正弦函数拟合计算
正弦函数拟合计算
一、正弦函数的一般表达式的建立
正弦函数的一般表达式为：
3210)sin(x x t x x y ++=
（1）
对于一系列的n 个点)3(≥n ：
1,,1,0),,(-=n i y t i i
（2）
要用点1,,1,0),,(-=n i y t i i 拟合计算上述方程，则使：
[]∑-=-++=1
2
3210)sin(n i i i y x x t x x S
最小。
要使得S 最小，应满足：
3,2,1,0,0==??k x S
k
即：[][][][]
????
???????-++=??+-++=??+-++=??+-++=??∑∑∑∑i i i i i i i i i i i i y x x t x x x S x t x x y x x t x x x S x t x t x y x x t x x x S x t x y x x t x x x S 32103
21032102210321012132100)sin(2)cos()sin(2)cos()sin(2)sin()sin(2
00≠x
∴ [][][][]???
??
?
?=-++=+-++=+-++=+-++∑∑∑∑0
)s i n (0)c o s ()s i n (
)c o s (.)s i n (0
)s i n ()s i n (3210213210213210213210i i i i i i i i i
i i i y x x t x x x t x y x x t x x x t x t y x x t x x x t x y x x t x x
（3）
解上述4元非线性方程组，即可得到正弦函数的一般表达式的系数：3210,,,x x x x 。
二、多元非线性方程组解法
对于n 元非线性方程组，记：
()[]T
n X f X f X f X F )(,),(),(110-= ，[]110,,,-=n x x x X
以及雅克比矩阵
??
???
?
???
?
??
????
???
???????????????????????????????????=332
3130
3322212023121110
13020100
0')()()()()()()()()()()()()()()()()(x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x
X f X F
即：
????
??
?
?
?-
-
-
-=
??????? ????????
???????
?
??
???????
???????????????????????????????????)()()()(.)()()()()()()()()()()()()()()()(32103210332
3130
332221202312111013020100
0X f X f X f X f x x x x x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x X f x
X f （5）
三、正弦函数的一般表达式系数求解
要拟合正弦函数的一般表达式（1）的系数，线性方程组（5）中的表达式为：
[][][][]??
?
??
??-++=+-++=+-++=+-++=∑∑∑∑i i i i i i i i i i i i y x x t x x X f x t x y x x t x x X f x t x t y x x t x x X f x t x y x x t x x X f 32103213210221321012132100)sin()()cos()sin()()cos()sin()()sin()sin()(
[][][][]?
???????
???+=??+-++=??+-++=??+=??∑∑∑∑∑∑)
sin()()cos()()(2sin )()cos()()(2sin )()
(sin )(213
021321020213210102120
0x t x x X f x t x y x x t x x x X f x t x t y x x t x t x x X f x t x x
X f i i i i i i i i i i
[][]
[][]?????
???
???+=??+--+=??+--+=??+=??∑∑∑∑∑∑)cos()
()sin()()(2cos )()sin()()(2cos )()
(2sin 21
)(213121321021212321201
1210
1x t x t x X f x t x t y x x t x t x x X f x t x t y x x t x t x x X f x t x t x X f i i i i i i i i i i i i i i [][][][]?
???????
???+=??+--+=??+--+=??+=
??∑∑∑∑∑∑)
cos()()sin()()(2cos )()sin()()(2cos )()(2sin 2
1
)(213
22132102221321012210
2x t x x X f x t x y x x t x x x X f x t x t y x x t x t x x X f x t x x
X f i i i i i i i i i i
[][]?
???????
???=??+=??+=??+=??∑∑∑n
x X f x t x x x X f x t x t x x X f x t x x
X f i i i i 3
32102321013210
3)()cos()()cos()()sin()(
根据前面所述的Newton 迭代法，先给出3210,,,x x x x 的初值0X ，代入公式（5）求得：
[]T k x x x x X 32
10
????=?
k = 0,1,2……为迭代顺序号。
再根据公式（4）进行迭代计算，直到[]T
k x x x x X 32
10????=?达到指定的收敛
精度：ε
32
22
12
0x x x x
k k k X X X ?+=+1
就是最终的线性方程的解。
正弦函数余弦函数的图像(附答案)
正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 知识点一 正弦曲线 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线． 利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示． ②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π 2，…，2π等角的正弦线． ③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合． ⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2，－1)， (2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图． 思考 在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？ 答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下： 只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象． 知识点二 余弦曲线 余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线．
多元线性回归模型
多元线性回归模型 1 多元线性回归模型 1.1 多元回归模型的构建名称多元线性回归模型优先级高描述由于经济现象的复杂性,一个被解释变量往往受多个解释变量的影响.多元回归模型就是在方程式中有两个或两个以上自变量的线性回归模型.多元线性回归预测是用多元线性回归模型,对具有线性趋势的税收问题,使用多个影响因素所作的预测.要求输入有指标需要进行预测的cube.该cube由实施人员在实施过程中根据客户的具体需要定制,该cube中的各个测量值是相关的,各维度是与预测分析有联系的.处理由用户选择回归模型分析角度和分析指标(包括因变量和自变量.注意:此处的分析指标是指cube中的测量值,下同),系统进行回归方程的拟合以及假设检验.展示回归方程式及假设检验的结果,并利用回归方程式进行预测.具体操作步骤如下: 分析角度的选取依照以下原则: 1. 选择分析角度和分析指标(包括因变量和自变量). 若对时间序列数据的回归分析,时间维必须在同一层次上,否则,系统给出下列提示信息:"分析角度的选择有误,时间维必须在同一层次上,请做修改!",如果用户不做相应的修改,则回归模型不进行构建.其它的维度原则上只能选取一个成员,若存在选择多个的情况,系统给出相应的警告提示:"分析角度的选择可能有误,请检查!",但允许用户在不进行任何修改的情况下继续回归模型的构建;所选中的时间维成员个数必须多于"自变量的个数+3",否则给出下列提示信息:"数据量太少,不能完成回归模型的构建"; 若进行横截面数据的回归分析,除时间维外的其它维度中必须有一个是选择所有成员的,时间维只能
选择一个维成员,否则给出下列出错信息:"不同时间点的横截面数据没有可比性,不适合进行回归分析!" 如果用户不做相应的修改,则回归模型不进行构建.对于选取的所有成员的维度,其成员个数必须多于"自变量的个数+3",否则给出下列提示信息:"数据量太少,不能完成回归模型的构建"; 分析指标(包括自变量和因变量)的选取依照下列原则. 自变量的选择.自变量可以选择了多个分析指标. 因变量的选择.因变量只能选取一个指标,在编码时必须对其进行设置. 2. 回归方程的拟合回归分析原理是利用具有因果关系的经济变量的样本观测量,按照一定的实现原理来建立能够使被解释变量的计算值与实际值误差最小的回归方程,以此作为研究对象总体模型的估计参数.多元线性回归模型的构建就是求出因变量(以y表示)自变量(以表示,其中M为自变量的个数)的线性关系式: 回归模型的拟合就是利用最小二乘法求出参数的估计值(其中i=1,2,…,M).具体求解的过程如下:假设已从cube中读入了因变量(以y表示)的N(N>3)个数据,记为,自变量的(其中i=1,2,…,M)的N(N>3)个数据,记为,(注意:此处需要用一个N×M 的二维数组存放自变量的数据,数组中的每一列存放一个测量值的数据,此处与报表中所显示的格式是相同的,在报表中,一个测量值的数据也是用一个列来显示的.)参数的计算请参见下面的文档: 3. 回归结果的呈现显示回归方程式在界面上显示回归方程式 4. 回归模型的假设检验构建一个经济计量模型会涉及到模型的形式,自变量的参数,模型的总体效果等的问题,因此,利用最小二乘法估计参数构成一元线性回归模型后,还需要进行拟合优度检验,t检验和F检验等统计检验.
多元线性回归与曲线拟合――
第十章：多元线性回归与曲线拟合―― Regression菜单详解（上） （医学统计之星：张文彤） 上次更新日期： 10.1 Linear过程 10.1.1 简单操作入门 10.1.1.1 界面详解 10.1.1.2 输出结果解释 10.1.2 复杂实例操作 10.1.2.1 分析实例 10.1.2.2 结果解释 10.2 Curve Estimation过程 10.2.1 界面详解 10.2.2 实例操作 10.3 Binary Logistic过程 10.3.1 界面详解与实例 10.3.2 结果解释 10.3.3 模型的进一步优化与简单诊断 10.3.3.1 模型的进一步优化 10.3.3.2 模型的简单诊断 回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。在医学领域中，此类问题很普遍，如人头发中某种金属元素的含量与血液中该元素的含量有关系，人的体表面积与身高、体重有关系；等等。回归分析就是用于说明这种依存变化的数学关系。 §10.1Linear过程 10.1.1 简单操作入门 调用此过程可完成二元或多元的线性回归分析。在多元线性回归分析中，用户还可根据需要，选用不同筛选自变量的方法（如：逐步法、向前法、向后法，等）。
例10.1：请分析在数据集Fat surfactant.sav中变量fat对变量spovl的大小有无影响？ 显然，在这里spovl是连续性变量，而fat是分类变量，我们可用用单因素方差分析来解决这个问题。但此处我们要采用和方差分析等价的分析方法--回归分析来解决它。 回归分析和方差分析都可以被归入广义线性模型中，因此他们在模型的定义、计算方法等许多方面都非常近似，下面大家很快就会看到。 这里spovl是模型中的因变量，根据回归模型的要求，它必须是正态分布的变量才可以，我们可以用直方图来大致看一下，可以看到基本服从正态，因此不再检验其正态性，继续往下做。 10.1.1.1 界面详解 在菜单中选择Regression==>liner，系统弹出线性回归对话框如下： 除了大家熟悉的内容以外，里面还出现了一些特色菜，让我们来一一品尝。
数据拟合——线性回归
数据拟合——线性回归法 【概述】 MATLAB支持用户对数据用线性回归方法linear regression建立模型。模型是指自变量和因变量之间的关系。线性回归方法建立的模型的系数是线性的。最常用的线性回归方法是最小二乘拟合，可进行线性拟合和多项式拟合。 1.线性相关性分析Linear Correlation Analysis 在对两组测量数据建立关系模型前，最好对这些数据之间的关系作一个判断——相关性分析，看二者是否真的存在线性关系。 这里，我们只介绍相关性系数①Correlation coefficient的计算。简单的说，相关性系数是绝对值在0-1之间的数，其绝对值越接近1，表明数据之间存在线性关系的可能性越大。反之，数据越接近0，表明数据之间不太可能存在线性关系。 ?MATLAB语法：R = corrcoef(x,y) 计算数据x和y的相关系数矩阵R 示例1： x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]; y = [1 4 9 16 25 36 49 64 81 100]; R = corrceof(x,y) R = 1.0000 0.9746 此数据表明两组数据具有很强的线性关系 0.9746 1.0000 示例2： x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]; y = [0.8415 0.9093 0.1411 -0.7568 -0.9589 -0.2794 0.6570 0.9894 0.4121 -0.5440]; R = corrceof(x,y) R = 1.0000 -0.1705 此数据表明两组数据不存在线性关系 -0.1705 1.0000 2.评价数据拟合的优劣——残差计算 残差被定义为实际测量数据与利用模型拟合（预测）的数据之差。合适的模型计算的残差应该接近独立的随机误差。如果计算得到的残差具有某种特殊的模式，那么模型就不合适。 3.利用MATLAB函数进行数据拟合 ?多项式模型 MATLAB提供了2个用于多项式拟合的函数polyfit和polyval。 ?MATLAB语法：p = polyfit(x,y,n) 通过对数据x和y进行n阶多项式②拟合(基于最小二乘法)，计算n阶多项式系数p ?MATLAB语法：y = polyval(p,x) 计算以p为系数的多项式，在x处的函数值y 示例3：
多元线性回归实例分析
SPSS--回归-多元线性回归模型案例解析！(一） 多元线性回归，主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，跟一元回归原理差不多，区别在于影响因素（自变量）更多些而已，例如：一元线性回归方程为： 毫无疑问，多元线性回归方程应该为： 上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示： 那么，多元线性回归方程矩阵形式为： 其中：代表随机误差，其中随机误差分为：可解释的误差和不可解释的误差，随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样） 1：服成正太分布，即指：随机误差必须是服成正太分别的随机变量。 2：无偏性假设，即指：期望值为0 3：同共方差性假设，即指，所有的随机误差变量方差都相等 4：独立性假设，即指：所有的随机误差变量都相互独立，可以用协方差解释。 今天跟大家一起讨论一下，SPSS---多元线性回归的具体操作过程，下面以教程教程数据为例，分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系，建立拟合多元线性回归模型。数据如下图所示：
点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面：
将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内，将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个自变量拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”，当然，你也可以选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的结果：（所有的自变量，都会强行进入） 如果你选择“逐步”这个方法，将会得到如下图所示的结果：（将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选，最先进入回归方程的“自变量”应该是跟“因变量”关系最为密切，贡献最大的，如下图可以看出，车的价格和车轴跟因变量关系最为密切，符合判断条件的概率值必须小于0.05，当概率值大于等于0.1时将会被剔除）
多元线性回归拟合分析
楚雄师范学院 2012年数学建模竞赛 第一次实战训练（一）第一题论文 题目多元非线性回归拟合模型 姓名郜红霞杨环刘发稳 2012年8月20日
多元非线性回归拟合模型 摘要：本文推论了多元非线性数据拟合的通用数学模型,利用最小二乘法和极值原理,导出求解多元非线性回归方程的规范方程组。并用矩阵形式对规范方程组进行表述,在所表述的诸矩阵中,结构矩阵是其基础。用它可方便地转化出其他矩阵,这将大大简化程序的编制和规范方程组的解算。计算机根据输入数据自变量的个数和实验所作次数的多少,求解出相应的多元非线性回归方程及其评估方程质量的数据。 关键字：规范方程；非线性回归方程；最小二乘法；结构矩阵；极值原理；对称矩阵；数据分析；计算机拟合；矩阵形式自变量。
1 问题重述
要求：1.检验强影响点； 2.正态性检验； 3.相关性检验； 4.自变量的多重共线性检验； 5.残差的相关性分析，模型的合理分析。 x=（470 81 82 50 13.7 225）'。 6.预测 2 问题分析 先建立基础的多元线性回归方程，以初步确定输入变量与输出变量的关系，若预测效果不理想，则需要对方程进行进一步优化，考虑建立非线性回归方程模型或其他更优模型，反复进行判断和优化，最后得到较理想的预测方程。并用一定的评价标准对得出的预测方程进行判定，最后，用实验数据对模型预测的精度进行验证。 3 基本假设与符号说明
Q 残差平方和 E 拟合误差 ε 无偏估计值 2s 方差 R 复相关系数 SE 标准误差 4 模型建立 3.1 问题分析 3.2 模型建立 （1）我们先假设输入变量和输出变量之间的关系是线性函数关系，建立多元线性回归模型。 {) ,0(~ (2) ' '110'σεε βββN x x Y m m ++++= (2)为了在研究两个指定变量之间的相关关系的同时，控制可能对其产生影 响的其他变量，我们在研究任意两个输入变量的相互作用的判断中，运用了偏相关分析先对任意两个输入变量之间是否有交互作用进行判断。 设随机变量X 、Y 、Z 之间彼此存在着相关关系，为了研究X 和Y 之间的关系，就必须在假定Z 不变的条件下，计算和Y 的偏相关系数，记为z xy r .。 在考察多个变量时，i X （i =1，2...，p ）之间的p-1阶偏相关关系可由如下的递推式定义： 2 ) 1)...(1)(1...(12.2 ) 1...(1 2.0) 1)...(1)(1...(12.0)1...(12.0)1)...(1)(1...(12.0)...1)(1...(12.011-+---+---+-+---= p i i ip p p p i i ip p ip p i i i p i i i r r r r r r 计算得出输出变量的相关性检验。 （3）我们建立部分多元非线性回归模型，来判断在Y 与i X 的模型中有交互
正弦函数余弦函数的图像(附)
正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 知识点一 正弦曲线 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线． 利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示． ②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π 2，…，2π等角的正弦线． ③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合． ⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2，－1)， (2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图． 思考 在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？
答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下： 只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象． 知识点二 余弦曲线 余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线． 根据诱导公式sin ????x ＋π2＝cos x ，x ∈R .只需把正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图象(如图)． 要画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，????π2，0，(π，－1)，????3 2π，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象． 思考 在下面所给的坐标系中如何画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象？ 答案
正弦函数余弦函数的性质
正弦函数余弦函数的性质 教学目标 1．掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．(重点) 2．会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题．(难点) 3．了解周期函数、周期、最小正周期的含义．(易混点) [基础·初探] 教材整理1函数的周期性 阅读教材P34～P35“例2”以上部分，完成下列问题． 1．函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 2．两种特殊的周期函数 (1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． (2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 函数y＝2cos x＋5的最小正周期是________．
解：函数y ＝2cos x ＋5的最小正周期为T ＝2π. 【答案】 2π 教材整理2 正、余弦函数的奇偶性 阅读教材P 37“思考”以下至P 37第14行以上内容，完成下列问题． 1．对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． 2．对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称． 判断函数f (x )＝sin ? ?? ?? 2x ＋ 3π2的奇偶性． 解：因为f (x )＝sin ? ???? 2x ＋3π2＝－cos 2x . 且f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数． 教材整理3 正、余弦函数的图象和性质 阅读教材P 37～P 38“例3”以上内容，完成下列问题．
SPSS多元线性回归分析教程.doc
线性回归分析的SPSS操作 本节内容主要介绍如何确定并建立线性回归方程。包括只有一个自变量的一元线性回归和和含有多个自变量的多元线性回归。为了确保所建立的回归方程符合线性标准，在进行回归分析之前，我们往往需要对因变量与自变量进行线性检验。也就是类似于相关分析一章中讲过的借助于散点图对变量间的关系进行粗略的线性检验，这里不再重复。另外，通过散点图还可以发现数据中的奇异值，对散点图中表示的可能的奇异值需要认真检查这一数据的合理性。 一、一元线性回归分析 1．数据 以本章第三节例3的数据为例，简单介绍利用SPSS如何进行一元线性回归分析。数据编辑窗口显示数据输入格式如下图7-8（文件7-6-1.sav）： 图7-8：回归分析数据输入 2．用SPSS进行回归分析，实例操作如下： 2.1.回归方程的建立与检验 （1）操作 ①单击主菜单Analyze / Regression / Linear…，进入设置对话框如图7-9所示。从左边变量表列中把因变量y选入到因变量（Dependent）框中，把自变量x选入到自变量（Independent）框中。在方法即Method一项上请注意保持系统默认的选项Enter，选择该项表示要求系统在建立回归方程时把所选中的全部自变量都保留在方程中。所以该方法可命名为强制进入法（在多元回归分析中再具体介绍这一选项的应用）。具体如下图所示：
图7-9 线性回归分析主对话框 ②请单击Statistics…按钮，可以选择需要输出的一些统计量。如Regression Coefficients(回归系数)中的Estimates，可以输出回归系数及相关统计量，包括回归系数B、标准误、标准化回归系数BETA、T值及显著性水平等。Model fit项可输出相关系数R，测定系数R2，调整系数、估计标准误及方差分析表。上述两项为默认选项，请注意保持选中。设置如图7-10所示。设置完成后点击Continue返回主对话框。 图7-10：线性回归分析的Statistics选项图7-11：线性回归分析的Options选项 回归方程建立后，除了需要对方程的显著性进行检验外，还需要检验所建立的方程是否违反回归分析的假定，为此需进行多项残差分析。由于此部分内容较复杂而且理论性较强，所以不在此详细介绍，读者如有兴趣，可参阅有关资料。 ③用户在进行回归分析时，还可以选择是否输出方程常数。单击Options…按钮，打开它的对话框，可以看到中间有一项Include constant in equation可选项。选中该项可输出对常数的检验。在Options对话框中，还可以定义处理缺失值的方法和设置多元逐步回归中变量进入和排除方程的准则，这里我们采用系统的默认设置，如图7-11所示。设置完成后点击Continue返回主对话框。 ④在主对话框点击OK得到程序运行结果。
origin拟合曲线
（1）非线性相关动力学曲线的拟合 Too l→Fitting function organizer→new function→在下面function中输入准备拟合公式如：Ｓ＝｛１－exp［-exp（eRm/so（t。-t）+1］｝拟合线 Ｓ＝Ｓ。*（１－exp［-exp（2.7*Rm（t。-t）/(S。+1)］）→save→OK －打开待拟和的数据→analysis→fitting→nonlinear curve fit →open dialog →function中的gauss换最下端的new→在左边的方框里找到刚才输入的公式→OK→是，然后点击fit左边的方块，直到下边出现拟和曲线，先点第三个，再第六个，然后第七个 （2）将多条曲线在同一图上输出 先选中一系列数将其进行拟和，在拟和好的子图中双击将其放大在其左上角有个1，右键→lanyer contents→选中左边的所有数据将其移到右边→ok→一一对其进行拟和（右拟和之前先将图中的标记更改成不一样的. a. 选中图中的方框→右击→plot details→右preview中将标记更换→ok. b. 出现直线的那一条右击该直线→plot details→右最下边一行的plot type中选择scatter→ok c. 最底下的一条不是你想要的，选中该方框右击→在size 中将其改为0，然后将这些线一一进行拟和，cancel→选中删除。X轴，Y轴都可以相应的变动，两轴的单位A、Ｂ也可以变动，其右上方的标注，选中删除，然后找到sheet１，选中所有数据，在其左下方折 线图的位置，选中line+symble。出现的图中，其右上方出现了标注，可以将其复制到拟合曲线图中。注：其中标注的颜色换成黑色的，可以先选中最上边的一条线，在图的上方有 处将颜色选为黑色，如果标注中的标记不是想要的，可以在作折线图时多加几组数据，在出来的标注中选择想要的，拟合曲线中线的颜色也可以采用上述方法一一换成黑色。 图做好之后将其输出，fil e→export graphs,右image type 中选择tif 格式。File name 中自己命名，path 中选择位置。下边的DPI resolution 中选择600→ok 如下图
正弦函数和余弦函数的图像与性质
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 （1）函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ，若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作 ()x f y =，D x ∈。 （2）三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T . 规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值； 当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值； 当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值； 根据上面规定，则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有： sin 1 y y y MP r α====； cos 1 x x x OM r α====； tan y MP AT AT x OM OA α= ===； 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的 角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由． 1、正弦函数、余弦函数的定义 （1）正弦函数：R x x y ∈=,sin ； （2）余弦函数：R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 （1）[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；
多元线性回归与曲线拟合
多元线性回归与曲线拟合
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第十章:多元线性回归与曲线拟合―― Regｒessioｎ菜单详解(上) 回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。在医学领域中,此类问题很普遍，如人头发中某种金属元素的含量与血液中该元素的含量有关系,人的体表面积与身高、体重有关系;等等。回归分析就是用于说明这种依存变化的数学关系。 §1０.１Lineaｒ过程 1０．1.1 简单操作入门 调用此过程可完成二元或多元的线性回归分析。在多元线性回归分析中,用户还可根据需要,选用不同筛选自变量的方法(如:逐步法、向前法、向后法,等）。 例１０.１:请分析在数据集Ｆat sｕrｆａctant.sav中变量fａt对变量spovl的大小有无影响? 显然，在这里spovl是连续性变量,而fat是分类变量，我们可用用单因素方差分析来解决这个问题。但此处我们要采用和方差分析等价的分析方法-－回归分析来解决它。 回归分析和方差分析都可以被归入广义线性模型中,因此他们在模型的定义、计算方法等许多方面都非常近似,下面大家很快就会看到。 这里spovl是模型中的因变量，根据回归模型的要求,它必须是正态分布的变量才可以,我们可以用直方图来大致看一下,可以看到基本服从正态,因此不再检验其正态性,继续往下做。 １0．1.1.1 界面详解 在菜单中选择Regｒｅssiｏｎ＝=>liner，系统弹出线性回归对话框如下：
除了大家熟悉的内容以外，里面还出现了一些特色菜，让我们来一一品尝。 【Depｅndenｔ框】 用于选入回归分析的应变量。 【Blocｋ按钮组】 由Prevｉｏus和Ｎexｔ两个按钮组成,用于将下面Ｉnｄependｅnt框中选入的自变量分组。由于多元回归分析中自变量的选入方式有前进、后退、逐步等方法，如果对不同的自变量选入的方法不同，则用该按钮组将自变量分组选入即可。下面的例子会讲解其用法。 【Indepenｄent框】 用于选入回归分析的自变量。 【Method下拉列表】 用于选择对自变量的选入方法,有Enteｒ(强行进入法)、Sｔeｐwisｅ(逐步法）、Reｍovｅ（强制剔除法)、Bacｋwａrd（向后法）、Ｆorwaｒd（向前法）五种。该选项对当前Independenｔ框中的所有变量均有效。
Origin自定义拟合曲线教程(精)
origin7.0中虽然提供了强大的拟合曲线库外，但在实际使用中，你可能会发觉在所提供的曲线库中没有你想要拟合的公式。这时你就可以使用用户自定义公式进行拟合。过程如下： （1）打开主工具栏中analysis的non-linear curve fit....,这时会出来一个选择公式界面。（2）选择编辑公式，需要你提供公式名称以供系统保存；还要提供参数的个数及主变量及因变量符号。 （3）按你需要的公式写在编辑框内，注意千万别写错了。写完后按save进行保存。（4）现在开始拟合：在action中选dataset，提供主变量和因变量的一些相关参数。（5）在action中选simulate，在参数中填上你根据数据及其它一些条件确定的粗略的初始参数以及拟合起始点的位置及拟合点数，然后按下create curve就会在图上出现一条拟合曲线，但这往往与期望值差距较大，因此接下来需要进行参数优化。（6）参数优化采用试错法，根据曲线形状逐渐改变参数，注意，多参数时改变任何一个参数都会改变曲线形状，因此可以一次变一个参数，直到达到满意的形状。（7）在action中选fit，按下Chi-sqr和10-lit。 （8）在action中选results，按下param worksheet生成拟合曲线及数据。此时可以关闭拟合界面。 （9）在图左上角右键点1，选add/remove plot，将多余的曲线删除，将nlsf系列曲线留下。拟合数据可在param worksheet中看到。 --,0.0(X,OFF),0.0(X,OFF),0.0(X,OFF),0.0(X,OFF) 4．用自定义函数拟合 (1)自定义拟合函数 步骤：在基本模式下，Select Function..对话框中，单击”New”按钮 或高级模式下，菜单”Function”－>“New”，设置好函数名，参数，表达式，”Save” (2)指定函数变量
第二章(简单线性回归模型)2-3答案
拟合优度的度量 一、判断题 1.当 ()∑-2i y y 确定时，()∑-2 i y y ?越小，表明模型的拟合优度越好。（F ） 2.可以证明，可决系数2R 高意味着每个回归系数都是可信任的。（F ） 3.可决系数2R 的大小不受到回归模型中所包含的解释变量个数的影响。（F ） 4.任何两个计量经济模型的2R 都是可以比较的。（F ） 5.拟合优度2R 的值越大，说明样本回归模型对数据的拟合程度越高。（ T ） 6.结构分析是2R 高就足够了，作预测分析时仅要求可决系数高还不够。（ F ） 7.通过2R 的高低可以进行显著性判断。（F ） 8.2R 是非随机变量。（F ） 二、单项选择题 1．已知某一直线回归方程的可决系数为，则解释变量与被解释变量间的线性相关系数为（ B ）。 A ．± B ．± C ．± D ．± 2．可决系数2R 的取值范围是（ C ）。 A ．2R ≤-1 B ．2R ≥1 C ．0≤2R ≤1 D ．－1≤2R ≤1 3.下列说法中正确的是：（ D ） A 如果模型的2R 很高，我们可以认为此模型的质量较好 B 如果模型的2R 较低，我们可以认为此模型的质量较差 C 如果某一参数不能通过显著性检验，我们应该剔除该解释变量 D 如果某一参数不能通过显著性检验，我们不应该随便剔除该解释变量 三、多项选择题 1．反映回归直线拟合优度的指标有（ ACDE ）。 A ．相关系数 B ．回归系数 C ．样本可决系数 D ．回归方程的标准差 E ．剩余变差（或残差平方和） 2．对于样本回归直线i 01i ???Y X ββ+＝，回归变差可以表示为（ ABCDE ）。 A ．2 2i i i i ?Y Y -Y Y ∑ ∑ （－） （－） B ．2 2 1 i i ?X X β∑ （－） C ．2 2 i i R Y Y ∑ （－） D ．2 i i ?Y Y ∑（－） E ．1 i i i i ?X X Y Y β∑ （－（）－） 3．对于样本回归直线i 01i ???Y X ββ+＝，?σ为估计标准差，下列可决系数的算式中，正确的有（ ABCDE ）。 A ．2i i 2 i i ?Y Y Y Y ∑∑（－）（－） B ．2i i 2 i i ?Y Y 1Y Y ∑∑ （－）－（－）
origin拟合公式
origin中建立自己的拟合公式 2007-12-16 03:10:41| 分类：默认分类| 标签：|字号大中小订阅 1.怎么求非自然数为底的幂函数 Origin中的自然数的幂函数很容易，用EXP函数就可以了，但是其它幂函数没有，例如：将一列数据转变为以10为底，数列为幂指数，用10^col(A)就可以了。 2.如何输入σ，±这样的符号 添加文本，然后点击Ctrl+M，选择你所需的字符，插入就行了。 3.自定义公式拟和技巧 origin7.0中虽然提供了强大的拟合曲线库外，但在实际使用中，你可能会发觉在所提供的曲线库中没有你想要拟合的公式。这时你就可以使用用户自定义公式进行拟合。过程如下：（1）打开主工具栏中analysis的non-linear curve fit....,这时会出来一个选择公式界面。 （2）选择编辑公式，需要你提供公式名称以供系统保存；还要提供参数的个数及主变量及因变量符号。 （3）按你需要的公式写在编辑框内，注意千万别写错了。写完后按save进行保存。 （4）现在开始拟合：在action中选dataset，提供主变量和因变量的一些相关参数。 （5）在action中选simulate，在参数中填上你根据数据及其它一些条件确定的粗略的初始参数以及拟合起始点的位置及拟合点数，然后按下create curve就会在图上出现一条拟合曲线，但这往往与期望值差距 较大，因此接下来需要进行参数优化。 （6）参数优化采用试错法，根据曲线形状逐渐改变参数，注意，多参数时改变任何一个参数都会改变曲线形状，因此可以一次变一个参数，直到达到满意的形状。 （7）在action中选fit，按下Chi-sqr和10-lit。 （8）在action中选results，按下param worksheet生成拟合曲线及数据。此时可以关闭拟合界面。（9）在图左上角右键点1，选add/remove plot，将多余的曲线删除，将nlsf系列曲线留下。拟合数据可 在param worksheet中看到。 这样就完成了一次自定义曲线拟合。 4.如何将三个纵坐标放在一个图中 加两个图层的方法设置三个纵坐标，在想要移动的y坐标轴上点右键打开坐标轴对话框，然后选title&format---axis下拉框选at position=然后在下面的框里输入想要移动多远就可以了 5.怎样画直线穿越Y轴的图 （1）先把你的图线画出来，这时你的图中纵轴自然在最左边（2）点击纵轴，水平拖动其到x=0的位置，这样则图线不变化，仅仅是纵轴移动到了坐标的原点。 对于横轴，也可以将其上下拖动到需要的位置，如坐标原点。 另外，用鼠标拖动的时候，如果不好控制水平，或者竖直方向 也可先点中对象（坐标轴等），然后按住SHIFT键不放，点键盘上的上下或者左右方向键，即可较好 的控制移动的距离。 或者： （1）双击纵轴,打开坐标轴操作窗口 （2）点击打开TITLE&FORMAT
线性回归分析 拟合
如何用excel做线性拟合公开2009-10-12 13:43 |(分类:something useful) 在数据分析中，对于成对成组数据的拟合是经常遇到的，涉及到的任务有线性描述，趋势预测和残差分析等等。很多专业读者遇见此类问题时往往寻求专业软件，比如在化工中经常用到的Origin和数学中常见的MATLAB等等。它们虽很专业，但其实使用Excel就完全够用了。我们已经知道在Excel自带的数据库中已有线性拟合工具，但是它还稍显单薄，今天我们来尝试使用较为专业的拟合工具来对此类数据进行处理。 注：本功能需要使用Excel扩展功能，如果您的Excel尚未安装数据分析，请依次选择“工具”-“加载宏”，在安装光盘支持下加载“分析数据库”。加载成功后，可以在“工具”下拉菜单中看到“数据分析”选项 实例某溶液浓度正比对应于色谱仪器中的峰面积，现欲建立不同浓度下对应峰面积的标准曲线以供测试未知样品的实际浓度。已知8组对应数据，建立标准曲线，并且对此曲线进行评价，给出残差等分析数据。 这是一个很典型的线性拟合问题，手工计算就是采用最小二乘法求出拟合直线的待定参数，同时可以得出R的值，也就是相关系数的大小。在Excel中，可以采用先绘图再添加趋势线的方法完成前两步的要求。 选择成对的数据列，将它们使用“X、Y散点图”制成散点图。 在数据点上单击右键，选择“添加趋势线”-“线性”，并在选项标签中要求给出公式和相关系数等，可以得到拟合的直线。
由图中可知，拟合的直线是y=15620x+6606.1，R2的值为0.9994。 因为R2 >0.99，所以这是一个线性特征非常明显的实验模型，即说明拟合直线能够以大于99.99%地解释、涵盖了实测数据，具有很好的一般性，可以作为标准工作曲线用于其他未知浓度溶液的测量。
多元线性回归分析案例
SPSS19.0实战之多元线性回归分析 (2011-12-09 12:19:11) 转载▼ 分类：软件介绍 标签： 文化 线性回归数据（全国各地区能源消耗量与产量）来源，可点击协会博客数据挖掘栏：国泰安数据服务中心的经济研究数据库。 1.1 数据预处理 数据预处理包括的内容非常广泛，包括数据清理和描述性数据汇总，数据集成和变换，数据归约，数据离散化等。本次实习主要涉及的数据预处理只包括数据清理和描述性数据汇总。一般意义的数据预处理包括缺失值填写和噪声数据的处理。于此我们只对数据做缺失值填充，但是依然将其统称数据清理。 1.1.1 数据导入与定义 单击“打开数据文档”，将xls格式的全国各地区能源消耗量与产量的数据导入SPSS中，如图1-1所示。 图1-1 导入数据 导入过程中，各个字段的值都被转化为字符串型（String），我们需要手动将相应的字段转回数值型。单击菜单栏的“ ”-->“ ”将所选的变量改为数值型。如图1-2所示：
图1-2 定义变量数据类型 1.1.2 数据清理 数据清理包括缺失值的填写和还需要使用SPSS分析工具来检查各个变量的数据完整性。单击“ ”-->“ ”，将检查所输入的数据的缺失值个数以及百分比等。如图1-3所示： 图1-3缺失值分析
表1-1 能源消耗量与产量数据缺失值分析 SPSS提供了填充缺失值的工具，点击菜单栏“ ”-->“ ”，即可以使用软件提供的几种填充缺失值工具，包括序列均值，临近点中值，临近点中位数等。结合本次实习数据的具体情况，我们不使用SPSS软件提供的替换缺失值工具，主要是手动将缺失值用零值来代替。 1.1.3 描述性数据汇总 描述性数据汇总技术用来获得数据的典型性质，我们关心数据的中心趋势和离中趋势，根据这些统计值，可以初步得到数据的噪声和离群点。中心趋势的量度值包括：均值（mean），中位数（median），众数（mode）等。离中趋势量度包括四分位数（quartiles），方差（variance）等。 SPSS提供了详尽的数据描述工具，单击菜单栏的“ ”-->“ ”-->“ ”，将弹出如图2-4所示的对话框，我们将所有变量都选取到，然后在选项中勾选上所希望描述的数据特征，包括均值，标准差，方差，最大最小值等。由于本次数据的单位不尽相同，我们需要将数据标准化，同时勾选上“将标准化得分另存为变量”。
Matlab线性回归(拟合)-应用
Matlab 线性回归（拟合） 对于多元线性回归模型： e x x y p p ++++=βββ 110 设变量12,,,p x x x y 的n 组观测值为 12(,,,)1,2,,i i ip i x x x y i n =． 记 ??????? ??=np n n p p x x x x x x x x x x 2122221112 11111，??????? ??=n y y y y 21， 则?????? ? ??=p ββββ 10 的估计值为 y x x x b ')'(?1-==β 在Matlab 中，用regress 函数进行多元线性回归分析，应用方法如下： 语法：b = regress(y, x) [b, bint, r, rint, stats] = regress(y, x) [b, bint, r, rint, stats] = regress(y, x, alpha) b = regress(y, x)，得到的p+1维列向量b 即为(11.2)式给出的回归系数β的 估计值． [b, bint, r, rint, stats]=regress(y, x) 给出回归系数β的估计值b ，β的95％置 信区间（(p+1)*2向量）bint ，残差r 以及每个残差的95％置信区间（2?n 向量）rint ；向量stats 给出回归的R2统计量和F 以及临界概率p 的值． 如果i β的置信区间（bint 的第i+1行）不包含0，则在显著水平为α时拒绝0i β=的假设，认为变量i x 是显著的． [b, bint, r, rint, stats]=regress(y, x, alpha) 给出了bint 和rint 的100(1-alpha)%的置信区间． 1.三次样条插值函数的MATLAB 程序 matlab 的spline x = 0:10; y = sin(x); %插值点 xx = 0:.25:10; %绘图点 yy = spline(x,y,xx);
origin两条曲线拟合步骤
o r i g i n两条曲线拟合步 骤 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】
以英文版origin75为例： 首先是输入数据（以两个拟合曲线为例）： 一、在origin里面增加两列：点击鼠标右键，选择add new column， 二、选择C列，并将其设为X（点击鼠标右键选择） 三、从excel表格中选择需要的数据复制过来 然后是曲线拟合: 一、画散点图 全选数据后点击表格左下角的散点符号即可画出散点图 二、断开两组数据的关联 任选一点，双击，将dependent改为independent 三、第一条曲线拟合 单击最小梯度数据点，然后选择analysis→fit exponential decay→ first order 这样第一条线就拟合出来了 四、第二条曲线拟合 拟合之前需要将第一条线的拟合方程剪切，因为直接拟合第二条会将第 一条曲线方程覆盖 先选择需要拟合的数据，选择data→2g1 data1:C(X),D(Y) 然后依旧是analysis→fit exponential decay→first order，然后将剪切的方程粘贴上去，这样 然后双击进行修 改。 去掉方程的文本 框：鼠标放在文本框 上 ， 右 键 → pro per ties→选择none即可 增加图名，右键add text即可。 最后是输出图件
一、输出图片格式二、输出工程文件 file→export page file→save project as 单曲线拟合在输入数据的时候不需要增加列数，直接输 入，然后拟合即可。 带有异常值的数据在输入时就要再增加两列输入异常值， 并将其中一列设置为X，然后和两条曲线一样进行拟合即 可。