MATLAB与数值分析

matlab

1. 判断如下命题是否正确

(a) 一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。 × (b) 无论问题是否病态，好的算法都会得到它好的近似解。 × (c) 计算中使用更高的精度，可以改善问题的病态性。 × (d) 用一个稳定的算法计算一个良态的问题，一定会得到它好的近似解。 √ (e) 浮点数在整个数轴上是均匀分布的 × (f) 浮点数的加法满足结合律 × (g) 浮点数的加法满足交换律 × (h) 浮点数构成有限集合 × (i) 用一个收敛的算法计算一个良态的问题，一定会得到它好的近似解 √ 2. 函数sinx 有幂级数展开

利用幂级数计算sinx 的Matlab 程序为

function s = powersin(x)

% POWERSIN. Power series for sin(x).

% POWERSIN(x) tries to compute sin(x) from a power series

s = 0;

t = x;

n = 1;

while s + t ~= s;

s = s + t;

t = -x^2/((n+1)*(n+2))*t;

n = n + 2;

end

(a) 解释上述程序的终止准则；

(b) 对于 ，计算的精度是多少？分别需要计算多少项？

(a) 终止条件为t=0,但是t=-x^2/((n+1)*(n+2))*t 始终不为0，但是在计算中，当t 小于计算精

度时，计算机识别为0，此时计算终止

(b) X=pi/2 n =23, t= -1.2539e-018, s=1.0000

X=11*pi/2 n =75, t= -2.6232e-017, s= -1.0000

X=21*pi/2 n =121, t=6.4693e-018, s=0.9999

3. 考虑数列 ，它的统计平均值定义为 它的标准差 数学上等价于 作为标准差的两种算法，你如何评价它们的得与失？

注意到一式中存在(xi-x)^2，而两个数相减，如果比较接近，计算完差值再平方，就有可能产生误差，而二式中为两个数的平方数相减，能够减少误差。

4. 求

0.1%。

357

sin 3!5!7!x x x x x =-+-+/2,11/2,21/2x πππ=,1,,i x i n =11n

i i x x n ==∑()122111n i i x x n σ=⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦∑1222111n i i x nx n σ=⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦∑*(1)1

1102n r e a --≤

⨯

要求的sqrt(10)的近似值首位数字a1=3,于是由公式

即10^-(n-1)/(2*3)≤0.1%

n 取整，解得n 最小值为4，于是取四位有效数字，使得相对误差不超过0.1% 即该数的近似值为 3.162

5. 设 ，假定g 是准确的，而对t= 的测量有秒的误差，证明：当t 增大时，S 的绝对误差增大而相对误差却减小。

因为ds=d(1/2*g*t^2)=g*t*dt

因此t 增大时候，s 的绝对误差增大

因为ds/s=g*t*dt/s=g*t*dt/(1/2*g*t^2)=2*dt/t

因此，当dt 固定，t 增加时候，ds/s 减小，即相对误差减小

6. 编程作业: 用MATLAB 编程实现例7的两种方法，写出相应的代码。

第一种方法：

I(1)=1-1/exp(1);

x=1;

N=input('please input N:');

while x

I(x+1)=1-x*I(x);

x=x+1;

end

I

第二种方法：

x=9;

I(9)=(1+1/exp(1))/20;

while x>1;

I(x-1)=(1-I(x))/x;

x=x-1;

end

I

212S gt =0.1±