古典概型(1)
古典概型(1)
A＝A1∪A2∪A12 从而P(A)= P(A1)+P(A2)+ P(A12)
全部基本事件的总数为30，
因为A1中的基本事件的个数为8，
1 2 3 4 1 2 3 4 a b a b
a
b
A2中的基本事件的个数为8， a a 1 3 2 b b A12中的基本事件的个数为2，
4
a
b
b
a
8 8 2 所以P(A)＝ 30 ＋ 30 ＋ 30 ＝0.6
（1）x的取值为2的倍数（记为事件A） （2）x的取值大于3（记为事件B） （3）x的取值为不超过2（记为事件C） 解： （1） 点数 1
2 3 4 5 6
（2） 点数 1
2
3
4
5
6
（3） 点数
1
2
3
4
5
6
例1 从字母a、b、c、d中任意取出 两个不同字母的试验中，有哪些基本 事件？
解：所求的基本事件共有6个： A={a,b}，B={a,c}， C={a,d}，D={b,c}， E={b,d}，F={c,d}，
9 所以检测出不合格产品的概率是：15 ＝0.6
答：检测出不合格产品的概率是0.6.
探究：随着检测听数的增加，查出不合格产品的概率 怎样变化？为什么质检人员都采用抽查的方 法而不采 用逐个检查的方法？ 点拨： 检测的听数和查出不合格产品的概率如下表：
检测听数 概率
1
2
3
4
5 1
6 1
0.333 0.6
则每个基本事件发生的概率
2、若某个随机事件 A 包含 m 个基本
1 P n
m 事件，则事件 A 发生的概率 PA n
事件A包含的基本事件数 即PA 试验的基本事件总数
3.2古典概型(1)
I
答 共有10个基本事件 , 摸出两只球都是白球的概率为3 / 10.
例 2 豌 豆的高矮性 状的遗传由一对基因决定, 其中决 定高的基因记为 , 决定矮的基因为d , 则杂交所得第一 D 子代的一对基因为 .若第二子代的 , d 基因的遗传是 Dd D 等可能的, 求第二子代为高茎的 概 率 ( 只 要有基因D 则 其就是高茎 只有两个基因全是d 时, 才显现矮茎) . , 分析 由于第二子代的 D, d 基因的 遗 传 是 等可能, 可以 将各种可能的遗传情形都枚举出来 . 称 D 为显性基因 d 为隐性基因 , .
2如图, 上述10个基本事件发生
的可能性相同 , 且只有3个基本事 件是摸到两只白球记为事件A, 即1,2, 1,3, 2,3, 故P A 3 / 10.
1,2 1,4 1,5 1,3 2,3 2,4 2,5 3,4 3,5 4,5
自主检测
Ｐ97 .练习：1
把 " 抽到红心" 记为事件B , 那么事件B 相当于" 抽 到红心1"、抽到红心2 "、抽到红心3 " 这 3 种情况, " " 而" 抽到黑桃 " 相当于" 抽到黑桃4 "、 "黑桃 5 " 这两 种情况,由于是任意抽取的, 可以认为出现这 5 种 情况的可能性都相等 . 当抽到红心1, 2, 3 这 的概率为PB . 5 在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基 本事件 ele mentary event .如在上面的问题中, "抽 到红心1 "即为一个基本事件.在一次试验中, 每个基 本事件发生的可能性都相同, 则称这些基本事件为 等可能事件 .
古典概型课件1(苏教版必修3)
典型例题解析
解析
首先确定样本空间中的样本点总数为1，然后确定事件“射手在一次射击中不够8环”的样本点个数为1-0.24-0.28-0.19，最后利用概率的定义求解概率。
例题1
从5个红球和3个白球中任取3个球，求取出的3个球中恰有2个红球的概率。
解析
首先确定样本空间中的样本点总数为C(8,3)，然后确定事件“取出的3个球中恰有2个红球”的样本点个数为C(5,2)C(3,1)，最后利用概率的定义求解概率。
P(A|B) = P(A)。
事件独立性判断方法
01
04
05
06
03
02
定义法：若P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。
等价条件法：以下四个条件等价，可用于判断事件独立性
P(AB) = P(A)P(B)。
P(B|A) = P(B)。
P(A∩B) = P(A)P(B)/P(S)，其中S为样本空间。
伯努利试验定义及性质
二项分布公式及期望方差计算
01
二项分布公式：在$n$重伯努利试验中，事件$A$恰好发生$k$次的概率为
02
$P(X=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$
03
其中，$X$表示事件$A$发生的次数，$k=0,1,2,ldots,n$。
04
期望与方差计算
05
期望：$E(X)=np$
古典概型中常见错误类型及纠正方法
Part 05
忽视等可能性导致错误
在投掷一枚不均匀的硬币时，认为正面和反面出现的概率相等。
在解决古典概型问题时，必须确保每个样本点出现的可能性相等。对于不均匀硬币，应通过实验或理论计算来确定正面和反面出现的真实概率。
古典概型(1)
型
我们称这样的随机试验为古典概型。
古典概型的 概率计算
事件A的概率是：
事件A包含的基本事件的个数 P(A)= 基本事件的总数
记(1)所有基本事件的个数n
(2)随机事件A包含的基本事件nA
nA P(A)= n
例 题 分 析
例2、掷一颗均匀的骰子，求掷得偶数点的概率。
概 率 初 步
解：掷一颗均匀的骰子，全体基本事件是: 1, 2, 3, 4，5，6 ∴n=6 而掷得偶数点事件A={2, 4，6} ∴nA=3 ∴P(A) =
事件的构成
例1 从字母a、b、c、d任意取出两个不同
古 典 概 型
字母的试验中，有哪些基本事件？ 解：所求的基本事件共有6个：
A={a, b} D={b, c} F={c, d}
B={a, c} C={a, d} E={b, d}
事件的构成
基本事件的特点
古 （1）在同一试验中，任何两个 典 概
基本事件是互斥的；
（2）任何事件都可以表示 型 成几个基本事件的和。
训练一
1、连续抛掷两枚硬币，写出所有的基本事件。
解
古
典
概
型
训练一
2、连续抛掷两枚骰子，共有 多少个基本事件。 6 古 典 概 型
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
共有36个基本事件，每个事件发生 的可能性相等，都是1/36
训练一
3、一个袋中装有红、黄、蓝三个大小形状 完全相同的球，（1）从中一次性摸出两个 球，其中可能出现不同色的两个球的结果。
例 题 分 析
例3、同时掷两颗均匀的骰子，求掷得两颗 骰子向上的点数之和是5的概率。
解：掷两颗均匀的骰子，标记两颗骰子1号、2号便于 区分。 每一颗骰子共有6种结果，两颗骰子同时抛共有 6×6=36种结果 ∴n=36 而掷得向上的点数之和是5的事件 A={（1，4），（2, 3），（ 3，2），（4，1）} ∴m=4 4 1 ∴P(A) =
第32课时7.2.1古典概型(1)
第32课时7.2.1古典概型知识网络基本事件⇒等可能事件⇒古典概型⇒计算公式．学习要求1、理解基本事件、等可能事件等概念；正确理解古典概型的特点；2、会用枚举法求解简单的古典概型问题；掌握古典概型的概率计算公式。
【课堂互动】自学评价1、基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．2、等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。
3、如果一个随机试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件的发生都是等可能的；那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型．4、古典概型的概率：如果一次试验的等可能事件有n个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是1n；如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为()mP An=．【精典范例】例1 一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，２只黑球，从中一次摸出两个球，(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的两个都是白球的概率是多少？【分析】可用枚举法找出所有的等可能基本事件．【解】(1)分别记白球为1,2,3号，黑球4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1,2号球用(1,2)表示）：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3)(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)因此，共有10个基本事件．（2）上述10个基本事件法上的可能性是相同的，且只有3个基本事件是摸到两个白球（记为事件A），即(1,2),(1,3),(2,3,)，故3()10P A=∴共有10个基本事件，摸到两个白球的概率为310；例 2 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd，若第二子代的,D d基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因D则其就是高茎，只有两个基因全是d时，才显现矮茎）．分析：由于第二子代的,D d基因的遗传是等可能的，可以将各种可能的遗传情形都枚举出来．【解】Dd与Dd的搭配方式共有４中：,,,DD Dd dD dd，其中只有第四种表现为矮茎，故第二子代为高茎的概率为30.754=答：第二子代为高茎的概率为0.75．思考：第三代高茎的概率呢？例3 一次抛掷两枚均匀硬币．（1）写出所有的等可能基本事件；（2）求出现两个正面的概率；【解】（1）所有的等可能基本事件为：甲正乙正，甲正乙反，甲反乙正，甲反乙反共四个．（2）由于这里四个基本事件是等可能发生的，故属古典概型．14,14n m P==∴=，．例4 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率．【分析】掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型．【解】这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）所以基本事件数n=6，事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），其包含的基本事件数m=3，所以，P（A）=nm=63=21=0.5．【小结】利用古典概型的计算公式时应注意两点：（1）所有的基本事件必须是互斥的；（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏．例5 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 【解】每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a 1，a 2）和（a 1，b 1），（a 2，a 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，用A 表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则A=[（a 1，b 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）]，事件A 由4个基本事件组成，因而，P （A ）=64=32． 追踪训练1、在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是（ B ）A ．4030 B ．4012 C ．3012 D ．以上都不对2、盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是（ C ） A ．51 B ．41 C ．54 D ． 101 3. 判断下列命题正确与否.(1)掷两枚硬币,可能出现“两个正面”,“两个反面”,“一正一反”3种结果;(2)某袋中装有大小均匀的三个红球,两个黑球,一个白球,那么每种颜色的球被摸到的可能性相同;(3)从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同;(4)分别从3名男同学,4名女同学中各选一名作代表,那么每个同学当选的可能性相同. 解：四个命题均不正确.(1)应为4种结果,还有一种是”一反一正”;(2)摸到红球的概率为12,摸到黑球的概率为13,摸到白球的概率为16;(3)取到小于0的数字的概率为47,取到不小于0的数字的概率为37;(4)男同学当选的概率为13,女同学当选的概率为14. 4、有甲,乙,丙三位同学分别写了一张新年贺卡然后放在一起,现在三人均从中抽取一张. （1）求这三位同学恰好都抽到别人的贺卡的概率.（2）求这三位同学恰好都抽到自己写的贺卡的概率.解：(1)其中恰好都抽到别人的贺卡有②③①,③①②两种情况,故其概率为12163P ==. (2)恰好都抽到自己的贺卡的概率是216P =.。
3.2古典概型(1)
3.2古典概型（1）编写：许成荣审核：陈英行政审查：【教学目标】理解基本事件、等可能事件；用枚举法求解古典概型问题；掌握古典概型概率公式．【教学重点】掌握古典概型中概率的计算公式．【教学难点】用枚举法解决古典概型的概率问题．【教学过程】一、引入：将扑克牌（52张）反扣在桌上，先从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率有多大？问题：是否一定要进行大量的重复试验，用“出现红心”这一事件的频率估计概率？这样工作量较大且不够准确．有更好的解决方法吗？二、新授内容：1．基本事件的概念：在一次试验中可能出现的一个基本结果称为________________，若一次试验中，每一个基本事件发生的可能性都_____________则称这些事件为___________________．2．基本事件的特点：①任何两个基本事件是__________________的，一次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个基本事件；②任何事件都可以表示成________________________________．3．古典概型：如果试验具有以下两个共同特征：（1）所有的基本事件只有_________个；（2）每一个基本事件发生的可能性是_________的．我们称这样的试验的概率模型为___________________；并不是所有的试验都是古典概型．4．古典概型的概率公式：如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率为__________，若P A ．某个事件A包含了m个等可能事件，则事件A发生的概率()_______例1．掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率．【变式拓展】一次抛掷两枚均匀硬币．（1）写出所有的等可能基本事件；（2）求出现两个正面的概率．例2．一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，教学设计：（1）共有多少个基本事件？（2）摸出的两个都是白球的概率是多少？【变式拓展】一个口袋内有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，①共有多少种不同的结果？②摸出2个黑球有多少种不同的结果？③摸出2个黑球的概率是多少？例3．豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd，若第二子代的,D d基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因D则其就是高茎，只有两个基因全是d时，才显现矮茎）．【变式拓展】你能求出第二子代的种子经自花传粉得到的第三子代为高茎的概率吗？三、课堂反馈：1．某拍卖行拍卖的20幅名画中，有2幅是赝品，某人在这次拍卖中随机买入了1幅画，则买入的这幅画是赝品的概率为．2．某班准备到郊外野营，为此向商店订购了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，那么下列说法中，正确的是．①一定不会淋雨；②淋雨机会为34；③淋雨机会为12；④淋雨机会为14．3．一个密码箱的密码由5位数学组成，5个数字都可任意设定为0-9中的任何一个数字，假设某人已经设定了5位密码．（1）若此人忘了密码的所有数字，则他一次就能把锁打开的概率为；（2）若此人只记得密码的前4位数字，则他一次就能把锁打开的概率为．4．从一副52张的扑克牌（不含大、小王）中抽取一张，求：（1）抽出一张7的概率；（2）抽出一张红桃的概率；（3）抽出一张红桃7的概率．5．口袋中有形状、大小相同的1只白球和1只黑球，先摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，（1）一共可能出现多少种不同的结果？（2）出现“1只白球、1只黑球”的结果有多少种？（3）出现“1只白球、1只黑球”的概率是多少？【教（学）后反思】:________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________四、课后作业：学生姓名：___________1．在100张奖券中，有4张中奖，从中任取一张，中奖的概率是．2．据调查，10000名驾驶员在开车时约有5000名系安全带，如果从中随意的抽查一名驾驶员有无系安全带的情况，则系安全带的概率是．3．已知10000件产品中有9000件正品，若从中随机选取1件产品，则该产品是正品的概率为．4．把三枚硬币一起抛出，出现2枚正面向上，一枚反面向上的概率是．5．若从甲、乙、丙、丁4位同学中选出3名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是．6．200名青年工人，250名大学生，300名青年农民在一起联欢，如果任意找其中一名青年谈话，这个青年是大学生的概率是．7．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是．8．将1枚硬币抛2次，恰好出现1次正面的概率是．9．甲、乙、丙三人站成一排留念，则甲、乙两人恰好相邻的概率是 ．10．一个口袋里装有2个白球和2个黑球，这4 个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则1个是白球，1个是黑球的概率是 ．11．某电台一档谈话节目的听众来自某市的甲、乙、丙3个县，主持人从这3个县接听到的电话数与这3个县的人口数成正比，已知甲、乙、丙3个县的人口数分别为185万、81万和36万，试求：（1）随机接听1个电话来自甲县的概率；（2）随机接听1个电话来自乙县的概率；（3）这天的第一个电话不是来自丙县的概率．12．某数学兴趣小组有男生3名，记为1a ，2a ，3a ；有女生2名，记为1b ，2b ，现从中任选2名学生去参加学校数学竞赛，（1）写出所有的基本事件；（2）求参赛学生中恰好有1名男生的概率；（3）求参赛学生中至少有1名男生的概率．13．一只口袋装有形状、大小相同的6只小球，其中有2只白球、2只红球和2只黄球，从中1次随机摸出2只球，试求：（1）2只球都是红球的概率；（2）2只球同色的概率；（3）“恰有1只球是白球”的概率是“2只球都是白球”的概率的多少倍？。
古典概型(1)
• 例2： • 掷一枚质地均匀的骰子，求掷得奇数点的概率.
解：这个试验有6个基本事件:｛1｝,｛2｝,｛3｝,｛4｝,｛5｝, ｛6｝ 即n=6，
记事件A=｛掷得奇数点｝共有3个，即m=3
所以， P（A）= 3/6 = 0.5
小结:解这类解答题的规范表述:先列出总的基 本事件,而A事件可以不列出,只要说出他的个 数.
问题引入：
有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其牌 点向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的 牌为红心的概率有多大？
从化四中高二备课组
古 典 概 型（1）
• 学习目标 • 1、能说出基本事件的特点并会写出事件 A
的基本事件； • 2、能说出并理解古典概型的特点及其概率
计算公式； • 3、会用求解；简单的古典概型问题 .
古 典 概 型（1）
自主探究1
• 1、带着下列问题，阅读教材125页内容： • 基本事件的特点是什么？应该怎样理解？
古 典 概 型（1）
1、基本事件
考察两个试验基，本结事果是件什的么概？念和特点结什果么：？
(1)掷一枚质地均匀的硬币的试验 “正面向上”, “反面向 (2)掷一枚质地均匀的骰子的试验 结上果”：“1点”、“2点”、
试验；
• (2)从数字1，2，3，4中任意取出两个不同数字组 成一个两位数的试验.
小结：列举基本事件时要做到既不重复，也不遗漏。
思考:观察上面的练习和两个模拟试验有什么共同点?
古 典 概 型（1）
2、古典概型
我们发现，以上练习和试验有两个共同特点：
(1) 在试验中所有可能出现的基本事件只有有 限个 (有限性)；
2、古典概型的特点：
4.古典概型(一)-精选教学文档
(2)一个盒子中有10个完全相同的球,分别标以号码1,2,3,…,10,从中任取一球,只有10种不同的结果,即标号为1,2,3，…,10.
思考讨论根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点？
二、新课讲解：
1、提出问题：
试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币,分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数,要求每个数学小组至少完成20次（最好是整十数）,最后由学科代表汇总；
（4）什么是古典概型？它具有什么特点？
（5）对于古典概型,应怎样计算事件的概率？
1
河北武邑中学教师课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
2、活动：学生展示模拟试验的操作方法和试验结果,并与同学交流活动感受,讨论可能出现的情况,师生共同汇总方法、结果和感受.
3、讨论结果：（1）用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率不好,因为需要进行大量的试验,同时我们只是把随机事件出现的频率近似地认为随机事件的概率,存在一定的误差.
要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。
3.2.1 古典概型(1)
课题3.2.1 古典概型
一、学习目标
1. 了解基本事件的定义，能写出一次试验所出现的基本事件.
2. 理解古典概型的特征和计算公式，会判断古典概型.
3. 会求古典概型的概率.
二、学习重难点
学习重点：求古典概型的概率.
学习难点：古典概型的特征
四、巩固诊断
A 组
1、从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,这个两位数大于40的概率为
( ) A. 51 B. 52 C. 53 D. 5
4 B 组
2、某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为( )
A. 157
B. 158
C. 5
3 D. 1 C 组
3、抛掷两颗骰子，求：(1)点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5小于10的概率．
4、某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，2名男同学，4名女同学共6名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的．
(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率；
(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率．。
高中数学-古典概型(一)
古典概型(一)高中数学 1.理解古典概型的概念及特点.2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题．导语 研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小．对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率(probability)，事件A的概率用P(A)表示．我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值．能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？一、古典概型的定义问题1 我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？提示 样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等．知识梳理 一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．例1 下列概率模型是古典概型吗？为什么？(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率．解 (1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾．(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．反思感悟 古典概型需满足两个条件(1)样本点总数有限．(2)各个样本点出现的可能性相等．跟踪训练1 下列问题中是古典概型的是( )A ．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B ．掷一枚质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率C ．在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率D ．同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率答案 D解析 A ，B 两项中的样本点的出现不是等可能的；C 项中样本点的个数是无限多个；D 项中样本点的出现是等可能的，且是有限个．故选D.二、古典概型概率的计算问题2 在掷骰子的试验中，记A 事件为“点数为偶数”，A 事件包含哪些样本点？A 事件发生的概率是多少？提示 A ＝{2,4,6}．对于抛掷骰子试验，出现各个点的可能性相同，记出现1点，2点，…，6点的事件分别为A 1，A 2，…，A 6，记事件“出现偶数点”为B ，则P (A 1)＝P (A 2)＝…＝P (A 6)，又P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A 6)＝P (必然事件)＝1，所以P (A 1)＝P (A 2)＝…＝P (A 6)＝，P (B )＝＝.163612知识梳理 一般地，设试验E 是古典概型，样本空间Ω包含n 个样本点，事件A 包含其中的k 个样本点，则定义事件A 的概率P (A )＝＝.kn n (A )n (Ω)例2 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求：(1)样本空间的样本点的总数n ；(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；(3)摸出2个黑球的概率．解 由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型．(1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，共有6个样本点，所以n ＝6.(2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共有3个样本点．(3)样本点总数n ＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数m ＝3，故P ＝＝，即摸出36122个黑球的概率为.12反思感悟 利用古典概型概率计算公式计算概率的步骤(1)确定样本空间的样本点的总数n .(2)确定所求事件A 包含的样本点的个数m .(3)P (A )＝.mn 跟踪训练2 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________．答案 23解析 从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P ＝＝.4623三、较复杂的古典概型的概率计算例3 先后抛掷两枚质地均匀的骰子．(1)求点数之和为7的概率；(2)求掷出两个4点的概率；(3)求点数之和能被3整除的概率．解 如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36个，且每个样本点出现的可能性相等．(1)记“点数之和为7”为事件A ，从图中可以看出，事件A 包含的样本点共有6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P (A )＝＝.63616(2)记“掷出两个4点”为事件B ，从图中可以看出，事件B 包含的样本点只有1个，即(4,4)．故P (B )＝.136(3)记“点数之和能被3整除”为事件C ，则事件C 包含的样本点共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P (C )＝＝.123613反思感悟 在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便．跟踪训练3 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率．解 (1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共15个．所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，共3个，则所求事件的概率为P ＝＝.31515(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，共9个．包括A 1但不包括B 1的事件所包含的样本点有(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，共2个，则所求事件的概率为P ＝.291．知识清单：(1)古典概型．(2)古典概型的概率公式．2．方法归纳：常用列举法(列表法、树状图)求样本点的总数．3．常见误区：在列举样本点的个数时，要按照一定顺序，做到不重、不漏．1．(多选)下列试验是古典概型的是( )A ．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率B ．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率C ．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率D ．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率答案 BD解析 A 不是等可能事件，C 不满足有限性．2．在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率是( )A ．0.02 B ．0.05C ．0.1 D ．0.9答案 C解析 由题意知，该题是一个古典概型，因为在50瓶牛奶中任取1瓶有50种不同的取法，取到已过保质期的牛奶有5种不同的取法，根据古典概型公式求得概率是＝0.1.故选C.5503．将一枚骰子先后投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数的概率为________．答案 736解析 将一枚骰子投掷两次，样本点个数为36，且每个样本点出现的可能性相等，其中“将一枚骰子投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数”所包含的样本点有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(5,5)，(6,4)，(4,6)，共7个，故“将一枚骰子先后投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数”的概率为.7364．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是________．答案 0.2解析 两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的样本点有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等，所以P ＝＝0.2.210课时对点练1．下列是古典概型的是( )A ．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点B ．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点C ．在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率D ．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点答案 C解析 A 项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A 不是；B 项中的样本点的个数是无限的，故B 不是；C 项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C 是古典概型；D 项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D 不是．2．一个家庭有两个小孩，则所有可能的样本点有( )A ．(男，女)，(男，男)，(女，女)B ．(男，女)，(女，男)C ．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D ．(男，男)，(女，女)答案 C解析 两个孩子出生有先后之分．3．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为( )A. B. C. D.153103512答案 B解析 样本点总数为10，“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为.3104．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )A. B. C. D.16121323答案 C解析 样本点有：(甲，乙，丙)、(甲，丙，乙)、(乙，甲，丙)、(乙，丙，甲)、(丙，甲，乙)、(丙，乙，甲)，共6个．甲站在中间的样本点包括：(乙，甲，丙)、(丙，甲，乙)，共2个，所以甲站在中间的概率P ＝＝.26135．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A. B. C. D.13122334答案 C解析 试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，数字之和为奇数的有4个样本点，所以所求概率为.236．(多选)投掷一枚质地均匀的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解，其中正确的有( )A ．“出现点数为奇数”的概率等于“出现点数为偶数”的概率B ．只要连掷6次，一定会“出现1点”C ．投掷前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就会加大D ．连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19答案 AD解析 掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是，故A 正确；“出现1点”是随12机事件，故B 错误；概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故C 错误；连续掷3次，若每次都出现最大点数6，则三次之和为18，故D 正确．7．在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．答案 14解析 用列举法知，可重复地选取两个数共有16个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，其中一个数是另一个数的2倍的有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(4,2)共4个样本点，故所求的概率为＝.416148．从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是________．若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是________．答案 310425解析 从5个数字中不放回地任取两数，样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等．因为都为奇数的样本点有(1,3)，(1,5)，(3,5)，共3个，所以所求概率P ＝.从5个数字中有放回的任取两数，310样本点共有25个，且每个样本点出现的可能性相等，都为偶数的样本点有(2,4)，(4,2)，(2,2)，(4,4)共4个，故概率P ＝.4259．袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其它球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个样本点概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为样本点，有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？解 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型．(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个样本点，分别记为A ：“摸到白球”，B ：“摸到黑球”，C ：“摸到红球”．因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为.111因为白球有5个，所以一次摸球摸中白球的可能性为.511同理可知，摸中黑球、红球的可能性均为.311显然这三个样本点出现的可能性不相等，所以以颜色为样本点的概率模型不是古典概型．10．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．(1)共有多少个样本点？(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？解 (1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1,2号球用(1,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．因此，共有10个样本点．(2)上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到两只白球(记为事件A )，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P (A )＝.故摸出2只球都是白球的概率为.31031011．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )A. B. C. D.12131425答案 A解析 把2个红球分别标记为红1、红2,2个白球分别标记为白1、白2，本试验样本空间所包含的样本点共有16个，其中取出的2个球同色包含的样本点有8个：(红1，红1)，(红1，红2)，(红2，红1)，(红2，红2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)．故所求概率P ＝＝.8161212．从集合A ＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的概率为( )A. B. C. D.29134959答案 A解析 直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限，即Error!选取出的两个数记为(k ，b )，则该试验的样本空间Ω＝{(－1，－2)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2,1)，(2,2)}，共9个样本点，符合题意的有(－1,1)，(－1,2)，共2个样本点，所以所求概率为.2913．每年3月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者5名，其中男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为( )A. B. 3525C. D.15310答案 B解析 设3名男生分别用A ，B ，C 表示，2名女生分别用a ，b 表示，则从5人中选出2名青年志愿者的样本空间Ω＝{(A ，B )，(A ，C )，(A ，a )，(A ，b )，(B ，C )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(a ，b )}，共有10个样本点，其中选出的2名志愿者性别相同包含的样本点有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(a ，b )，共有4个，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率P ＝＝.4102514．一次掷两枚均匀的骰子，得到的点数为m 和n ，则关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋4＝0无实数根的概率是________．答案 112解析 总的样本点个数为36，且每个样本点出现的可能性相等．因为方程无实根，所以Δ＝(m ＋n )2－16<0.即m ＋n <4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个样本点．所以所求概率为＝.33611215．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A. B. C. D.192971849答案 D解析 记“|a －b |≤1”为事件A ，由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，则事件A 包含的样本点有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16个，而依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等．因此他们“心有灵犀”的概率P ＝＝.16364916．某区的区大代表中有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A 1，A 2，乙校教师记为B 1，B 2，丙校教师记为C ，丁校教师记为D .现从这6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名．(1)请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部样本点；(2)求教师A 1被选中的概率；(3)求宣讲团中没有乙校教师代表的概率．解 (1)从6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，组成人员的全部样本点有12个，分别为：(A 1，B 1，C )，(A 1，B 1，D )，(A 1，B 2，C )，(A 1，B 2，D )，(A 1，C ，D )，(A 2，B 1，C )，(A 2，B 1，D )，(A 2，B 2，C )，(A 2，B 2，D )，(A 2，C ，D )，(B 1，C ，D )，(B 2，C ，D )．(2)组成人员的全部样本点中，A 1被选中的样本点有(A 1，B 1，C )，(A 1，B 1，D )，(A 1，B 2，C )，(A 1，B 2，D )，(A 1，C ，D )，共5个，所以教师A 1被选中的概率为P ＝.512(3)宣讲团中没有乙校教师代表的样本点有(A 1，C ，D )，(A 2，C ，D )，共2个，所以宣讲团中没有乙校教师代表的概率为P ＝＝.21216。
高一数学人教A版必修3课件：3.2.1 古典概型(1)
观察类比、推导公式
实验一中，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等， P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”） 由概率的加法公式，得 P（“正面朝上”）＋P（“反面朝上”）＝P（必然事件）＝ 因此
1 2 P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）＝
1
即
1 “出现正面朝上”所包含的基本事件的个数 P （“出现正面朝上”)＝ ＝ 2 基本事件的总数
1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
解:(1)把两个骰子标上记号1、2以便区分，可能结果有：
1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
6
进一步地，利用加法公式还可以计算这个试验 中任何一个事件的概率，例如， P（“出现偶数点”）＝P（“2点”）＋P（“4 点”） 3 1 ＋P（“6点”） 1 1 1 ＝ 6 + 6 + 6 = 6 = 6
3 P （“出现偶数点”）＝ 即 6 “出现偶数点”所包含的基本事件的个数 = 基本事件的总数
基本事件的特点：
（1）任何两个基本事件是互斥的；
（2）任何事件(除不可能事件)都可以表 示成基本事件的和。
例1 从字母a、b、c、d任意取出两个不 同字母的试验中，有哪些基本事件？ 解：所求的基本事件共有6个： A={a, b} B={a, c} C={a, d} D={b, c} E={b, d} F={c, d}
古典概型(1)
归纳总结
由以上两问题得到，对于某些随机事件， 由以上两问题得到，对于某些随机事件，也可以不 通过大量重复实验，而只通过对一次实验中可能出现的 通过大量重复实验， 结果的分析来计算概率。 结果的分析来计算概率。 那么，对于哪些随机事件， 那么，对于哪些随机事件，我们可以通过分析其 结果而求其概率？ 结果而求其概率？
必然事件的概率为： 必然事件的概率为：1 不可能事件的概率为： 不可能事件的概率为：0
数学建构
一般地 , 如果随机事件 A 在 n 次试验中发生了 m 次,当试验的次数 n 很大时 , 我们可以将事件 m A 发生的频率 作为事件 A 发生的概率的近 n 似 值, 即 为 P A） （ m P( A) ≈ . n
随机事件的概率
如何确定一个随机事件的概率呢？ 如何确定一个随机事件的概率呢？
数学建构
思考1 在相同的条件S下重复n次试验，若某一事件A 思考1：在相同的条件S下重复n次试验，若某一事件A出 现的次数为m 则称m为事件A出现的频数，那么事件A 现的次数为m，则称m为事件A出现的频数，那么事件A出 现的频率f (A)等于什么 频率的取值范围是什么？ 等于什么？ 现的频率fn(A)等于什么？频率的取值范围是什么？
知识回顾
4.如何确定一个随机事件发生的概率呢？ 如何确定一个随机事件发生的概率呢？ 如何确定一个随机事件发生的概率呢 在相同的条件下进行大量的重复试验，随机事件 在相同的条件下进行大量的重复试验， A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，这 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定， 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定 个常数就是随机事件A发生的可能性大小 即概率。 发生的可能性大小， 个常数就是随机事件 发生的可能性大小，即概率。
第3课时 古典概型(1)
|第3课时古典概型(1)|知识技能1. 结合具体实例，理解古典概型的基本特点．2. 通过样本空间掌握计算古典概型中简单随机事件的概率的方法．思想方法通过对现实生活中古典概型问题的探究，让学生感知应用数学解决实际问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系．核心素养1. 通过掷骰子等试验，归纳古典概型试验的共同特征，进而构建古典概率模型，在此过程中发展学生的数学抽象和数学建模素养．2. 通过对古典概型问题中样本空间和随机事件包含样本点的分析，发展逻辑推理素养．重点：理解古典概型的特征，利用古典概型概率公式计算概率．难点：判断一个试验是不是古典概型，准确写出试验的样本空间和事件包含的样本点．问题导引阅读教材P233～236，思考下面的问题：1. 你能举出几个在日常生活中利用概率决策的例子吗？2. 古典概型有哪些特征？即时体验1. 古典概型的概率计算公式是P(A)＝kn＝n(A)n(Ω).2. 事件A＝“抛掷一枚骰子，结果向上的点数为1”，则P(A)＝1 6.3. 事件B＝“抛掷一枚骰子，结果向上的点数为奇数”，则P(B)＝1 2.提示这个试验的样本空间为Ω＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，样本点共有6个，而B＝{1, 3, 5}，所以由古典概型知P(B)＝36＝12.一、数学运用下列概率模型是古典概型吗？为什么？(1) 从区间(－2, 0)内任意取出一个实数，求取到－1的概率；(2) 抛掷一枚图钉，求图钉钉尖朝上的概率；(3) 抛掷一枚质地均匀的骰子，求朝上一面的点数为偶数的概率．[1](见学生用书课堂本P121)[规范板书]解(1) 不是古典概型，因为区间(－2, 0)内有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，不符合古典概型的“有限性”．(2) 不是古典概型，因为图钉不均匀导致“钉尖朝上”与“钉尖朝下”的概率不相等，不符合古典概型的“等可能性”．(3) 是古典概型，因为试验的所有可能出现的结果是有限的(6种)，而且每个面朝上的可能性相等．[题后反思]一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而不是所有的试验都是古典概型．(1) 向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？(2) 如图，射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环……命中1环和命中0环(即不命中)．你认为这是古典概型吗？为什么？[规范板书]解(1) 试验的所有可能结果是圆面内的所有点．试验的所有可能结果数是无限的．因此，尽管每一个试验结果出现的可能性相同，这个试验也不是古典概型．(2) 试验的所有可能结果只有11个，但是命中10环，命中9环……命中1环和命中0环(即不命中)不是等可能的，这个试验也不是古典概型．[题后反思] 判断随机试验是否为古典概型，抓住古典概型的两个特征：有限性和等可能性，二者缺一不可．[2] 例2是简单古典概型概率的计算．[3] 本例是古典概型的简单实际应用.一个口袋内装有1个白球和编号分别为1, 2, 3的3个黑球，它们的大小、质地相同，从中任意摸出2个球．(1) 写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；(2) 设事件A ＝“摸出的2个球都是黑球”，用集合表示事件A ，并求P (A )．[2](见学生用书课堂本P121)[规范板书] 解 (1) 这个试验的样本空间Ω＝{(白，黑1)，(白，黑2)，(白，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}，且每个样本点是等可能出现的，这个试验是古典概型．(2) A ＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}, n (A )＝3，所以P (A )＝n (A )n (Ω)＝36＝12.[题后反思] (1)求解古典概型问题的操作步骤：①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)；②根据实际问题情境判断样本点的等可能性；③计算样本点个数及事件A 包含的样本点个数，求出事件A 的概率．(2)在用枚举法列出样本点时必须按照某一顺序做到不重不漏．(3)本例解答中，一次摸出2个球没有先后之分，也可分先后顺序(看作有序抽取)，所得概率相同．无论采取哪种方式，样本空间和随机事件观察的角度必须一致，否则容易出错．一只不透明的口袋内装有大小相同的2个白球和2个黑球，从中一次摸出2个球，求摸出的2个球是1个白球和1个黑球的概率．[规范板书] 解 将4个球编号，2个白球分别为白1、白2, 2个黑球分别为黑1、黑2. 设事件A ＝“从4个球中一次摸出2个球，摸出的2个球是1个白球和1个黑球”，则样本空间Ω＝{(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，(黑1，黑2)}，共包含6个样本点．因为4个球的大小相同，所以各个样本点发生的可能性相等，因此这个试验是古典概型．又因为A ＝{(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)}，n (A )＝4，所以根据古典概型可知P (A )＝n (A )n (Ω)＝46＝23，即摸出的2个球是1个白球和1个黑球的概率是23.一次抛掷两枚硬币，观察正面、反面出现的情况，求至少出现一个正面的概率．[规范板书] 解 这个试验的样本空间可记为Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，共包含4个样本点．设事件A ＝“一次抛掷两枚硬币，至少出现一个正面”，则A ＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，A 包含3个样本点，所以根据古典概型可知P (A )＝34.[题后反思] 本题中样本空间易错误地写为{(正，正)，(正，反)，(反，反)}.人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分，这是由对应的基因决定的．生物学上已经证明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因(记为B)，另一种是隐性基因(记为b)；基因总是成对出现(如BB, bB, Bb, bb)，而成对的基因中，只要出现了显性基因，那么这个人就一定是双眼皮(也就是说，“单眼皮”的充要条件是“成对的基因是bb ”)；如果不发生基因突变的话，成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，但父母亲提供基因时都是随机的．有一对夫妻，两人成对的基因都是Bb ，不考虑基因突变，求他们的孩子是单眼皮的概率．[3](见学生用书课堂本P122)[处理建议] 画树状图分析．(例3)[规范板书] 解 用连着写的两个字母来表示孩子的成对的基因，其中第一个字母表示父亲提供的基因，第二个字母表示母亲提供的基因．画出树状图(如图)，可知样本空间中共包含4个样本点，即Ω＝{BB, Bb, bB, bb}．孩子要是单眼皮，成对的基因只能是bb ，因此根据古典概型可知所求概率为14.[题后反思] 若我们考虑的样本空间为Ω＝{BB, Bb, bb}，那么事件“他们的孩子是单眼皮”只包含Ω中的一个样本点bb ，但由此并不能得出该事件发生的概率为13，因为样本空间Ω＝{BB, Bb, bb}中的各个基本事件不具有等可能性．因此，用古典概型求概率时，要选择合适的方式表示样本点及样本空间，以使得基本事件具有等可能性，并且使所考察的事件能表示为样本空间的子集．豌豆的黄绿色性状的遗传由其一对基因决定，其中决定黄色的基因记为D ，决定绿色的基因记为d ，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd.若第二子代的D, d 基因的遗传是等可能的，求第二子代为黄色的概率(只要有基因D 就是黄色，只有两个基因全是d 时，才显现绿色)．(例2变式)[处理建议] 由于第二子代的D, d 基因的遗传是等可能的，可以将各种可能的遗传情形都列举出来，写出所有的样本点．[规范板书] 解 由于第二子代的D, d 基因的遗传是等可能的，故来自父方的配子D, d 与来自母方的配子D, d 随机组合，共有4种可能(如图)，即样本空间Ω＝{DD, Dd, dD, dd}．设事件A ＝“第二子代为黄色”，则A ＝{DD, Dd, dD}，因此，P (A )＝34.答：第二子代为黄色的概率为34.二、 课堂练习1. (多选)下列概率模型中是古典概型的是(ABD)A. 从4名同学中选2人参加数学竞赛，求每人被选中的概率B. 抛掷一枚骰子，求朝上的面的点数为1的概率C. 求近三天中有一天降雨的概率D. 4人站成一排，求甲、乙相邻的概率2. 下课以后，教室里还剩2名男生和1名女生，若他们依次走出教室，则第2个走出教室的是女生的概率为(B)A.12B. 13C. 14D. 153. 有100张卡片(从1～100编号)，从中任取一张，取得卡号是9的倍数的概率为11100.4. 从甲、乙、丙、丁四人中随机选三名代表，则甲入选的概率为34，甲不入选的概率为14.5. 一只口袋内装有除颜色外完全相同的2个白球、2个黑球、2个红球，若从中任意摸出2个小球，则摸出的2个小球是同一种颜色的概率为15.三、 课堂小结1. 古典概型的基本特征：一是样本点的有限性，二是样本点发生的等可能性．这两条缺一不可．2. 古典概型的概率计算公式：P(A)＝A包含的样本点个数Ω包含的样本点总数＝n(A)n(Ω).3. 计算样本点时，要按一定的顺序或规律来写(可借助列表、画树状图)，做到不重不漏.。
古典概型(1)
全员合作探究
探究一： 观察对比，两个模拟试验和例1都有什么共 同特点？
试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币
所有可能出现的基本事件有两 个， 由于质地均匀， 每个基本事件出现的可能性都相等，都是1/2
试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子
1点
2点
3点
4点
5点
6点 掷骰子试验
所有可能出现的基本事件有来6个，由于质地均匀 每个基本事件出现的可能性都相等，都是1/6；
A所包含的基本事件的个数 P （A）＝ 基本事件的总数
求古典概型的步骤：
• • • • （1）判断是否为等可能性事件； （2）列举所有基本事件的总结果数n． （3）列举事件A所包含的结果数m． （4）计算
注意： 古典概型，常用列举法
全员合作探究
探究三 例2、 单选题是标准化考试中常用的题 型,一般是从A、B、C、D四个选项中选 择一个正确答案.如果考生掌握了考查的 内容,他可以选择唯一正确的答案.假设考 生不会做,他随机地选择一个答案,问他答
1 0.0667 15
小结
1.基本事件的特点: （1）在同一试验中，任何两个基本事件是互斥的； （2）任何事件(除不可能事件外)都可以表示成几个基 本事件的和。 2．古典概型： （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
（有限性）
（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性） 这样两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称 古典概型。 3．古典概型下计算任何事件的概率计算公式为：
全员合作探究
探究二： 在古典概型下,基本事件出现的概率是多 少?随机事件出现的概率如何计算?
对于掷一枚质地均匀的硬币的试验,出现正面 向上的概率与反面向上的概率相等,即 P(“正面向上”)=P(“反面向上”)
2古典概型(1)
出现的点数是不小于3的偶数 Ａ=“出现的点数是不小于 的偶数”={4，6} m=2 出现的点数是不小于 的偶数” ，
m 2 1 P( A) = = = n 6 3
古典概率的计算： 古典概率的计算：正品率和次品率
设在100 件产品中，有 4 件次品，其余均为正 件产品中， 件次品， 设在 品． 这批产品的次品率 mA＝ 4 n＝ 100 ＝ 任取3件 任取 件，全是正品的概率
Ai = {ω i } ,
i = 1, 2 , ⋯ , n
其中
.
古典概型的概率计算
确定试验的基本事件总数 设试验结果共有n个基本事件 设试验结果共有 个基本事件ω1，ω2，...，ωn ， 个基本事件 ， 而且这些事件的发生具有相同的可能性 而且这些事件的发生具有相同的可能性 确定事件A包含的基本事件数 确定事件 包含的基本事件数 事件Ａ由其中的 个基本事件组成 事件Ａ由其中的m个基本事件组成
1 mA C3 ⋅ 9! 3 P( A) = = = n 10! 10
n = 10!
1 mA = C3 ⋅ 9!
第五个学生抽 到入场券
另外9个学生抽 另外 个学生抽 取剩下9张 取剩下 张
古典概率的计算： 古典概率的计算：数字排列
用1，2，3，4，5这五个数字构成三位数 没有相同数字的三位数的概率
50 365
50个小球 个小球 365个盒子 个盒子
C ⋅ 50! P( A) = ≈ 0.03 50 365
相似地有分房问题 人 房子 小球 盒子
生日问题模型
某班有n个学生，设一年 天 则 某班有 个学生，设一年N天,则他们的生日各不相 个学生 同的概率为
C ⋅ n! P( A) = n N
n N
3.2.1古典概型
P( A)
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
解：（1）基本事件：红，白，黄，黑.
(2)基本事件：（红，白）（红，黄）（黄，黑）（白， 黄） （白，黑）（红，黑）
（3）基本事件：（红白）（白红）（红黄）（黄红） （红黑）（黑红）（黄黑）（黑黄）（黄白）（白黄）（白黑） （黑白）
训练1.随意安排甲、乙、̖丙三人在3 天节日中值班，每人值班1天. （1）写出所有基本事件； （2）其中甲在乙之前值班的基本事 件有多少个？
彼此互斥
（2）基本事件的特点： ①任何两个基本事件是 互斥的； ②任何事件（除不可能事件）都可以表示 成基本事件的 和 .
3.(1)在1中的两个试验有何共同特点？甲、 乙、̖丙三人站成一排，甲站中间的概率是什 么？
①可能出现的基本事件是有限的
②且每个基本事件出现的可能性相等
（2）具有以下两个特点的概率模型称为古典概 率模型，简称古典概型：
四.课堂练习
1.抛掷一枚骰子，出现偶数的基本事个数为
（ C）
A.1
B.2
C.3
D.4
2.下列试验中，为古典概型的是（C ）
A.种下一粒种子，观察它是否发芽
B.从规格质量为50（±0.2）千克的产品中任意抽
取一袋，检测其是否合格
C.抛掷一枚硬币，观察其出现正面还是反面
D.某人射击中靶或不中靶
3.从1,2,3,4,5中随机取出三个不同的数，则其和
(2,3,5) (2,4,5) (3,4,5)
(1)因为事件A={(2,3,4)},所以A包含的事件的个数 为1.所以P（A）= 1
(2)因为事件B={（1,2,13）0 （1,2,4）（1,2,5）（1,3,4） (1,3,5) (1,4,5) (2,3,5) (2,4,5) (3,4,5)} 所以B包含 的基本事件的个数为9， 所以P（B）= 9
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共有28个等可能事件
（6，7）、（6，8）
（7，8） 1 28
例5（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球， 从中一次摸出两个球。
⑵求摸出两个球都是红球的概率； 设“摸出两个球都是红球”为事件A 则A中包含的基本事件有10个， 因此 P ( A)
m 10 5 n 28 14
第二次抛掷后向上的点数
点数之和是3的倍数的可能结果有多少种？
例4：甲、乙两人作出拳游戏(锤子、剪刀、布)，求： （1）平局的概率； （2）甲赢的概率； （3）乙赢的概率.
解：记甲出锤子、剪刀、布分别为a,b,c；乙出锤子、剪刀、布分 别为1,2,3，甲、乙两人作出拳游戏有(a,1) 、(a,2) 、 (a,3) 、 (b,1) 、 (b,2) 、 (b,3) 、 (c,1) 、 (c,2) 、 (c,3) ．
甲有3种不同的出拳方法，每一种出发是等可能的，乙同样 有3种不同的出拳方法。一次出拳游戏有9种不同的结果，所以基 本事件的总数是9． 设“平局”为事件A；“甲赢”为事件B；“乙赢”为事件C， 1 则事件A、B、C分别含3个基本事件，则P(A)=P(B)=P(C)= 3
练习： （1）一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率为_________.
例5（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球， 从中一次摸出两个球。 ⑶求摸出的两个球都是黄球的概率；
设“摸出的两个球都是黄球” 为事件B， 则事件B中包含的基本事件有3个， 故 P ( B )
m 3 n 28
（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8） （2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8）
10/16＝5/8。
例 题 分 析
例7、从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品 中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次， 求取出的两件中恰好有一件次品的概率。
分析：样本空间
p ( A)
概 率 初 步
事件A
m n
它们的元素个数n,m
公式 解：每次取一个，取后不放回连续取两次，其样本空间是 Ω={ (a,b), (a,c), (b,a) (b,c) (c,a) (c,b } , , , ) ∴n = 6
（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8） （2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8） （3，4）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（3，8） （4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8） （5，6）、（5，7）、（5，8） （6，7）、（6，8） （7，8）
考察两个试验 (1)掷一枚质地均匀的硬币的试验 正面向上 反面向上 六种随机事件
概 率 初 步
(2)掷一枚质地均匀的骰子的试验 基本事件
特点
(1)中有两个基本事件 (2)中有6个基本事件
(1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本 事件的和．
古
典
概
率
概 率 初 步
思考 你能求出上述第二代的种子经自花传粉得到的第三代为高茎的概率吗 ?
答：由于第二子代的种子中 DD，Dd，dD，dd型种子 各占1/4，其下一代仍是自花 授粉，则产生的子代应为DD， DD，DD，DD；DD，Dd， dD，dd；DD，dD，Dd， dd；dd,dd,dd,dd。 其中只有dd型才是矮茎的， 于是第三代高茎的概率为
3、概率的性质：
0≤P（A）≤1；
P(Ω)＝1，P(φ)=0.
问题引入：
有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其牌 点向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的 牌为红心的概率有多大？
知识新授： 古 典 概 率
1、基本事件 在一个试验可能发生的所有结果中，那些不能 再分的最简单的随机事件称为基本事件。(其他事 什么是基本事件？它有什么特点？ 件都可由基本事件的和来描述)
解：10个；即（1,2）、（1，3） 、（1,4）、（1，5） 、 （2,3）、（2,4） （2,5）、（3,4） （3,5）、（4,5）这10 个基本事件 ——枚举法（有序，不重不漏）
你能从上面两个实验和例1中发现这两个实验的共同特点是什么？
探究（1）：一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白
知识回顾：
1．从事件发生与否的角度可将事件分为哪几类？ 必然事件、不可能事件、随机事件 2．概率是怎样定义的？
事件A发生的概率的近似值， 即 一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试
验的次数n很大时，我们可以将事件A发生的频率
作为
m ,(其中P(A)为事件A发生的概率) P( A) n
（3，4）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（3，8）
（4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8） （5，6）、（5，7）、（5，8） （6，7）、（6，8） （7，8）
例5（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球， 从中一次摸出两个球。 ⑷求摸出的两个球一红一黄的概率。
设“摸出的两个球一红一黄” 为事件C， 则事件C包含的基本事件有15个， 故 P (C )
（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8） 7
（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8） 6 （3，4）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（3，8） （4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8） 5 4 3 2
（5，6）、（5，7）、（5，8）
m P ( A) n
变式？
1、从1，2, 3，4, 5五个数字中，任取两数，求两 数都是奇数的概率。
解：有如下基本事件
(12) , (13), (14) ,(15) ,(23), (24), (25), (34) ,(35) ,(45)
∴n=10 用A来表示“两数都是奇数”这一事件，则A中包含： (13)，(15)，(3,5) ∴m=3 ∴P(A)= 3
3 答抽到2张红心的概率是 10 ． 3 10
例3：同时抛两颗骰子，观察向上的点数，问：
（1）共有多少个不同的可能结果？ （2）点数之和是6的可能结果有多少种？
（3）点数之和是6的概率是多少？
问：如何准确的写出“同时抛两颗骰子”所有基本事件的个数？
图表法
第 一 次 抛 掷 后 向 上 的 点 数
答： ⑴共有28个基本事件；
5 ⑵摸出两个球都是红球的概率为 14
3 ⑶摸出的两个球都是黄球的概率为 28 15 ⑷摸出的两个球一红一黄的概率为 28
通过对摸球问题的探讨，你能总结出求古典概型 概率的方法和步骤吗？
想 一 想 ？
求古典概型的步骤：
（1）判断是否为等可能性事件； （2）计算所有基本事件的总结果数n． （3）计算事件A所包含的结果数m． （4）计算
二．填空题 1.一年按365天算，2名同学在同一天过生 1/365 日的概率为____________ 2.一个密码箱的密码由5位数字组成，五个 数字都可任意设定为0-9中的任意一个数 字，假设某人已经设定了五位密码。 (1)若此人忘了密码的所有数字，则他一 1/100000 次就能把锁打开的概率为____________ (2)若此人只记得密码的前4位数字，则 一次就能把锁打开的概率____________ 1/10
用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则 A={ (a,c), (b,c) (c,a) (c,b } , , ) ∴m=4 4 2 ∴P(A) = 6 3
例 题 分 析
概 率 初 步
变式1、从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产 品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次， 求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 解：有放回的连取两次取得两件，其一切可能的 结 果组成的样本空间是
球，2只黑球，从中一次摸出2只球，共有多少个基本事件？
问题：为什么对球进行编号？ 基本事件发生的可能性要相同． 探究（2）：抛掷一枚硬币2次有（正，反）、 （正， 正）、 （反，反）3个基本事件，对吗？为什么？
例2：一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只 白球，2只黑球，从中一次摸出2只球，则摸到的 两只球都是白球的概率是多少？ 解：记事件A为“摸到的两只球都是白球” 分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中一次摸出2 只球，有如下基本事件：（1,2）、（1,3）、（1,4）、 （1,5）、（2,3）、（2,4）、 （2,5）、（3,4）、 （3,5），（4,5） 因此，共有10个基本事件，事件A包含3个基本事件， 即（1,2）、（1,3）、（2,3），故P(A)=
10
偶数呢？一个是奇数，一个是偶数呢？
例6：豌豆的高矮性状的遗传由一对基因决定，其中决定 高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一 代的一对基因为Dd。若第二子代的D，d基因的遗传是等 可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因D则其就 是高茎，只有两个基因全是d时，才显现矮茎） 解：Dd与Dd的搭配方式有四 种：DD，Dd，dD，dd，其 中只有第四种表现为矮茎，故 第二子代为高茎的概率为 3/4=75% 答：第二子代为高茎的概率为 75%
例5（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的 5个红球和3个黄球，从中一次摸出两个球。 ⑴问共有多少个基本事件； ⑵求摸出两个球都是红球的概率； ⑶求摸出的两个球都是黄球的概率； ⑷求摸出的两个球一红一黄的概率。
例5（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球， 从中一次摸出两个球。
⑴问共有多少个基本事件； 解： ⑴分别对红球编号为1、2、3、4、5号，对黄球编号6、7、 8号，从中任取两球，有如下等可能基本事件，枚举如下：
m 15 n 28
（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8） （2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8）