和 b 分别是实数，且a ≠ 0。

函数 f(x) 的定义域是全体实数集 R，值域也是全体实数集 R。

二、一次函数的图像特点1. 直线图像一次函数的图像是一条直线，可以用直线的斜率和截距来确定。

斜率 a 决定了直线的倾斜程度，而截距 b 决定了直线与 y 轴的交点。

2. 斜率的意义斜率 a 反映了函数的变化率。

当 a > 0 时，直线向右上方倾斜；当 a < 0 时，直线向右下方倾斜；当 a = 0 时，直线水平。

斜率的绝对值越大，表示直线的变化越快。

3. 截距的意义截距 b 表示了直线与 y 轴的交点，也就是在 x = 0 时，函数的值。

当 b > 0 时，直线在 y 轴的下方交点；当 b < 0 时，直线在 y 轴的上方交点；当 b = 0 时，直线经过原点。

三、一次函数的像一次函数的像指的是函数中的自变量对应的函数值，也就是函数的输出值。

对于一次函数 f(x) = ax + b，我们可以通过给出 x 的值，计算得到对应的 y 值。

1. 函数值的计算给定一个 x 值，计算对应的 y 值可以使用函数表达式 f(x) = ax + b。

将 x 值代入表达式中，即可得到 y 的值。

2. 函数值的含义一次函数的像反映了自变量和函数值之间的对应关系。

通过计算函数值，我们可以推断自变量的变化对函数值的影响。

四、一次函数的性质一次函数具有一些重要的性质，我们将逐一进行归纳。

1. 线性关系一次函数是一种线性函数，它满足函数关系的线性特性。

换句话说，函数的图像是一条直线，而且随着自变量的变化，函数值也呈线性变化。

初二数学一次函数图象及性质(含答案)

一次函数图象及性质中考要求例题精讲一、一次函数的概念一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．二、一次函数的图象⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线．⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可． ①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即直线与两坐标轴的交点．⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．三、一次函数的性质1．一次函数图象的位置在一次函数y kx b =+中：⑴当0k >时，其图象一定经过一、三象限；当0k <时，其图象一定经过二、四象限．⑵当0b >时，图象与y 轴交点在x 轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b <时，图象与y 轴交点在x 轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号． 2．一次函数图象的增减性在一次函数y kx b =+中：⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大；⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．一、正比例函数的概念【例1】下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）15x y +=-（2）5xy =- （3）21y x =-- （4）35xy =--（5）()()212y x x x =--- （6）21x y -= 【答案】（2）是正比例函数，（1）（2）（4）是一次函数【例2】已知3a y ax -=，若y 是x 的正比例函数，则a 的值是．【解析】正比例函数的比例系数0a ≠且31a -= 【答案】4【例3】已知y m +与x n +（m ,n 为常数）成比例，试判断y 与x 成什么函数关系？【解析】依题意，设y m k x n +=+（）整理得：y kx kn m =+-【答案】y 是x 一次函数【巩固】已知2y -与x 成正比例，当3x =时，1y =,求y 与x 之间的函数关系式，并判断它是不是正比例函数。

一次函数概念、图象与性质

当 k 0时，y的值随x 值的增大而减小。
一次函数
y=kx+b
k 确定直线的方向（斜率）
b 确定直线与y轴的交点位置（截距）
直线y k x b与y轴相交于点（0，b), 、我们把b叫做直线y k x b在y轴上的截距，简称截距
已知一次函数 y=(1-2m)x+m+1 , 求满足下列条件的m的值：
2. 已知直线y=-3x+5,求一次函数的解析式，使这个函数的图象平行已知直线，且经过点（2，-4）.
已知一次函数与y=2x-3无交点，且截距为-9，
则此函数解析式为________.
3已知一次函数的图象在 y 轴上的截距是－3，且经过点（4，1）
（1）求函数的解析式；（2）求函数图象与坐标轴围成的三角形的面积。
3) 求函数图象与坐标轴的交点A,B坐标．
例２、已知一次函数y=kx+b(k≠0)在x=1时，y=5，且
它的图象与x轴交点的横坐标是６，求这个一次函数的解析式。解：一次函数当x=1时，y=5。且它的图象与x轴交点
是（６，０）。由题意得
k b 5 6k b 0
k 1 解得 b 6
正比例函数 y=kx ( k≠0 ) 直线一三象限
y随x的增大而增大
反比例函数
k y = x ( k是常数,的增大而减小 (各自象限）
K>0
K<0
二四象限
y随x的增大而减小
二四象限
y随x的增大而增大
(各自象限）
一次函数概念
形如y=kx+b(其中k、b是常数，且k≠0）的函数叫做一次函数。一次函数的定义域是一切实数
解：（1）设一次函数解析式为 y kx 3 依题意， 4k 3 1

一次函数的图像和性质

学科：数学教学内容：一次函数的图像和性质【基础知识精讲】一、一次函数的图像1.正比例函数y=kx(k ≠0,k 是常数)的图像是经过O(0，0)和M(1，k)两点的一条直线(如图13-17).(1)当k ＞0时，图像经过原点和第一、三象限；(2)k ＜0时，图像经过原点和第二、四象限.2.一次函数y=kx+b(k 是常数，k ≠0)的图像是经过A(0,b)和B(-k b，0)两点的一条直线，当kb ≠0时，图像(即直线)的位置分4种不同情况：(1)k ＞0,b ＞0时，直线经过第一、二、三象限，如图13-18A (2)k ＞0,b ＜0时，直线经过第一、三、四象限，如图13-18B (3)k ＜0,b ＞0时，直线经过第一、二、四象限，如图13-18C (4)k ＜0,b ＜0时，直线经过第二、三、四象限，如图13-18D3.一次函数的图像的两个特征(1)对于直线y=kx+b(k ≠0),当x=0时,y=b 即直线与y 轴的交点为A(0,b),因此b 叫直线在y 轴上的截距.(2)直线y=kx+b(k ≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A(0，b)和B(-k b ，0).设直线与x 的夹角为α，则tg α=|k bb|=|k|，由于角α：0＜α＜90°，tg α＞,因此|k|=tg α.4.一次函数的图像与直线方程(1)一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k ≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数.(2)与坐标轴平行的直线的方程.①与x 轴平行的直线方程形如：y=a(a 是常数).a ＞0时，直线在x 轴上方；a=0时，直线与x 轴重合；a ＜0时，直线在x 轴下方.(如图13-19)②与y 轴平行的直线方程形如x=b(b 是常数)，b ＞0时，直线在y 轴右方，b=0时，直线与y 轴重合；b ＜0时，直线在y 轴左方，(如图13-20).二、两条直线的关系1.与坐标轴不平行的两条直线l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b,若l1若l2相交，则k 1≠k2;若k1≠k2，则l1与l2不平行，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解.三、一次函数的增减性1.增减性如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加(或减少)而增加(或减少)的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性.2.一次函数的增减性一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质：(1)k＞0时，y随x的增加而增加；(2)k＜0时，y随x的增加而减小.3.待定系数法求一次函数的解析式：若已知一次函数的图像(即直线)经过两个已在点A(x1，y1)和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是：(1)设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0)(2)将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=k1x1+b①y 2=k2x2+b2②(3)联立①②解方程组，从而求出k、b值.这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法.【重点难点解析】例1已知一次函数y=(m+3)x+(4-n),(1)m为何值时，y随x的增大而减小；(2)n为何值时，函数的图像与y轴的交点x轴下方；(3)m、n为何值时，函数图像与y=x+2的图像平行.解：(1)当m+3＜0,即m ＜-3时，y 随x 的增大而减小； (2)当4-n ＜0,即n ＞4时，函数的图像与y 轴的交点在x 下方； (3)当m+3=1且4-n ≠2时，即m=-2, n ≠2时，函数的图像是一条与y=x+2平行的直线.例2 当a 、b ＞0，ac ＜0，直线ax+by+c=0不通过哪个象限. 解：∵b ≠0 ∴由原函数式变形得：y=-b a x-b c∴ab ＞0 ∴-b a＜0 又∵ac ＜0,∴-b c＞0直线ax+by+c=0不通过第三象限.例3 直线l 1:y 1=k 1x+b 1 与y=2x 平行且通过A(3，4)，直线l 2:y 2=k 2x+b 2通过B(1，3)，C(-1，5)，求l 1和l 2的解析式.解：∵y 1=k 1x+b 1与y=2x 平行且通过A(3，4)∴⎩⎨⎧=+=4b 3k 2k 111解这个方程组得：⎩⎨⎧==-2b 2k 11∴l 1的解析式为:y=2x-2∵y 2=k 2x+b 2通过B(1，3)和C(-1，5)两点，将两点的坐标代入解析式得：∴l 2的解析式为：y=-x+4例4 已知一个正比例函数和一个一次函数，它们的图像都经过P(-2，1)，且一次函数在y 轴上的截距为3.(1)求这两个函数的解析式；(2)在同一坐标系中，分别画出两个函数的图像；(3)求这两个函数的图像与y 轴围成的三角形的面积.解：(1)设正比例函数和一次函数的解析式分别为y=k 1x 和 y=k 2x+b.由y=k 1x过点(-2，1)得1=-2k 1 ∴k 1=-21由y=k 2x+b 过点(-2，1)，截距为3 得：b=3 -2k 2+b=1 解得：k 2=1 b=3(2)过点O(0，0)、P(-2，1)两点画一条直线，即得函数y=-21x 的图像.经过A(0，3)和P(-2，1)画一条直线即得y=x+3的直线，如图13-21(3)直线y=x+3与y 轴交于点A(0，3)过P 作PH ⊥y 轴，则OA=3，PH=|-2|=2，而函数与y 轴所围成的三角形面积即是△APO 的面积.S △APO=21·AO ·PH =21×3×2=3例5 已知y-(m-3)与x(m 是常数)成正比例，且 x=6时，y=1；x=-4时， y=-4.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)在直角坐标系中，画出这个函数的图像；(3)求出这个函数的图像与坐标轴的两个交点之间的距离.解：∵y-(m-3)与x 成正比例 ∴可设y-(m-3)=kx,即y=kx+m-3①⎩⎨⎧-=+-=+1m k 44m k 6故所求函数关系式为：y=21x-2(2)经过A(6，1)和B(-4，-4)画直线即是函数y=21x-2的图像.如图13-22(3)当x=0时：y=21×0-2=-2 当y=0时，0=21x-2 x=4∴C(4，0)，D(0，-2)|CD|=52242222=+=+OD OC综上所述5例可见，本节重点为：①根据直线所通过的点的条件求直线方程；②根据直线方程求作直线的图像；③根据增减性、截距求直线方程；④根据两直线的位置关系求直线方程；本节的难点是求直线围成的图形的面积.解决重难点的方法是运用待定系数法和数形结合的方法.【难题巧解点拨】例6 已知函数y=|x-a|+|x+19|+|x-a-96|，其中a 为常数，且满足19＜a ＜96,当自变量x 的取值范围为a ≤x ≤96时，求y 的最大值.解：∵19＜a ＜96,a ≤x ≤96∴x-a ≥0,x+19＞10,x-a-96＜0则y=x-a+x+19+a+96-x=115+x 函数y=15+x 是一次函数，其增减性表明y 随x 的增大而增大. ∴在a ≤x ≤96的x 取值范围内，当x=96时，y 取最大值，即： y max =96+115=211说明：含绝对值的函数首先要讨论绝对值的式子的正负性质，再根据绝对值定义化简，从而得到一次函数；讨论在某一自变量的取值范围内最大值或最小值要根据一次函数的性质和自变量x 范围的两端点取值来求.例7 如图13-23在平面直角坐标系中，点O ′的坐标为(0，3)，⊙O ′与y 轴交于原点O 和点A ，又B 、C 、E 三点的坐标分别为(0，-2)、(4，0)、(x ，0)，且0＜x ＜4.(1)求点A 的坐标；(2)当点E 在线段OC 上移动时，直线BE 与⊙O ′有哪几种位置关系？(3)求出直线BE 与⊙O ′每种位置关系时，x 的取值范围.分析：直线与圆有三种位置关系，从直线与圆相切这种特殊情形，用运动变化的观点寻求结论成立的条件是解本题的关键.解：(1)∵O ′(0，3) ∴⊙′的半径为： OO ′=3，∴OA=2·OO ′=2×3=6，∴A(0，6)(2)∵点B 在⊙O ′外，BE 与⊙O ′有三种位置关系：相离、相切、相交； (3)当直线BE 与⊙O ′相切于D 点时，连结O ′D ，则△O ′BD 是Rt △. O ′D=3, O ′B=5,BD=4,OB=2,OE=x ∵△O ′BD ∽△EBO∴BD OB D O OE =＇即423=x ，解得：x=23故当23＜x ＜4时，直线BE 与⊙O ′相离；当x=23时，直线BE 与⊙O ′相切.当0＜x ＜23时，直线BE 与⊙O ′相交.例8 如图13-24，某航空公司托运行李的费用与托运行李重量的关系为一直线，由图中可知行李的重量不超过多少公斤，就可以免费托运？解：设直线方程为：y=kx+b (k 、b 是常数，k ≠0)由图可知：x=20时，y=330；x=40时，y=630;把x,y 的对应取值代入直线方程，得：解这个方程组，得：k=30,b=-570 ∴直线方程为:y=30x-570 若y=0时，30x-570=0, ∴x=19答：只要行李重量不超过19公斤时，就可免费托运.【命题趋势分析】由于一次函数是最基本的函数内容，是初中重点之一，在实际中应用十分广泛，因此是中考热点考题.有关一次函数考试主要是概念、图像、性质三个基本内容和待定系数法、数形结合法两种数学方法.【典型热点考题】例9 填空题：已知直线l:y=-3x+2，现在4个命题：①点P(1，-1)在直线l 上；②若直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，则AB=1032；③若点M(31，1)，N(a 、b)都在直线l 上，且a ＞31,则b ＞1;④若点Q 到两坐标轴的距离相等，且点Q 在l 上，则点Q 在第一或第四象限.其中正确的命题是 .(注意：在横线上填上你认为正确的命题序号)(2000年厦门市中考题)分析：检验①：只需将x=1,y=-1代入函数式看是否适合，当x=1时，y=-3+2=-1,即P(1，-1)在直线y=-3x+2上，①命题正确；检验②；当y=0时，求得x=32,即A(32，0)，当x=0时，y=2，即B(0，2)，∴AB=10322)32(22=+，命题②正确；检验③，若M(31，1)，N(a,b)都在y=-3x+2上，根据直线的性质，k=-3＜0,y 随x 的增加而减小，∴a ＞31时，应该有b ＜0,因此b ＞1错误，即命题③错误；检验④，∵Q 到两坐标轴的距离相等，设Q(m 、n)，则|m|=|n|,且n=-3m+2,由此解得：⎩⎨⎧-==11n m 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2121n m 因此Q 点在第一或第四象限，命题④正确. 因此，选①、②、④填空.例10 某居民小区按照分期付款的形式福利售房，政府给予一定的贴息，小明家购得一套现价为120000元的房子，购房时首期(第一年)付款30000元，从第二年起，以后每年应付房款5000元与上一年剩余欠款利息的和，设剩余欠款年利率为0.4%.(1)若第x(x ≥2)年小明家交付房款y 元，求年付款y(元)与x(年)的函数关系式；(2)将第三年，第十年应付房款填入下列表格中：(2000年大连市中考题)分析：首期付款后共余120000-30000=90000元房款，以后每年付款应为5000，与上一年所欠余款×0.4%，即余款的利息之和.解：(1)y=5000+[90000-5000(x-2)] ×0.4% =5400-20x(x ≥2)(2)当x=3时，y=5340，当 x=10 时，y=5200，因此第三年应付款5340元，第十年应付款5200元.例11 已知直线x-2y=-k+6和x+3y=4y+1，若它们的交点在第四象限内，(1)求k 的取值范围，(2)若k 为非负整数，点A 的坐标为(2，0)，点P 在直线x-2y=-k+6上，求使△PAO 为等腰三角形的点P 的坐标.(2000年西安市中考题)解：(1)依题意：解这个方程组，得：x=k+4,y=k-1∵两直线的交点在第四象限 ∴k+4＞0,且k-1＜0 解不等式组得：-4＜k ＜1 (2)∵k 为非负整数，∴k=0∴直线x-2y=-k+6即为：y=x21-3设P(a ，b)为直线y=x21-3上一点，作PE ⊥x 轴，垂足为E ，若使PO=PA ，则应有OE=AE ，即E(1，0)∵a=1,∴b=-25∴P 1(1,- 25)若使PO=OA=2，则a 2+b 2=4,a 2+(21a-3)2=4,45a 2-3a+5=0, △=9-25＜0此方程无解.若使PA=OA=2，则(2-a)2+b 2=4,(2-a)2+(21a-3)2=4, ∴45a 2-7a+9=0,a 1=2,a 2=518,当a 1=2时，b 1=-2，当a 2=518时 ,b 2=-56.∴P 2(2,-2)或P 3(518，56)综合上所述，点P 的坐标为(1，-25)，(2，-2)，(518，-56)如图13-25.【同步达纲练习】(时间：45分钟，满分：100分) 一、选择题(10分×6=60分)(1)一次函数y=kx+b 的图像经过点(m,-1)和点(1,m)，其中，m ＜-1,则k 和b 满足的条件是( )A.k ＜0,b ＜0B.k ＞0,b ＞0C.k ＜0,b ＞0D.k ＞0,b ＜0 (2)若一次函数y=(1-2k)x-k(x 为自变量)的函数值y 随x 的增大而增大，且此函数的图像不经过第二象限，则k 的取值范围是( )A.k ＜21B.k ＞0C.0＜k ＜21D.k ＜0或k ＞21(3)当mn ＜0 mp ＞0时，一次函数y=m n x pm的图像不经过的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (4)一次函数y=kx+b 的图像如图13-26,那么k 、b 应满足的条件是( ) A.k ＞0,b ＞0 B.k ＞0,b ＜0 C.k ＜0,b ＞0 D.k ＜0,b ＜0(5)已知函数y=x k的图像经过点(-1，1)，则函数y=kx+3的图像是( )(6)直线y=kx+b 与直线 y=-x 垂直，并且经过点(-1，1)，那么直线y=kx+b 的解析式为( )A.y=-x-2B.y=x+2C.y=x-2D.y=-x+2二、解答题(10分×3=30分)(7)已知一次函数y=(3-k)x+2k+1.①如果它的图像经过(-1，2)点，求k 的值；②如果它的图像经过第一、二、四象限，求k 的取值范围.(8)已知y+b 与x-1(其中b 是常数)成正比例.①证明：y 是x 的一次函数；②若这个一次函数的图像经过点(25，0)，且与坐标轴在第一象限内围成的三角形的面积为425，求这个一次函数，并画出它的图像.(9)已知一次函数y=(p+3)x+(2-q).①p 为什么实数时y 随x 的增大而增大？②q 为什么实数时，函数图像与y 轴的交点在x 轴的上方；③p 、q 为什么实数时，函数的图像过原点？(10)如图13-27，在直角坐标系中，点A(x 1，-3)在第三象限，点B(x 2,-1)在第四象限，线段AB 与y 轴交于点D ，∠AOB=90°，①当x 2=1时，求图像经过A 、B 的一次函数的解析式；②当△OAB 的面积等于9时，设∠AOD=α，求sin α·cos α的值.【素质优化训练】一个水池的容积是100m 3,现存水20m 3,今要灌满水池，已知进水管的流量是每小时8m 3,写出水池的水量υ与进水时间t 之间的函数关系式，并画出图像.【生活实际应用】某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出货，可获利15%，并可用本和利再投资其它商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用200元，请问根据商场的资金状况，如何购销获利最多？【知识探究学习】求直线方程的几种方法：1.如图1，若l 与x 轴的夹角为α(0＜α＜90)，直线与y 轴交于点(0，b),则直线l 方程即为：y=tg α·x+b2.若l 与x 的夹角为α(0＜α＜90)，且经过点M(x 1,y 1)，如图2，则直线l 的方程即可写为：αtg x x y y =--113.若l 经过A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),则直线l 的方程即可写为：122122x x xx y y y y --=--参考答案：【同步达纲练习】一、A C D D C B二、(7)k=34,k ＞3,(8)①y=kx-(k+b)(k ≠0)；②y=-2x+5;(9)①P ＞-3,②q ＜2,③p ≠3且q=2;(10)①y=21x-32;②sin α·cos α=61【素质优化训练】v=20+8t(0≤t ≤10) 【生活实际应用】设商场投资x 元，在月初出售，到月末可获得y 1元，在月末出售可获利y 2元. y 1=0.265x ，y 2=0.3x-700 (1) 当y 1=y 2时,x=20000 (2) y 1＜y 2时，x ＞20000 (3) y 1＞y 2时，x ＜2000。

一次函数的图象和性质

一次函数的图象和性质介绍一次函数是数学中最简单的函数之一，它的图象是一条直线。

在代数中，一次函数也被称为线性函数，因为它的图象是一条直线。

一次函数的一般形式为：y=ax+b，其中a和b是常数，x和y分别表示函数的自变量和因变量。

在一次函数中，a表示直线的斜率，决定了直线的倾斜程度；b则表示直线与y轴的截距，决定了直线与y轴的交点。

在本文档中，我们将探讨一次函数的图象和性质，包括函数图象的特点、斜率的意义以及如何通过图象判断函数在不同区间的增减性。

一次函数图象的特点一次函数的图象是一条直线，它具有以下几个特点：•直线上的两点确定一条直线：对于一次函数y=ax+b，只需要确定直线上的两个点，就可以准确绘制出整条直线。

这是因为一次函数的图象是一条直线，而直线上的两点可以唯一确定一条直线。

•斜率决定直线的倾斜程度：一次函数的斜率a决定了直线的倾斜程度。

斜率为正时，直线向右上方倾斜；斜率为负时，直线向右下方倾斜；斜率为零时，直线平行于x轴。

•截距决定直线与y轴的交点：一次函数的截距b决定了直线与y轴的交点。

当x=0时，y=b，即直线与y轴交于点(0,b)。

斜率的意义斜率是一次函数图象的重要性质，它代表了函数值随自变量变化的速率。

具体来说，斜率表示了单位自变量增加时因变量增加或减少的比率。

对于一次函数y=ax+b，斜率a的意义如下：•当a>0时，斜率表示了因变量y随自变量x的增加而增加的比率。

换句话说，斜率为正时，函数图象上的点从左到右逐渐上升。

•当a<0时，斜率表示了因变量y随自变量x的增加而减少的比率。

换句话说，斜率为负时，函数图象上的点从左到右逐渐下降。

•当a=0时，斜率为零，表示函数图象是水平的，因变量y的值保持不变。

斜率可以帮助我们理解和分析一次函数的性质，包括函数的增减性以及直线的倾斜方向。

函数的增减性通过一次函数的图象，我们可以判断函数在不同区间的增减性。

根据斜率的正负，可以得出以下结论：•若a>0，则函数图象上的点从左到右逐渐上升，表示函数在该区间上是递增的。

一次函数图像及其性质

一次函数图像及其性质一、一次函数图像1、一次函数y=kx+b 的k 、b 的值对一次函数图象的影响：① ② ③ ④①k ﹥0,b ﹥0, y ＝kx +b 的图象在一、二、三象限；②k ﹥0, b ﹤0, y ＝kx +b 的图象在一、三、四象限； ③k ﹤0,b ﹥0, y ＝kx +b 的图象在一、二、四象限；④k ﹤0, b ﹤0, y ＝kx +b 的图象在二、三、四象限。

2、一次函数的性质⑴正比例函数y=kx(k≠0)是特殊的一次函数，当k>0时，图象过一、三象限，y 随x 的增大而_增大__；当k<0时，图象过__二、四__象限；y 随x 的增大而_减小___.⑵一次函数y=kx ＋b(k ≠ 0)的图象平行于直线y = kx ,可由它平移而得，当k>0时，y 随x 的增大而_增大_；当k<0时，y 随x 的增大而__减小_k>0时，k 越大，y 增长得越快；k<0时，k 越大，减小得越快；⑴在一次函数y=kx ＋b 中，令y=0，得一元一次方程kx ＋b=0，它的根就是一次函数y=kx ＋b 的图象与x 轴交点的横坐标.⑵一元一次不等式kx ＋b>0(或kx ＋b<0)的解集可以看作一次函数y=kx ＋b 当函数值大于或小于0时相应的自变量x 值的取值范围.⑶两直线交点的坐标，就是由这两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解.题型考点一：一次函数的增减性例1、已知关于x 的一次函数2(3)2y m x m =-++-．(1) m 为何值时，函数的图象和直线y=－x 平行? (2)m 为何值时，y 随x 的增大而减小？【变式】已知一次函数y=（3-k ）x-2k 2+18. （1）k 为何值时，它的图象经过原点？（2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k 为何值时，它的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？（4）k 为何值时，它的图象平行于直线y=x ？（5）k 为何值时，y 随x 的增大而减小？题型考点二：一次函数图像与象限关系例2、直线y=x+b （b>0）与直线y=kx （k<0）的交点位于（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【练习】若实数a ，b 满足ab ＜0，且a ＜b ，则函数y=ax+b 的图象可能是（）题型考点三：一次函数图像的交点例3、如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的坐标为A （-2,4），B （4,2），直线y=kx-2与线段AB 有交点，则k 的值不可能是（） A 、-5 B 、-2 C 、3 D 、5【练习】如图，直线l ：233y x =--与直线y a =（a 为常数）的交点在第四象限，则a 可能在（）A 、1<a<2B 、-2<a<0C 、32a -≤≤-D 、-10<a<-4二、一次函数与一元一次方程的关系直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。

一次函数图像及性质总结(表格)zhyane

一次函数图像及性质总结
目录
• 一次函数图像 • 一次函数的性质 • 一次函数的实际应用 • 一次函数与其他数学知识的联系 • 一次函数的应用题解析
01 一次函数图像
图像形状
直线
一次函数的标准形式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。当k≠0时，图像为一条直线；当k=0时，图像为y轴。
斜率决定方向
02
二次函数的最值问题可以通过求导找到一阶导数等于0的点，这些点就是函数的极值点，从而转化为一次函数的问题。
与线性方程的联系
一次函数与一元一次方程紧密相关，因为一元一次方程的解就是函数的零点。
线性方程组的解可以通过消元法或代入法得到，这些方法在解决一次函数问题时也经常用到。
与三角函数的联系
详细描述
在日常生活中，我们经常面临各种选择和决策，其中最优化问题是最常见的。例如，在购物时，我们希望找到价格和质量的最佳平衡点，这可以通过比较不同产品的价格和质
量（即一次函数的斜率和y轴上的截距）来实现。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
斜率k决定了直线的倾斜方向。当k>0 时，直线从左下到右上倾斜；当k<0 时，直线从左上到右下倾斜。
图像与坐标轴的交点
与x轴交点
令y=0，解得x的值即为与x轴的交点。
与y轴交点
令x=0，解得y的值即为与y轴的交点。
图像的增减性
单调性
根据斜率k的正负判断。k>0时，函数为增函数；k<0时，函数为减函数。
高度与时间的关系
总结词
高度与时间的关系也是一次函数的应用之一。
详细描述
在航空学中，高度和时间的关系通常用一次函数来表示。例如，一个物体从静止开始自由落体运动时，其高度与时间的关系就是一次函数。

一次函数的图象、解析式和性质

XX,a click to unlimited possibilities
01 单击添加目录项标题 02 一次函数的图象 03 一次函数的解析式 04 一次函数的性质
确定函数表达式：根据一次函数的解析式，确定函数的表达式。
确定自变量的取值范围：根据实际情况确定自变量的取值范围。
值域：一次函数总是有定义且值域为实数集R 定义域：对于形如y=kx+b的一次函数，定义域为全体实数R 单调性：当k>0时，函数在R上是增函数；当k<0时，函数在R上是减函数奇偶性：一次函数既不是奇函数也不是偶函数
一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与x轴交点的横坐标即为对应的一元一次方程的解。
计算函数值：将自变量代入函数表达式，计算出对应的函数值。
Hale Waihona Puke 绘制函数图象：根据自变量和函数值的对应关系，绘制出一次函数的图象。
一次函数图象是一条直线斜率表示函数的增减性截距表示y轴上的交点函数图象的形状由系数k和b决定
水平平移：左加右减垂直平移：上加下减斜率对平移的影响：正变陡，负变缓平移与函数值的变化：左加右减，上加下减
一次函数解析式为 y=kx+b，其中k、 b为常数且k≠0
k的取值决定了函数的增减性，当 k>0时，函数单调递增；当k<0 时，函数单调递减
b的取值决定了函数与y轴的交点，即 y轴上的截距
一次函数的标准形式是y=kx+b，其中k、b的取值范围是k≠0且b为任意实数
斜率：表示一次函数图像的倾斜程度截距：表示一次函数与y轴交点的纵坐标
一次函数的标准形式为y=kx+b，其中k和b为常数，k≠0 已知两点坐标求斜率k，再求截距b 已知斜率和一点坐标求截距b 已知一个点坐标和函数值y求另一个点坐标

八年级数学一次函数的图象和性质

描点作图
将计算出的点在坐标轴上标出，并使用平滑的曲线连接这些点。
一次函数图象的特点
线性关系
一次函数图象是一条直线，函数值随自变量的变化而均匀变化。
斜率
一次函数的斜率表示函数值随自变量变化的速率，斜率k>0时，函数值随自变量增大而增大；斜率k<0时，函数值随自变量增大
而减小。
y轴上的截距
05 练习与巩固
基础练习题
2、已知一次函数$y = kx + b(k neq 0)$的图象经过第一、三、四象限，则$k$的取值范围是( )
3、已知一次函数$y = kx + b(k neq 0)$的图象经过第一、三、四象限，则$k$的取值范围是____．
1、已知函数$y = (2m + 1)x + m - 3$，若这个函数的图象不经过第二象限，则$m$的取值范围是 ____．
一次函数的表示方法
一次函数可以用解析式表示为 $y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是截距。
也可以通过表格或图象来表示一次函数的关系。
一次函数的基本性质
斜率
斜率$k$决定了函数的增减性，当$k>0$时，函数随$x$ 的增大而增大；当$k<0$时，函数随$x$的增大而减小。
单调性
一次函数的单调性由斜率决定，斜率$k>0$时，函数为增函数；斜率$k<0$时，函数为减函数。
一次函数与坐标轴的关系
一次函数与x轴的交点
当y=0时，x的值即为与x轴的交点。
一次函数与坐标轴围成的三角形面积
可以通过截距和与x轴交点来计算三角形面积。
04 一次函数的应用
一次函数在实际问题中的应用

人教版数学八年级下册课件 19.2一次函数的图像和性质 (共28张PPT)

（3）若直线y=（3-k）x-k经过第二、三、四象限，求k的取值范围：__________(4分)
课堂小结
说一说你在这节课上都收获到了什么知识？
时间是一个常数,但对勤奋者来说,是一个“变数”.
你在学业上的收获与你平时的付出是成正比的
求出y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的图像与x轴、y轴的交点，你发现了什么规律？
结论：
函数y=kx+b（k，b为
常数，k≠0）的图像
与x轴交于（-
b k
，0）
与y轴交于（0，b）
用你认为最简单的方法画出函数y=2x-1与y=-2x+l的图象.
思考：一次函数解析式y=kx+b (k, b是常数，k≠0)中，k的正负对函数图象有什么影响？（3分钟）
即它可以看作由直线
y=x向_上___平移 2 个
1 2 3 x 单位长度而得到．
函数y=x-2的图象与y轴交于点(0,-2)，即它可以看
作由直线y=x向下平移_2_
个单位长度而得到．
一次函数y=3x-4的图象是什么形状？它与直线y=3x有什么关系？
函数y=-2x+3的图像是由哪个正比例函数的图像平移得到的？需要平移几个单位长度？
y=-2x+1
y
o·· x
y=-2x-1
k的取值范围 b的取值范围
的象限
一、三、二
k>0
b<0
一、三、四
k<0
b>0
二、四、一
k<0
b<0
二、四、三
比一比看谁记得快，你发现什么规律了么？
直线y=2x-3与x轴交点坐标为_(_23__,0_)_, 与y轴交点坐标为_（__0_，_-_3_）__ 图象经过第__一_、__三_、__四__象限, y随x增大而__增__大_______.

一次函数的图像与性质-增减性

17.3.3 一次函数的性质(共30张PPT)

八年级数学下册 第二十一章 一次函数 21.2 一次函数的图像和性质 第2课时 一次函数的性质课件

九种基本初等函数图像及性质

一次函数的图像与性质-增减性

一次函数

2023年中考数学考点总结+题型专训专题15 一次函数的应用与综合篇(原卷版)

初中数学知识归纳一次函数的像与性质

初二数学一次函数图象及性质(含答案)

一次函数概念、图象与性质

一次函数的图像和性质

一次函数的图象和性质

一次函数图像及其性质

一次函数图像及性质总结(表格)zhyane

一次函数的图象、解析式和性质

八年级数学一次函数的图象和性质

人教版数学八年级下册课件 19.2一次函数的图像和性质 (共28张PPT)

八年级数学下册第二十一章一次函数 21.2 一次函数的图像和性质第2课时一次函数的性质课件