数值分析作业(3,4,5,6)
北航数值分析大作业3
数值分析第三次作业1.设计方案对Fredholm积分方程，用迭代法进行求解：()'(())u x A u x=，其中11(())()(,)()A u x g x K x y u y dy-=-⋅⎰对于公式中的积分部分用数值积分方法。
复化梯形积分法，取2601个节点，取迭代次数上限为50次。
实际计算迭代次数为18次，最后算得误差为r= 0.97E-10。
复化Simpson积分法，取迭代次数上限为50次，取2*41+1，即83个节点时能满足精度要求。
实际计算迭代次数为17次，最后的误差为r= 0.97E-10。
Guass积分法选择的Gauss—Legendre法，取迭代次数上限为50次，直接选择8个节点，满足精度要求。
实际计算迭代次数为24次，最后算得误差为r= 0.87E-10。
2.全部源程序module integralimplicit nonecontains!//////////复化梯形subroutine trapezoid(m)implicit noneinteger :: i,j,k,mreal*8 :: x(m+1),u(m+1)real*8 :: sum,sum1,g,r,hreal*8 :: e=1.0e-10h=2./mdo i=1,m+1x(i)=-1.+(i-1)*hend dou=0.02do k=1,50do i=1,m+1sum1=0.g=dexp(x(i)*4.)+(dexp(x(i)+4.)-dexp(-4.-x(i)))/(x(i)+4.)do j=2,msum1=sum1+dexp(x(i)*x(j))*u(j)end dosum=h/2.*(dexp(x(i)*-1.)*u(1)+dexp(x(i)*1.)*u(m+1)+2*sum1)u(i)=g-sumend dor=h/2.*((dexp(x(1)*4)-u(1))**2+(dexp(x(m+1)*4)-u(m+1))**2) do i=2,mr=r+h*(dexp(x(i)*4)-u(i))**2end doif(dabs(r)<=e) exitend dowrite(*,*) kopen(1,file="trapezoid.txt")do i=1,m+1write(1,'(3(f18.12))') x(i),u(i),dexp(x(i)*4.)end dowrite(1,'(4x,a2,e9.2)') "r=",rclose(1)returnend subroutine trapezoid!///////////复化simpsonsubroutine simpson(m)implicit noneinteger :: i,j,k,mreal*8 :: x(2*m+1),u(2*m+1)real*8 :: sum,sum1,sum2,g,r,hreal*8 :: e=1.0e-10h=2./(2.*m)do i=1,2*m+1x(i)=-1.+(i-1)*hend dou=0.02do k=1,50do i=1,2*m+1sum1=0.sum2=0.g=dexp(x(i)*4.)+(dexp(x(i)+4.)-dexp(-4.-x(i)))/(x(i)+4.)do j=1,msum1=sum1+dexp(x(i)*x(2*j))*u(2*j)end dodo j=1,m-1sum2=sum2+dexp(x(i)*x(2*j+1))*u(2*j+1)sum=h/3.*(dexp(x(i)*-1.)*u(1)+dexp(x(i)*1.)*u(2*m+1)+4*sum1+2*sum2) u(i)=g-sumend dor=h/3.*((dexp(x(1)*4)-u(1))**2+(dexp(x(2*m+1)*4)-u(2*m+1))**2)do i=1,mr=r+4.*h/3.*(dexp(x(2*i)*4)-u(2*i))**2end dodo i=1,m-1r=r+2.*h/3.*(dexp(x(2*i+1)*4)-u(2*i+1))**2end doif(dabs(r)<=e) exitend dowrite(*,*) kopen(2,file="simpson.txt")do i=1,2*m+1write(2,'(3(f18.12))') x(i),u(i),dexp(x(i)*4.)end dowrite(2,'(4x,a2,e9.2)') "r=",rclose(2)returnend subroutine simpson!///////////Gauss_Legendre法subroutine Gaussimplicit noneinteger,parameter :: m=8integer :: i,j,kreal*8 :: x(m),u(m),a(m)real*8 :: sum,g,rreal*8 :: e=1.0e-10data x /-0.9602898565,-0.7966664774,-0.5255324099,-0.1834346425,&0.1834346425,0.5255324099,0.7966664774,0.9602898565/data a /0.1012285363,0.2223810345,0.3137066459,0.3626837834,&0.3626837834,0.3137066459,0.2223810345,0.1012285363/u=0.02do k=1,50do i=1,mg=dexp(x(i)*4.)+(dexp(x(i)+4.)-dexp(-4.-x(i)))/(x(i)+4.)do j=1,msum=sum+dexp(x(i)*x(j))*u(j)*a(j)end dou(i)=g-sumend dor=0.do i=1,mr=r+a(i)*(dexp(x(i)*4)-u(i))**2end doif(dabs(r)<=e) exitend dowrite(*,*) kopen(3,file="Gauss.txt")do i=1,mwrite(3,'(3(f18.12))') x(i),u(i),dexp(x(i)*4.)end dowrite(3,'(4x,a2,e9.2)') "r=",rclose(3)returnend subroutine Gaussend module!//////////主程序program mainuse integralimplicit noneinteger :: code1=2600integer :: code2=41call trapezoid(code1)call simpson(code2)call Gaussend program3.各种积分方法的节点和数值解（由于数据太多，在打印时用了较计算时少的有效数字）复化Simpson法4.各方法所得曲线（由于所取节点太多，且精度高，所以图中很难看出各曲线的区别。
数值分析试题与答案
一、单项选择题（每小题3分,共15分）1. 和分别作为π(de)近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰,则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y (de)拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0,()110l x =B ．()00l x ＝0,()111l x =C ．()00l x ＝1,()111l x = D ．()00l x ＝1,()111l x =4. 设求方程()0f x =(de)根(de)牛顿法收敛,则它具有（ ）敛速.A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到(de)第3个方程（ ）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=-二、填空题（每小题3分,共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时,科茨系数()()()33301213,88C C C ===,那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ,所以()0f x =在区间内有根.5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩(de)计算公式 .0,1,2分 人三、计算题（每题15分,共60分）1. 已知函数211y x =+(de)一组数据：求分段线性插值函数,并计算()1.5f (de)近似值.1. 解 []0,1x ∈,()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---[]1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩ ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =,应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.1.解 原方程组同解变形为1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间(de)近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根,精确到. 3. 解()331f x x x =--,()130f =-<,()210f =>()233f x x '=-,()12f x x ''=,()2240f =>,故取2x =作初始值4. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分111dxx+⎰.四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中(de)待定系数,并证明确定后(de)求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明：求积公式中含有三个待定系数,即101,,A A A -,将()21,,f x x x =分别代入求一、 填空（共20分,每题2分）1. 设2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得(de)近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---,()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商 ()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ,=∞||||X .4．求方程 21.250x x --= (de)近似根,用迭代公式 1.25x x =+,取初始值 01x =, 那么 1______x =。
数值分析作业(3,4,5,6)
数值分析作业(3)思考题：1：（a）仅当系数矩阵是病态或奇异的时候，不选主元的Gauss消元法才会失败。
(b) 系数矩阵是对称正定的线性方程组总是良态的；(c) 两个对称矩阵的乘积依然是对称的；(d) 如果一个矩阵的行列式值很小，则它很接近奇异；(e) 两个上三角矩阵的乘积仍然是上三角矩阵；(f) 一个非奇异上三角矩阵的逆仍然是上三角矩阵；(g) 一个奇异矩阵不可能有LU分解；(h) 奇异矩阵的范数一定是零；(i) 范数为零的矩阵一定是零矩阵；（j）一个非奇异的对称阵，如果不是正定的则不能有Cholesky分解。
2: 全主元Gauss消元法与列主元Gauss消元法的基本区别是什么？它们各有什么优点？3：满足下面是我什么条件，可以判定矩阵接近奇异？（a）矩阵的行列式小；（b）矩阵的条件数小；（c）矩阵的范数小；（d）矩阵的条件数大；（e ）矩阵的范数大； （f ）矩阵的元素小4: Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法相比(a) 两种的基本差别是什么？(b) 哪种方法更适合并行计算？（c ）哪种方法更节省存储空间？（d ）Jacobi 迭代法是否运算速度更快？习题：1．对矩阵2112112112A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦,试求A 的Cholesky 分解。
2. 对矩阵12122211111,222221112A A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦证明：（1）求解以1A 为系数矩阵的线性方程组，Jacobi 迭代是收敛的，而Gauss-Seidel 迭代发散；（2）求解以2A 为系数矩阵的线性方程组，Jacobi 迭代是发散的，而Gauss-Seidel 迭代收敛。
3.对矩阵11,1a a A a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1） 参数a 取什么值时，矩阵是正定的？（2） a 取什么值，求解以A 为系数矩阵的线性方程组，Jacobi 迭代是收敛的。
数值分析作业及参考答案
数值分析第一次作业及参考答案1. 设212S gt =，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。
解：2**22211()0.122()0.10.2()1122,(),().r r e S S S gt gt gt e S gt e S t gt gt t e S e S =-=-====∴↑↑↓2. 设2()[,]f x C a b ∈且()()0f a f b ==，求证2''1max ()()max ().8a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-解：由112,0),(,0)()()0()00.a b L x l x l x =⨯+⨯=（两点线性插值 插值余项为"111()()()()()()[,]2R x f x L x f x a x b a b ξξ=-=--∈ [,].x a b ∴∀∈有12211()()"()()()max "()[()()]221()()1max "()[]()max "().228a x ba xb a x b f x R x f x a x b f x x a b x x a b x f x b a f x ξ≤≤≤≤≤≤==--≤---+-≤=-21max ()()max "()8a xb a x b f x b a f x ≤≤≤≤∴≤-3. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），（1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。
（2）构造差商表。
（3）用Newton 插值求二次插值多项式。
解：(1)Lagrange 插值基函数为0(1)(2)1()(1)(2)(01)(02)2x x l x x x +-==-+-+-同理 1211()(2),()(1)36l x x x l x x x =-=+ 故2202151()()(1)(2)(2)(1)23631i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑（2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为0112155(1)[,]4,[,]20(1)12f x x f x x ---==-==-----0124(2)[,,]102f x x x ---==-22()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+4. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使截断误差不超过610-，问使用函数表的步长h 应取多少？解：()40000(),(),[4,4],,,, 1.x k x f x e f x e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及(3)200044343()()[(()]()[()]3!(1)(1)(1)(1)3!3!.(4,4).6f R x x x h x x x x h t t t e t h th t h e h e ξξ=----+-+≤+⋅⋅-=≤∈-则436((1)(1)100.006.t t t h --+±<< 在点 得5. 求2()f x x =在［a,b ］上的分段线性插值函数()h I x ，并估计误差。
《数值分析》(第5版)第四、五章作业题
第4章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：(1) ∫f (x )ⅆx h−h ≈A −1f (−h )+A 0f (0)+A 1f (h )解：将f(x) = 1，x ，x 2分别代入公式两端并令其左右相等，得： A −1+A 0+A 1=2ℎ −ℎA −1+ℎA 1=0 ℎ2A −1+ℎ2A 1=23ℎ3解得A -1 = ℎ3 ，A 0 = 4ℎ3，A 1 = ℎ3. 即所求公式至少具有2次代数精度， 又由于：∫x 3ⅆx ℎ−ℎ=ℎ3(−ℎ)3+ℎ3⋅ℎ3 且 ∫x 4ⅆx ℎ−ℎ≠ℎ3(−ℎ)4+ℎ3⋅ℎ4∴ ∫f (x )ⅆx ℎ−ℎ≈A −1f (−ℎ)+A 0f (0)+A 1f (ℎ) 具有3次代数精度(2) ∫f (x )ⅆx 2h−2h ≈A −1f (−h )+A 0f (0)+A 1f (h )解：将f(x) = 1，x ，x 2分别代入公式两端并令其左右相等，得： A −1+A 0+A 1=4ℎ −ℎA −1+ℎA 1=0 ℎ2A −1+ℎ2A 1=163ℎ3解得A -1 = 8ℎ3 ，A 0 = -4ℎ3，A 1 = 8ℎ3. 即所求公式至少具有2次代数精度， 又由于：∫x 3ⅆx 2ℎ−2ℎ=8ℎ3(−ℎ)3+8ℎ3⋅ℎ3 且 ∫x 4ⅆx 2ℎ−2ℎ≠8ℎ3(−ℎ)4+8ℎ3⋅ℎ4∴ ∫f (x )ⅆx 2ℎ−2ℎ≈A −1f (−ℎ)+A 0f (0)+A 1f (ℎ) 具有3次代数精度2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分： (2)∫√x ⅆx 91，n = 4解：h =b−a n=9−14= 2根据复合梯形公式：∫√x ⅆx 91= ℎ2[f (1)+f (9)+2∑f (x k )3k=1] =(1 + 3 + 2√3+2√5+2√7) ≈17.228 根据复合辛普森求积公式： ∫√x ⅆx 91= ℎ6[f (1)+4∑f(x k+12)3k=0+2∑f (x k )3k=1+f (9)]= 13(1 + 4√2+4√4+4√6+4√8 + 2√3+2√5+2√7 + 3) ≈ 17.3326. 若用复合梯形公式计算积分I = ∫ⅇx ⅆx 10，问区间[0, 1]应分多少等份才能使截断误差不超过12×10-5 ？若改用复合辛普森公式，要达到同样精度区间[0, 1]应分多少等份？解：f(x) = e x , f’’(x) = f (4)(x) = e x , b-a = 1, h = 1n , ∴根据复合梯形公式： | R n (f) | = | -b−a 12ℎ2f ′′(η) | =ⅇx 12n≤ ⅇ12n≤ 12× 10-5 求得n ≥ 212.85, 取n = 213, 即将区间[0, 1]分为213等份时，用复合梯形公式计算，截断误差不超过12×10-5。
数值分析作业(完整版)
的逆阵 A ，用左除命令 A \ E 检验你的结果。
clc clear close all A=[1 1 1 1 1;1 2 3 4 5;1 3 6 10 15;1 4 10 20 35;1 5 15 35 70]; fprintf('对上述矩阵进行列主元素分解：\n') for i=1:1:r-1 [mx,ro]=max(abs(A(i:r,i))); % 寻找a阵第i列的最大值 [A(i,:),A(ro+i-1,:)]=exchange(A(i,:),A(ro+i-1,:)); % 进行行与行交换 for j=i+1:1:r A(j,:)=A(j,:)-A(j,i)/A(i,i)*A(i,:); end A End %--矩阵A的逆阵 A1=inv(A) %--左除验证 E=eye(5); A2=A\E % 5x5单位阵 % A阵的逆矩阵 % 输出每次交换后的A
第一章
1、计算积分 I n
Code： clc clear close all n=9; %--梯形积分法 x=0:0.01:1; y=(x.^n).*exp(x-1); In = trapz(x,y); In2=vpa(In,6) % 6位有效数字 %--高精度积分法 F = @(x1)(x1.^n).*exp(x1-1); s = quad(F,0,1); s1=vpa(s,6)
0
0, 0, 0, 0, 0 。
T
if abs(er(:,i-1))<=e fprintf('在迭代 %d 次之后，满足精度要求，x向量的值如下：\n',i); fprintf('x1=%.5f, x2=%.5f, x3=%.5f, x4=%.5f, x5=%.5f\n',x(1,i),x(2,i),x(3,i),x(4,i),x(5,i)); break end end %--绘图 figure(1) plot(1:1:i,x(1,:),'b',1:1:i,x(2,:),'k',1:1:i,x(3,:),'g',1:1:i,x(4,:), 'r',1:1:i,x(5,:),'c') legend('x1','x2','x3','x4','x5') grid on title('Jacobi迭代法——x值随迭代次数变化曲线') figure(2) plot(1:1:i-1,er(1,:),'b',1:1:i-1,er(2,:),'k',1:1:i-1,er(3,:),'g',1:1: i-1,er(4,:),'r',1:1:i-1,er(5,:),'c') legend('△x1','△x2','△x3','△x4','△x5') grid on title('Jacobi迭代法——△x值随迭代次数变化曲线') %% fprintf('\n-------------Gauss-Seidel迭代法---------------------\n'); U=-(A1-D); L=-(A2-D); DL_1=inv(D-L); M1=DL_1*U; b2=DL_1*b; x1(:,1)=M1*x0+b2; for j=2:1:100 x1(:,j)=M1*x1(:,j-1)+b2; er1(:,j-1)=x1(:,j)-x1(:,j-1); if abs(er1(:,j-1))<=e fprintf('在迭代 %d 次之后，满足精度要求，x向量的值如下：\n',j); fprintf('x1=%.5f, x2=%.5f, x3=%.5f, x4=%.5f, x5=%.5f\n',x1(1,j),x1(2,j),x1(3,j),x1(4,j),x1(5,j)); break end end %--绘图 figure(3) plot(1:1:j,x1(1,:),'b',1:1:j,x1(2,:),'k',1:1:j,x1(3,:),'g',1:1:j,x1(4 ,:),'r',1:1:j,x1(5,:),'c') legend('x1','x2','x3','x4','x5')
(完整版)数值分析第一次作业
问题1：20.给定数据如下表：试求三次样条插值S(x)，并满足条件 (1)S`(0.25)=1.0000，S`(0.53)=0.6868； （2）S ’’(0.25)=S ’’(0.53)=0。
分析：本问题是已知五个点，由这五个点求一三次样条插值函数。
边界条件有两种，（1）是已知一阶倒数，（2）是已知自然边界条件。
对于第一种边界(已知边界的一阶倒数值)，可写出下面的矩阵方程。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡432104321034322110d M M M M M 200020000020022d d d d λμμλμλμλ其中μj =j1-j 1-j h h h +，λi=j1-j j h h h +，dj=6f[x j-1,x j ,x j+1]， μn =1，λ0=1对于第一种边界条件d 0=0h 6（f[x 0,x 1]-f 0`），d n =1-n h 6（f`n-f `[x n-1,x n ]） 解：由matlab 计算得：由此得矩阵形式的线性方程组为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 2.1150-2.4286-3.2667-4.3143-5.5200-M M M M M 25714.00001204286.000004000.026000.0006429.023571.0001243210解得 M 0=-2.0286;M 1=-1.4627;M 2= -1.0333; M 3= -0.8058; M 4=-0.6546S(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-]53.0,45.0[x 5.40x 9.1087x 35.03956.8.450-x 1.3637-x .5301.67881- ]45.0,39.0[x 9.30x 11.188x 54.010.418793.0-x 2.2384-x .450(2.87040-]39.0,30.0[x 03.0x 6.9544x 9.30 6.107503.0-x 1.9136-x .3902.708779-]30.0,25.0[x 5.20x 10.9662x 0.3010.01695.20-x 4.8758-x .3006.76209-33333333），（）（）（）（），（）（）（）），（）（）（）（），（）（）（）（Matlab 程序代码如下：function tgsanci(n,s,t) %n代表元素数，s,t代表端点的一阶导。
清华大学 李津老师 数值分析第二次实验作业
就不再赘述了。 二、实际计算 生成十个不同的(最好属不同类型或有不同性质的)的 m n 矩阵，这里 m, n 100 ， 用你选择的算法对其做 SVD,比较不同方法的效果(比如计算小气一直和对应左右奇异向量的 误差，效率等)，计算时间和所需存储量等，根据结果提出对算法的认识。 1.误差 在实验中，我们取 m=200，n=100，利用 orth()函数生成了正交矩阵������、������，再生成 了不同奇异值分布的奇异值矩阵������，再通过������ = ������������������，计算出不同的待分解矩阵。 各矩阵奇异值分不如下表所示 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 奇异值个数 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 奇异值分布 10 → 1 20 → 1 30 → 1 40 → 1 50 → 1 60 → 1 70 → 1 80 → 1 90 → 1 100 → 1
−1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1
经过 matlab 计算，我们得到了两种算法对奇异值的估计误差表，如下所示
序号 svd 1 2 3 4 5 1.2135e-29 1.0336e-28 3.9976e-28 7.9768e-28 1.5711e-27
i 1
100
i
i
2.5232e-27 4.6720e-27 5.8535e-27 8.7958e-27 9.8885e-27
r
i 1
ui uis r
2 2
i 1
vi vis r
2 2
lansvd
svd
lansvd
2 1.6 2.1333 2 2.16 1.8 2.3429 2.15 2 2
数值分析习题(含答案)
第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
数值分析练习题附答案
1
2-3 对矩阵 A 进行 LDLT 分解和 GGT 分解，求解方程组 Ax=b,其中
16 4 8
1
A=( 4 5 −4) ， b＝(2)
8 −4 22
3
解：（注：课本 P26 P27 根平方法）
设 L=(l i j )，D=diag(di)，对 k=1,2,…,n,
其中������������=������������������－∑������������=−11 ���������2��������� ������������
������31=(������31 − ∑0������=1 ������3������������1������ ������������)/ ������1=186=12
������32=(������32
−
∑1������=1
������3������������2������
������������ )/
6.6667
，得 ������3 ＝ 1.78570
−1 209
������4
0
������4
0.47847
(
56
−1
780 (������5) 209)
(200)
(������5) ( 53.718 )
1 −1
4
1 −4
15
������1
25
������2
6.6667再由1源自− 15561
− 56
209
x (k1) 1
1 5
(12
2 x2( k )
x (k) 3
)
2 5
x (k) 2
数值分析作业
数值分析作业及答案Chap11、写出下列语句的运行结果。
在MA TLAB 上执行它们以验证所得解答。
a=[1 2 3 ;4 5 6 ]’ b=[9;7;5;3;1] c=b(2:4) d=b(4:-1:1) e=sort(b) f=[3,b ’]解：a=635241 b=13579c=357d=9753 e=97531F=[3 9 7 5 3 1] 3、给定一向量：a=[4 -1 2 -8 4 5 -3 -1 6 -7]写一段程序计算a 中正数的和。
运行程序并显示结果。
解：a=[4 -1 2 -8 4 5 -3 -1 6 -7]; s=0;for i=1:length(a) if a(i)>0s=s+a(i); end end s6、编写一个函数M 文件fun_es(x)，计算如下函数：230.5sin x y e x x =-其中参数可以为标量，也可以为向量。
在MA TLAB 里键入如下命令检验此函数:fun_es(3) fun_es([1 2 3])解：function y=fun_es(x) y=0.5*exp(x/3)-x.^2.*sin(x);chap21、设0x >，x 的相对误差为δ，求L nx 的误差。
解：Lnx-Lnx*=dLnx=dx/x=δ2、设x 的相对误差为2%，求2x 的相对误差。
解：dLnf(x)=xf ’(x)/f(x)dLnx=4%5、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：dLnf(x)=xf ’(x)/f(x)dLnx=3dLnx=1% dLnx=0.33%9、正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm 2? 解：s=x 2s-s*=2x(x-x*)=1x-x*=1/(2x)=1/200=0.5*10-2 即测量边的误差不超过0.005cm 10、设212S gt =，假定g 是准确的，而对t 的测量有±0.1秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。
数值分析习题参考答案1
部分习题参考答案习题一1. 分别有3位、5位与4位有效数字2. 分别有５位、3位、4位与３位有效数字3. 有３位有效数字; 绝对误差为 －０、0012;相对误差-０、0005570514. (1) (2）(3)６、提示:注意字长为８位得计算机上得机器数系得特点与计算机对数得接收与运算处理。
7、提示:通过证明进行说明,这里 8、,不稳定 9、最好10、采用j 从10000到２得顺序相加,或通过进行化简计算。
11、本题有递推公式得出得就就就是。
算法１、2、For k=n-1,n-2,…,1,0 做12、提示：仿照例１、9做之。
习题二 2、提示:3、取迭代函数讨论之。
4、由确定k,迭代次数59、5、迭代公式及区间为,数列得极限值。
6、x 3=０、567１43 ７、，用New ｔo ｎ迭代公式及定理６做，根1、03０ 8、两个根: ;9、取,当时，取区间,用定理6做，当时,由做转换讨论。
极限为 １1提示:由可得,或由用定理2、4 １2、()()()()()()()()()()()()()()()()()222******1*22*****1*2***2*3(),()2'()2!()'()'()2'()'()'()2()'()2k k kk k k k k k k k k k k k kk k k k k k f f y x x x f y f x f x y x y x f x f x f f y x x y x y x y x y x f x f x f x y x f f x f x y x f x y x f x x f f x ξξξξξξ+'''''-=-=+-+-'''∴-=--=------''⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭-''''=-+()()()()()2*13*121*32()2'()()()()4'()2'()k k kk k k f x x f x x xf f f f x x f x f x ξξξξξ⎛⎫''⨯- ⎪⎝⎭''-''''⎛⎫''=+- ⎪⎝⎭１3、提示:借助代入中约化。
数值分析的第二章作业
k ( t x ) l ( t )( x x ) 0 j j 即
将t替换为x，得到
(x
j 0
n
j
x) k l j ( x) 0
5.设
f ( x) C a, b
2
1 max f ( x) (b a) 2 max f '' ( x) 且f(a)=f(b)=0,求证：a x b a x b 8
f '' ( ) 1 1 max f ( x) max ( x a)( x b) (b a) 2 f '' ( ) (b a) 2 max f '' ( x) a x b a x b a x b 2! 8 8
6.在-4<=x<=4上给出f(x)=e^x的等距节点函数表，若用二次插值求e^x的 近似值，要求截断误差不超过10^-6,问使用函数表的步长h应取多少？ 解：假设节点取 x0 h, x0 , x0 h
'
将a带回到P（x）中即可
14.求次数小于等于3的多项式P（x），使其满足条件：
p(0) 0, P' (0) 1, P(1) 1, p' (1) 2
解：设P（x）= 则
ax3 bx 2 cx d
P' ( x) 3ax2 2bx c
d 0
代入已知条件，得到： c 1
f (3) ( ) e R2 ( x) w3 ( x) ( x x0 h)( x x0 )( x x0 h) 3! 6
e R2 ( x) ( x x0 h)( x x0 )( x x0 h) 6
数值分析(在线作业)
数值分析（在线作业）单选：1、设是经过四舍五入后得到的近似值，则分别有几位有效数字？（A ）A、3，3B、2，4C、3，4D、4，32、计算球的体积时，为使其相对误差限为1%，测量半径R时，相对误差最大为（B ）A、1%B、0.33%C、3%D、9.9%3、超定方程组的最小二乘解为（A）A、B、C、D、4、已知则为（D）A、2B、6C、-6D、85、已知A=则为（D）A、0.367B、0C、-34D、396016、设方程组Ax=b，其中则A能进行Cholesky分解（即A=LLT，其中L为下三角矩阵）时，取值范围为（A ）A、B、C、D、7、设，则差商为（A ）A、1B、-1C、0D、28、设，则差商为（C）A、1B、-1C、0D、29、已知函数表为分别用Newton向前、向后插值公式计算f(1.5)，f(3.7)的近似值（B ）A、B、C、D、10、设，则的Newton迭代公式为（A ）A、B、C、D、11、设，则当的Newton迭代收敛时,的取值范围为（A）A、B、C、D、12、已知325413有6位有效数字，则绝对误差限为（B ）A、0.05B、0.5C、0.005D、513、已知，则下列哪个多项式为的二次最佳平方逼近（B）A、B、C、D、14、计算积分，若用复合Simpson公式进行近似计算，并且想误差不超过则至少要进行多少等分？（ C ）A、3B、6C、12D、2415、给定线性方程组,其中，，使用迭代公式，若迭代收敛，则的取值范围为（D）A、B、C、D、16、已知，则的谱半径为（C ）A、3B、1C、7D、817、已知，则的拉格朗日插值多项式为（A ）A、B、C、D、18、已知，则用梯形公式计算积分与精确值相比（A）A、偏大B、偏小C、相等D、不确定19、对于线性方程组，则雅克比迭代与高斯-赛德尔迭代的敛散性分别为（A ）A、收敛发散B、收敛收敛C、发散收敛D、发散发散20、已知函数值，则均差为（D ）A、B、6 C、10 D、2。
数值分析上机作业
数值分析上机作业（1、2、3、4、6章）第一章17. 舍入误差与有效数设2211NN j S j ==-∑，其精确值为1311221N N ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭。
（1）编制按从大到小的顺序22211121311N S N =+++---，计算N S 的通用程序； （2）编制按从小到大的顺序2221111(1)121N S N N =+++----，计算N S 的通用程序；（3）按两种顺序分别计算210S ，410S ，610S ，并指出有效位数（编制程序时使用单精度）；（4）通过本上机题你明白了什么？运行结果：按从大到小的顺序计算得：N N S误差e有效位数2⨯8 100.7400495 94.95049501392230710-4⨯ 4 100.7498521 54.79049995000258010-6⨯ 3 100.7498521 41.46900000499994310-按从小到大的顺序计算得：N N S误差e有效位数2⨯84.95049501392230710-100.7400495 944.99950003618465610-⨯8 100.7499000 965.00044450291170510-⨯11 100.7499990 13（4）通过本题可以看出，不同算法造成的误差是不同的，好的算法可以让计算结果精度更高。
对于本题，当采用从大到小的顺序累加计算时，计算误差随着N的增大而增大；当采用从小到大的顺序累加计算时，计算误差随着N的增大而减小。
因此在N比较大时宜采用从小到达的顺序累加计算。
第二章20.Newton 迭代法（1）给定初值0x 及容许误差ε，编制Newton 法解方程()0f x =根的通用程序；（2）给定方程3()03x f x x =-=，易知其有三个根*1x =，*20x =，*3x =①由Newton 方法的局部收敛性可知存在0δ>，当0(,)x δδ∈-时Newton 迭代序列收敛于根*2x ，试确定尽可能大的δ；②试取若干初始值，观察当0(,1)x ∈-∞-，(1,)δ--，(,)δδ-，(,1)δ，(1,)+∞时Newton 序列是否收敛以及收敛于哪一个根；（3）通过本上机题，你明白了什么？本实验取610ε-=，找到的最大的0.774597δ=②当0(,1)x ∈-∞-时，计算结果如下：x0 xend -1000 -1.732051 -500 -1.732051 -100 -1.732051 -10 -1.732051 -1.5-1.732051Newton 序列收敛于-1.732051当0(1,)xδ∈--时，计算结果如下：x0 xend-0.95 1.732051-0.90 1.732051-0.85 1.732051-0.80 -1.732051-0.78 -1.732051 Newton序列收敛于1.732051或-1.732051当0(,)xδδ∈-时，计算结果如下：x0 xend-0.77 0.000000-0.5 0.000000-0.1 0.0000000.3 0.0000000.77 0.000000 Newton序列收敛于0当0(,1)xδ∈时，计算结果如下：x0 xend0.78 1.7320510.80 1.7320510.85 -1.7320510.90 -1.7320510.95 -1.732051 Newton序列收敛于1.732051或-1.732051当0(1,)x∈+∞时，计算结果如下：x0 xend1.5 1.73205110 1.732051100 1.732051500 1.7320511000 1.732051Newton序列收敛于1.732051（3）通过本题发现，Newton迭代法解方程初始值的选取非常重要，不同的初始值会收敛于方程不同的根，且有些区间是全局收敛，有些区间是局部收敛。
数值分析期末大作业
一、问题提出设方程f(x)=x 3-3x-1=0有三个实根 x *1=1.8793 , x *2=-0.34727 ,x *3=-1.53209现采用下面六种不同计算格式，求 f(x)=0的根 x *1 或x *2 。
1、 x = 213xx + 2、x = 313-x3、 x = 313+x4、 x = 312-x 5、 x = x13+6、 x = x - ()1133123---x x x二、目的和意义1、通过实验进一步了解方程求根的算法；2、认识选择计算格式的重要性；3、掌握迭代算法和精度控制；4、明确迭代收敛性与初值选取的关系。
三、结构程序设计本程序实在matlab 软件上进行操作的。
首先建立一个空白的M-文件。
在编辑器中输入以下内容，并保存。
function [X1,m,n,q]=shizi1(p) x=zeros(100,1); x=double(x);x(1,1)=p;i=1;deltax=100;while (i<100 & deltax > 0.000001)x(i+1,1)=(3*x(i,1)+1)/x(i,1)^2deltax=abs(x(i+1,1)-x(i,1));i=i+1;endX1=x(1,1);m=i;n=x(i,1);q=deltax;以上是运行函数，下一步在建立一个执行M-文件，输入以下内容，并保存。
其中X1为初始值，m为迭代次数，n为最后得到的值，q为|x k+1-x k|。
clear all;clc;p=1.8;[X1,m,n,q]=shizi1(p)1、对第一个迭代公式，在执行文件中输入p=1.8；[X1,m,n,q]=shizi1(p)。
得到如下结果如下：初值为1.8，迭代100次，精度为10-6。
可见该迭代公式是发散的，将初值改为-1.5，其他均条件不变。
p=-1.5;[X1,m,n,q]=shizi1(p)改变初值后可以得到一个接近真值的结果x*3的结果ans=-1.5321。
数值分析大作业四
《数值分析》大作业四一、算法设计方案：复化梯形积分法，选取步长为1/500=0.002，迭代误差控制在E ≤1.0e-10①复化梯形积分法：11()[()()2()]2n b ak h f x dx f a f b f a kh -=⎰≈+++∑，截断误差为：322()''()''(),[,]1212Tb a b a R f h f a b nηηη--=-=-∈其中。
复化Simpson 积分法，选取步长为1/50=0.02，迭代误差控制在E ≤1.0e-10②Simpson 积分法：121211()[()()4()2()]3m m bi i ai i h f x dx f a f b f x f x --==≈+++∑∑⎰，截断误差为：4(4)(),[,]180sb a R h fa b ηη-=-∈。
③Guass 积分法选用Gauss-Legendre 求积公式：111()()ni i i f x dx A f x -=≈∑⎰截断误差为：R=()()n 2n 422n !2×(2[2!]2n 1fn n ⨯（2）η（））＋ η∈(1,1)。
选择9个节点：-0.9681602395,-0.8360311073,-0.6133714327,-0.3242534234,0,0.3242534234,0.6133714327,0.8360311073,0.9681602395， 对应的求积系数依次为：0.0812743884,0.1806481607,0.2606106964,0.3123470770,0.3302393550,0.3123470770,0.2606106964,0.1806481607,0.0812743884。
二、程序源代码：#include<stdio.h>#include<math.h>#include<stdlib.h>#define E 1.0e-10/****定义函数g和K*****/double g(double a){double b;b=exp(4*a)+(exp(a+4)-exp(-a-4))/(a+4);return b;}double K(double a,double b){double c;c=exp(a*b);return c;}/******复化梯形法******/void Tixing( ){double u[1001],x[1001],h,c[1001],e;int i,j,k;FILE *fp;fp=fopen("f:/result0. xls ","w");h=1.0/1500;for(i=0;i<3001;i++){x[i]=i*h-1;u[i]=g(x[i]);}for(k=0;k<100;k++){e=0;for(i=0;i<1001;i++){for(j=1,c[i]=0;j<N-1;j++)c[i]+=K(x[i],x[j])*u[j];u[i]=g(x[i])-h*c[i]-h/2*(K(x[i],x[0])*u[0]+K(x[i],x[N-1])*u[N-1]);e+=h*(exp(4*x[i])-u[i])*(exp(4*x[i])-u[i]);}if(e<=E) break;}for(i=0;i<1001;i++)fprintf(fp,"%.12lf,%.12lf\n",x[i],u[i]);fclose(fp);}/******复化Simpson法******/void simpson( ){double u[101],x[101],h,c[101],d[101],e;int i,j,k;FILE *fp;fp=fopen("f:/result1.xls","w");h=1.0/50;for(i=0;i<101;i++){x[i]=i*h-1;u[i]=g(x[i]);}for(k=0;k<50;k++){e=0;for(i=0;i<101;i++){for(j=1,c[i]=0,d[i]=0;j<51;j++){c[i]+=K(x[i],x[2*j-1])*u[2*j-1];if(j<50)d[i]+=K(x[i],x[2*j])*u[2*j];}u[i]=g(x[i])-4*h/3*c[i]-2*h/3*d[i]-h/3*(K(x[i],x[0])*u[0]+K(x[i],x[M-1])*u[M-1]);e+=h*(exp(4*x[i])-u[i])*(exp(4*x[i])-u[i]);}if(e<=E) break;}for(i=0;i<101;i++)fprintf(fp,"%.12lf,%.12lf\n",x[i],u[i]);fclose(fp);}/******Gauss积分法******/void gauss( ){double x[9]={-0.9681602395,-0.8360311073,-0.6133714327,-0.3242534234,0,\0.3242534234,0.6133714327,0.8360311073,0.9681602395},A[9]={0.0812743884,0.1806481607,0.2606106964,0.3123470770,0.3302393550,\0.3123470770,0.2606106964,0.1806481607,0.0812743884},u[9],c[9],e;int i,j,k;FILE *fp;fp=fopen("f:/result2. xls ","w");for(i=0;i<9;i++)u[i]=g(x[i]);for(k=0;k<50;k++){e=0;for(i=0;i<9;i++){for(j=0,c[i]=0;j<9;j++)c[i]+=A[j]*K(x[i],x[j])*u[j];u[i]=g(x[i])-c[i];e+=A[i]*(exp(4*x[i])-u[i])*(exp(4*x[i])-u[i]);}if(e<=E) break;}for(i=0;i<9;i++)fprintf(fp,"%.12lf,%.12lf\n",x[i],u[i]);fclose(fp);}/******主函数******/main(){Tixing ( );Simpson( );Gauss( );return 0;}三、运算结果复化梯形数据-10.018323-0.920.02523-0.9980.018471-0.9180.025433-0.9960.018619-0.9160.025637-0.9940.018768-0.9140.025843-0.9920.018919-0.9120.026051-0.990.019071-0.910.02626-0.9880.019224-0.9080.026471-0.9860.019378-0.9060.026683-0.9840.019534-0.9040.026897-0.9820.019691-0.9020.027113-0.980.019849-0.90.027331-0.9780.020008-0.8980.02755-0.9760.020169-0.8960.027772-0.9740.020331-0.8940.027995-0.9720.020494-0.8920.028219-0.970.020658-0.890.028446-0.9680.020824-0.8880.028674-0.9660.020992-0.8860.028905-0.9640.02116-0.8840.029137-0.9620.02133-0.8820.029371-0.960.021501-0.880.029607-0.9580.021674-0.8780.029844-0.9560.021848-0.8760.030084-0.9540.022023-0.8740.030326-0.9520.0222-0.8720.030569-0.950.022378-0.870.030815-0.9480.022558-0.8680.031062-0.9460.022739-0.8660.031311-0.9440.022922-0.8640.031563-0.9420.023106-0.8620.031816-0.940.023291-0.860.032072-0.9380.023478-0.8580.032329-0.9360.023667-0.8560.032589-0.9340.023857-0.8540.032851-0.9320.024048-0.8520.033114-0.930.024241-0.850.03338-0.9280.024436-0.8480.033648-0.9260.024632-0.8460.033918-0.9240.02483-0.8440.034191-0.9220.025029-0.8420.034465-0.840.034742-0.760.047841-0.8380.035021-0.7580.048225-0.8360.035302-0.7560.048613 -0.8340.035586-0.7540.049003 -0.8320.035872-0.7520.049396 -0.830.03616-0.750.049793 -0.8280.03645-0.7480.050193 -0.8260.036743-0.7460.050596 -0.8240.037038-0.7440.051002 -0.8220.037335-0.7420.051412 -0.820.037635-0.740.051825 -0.8180.037937-0.7380.052241 -0.8160.038242-0.7360.052661 -0.8140.038549-0.7340.053084 -0.8120.038858-0.7320.05351 -0.810.039171-0.730.05394 -0.8080.039485-0.7280.054373 -0.8060.039802-0.7260.054809 -0.8040.040122-0.7240.05525 -0.8020.040444-0.7220.055693 -0.80.040769-0.720.056141 -0.7980.041096-0.7180.056591 -0.7960.041426-0.7160.057046 -0.7940.041759-0.7140.057504 -0.7920.042094-0.7120.057966 -0.790.042432-0.710.058431 -0.7880.042773-0.7080.058901 -0.7860.043116-0.7060.059374 -0.7840.043463-0.7040.05985 -0.7820.043812-0.7020.060331 -0.780.044164-0.70.060816 -0.7780.044518-0.6980.061304 -0.7760.044876-0.6960.061796 -0.7740.045236-0.6940.062293 -0.7720.045599-0.6920.062793 -0.770.045966-0.690.063297 -0.7680.046335-0.6880.063805 -0.7660.046707-0.6860.064318 -0.7640.047082-0.6840.064834 -0.7620.04746-0.6820.065355-0.680.06588-0.60.090722 -0.6780.066409-0.5980.091451-0.6760.066942-0.5960.092185 -0.6740.06748-0.5940.092926 -0.6720.068022-0.5920.093672 -0.670.068568-0.590.094424 -0.6680.069119-0.5880.095183 -0.6660.069674-0.5860.095947 -0.6640.070234-0.5840.096718 -0.6620.070798-0.5820.097494 -0.660.071366-0.580.098277 -0.6580.071939-0.5780.099067 -0.6560.072517-0.5760.099862 -0.6540.0731-0.5740.100664 -0.6520.073687-0.5720.101473 -0.650.074278-0.570.102288 -0.6480.074875-0.5680.103109 -0.6460.075476-0.5660.103937 -0.6440.076082-0.5640.104772 -0.6420.076694-0.5620.105614 -0.640.077309-0.560.106462 -0.6380.07793-0.5580.107317 -0.6360.078556-0.5560.108179 -0.6340.079187-0.5540.109048 -0.6320.079823-0.5520.109924 -0.630.080464-0.550.110806 -0.6280.08111-0.5480.111696 -0.6260.081762-0.5460.112593 -0.6240.082418-0.5440.113498 -0.6220.08308-0.5420.114409 -0.620.083748-0.540.115328 -0.6180.08442-0.5380.116254 -0.6160.085098-0.5360.117188 -0.6140.085782-0.5340.118129 -0.6120.086471-0.5320.119078 -0.610.087165-0.530.120035 -0.6080.087865-0.5280.120999 -0.6060.088571-0.5260.12197 -0.6040.089282-0.5240.12295 -0.6020.089999-0.5220.123938-0.550.110806-0.470.152592 -0.5480.111696-0.4680.153817-0.5460.112593-0.4660.155053-0.5440.113498-0.4640.156298-0.5420.114409-0.4620.157553-0.540.115328-0.460.158819-0.5380.116254-0.4580.160095-0.5360.117188-0.4560.16138-0.5340.118129-0.4540.162677-0.5320.119078-0.4520.163983-0.530.120035-0.450.1653-0.5280.120999-0.4480.166628-0.5260.12197-0.4460.167966-0.5240.12295-0.4440.169315-0.5220.123938-0.4420.170675-0.520.124933-0.440.172046-0.5180.125936-0.4380.173428-0.5160.126948-0.4360.174821-0.5140.127967-0.4340.176225-0.5120.128995-0.4320.17764-0.510.130031-0.430.179067-0.5080.131076-0.4280.180505-0.5060.132128-0.4260.181955-0.5040.13319-0.4240.183416-0.5020.134259-0.4220.18489-0.50.135338-0.420.186375-0.4980.136425-0.4180.187871-0.4960.13752-0.4160.18938-0.4940.138625-0.4140.190901-0.4920.139738-0.4120.192435-0.490.140861-0.410.19398-0.4880.141992-0.4080.195538-0.4860.143132-0.4060.197109-0.4840.144282-0.4040.198692-0.4820.145441-0.4020.200288-0.480.146609-0.40.201897-0.4780.147786-0.3980.203518-0.4760.148973-0.3960.205153-0.4740.15017-0.3940.206801-0.4720.151376-0.3920.208462-0.390.210136-0.310.289382 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0.434 5.6745540.5147.814595 0.436 5.7201330.5167.877362 0.438 5.7660770.5187.940634 0.44 5.8123910.528.004414 0.442 5.8590770.5228.068707 0.444 5.9061380.5248.133516 0.446 5.9535770.5268.198845 0.448 6.0013960.5288.264699 0.45 6.04960.538.331082 0.452 6.0981910.5328.397998 0.454 6.1471730.5348.465452 0.456 6.1965480.5368.533447 0.458 6.2463190.5388.601989 0.46 6.296490.548.671081 0.462 6.3470640.5428.740728 0.464 6.3980450.5448.810935 0.466 6.4494340.5468.881705 0.468 6.5012370.5488.953044 0.47 6.5534560.559.024956 0.472 6.6060940.5529.097445 0.474 6.6591550.5549.170517 0.476 6.7126420.5569.244175 0.478 6.7665580.5589.318426 0.48 6.8209080.569.393272 0.482 6.8756950.5629.46872 0.484 6.9309210.5649.544774 0.486 6.9865910.5669.621439 0.4887.0427080.5689.6987190.579.776620.6513.46367 0.5729.8551470.65213.571810.5749.9343050.65413.68082 0.57610.01410.65613.79071 0.57810.094530.65813.90147 0.5810.175610.6614.01313 0.58210.257340.66214.12569 0.58410.339730.66414.23915 0.58610.422780.66614.35352 0.58810.50650.66814.46881 0.5910.590890.6714.58502 0.59210.675960.67214.70217 0.59410.761710.67414.82026 0.59610.848150.67614.9393 0.59810.935280.67815.05929 0.611.023110.6815.18025 0.60211.111650.68215.30218 0.60411.20090.68415.42509 0.60611.290870.68615.54898 0.60811.381560.68815.67387 0.6111.472980.6915.79977 0.61211.565130.69215.92667 0.61411.658020.69416.0546 0.61611.751660.69616.18355 0.61811.846050.69816.31354 0.6211.94120.716.44457 0.62212.037110.70216.57665 0.62412.133790.70416.7098 0.62612.231250.70616.84401 0.62812.32950.70816.97931 0.6312.428530.7117.11569 0.63212.528360.71217.25316 0.63412.628990.71417.39174 0.63612.730420.71617.53143 0.63812.832680.71817.67225 0.6412.935750.7217.81419 0.64213.039650.72217.95728 0.64413.144390.72418.10151 0.64613.249960.72618.24691 0.64813.356390.72818.393470.7318.541210.8125.53363 0.73218.690130.81225.738720.73418.840250.81425.94545 0.73618.991580.81626.15385 0.73819.144120.81826.36392 0.7419.297890.8226.57568 0.74219.452890.82226.78914 0.74419.609140.82427.00431 0.74619.766640.82627.22121 0.74819.925410.82827.43985 0.7520.085450.8327.66025 0.75220.246780.83227.88242 0.75420.409410.83428.10638 0.75620.573340.83628.33213 0.75820.738580.83828.5597 0.7620.905160.8428.78909 0.76221.073070.84229.02033 0.76421.242330.84429.25342 0.76621.412950.84629.48839 0.76821.584940.84829.72524 0.7721.758310.8529.964 0.77221.933080.85230.20467 0.77422.109250.85430.44728 0.77622.286830.85630.69184 0.77822.465840.85830.93836 0.7822.646290.8631.18686 0.78222.828190.86231.43735 0.78423.011550.86431.68986 0.78623.196380.86631.9444 0.78823.382690.86832.20098 0.7923.570510.8732.45962 0.79223.759830.87232.72034 0.79423.950670.87432.98315 0.79624.143040.87633.24807 0.79824.336960.87833.51513 0.824.532440.8833.78432 0.80224.729490.88234.05568 0.80424.928110.88434.32922 0.80625.128340.88634.60496 0.80825.330170.88834.882910.8935.163090.94643.99154 0.89235.445520.94844.344880.89435.730220.9544.701070.89636.017210.95245.060110.89836.306510.95445.422040.936.598120.95645.786870.90236.892080.95846.154630.90437.188410.9646.525350.90637.487110.96246.899050.90837.788210.96447.275750.9138.091730.96647.655470.91238.397680.96848.038240.91438.70610.9748.424090.91639.016990.97248.813040.91839.330380.97449.205110.9239.646280.97649.600330.92239.964720.97849.998720.92440.285720.9850.400320.92640.60930.98250.805140.92840.935480.98451.213210.9341.264280.98651.624560.93241.595720.98852.039210.93441.929820.9952.45720.93642.26660.99252.878540.93842.606090.99453.303270.9442.948310.99653.73140.94243.293270.99854.162980.94443.64101154.59802复化Simpson数据：-1 0.018319929 -0.34 0.256658088 0.32 3.596641805 -0.98 0.0198445 -0.32 0.278035042 0.34 3.896195298-0.96 0.021494322 -0.3 0.301192133 0.36 4.220697765-0.94 0.023283225 -0.28 0.326278124 0.38 4.572227037-0.92 0.025220379 -0.26 0.353453177 0.4 4.95303418-0.9 0.027320224 -0.24 0.382891765 0.42 5.365557596-0.88 0.029594431 -0.22 0.41478194 0.44 5.812438891-0.86 0.032059069 -0.16 0.527292277 0.54 8.671138204-0.84 0.034728638 -0.14 0.571209036 0.56 9.39333156-0.82 0.037621263 -0.12 0.61878367 0.58 10.17567433-0.8 0.040754615 -0.1 0.670320427 0.6 11.02317608-0.78 0.044149394 -0.08 0.726149698 0.62 11.94126383-0.76 0.047826844 -0.06 0.78662861 0.64 12.93581634-0.74 0.051810827 -0.04 0.85214479 0.66 14.01320231-0.72 0.056126648 -0.02 0.92311742 0.68 15.1803205-0.7 0.060802006 0 1.0000013 0.7 16.44464467 -0.68 0.065866854 0.02 1.083288424 0.72 17.81427057 -0.66 0.071353499 0.04 1.173512427 0.74 19.29796874 -0.64 0.077297255 0.06 1.271250748 0.76 20.90523965 -0.62 0.083735917 0.08 1.377129533 0.78 22.64637562 -0.6 0.090711017 0.1 1.491826493 0.8 24.53252554 -0.58 0.098266855 0.12 1.616076341 0.82 26.57576756 -0.56 0.106452202 0.14 1.750674449 0.84 28.78918506 -0.54 0.11531904 0.16 1.896482943 0.86 31.18695183 -0.52 0.12492459 0.18 2.054435268 0.88 33.78442141 -0.5 0.135329888 0.2 2.225543071 0.9 36.59822683 -0.48 0.14660204 0.22 2.410901825 0.92 39.64638571 -0.46 0.158812728 0.24 2.611698647 0.94 42.94841704 -0.44 0.17204064 0.26 2.829219145 0.96 46.52546475 -0.42 0.18636997 0.28 3.064856356 0.98 50.40043451 -0.4 0.201892977 0.3 3.320119013 1 54.59813904 -0.38 0.218708553 0.46 6.296539601-0.36 0.236924875 0.48 6.820959636-0.2 0.449328351 0.5 7.389057081-0.18 0.486751777 0.52 8.004469675Gauss积分数据：0102030405060四、讨论①在满足相同精度要求的情况下复化梯形积分法比复化Simpson 积分法计算所需节点数多，计算量大。
数值分析大作业三、四、五、六、七
大作业 三1. 给定初值0x 及容许误差 ，编制牛顿法解方程f (x )=0的通用程序.解：Matlab 程序如下：函数m 文件：function Fu=fu(x)Fu=x^3/3-x;end函数m 文件：function Fu=dfu(x)Fu=x^2-1;end用Newton 法求根的通用程序clear;x0=input('请输入初值x0:');ep=input('请输入容许误差:');flag=1;while flag==1x1=x0-fu(x0)/dfu(x0);if abs(x1-x0)<epflag=0;endx0=x1;endfprintf('方程的一个近似解为：%f\n',x0);寻找最大δ值的程序：cleareps=input('请输入搜索精度：');ep=input('请输入容许误差：');flag=1;k=0;x0=0;while flag==1sigma=k*eps;x0=sigma;k=k+1;m=0;flag1=1;while flag1==1 && m<=10^3x1=x0-fu(x0)/dfu(x0);if abs(x1-x0)<epflag1=0;endm=m+1;x0=x1;endif flag1==1||abs(x0)>=epflag=0;endend fprintf('最大的sigma 值为：%f\n',sigma);2．求下列方程的非零根5130.6651()ln 05130.665114000.0918x x f x x +⎛⎫=-= ⎪-⨯⎝⎭解：Matlab 程序为：（1）主程序clearclcformat longx0=765;N=100;errorlim=10^(-5);x=x0-f(x0)/subs(df(),x0);n=1;while n<Nx=x0-f(x0)/subs(df(),x0);if abs(x-x0)>errorlimn=n+1;elsebreak ;endx0=x;enddisp(['迭代次数: n=',num2str(n)])disp(['所求非零根: 正根x1=',num2str(x),' 负根x2=',num2str(-x)])（2）子函数非线性函数ffunction y=f(x)y=log((513+*x)/*x))-x/(1400*;end（3）子函数非线性函数的一阶导数dffunction y=df()syms x1y=log((513+*x1)/*x1))-x1/(1400*;y=diff(y);end运行结果如下：迭代次数: n=5所求非零根: 正根x1= 负根x2=大作业 四试编写MATLAB 函数实现Newton 插值，要求能输出插值多项式. 对函数21()14f x x=+在区间[-5，5]上实现10次多项式插值.分析：（1）输出插值多项式。
最新(完美版)数值分析上机作业
一. 上机作业任务一： 用五点差分格式求解Poisson 方程边值问题，P124-------3、4（任选一题）。
二. 上机作业任务二：用Simpson 求积法计算定积分()baf x dx ⎰。
下面两种方法任选一。
（1）变步长复化Simpson 求积法。
（2）自适应Simpson 求积法三. 上机作业任务三：用MATLAB 语言编写连续函数最佳平方逼近的算法程序（函数式M 文件）。
要求算法程序可以适应不同的具体函数，具有一定的通用性。
并用此程序进行数值试验，写出计算实习报告。
所编程序具有以下功能：1. 用Lengendre 多项式做基，并适合于构造任意次数的最佳平方逼近多项式。
可利用递推关系 0112()1,()()(21)()(1)()/2,3,.....n n n P x P x xP x n xP x n P x n n --===---⎡⎤⎣⎦=2. 被逼近函数f(x)用M 文件建立数学函数。
这样，此程序可通过修改建立数学函数的M 文件以适用不同的被逼近函数（要学会用函数句柄）。
3. 要考虑一般的情况]1,1[],[)(+-≠∈b a x f 。
因此，程序中要有变量代换的功能。
4. 计算组合系数时，计算函数的积分采用数值积分的方法。
5. 程序中应包括帮助文本和必要的注释语句。
另外，程序中也要有必要的反馈信息。
6. 程序输入：（1）待求的被逼近函数值的数据点0x (可以是一个数值或向量)（2）区间端点：a,b 。
7. 程序输出：（1）拟合系数：012,,,...,n c c c c（2）待求的被逼近函数值00001102200()()()()()n n s x c P x c P x c P x c P x =++++ 8． 试验函数：()cos ,[0,4]f x x x x =∈+；也可自选其它的试验函数。
9． 用所编程序直接进行计算，检测程序的正确性，并理解算法。
10． 分别求二次、三次、。
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数值分析作业(3)
思考题：
1：
（a）仅当系数矩阵是病态或奇异的时候，不选主元的Gauss消元法才会失败。
(b) 系数矩阵是对称正定的线性方程组总是良态的；
(c) 两个对称矩阵的乘积依然是对称的；
(d) 如果一个矩阵的行列式值很小，则它很接近奇异；
(e) 两个上三角矩阵的乘积仍然是上三角矩阵；
(f) 一个非奇异上三角矩阵的逆仍然是上三角矩阵；
(g) 一个奇异矩阵不可能有LU分解；
(h) 奇异矩阵的范数一定是零；
(i) 范数为零的矩阵一定是零矩阵；
（j）一个非奇异的对称阵，如果不是正定的则不能有Cholesky分解。
2: 全主元Gauss消元法与列主元Gauss消元法的基本区别是什么？它们各有什么优点？
3：满足下面是我什么条件，可以判定矩阵接近奇异？
（a）矩阵的行列式小；（b）矩阵的条件数小；
（c）矩阵的范数小；（d）矩阵的条件数大；
（e ）矩阵的范数大； （f ）矩阵的元素小
4: Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法相比
(a) 两种的基本差别是什么？
(b) 哪种方法更适合并行计算？
（c ）哪种方法更节省存储空间？
（d ）Jacobi 迭代法是否运算速度更快？
习题：
1．对矩阵2112112112A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦
,试求A 的Cholesky 分解。
2. 对矩阵
12122211111,222221112A A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
证明：
（1）求解以1A 为系数矩阵的线性方程组，Jacobi 迭代是收敛的，
而Gauss-Seidel 迭代发散；
（2）求解以2A 为系数矩阵的线性方程组，Jacobi 迭代是发散的，
而Gauss-Seidel 迭代收敛。
3.对矩阵
11,1a a A a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（1） 参数a 取什么值时，矩阵是正定的？
（2） a 取什么值，求解以A 为系数矩阵的线性方程组，Jacobi 迭代是收敛的。
4. 对矩阵
9 4.53562818,603019A ⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（1） 计算A 的所有特征值；
（2） 将A （3,3）的值分别改为18.95和19.05；再分别计算矩阵的所有特征值；
（3）分析计算结果，并给出你的结论。
思考题：
（a ）对给定的连续函数，构造等距节点上的Lagrange 插值多项式，节点数目越多，得到的插值多项式越接近被逼近的函数。
(b) 对给定的连续函数，构造其三次样条函数插值，则节点数目越多，得到的样条函数越接近被逼近的函数。
(c) 高次的Lagrange 插值多项式很常用。
(d) 样条函数插值具有比较好的数值稳定性。
计算题：
1． 以0.1,0.15,0.2为插值节点，计算()f x = Lagrange 插值多项式 2()P x ， 比较2(0)P 和(0)f ，问插值多项式存在定理的结果是否适用本问题？
2.
（1）求()f x x =在节点
123452,0.5,0, 1.5,2x x x x x =-=-=== 的三次样条插值（150M M ==）。
（2）对同样的数据做Lagrange 多项式插值，并绘图比较二者的差别。
思考题
（a ） 如果函数在有限的区间上连续，则它的Riemann 定积分一定存在。
（b ）积分的计算总是好条件问题；
（c ）代数精度是衡量算法稳定性的重要指标；
（d ）梯形方法与两个节点的Gauss 型方法相比更加精确。
习题
1.确定积分公式中的参数，使其有尽可能高的代数精度
（1）
101()()(0)()h
h f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰
（2）21012()()(0)()h
h f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰
2. 取 Ｎ＝８，１６，３２，分别用梯形公式和Simpson 公式编程计算积分：
1100.01(1)(2)ln 1x
x e dx x xdx e +⎰⎰
数值分析作业（5）
思考题：
（ａ）常微分方程初值问题的解，当右端函数可导是一定存在唯一解。
（ｄ）显式方法的突出优点是收敛速度快，收敛阶高。
（ｅ）一个好的算法，或者稳定性好，或者收敛阶高；
（ｆ）隐式方法的优点是计算稳定性好，缺点是每步计算的代价高。
习题：
用Ｅｕｌｅｒ方法求解10,(0) 1.y y y '==如果取
1h N =，证明
10(1)N N y N =+。