材料力学梁弯曲时的位移

第五章 梁弯曲时的位移
思考: 试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线 方程和转角方程。积分常数C1和C2等于零吗？
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第五章 梁弯曲时的位移
例题5-2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
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第五章 梁弯曲时的位移
3
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第五章 梁弯曲时的位移
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件
有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同， 所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就 是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和
左、右两支座处截面的转角分别为
qA
q1
|x0
Fb l 2 b2 6lEI
Fabl b
6lEI
qB
q2
|xl
Fabl
6lEI
a
当a>b时有
qmax qB
Fabl a
6lEI
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第五章 梁弯曲时的位移
根据图中所示挠曲线的大致形状可知，最大挠度wmax 所在w 0 处在现在的情况下应在左段梁内。令左段梁的
根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值， 以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。
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第五章 梁弯曲时的位移
可见该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。于是有
qmax
q
|xl
Fl 2 EI
Fl 2 2EI
Fl 2 2EI
wmax
w |xl
Fl 3 2EI
Fl 3 6EI
下中性层的曲率为
1M EI
这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。
6
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第五章 梁弯曲时的位移
在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还 有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产 生影响。但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h 的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有
例题5-3 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
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第五章 梁弯曲时的位移
解：约束力为
FA
F
b， l
a FB F l
两段梁的弯矩方程分别为
M1x
FA x
F
b l
x
0 x a
M
2
x
FA
x
F
x
a
F
b l
x
F
x
a
a x l
为了后面确定积分常数的方便，右边那段梁的弯矩方
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第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角 §5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 *§5-4 梁挠曲线的初参数方程 §5-5 梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施 §5-6 梁内的弯曲应变能
1
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第五章 梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相
等，且均为最大值，故
qmax q A qB
ql3
24 EI
最大挠度在跨中，其值为
wmax
w
|xl
2
ql 2
24 EI
l 3
2l
l 2
2
l 2
3
5ql 4 384 EI
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第五章 梁弯曲时的位移
wmax w1 |xx1 9 3lEI
l2 b2 3
由上式还可知，当集中荷载F
作用在右支座附近因而b值甚小，
以致 b2 和 l2 相比可略去不计时有
Fbl 2
Fbl 2
wmax 9
0.0642 3EI
EI
它发生在 x1
l 0.577 l 处。而此时 x l 0.500l 处(跨
3
2
§5-1 梁的位移——挠度和转角
直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成 平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直 于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原
来位置的角位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
2
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中点C)的挠度wC为
wC
w1
|xl
2
Fb 48 EI
3l 2 4b2
Fbl 2 16 EI
0.0625
Fbl 2 EI
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第五章 梁弯曲时的位移
可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下，跨中
挠度与最大挠度也只相差不到3%。因此在工程计算中，只要 简支梁的挠曲线上没有拐点都可以跨中挠度代替最大挠度。
D2 0
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第五章 梁弯曲时的位移
由另一支座约束条件 w2|x=l=0 有
EIw2
|xl
F
b l
l3 b
F l
6
a3
C2l
0
即
C2
Fb 6l
l2
b2
从而也有
C1
Fb 6l
l2
b2
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第五章 梁弯曲时的位移
从而得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下：
x
1
x
M x
EI
注意：对于有些l/h>10的梁，例如工字形截面等直梁，如同 在核电站中会遇到的那样，梁的翼缘由不锈钢制作，而主 要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量较小的复合材料制 作，此时剪切变形对梁的变形的影响是不可忽略的。
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第五章 梁弯曲时的位移
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
Fl 3 3EI
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第五章 梁弯曲时的位移
由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分方程 进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中的积分常数
是有其几何意义的：
C1 EIw |x0 EIq0
C2 EIw |x0 EIw0
此例题所示的悬臂梁，q0=0，w0=0， 因而也有C1=0 ，C2=0。
第五章 梁弯曲时的位移
弯曲后梁的轴线——挠曲线(deflection curve)为一平 坦而光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线 方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故
横截面的转角q 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之
间的夹角，从而有转角方程：
q tanq w f x
左段梁 (0 x a)
右段梁 (a x l)
q1
w1
Fb 2lEI
1 3
l2 b2
x
2
q2
w2
Fb 2lEI
l b
x
a
2
x2
1 3
l2
b2
w1
Fbx 6lEI
l2
b2
x2
w2
Fb 6lEI
l b
x
a
3
x
3
l2
b2
x
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第五章 梁弯曲时的位移
程M2(x)仍取x截面左边的梁为分离体，使方程M2(x)中的第
一项与方程M1(x)中的项相同。
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第五章 梁弯曲时的位移
两段梁的挠曲线近似微分方程亦需分段列出，并分别进行积分：
左段梁0 x a
右段梁 a x l
挠曲线近似微分方程
EIw1
M1x
F
b l
x
积分得
EIw2
M
2
x
转角方程 w1 等于零，得
x1
l2 b2 3
aa 2b
3
显然，由于现在a>b，故上式
表明x1<a，从而证实wmax确实 在左段梁内。将上列x1的表达 式代入左段梁的挠曲线方程得
wmax w1 |xx1 9
Fb 3lEI
l2 b2 3
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第五章 梁弯曲时的位移
Fb
当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(b=l/2)，最大转角
qmax和最大挠度wmax为
qmax qA qB
Fl 2 16 EI
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wm a x
wC
Fl 3 48 EI
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自变量进行，故仍有C1=EIq0，D1=EIw0。
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第五章 梁弯曲时的位移
该梁的两类边界条件为 连续条件： 在x=a处 w1 w2，w1=w2
支座约束条件：在x=0处 w1=0，在 x=l 处 w2=0
由两个连续条件得： C1 C2， D1 D2
由支座约束条件 w1|x=0=0 得 D1 0 从而也有
F lx
x2 2
C1
EIw
F
lx2 2
x3 6
C1x
C2
该梁的边界条件为：在 x=0 处 w 0，w =0
于是得
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C1 0，C2 0
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第五章 梁弯曲时的位移
从而有 转角方程 q w Fxl Fx2
EI 2EI
挠曲线方程 w Fx2l Fx3 2EI 6EI
1
x
1
w w2
3/ 2
式中，等号右边有正负号是因为曲率1/为度量平面曲线 (挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是q = w' 沿x方
向的变化率，是有正负的。
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第五章 梁弯曲时的位移
再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w" ，正弯矩对
应于负值的w" ，故从上列两式应有
该梁的边界条件为 在 x=0 处 w=0， 在 x=l 处 w=0
于是有
C2 0
及
EIw|xl
q 2
l4 6
l4 12
C1l
0
即
C1
ql3 24
，C2
0
从而有
转角方程 q w q l3 6lx2 4x3 24EI
挠曲线方程 w qx l3 2lx2 x3 24EI
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解：该梁的弯矩方程为
M x ql x 1 qx2 q lx x2
22
2
挠曲线近似微分方程为
EIw M x q lx x2 2
以x为自变量进行积分得：
EIw
q 2
lx2 2
x3 3
C1
EIw
q 2
lx3 6
x4 12
C1x
C2
22
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第五章 梁弯曲时的位移
转角则明显不同。
4
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第五章 梁弯曲时的位移
在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；
顺时针转向的转角q为正，逆时针转向的转角q为负。
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第五章 梁弯曲时的位移
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
Ⅰ. 挠曲线近似微分方程的导出 在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况
第五章 梁弯曲时的位移
边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如 下图所示。
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第五章 梁弯曲时的位移
若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程 需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。 而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分 常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件 (constraint condition)外，还需利用相邻两段梁在交界处 的连续条件(continuity condition)。这两类条件统称为边 界条件。
F
b l
x
F
x
a
EIw1
F
b l
x2 2
C1
EIw1
F
b l
x3 6
C1x
D1
EIw2
F
b l
x2 2
F x a2
2
C2
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EIw2
F
b l
x3 6
Fx
6
a3
C2 x
D2
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第五章 梁弯曲时的位移
值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时，对于含 有(x-a)的项没有以x 为自变量而是以(x-a)作为自变量进行 积分的，因为这样可在运用连续条件 w1 '|x=a=w2'|x=a 及 w1|x=a=w2|x=a 确定积分常数时含有(x-a)2和(x-a)3的项为零而 使工作量减少。又，在对左段梁进行积分运算时仍以x 为
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第五章 梁弯曲时的位移
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
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第五章 梁弯曲时的位移
解：该梁的弯矩方程为
M x Fl x
挠曲线近似微分方程为
EIw M x Fl x
以x为自变量进行积分得
EIw
w
1 w2
3/ 2
M x
EI
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略
去，于是得挠曲线近似微分方程 w M x
EI
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第五章 梁弯曲时的位移
Ⅱ. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件
w M x
EI 求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为
EIw M x
后进行积分，再利用边界条件(boundary condition)确定积分 常数。
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第五章 梁弯曲时的位移
当全梁各横截面上的弯矩 可用一个弯矩方程表示时(例如 图中所示情况)有
EIw M xd x C1
EIw M xd x d x C1x C2
以上两式中的积分常数C1， C2由边界条件确定后即可得出梁 的转角方程和挠曲线方程。
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第五章 梁弯曲时的位移
事实上，当以x为自变量时
EIw M xd x C1 EIw [[M xd x]d x C1x C2
两式中的积分在坐标原点处(即x=0处)总是等于零，从而有
C1 EIw |x0 EIq0
C2 EIw |x0 EIw0
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