静电场与恒定电流场

电荷量：物体带电的多少 电荷的量子性
Q Ne
(e 1.6021019 C)
C:库仑
微观上表现量子性，宏观带电体的电量q>>e，准连续
点电荷 本身的线度远小于研究问题中涉及的距离
电荷守恒
在一个和外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在 任何物理过程中保持不变。
电荷与带电体运动速率无关
电荷与参考系无关 联想 热力学中的内能 热力学分子的质点模型 目前为止的基本物质与运动
dl
(
P1
)
E
( P2 )
dl
(L1)
(L2)
(L2)
Edl 0
L1
P2
L
L2 P1
在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分均为0
高斯定理给出静电场为有源场 环路定理给出静电场为保守场
1.4.2 电势差和电势
积分与路径无关
定义一个状态参量
电场的对称分布
常见的电荷分布的对称性
球对称
柱对称
面对称
球体 均匀带 球面 电的： 点电荷
柱体 无限长 柱面
带电线
平板 无限大
平面
例1-6 均匀带电球面 求半径为R, 均匀地带有总电量q (设q>0)的球面的静电场分布
分析空间中任一点的电场
看作同心球面上一点
带电球面切洋葱 例1-3
空间任一点和电场都垂直球面且 同一球面上每点电场强度相同
dE 4 0r 2 4 0 (x2 R2 )
dE dE
对称性分析，
E Ex
L dEx
dE cos
L
只有沿轴的 水平分量
xdq
L 4 0 (x2 R2 )3/ 2
x>>R
E
4
q
0x2
qx
4 0 (x2 R2 )3/ 2
例1-4 均匀带电圆板，半径为 R ，电荷面密度为 。
求轴线上任一点 P 的电场强度。
k 9 109 N m2 / C 2
F
1
4
q1q2 r2
0
1
4k
8.851012
(
N 1m 2 C 2
)
静电力常量
真空介电常数(真空电容率）
矢量形式
F
1
4 0
q1q2 r2
er
电场强度分布
E
1
4 0
q r2
er
er
从场源电荷q指 向场点
球对称 正电荷受力方向
点电荷系场强
E
Q++
场源电荷 检验电荷 场点
场力 电场强度
E
f
q0
q0 P
f
(q0静止)
注意 点电荷(尺寸小) q0足够小,对待测电场影响小
静电场
静止的场源电荷产生的电场
电场是位置函数，是矢量场
E
Er
Ex
y
z
单位
N C
只与场源电荷分布及电场所在空间属性有关
电场叠加原理
in
f fi i 1
有多个场源电荷时
S
+
一般情况
n m
E E内 E外 Ei E j
i
j
n m
e
E dS＝ (
S
S
Ei
E j ) dS
i
j
n
＝
i
m SEi dS
j
E
S
j来自百度文库
dS
1
0
n
qi
i
n个 m个
对每个电 荷用例2
对每个电 荷用例3
Φe E d s
S
q内
0
关于高斯定理
更一般的情况
de
E
dS
E
cosdS
e
E dS
S
E cos dS
S
如果是闭合曲面
e
E dS
S
E cosdS
S
规定面积元方向从闭 合面内指向面外
电力线穿入 电力线穿出
E
ds
0
E ds > 0
n
dS
E
(9c) E
S
dS
dS
1.3.2 高斯定理的表述与证明
库伦定律
静止电荷
电场
E
f
q
in i 1
fi
in
fi
q
i1 q
in
Ei i 1
1.2.2 库伦定律与静电场的计算
库伦定律
F
在真空中，两个静止点电荷之间的
相互作用力大小，与它们的电量的乘 积成正比，与它们之间距离的平方成
r
q2
反比；作用力的方向沿着它们的联线，
同号电荷相斥，异号电荷相吸。
q1
F
k
q1q2 r2
e
E ds
s
Eds E
s
ds E 4 r2
s
高斯定理 E 4 r2 qin
0
E q rˆ
4 r2
E0
r>R rR
均匀带电球面对内电场为零，对外等效球心电荷
例1-7 求均匀带电球体内、外的场强。（已知球体
半径为 R ，带电量为 Q ，电荷密度为 ）
考虑为一个一个同心球壳的叠加
r a
q0
dl
E
dA q0E dl
q0E cos dl
A
L q0 E dl
L
q0q
40r 2
dr
q0q
40r 2
dr
q0q
4 0
1 ra
1 rb
2、任意带电体系的电场
将带电体系分割为许多点电 荷元,根据电场的叠加性
E Ei
i
电场力做功为：
A q0
E dl
L
q0
利用上一题结论，取一个
dr
同心圆环为电荷微元dq
r
dE
R
xP
dE
4 0
xdq x2 r2
3/2
dq 2 rdr
x 2 rdr
dE 4 0
x2 r2 3 2
R
E dE
0
x 2 rdr 40 x2 r 2 3 2
x
2 0
1
(x2
R2 )1
2
E
2 0
1
(x2
i 1
Ei
in i 1
qi
4 0
ri
2
eri
电荷连续分布带电体场强
dE
dq
4 0r 2
er
E dE
Q
dq
4 0r 2 er
qi
ri
Q r P
dE
E Ex Ey Ez
Q
dV
dE dEx dEy dEz
Ex dEx Ey dEy Ez dEz
ds
dl
体分布，体电荷密度 面分布，面电荷密度 线分布，线电荷密度
对于 a >> L 离导线很远的地方
Ex 0
E
Ey
a
2 cos
L 4a(a2
L2
/
4)1/ 2
点电荷
L 4 a 2
q
4 a 2
例1-3 电荷 q 均匀地分布在一半径为 R 的圆环上。 计算在圆环的轴线上任一给定点 P 的场强。
取圆环上一段电荷微元dq
r
R
x
P
x
dE//
dq
dq
L
Ei dl
i
q0 Ei dl Ai L
i
i
检验电荷在任意给定的静电场中移动时,电场力对
q0 做的功仅与试验电荷的电量及路径的起点和终点
位置有关，而与具体路径无关。
静电场是保守场，静电场力是保守力
静电场的环路定理
电场强度沿闭合路径的线积分
(
P2
)
E
( P1 )
dl
(
P2
)
E
( P1 )
机械运动
分子的热力 学无规运动
电荷(运动)
0.2 导体、绝缘体和半导体
生活中可以发现在不同的物体上电荷的传导 转移表现并不一样
金属，水溶液，人体
玻璃，橡胶，塑料
容易传导的叫导体
几乎不传导的叫绝缘体
日常环境下导电性能差异的分类 导电性能可以量化 对某些取值范围的称呼 具有中间值的称为半导体 导电性能受环境影响
运动的电荷 一般电场 计算复杂
高斯定理 封闭曲面电通量与曲面内电荷的关系 关于电场的普遍基本规律
高斯定理
在真空中，通过任一闭合曲面的电通量等于
该曲面所包围的所有电荷的代数和的1/o倍
E ds
q内
Φe
S
Eds
q内
0
S
用库仑定律来验证高斯定理的结论
1. 点电荷在球形高斯面的圆心处
球面上场强
E
q
4 0 R 2
r >> l
EP
ql
4 0 r 3
电偶极矩
p ql
EP
p
4 0 r 3
例1-2 P15 真空中一均匀带电直线，电荷线密度为
。线外有一点 P ，离开直线的垂直距离为 a ，P
点和直线两端连线的夹角分别为 1 和 2 。求 P 点
的场强。
取一段电荷微元dq
dE
dq
40r 2
dx 40r 2
qi
E ds i
S
0
是高斯面上各点的场强，由闭合面内、外电荷 E 的分布决定,是全部电荷共同产生的的合场强
E dS
S
只取决于闭合面内的电量
电场的基本规律，有源场
1.3.3 高斯定理求静电场分布
E ds
i
qi
S
0
求解
E
利用对称性， 将E作为标量 提出积分式！
电荷的对称分布
1.球外某点的场强
R 求球壳外的场强可以等效为电荷集 中在球心
r ≥ R 所有球壳的外面
电荷都 在球心
r
r
1
E dS
S
0
i
qi
qi Q
i
R
E dS EdS E dS 4 r2E
S
S
S
Q
E 40r 2
2.球体内某点的场强
r<R
半径比r小的球壳 半径比r大的球壳
点电荷 0
S侧
S侧
S侧
SE dS 2rhE
qi h
i
E 2 0 r
同例1-2
例1-9 计算无限大均匀带电平面
的场强分布（电荷密度为）
面对称性 E垂直于平面
E
E
例1-4的结论
E S
dS
2底
侧
侧 0 底 2ES
SE dS 2ES
qi S
i
E 2 0
2ES S 0
同例1-4
例1-10 计算两无限大均匀带异号电荷平面的场
+++++++++ --------------
+ +
–
几种电荷的 E 线分布的实验现象：
单个点电极
正负点电极
单个带电板
正负带电板
电场通量 通过某一曲面电场线数的代数和
n E
S
S
S
n
S
S
E
E N S
e N ES
S Sen
表征电场线穿过面的方向
e ES ES cos E S
dE
dEy
dEx P
ar
1
o x dx
dEx dE cos( )
dx cos 40r 2
dx sin
dEy dE sin( )
2 x
r a
40r 2
a csc
sin( )
x a cot( - ) a cot dx a csc2 d
dEx
cos 4 0 a
d
Ex
2 1
cos 4 0 a
d
4
0
a
sin
2
sin 1
dEy
sin 4 0 a
d
Ey
2 sin d 1 40a
4 0 a
cos1
cos2
如果p在中垂线
Ex 0
Ey
a
2 cos
L 4a(a2 L2
/
4)1/ 2
对于 a L Ex 0
无线长直导线附近 0
E Ey 20a
E dS 4 r 2E S
i
qi
4 r3
3
r3 R3
Q
E
Qr
40 R3
E
R
r
对于球体外的电场，也可以看作点电荷
例1-8 求无限长带电直线的 场强分布。(已知线电荷密度 为）
E r
轴对称性 E垂直于导线
h
例1-2的结论
E
dS
qi
S
0
E dS E dS＋ E dS
S
S侧
S底
E dS EdS E dS 2rhE
d e
E
dS
EdS
q
4 0 R 2
dS
e
S
q
4 0 R 2
dS
q
4 0 R 2
dS q
S
0
E
dS
+
2. 点电荷在任意形状的高斯面内
一定可以重新做一个球面让
电荷在圆心所有电场线通过
e
E dS
S
E dS
q
S'
0
S
S’
++
3. 点电荷在闭合曲面以外
做两个同心球面
e
E dS 0
0.3 物质的电结构 原子物理
0.2 电荷的相互作用
静止电 荷q0
电场
静止电 荷q
磁 场
电场力 两个电荷之间的相互作用 电场 传递电场力的矢量场
非超距作用
第1章 静电场 恒定电流场
静止电 荷q0
静止电 荷q
静电场
电场
导体中 的运动 电荷q
恒定电流场
对称性分析
1.2 电场和电场强度
1.2.1电场的描述
x R2 )1
2
x<<R x>>R
E
2 0
无限大带电平面
E
q
4 0
x2
(q R2 )
点电荷
1.2.3 电场对电荷的作用力
F Eq
与受力电荷的运动无关
例1-5 电偶极子在均匀电场中所受的力矩
p θ F+
F qE ，
E
F-
F qE ，
M
M M
pE sin
qE
l 2
sin 2
M
qlE sin
pE
1.3 高斯定理 1.3.1 电场线与电通量
电场线
用一簇假象空间曲线形象描述场强 分布通常把这些曲线称为电场线
电场线对电场的 描述
E
电场方向：电场线上每一 点的切线方向
电场大小：在电场中任一 点，取一垂直于该点场强 方向的面积元，通过的电 场线数目为该点场强的量 值
电场线的特点
始于正电荷终于负电荷 电场线永不闭合 电场线永不相交
dq dv dq ds
dq dl
例题 1-1 P12 电偶极子轴线的中垂线上静电场 r >> l
电偶极子：一对等值异号的点电
荷构成的电荷系。
q
E E 40 r 2 l 2 4
EP 2E cos
E+
EP
P
cos
l/2 r2 l2
4
EP
4 0
ql r2 l2
32
4
E-
r
-q l q
电磁学
电荷的相互作用
数学准备
引言
常用坐标系下的线、面和体积分 矢量运算
简单的矢量分析
电磁现象的普遍性
人类对电磁现象认识的悠久历史
物质与运动，物理永恒主题下的重要组成部分
系统的学习：
电磁学
电动力学
量子电动力学
……
0.1 电荷 电荷是物质的基本属性
两种电荷：正电荷和负电荷 电性力：同号相斥、异号相吸
强分布。
1-9 结论 EA EB 20
平面之间：
+
-
EA
E内 EA EB 0
平面之外：
EB
A
B
E外 EA EB 0
1.4 电势及其梯度 静电场的功能关系
1.4.1 静电场的保守性
保守性
做工与路径无关
1、点电荷的电场
b
E
q
40r 2
q
r dr
将一检验电荷沿任意路径L 从a点到b点，电场力的功