第五章相关系数
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因果关系 共变关系 相关关系 从数量上考虑事物间的联系 函数关系 相关关系
一、相关关系
两个变量间不确定、不精确的变化关系， 为相关关系 举例两列数据看似有一定关系，但不能确 定，只是模糊的
二、相关的分类
1、相关方向 （1）正相关：变量之间变动方向相同， 同增同减； ↑↑或者↓↓如： （2）负相关：变量之间变动方向相反， 一个增加，另一个则小；↑↓或者↓↑如： （3）零相关：变量之间的变动完全没 有规律可循。如：
6 3 0 -10 -22 -21 -8 -52
108 63
342 46
例题：10名考生一次测验的卷面总分和一道问答题的得 分，试求该问答题的区分度（该问答题满分１０分，因此 得６分和６分以上则为该题通过） 考生
注意：①相关系数仅仅是个比率值，不是 由相等单位度量而来（即不等距），也不 是百分比。因此不能直接作加、减、乘、 除运算。如： ②相关系数并不能揭示两者之间的内在 本质联系,只能揭示两个变量之间的变化方 向和密切程度。
第二节 积差相关
一、什么是积差相关？ 是计算两个变量线性相关的一种方法， 由英国统计学家皮尔逊提出，因此也称为 皮尔逊(Pearson)相关、积距相关 。
视Y 179 162 153 189 181 220 210 182 178 170
RX 7 2 5 8 1 9 10 6 4 3
RY 5 2 1 8 6 10 9 7 4 3
∑
步骤；
（1）判断是何种资料；
（2）赋予等级 ①两个变量方向要一致 ②如果有相同的等级分数用他们所占等级位置的平均数作 为他们的等级 （3）计算每列等级数之差，并求差的平方和或者计算两 列等级的乘积之和；
∑
55
55
48
361
例2[两列变量都是等级数据]两位评委按9个指标(比如：教材熟 悉程度、概念的准确性、对学生的启发、学生兴趣程度、板书 等等)对同一堂课进行评分，得分如下。 问两位评委对这堂课 的评价的一致程度如何？（-0.317) 教师甲 8.5 8.8 8.7 8.6 8.3 8.2 7.0 7.2 8.0 教师乙 9.0 8.4 8.7 8.6 8.9 9.4 8.5 8.8 9.2
第一种情况举例 4位教师对6个学生作文竞赛名次排列
学生 n=6 1 2 3 4 5 6 评定者K=4
1 3 4 2 6 1 5
2 4 3 1 5 2 6
3 2 1 3 6 4 5
4 1 3 4 5 2 6
R
10 11 10 源自文库2 9 22
总和
84
第二种情况举例 同一位教师对5份研究生入学政治试卷论述题先 后3次等级评定的结果如下表，问这位老师的前 后几次评定是否具有一致性？ 学生 n=5 先后评定次数K=3 1 2 3
2、密切程度 （1）完全相关：同增同减或一增一减的幅 度完全一致； （2）不完全相关：同增同减或一增一减的 幅度不完全一致； （3）零相关：变化的方向与大小杂乱无章。
3、变量个数 （1）单相关：两个变量之间的相关(主要 介绍单相关) （2）复相关：多个变量之间的相关。 4、表现形态 （1）线性相关：变量间直线型关系； （2）非线性相关：变量间呈非直线型关系。
2、计算公式
P
二分变量中某一类别所占的比例
q 二分变量中另一类别所占的比例
St 指连续变量的标准差，
测量的连续变量中与p对应的那部分数据的平均值
测量的连续变量中与p对应的那部分数据的平均值
某一测验中10名考生的卷面总分和一道选 择题的得分，试求该选择题的区分度。
考生 A B C D E F 1 1 0 0 G 1 H 0 I 0 J 1
４、有相同等级时W的计算—要求在开卷 的情况下熟练计算
n为每个评价者下有相同等级时，该等级重 复的次数，如果有多个重复等级则有多个n。 参见教材132页例题 注意：观察有无相同等级主要看一个评价 者k对N件被评事物是否有相同等级？
(Kendall)W系数又称和谐系数在心理测量 学中，经常用于求评分者的信度。
二、积差相关的使用条件：** ①两个变量都是由测量获得的连续性数据， 即等距或等比数据。 ②两个变量的总体都呈正态分布，或接近 正态分布，至少是单峰对称分布，当然样 本并不一定要正态。 ③必须是成对的数据，而且每对数据之间 是相互独立的，即各自互不影响，本条件 是难以检验的。 ④两个变量之间呈线性关系。一般用描绘 散点图的方式来观察，最好是先各自转化 为Z分数，单位会统一些。
（4）代公式
2、计算公式 （1）无相同等级时的公式
D：两列变量每对数据等级之差（不是原始数 据之差），N为数据对数。
（2）有相同等级的公式（要求在开卷情况下会计算）
R1 1 2 3 4 1 4 9 16
R2 1 2.5 2.5 4 1 6.25 6.25 16
R3 2 2 2 4 4 4 4 16
计算积差相关的公式
1、定义公式—要求牢固掌握 2、原始数据公式—开卷的情况下
能轻松的计算
3、其他公式—不要求掌握 4、SPSS—按照操作得出结果
四、相关系数的合并 要将来自同一总体的几个样本的相关系数合并 得到一个整体的相关系数 ； 在用相关系数估计测验信度和效度时，要将几 个信度或效度综合成一个总信度或总效度时。 ①ri->Zi，即先将各样本的相关系数r转化为 Fisher Z分数（查附表8）； ②求平均的Z分数： ③Z->R，即用附表8再将平均的Z分数转化为 平均的相关系数。
1 2 3 5 5 5 7 8 9 10
2 1 3 5.5 7.5 4 7.5 5.5 10 9
-1 1 0 -0.5 -2.5 1 -0.5 2.5 -1 1
1 1 0 0.25 6.25 1 0.25 6.25 1 1
∑
18
二、肯德尔等级相关
(Kendall)W系数又称和谐系数，是表示多列等级变量 相关程度的一种方法。 １、适用情况 （1）K个评价者对N件事物进行等级评定 ，得到K列 从1到N的等级变量资料 （2）1个评价者先后K次评定N件事物，得到K列从1 到N的等级变量资料
第四章相关系数
本章内容： 第一节 相关的基本概念
第二节 积差相关
第三节 等级相关 第四节 质与量的相关
第五节 品质相关
本章重点： 相关的种类及解释相关系数时应注意的问题；各种相关系 数的应用范围、计算方法及在心理领域中的应用
第一节 相关的基本概念
从性质角度考虑事物间的联系
什么是二分变量？
即按事物的某一性质只能分为二类相互独立的变量
二分变量分为两种：真正的二分变量和人为的二分变量 什么是真正的二分变量和人为的二分变量 一、点二列相关 1、适用条件：
当两个变量其中一个是正态连续性变量，另一个是真正的
二分变量，（如男与女，已婚与未婚，生与死等） 有时一个变量并非真正的二分变量，而是双峰分布的变量， 也可用点二列相关 多用于考察测验中是非题目与总分的一致性
R4 2.5 2.5 2.5 2.5 6.25 6.25 6.25 6.25
R5 1.5 1.5 3 4 2.25 2.25 9 16
∑
30
29.5
28
25
29.5
0.5
2
5
0.5
例1、[两列变量都是连续性数据的]现有10人的视听两种感觉道 的反应时（毫秒），问视听反应是否具有一直性？（r0.71） 被试 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 听X 172 140 152 187 139 195 212 164 149 146 视Y 179 162 153 189 181 220 210 182 178 170 RX 7 2 5 8 1 9 10 6 4 3 RY 5 2 1 8 6 10 9 7 4 3 RX -RY 2 0 4 0 -5 -1 1 -1 0 0 D2 4 0 16 0 25 1 1 1 0 0 RXRY 35 4 5 64 6 90 90 42 16 9
等级甲
等级乙 D
D2
∑
例3[其中一个变量是等级的]10名高三学生学习的潜在能力（简称 学能）与自学能力关系如何？（自能越强等级数越小） 学生 学能 自能 学能等级 自能等级 D D2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
90 84 76 71 71 71 69 68 66 64
3 2 5 7 8 6 8 7 10 9
1 2 3 4 5
3 1 2 2 2
5 2 1 3 4
3 2 1 2 3
（1）若K个评价者完全一致，每一被评事物得到 的等级之和的变异量，S2最大，相关极高 （2）若K个评价者不完全一致，每一被评事物得 到的等级之和的变异量，S2较小，相关不高 （3）若K个评价者完全不一致，每一被评事物得 到的等级之和的变异量，S2最小 ３、计算公式
的学科分数划分为及格与不及格，录取与未录取，健康状 况分为好与坏等等） 多用于测验的中问答题项目区分度指标的确定
思考： 相关的方向？
2、计算公式
St与
是连续变量的标准差与平均数
y标准正态曲线中P与q交界点的Y轴高度（查表得出,代表 从左到右的概率值）； P大于0.5，如0.6，查0.6-0.5=0.1概率对应的纵高
选择题得分 1 1
卷面总分
75 57 73 65 67 56 63 61 65 67
N=10,St=6.12,p=0.6,q=0.4, Xp的平均数=66.67,Xq的平均数 =62.25,rpb=0.34
二、二列相关
1、适用条件：
当两个变量都是正态连续性变量，其中一个变量被人为
的划分为二分变量（如按一定标准将属于正态连续变量
由此可见，肯德尔和谐系数求法的基本思想和积 差相关、斯皮尔曼等级相关的基本思想不同，它 的值有如下特点： （1）取值范围在0~1之间； （2）W只能得出密切程度，为正值（因为是方 差的比值），方向应根据实际资料分析； （3）肯德尔和谐系数不是一个标准的相关系数 注意区分什么是Ｋ，什么是Ｎ？ 见课后习题第１１题
是否是线性关系可以通过变量间的散点图
三、相关系数
用来描述两列变量之间变化方向与密切程 度的数字特征量称为相关关系。样本相关 系数用r表示，总体相关系数用ρ表示。
对相关系数的理解
r的取值一般介于-1～1之间，即0≤︳r ︳ ≤1 ，或者-1≤ r≤ 1 ①“+”和“—”只表示变化方向，不表示大小。 ②r的绝对值的大小表示两个变量之间密切 程度或者强度
(Kendall)U一致性系数作为自学内容
第四节 质量相关
质与量相关是指一列变量为等比或等距的测量数据，
另一列变量是按性质划分的类别，欲求这两者之间的直线
相关。 量的变量：如智商、学科分数、身高、体重等 质的变量：男与女，优与劣，及格与不及格等 本节要求掌握每个相关所适用的条件，公式不要求死 记硬背，只要能在开卷的情况下熟练地用于计算即可。
P小于0.5，如0.3，查0.5-0.3=0.2概率对应的纵高
二列相关的计算
得分分组 ft 90~ 80~ 70~ 60~ 50~ 40~ 30~ 20~ 10~ 合计 2 5 16 19 23 18 15 8 2 某一题目 fp fq 2 5 13 3 16 3 14 9 8 10 4 11 1 7 2 45 d 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 ft d 8 15 32 19 0 -18 -30 -24 -8 -6 ftd2 fpd fqd 32 45 64 19 0 18 60 72 32 8 15 26 16 0 -8 -8 -3
第三节 等级相关
一、斯皮尔曼等级相关
使用条件
(1)两个变量以等级次序排列（包括一个变量是
等级，而另一个变量是连续的）
(2)两个变量虽然是连续性数据，但其总体不是
正态分布（非参数的相关方法）
(3)样本容量不一定大于30
被试 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
听X 172 140 152 187 139 195 212 164 149 146
一、相关关系
两个变量间不确定、不精确的变化关系， 为相关关系 举例两列数据看似有一定关系，但不能确 定，只是模糊的
二、相关的分类
1、相关方向 （1）正相关：变量之间变动方向相同， 同增同减； ↑↑或者↓↓如： （2）负相关：变量之间变动方向相反， 一个增加，另一个则小；↑↓或者↓↑如： （3）零相关：变量之间的变动完全没 有规律可循。如：
6 3 0 -10 -22 -21 -8 -52
108 63
342 46
例题：10名考生一次测验的卷面总分和一道问答题的得 分，试求该问答题的区分度（该问答题满分１０分，因此 得６分和６分以上则为该题通过） 考生
注意：①相关系数仅仅是个比率值，不是 由相等单位度量而来（即不等距），也不 是百分比。因此不能直接作加、减、乘、 除运算。如： ②相关系数并不能揭示两者之间的内在 本质联系,只能揭示两个变量之间的变化方 向和密切程度。
第二节 积差相关
一、什么是积差相关？ 是计算两个变量线性相关的一种方法， 由英国统计学家皮尔逊提出，因此也称为 皮尔逊(Pearson)相关、积距相关 。
视Y 179 162 153 189 181 220 210 182 178 170
RX 7 2 5 8 1 9 10 6 4 3
RY 5 2 1 8 6 10 9 7 4 3
∑
步骤；
（1）判断是何种资料；
（2）赋予等级 ①两个变量方向要一致 ②如果有相同的等级分数用他们所占等级位置的平均数作 为他们的等级 （3）计算每列等级数之差，并求差的平方和或者计算两 列等级的乘积之和；
∑
55
55
48
361
例2[两列变量都是等级数据]两位评委按9个指标(比如：教材熟 悉程度、概念的准确性、对学生的启发、学生兴趣程度、板书 等等)对同一堂课进行评分，得分如下。 问两位评委对这堂课 的评价的一致程度如何？（-0.317) 教师甲 8.5 8.8 8.7 8.6 8.3 8.2 7.0 7.2 8.0 教师乙 9.0 8.4 8.7 8.6 8.9 9.4 8.5 8.8 9.2
第一种情况举例 4位教师对6个学生作文竞赛名次排列
学生 n=6 1 2 3 4 5 6 评定者K=4
1 3 4 2 6 1 5
2 4 3 1 5 2 6
3 2 1 3 6 4 5
4 1 3 4 5 2 6
R
10 11 10 源自文库2 9 22
总和
84
第二种情况举例 同一位教师对5份研究生入学政治试卷论述题先 后3次等级评定的结果如下表，问这位老师的前 后几次评定是否具有一致性？ 学生 n=5 先后评定次数K=3 1 2 3
2、密切程度 （1）完全相关：同增同减或一增一减的幅 度完全一致； （2）不完全相关：同增同减或一增一减的 幅度不完全一致； （3）零相关：变化的方向与大小杂乱无章。
3、变量个数 （1）单相关：两个变量之间的相关(主要 介绍单相关) （2）复相关：多个变量之间的相关。 4、表现形态 （1）线性相关：变量间直线型关系； （2）非线性相关：变量间呈非直线型关系。
2、计算公式
P
二分变量中某一类别所占的比例
q 二分变量中另一类别所占的比例
St 指连续变量的标准差，
测量的连续变量中与p对应的那部分数据的平均值
测量的连续变量中与p对应的那部分数据的平均值
某一测验中10名考生的卷面总分和一道选 择题的得分，试求该选择题的区分度。
考生 A B C D E F 1 1 0 0 G 1 H 0 I 0 J 1
４、有相同等级时W的计算—要求在开卷 的情况下熟练计算
n为每个评价者下有相同等级时，该等级重 复的次数，如果有多个重复等级则有多个n。 参见教材132页例题 注意：观察有无相同等级主要看一个评价 者k对N件被评事物是否有相同等级？
(Kendall)W系数又称和谐系数在心理测量 学中，经常用于求评分者的信度。
二、积差相关的使用条件：** ①两个变量都是由测量获得的连续性数据， 即等距或等比数据。 ②两个变量的总体都呈正态分布，或接近 正态分布，至少是单峰对称分布，当然样 本并不一定要正态。 ③必须是成对的数据，而且每对数据之间 是相互独立的，即各自互不影响，本条件 是难以检验的。 ④两个变量之间呈线性关系。一般用描绘 散点图的方式来观察，最好是先各自转化 为Z分数，单位会统一些。
（4）代公式
2、计算公式 （1）无相同等级时的公式
D：两列变量每对数据等级之差（不是原始数 据之差），N为数据对数。
（2）有相同等级的公式（要求在开卷情况下会计算）
R1 1 2 3 4 1 4 9 16
R2 1 2.5 2.5 4 1 6.25 6.25 16
R3 2 2 2 4 4 4 4 16
计算积差相关的公式
1、定义公式—要求牢固掌握 2、原始数据公式—开卷的情况下
能轻松的计算
3、其他公式—不要求掌握 4、SPSS—按照操作得出结果
四、相关系数的合并 要将来自同一总体的几个样本的相关系数合并 得到一个整体的相关系数 ； 在用相关系数估计测验信度和效度时，要将几 个信度或效度综合成一个总信度或总效度时。 ①ri->Zi，即先将各样本的相关系数r转化为 Fisher Z分数（查附表8）； ②求平均的Z分数： ③Z->R，即用附表8再将平均的Z分数转化为 平均的相关系数。
1 2 3 5 5 5 7 8 9 10
2 1 3 5.5 7.5 4 7.5 5.5 10 9
-1 1 0 -0.5 -2.5 1 -0.5 2.5 -1 1
1 1 0 0.25 6.25 1 0.25 6.25 1 1
∑
18
二、肯德尔等级相关
(Kendall)W系数又称和谐系数，是表示多列等级变量 相关程度的一种方法。 １、适用情况 （1）K个评价者对N件事物进行等级评定 ，得到K列 从1到N的等级变量资料 （2）1个评价者先后K次评定N件事物，得到K列从1 到N的等级变量资料
第四章相关系数
本章内容： 第一节 相关的基本概念
第二节 积差相关
第三节 等级相关 第四节 质与量的相关
第五节 品质相关
本章重点： 相关的种类及解释相关系数时应注意的问题；各种相关系 数的应用范围、计算方法及在心理领域中的应用
第一节 相关的基本概念
从性质角度考虑事物间的联系
什么是二分变量？
即按事物的某一性质只能分为二类相互独立的变量
二分变量分为两种：真正的二分变量和人为的二分变量 什么是真正的二分变量和人为的二分变量 一、点二列相关 1、适用条件：
当两个变量其中一个是正态连续性变量，另一个是真正的
二分变量，（如男与女，已婚与未婚，生与死等） 有时一个变量并非真正的二分变量，而是双峰分布的变量， 也可用点二列相关 多用于考察测验中是非题目与总分的一致性
R4 2.5 2.5 2.5 2.5 6.25 6.25 6.25 6.25
R5 1.5 1.5 3 4 2.25 2.25 9 16
∑
30
29.5
28
25
29.5
0.5
2
5
0.5
例1、[两列变量都是连续性数据的]现有10人的视听两种感觉道 的反应时（毫秒），问视听反应是否具有一直性？（r0.71） 被试 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 听X 172 140 152 187 139 195 212 164 149 146 视Y 179 162 153 189 181 220 210 182 178 170 RX 7 2 5 8 1 9 10 6 4 3 RY 5 2 1 8 6 10 9 7 4 3 RX -RY 2 0 4 0 -5 -1 1 -1 0 0 D2 4 0 16 0 25 1 1 1 0 0 RXRY 35 4 5 64 6 90 90 42 16 9
等级甲
等级乙 D
D2
∑
例3[其中一个变量是等级的]10名高三学生学习的潜在能力（简称 学能）与自学能力关系如何？（自能越强等级数越小） 学生 学能 自能 学能等级 自能等级 D D2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
90 84 76 71 71 71 69 68 66 64
3 2 5 7 8 6 8 7 10 9
1 2 3 4 5
3 1 2 2 2
5 2 1 3 4
3 2 1 2 3
（1）若K个评价者完全一致，每一被评事物得到 的等级之和的变异量，S2最大，相关极高 （2）若K个评价者不完全一致，每一被评事物得 到的等级之和的变异量，S2较小，相关不高 （3）若K个评价者完全不一致，每一被评事物得 到的等级之和的变异量，S2最小 ３、计算公式
的学科分数划分为及格与不及格，录取与未录取，健康状 况分为好与坏等等） 多用于测验的中问答题项目区分度指标的确定
思考： 相关的方向？
2、计算公式
St与
是连续变量的标准差与平均数
y标准正态曲线中P与q交界点的Y轴高度（查表得出,代表 从左到右的概率值）； P大于0.5，如0.6，查0.6-0.5=0.1概率对应的纵高
选择题得分 1 1
卷面总分
75 57 73 65 67 56 63 61 65 67
N=10,St=6.12,p=0.6,q=0.4, Xp的平均数=66.67,Xq的平均数 =62.25,rpb=0.34
二、二列相关
1、适用条件：
当两个变量都是正态连续性变量，其中一个变量被人为
的划分为二分变量（如按一定标准将属于正态连续变量
由此可见，肯德尔和谐系数求法的基本思想和积 差相关、斯皮尔曼等级相关的基本思想不同，它 的值有如下特点： （1）取值范围在0~1之间； （2）W只能得出密切程度，为正值（因为是方 差的比值），方向应根据实际资料分析； （3）肯德尔和谐系数不是一个标准的相关系数 注意区分什么是Ｋ，什么是Ｎ？ 见课后习题第１１题
是否是线性关系可以通过变量间的散点图
三、相关系数
用来描述两列变量之间变化方向与密切程 度的数字特征量称为相关关系。样本相关 系数用r表示，总体相关系数用ρ表示。
对相关系数的理解
r的取值一般介于-1～1之间，即0≤︳r ︳ ≤1 ，或者-1≤ r≤ 1 ①“+”和“—”只表示变化方向，不表示大小。 ②r的绝对值的大小表示两个变量之间密切 程度或者强度
(Kendall)U一致性系数作为自学内容
第四节 质量相关
质与量相关是指一列变量为等比或等距的测量数据，
另一列变量是按性质划分的类别，欲求这两者之间的直线
相关。 量的变量：如智商、学科分数、身高、体重等 质的变量：男与女，优与劣，及格与不及格等 本节要求掌握每个相关所适用的条件，公式不要求死 记硬背，只要能在开卷的情况下熟练地用于计算即可。
P小于0.5，如0.3，查0.5-0.3=0.2概率对应的纵高
二列相关的计算
得分分组 ft 90~ 80~ 70~ 60~ 50~ 40~ 30~ 20~ 10~ 合计 2 5 16 19 23 18 15 8 2 某一题目 fp fq 2 5 13 3 16 3 14 9 8 10 4 11 1 7 2 45 d 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 ft d 8 15 32 19 0 -18 -30 -24 -8 -6 ftd2 fpd fqd 32 45 64 19 0 18 60 72 32 8 15 26 16 0 -8 -8 -3
第三节 等级相关
一、斯皮尔曼等级相关
使用条件
(1)两个变量以等级次序排列（包括一个变量是
等级，而另一个变量是连续的）
(2)两个变量虽然是连续性数据，但其总体不是
正态分布（非参数的相关方法）
(3)样本容量不一定大于30
被试 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
听X 172 140 152 187 139 195 212 164 149 146