传热学第三章

dt c p V d
0, t t0
(b)
Q
dt 负号是因为： 0 d 由能量平衡，物体单位时间与流体的换热量 应等于物体内能的变化：
dt c p V F (t t f ) d
(c)
引入过余温度 ：



0
d c p V F d (0) t0 tf 0

毕渥准则采用一般的表达形式 ：Bi
其中 = （大平板），r（长圆柱、球）
应用集总参数法计算的条件为 ： Bi
0 .1
例题3-1 一直径为50mm的钢球，初始温度为450℃，突然 被置于温度为30℃的空气中。设钢球表面与周围空气的对流 换热系数为24W/(m2· K)，试计算钢球冷却到300℃时所需要 的时间。已知钢球的 cp 480J /(kg K ), 7753kg / m3 , 33W /(m K ).
2
(e)
aT ( ) X ( x) X ( x)T ( )
X ( x) 1 T ( ) 2 X ( x) a T ( )
锅炉、内燃机、燃气轮机等装置启动、停机、变工况；
自然环境温度，供暖和停暖过程中墙内与室内空气温度。
原因：边界条件，内热源发生了变化
二、非稳态导热过程及分类 非稳态导热过程：周期性和非周期性（瞬态导热） 周期性非稳态导热：物体温度按照一定的周期发生变化。 例如：墙体温度的昼夜变化
非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体温度随时间的推
由式(3-1)得： F c p V 0.32610 2 0.342 e e 0
329 S
§3-3 无限大平板的加热或冷却
问题： 无限大平板，λ 、ρ 、cp 为 常数，厚度为2δ，初始温度 均匀为t0，将其突然置于温 度恒为t f的流体中，t f>t0. 流体与板侧面之间的对流换 热系数为α 。 求:板内温度t=f(τ ,x)及物体 所吸收的热量Q(τ )。 解： 一维问题。
a 2 x
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(a)
0 t0 tf 0
0, x 0
x
(b)
0 x
(c)
x
(d)
用分离变量法进行求解。令
( x, ) X ( x)T ( )
则式(a) a 变为 2 x
F c p V

F c p V
(3-3)
从 0 到 时刻之间所交换的总热量为：
Q Qd F 0 e
0 0



F c p V
d
(3-4)
c p V 0 (1 e
使用条件：

F c p V
)
BiV 1
对于无限大平板、柱体和球体，若满足下面条件：
F V
F 4r 2 3 4 3 r V r 3
3 ln 0.04 3.219 13.8 10 3 r 2.333 10 4 2.333 10 4
故热接点的直径为：
3 d 2r 2 0.435 10 3 m 0.435 mm 13.8 10 3
解 首先检查是否可以采用集总参数法。
(V F ) [(d 2l 4) (dl 2d 2 4)] dl 4 140 0.5 0.3 / 4 Bi ＝ l d 2 33 0.3 0.025 可采用集总参数法。 0.049 0.05
F dl 2d 2 4 4(l d 2) 140 4 (0.3 0.025) 0.326 102 c p V c p d 2l 4 cp dl 480 7753 0.05 0.3 t tf 800 1200 0.342 0 t0 tf 30 1200
第三章 非稳态导热
unsteady state heat conduction
3-1 非稳态导热过程的特点
一、定义
导热体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热
t t f x, y , z , , 0
工程中的许多过程都是非稳态导热： 冶金、热处理和热加工；工件被加热和冷却；
如果两者的导热系数相 同，但是ρ，Cp不同， 又有何影响？
四、导温系数（热扩散系数）
t t cp 2 x
2
t 2t a 2 x
a c p
反映了物体的导热能力和储热能力之比，它可以用来衡量 物体在加热或冷却时内部温度变化传播速度。 λ越大，说明在相同的温度梯度下可以传递更多的热量； c p 越小，单位体积的物体温度升高1℃所需要的热量越小，可以 剩下更多的热量继续向物体内部传递，使得物体内部各点温度 趋于一致的能力提高。
毕渥准则 ，V F 具有长度的量纲
0e
BiV F0
(3-2)
时间常数
令
物体内温度随时间呈指数衰减

c p V
F
t tf e 0 t0 tf

F c p V
t tf 1 e 36.8% 0 t0 tf
c p V
F
时间常数，记为 c
流体 tf
t f ( )
0, t t0
Q
解：
任意时刻物体表面与周围流体 对流换热的热流量为： 导热体
Q F (t tf )
Q d(c p Vt ) d
(a)
此时物体单位时间内能的变化为：
体积V 表面积F 物性ρ、cp、λ 温度 t f ( )
流体 tf
解： 首先检验是否可以采用集总参数法。
Bi
r 24 0.025 ＝ 0.01818 0.1 33
可以采用集总参数法计算。
F 24 4 0.0252 7.74 104 c p V 480 7753 4 0.0253
由式(3-1)
例题3-3 一直径为5cm、长为30cm的钢圆柱体，初始温度为 30℃将其放入炉温为1200℃的加热炉中加热，升温到800℃方可 取出，设钢圆柱体与烟气间的表面对流换热系数（其中包括烟气 与表面之间的辐射换热）为 140W /(m2 K ) ，钢的物理性质参数为 cp 480J /(kg K ), 7753kg / m3, 33W /(m K ) 。问需要多长 时间才能达到要求。
t tf 0.04tf 0.04 0 t0 tf t0 tf t0 tf 1
按题意，因温度变化范围较大，故可认为 t0 t f 0，则
F c p V
0.04 e 0

e

5201.5 F 3344103 V
e
2.33310 4
t tf
(d)
(e)
将式(d)分离变量，并应用初始条件，对时间τ从0到τ积分，有:
dθ
F d 0 c V p

t tf e 0 t0 tf

F c p V
(3-1)
t tf e 0 t0 tf

F c p V
(3-1)
解：任何感受件从测温开始到指示出真实温度所需的时间，理论上 为无限长。在工程实际中可以按照允许误差为4％来设计热电偶的 热接点。假定热接点的形状为球形。 设初始的流体温度为t0，变化后的流体温度为tf。流体温度 变化1.5s后，热接点的温度将迅速变化t。 t0 tf tf t 0
t0
t0
t
按题意，测量误差为|t-tf|=tf×4%，即有
3
t tf e 0 t0 tf

F c p V
300 30 7.74 10 4 e 450 30
570s 0.158 h
例题3-2 热电偶是用来测量温度的一种感受件。如果用其测量 流体的温度，要求此感受件在温度变化较大的范围内反应时滞 （即从测温开始至到达真实温度的时间）不大于1.5s，问在暂 不考虑沿热电偶丝的导热影响时热电偶的热接点应该多大。已知 3 热电偶的 cp 3344kJ /(m K ), 导热系数 =50W /(m K ), 热接点表面的对流换热系数 =520W /(m2 K ) ，而且不随直径 变化。
五、毕渥准则对温度分布的影响 Bi 毕渥准则—无量纲数 —平板厚度之半 / 物体内部导热热阻 Bi 1/ 物体表面对流换热热阻
t0
τ
t0
τ
t0
τ
tf
tf
tf
tf
tf
tf
1 / /
Bi→∞
1 / /
毕渥数Bi对平板温度场变化的影响
(V F ) Biv 0.1M
(3-5)
采用集总参数法计算的误差不超过5%（与精确解比较而知） V F 对于厚度为2 的大平板： ， M 1 F F 对于半径为r的长圆柱体：
对于半径为r的球体：
V r 2 l r 1 ， M F 2rl 2 2 4r 3 V 3 r ， M 1 3 F 4r 2 3
§3-2 集总参数法
基本思想：对任意形状的物体，忽略物体内部的导热 热阻，认为物体温度均匀一致的分析方法。
温度t只是时间τ的函数，与坐标无关 －－零维问题。
使用条件： Bi 1 1 已知：任意形状的物体
导热体
t0 tf
求：
Bi 0.1
Q
体积V 表面积F 物性ρ、cp、λ 温度 t f ( )
F V F 2 (V F ) a BiV F0 2 2 c p V F c p V (V F )
a a F0 2 傅立叶准则，为无因次时间 2 (V F ) t tf 无因次的过余温度 0 t0 tf
(V F ) BiV
移趋近于恒定的值 。 例如：热铁块投入凉水中
三、非稳态态导热过程的特点

λ


非稳态导热过程温度变化曲线
物体表面层最先受热，然后由表及里地逐渐传播到物体内部。理论上经过 无限长时间后，物体内各处温度趋于一致，此时达到新的热平衡状态。
思考：
影响平壁内温度变化快 慢的因素是什么？
钢棒和木棒的次端哪一 个温度变化剧烈？
Bi→0
Bi为有限大小 1 / 与 / 的数值接近
六、物体加热、冷却时其内部温度场变化的三个阶段 不规则状况阶段——过程开始时，初始温度的影响 正规阶段——物体内各点的温度变化具有一定规律 新的稳态阶段
七、非稳态导热的研究目的
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t f x, y, z, ; Q f
BiVF0
过余温度降至初始过余温度 物体过余温度的变化曲线 的36.8%时所需的时间。 时间常数越大过余温度变化越慢。 热电偶的时间常数是说明热电偶对流体温度变化响应快慢的指标。
由式(3-2)可求出任意瞬时的热流量：
dt d F Q c p V c p V c p V0 ( )e d d c p V F 0 e
t0
无限大平板的坐标系统
数学模型：
导热微分方程：
初始条件：
，
t t a 2 x
2
t0
0, t ( x,0) t0
无限大平板的坐标系统
边界条件： （第二类） （第三类）
0, x 0
x
t 0 x t (t tf )
x
引入过余温度 t t f ，则数学模型变为：
非稳态导热的导热微分方程式：
t t t t cp qv x x y y z z
求解方法：分离变量法、积分变换法 近似分析法：集总参数法、积分法、瑞利-里兹法 数值解法：有限差分法、有限元法