正弦函数拟合计算
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正弦函数拟合计算
一、正弦函数的一般表达式的建立
正弦函数的一般表达式为：
3210)sin(x x t x x y ++=
（1）
对于一系列的n 个点)3(≥n ：
1,,1,0),,(-=n i y t i i
（2）
要用点1,,1,0),,(-=n i y t i i 拟合计算上述方程，则使：
[]∑-=-++=1
2
3210)sin(n i i i y x x t x x S
最小。
要使得S 最小，应满足：
3,2,1,0,0==∂∂k x S
k
即：[][][][]
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-++=∂∂+-++=∂∂+-++=∂∂+-++=∂∂∑∑∑∑i i i i i i i i i i i i y x x t x x x S x t x x y x x t x x x S x t x t x y x x t x x x S x t x y x x t x x x S 32103
21032102210321012132100)sin(2)cos()sin(2)cos()sin(2)sin()sin(2
00≠x
∴ [][][][]⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧=-++=+-++=+-++=+-++∑∑∑∑0
)sin(0)cos()sin(0
)cos(.)sin(0)sin()sin(3210213210213210213210i i i i i i i i i
i i i y x x t x x x t x y x x t x x x t x t y x x t x x x t x y x x t x x
（3）
解上述4元非线性方程组，即可得到正弦函数的一般表达式的系数：3210,,,x x x x 。
二、多元非线性方程组解法
对于n 元非线性方程组，记：
()[]T
n X f X f X f X F )(,),(),(110-= ，[]110,,,-=n x x x X
以及雅克比矩阵
⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=332
3130
3322212023121110
13020100
0')()()()()()()()()()()()()()()()()(x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x
X f X F
即：
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
-
-
-=
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆∆∆⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂)()()()(.)()()()()()()()()()()()()()()()(32103210332
3130
332221202312111013020100
0X f X f X f X f x x x x x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x
X f （5）
三、正弦函数的一般表达式系数求解
要拟合正弦函数的一般表达式（1）的系数，线性方程组（5）中的表达式为：
[][][][]⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧-++=+-++=+-++=+-++=∑∑∑∑i i i i i i i i i i i i y x x t x x X f x t x y x x t x x X f x t x t y x x t x x X f x t x y x x t x x X f 321032132102
21321012132100)sin()()cos()sin()()cos()sin()()sin()sin()(
[][][][]⎪
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎪⎨⎧+=∂∂+-++=∂∂+-++=∂∂+=∂∂∑∑∑∑∑∑)
sin()()cos()()(2sin )()cos()()(2sin )()
(sin )(213
021321020213210102120
0x t x x X f x t x y x x t x x x X f x t x t y x x t x t x x X f x t x x
X f i i i i i i i i i i
[][]
[][]⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎪⎨⎧+=∂∂+--+=∂∂+--+=∂∂+=
∂∂∑∑∑∑∑∑)
cos()()sin()()(2cos )()
sin()()(2cos )()(2sin 2
1
)(213
121321021212
3212
011210
1x t x t x X f x t x t y x x t x t x x X f x t x t y x x t x t x x X f x t x t x
X f i i i i i i i i i i i i i i
[][][][]⎪
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎪⎨⎧+=∂∂+--+=∂∂+--+=∂∂+=
∂∂∑∑∑∑∑∑)
cos()()sin()()(2cos )()sin()()(2cos )()(2sin 2
1
)(213
22132102221321012210
2x t x x X f x t x y x x t x x x X f x t x t y x x t x t x x X f x t x x
X f i i i i i i i i i i
[][]⎪
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎪⎨⎧=∂∂+=∂∂+=∂∂+=∂∂∑∑∑n
x X f x t x x x X f x t x t x x X f x t x x
X f i i i i 3
32102321013210
3)()cos()()cos()()sin()(
根据前面所述的Newton 迭代法，先给出3210,,,x x x x 的初值0X ，代入公式（5）求得：