公开课 人教版二次函数y=ax2+ bx+c的图像与性质
二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
◆本节课内容一、二次函数y=ax2+bx+c1、二次函数y=ax2+bx+c可以用配方法转化为y=a（x－h）2+k的形式：2、二次函数y=ax2+bx+c的图像的作法：二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条对称轴平行于y轴的抛物线。
它的图像常见作法有两种：五点法和平移法。
方法一：五点法先用配方法将y=ax2+bx+c（a≠0）化为y=a（x－h）2+k（a≠0）的形式，确定抛物线的顶点、开口方向、再以顶点为中心，在对称轴的两侧对称地各取两对值进行列表，最后描点画图。
方法二：平移法利用平移法作二次函数y=ax2+bx+c的图像的一般步骤如下：（1）利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a（x－h）2+k的形式，确定其顶点为（h，k）；（2）作出二次函数y=ax2的图像；（3）将函数y=ax2的图像平移，使其顶点（0,0）平移到（h，k），平移后的图像即是二次函数y=ax2+bx+c的图像。
3、二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质如下表：二、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像特征与系数a，b，c的符号关系注意：（1）b的符号由a的符号和对称轴的位置来决定（2）a+b+c（或a－b+c）可以看成是x=1（或x=－1）时的函数值。
三、二次函数解析式的求法求二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式。
◆课堂练习题型一利用公式法直接求抛物线的顶点、对称轴及最值1、求二次函数y=（x+5）（x－1）的对称轴、顶点及最值。
题型二、由抛物线的顶点、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围2、二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（－1,0）。
设t=a+b+1，则t 的取值范围是（）A、0＜t＜1B、0＜t＜2C、1＜t＜2D、－1＜t＜1题型三、二次函数图像平移规律的直接应用3、抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到抛物线y=－2x2，平移的方法是（）A、向左平移1个单位，再向下平移3个单位B、向左平移1个单位，再向上平移3个单位C、向右平移1个单位，再向下平移3个单位D、向右平移1个单位，再向上平移3个单位题型四、根据抛物线的平移求字母的值4、已知抛物线y=x2+4x+1向上平移m（m＞0）个单位得到的新抛物线过点（1,8），求m的值1题型五、利用二次函数y=ax2+bx+c的图像判断各项系数的符号5、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么abc，2a+b，a+b+c这3个代数式中，值为正数的有（ c ）A、3个B、2个C、1个D、0个题型六、利用二次函数的性质比较函数值得大小6、若A（－4，y1），B（－3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x－5的图像上的三点，则y1，y 2，y3的大小关系是（）题型七、利用二次函数的增减性求字母的取值范围7、已知二次函数y=x2-（m+1）x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，求m的取值范围。
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质课件(共2课时,58张)
例2 二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是 A
（
）
方法点拨：把函数的一般
A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）式化为顶点式，再由定点
式确定开口方向、对称轴、
B．开口向下，顶点坐标为（1，4）
顶点及其他性质.
C．开口向上，顶点坐标为（1，4）
D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
解析 ∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，
探究新知
怎样将 y
配方可得
1 2
x 6 x 21 化成y=a(x-h)2+k的情势？
2
1 2
y x 6 x 21
想一想：配方的方
2
1
( x 2 12 x 42)
法及步骤是什么？
2
1 2
( x 12 x 62 62 42)
2
1
[( x 2 12 x 62 ) 62 42]
直线x=2，顶点坐标为(2,-1).
探究新知
知识点 2
二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质
根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象
和性质吗？
2
b
4
ac
b
y=ax2+bx+c a( x )2
2a
4a
探究新知
2
b
4
ac
b
2
y=ax2+bx+c a( x )
-6.5
-4
-2.5
-2
-2.5
-4 -6.5 ···
《二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质》二次函数PPT精品课件
3. 将二次函数y＝－
1
4
x2＋x＋4写成y＝a(x－h)2＋k的形
式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝－
x2＋x＋4＝－
(x2－4x＋4－4)＋4＝－
(x
－2)2＋5，
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标是(2，5)，对称轴为直
线x＝2.
2－_______.
＝（x＋_______）
4
15
2. 配方：y＝2x2－4x＋1
＝2(x2－2x)＋1
＝2(x2－2x＋______________－______________)＋1
1
1
2－______________.
＝2(x－______________)
1
1
课堂导练
【例1】利用配方法把抛物线y＝x2－6x－3化为y＝a（x－h）2
形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2－8x＋16－16＝(x－4)2－16，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（4，－16），对称轴
为直线x＝4.
【例2】用配方法把二次函数y＝x2－x＋2化成顶点式．
解：y＝x2－x＋2＝x2－x＋
即y＝ −
2
＋
－
＋2＝ −
新知探究
课堂小结
这节课你收获了什么？ 还有什么疑惑？
新知探究
新知探究
新知探究
2
＋
，
．
思路点拨：利用一次项系数的一半的平方来凑完全平方式
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件
根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质吗？
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
b 4ac b2
显然，二次函数y a( x
b
)2
4ac
b2
的顶点坐标为
2a
,
4a
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c 与y=a(x-h)2+k的关系
思考 探索二次函数函数y 1 x2 - 6x 21的图象和性质。 2
解：y
1 2
x2
6x
21
配
12（x 6）2 3
方
有哪几种画
图方法？
y
1 2
x2
6x
21
12（x 6）2 3
方法一：平移法
y
8
6
y 1 x2
4
2
y=ax2+bx+c (a≠0)
a(x2 b x) c a
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a( x b )2 4ac b2
2a
4a
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 通过配方可以转化
成y=a(x-h)2+k情势.
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c 与的图象与性质
O
x
x
b 2a
（a>0）
O
x
x
b 2a
（a<0）
数学人教版九年级上册22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质(胪中王伟
向上
向下
直线x=–3 直线x=1
活动2：创设情Leabharlann ，导入新课思考：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,容 1 2 y x 6x21 能否利用这些知识来讨论二次函数 的图象和性 2 质？ 即怎样把函数 y 1x2 6x21 转化成 y=a(x-h） 2+k的形式? 2
ax bx c • 一般地，我们可以用配方法将 y 配方成
2
2 b b ac b b 2b b 2 2 24 a ( x x ) c a x x () () c a ( x ) a a 2 a 2 a 4 a a2 2
由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以 通过平移得到。
草图略
y
1 2 (x 4 x) 1 2
1 2 1 ( x 4 x 4 ) ×4 1 2 2 1 ( x 2)2 3 2
对称轴为直线x=-2 顶点坐标为（-2，-3） 当x=-2时，y最小值=-3
草图略
活动3：探究新知
22.1.4 二次函数
2 y ax bx c 的图像
y x2 6x21 2 1 2 12 x 21 提取二次项系数 x 2 1 2 1 x 12x 36 ×36 21 配方 2 2 配方后的表达 1 2 . 整理 x6 3 式通常称为配 2 方式或顶点式
用配方法。 1
1 2 描点、连线，画出函数 y x 6 3 2
二次本节课我们学习了哪些知识？ 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
人教版九年级数学上册22.2：二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质课件 (共46张PPT)
例1：指出抛物线:y x2 5x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点时），这样就可以画出它的大致图象。
方法归纳
② c=0 ＜＝＞图象过原点；
③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。
⑷顶点坐标是（ b ， 4ac b2 ）。
2a
4a
（5）二次函数有最大或最小值由a决定。
当x=－ —2ba 时,y有最大(最小)
值 y= 4ac－b2
______________________
4a
例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如 下图所示，x= 1 为该图象的对称轴，根
的平方
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
a x
b
2
4ac
b2
.
化简:去掉中括号
2a 4a
函数y=ax²+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么？
y ax2 bx c的对称轴是:x b 2a
顶点坐标是:( b , 4ac b2 ) 2a 4a
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶 点坐标：
D. 4ac-b2 >0-1 o 1 x 4a
5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向
下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ）
A.b=2 c= 6
B.b=-6 , c=6
C.b=-8 c= 6
D.b=-8 , c=18
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质PPT课件(人教版)
抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x=-b ,顶点
是
2a
b 4ac b2
b
4ac b2
（- 2a， 4a ）。当x=- 2a 时，函数取最值 4a ；
b
如果a>0，当x<- 2a时，y随x的增大而减小；
b
当x>- 2a时，y随x的增大而增大。
b
如果a<0，当x<- 2a 时，y随x的增大而增大；
答案：（1）:（1，1） （3）:下、（-2，10）
（2）:上、x＝-2 （4）：略
-7-
五：反思小结，观点提炼
本节课你有什么收获？ 有什么疑问？
-8-
作业：
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）y=3x2+2x （3）y=-2x2+8x-8
（2）y=-x2-2x
（4）y=
1 2
x2-4x+3
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质
-2-
一：设计问题，创设情境
问题1:你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、 对称轴和顶点坐标吗？
问题2:函数y＝－4(x－2)2＋1的图象与函数y＝－4x2的图 象
有什么关系?
1
问题3:不画图象，你能直接说出二次函数y＝ 2x2-6x+21 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标、增减性 和最值吗?
如果直接画二次函数的图象，由图象的对称性列表时，自变量取 顶点横坐标-1及其左右的值，然后描点画图。由图象可以看出， 在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左到右降落。 由此得出：当x<-1时，y随x的增大而增大；当x>-1时，y随x的增大而减小。
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2 bx c的图像和性质》教学设计
《二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质》教学设计教材依据人民教育出版社义务教育教科书《数学》（九年级上册）22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质．设计思路一、指导思想新课程标准指出，义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生。
在教学设计时，我以布鲁纳认知发现学习理论的实质——主动的形成认知结构为指导思想，结合新课标“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展．”的教育理念，设计了二次函数的图像和性质这节课。
二、设计理念本节课授课班级的学生已经获得的二次函数解析式中待定系数与图象的关系、二次函数图象的性质的基础上学习的，根据学生的认知特点和所学知识的特征，我在教学过程中重点运用我校的三段两重心教学模式：揭示目标，突破目标，检测目标。
使学生经历数学知识的形成与应用过程，以达到促进学生有效学习的目的。
这就需要我们在教学的过程中，利用教师的智慧，对教材和资源进行重新整合，并根据具体的学生的环境和接受能力，对课堂教学内容进行合理设计，将图象与数量结合到一起、将代数与几何结合到一起解决问题，提高学生在动手操作能力、分析问题能力的过程中，养成认真观察、主动思考的习惯，体会数形结合思想在解题中的优势。
从而提高课堂教学的效率。
三、教材分析本节属于《数学课程标准》（2011年）中“数与代数”领域的内容，课标中明确指出要求学生“会用配方法将数字系数的的二次函数的表达式化为y=a(x-h)²+k的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。
”设计本节课是学生在已经学习了二次函数的顶点式的基础上，根据我所任教的学生的实际情况，我将《二次函数的性质与图象》设定为一节课（探究图象及其性质）。
二次函数的图象与性质也是中考内容的重点考察之一。
四、学情分析二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的又一次应用。
教学课件： 二次函数y=ax2 bx c的图象和性质 第1课时1
<0)
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
直线x b 2a
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
当x b 时,最小值为 4ac b2 当x b 时,最大值为 4ac b2
(2)都是轴对称图形.
(与3)都y有=最a大x(²或的小)值关. 系
(4)a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小. 在对称轴右侧，y都随 x的增大而增大. a<0时，开口向下， 在对称轴左侧，y都随x的增大而增大.在对称轴右侧，y都随 x的增大而减小.
2.不同点: (1)位置不同. (2)顶点不同:分别是__(__2ba_,_4a_c4_a_b2_) 和(0,0). (3)对称轴不同:分别是__直__线__x ___2_ba_和y轴.
15
怎样平移抛物线
y＝
1 2
x2得到抛物线
10
y＝
1 2
(x－6)2＋3？
· · 5 （4，5）
（8，5）
·(6，3)
当_x__>_6_时y随 x的增大而增 大
O
5x ＝6 10
x
【 思考】
你能把函数y=ax²+bx+c通过配方法化成顶点式吗？
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方 法推导出它的对称轴和顶点坐标.
2a
4a
化简
【 归纳】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)
人教版九年级上册22.1二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质课件
例题详解
2.函数y=-3x2+12x-16的图象能否由函数y=-3x2的图象通过平移变换得 到？若能，请说出平移过程，并画示意图； 说出函数图象的对称轴和顶点坐标。
例题详解 y 2.
-6. - - 0 2 4 6
x
4. 2 -.
...
-24.
-6. -8.
-
-10. 12
y=-3(x-
y=-3(xy3=x2-2)2
=2(x-2)2-7≥-7 所以当x＝2时，y最小值=-7 。
例题详解
解法二（公式法）：
因为a＝2＞0，抛物线y=2x2-8x+1有最低点，所以y有最小值，
因为 － b 8 2, 4ac b2 4 21 82 7
2a 2 2
4a
42
所以当x＝2时，y最小值=-7。
总结：求二次函数最值，有两个方法。 (1)用配方法；(2)用公式法。
b 2a
时，y随x的增大而减小；
当x<
b 2a
时，y随x的增大而增大。
知识点详解
（6）抛物线y=ax²+bx+c与坐标轴的交点。 ①抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点坐标为（0，c）。 ②抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点坐标为(x1,0)，(x2,0),其中为x1,x2方程 y=ax²+bx+c的两实数根。
第二十二章 ·二次函数
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
温故知新
二次函数y=a(x+m)2+k的图象和y=ax2的图象之间的关系。
y=ax2(a≠0)图像 当m>0时
当m<0时
22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(第二课时)(课件)九年级数学上册(人教版)
C. y=(x-2)2-1
D. y= 1 (x-2)2-1 2
分层作业
3．一抛物线的形状、开口方向与抛物线 y= 1 x2-2x+3 相同，顶点为(-2，1)，则此抛物线的解析式为( )
2
A. y= 1 (x-2)2+1
2
B. y= 1 (x+2)2-1
2
C. y= 1 (x+2)2+1
2
D. y= 1 (x-2)2-1
分层作业
【拓展延伸作业】
6.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC. (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点 D 是抛物线的顶点，求△BCD 的面积.
分层作业
解：(1)：抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC， ∴OC=OB=3. ∴C(0.3), 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3)，将 C(0，3)代入得， -3a=3. ∴a=-1, ∴抛物线的解析式为 y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3；
∴DE=4-2=2，
∴S△CDB= 1 DE·OB= 1 ×2×3=3
2
2
分层作业
7. 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点(0，-1)和(2，7)
(1)求二次函数解析式及对称轴
(2)若点(-5，y1)(m，y2)是抛物线上不同的两个点，且 y1+y2=28，求 m 的值
解：把（0，-1)和(2，7)分别代入 y=x2+bx+c 可得： (2)把 x=-5 代入二次函数得：y1=14，
《二次函数的图像和性质》公开课教案 (省一等奖)2022年人教版1
二次函数y=ax 2的图像和性质教学目标知识与技能 1会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象，了解抛物线的有关概念。
2通过观察图象探索二次函数y=ax 2的图象特征和性质过程与方法 经历、探索二次函数y=ax 2的图象性质的过程，养成观察、思考、归纳的思维习惯。
情感态度与价值观注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯。
重点 观察二次函数y=ax 2的图象，探索它的图像特征和性质 难点 分段讨论二次函数y=ax 2的增减性 教法、学法 引导、启发 自主学习、合作交流 课型新授课教学准备 直尺、导学案 教学流程教师活动学生活动 二次备课 一、自主学习 知识回忆用描点法画函数图象的一般步骤是什么？ 我们是如何研究一次函数的图象和性质的？二次函数的一般形式是什么？对各项系数有何要求？ 你认为最简单的二次函数形式是什么？ 回忆出示学习目标1、会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象，了解抛物线的有关概念。
2、通过观察图象探索二次函数y=ax 2的图象特征和性质。
明确目标出示自学提纲1、在同一直角坐标系中，画出函数y=x 2 、y=2x2、y ＝12x 2 的图象2、观察并比拟三个图象，答复以下问题。
⑴图象形状是一条________，⑵图象是轴对称图形，对称轴为______。
⑶图象与对称轴的交点坐标是_______.此点也是抛物线的最_____点。
⑷图象的开口方向________.⑸当x ＞0时，y 的值随着x 的增大而______，当x ＜0时，y 随着x 的增大而________.⑹三个图象中________开口最大，________开口最小。
3、归纳：当a ＞0时，二次函数y=ax 2的图象和性质。
x … －3 －2 －10 1 2 3 …y=x 2… 9 4 1 0 1 4 9 …y=2x 2… … y ＝12x 2… … 阅读提纲， 〔1〕~〔4〕y=ax 2开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 a ＞0a 越大，抛物线的开口越______.4、在同一直角坐标系中，画出函数y=－x 2、y=－2x2y ＝－12x 2的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点? x … -2 -1 0 1 y=-x 2… y=-2x 2 … y ＝-12x 2…5、归纳：当a ＜0时，二次函数y=ax 2的图象和性质。
二次函数y=ax2 bx c的图像和性质
M1(x1，0),M2(x2,0).则 线段
M1M 2 x1 x2
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：一般式平移
（1） y=ax2+bx+c沿对称轴平移:向上（下） 平移m个单位，变成 y=ax2+bx+c+m（或 y=ax2+bx+c-m）.
(2) y=ax2+bx+c沿x轴平移：向左（右）平移 m个单位，变成y=a（x+m)2+b(x+m)+c （或y=a（x-m)2+b(x-m)+c）.
用函数图像回答：
(1)x取什么值时，y＝0？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ (4)x取什么值时，y有最大值或最小值？
分析：(1)用顶点坐标公式，可求出顶点 为(2，2)，对称轴是x＝2.
(2) 当x＝1时，y＝0，即图象与x轴交于点 (1，0)，根据轴对称，很容易知道(1 ，0) 的轴对称点是点(3，0) ．又当x＝0时，y ＝－6，即图象与y轴交于点(0，－6)，根 据轴对称，很容易知道(0，－6)的轴对称 点是点(4，－6)．用光滑曲线把五个点(2， 2)，(1，0)，(3，0)，(0，－6)，(4，－6) 连结起来，就是 y 2x2 8x 6 的0图象。
2. 2抛' 当物线a y 0 a时x2， b图x 象c 的落图在象x与轴y的轴下一方定，相无交论，交x 为点任坐何标为实(数0 ，，c都) ；有 y 0 ．
抛物线y=axax2+bx+c=0 的 根的判别式判定：
Δ
抛物线 与x轴 的交点
抛物线
解：列表 y 2x2 8x 6 0
x …0 1 2 3 4 … y … －6 0 2 0 －6 …
《二次函数的图像和性质》ppt课件人教版1
y x2 y x2
在同一坐标系内,抛物线y ax2与 抛物线 yax2是关于x轴对称的.
y=ax2 (a≠0)
a>0
a<0
图 2．如图 22-1-1，
对称轴： y 轴 y1、y2、y3的大小关系是 。
y
y
象 其中,是x自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0) 不同点：a 值越大，抛物线的开口越小．
(3)y=(2x-1)2-4x2.
用描点法画二次函数 y = x2 的图象
解:(1) 列表 x y
你还(2记) 得描用点描
点法画函数图像的
一般步(骤3)? 连线
连线时应注意 什么问题？
… -3 -2 -1 列0表时1 应2注意3 …
… 9 4 1 什0么问1 题4？ 9 …
描点法
y
10
列表
9
8 7
y=x2
6
5
描点
4
3 2
连线
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
yC=．axy23<(ay2≠<0)y1
对增称减轴 性是：y 轴左侧，，y随在x增大而增大 侧，
-０.５ -１.１２５ -2 … -２ -4. 5 -８ …
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
-1
(2) 描点
y 1 x2
(3) 连线
2
y x2
-2 -3 -4
二次函数y=ax2图像和性质省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴旳下方(除顶点外),它旳开 口向下,而且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴旳左侧,y伴随x旳增大而减小；在对称轴 右侧,y伴随x旳增大而增大.当x=0时函数y旳值最小. 当a<0时，在对称轴旳左侧,y伴随x旳增大而增大；在对称轴 旳右侧,y伴随x增大而减小,当x=0时,函数y旳值最大.
二次函数y=ax2旳图象和性质
学习目的
驶向胜利 旳彼岸
1、会用描点法画二次函数y=x2和 y=-x2旳图象；
2、根据函数y=x2和y=-x2旳图象， 直观地了解它旳性质.
数形结合,直观感受
•在二次函数y=x2中,y随x旳变化而变化旳规律
是什么？ •你想直观地了解它旳性质吗?
你会用描点法画二次函数y=x2旳图象吗?
（懂得4)当旳x？取什么值时,y旳值最-6大?最大值是什么？你是怎样
-8 y=-x2
（5)图象是轴对称图形吗？-假10如是,它旳对称轴是什么?请 你找出几对对称点,并与同伴交流.
二次函数y= -x2旳 图象形如物体抛射 时所经过旳路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线有关 y轴对称,y轴就 是它旳对称轴.
-2
y x2
二次函数y=x2旳 图象形如物体抛射 时所经过旳路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线有关 y轴对称,y轴就 是它旳对称轴.
对称轴与抛物 线旳交点叫做 抛物线旳顶点.
y x2
当x<0 (在对称轴旳 左侧)时,y伴随x旳增大而
减小.
当x>0 (在对称轴旳 右侧)时, y伴随x旳增大而
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x顶
2 23
1 3
y顶
22 43
1 3
顶点坐标为
1 3
,
1 3
对称轴x 1
当x
1 3
3
时，y最小值＝-
1 3
（2） yx2 2x
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
2
x顶 2 1 1
22 y顶 4 1 1
顶点坐标为 1,1
对称轴x 1
向下 直线x=1 （1，－2）
向上 直线x=3 （3，7 ） 向下 直线x=2 （2，－6）
如何画出y1x2 6x21的图象呢? 2
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,
容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函 数 y1x2 6x21也能化成这样的形式吗？
2
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质
方法归纳
1
配方法
2
公式法
求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴
你知道是怎样配方的吗？
y1x2 6x21 2
（1）“提”：提出二次项系数；
配 方（2 ）“配”：括号内配成完全平方；
（3）“化”：化成顶点式。
y= —1 (x―6)2 +3 老师提示:
2
配方后的表达式通常称
为配方式或顶点式
直接画函数 y1x2 6x21 的图象
2
解： y1x2 6x21
2
提取二次项系数 1 x212x42 2 配方 1x21x 23 63 642 2 整理 1 x626 2
当 xb时 ,最小4值 ac为 b2 当 xb时 ,最大4值 ac为 b2
2a
4a
2a
4a
练习
顶点坐标是
b 2a
,
4acb2 4a
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x
为何值时y的值最小（大）？
（1） y3x2 2x （2） yx2 2x
（3）y2x28x8 （4）y1x2 4x3
2
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶 点坐标；
(3)“画”：列表、描点、连线。
公 式 为 ： yax2ba24ac4a b2.
函数y=ax²+bx+c的顶点是
求次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．
yax2bxc
配方:
ax2 b xc 提取二次项系数
a a
这个结果通常称为 求顶点坐标公式.
y
o
x
1、会用公式法和配方法求二次函数一般 式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；
2、熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点 坐标公式；
3、会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c 的图象 。
函数y=ax²+bx+c的图象
怎样把函数 y1x2 6x21转化成
y=a(x-h）2+k的形式2 ?
用配方法。
一般地，抛物线y=a(x-h)2 +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2 上加下减 y=a(x-h)2 +k 左加右减
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
2.对称轴是直线X=h ；
3.顶点坐标是 (h,k) 。
向上 直线x=–3 （－3，5）
描点、连线，画出函数 y 1 x 62 3图像.
2
问题：
y
1 2
x2
6x21
1.看图像说说抛物线 y1x2 6x21
2
的增减性。
●
●
5
●
●
●
●
●
（6,3）
O
5
10
2.怎样平移抛物线 y 1 x2 2
可以得到抛物线
y
x
1 2
x2
6x21？
二次函数 画法：
y=
—12 x2－6x
+21图象的
(1)“化” ：化成顶点式 ；
当x 1时，y最大值＝1
（3） y2x28x8
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
x顶
2
8
2
2
4 2 8 82
y顶
4 2
0
顶点坐标为2, 0
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
（4）
y1x2 4x3 2
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
x顶
4 2 0.5
4
4 0.5 3 42
ax2b ax2ba22ba2a c配减数方去绝:一对加次值上项一再系半
ax
b
2
2a
的平方
4a4ca2b2整式理,后:两前项三合项并化同为类平项方形
ax
b
2
4acb2.
化简:去掉中括号
2a 4a
归纳总结：
一般地，我们可以用配方法将 ya2xbxc配方成
a ( x 2 b a x a c ) a x 2 b a x ( 2 b a ) 2 ( 2 b a ) 2 a c a ( x 2 b a ) 2 4 a 4 a b c 2
根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
开口方向
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
Hale Waihona Puke b 2a,4acb2 4a
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
y顶
4 0.5
5
顶 点 坐 标 为 4,5
对称轴x 4
当x 4时，y最小值＝-5
例1：指出抛物线:yx25x4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
方∵9对向/a4于=，）-1y，求＜=与a出0x,y2它∴轴+开b的交x口+点对c向我坐称下标们轴，为可、顶以顶点确坐点定标坐（它标2的、.5开，与口y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点（时0），，- 4这），样与就x可轴以交画点为出（它1的,0)大、致(4,图0）象，。
化简:去掉中括号 1x62 3.
2
直接画函数
y
1 2
x2
6x21
的图象
根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a= 1 >0,
2
∴开口向上;
对称轴:直线x=6;
顶点坐标:(6,3).
列表:利用图像的对称性,选取适当值列表计算.
y 1 x 62 3
2
直接画函数
y
1 2
x2
6x21
的图象
由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相 同，只是位置不同，可以通过平移得到。
﹙1﹚二次函数 ya2xbxc( a≠0)的图象是一条 抛物线 ；
﹙2﹚对称轴是直线 x= b ； 2a
顶点坐标是
b 2a
,
4acb2 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值