第五章梁弯曲时的位移解析

f
写出弹性曲线方程并画出曲线
w(x)
P 6EI
(L
x)3
3L2 x
L3
最大挠度及最大转角
m ax
(L)
PL2 2EI
wmax
w(L)
PL3 3EI
14
解二：建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) F(L x)
写出微分方程并积分
EIw M (x) FL Fx
w
EIw
FLx
1 2
Fx2
C1
EIw
M
(x)
P(x 0
a)
(0 x a) (a x L)
a
P
L
x
y 写出微分方程并积分
EI
P(a 0
x)
(0 x a) (a x L)
EI
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1 2
P(a
x)2
C1
D1
EIw
1 6
P(a
x)3
C1x
C2
D1x D2
16
应用位移边界条件求积分常数
EIw(0)
1 6
Pa3
C2
0
EI
(0)
最大挠度及最大转角
m ax
(a)
Pa 2 2EI
wmax
w(L)
Pa2 6EI
3L a
a
P
L
x
f
18
例2 解：建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) 1 qlx 1 qx2
q
22
写出微分方程的积分并积分 A
B
EIw" M (x) 1 qlx 1 qx2
22
x
EIw' EI 1 qlx2 1 qlx3 C
一、度量梁变形的两个基本位移量
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移，用w表示。
与 y同向为正，反之为负。
P
C
x 2.转角：横截面绕其中性轴转
w
动的角度。用 表示，顺时
y
C1
针转动为正，反之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为：
w =f (x)
三、小变形时转角与挠曲线的关系：
M(x) w EI
EIw M(x)
5
x M>0
w(x) 0 y
x
M<0
y
w(x) 0
结论：挠曲线近似微分方程—— EIw M(x)
挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“Fs(”w、)2 对变形的影响。 使用条件：弹性范围内工作的细长梁。
6
二、积分法计算梁的变形
步骤：（EI为常量） 1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分
1 2
Pa2
C1
0
a
P
L
x
y
(a ) (a ) C1 D1
w(a ) w(a )
C1a C2 D1a D2
C1
D1
1 2
Pa2
; C2
D2
1 6
Pa3
17
写出弹性曲线方程并画出曲线
w(x)
P
6 EI
P
6 EI
(a x)3 3a2x 3a2 x a3
a3
(0 x a) (a x L)
L
M (x) P(x L)
y
写出微分方程并积分
应用位移边界条件求积分常数
EIw'' M (x) P(L x)
EIw
1 2
P(L
x)2
C1
EIw
1 6
P(L
x)3
C1x
C2
EIw(0)
1 6
PL3
C2
0
EI
(0)
EIw '(0)
1 2
PL2
C1
0
C1
1 2
PL2
;
C2
1 6
PL3
13
P L
x
10
例题
指出以下各梁共几个积分常数并写出全部定解条件。
(1)
F
q
a w w1(x)
a w2(x)
解： 此梁应分为3段积分， 共6个常数。
定解条件：
a w3(x)
x 0, x a,
x 2a,
x
w1 0
w1
w2 ,
dw1 dx
dw2 dx
w2
w3
0, dw2 dx
dw3 11dx
例题
挠度连续 转角连续
w w i xxi
i1 xxi
i xxi
i1 xxi
(4) 中间铰处
仅挠度连续，转角不连续
w1(x) A
w2(x) C B点挠度连续
lB l
w1 xl w2 xl 9
4、确定挠曲线方程和转角方程 。 5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。
讨论： ①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。 ④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
FLx2 2
Fx3 6
C1x
C2
应用位移边界条件求积分常数
x=0, w=0 ; θ =0
C1 0 ; C2 0
x
L
F
x
确定挠曲线、转角方程
w(x)
F 6EI
3Lx2
x3
w
F 2EI
2Lx
x2
最大挠度及转角
wmax
w(L)
FL3 3EI
max
(L)
FL2 15
2EI
解：建立坐标系并写出弯矩方程
EIw(x) M (x)
EIw(x) M (x)dx C1
EIw(x) ( M (x)dx)dx C1x C2
7
3.位移边界条件
P
A
C
B
D
P
支点位移条件：
wA 0 wB 0
连续条件： wC wC
光滑条件： C C
wD 0 wD 0
或写成w C
左
wC右
或写成 C 左 C 右
1
第五章 梁弯曲时的位移
§5–1 概述 §5–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §5–3 按叠加原理求梁的挠度与转角 §5–4 梁的刚度校核、提高梁的刚度的措施 §5–5 梁内的弯曲应变能
2
§5—1 概述
研究范围：等直梁在平面弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）3。
（1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。 （2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。 8
（3）、常见的分段点连续条件： 一般情况下稍左稍右的两个截面挠度相等、转角相等。
连续挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。
第i个分段点处：
Mi(x) Mi+1(x) i x
xi
wi(x) wi+1(x)
w =w（x）上任一点处—— tg dw w(x) w
dx
tg w
4
§5—2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、曲率与弯矩的关系：
1 M 1 M(x)
r EI
r(x) EI
……（1）
二、曲率与挠曲线的关系：
1
r ( x)
w 1 (w)2
3 2
→→
1 w
r(x)
……（2）
三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得
(2)
q
弹簧系数为k
a
l
x
w w1(x)
w2(x)
解： 此梁应分为2段积分，共4个常数。
定解条件： q
x 0, w1 0,1 0
x a, w1 w2
ql/2
ql/2
x a l,
w2
ql 2k
12
例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：
P L
建立坐标系并写出弯矩方程
x