大学物理第九章振动学基础习题答案

第九章 振动学习题
9-1 一小球与轻弹簧组成的振动系统，按(m) 3ππ8cos 05.0⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=t x ，的规律做自由振动，试求（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值；（2）t=1s ，2s ，10s 等时刻的相位；（3）分别画出位移、速度和加速度随时间变化的关系曲线。

解：（1）ω=8πs -1，T=2π/ω=0.25s ，A=0.05m ，ϕ0=π/3，m A ω=v ，2m a A ω=
（2）π=8π3
t φ+ （3）略 9-2 一远洋货轮质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S 。

设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力。

（1）证明货轮在水中做振幅较小的竖直自由运动是谐振动；（2）求振动周期。

解：（1）船处于静止状态时gSh mg ρ=，船振动的一瞬间()F gS h y mg ρ=-++ 得F gSy ρ=-，令k gS ρ=，即F ky =-，货轮竖直自由运动是谐振动。

（2
）ω==
，2π2T ω==9-3 设地球是一个密度为ρ的均匀球体。

现假定沿直径凿通一条隧道，一质点在隧道内做无摩擦运动。

（1）证明此质点的运动是谐振动；（2）计算其振动周期。

解：以球心为原点建立坐标轴Ox 。

质点距球心x 时所受力为
32443
3
x m F G G mx x πρπρ=-=- 令43
k G m πρ=，则有F kx =-，即质点做谐振动。

（2
）ω==
2πT ω== 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T ＝0.50s 。

当t ＝0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在x ＝1.0×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-1.0×10-2 m 处，向正方向运动。

求以上各种情况的振动方程。

解：ω=2π/T=4πs -1
（1）ϕ0=0，0.02cos4(m)x t π=
（2）ϕ0=π/2，0.02cos 4(m)2x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ （3）ϕ0=π/3，0.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ （4）ϕ0=4π/3，40.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
9-5 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m 。

若使物体上、下振动，且规定向下为正方向。

当t ＝0时，（1）物体在平衡位置上方8.0 ×10-2m 处，由静止开始向下运动；（2）物体在平衡位置并以0.6m·s -1的速度向
上运动。

分别求其振动方程。

9-6 一振动质点的振动曲线如图所示，试求（1）振动方程；（2）P 点对应的
相位；（3）从振动开始到达点P 相应位置所需时间。

解：（1）A=0.10m ，ϕ0=-π/3，ϕ1=-π/3+ω=π/2，得ω=5π/6s -1
50.10cos (m)6
3x t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （2）ϕP =0
（3）ϕP =ϕ0+ωt=-π/3+ωt=0，得t=0.4s
9-7 如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧，系一质量为m 1的物体，在水平面上做
振幅为A 的谐振动。

有一质量为m 2的粘土，从高度h 自由下落，正好在（a ）物体通过平衡位置时；（b ）物体在最大位移处时，落在物体上。

求（1）振动周期有何变化？（2）振幅有何变化？
9-8质量为0.10kg的物体，以振幅1.0×10-2m做谐振动，其最大加速度为4.0 m·s-1。

求（1）振动周期；（2）物体通过平衡位置时的总能量与动能；（3）物体在何处其动能和势能相等？（4）当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？
9-9 一弹簧振子做谐振动，振幅A=0.20m ，如果弹簧的劲度系数k=2.0N/m ，所系物体的质量m=0.50kg ，试求（1）当动能和势能相等时，物体的位移是多少？
（2）设t=0时，物体在正向最大位移处，第一次达到动能和势能相等处所需时间是多少？
9-10 一氢原子在分子中的振动可视为谐振动。

已知氢原子质量m ＝1.68 ×10-27
kg ，振动频率v ＝1.0 ×1014 Hz ，振幅A ＝1.0 ×10-11m 。

试计算（1）此氢原子的最大速度；（2）与此振动相联系的能量。

解：（1）14113max 2 6.281010 6.2810m /s A A ωπν-===⨯⨯=⨯v
（2）()2227320max 10.5 1.6810 6.2810 3.3110J 2
E m --==⨯⨯⨯⨯=⨯v 9-11 由一个电容C=4.0μ
F 的电容器和一个自感L=10mH 的线圈组成的LC 电路。

当电容器上电荷的最大值Q 0=6.0×10-5时开始做无阻尼自由振荡。

试求（1）电场能量和磁场能量的最大值；（2）当电场能量和磁场能量相等时，电容器上的电荷量。

9-12 LC 电路中，电容器充电后经由线圈放电。

（1）若L=0.010H ，C=1.0μF ，ε=1.4V ，
求线圈中的最大电流（电阻极小忽略不计）；（2）当分布在电容和线圈间的能量相等时，电容器上的电荷量为多少？（3）从放电开始到电荷量第一次为上述值时，经过了多少时间？
解：（1）Q=C ε=1.0×10-6×1.4=1.4×10-6C ，41
10s ω-===
4-6-2010 1.410 1.410A m I Q ω==⨯⨯=⨯
（2）222711, 9.910C 22222
q Q W Li q C C -=====⨯ （3）50447.8510s 10
t φφπω--===⨯ 9-13 一个质点同时参与两个同方向、同频率的谐振动，其振动方程为
(m) 62cos 04.01⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πt x ，(m) 65-2cos 03.02⎪⎭⎫ ⎝
⎛=πt x 试求其合振动的振动方程。

解：566ππφπ-∆=-=，A=A 1-A 2=0.01m ，合振动(m) 62cos 01.0⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=πt x 9-14 两个同频率的谐振动1和2的振动曲线如图所示，求（1）两谐振动的振动方程；（2）在同一图中画出两谐振动的旋转矢量，并比较两振动的相位关系；
（3）若两谐振动叠加，求合振动的振动方程。

9-15 一个质点同时参与两个同方向、同频率的谐振动，其振动方程为
(m) 655.0cos 3.01⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=ππt x ，()(m ) 5.0cos 4.0202φπ+=t x 试问（1）ϕ20为何值时合振动的振幅最大？其值为多少？（2）若合振动的初相ϕ0=π/6，则ϕ20为何值？
解：（1）2020552, 266k k φππφππ+==-，A=0.7m （2）206
πφ= 9-16 已知两个同方向、同频率的谐振动为
(m) π4310cos 05.01⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x ，(m) 4π10cos 05.02⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=t x 求（1）合振动的振幅及初相；（2）若有另一同方向、同频率的谐振动 ()(m ) 10cos 05.033φ+=t x ，则3φ为多少时，x 1＋x 2＋x 3的振幅最大？3φ为多少时，
x 1＋x 2＋x 3的振幅最小？
9-17 三个同方向、同频率的谐振动为
(m) 610cos 1.01⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πt x ，(m) 210cos 1.02⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=πt x ，(m) 6
510cos 1.03⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=πt x 试利用旋转矢量法求出合振动的振动方程。

解：如图A=0.2m ，ϕ0=π/2，(m) 210cos 2.0⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=πt x *9-18 当两个同方向的谐振动合成为一个振动时，其振动方程为 cos2.1cos50.0=x A t t ，式中t 以s 为单位。

求各分振动的角频率和合振动的拍的周期。

解：有题意可知21212.1, 5022
ωωωω-+==，得111247.9s , 52.1s ωω--== 拍的周期 2112 1.5s v πτωω===-。