静电场与恒定电流场
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f E q0
Q + +
场点
q0 P f
检验电荷
(q0静止)
点电荷(尺寸小) q0足够小,对待测电场影响小 静止的场源电荷产生的电场
电场是位置函数，是矢量场
E E r E x y z
单位
N
C
只与场源电荷分布及电场所在空间属性有关 电场叠加原理
f
P
dE
x
Hale Waihona Puke Baidu
x
dE//
dE
dq dE 2 4 0 r 4 0 ( x 2 R 2 )
dq
对称性分析， 只有沿轴的 水平分量 x>>R
E E x dE x dE cos
L L
xdq L 4 ( x 2 R 2 ) 3 / 2 0
E
q 4 0 x 2
如果p在中垂线
Ex 0
L Ey 2 cos a 4 a(a 2 L2 / 4)1/ 2
对于
a L
无线长直导线附近
0
Ex 0
E Ey 2 0 a
离导线很远的地方
对于
a L
Ex 0
E Ey 2 cos a L 2 2 1/ 2 4 a(a L / 4)
点电荷
L q 2 4 a 4 a 2
例1-3 电荷 q 均匀地分布在一半径为 R 的圆环上。 计算在圆环的轴线上任一给定点 P 的场强。
R
r
取圆环上一段电荷微元dq
S S
E
(9c)
S
规定面积元方向从闭 合面内指向面外
电力线穿入 电力线穿出
E ds 0 E ds 0
dS
dS
1.3.2 高斯定理的表述与证明
库伦定律 静止电荷 运动的电荷 电场 一般电场
计算复杂
高斯定理 封闭曲面电通量与曲面内电荷的关系
关于电场的普遍基本规律
qx 4 0 ( x 2 R 2 )3 / 2
例1-4 均匀带电圆板，半径为 R ，电荷面密度为 。 求轴线上任一点 P 的电场强度。 dr r
R
利用上一题结论，取一个 同心圆环为电荷微元dq
dE
x
P
dE
40 x r
2
2
xdq
2 3/ 2
dq 2 rdr
r
dE
Q
P
E
Q
dE
dq e 2 r 4 0 r
E Ex Ey Ez
dE dEx dE y dEz
Ex dE x E y dE y Ez dE z
Q
dV
ds
dl
体分布，体电荷密度
S’
0
3. 点电荷在闭合曲面以外
做两个同心球面
e E dS 0
S
+
一般情况
n m E E内 E外 Ei E j i j
n m e E dS＝ ( Ei E j ) dS S S i j
dx a csc d
2
cos dEx d 4 0 a
Ex
2
1
cos sin 2 sin 1 d 4 0 a 4 0 a
sin dE y d 4 0 a
Ey
2
1
sin cos1 cos 2 d 4 0 a 4 0 a
dE
dEx P dEy
1
a
r
o x dx
dx cos dEx dE cos( ) 4 0 r 2 dx sin dEy dE sin( ) 4 0 r 2 2 x a r a csc sin( )
x a cot( - ) a cot
电场线的特点 电场线永不闭合 电场线永不相交
+
+
–
--------------
+++++++++
几种电荷的 E 线分布的实验现象：
单个点电极
正负点电极
单个带电板
正负带电板
电场通量
通过某一曲面电场线数的代数和
S
E
S
n
n
S
E
S
S
N E S
S Sen
高斯定理
在真空中，通过任一闭合曲面的电通量等于 该曲面所包围的所有电荷的代数和的1/o倍
ds
E
q内 Φe E d s
q内
S
0
S
用库仑定律来验证高斯定理的结论
1. 点电荷在球形高斯面的圆心处
E
球面上场强
E
q 4 0 R
q 4 0 R
q 4 0 R
目前为止的基本物质与运动 机械运动 分子的热力 学无规运动 电荷(运动)
0.2 导体、绝缘体和半导体
生活中可以发现在不同的物体上电荷的传导 转移表现并不一样
金属，水溶液，人体 玻璃，橡胶，塑料
容易传导的叫导体
几乎不传导的叫绝缘体
日常环境下导电性能差异的分类 导电性能可以量化 对某些取值范围的称呼
具有中间值的称为半导体
导电性能受环境影响
0.3 物质的电结构
原子物理
0.2 电荷的相互作用
静止电 荷q0 静止电 荷q
电场
磁 场
电场力 两个电荷之间的相互作用 非超距作用 电场 传递电场力的矢量场
第1章 静电场 恒定电流场
静止电 荷q 静止电 荷q0 电场 导体中 的运动 电荷q
静电场
恒定电流场
对称性分析
1.2 电场和电场强度 1.2.1电场的描述 场源电荷 场力 电场强度 注意 静电场
电荷的量子性
Q Ne (e 1.6021019 C)
C:库仑
微观上表现量子性，宏观带电体的电量q>>e，准连续
点电荷
本身的线度远小于研究问题中涉及的距离
电荷守恒
在一个和外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在 任何物理过程中保持不变。
电荷与带电体运动速率无关 电荷与参考系无关 联想 热力学中的内能 热力学分子的质点模型
面分布，面电荷密度 线分布，线电荷密度
dq dv dq ds dq dl
例题 1-1 P12 电偶极子轴线的中垂线上静电场 电偶极子：一对等值异号的点电 荷构成的电荷系。
E E
cos
E+ EP E2 32
r l
4 0 r l 4
2 2
q
有多个场源电荷时
f E q
i 1
in
fi
i 1
i n
fi
q
i 1
i n
fi q
Ei
i n i 1
1.2.2 库伦定律与静电场的计算 库伦定律
在真空中，两个静止点电荷之间的 相互作用力大小，与它们的电量的乘 积成正比，与它们之间距离的平方成 反比；作用力的方向沿着它们的联线， q 1 同号电荷相斥，异号电荷相吸。
E 2 0
x<<R
无限大带电平面
x>>R
E
q 4 0 x
2
(q R 2 )
点电荷
1.2.3 电场对电荷的作用力
F Eq
与受力电荷的运动无关
例1-5
p
电偶极子在均匀电场中所受的力矩 θ
F+
E
F qE ， F qE ，
F-
l M M M qE si n 2 qlE sin 2 pE sin M p E
EP 2E cos
EP 4 0 r l 4
2
P r
l/2
2 l r2 4
ql
-q
l
q
r l
EP ql 4 0 r
3
电偶极矩
p ql
p EP 3 4 0 r
例1-2 P15 真空中一均匀带电直线，电荷线密度为 。线外有一点 P ，离开直线的垂直距离为 a ，P 点和直线两端连线的夹角分别为 1 和 2 。求 P 点 的场强。 dq dx 取一段电荷微元dq dE 2 4 0 r 4 0 r 2
电磁学
电荷的相互作用
数学准备 常用坐标系下的线、面和体积分 矢量运算 简单的矢量分析 引言 电磁现象的普遍性 人类对电磁现象认识的悠久历史
物质与运动，物理永恒主题下的重要组成部分
系统的学习： 电磁学
电动力学
量子电动力学
……
0.1 电荷 电荷是物质的基本属性 两种电荷：正电荷和负电荷 电性力：同号相斥、异号相吸 电荷量：物体带电的多少
2
2
dS
d e E dS EdS
e q 4 0 R
2
+
2
dS
q
0
S
dS
dS
S
2. 点电荷在任意形状的高斯面内
一定可以重新做一个球面让 电荷在圆心所有电场线通过
e E dS
S
S
q E dS
S'
+ +
1.3 高斯定理 1.3.1 电场线与电通量 电场线 用一簇假象空间曲线形象描述场强 分布通常把这些曲线称为电场线 电场方向：电场线上每一 点的切线方向 电场大小：在电场中任一 点，取一垂直于该点场强 方向的面积元，通过的电 场线数目为该点场强的量 值
电场线对电场的 描述
E
始于正电荷终于负电荷
F
r
q2
q1q2 F k 2 r
k 9 10 N m / C
9 2 2
1 q1q2 F 4 r 2
1 0 8.85 10 12 ( N 1m 2 C 2 ) 4k
静电力常量
真空介电常数(真空电容率）
矢量形式
1 q1q2 F er 2 4 0 r
n个 m个
i
1 m ＝ Ei dS E j dS
n i S j S
0
q
i
n
对每个电 荷用例2
对每个电 荷用例3
q内 Φe E d s
S
0
关于高斯定理
E ds
S
q
i
i
0
E
是高斯面上各点的场强，由闭合面内、外电荷 的分布决定,是全部电荷共同产生的的合场强
E dE
R
dE
4 0 x r
x 2 rdr
2 32
0
4 0 x r
2
x 2 rdr
2 32
2 0
x 1 ( x 2 R 2 )1 2
x E 1 2 2 0 ( x R 2 )1 2
E dS
S
只取决于闭合面内的电量
电场的基本规律，有源场
1.3.3 高斯定理求静电场分布
qi i E d s
S
0
求解
E
利用对称性， 将E作为标量 提出积分式！
电荷的对称分布
电场的对称分布
常见的电荷分布的对称性
球对称 柱对称 柱体 无限长 柱面 带电线 面对称
球体 均匀带 球面 电的： 点电荷
无限大
平板
平面
例1-6 均匀带电球面 求半径为R, 均匀地带有总电量q (设q>0)的球面的静电场分布 分析空间中任一点的电场
看作同心球面上一点 带电球面切洋葱 例1-3
空间任一点和电场都垂直球面且 同一球面上每点电场强度相同 2 e E ds Eds E ds E 4 r
电场强度分布
1 q E e 2 r 4 0 r
球对称
从场源电荷q指 er 向场点
正电荷受力方向
点电荷系场强
i n E Ei i 1 i 1
4 0 ri
qi
e 2 ri
ri
qi
电荷连续分布带电体场强
dE dq e 2 r 4 0 r
表征电场线穿过面的方向
e N ES
e ES ES cos E S
更一般的情况
e E dS E cos dS
S S
de E dS E cosdS
dS
n
E
如果是闭合曲面 e E dS E cos dS
s s s
高斯定理
E 4 r
2
qin
0
q ˆ E r 2 4 r
rR rR
E0
均匀带电球面对内电场为零，对外等效球心电荷
例1-7 求均匀带电球体内、外的场强。（已知球体 半径为 R ，带电量为 Q ，电荷密度为 ）
考虑为一个一个同心球壳的叠加
1.球外某点的场强 R 求球壳外的场强可以等效为电荷集 中在球心 电荷都 r ≥ R 所有球壳的外面 在球心
Q + +
场点
q0 P f
检验电荷
(q0静止)
点电荷(尺寸小) q0足够小,对待测电场影响小 静止的场源电荷产生的电场
电场是位置函数，是矢量场
E E r E x y z
单位
N
C
只与场源电荷分布及电场所在空间属性有关 电场叠加原理
f
P
dE
x
Hale Waihona Puke Baidu
x
dE//
dE
dq dE 2 4 0 r 4 0 ( x 2 R 2 )
dq
对称性分析， 只有沿轴的 水平分量 x>>R
E E x dE x dE cos
L L
xdq L 4 ( x 2 R 2 ) 3 / 2 0
E
q 4 0 x 2
如果p在中垂线
Ex 0
L Ey 2 cos a 4 a(a 2 L2 / 4)1/ 2
对于
a L
无线长直导线附近
0
Ex 0
E Ey 2 0 a
离导线很远的地方
对于
a L
Ex 0
E Ey 2 cos a L 2 2 1/ 2 4 a(a L / 4)
点电荷
L q 2 4 a 4 a 2
例1-3 电荷 q 均匀地分布在一半径为 R 的圆环上。 计算在圆环的轴线上任一给定点 P 的场强。
R
r
取圆环上一段电荷微元dq
S S
E
(9c)
S
规定面积元方向从闭 合面内指向面外
电力线穿入 电力线穿出
E ds 0 E ds 0
dS
dS
1.3.2 高斯定理的表述与证明
库伦定律 静止电荷 运动的电荷 电场 一般电场
计算复杂
高斯定理 封闭曲面电通量与曲面内电荷的关系
关于电场的普遍基本规律
qx 4 0 ( x 2 R 2 )3 / 2
例1-4 均匀带电圆板，半径为 R ，电荷面密度为 。 求轴线上任一点 P 的电场强度。 dr r
R
利用上一题结论，取一个 同心圆环为电荷微元dq
dE
x
P
dE
40 x r
2
2
xdq
2 3/ 2
dq 2 rdr
r
dE
Q
P
E
Q
dE
dq e 2 r 4 0 r
E Ex Ey Ez
dE dEx dE y dEz
Ex dE x E y dE y Ez dE z
Q
dV
ds
dl
体分布，体电荷密度
S’
0
3. 点电荷在闭合曲面以外
做两个同心球面
e E dS 0
S
+
一般情况
n m E E内 E外 Ei E j i j
n m e E dS＝ ( Ei E j ) dS S S i j
dx a csc d
2
cos dEx d 4 0 a
Ex
2
1
cos sin 2 sin 1 d 4 0 a 4 0 a
sin dE y d 4 0 a
Ey
2
1
sin cos1 cos 2 d 4 0 a 4 0 a
dE
dEx P dEy
1
a
r
o x dx
dx cos dEx dE cos( ) 4 0 r 2 dx sin dEy dE sin( ) 4 0 r 2 2 x a r a csc sin( )
x a cot( - ) a cot
电场线的特点 电场线永不闭合 电场线永不相交
+
+
–
--------------
+++++++++
几种电荷的 E 线分布的实验现象：
单个点电极
正负点电极
单个带电板
正负带电板
电场通量
通过某一曲面电场线数的代数和
S
E
S
n
n
S
E
S
S
N E S
S Sen
高斯定理
在真空中，通过任一闭合曲面的电通量等于 该曲面所包围的所有电荷的代数和的1/o倍
ds
E
q内 Φe E d s
q内
S
0
S
用库仑定律来验证高斯定理的结论
1. 点电荷在球形高斯面的圆心处
E
球面上场强
E
q 4 0 R
q 4 0 R
q 4 0 R
目前为止的基本物质与运动 机械运动 分子的热力 学无规运动 电荷(运动)
0.2 导体、绝缘体和半导体
生活中可以发现在不同的物体上电荷的传导 转移表现并不一样
金属，水溶液，人体 玻璃，橡胶，塑料
容易传导的叫导体
几乎不传导的叫绝缘体
日常环境下导电性能差异的分类 导电性能可以量化 对某些取值范围的称呼
具有中间值的称为半导体
导电性能受环境影响
0.3 物质的电结构
原子物理
0.2 电荷的相互作用
静止电 荷q0 静止电 荷q
电场
磁 场
电场力 两个电荷之间的相互作用 非超距作用 电场 传递电场力的矢量场
第1章 静电场 恒定电流场
静止电 荷q 静止电 荷q0 电场 导体中 的运动 电荷q
静电场
恒定电流场
对称性分析
1.2 电场和电场强度 1.2.1电场的描述 场源电荷 场力 电场强度 注意 静电场
电荷的量子性
Q Ne (e 1.6021019 C)
C:库仑
微观上表现量子性，宏观带电体的电量q>>e，准连续
点电荷
本身的线度远小于研究问题中涉及的距离
电荷守恒
在一个和外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在 任何物理过程中保持不变。
电荷与带电体运动速率无关 电荷与参考系无关 联想 热力学中的内能 热力学分子的质点模型
面分布，面电荷密度 线分布，线电荷密度
dq dv dq ds dq dl
例题 1-1 P12 电偶极子轴线的中垂线上静电场 电偶极子：一对等值异号的点电 荷构成的电荷系。
E E
cos
E+ EP E2 32
r l
4 0 r l 4
2 2
q
有多个场源电荷时
f E q
i 1
in
fi
i 1
i n
fi
q
i 1
i n
fi q
Ei
i n i 1
1.2.2 库伦定律与静电场的计算 库伦定律
在真空中，两个静止点电荷之间的 相互作用力大小，与它们的电量的乘 积成正比，与它们之间距离的平方成 反比；作用力的方向沿着它们的联线， q 1 同号电荷相斥，异号电荷相吸。
E 2 0
x<<R
无限大带电平面
x>>R
E
q 4 0 x
2
(q R 2 )
点电荷
1.2.3 电场对电荷的作用力
F Eq
与受力电荷的运动无关
例1-5
p
电偶极子在均匀电场中所受的力矩 θ
F+
E
F qE ， F qE ，
F-
l M M M qE si n 2 qlE sin 2 pE sin M p E
EP 2E cos
EP 4 0 r l 4
2
P r
l/2
2 l r2 4
ql
-q
l
q
r l
EP ql 4 0 r
3
电偶极矩
p ql
p EP 3 4 0 r
例1-2 P15 真空中一均匀带电直线，电荷线密度为 。线外有一点 P ，离开直线的垂直距离为 a ，P 点和直线两端连线的夹角分别为 1 和 2 。求 P 点 的场强。 dq dx 取一段电荷微元dq dE 2 4 0 r 4 0 r 2
电磁学
电荷的相互作用
数学准备 常用坐标系下的线、面和体积分 矢量运算 简单的矢量分析 引言 电磁现象的普遍性 人类对电磁现象认识的悠久历史
物质与运动，物理永恒主题下的重要组成部分
系统的学习： 电磁学
电动力学
量子电动力学
……
0.1 电荷 电荷是物质的基本属性 两种电荷：正电荷和负电荷 电性力：同号相斥、异号相吸 电荷量：物体带电的多少
2
2
dS
d e E dS EdS
e q 4 0 R
2
+
2
dS
q
0
S
dS
dS
S
2. 点电荷在任意形状的高斯面内
一定可以重新做一个球面让 电荷在圆心所有电场线通过
e E dS
S
S
q E dS
S'
+ +
1.3 高斯定理 1.3.1 电场线与电通量 电场线 用一簇假象空间曲线形象描述场强 分布通常把这些曲线称为电场线 电场方向：电场线上每一 点的切线方向 电场大小：在电场中任一 点，取一垂直于该点场强 方向的面积元，通过的电 场线数目为该点场强的量 值
电场线对电场的 描述
E
始于正电荷终于负电荷
F
r
q2
q1q2 F k 2 r
k 9 10 N m / C
9 2 2
1 q1q2 F 4 r 2
1 0 8.85 10 12 ( N 1m 2 C 2 ) 4k
静电力常量
真空介电常数(真空电容率）
矢量形式
1 q1q2 F er 2 4 0 r
n个 m个
i
1 m ＝ Ei dS E j dS
n i S j S
0
q
i
n
对每个电 荷用例2
对每个电 荷用例3
q内 Φe E d s
S
0
关于高斯定理
E ds
S
q
i
i
0
E
是高斯面上各点的场强，由闭合面内、外电荷 的分布决定,是全部电荷共同产生的的合场强
E dE
R
dE
4 0 x r
x 2 rdr
2 32
0
4 0 x r
2
x 2 rdr
2 32
2 0
x 1 ( x 2 R 2 )1 2
x E 1 2 2 0 ( x R 2 )1 2
E dS
S
只取决于闭合面内的电量
电场的基本规律，有源场
1.3.3 高斯定理求静电场分布
qi i E d s
S
0
求解
E
利用对称性， 将E作为标量 提出积分式！
电荷的对称分布
电场的对称分布
常见的电荷分布的对称性
球对称 柱对称 柱体 无限长 柱面 带电线 面对称
球体 均匀带 球面 电的： 点电荷
无限大
平板
平面
例1-6 均匀带电球面 求半径为R, 均匀地带有总电量q (设q>0)的球面的静电场分布 分析空间中任一点的电场
看作同心球面上一点 带电球面切洋葱 例1-3
空间任一点和电场都垂直球面且 同一球面上每点电场强度相同 2 e E ds Eds E ds E 4 r
电场强度分布
1 q E e 2 r 4 0 r
球对称
从场源电荷q指 er 向场点
正电荷受力方向
点电荷系场强
i n E Ei i 1 i 1
4 0 ri
qi
e 2 ri
ri
qi
电荷连续分布带电体场强
dE dq e 2 r 4 0 r
表征电场线穿过面的方向
e N ES
e ES ES cos E S
更一般的情况
e E dS E cos dS
S S
de E dS E cosdS
dS
n
E
如果是闭合曲面 e E dS E cos dS
s s s
高斯定理
E 4 r
2
qin
0
q ˆ E r 2 4 r
rR rR
E0
均匀带电球面对内电场为零，对外等效球心电荷
例1-7 求均匀带电球体内、外的场强。（已知球体 半径为 R ，带电量为 Q ，电荷密度为 ）
考虑为一个一个同心球壳的叠加
1.球外某点的场强 R 求球壳外的场强可以等效为电荷集 中在球心 电荷都 r ≥ R 所有球壳的外面 在球心