初中数学竞赛讲座——数论部分2(整数的整除性)

第二讲 整数的整除性

一、基础知识：

1．整除的基本概念与性质

所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．

定义： 设a ，b 是整数，b ≠0．如果有一个整数q ，使得a=bq ，那么称a 能被b 整除，或称b 整除a ，并记作b ｜a ．也称b 是a 的约数，a 是b 的倍数。

如果不存在这样的整数q ，使得a=bq ，则称a 不能被b 整除，或称b 不整除a ，记作b ｜a ．

关于整数的整除，有如下一些基本性质：

性质1若c b b a |,|，则c a |

证明：∵c b b a |,|，∴bq c ap b ==,（q p ,是整数），

∴a pq q ap c )()(==，∴c a |

性质2 若a ｜b ，b ｜a ，则 |a |=|b |．

性质3 若c ｜a ，c ｜b ，则c ｜(a ±b )，且对任意整数m ，n ，有c ｜(m a ±n b )．

证明：∵c a b a |,|，∴aq c ap b ==,q b ,(是整数），

∴)(q p a aq ap c b ±=±=±，∴|()a b c ±

性质4 若b ｜a ，d ｜c ，则bd ｜ac ．特别地，对于任意的非零整数m ，有b m ｜a m

性质5 若a =b ＋c ，且m ｜a ，m ｜b ，则m ｜c ．

性质6 若b ｜a ，c ｜a ，则[b ，c ]｜a ．特别地，当(b ，c )=1时，bc ｜a

【此处[b ，c ]为b ，c 的最小公倍数；(b ，c )为b ，c 的最大公约数】．

性质7 若c ｜ab ，且(c ，a )=1，则c ｜b ．特别地，若p 是质数，且p ｜ab ，则p ｜a 或p ｜b ．

性质8 n 个连续整数中，必有一个能被n 整除．

【特别地：两个连续整数必有一偶数；三个连续整数必有一个被3整除，如11，12，13中有3 | 12；41，42，43，44中有4 |44；77，78，79，80，81中5 | 80．】

二．证明整除的基本方法

证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法等．下面举例说明．

例1若a ｜n ，b ｜n ，且存在整数x ，y ，使得ax +b y=1，证明：ab |n ．

证明：由条件，可设n=au，n=b v，u，v为整数，于是

n=n(ax+b y)= nax+nb y=abvx+abu y= ab(vx+u y)

所以n|ab

例2证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．

分析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．

证明：设三个连续的奇数分别为2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整数)，于是

(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2＋1=12(n2＋n＋1)．

所以12｜[(2n-1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2]．

又n2+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2＋n+1是奇数，故

24 |[(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2]．

例3若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．

分析因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k ＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．

证明因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以

a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．

例4若x，y为整数，且2x+3y，9x＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．

证明：设u=2x＋3y，v=9x＋5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得

3v-5u=17x．①

所以17｜3v．

因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9x＋5y．

若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2x＋3y．

例5已知a，b是自然数，13a＋8b能被7整除，求证：9a+5b都能被7整除．

分析：考虑13a＋8b的若干倍与9a+5b的若干倍的和能被7整除，

证明13a＋8b+4（9a+5b）=7（7a+4b）是7的倍数，又已知13a+8b是7的倍数，所以4（9a+5b）是7的倍数，

因为4与7互质，由性质7|（9a+5b）

例6已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．

证明 用反证法．如果a ，b 不都能被3整除，那么有如下两种情况：

(1) a ，b 两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a ，3b ．令a =3m ，b =3n±1(m ，n 都是整数)，于是

a 2+

b 2=9m 2+9n 2±6n+1

=3(3m 2＋3n 2±2n)+1，

不是3的倍数，矛盾．

(2) a ，b 两数都不能被3整除．令a =3m±1，b =3n±1，则

a 2＋

b 2=(3m±1)2+(3n±1)2

=9m 2±6m+1+9n 2±6n ＋1

=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，

不能被3整除，矛盾．

由此可知，a ，b 都是3的倍数．

例7 已知a ，b 是正整数，并且a 2＋b 2能被ab 整除，求证：a =b ．

先考虑a ，b 互质的情况，再考虑一般情况。

证明 (1)若a ，b 互质，那么由ab |a 2＋b 2，得a |a 2＋b 2，从而a |b 2，又a ，b 互质，得a =1

同理b =1，所以a =b ；

(2) 若a ，b 不互质，则设d 为它们的最大公约数，

a =a 1d ，

b =b 1d ，则a 1，b 1互质，

由ab |a 2＋b 2，得a 1b 1d 2| d 2(a 12＋b 12)，

从而a 1b 1| (a 12＋b 12)，

由（1）可知a 1=b 1=1

所以a =b =d

例8 设p 是质数，证明：满足a 2=pb 2的正整数a ，b 不存在．

证明 用反证法．假定存在正整数a ，b ，使得

a 2=p

b 2

令(a ，b )=d ，a =a 1d ，b =b 1d ，则(a 1，b 1)=1．所以

221a d =221pb d ，21a =21pb

所以21|p a ，由于p 是质数，所以1|p a ，令12a pa =，则12a pa =，则22

21pa b =