1.2.2同角三角函数的基本关系式(公开课)
合集下载
高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系
故 tan ������
1 sin2������
-1
=
tan
������
1-sin2������ sin2������
=
tan
������
cos������ sin������
=
sin������ cos������
·-scions������������
=
−1.
(2)证法一:sin2α+cos2α=1⇒1-cos2α=sin2α
sin������ 1 + cos������ ∴ 1-cos������ = sin������ .
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型四 已知 tan α 的值求其他代数式的值
【例4】 已知tan α=7,求下列各式的值.
(1)
sin������+cos������ 2sin������-cos������
则 sin α=−
1-cos2 ������
=
−
15 17
,
tan
������
=
sin������ cos������
=
185.
反思已知cos α(或sin α)求tan α时,先利用平方关系求出sin α(或 cos α),再利用商关系求出tan α.注意在求sin α(或cos α)时,往往需分 类讨论α所在的象限.
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统 一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活.常用的有以下几种:
(1)直接法——从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比 较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.
(2)综合法——由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到 所要证明的等式,其依据是等价转化的思想.
同角三角函数的基本关系公开课教案
1.2.2同角三角函数的基本关系班级：高一（10班 授课教师：曾进教学目的：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法；3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决 实际问题的思维能力。
教学重点：同角三角函数的基本关系式教学难点：同角三角函数的基本关系式的应用和证明三角恒等式．授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：圆规，三角板教学过程：一、复习引入：1．任意角的三角函数定义：设角α是一个任意角，α终边上任意一点(,)P x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么：sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=， 2．当角α分别在不同的象限时，sin α、cos α、tan a 的符号分别是怎样的？3．背景：如果53sin =A ，A 为第一象限的角，如何求角A 的其它三角函数值； 4．问题：由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？二、讲解新课：（一）同角三角函数的基本关系式：（板书课题：同角的三角函数的基本关系）1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（1）商数关系：sin tan cos a a a=（2）平方关系：22sin cos 1a a += 说明：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin 4cos 41αα+=等；②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如 sin tan cos a a a= ③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：cos α= 22sin 1cos αα=-， sin cos tan ααα=等。
2．例题分析： 例6．已知3sin 5a =-，求cos a ，tana 的值。
解：∵sin 0a <，sin 1a ≠-，∴a 是第三或是第四象限角。
同角三角函数基本关系及诱导公式 公开课一等奖课件
3π 2
(k∈Z) α α －α
α α －α ＋α
正
－－－
－－
sinα sinα
cosα cosα
弦
sinα sinα sinα
cosα cosα
余
－－
－－
cosα
cosα cosα sinα
sinα
弦
cosα cosα
sinα sinα
1．(2008·陕西)sin330°等于( )
A．－
3 2
B．－12
[解] (1)∵sinα＝13且 α 为第二象限角，
∴cosα＝－ 1－sin2α＝－23 2
∴tanα＝csoinsαα＝－
2 4.
(2)∵cosα<0 ∴角 α 的终边在第二或第三象限或 x 轴的 负半轴上．当角 α 的终边在第二象限或 x 轴的负半轴上时
sinα＝ 1－cos2α＝mm22－ ＋11 tanα＝m22－m 1 当角 α 的终边在第三象限时 sinα＝－ 1－cos2α＝1m－2＋m12.tana＝1－2mm2.
1．同角三角函数的基本关系式的主要应用是：已知一个 角的三角函数值，求此角的其它三角函数值．在运用平方关系 解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压 缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，可不用 同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函 数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对 值．
个．
已知 tan(4π＋α)＝2，求2sinαcos1α＋cos2α的值． [解] 由 tan(4π＋α)＝11＋ －ttaannαα＝2，得 tan α＝13.
于是2sinαcos1α＋cos2α
＝2sisniαn2cαo＋sαc＋osc2oαs2α＝2tatann2αα＋＋11＝2×13213＋＋11＝23.
同角三角函数的基本关系式
2 2
证法二：因为
(1 sin )(1 sin ) 1 sin cos
2 2
由原题可知 1 - sin 0, cos 0, cos 1 sin 所以 1 sin cos
证法三：
cos 0,1 sin 0 cos cos (1 sin ) 原式左边 2 1 sin cos cos (1 sin ) cos (1 sin ) 2 2 1 sin cos 1 sin 右边 cos
同角三角函数基本关系式的应用
1.求值题型
已知某个角的一个三角函数 值,求这个角的其余三角函数值.
3 例6 已知 sin ， 求 cos ，tan 的值． 5
注意开方运算时根号前正、负号的选取， 即根据角所在的象限讨论正负号。
课本P23 练习 1，2，3
2.化简三角函数式. 函数种类要最少，项数要最少，函数 次数尽量低，能求出值的要求出数值，尽 量使分母不含三角形式和根式。
主客呀."能给咱壹千斤吗?"根汉问道."壹千斤..."在场の十几人都张大了嘴巴,这还是人吗,这小子也太能吃了,买壹千斤腌牛肉吃?（正文贰叁贰7壹千斤）贰叁贰捌赚钱"有!"中年老板立即拍板道："小老弟呀,给你算便宜壹些吧,你给二十二壹斤就好了,壹共是二万二...""好, 谢谢了..."根汉立即就掏出了二万五千星海币,厚厚の壹大叠放在桌上,又说道："再给咱准备十几缸红米酒吧,这里剩下の钱能装多少装多少吧...""好の..."中年老板笑得合不拢嘴,赶紧将这壹大叠钱给收好了,开什么玩笑,这壹天の功夫,就做了两个月の生意.今天真得烧香 拜拜财神了,壹斤少说也得赚个八到十块星海币
证法二：因为
(1 sin )(1 sin ) 1 sin cos
2 2
由原题可知 1 - sin 0, cos 0, cos 1 sin 所以 1 sin cos
证法三：
cos 0,1 sin 0 cos cos (1 sin ) 原式左边 2 1 sin cos cos (1 sin ) cos (1 sin ) 2 2 1 sin cos 1 sin 右边 cos
同角三角函数基本关系式的应用
1.求值题型
已知某个角的一个三角函数 值,求这个角的其余三角函数值.
3 例6 已知 sin ， 求 cos ，tan 的值． 5
注意开方运算时根号前正、负号的选取， 即根据角所在的象限讨论正负号。
课本P23 练习 1，2，3
2.化简三角函数式. 函数种类要最少，项数要最少，函数 次数尽量低，能求出值的要求出数值，尽 量使分母不含三角形式和根式。
主客呀."能给咱壹千斤吗?"根汉问道."壹千斤..."在场の十几人都张大了嘴巴,这还是人吗,这小子也太能吃了,买壹千斤腌牛肉吃?（正文贰叁贰7壹千斤）贰叁贰捌赚钱"有!"中年老板立即拍板道："小老弟呀,给你算便宜壹些吧,你给二十二壹斤就好了,壹共是二万二...""好, 谢谢了..."根汉立即就掏出了二万五千星海币,厚厚の壹大叠放在桌上,又说道："再给咱准备十几缸红米酒吧,这里剩下の钱能装多少装多少吧...""好の..."中年老板笑得合不拢嘴,赶紧将这壹大叠钱给收好了,开什么玩笑,这壹天の功夫,就做了两个月の生意.今天真得烧香 拜拜财神了,壹斤少说也得赚个八到十块星海币
1.2.2同角的三角函数基本关系式
能力训练(化简)
例3.化简 : 1 2 sin 2 10 cot 10 sin 10 1 sin 2 10
sin 10 cos 10 1. (sin 10 cos 10 ) (sin 10 cos 10 ) 2 sin 10 cos 10
补充题 : 已知cot m(m 0), 求cos .
同角三角函数基本关 系式的记忆方法
sin
cos
tan
1.倒三角形上两角数的平 方等于下角数的平方.
1
sec
csc
cot
2.实线的端点数的乘积等 于中间数 3.虚线的端点数的乘积等于中间数.
第二课时
学习本节的目的要求:
5.已知tan m(m 0), 求的其他三角函数值 .
同角三角函数基本关 系式的记忆方法
sin
cos
tan
1.倒三角形上两角数的平 方等于下角数的平方.
1
sec
csc
cot
2.实线的端点数的乘积等 于中间数 3.虚线的端点数的乘积等于中间数.
能力训练(化简)
例1.化简 : 1 sin 2 440
2.三角函数的定义域
三角函数 定义域
R R
sin cos tan
{ | R且
cot sec
2 { | R且 k , k Z }
k , k Z } k , k Z }
{ | R且
csc
2 { | R且 k , k Z }
1 2
2 2 2 2
3 2
1
0 1
0
cos
同角三角函数的基本关系(公开课)
具体形式
sin(x) = cos(x - π/2)， cos(x) = sin(x + π/2)， tan(x) = sec(x) - 1， cot(x) = csc(x) - 1等。
意义
同角三角函数是三角函数 的基本关系之一，是解
同角三角函数具有周期性， 其周期为2π。
同角三角函数的和差公式
定义
总结词
同角三角函数的和差公式是三角函数 中重要的基本公式之一，用于描述两 个同角三角函数值之间的关系。
详细描述
同角三角函数的和差公式表示为 sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny和 cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny，其中x 和y为角度，sin和cos为正弦和余弦函 数。
具体形式
sin(x/2) = ±√[(1-cosx)/2]、
cos(x/2) = ±√[(1+cosx)/2]、
tan(x/2)
=
±√[(1-
cosx)/(1+cosx)]。
性质
奇偶性
半角公式具有奇偶性，即当角度加上或减去180度时，其对应的半 角函数值会变成相反数。
周期性
半角函数具有周期性，其周期为180度，即当角度增加或减少360 度时，其对应的半角函数值不变。
物理应用
在物理中，同角三角函 数的基本关系可以用来 描述一些物理现象，例 如振动、波动等。
THANKS
感谢观看
y = cos(ax + b)，其中 a、b为常数。
y = tan(ax + b)，其中 a、b为常数。
y = cot(ax + b)，其中a、 b为常数。
02
高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系课件2 新人教A版必修4.ppt
5
55
5
5
3.已知cos α= 1 ，且α是第四象限角，则sin α=（ ）
2
A . 1
B .3 C .3 D . 1
2
2
2
2
【解析】选C.因为α是第四象限角，所以sin α＜0，
所以 sin 1cos21(1)23.
22
6
4.化简：s i n =_______.
tan
【解析】
sin tan
10
10 10
方法二：(cosα+2sinα)2= cos24sincos4sin2
sin2cos2
1 4 ta n 4 ta n 2 1 4 3 4 3 2 4 9
由已知条件得
分子分母同除以cos2α可得关于tanα的方程.
(cos2sin)2 sin2cos2
5，
12
【解析】方法一：因为cosα+2sinα= 5 ， 所以cosα=-2sinα 5 ， 又因为sin2α+cos2α=1，所以sin2α+(-2sinα- )2=5 1， 整理得5sin2α+4 s5 inα+4=0，( si5 nα+2)2=0，
sin sin
cos.
答案：cos θ cos
7
5.已知tan φ=- 2 ，φ∈( ，π)，则sin φ=_____.
2
sin 2 cos 2 1，
【解析】由已知得
sin cos
所以
2，
sin2(sin)2 1， 2
所以sin2φ= 2 ，由φ∈( ， π)得sin φ＞0，
3
2
限决定的，不可凭空想象.
11
(公开课)同角三角函数的基本关系省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
知识探究(一)：基本关系
思索1：如图，设α是一种任意角，它 旳终边与单位圆交于点P，那么，正弦 线MP和余弦线OM旳长度有什么内在 联络？由此能得到什么结论？
MP2 OM 2 1
y P(x, y)
1α
sin2 cos2 1 M O x
知识探究(一)：基本关系
思索2：上述关系反应了角α旳正弦和
1 sin2
cos2
1 sin =右边 cos
所以 cos 1 sin 1 sin cos
三角函数恒等式证明旳一般措施
（1）从一边开始证明它等于另一边（由繁到简） （2）证明原等式旳等价关系 （3）证明左、右两边等于同一式子
注：要注意两边都有意义旳条件下才恒等
问题2、求证
1 2 cos 2
cos x sin x (cos x sin x) cos x 1 tan x
所以原等式成立
左边
右边
四、归纳总结：
本节课同学们有哪些学习体验与收获，学到了 哪些数学知识与措施
（1）同角三角函数旳基本关系式（应用极为广泛；巧用 1 sin 2 cos2
sin 2 cos2 1, R
(cos x sin x)(cos x sin x)
cos x sin x cos x sin x
cos x sin x
左边=右边
cos x sin x 左边
中间
所以原等式成立
右边
证法二：
左边 cos x sin x (cos x sin x) cos x 1 tan x 右边
即 sin tan cos
cos
{ sin2 cos2 1 sin tan cos
sin 3
{scions2 cos2 1
第五章第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式课件共51张PPT
(3)∵sin α＝45 且 α 为锐角∴cos α＝ 1－sin2α ＝
4
∴tanα＝csoins
α α
＝52
＝43
，故 AB 正确．
5
∴sin α＋cos α＝45
＋35
＝75
8 ≠5
，
sin α－cos α＝45 －35 ＝15 ≠－15 ，故 CD 错误．]
1－452 ＝35 ，
同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现 α 的正弦、余弦的互化，利用csoinsαα ＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． (2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数 值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在 的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
所以 f－253π
＝cos
－253π
＝cos
π 3
＝12
.
答案：
1 2
同角三角函数基本关系式
角度一 公式的直接应用
(1)已知角
α
是第二象限角，且满足
sin
5π (2
＋α)＋3cos (α－π)＝1，
则 tan (π＋α)等于( )
A． 3
B．－ 3
C．－
3 3
D．－1
(2)(2020·北京市适应性测试)已知 α 是第四象限角，且 tan α＝－34 ，则 sin
解析： (1)因为 f(2 020)＝sin π2 ×2 020＋α ＋1＝sin (1 010π＋α)＋1
＝sin α＋1＝2，
所以 sin α＝1，cos α＝0.
所以 f(2 021)＝sin
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.2.2 同角三角函数的基本关系
互动探究 探究点1 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？
提示 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都
有意义．所以sin2α＋cos2α＝1对于任意角α∈R都成立，而
sin cos
αα＝tan
α并不是对任意角α∈R都成立，这时α≠kπ＋π2，k∈
Z.
探究点2 在利用平方关系求sin α或cos α时，其正负号应怎样确 定？
＝tan
tan2αsin2α α－sin αtan
αsin
α＝tatnanαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
[规律方法] (1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异， 有目的的化简． (2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． (3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【活学活用2】 化简：
1－2sinα2cosα2＋ 1＋2sinα2cosα20<α<π2.
解 原式＝
cosα2－sinα22＋
cosα2＋sinα22
＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2.
∵α∈0，π2，∴α2∈0，π4.
利用tan α＝csoins αα和sin2α＋cos2α＝1向等号左边式子进行转化；
也可利用tan
α＝
sin cos
α α
将等号左、右两边式子进行切化弦，结
合sin2α＋cos2α＝1达到两边式子相等的目的．
证明
∵右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin αtan αsin
α
＝tantaαn2－α－sintaαn2tαacnoαs2sαin α＝tantαan－2αsi1n－αctaons2ααsin α
新教材2023版高中数学北师大版必修第二册：同角三角函数的基本关系课件
即
cos
α＝－2
5
6，∴tan
α＝csoins
αα＝－51×－2
5
6＝
6 12 .
(2)∵cos α＝－35<0，∴α 是第二或第三象限角． 当 α 是第二象限角时，sin α>0，tan α<0，
∴sin α＝ 1－cos2α＝ 1－－352＝45， tan α＝csoins αα＝－34； 当 α 是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，
2 4.
(2)ssiinnθθ－＋2ccoossθθ＝ttaann θθ＋ －12＝21，解得 tan θ＝－4.
答案：(1)D (2)A
题型二 利用 sin θ±cos θ 与 sin θcos θ 关系求值——师生共研
例 3 已知 θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝12，求：
(1)sin θ·cos θ；(2)sin θ－cos θ.
题型一 利用同角三角函数的基本关系求值——微点探究 微点 1 由一个三角函数值求其他三角函数值 例 1 (1)已知 sin α＝－15，且 α 是第三象限角，求 cos α，tan α 的 值；
(2)已知 cos α＝－35，求 sin α，tan α 的值．
解析：(1)∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α＝1－－152＝2245. 又∵α 是第三象限角，∴cos α<0，
§1 同角三角函数的基本关系
最新课标 理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，csoins xx＝tan x.
1.1 基本关系式 1．2 由一个三角函数值求其他三角函数值
1．3 综合应用
[教材要点]
要点 同角三角函数的基本关系式 (1)sin2α＋cos2α＝___1_____.
1.2.2 同角三角函数的基本关系(公开课)ppt课件
3
同角三角函数的基本关系
如图，设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P，
那么，正弦线MP和余弦线OM的长度有什么内在联系？
由此能得到什么结论？
MP2 OM2 1
y P
1
sin2 cos2 1
MO
x
4
上述关系反映了角α 的正弦和余弦之间的内在联系，
根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α 的终边
答案，这时一般有两组结果.
14
【合作探究】高考链接
15
16
17
18
19
五、【练习与展示】
A B
20
1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的. 2.利用平方关系求值时要根据角所在的象限确定三角函
数值符号． 3.化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问题.
21
1
2
三角函数的定义
α的终边 y P(x,y)
（1）y叫做的正弦，记作 sin ， M O
即 sin y =MP
（2）x叫做的余弦，记作 cos ，即
cos x =OM
（3）y 叫做 的正切，记作 tan ，即
x
tan
y x
(x 0)
=AT
A(1,0) x
T
6
同角三角函数的基本关系: 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于这个角的正切. “同角”二层含义:一是“角相同”, 二是“任意”一个角.
7
平方关系变形公式
8
商数关系变形公式
9
基本公式
10
是否存在同时满足下列三个条件的角 ?
(1) sin 3
5 (2) cos 5
同角三角函数的基本关系
如图，设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P，
那么，正弦线MP和余弦线OM的长度有什么内在联系？
由此能得到什么结论？
MP2 OM2 1
y P
1
sin2 cos2 1
MO
x
4
上述关系反映了角α 的正弦和余弦之间的内在联系，
根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α 的终边
答案，这时一般有两组结果.
14
【合作探究】高考链接
15
16
17
18
19
五、【练习与展示】
A B
20
1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的. 2.利用平方关系求值时要根据角所在的象限确定三角函
数值符号． 3.化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问题.
21
1
2
三角函数的定义
α的终边 y P(x,y)
（1）y叫做的正弦，记作 sin ， M O
即 sin y =MP
（2）x叫做的余弦，记作 cos ，即
cos x =OM
（3）y 叫做 的正切，记作 tan ，即
x
tan
y x
(x 0)
=AT
A(1,0) x
T
6
同角三角函数的基本关系: 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于这个角的正切. “同角”二层含义:一是“角相同”, 二是“任意”一个角.
7
平方关系变形公式
8
商数关系变形公式
9
基本公式
10
是否存在同时满足下列三个条件的角 ?
(1) sin 3
5 (2) cos 5
1.2.2同角三角函数基本关系
基本变形 2 2 思考：对于平方关系 sin cos 1 可作哪些变形？
sin 1 cos , cos 1 sin , 2 (sin cos ) 1 2 sin cos 2 (sin cos ) 1 2 sin cos
又是第二象限角， cos 0
1 2 2 sin 2 cos t an 3 3 cos 4 2 2 3
三、应用示例
3 例2.已知 sin , 求 cos , tan 的值。 5 解:因为 sin 0, sin 1, 所以 是第三或第四象限角.
1的替换 — 3 3 1 3(sin cos )
2 2
1 (1) 2 1 ( 2) 32 20 (3) 13
1的替换 — 看作分母为 1 sin 2 cos 2
cos x 1 sin x 例4 求证 1 sin x cos x
恒等式证明常用方法?
基本思路:由繁到简 可以从左边往右边证，
因此
cos 1 sin 1 sin cos
化简
例5．化简
解：原式
1 sin 440
2
2
2
2
1 sin (360 80 ) 1 sin 80
cos 80 cos80
例6．化简 解：原式
1 2sin40 cos40
sin 40 cos 40 2sin40 cos40
2 2
2 2
思考：对于商数关系 哪些变形？
sin tan 可作 cos
sin cos tan ,
sin cos . tan
公开课课件-同角三角函数基本关系式
公开课课件-同角三角函 数基本关系式
欢迎来到本次公开课课件，我们将探索同角三角函数的基本关系式，并了解 它们的用途和特性。
同角三角函数定义
1 正弦函数（sin）
描述一个角的正弦值，即 对边与斜边之比。
2 余弦函数（cos）
描述一个角的余弦值，即 邻边与斜边之比。
3 正切函数（tan）
描述一个角的正切值，即 对边与邻边之比。
正切函数的图像
在某些点上取无穷大值，呈现周 期性的锯齿状波形。
同角三角函数的积化简
sin α sin β = (1/2)(cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = (1/2)(cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = (1/2)(sin (α + β) + sin (α - β))
同角三角函数的基本关系式
sin²θ + cos²θ = 1 1 + cot²θ = csc²θ cos 2θ = cos²θ - sin²θ
1 + tan²θ = sec²θ sin 2θ = 2sinθcosθ tan 2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)
同角三角函数的和差化简
1
和差化简公式
可将两个三角函数的和/差用一个三角函
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos
2
数表示。
α sin β
3
cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin
α sin β
同角三角函数的奇偶性质
偶函数
cos(x)、sec(x)是对称于y轴的函数。
欢迎来到本次公开课课件，我们将探索同角三角函数的基本关系式，并了解 它们的用途和特性。
同角三角函数定义
1 正弦函数（sin）
描述一个角的正弦值，即 对边与斜边之比。
2 余弦函数（cos）
描述一个角的余弦值，即 邻边与斜边之比。
3 正切函数（tan）
描述一个角的正切值，即 对边与邻边之比。
正切函数的图像
在某些点上取无穷大值，呈现周 期性的锯齿状波形。
同角三角函数的积化简
sin α sin β = (1/2)(cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = (1/2)(cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = (1/2)(sin (α + β) + sin (α - β))
同角三角函数的基本关系式
sin²θ + cos²θ = 1 1 + cot²θ = csc²θ cos 2θ = cos²θ - sin²θ
1 + tan²θ = sec²θ sin 2θ = 2sinθcosθ tan 2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)
同角三角函数的和差化简
1
和差化简公式
可将两个三角函数的和/差用一个三角函
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos
2
数表示。
α sin β
3
cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin
α sin β
同角三角函数的奇偶性质
偶函数
cos(x)、sec(x)是对称于y轴的函数。
1.2.2同角三角函数的基本关系
sin 3 cos 3 １
2 2
练习1.化简下列各式
(1) cos tan
2 cos2 1 (2) 1 2 sin 2
1 cos 2 sin 2 2a 2 2 a
2
1 sin
2
cos
2
sin( ) 6 tan( ) 6 cos( ) 6
M O
你能利用三角函数的定义说 明这个平方关系吗？ 由三角函数定义知： y 2 x 2 2 2 sin α＋cos α＝（ ） ＋（ ） r r y2＋x2 = r2 r2 = r2 =1 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1.
你还能从三角函数定义出发， 找到同一个角的三种三角函数间的 联系吗？ 注意：今后凡没有 π 当α≠kπ+ （k∈Z）时 特别注明，我们假定三 2 角恒等式都是在使两边 y sinα y r 都有意义的情况下的恒 = tan α = = x cosα x 等式． r 所以，同一个角的正弦与余弦的商等于这个角的 正切.
3 例1：已知sinα= - 5，求cosα，tanα的值． 解：因为sinα＜0，sinα≠-1，所以α是第三或第四 象限角． 由sin2α+cos2α=1，得 32 16 2 2 cos α=1-sin α＝1-（ - ） 5 ＝ 25 如果α是 第三象限角，那么cosα＜0，于是 16 - 4 cosα= - 25 = 5 从而 3 5 3 sinα tanα= =（ - 5 ）×（ - 4 ）= 4 cosα
已知某个角的一个三角函数值，可求 出它的其余三角函数值. 步骤：
分类讨论
先判断角的象限，再利用平方关系求解
变式二：已知tan 3, 求sin , cos值
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.2.2同角三角函数的基本关系式
一、复习与回顾
§1.2.2同角三角函数的基本关系式
1.任意角的三角函数的定义
设是一个任意角,的终边上任意一点
P(x, y),OP r那么:
y
x
(1) sin __r _;(2) cos __r _;
y
(3) tan _x__;
3.三角函数值的符号
sin2 cos2 1
可以证明吗？利用什么知识证明？
角可以是任意角吗？
问题探究二
请同学们根据三角函数的定义探索：
sin,cos, tan ，三者具有什么关系？
sin y tan cos x
当
k
k
z时，等式成立。
2
总结： 同角三角函数的基本关系式
§1.2.2同角三角函数的基本关系式
y
o x
sin
y
o x
cos
y
o x
tan
记忆:一全二正弦，
三切四余弦
二、问题探究一
1sin2 30 cos2 30 1
2sin2 cos2
221源自猜 想3sin2 cos2 1
sin tan, ( k , k Z)
cos
2
（2）三种基本题型:
①三角函数值的计算问题：利用平方关系时，往往要开方，
因此要先根据角的所在象限确定符号，进行分类讨论。
②化简题：一定要在有意义的前提下进行。 ③证明问题。
思考
已知 是三角形的内角 ，且 sin cos 1 ，
5
求(1)sin cos (2)sin cos 的值 .
四、归纳总结：
本节课同学们有哪些学习体验与收获，学到了哪些数学知识与方法
（1）同角三角函数的基本关系式
sin 2 cos2 1, R
sin2 cos2 1 平方关系
s in cos
tan
商数关系
注意：只有当 α的取值使三角函数有意义时，
2个恒等式才成立 。
公式变形: sin2 1 cos2 sin 1 cos2
sin cos tan
1 如：1sin2 3 cos2 3
1 2sin2 11 cos2 11
12
12
sin
3
c
4
os
tan
4
4
注意：“同角”的概念与角的表达形式无 关.
例1 已知 sin 3 ，为第三象限角。
5
求cos 和tan .
变式一
已知
sin
5 13
，求 cos
和tan .
变式二
已知 tan 4 ，求sin 和cos .
3
例2. 化简下列各式：
（1） 1 sin2 440
（2） 1 2sin20 cos20
归纳：同角三角函数关系式的应用
(1)已知某角的一个三角函数值, 求该角的其他三角函数值.（知一求二） (2)三角函数式的化简.
(3)三角恒等式的证明.
例 3 已知 tan 2 ， 求 : (1) sin 2cos 3sin 2cos (2) sin cos , (3)sin2 2cos2 .
一、复习与回顾
§1.2.2同角三角函数的基本关系式
1.任意角的三角函数的定义
设是一个任意角,的终边上任意一点
P(x, y),OP r那么:
y
x
(1) sin __r _;(2) cos __r _;
y
(3) tan _x__;
3.三角函数值的符号
sin2 cos2 1
可以证明吗？利用什么知识证明？
角可以是任意角吗？
问题探究二
请同学们根据三角函数的定义探索：
sin,cos, tan ，三者具有什么关系？
sin y tan cos x
当
k
k
z时，等式成立。
2
总结： 同角三角函数的基本关系式
§1.2.2同角三角函数的基本关系式
y
o x
sin
y
o x
cos
y
o x
tan
记忆:一全二正弦，
三切四余弦
二、问题探究一
1sin2 30 cos2 30 1
2sin2 cos2
221源自猜 想3sin2 cos2 1
sin tan, ( k , k Z)
cos
2
（2）三种基本题型:
①三角函数值的计算问题：利用平方关系时，往往要开方，
因此要先根据角的所在象限确定符号，进行分类讨论。
②化简题：一定要在有意义的前提下进行。 ③证明问题。
思考
已知 是三角形的内角 ，且 sin cos 1 ，
5
求(1)sin cos (2)sin cos 的值 .
四、归纳总结：
本节课同学们有哪些学习体验与收获，学到了哪些数学知识与方法
（1）同角三角函数的基本关系式
sin 2 cos2 1, R
sin2 cos2 1 平方关系
s in cos
tan
商数关系
注意：只有当 α的取值使三角函数有意义时，
2个恒等式才成立 。
公式变形: sin2 1 cos2 sin 1 cos2
sin cos tan
1 如：1sin2 3 cos2 3
1 2sin2 11 cos2 11
12
12
sin
3
c
4
os
tan
4
4
注意：“同角”的概念与角的表达形式无 关.
例1 已知 sin 3 ，为第三象限角。
5
求cos 和tan .
变式一
已知
sin
5 13
，求 cos
和tan .
变式二
已知 tan 4 ，求sin 和cos .
3
例2. 化简下列各式：
（1） 1 sin2 440
（2） 1 2sin20 cos20
归纳：同角三角函数关系式的应用
(1)已知某角的一个三角函数值, 求该角的其他三角函数值.（知一求二） (2)三角函数式的化简.
(3)三角恒等式的证明.
例 3 已知 tan 2 ， 求 : (1) sin 2cos 3sin 2cos (2) sin cos , (3)sin2 2cos2 .