【考研数学】中值定理总结

中值定理一向是经济类数学考试的重点（当然理工类也常会考到），咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结，希望能对各位研友有所帮助。

1、 所证式仅与ξ相关

①观察法与凑方法

1 ()[0,1](0)(1)(0)0

2() (,)()1 ()()2()0

(1) ()() [()]()f x f f f f a b f x f x xf x f x f x xf x xf x xf x '==='ζ''ζ∈ζ=-ζ

'''''ζ--='''''''=例设在上二阶可导，试证至少存在一点使得分析：把要证的式子中的换成，整理得由这个式可知要构造的函数中必含有，从找突破口

因为()(1) ()()[()()]0()()[()]0

()(1)()()

f x f x f x xf x f x f x f x xf x F x x f x f x '+'''''''''''--+=⇒--='=--，那么把式变一下：

这时要构造的函数就看出来了

②原函数法 ⎰-⎰-⎰

===⇒=⇒+=⇒='ζζζ=ζ'∈ζ∃==⎰dx

x g dx x g dx x g e x f x F C C e x f Ce x f C dx x g x f x g x f x f x g f f g f b a b a x g b f a f b a b a x f )()()()()( )( )(ln )()(ln )()()(

)

()()(),( ],[)()()( ),(],[)( 2 很明显了

，于是要构造的函数就现在设换成把有关的放另一边，同样有关的放一边，与现在把与方法

造的函数，于是换一种是凑都不容易找出要构分析：这时不论观察还使得求证：上连续

在，又内可导，上连续，在在设例两边积分00

③一阶线性齐次方程解法的变形法

0 ()()()[,](,)()0

()()

(,)()()()()0 [()()]pdx pdx

f pf p x u x e F x f e f x a b c a b f c f f a a b f b a

f f a f b a

f f a '+=⎰⎰==⋅'∈=ξ-'ξ∈ξ=

-ξ-'ξ-=-'⇒ξ-对于所证式为型，（其中为常数或的函数）

可引进函数，则可构造新函数例：设在有连续的导数，又存在，使得求证：存在，使得分析：把所证式整理一下可得：11[()()]00 () C=0()[()()]

()() ()0()() x x

dx b a b a b a f f a f pf b a u x e e F x e f x f a f b f a f c f b f a b a ---'-ξ-=+=-⎰==--'==⇒=-－－，这样就变成了型引进函数＝（令），于是就可以设注：此题在证明时会用到这个结论 2、所证式中出现两端点

①凑拉格朗日

a

b a af b bf f f F x xf x F f f a

b a af b bf b a b a b a x f --=ζ'ζ+ζ=ζ'=ζ'ζ+ζ=--∈ζ)()()()()( ),()( )()()()(),( ),(],[)( 3 下

用拉格朗日定理验证一可以试一下，不妨设

证的式子的特点，那么分析：很容易就找到要使得证明至少存在一点内可导

上连续，在在设例

②柯西定理 数就很容易证明了

用柯西定理设好两个函没有悬念了于是这个式子一下变得分子分母同除一下是交叉的，变换一下，发现容易看出来了

这题就没上面那道那么的式子分析：先整理一下要证，使得

至少存在一点可导，证明在在，设例 )

()( )()( )()()

()()()()

()( ),(],[)( 4 1212212121212121111

012121221212121x x x x x x x x x x x x x x x x e e

e

x f e x f e

x f e x f e c f c f e

e x

f e x f e c f c f x f x f e e e e c x x x x x f x x ---'-=--'-=-<<+ ③k 值法 。，用罗尔定理证明即可记得回带，验证可知那么进入第二步，设还是一样的

称式，也是说互换很容易看出这是一个对整理得设量的这个式子

的形式了，现在就看常以此题为例已经是规范两边

常量的式子分写在等号第一步是要把含变量与值法

方法叫做在老陈的书里讲了一个呢？

很好上面那题该怎么办对柯西定理掌握的不是分析：对于数四，如果仍是上题

k x F x F k x f e x F x x k x f e k x f e k e

e x

f e x f e k x x x x x x x )

()(])([)( ])([])([ )

()( 21212112212121=-=-=-=----- ④泰勒公式法

老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。

3、所证试同时出现ξ和η

①两次中值定理

)]()([)( )( )]()([ )()()( )

()(])([)]()([ )]()([)]()([),( )()( ),(],[)( 5 η'+η=--==ζ'=----=η'+η--=η'='η=η'+η=η'+ηηζ=η'+η∈ηζ==ηζ

ζηηηζ

ηζ-ηf f e a b e e e G e x G e a b e e a b e e f f e a

b a f e b f e F x f e x F f e f f e e f f e f f e b f a f b a b a x f a

b x a

b a b a b x 得到

则再用拉格朗日定理就令这个更容易看出来了，的关系就行了与只要找到再整理一下利用拉格朗日定理可得，设很容易看出子下手试一下

那么可以先从左边的式一下子看不出来什么，分开，那么就有与分析：首先把使得，试证存在内可导，上连续，在在例1

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②柯西定理（与之前所举例类似）

有时遇到ξ和η同时出现的时候还需要多方考虑，可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用，在老陈书的习题里就出现过类似的题。

一、高数解题的四种思维定势

1、在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。

2、在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。

3、在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

4、对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。

二、线性代数解题的八种思维定势

1、题设条件与代数余子式A ij 或A *有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA *=A *A=|A|E 。

2、若涉及到A 、B 是否可交换，即AB=BA ，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。

3、若题设n 阶方阵A 满足f(A)=0，要证aA+bE 可逆，则先分解出因子aA+bE 再说。

4、若要证明一组向量a 1,a 2,…,a s 线性无关，先考虑用定义再说。

5、若已知AB=0，则将B 的每列作为Ax=0的解来处理再说。

6、若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。

7、若已知A 的特征向量ζ0，则先用定义A ζ0=λ0ζ0处理一下再说。

8、若要证明抽象n 阶实对称矩阵A 为正定矩阵，则用定义处理一下再说。