古典概型1
古典概型(1)
A＝A1∪A2∪A12 从而P(A)= P(A1)+P(A2)+ P(A12)
全部基本事件的总数为30，
因为A1中的基本事件的个数为8，
1 2 3 4 1 2 3 4 a b a b
a
b
A2中的基本事件的个数为8， a a 1 3 2 b b A12中的基本事件的个数为2，
4
a
b
b
a
8 8 2 所以P(A)＝ 30 ＋ 30 ＋ 30 ＝0.6
（1）x的取值为2的倍数（记为事件A） （2）x的取值大于3（记为事件B） （3）x的取值为不超过2（记为事件C） 解： （1） 点数 1
2 3 4 5 6
（2） 点数 1
2
3
4
5
6
（3） 点数
1
2
3
4
5
6
例1 从字母a、b、c、d中任意取出 两个不同字母的试验中，有哪些基本 事件？
解：所求的基本事件共有6个： A={a,b}，B={a,c}， C={a,d}，D={b,c}， E={b,d}，F={c,d}，
9 所以检测出不合格产品的概率是：15 ＝0.6
答：检测出不合格产品的概率是0.6.
探究：随着检测听数的增加，查出不合格产品的概率 怎样变化？为什么质检人员都采用抽查的方 法而不采 用逐个检查的方法？ 点拨： 检测的听数和查出不合格产品的概率如下表：
检测听数 概率
1
2
3
4
5 1
6 1
0.333 0.6
则每个基本事件发生的概率
2、若某个随机事件 A 包含 m 个基本
1 P n
m 事件，则事件 A 发生的概率 PA n
事件A包含的基本事件数 即PA 试验的基本事件总数
古典概型1教学设计与教学反思
古典概型1教学设计与教学反思古典概型是概率论中的基础概念之一，广泛应用于教学设计和教学反思。
本文将介绍古典概型的基本概念和教学设计中的应用，并结合实际案例对教学反思进行分析和总结。
一、古典概型的基本概念古典概型是指在具有相同概率的有限个事件中，每个事件发生的可能性都相等。
在数学中，古典概型可以用以下的公式表示：P(E) = S(E)/S，其中P(E)表示事件E发生的概率，S(E)表示事件E 发生的样本空间，S表示总的样本空间。
二、教学设计中的古典概型应用在教学设计中，古典概型可以用来确定教学目标和制定教学计划。
例如，在数学教学中，老师可以通过古典概型来确定学生熟悉程度，从而确定教学内容和难度。
古典概型还可以用于设计教学活动，例如通过抽签或摇骰子等方式进行实验，来帮助学生理解古典概型的概念和应用。
三、教学反思中的古典概型应用在教学反思中，古典概型可以用来评估教学效果和改进教学方法。
通过分析学生在实际学习中的表现和成绩，可以计算古典概型中的事件发生概率，进而评估教学的有效性。
如果学生在某个事件中的成绩普遍较低，可能说明教学内容或方法需要进行调整和改进。
四、案例分析：数学教学中的古典概型应用以数学教学为例，假设某位老师正在教授二年级学生有关颜色的知识。
老师使用了古典概型的方法来设计教学活动和评估学生的学习效果。
首先，老师为学生准备了不同颜色的球，如红、黄、蓝、绿。
然后，老师通过演示和解释，让学生了解每个颜色球出现的概率都是相同的，即古典概型。
接着，老师让学生自己抽取一个球，观察其颜色，并记录下来。
通过多次实验，学生可以得到每种颜色球出现的频率，并计算古典概型中每个事件发生的概率。
最后，老师根据学生的实际表现和计算结果，进行教学反思。
如果学生的计算结果与理论预期相符，说明教学效果较好；如果出现偏差较大或学生理解困难，可能需要调整教学内容或方法。
通过以上案例可以看出，古典概型在教学设计和教学反思中具有重要的应用价值。
古典概型1
作业: p97习题 习题2 作业: p97习题2、3、4、8
补充： 补充： 古典概型解题步骤
(1)阅读题目，判断是不是古典概型 阅读题目， 阅读题目 (2) 用字母表示事件 用字母表示事件A (3)求出基本事件总数 和事件 所包含 求出基本事件总数n和事件 求出基本事件总数 和事件A所包含 的结果数m 的结果数 (4)用公式 用公式P(A)=m/n求出概率并下结论 用公式 求出概率并下结论
谢谢! 谢谢! 再见! 再见!
例4: 用三中不同颜色给3个矩形随机涂色, 用三中不同颜色给3个矩形随机涂色,每个矩 形只涂一种颜色, 形只涂一种颜色,求: 3个矩形颜色都相同的概率 个矩形颜色都相同的概率; (1) 3个矩形颜色都相同的概率; (2) 3个矩形颜色都不同的概率; 3个矩形颜色都不同的概率 个矩形颜色都不同的概率; (3)至少有两个矩形颜色相同的概率。 (3)至少有两个矩形颜色相同的概率。 至少有两个矩形颜色相同的概率
[P95思考]:你能求出上述第二代的种子 [P95思考]:你能求出上述第二代的种子 思考]: (DD, Dd, dD, dd,)经自花传粉得到的第三 ) 子代为高茎的概率吗? 子代为高茎的概率吗? 有以下可能的基本结果： 有以下可能的基本结果： 可得： ， ， ， ①DD与DD可得：DD，DD，DD，DD 与 可得 可得： ② Dd与Dd可得： DD, Dd, dD, dd 与 可得 可得： ③ dD与dD可得： DD, Dd, dD, dd 与 可得 可得： ④ dd与dd可得： DD, Dd, dD, dd 与 可得 个基本事件， 个显高茎， 共16个基本事件，其中有 个显高茎， 个基本事件 其中有10个显高茎 所以自花传粉第三子代显高茎的概率为 10/16=5/8=62.5%
古典概型1
问题6：在使用古典概型的概率公式时， 应该注意什么？
注意（1）要判断该概率模型是不是古典概型； （2）要找出随机事件A包含的基本事件 的个数和试验中基本事件的总数。
总结求基本事件总数的方法有：1坐标法，2树状图！
五、当堂训练,巩固提高
1、同时抛掷1角与1元的两枚硬币，计算： (1)两枚硬币都出现正面的概率是 0.25 (2)一枚出现正面，一枚出现反面的概率是 0.5
解：所求的基本事件共有6个：
A { a , b} D {b , c }
B {a , c}
C {a , d }
E {b , d }
F {c , d }
变式1：从字母 a , b , c , d 中任意取出三个字母 的试验中，有哪些基本事件？
分析：
A a , b , c
（3）如图，某同学随机地向一靶心 进行射击，这一试验的结果只有有限个： 命中10环、命中9环……命中5环和不中 环。你认为这是古典概型吗？为什么？
例1 从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基 本事件？ 分析：
b
a c d b d
c
c d
树状图
我们一般用列举法列出所有 基本事件的结果，画树状图是列 举法的基本方法。 分步完成的结果(两步以上) 可以用树状图进行列举。
C a , c , d
B a , b , d
D b , c , d
变式2：从甲、乙、丙三个同学中选出2个 同学去参加数学竞赛，有哪些基本事件？ {甲，乙} {甲，丙} {乙，丙}
变式3：从甲、乙、丙三个同学中选出2个 同学去参加数学竞赛和语文竞赛，有哪些 基本事件？ （甲，乙） （乙，甲） （甲，丙） （丙，甲） （乙，丙） （丙，乙）
3.2古典概型(1)
I
答 共有10个基本事件 , 摸出两只球都是白球的概率为3 / 10.
例 2 豌 豆的高矮性 状的遗传由一对基因决定, 其中决 定高的基因记为 , 决定矮的基因为d , 则杂交所得第一 D 子代的一对基因为 .若第二子代的 , d 基因的遗传是 Dd D 等可能的, 求第二子代为高茎的 概 率 ( 只 要有基因D 则 其就是高茎 只有两个基因全是d 时, 才显现矮茎) . , 分析 由于第二子代的 D, d 基因的 遗 传 是 等可能, 可以 将各种可能的遗传情形都枚举出来 . 称 D 为显性基因 d 为隐性基因 , .
2如图, 上述10个基本事件发生
的可能性相同 , 且只有3个基本事 件是摸到两只白球记为事件A, 即1,2, 1,3, 2,3, 故P A 3 / 10.
1,2 1,4 1,5 1,3 2,3 2,4 2,5 3,4 3,5 4,5
自主检测
Ｐ97 .练习：1
把 " 抽到红心" 记为事件B , 那么事件B 相当于" 抽 到红心1"、抽到红心2 "、抽到红心3 " 这 3 种情况, " " 而" 抽到黑桃 " 相当于" 抽到黑桃4 "、 "黑桃 5 " 这两 种情况,由于是任意抽取的, 可以认为出现这 5 种 情况的可能性都相等 . 当抽到红心1, 2, 3 这 的概率为PB . 5 在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基 本事件 ele mentary event .如在上面的问题中, "抽 到红心1 "即为一个基本事件.在一次试验中, 每个基 本事件发生的可能性都相同, 则称这些基本事件为 等可能事件 .
古典概型1
古典概率计算公式
A包含的基本事件的个数 P( A) 基本事件的总数
案例分析
2.同时掷两颗质地均匀的骰子，计算： (1)一共有多少种不同的结果？ (2)其中向上的点数之和是5的结果有多少 种？ (3)向上的点数之和为5的概率是多少？ (4)向上的点数之和超过8的概率是多少？ (5)向上的点数之和为13的概率是多少？
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
3. 5本不同的语文书，4本不同的数学书， 从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学 书的概率为多少？ 语文书编号为1、2、3、4、5， 数学书编号为a、b、c、d。 2 1 1 1 1 3 2 2 3 2 4 3 3 4 4 1 5 2 5 3 5 4 5 5 4 a a a a a b b b b b c c c c c d d d d d
A.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
B.每个基本事件出现的可能性相等
古典概型
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有 限个； (有限性)
(2)每个基本事件出现的可能性相等。 (等可能性) 具有这两个特点的概率模型称为古典概率 模型，简称古典概型
案例分析
1. 判断下列随机试验是否为古典概型， 并说明理由。 是 (1)抛掷两枚质地均匀的硬币；
(2)掷一颗质地均匀的骰子
1点、2点、3点、4点、5点、6 点 (3)从a、b、c、d 4个字母中任意取出2个不 同字母
ab、ac、ad、bc、bd、 cd
①这些可能结果是随机事件吗？它们有何特点？
A.任何两个基本事件是互斥的 B.任何事件（除不可能事件）都可表示成基本 事件的和
②三个试验的共同点是什么？
(2)向一个圆面内随机地投一个点，且该点落 在圆内任意一个地方是等可能的； 不是
古典概型课件1(苏教版必修3)
典型例题解析
解析
首先确定样本空间中的样本点总数为1，然后确定事件“射手在一次射击中不够8环”的样本点个数为1-0.24-0.28-0.19，最后利用概率的定义求解概率。
例题1
从5个红球和3个白球中任取3个球，求取出的3个球中恰有2个红球的概率。
解析
首先确定样本空间中的样本点总数为C(8,3)，然后确定事件“取出的3个球中恰有2个红球”的样本点个数为C(5,2)C(3,1)，最后利用概率的定义求解概率。
P(A|B) = P(A)。
事件独立性判断方法
01
04
05
06
03
02
定义法：若P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。
等价条件法：以下四个条件等价，可用于判断事件独立性
P(AB) = P(A)P(B)。
P(B|A) = P(B)。
P(A∩B) = P(A)P(B)/P(S)，其中S为样本空间。
伯努利试验定义及性质
二项分布公式及期望方差计算
01
二项分布公式：在$n$重伯努利试验中，事件$A$恰好发生$k$次的概率为
02
$P(X=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$
03
其中，$X$表示事件$A$发生的次数，$k=0,1,2,ldots,n$。
04
期望与方差计算
05
期望：$E(X)=np$
古典概型中常见错误类型及纠正方法
Part 05
忽视等可能性导致错误
在投掷一枚不均匀的硬币时，认为正面和反面出现的概率相等。
在解决古典概型问题时，必须确保每个样本点出现的可能性相等。对于不均匀硬币，应通过实验或理论计算来确定正面和反面出现的真实概率。
第32课时7.2.1古典概型(1)
第32课时7.2.1古典概型知识网络基本事件⇒等可能事件⇒古典概型⇒计算公式．学习要求1、理解基本事件、等可能事件等概念；正确理解古典概型的特点；2、会用枚举法求解简单的古典概型问题；掌握古典概型的概率计算公式。
【课堂互动】自学评价1、基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．2、等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。
3、如果一个随机试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件的发生都是等可能的；那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型．4、古典概型的概率：如果一次试验的等可能事件有n个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是1n；如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为()mP An=．【精典范例】例1 一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，２只黑球，从中一次摸出两个球，(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的两个都是白球的概率是多少？【分析】可用枚举法找出所有的等可能基本事件．【解】(1)分别记白球为1,2,3号，黑球4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1,2号球用(1,2)表示）：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3)(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)因此，共有10个基本事件．（2）上述10个基本事件法上的可能性是相同的，且只有3个基本事件是摸到两个白球（记为事件A），即(1,2),(1,3),(2,3,)，故3()10P A=∴共有10个基本事件，摸到两个白球的概率为310；例 2 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd，若第二子代的,D d基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因D则其就是高茎，只有两个基因全是d时，才显现矮茎）．分析：由于第二子代的,D d基因的遗传是等可能的，可以将各种可能的遗传情形都枚举出来．【解】Dd与Dd的搭配方式共有４中：,,,DD Dd dD dd，其中只有第四种表现为矮茎，故第二子代为高茎的概率为30.754=答：第二子代为高茎的概率为0.75．思考：第三代高茎的概率呢？例3 一次抛掷两枚均匀硬币．（1）写出所有的等可能基本事件；（2）求出现两个正面的概率；【解】（1）所有的等可能基本事件为：甲正乙正，甲正乙反，甲反乙正，甲反乙反共四个．（2）由于这里四个基本事件是等可能发生的，故属古典概型．14,14n m P==∴=，．例4 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率．【分析】掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型．【解】这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）所以基本事件数n=6，事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），其包含的基本事件数m=3，所以，P（A）=nm=63=21=0.5．【小结】利用古典概型的计算公式时应注意两点：（1）所有的基本事件必须是互斥的；（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏．例5 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 【解】每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a 1，a 2）和（a 1，b 1），（a 2，a 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，用A 表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则A=[（a 1，b 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）]，事件A 由4个基本事件组成，因而，P （A ）=64=32． 追踪训练1、在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是（ B ）A ．4030 B ．4012 C ．3012 D ．以上都不对2、盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是（ C ） A ．51 B ．41 C ．54 D ． 101 3. 判断下列命题正确与否.(1)掷两枚硬币,可能出现“两个正面”,“两个反面”,“一正一反”3种结果;(2)某袋中装有大小均匀的三个红球,两个黑球,一个白球,那么每种颜色的球被摸到的可能性相同;(3)从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同;(4)分别从3名男同学,4名女同学中各选一名作代表,那么每个同学当选的可能性相同. 解：四个命题均不正确.(1)应为4种结果,还有一种是”一反一正”;(2)摸到红球的概率为12,摸到黑球的概率为13,摸到白球的概率为16;(3)取到小于0的数字的概率为47,取到不小于0的数字的概率为37;(4)男同学当选的概率为13,女同学当选的概率为14. 4、有甲,乙,丙三位同学分别写了一张新年贺卡然后放在一起,现在三人均从中抽取一张. （1）求这三位同学恰好都抽到别人的贺卡的概率.（2）求这三位同学恰好都抽到自己写的贺卡的概率.解：(1)其中恰好都抽到别人的贺卡有②③①,③①②两种情况,故其概率为12163P ==. (2)恰好都抽到自己的贺卡的概率是216P =.。
3.2.1 古典概型1 课件(人教A版必修3)
• 初学者常会产生下面错解：从中摸出一球 的可能结果有两种“黑球”、“白 球”．则摸出一黑球的概率为 . • 错因在于：黑球数多于白球数，因此摸到 黑球的机会就大于摸到白球的机会，它们 不是等可能的．因此，确定基本事件时一 定要注意等可能性．
• 4 ．学习概率的核心问题是了解随机现象 和概率的意义，理解古典概型与几何概型 的特征，初步学会把一些实际问题转化为 古典概型和几何概型．因此本节重点是弄 清什么样的实际问题可化为古典概型，不 是“如何计数”，但是掌握简单的古典概 型的计算中基本的计数方法是必要的，应 注意以下几点： • (1) 求基本事件总数和事件 A 所包含的基本 事件数，可采用一一列举或图表的形式(如 平面直角坐标系中的点)来直观描述．
• 3 ．古典概型中基本事件的概率和某事件 A 的概 率计算． • (1) 掷硬币试验中，出现正面朝上的概率与反面 朝上的概率相等，由概率的加法公式得： • P(“正面朝上”) ＋P(“反面朝上”)＝P(必然事 件 ) ＝ 1. 所以， P(“正面朝上” ) ＝ P(“反面朝 上”)＝ . • 一般地，对于古典概型，如果试验的n个基本事 件为A1，A2，„，An，由于基本事件是两两互斥 的，所以有 • P(A1)＋P(A2)＋„＋P(An)＝P(A1∪A2∪„∪An)＝ P(必然事件)＝1，又因为每个基本事件发生的可 能性相等，即P(A1)＝P(A2)＝„＝P(An)，代入上 式得
• 2．古典概型的一次试验中“可能结果”(即基本事件)的 个数．
• 一次试验中的“可能结果”实际上是针对特学站成一排，计算 甲站在中间的概率时，若从三个同学的站位来看，共有 “甲乙丙”“甲丙乙”“乙甲丙”“乙丙甲”“丙甲 乙”“丙乙甲”六种结果，若仅从甲的站位看，则可能 结果只有三种，即站“左边”“中间”“右边”．因此 在求古典概型的事件 A 时，一定要把基本事件数搞清， 请牢牢把握关键点是：所有可能的基本事件数和事件 A 所含的基本事件数必须站在同一角度看问题，一开始把 握不准时，可用逐个列举的办法以防失误．
古典概型(1)
• 例2： • 掷一枚质地均匀的骰子，求掷得奇数点的概率.
解：这个试验有6个基本事件:｛1｝,｛2｝,｛3｝,｛4｝,｛5｝, ｛6｝ 即n=6，
记事件A=｛掷得奇数点｝共有3个，即m=3
所以， P（A）= 3/6 = 0.5
小结:解这类解答题的规范表述:先列出总的基 本事件,而A事件可以不列出,只要说出他的个 数.
问题引入：
有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其牌 点向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的 牌为红心的概率有多大？
从化四中高二备课组
古 典 概 型（1）
• 学习目标 • 1、能说出基本事件的特点并会写出事件 A
的基本事件； • 2、能说出并理解古典概型的特点及其概率
计算公式； • 3、会用求解；简单的古典概型问题 .
古 典 概 型（1）
自主探究1
• 1、带着下列问题，阅读教材125页内容： • 基本事件的特点是什么？应该怎样理解？
古 典 概 型（1）
1、基本事件
考察两个试验基，本结事果是件什的么概？念和特点结什果么：？
(1)掷一枚质地均匀的硬币的试验 “正面向上”, “反面向 (2)掷一枚质地均匀的骰子的试验 结上果”：“1点”、“2点”、
试验；
• (2)从数字1，2，3，4中任意取出两个不同数字组 成一个两位数的试验.
小结：列举基本事件时要做到既不重复，也不遗漏。
思考:观察上面的练习和两个模拟试验有什么共同点?
古 典 概 型（1）
2、古典概型
我们发现，以上练习和试验有两个共同特点：
(1) 在试验中所有可能出现的基本事件只有有 限个 (有限性)；
2、古典概型的特点：
古典概型1
③列表法：适合求较复杂问题中的基本事件数
例如，从编号为 1,2,3 的 3 个白球中逐一取两个球(有放回) 基本事件有多少个？
白1 白2 白3 白1 白1白1 白1白2 白1白3 白2 白2白1 白2白2 白2白3 白3 白3白1 白3白2 白3白3 所求基本事件有9个．
§3.2 古典概型
高考要求：
1．考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与 互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点． 2． 在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查， 考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主．
掌握古典概型的概念、 古典概型的概率计算公式及 使用条件.
一、基础知识 1.基本事件
高考链接
【2012 高考安徽文 10】袋中共有 6 个除了颜色外完全 相同的球，其中有 1 个红球，2 个白球和 3 个黑球，从 袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 （
B
5
3 （C） 5
4 （D） 5
高考链接
【2012 高考江苏 6】 现有 10 个数， 它们能构成一个以 1 为首项，-3 为公比的等比数列，若从这 10 个数中随机 0.6 抽取一个数，则它小于 8 的概率是
高考链接
【2011 江苏 5】从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个 数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为 1/3
高考链接
【2011 福建理 13】 盒中装有形状、 大小完全相同的 5 个球， 其中红色球 3 个，黄色球 2 个。若从中随机取出 2 个球， 则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 0.6
4.在求基本事件的总数时，常用方法有： ①列举法：适合于较简单的问题
例如：一个盒子中装有 5 个完全相同的球，分别标 记号码 1、2、3、4、5，从中任取一球，观察球的号码， 写出这个试验的基本事件．
高中数学-古典概型(一)
古典概型(一)高中数学 1.理解古典概型的概念及特点.2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题．导语 研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小．对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率(probability)，事件A的概率用P(A)表示．我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值．能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？一、古典概型的定义问题1 我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？提示 样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等．知识梳理 一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．例1 下列概率模型是古典概型吗？为什么？(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率．解 (1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾．(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．反思感悟 古典概型需满足两个条件(1)样本点总数有限．(2)各个样本点出现的可能性相等．跟踪训练1 下列问题中是古典概型的是( )A ．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B ．掷一枚质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率C ．在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率D ．同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率答案 D解析 A ，B 两项中的样本点的出现不是等可能的；C 项中样本点的个数是无限多个；D 项中样本点的出现是等可能的，且是有限个．故选D.二、古典概型概率的计算问题2 在掷骰子的试验中，记A 事件为“点数为偶数”，A 事件包含哪些样本点？A 事件发生的概率是多少？提示 A ＝{2,4,6}．对于抛掷骰子试验，出现各个点的可能性相同，记出现1点，2点，…，6点的事件分别为A 1，A 2，…，A 6，记事件“出现偶数点”为B ，则P (A 1)＝P (A 2)＝…＝P (A 6)，又P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A 6)＝P (必然事件)＝1，所以P (A 1)＝P (A 2)＝…＝P (A 6)＝，P (B )＝＝.163612知识梳理 一般地，设试验E 是古典概型，样本空间Ω包含n 个样本点，事件A 包含其中的k 个样本点，则定义事件A 的概率P (A )＝＝.kn n (A )n (Ω)例2 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求：(1)样本空间的样本点的总数n ；(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；(3)摸出2个黑球的概率．解 由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型．(1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，共有6个样本点，所以n ＝6.(2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共有3个样本点．(3)样本点总数n ＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数m ＝3，故P ＝＝，即摸出36122个黑球的概率为.12反思感悟 利用古典概型概率计算公式计算概率的步骤(1)确定样本空间的样本点的总数n .(2)确定所求事件A 包含的样本点的个数m .(3)P (A )＝.mn 跟踪训练2 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________．答案 23解析 从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P ＝＝.4623三、较复杂的古典概型的概率计算例3 先后抛掷两枚质地均匀的骰子．(1)求点数之和为7的概率；(2)求掷出两个4点的概率；(3)求点数之和能被3整除的概率．解 如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36个，且每个样本点出现的可能性相等．(1)记“点数之和为7”为事件A ，从图中可以看出，事件A 包含的样本点共有6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P (A )＝＝.63616(2)记“掷出两个4点”为事件B ，从图中可以看出，事件B 包含的样本点只有1个，即(4,4)．故P (B )＝.136(3)记“点数之和能被3整除”为事件C ，则事件C 包含的样本点共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P (C )＝＝.123613反思感悟 在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便．跟踪训练3 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率．解 (1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共15个．所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，共3个，则所求事件的概率为P ＝＝.31515(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，共9个．包括A 1但不包括B 1的事件所包含的样本点有(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，共2个，则所求事件的概率为P ＝.291．知识清单：(1)古典概型．(2)古典概型的概率公式．2．方法归纳：常用列举法(列表法、树状图)求样本点的总数．3．常见误区：在列举样本点的个数时，要按照一定顺序，做到不重、不漏．1．(多选)下列试验是古典概型的是( )A ．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率B ．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率C ．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率D ．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率答案 BD解析 A 不是等可能事件，C 不满足有限性．2．在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率是( )A ．0.02 B ．0.05C ．0.1 D ．0.9答案 C解析 由题意知，该题是一个古典概型，因为在50瓶牛奶中任取1瓶有50种不同的取法，取到已过保质期的牛奶有5种不同的取法，根据古典概型公式求得概率是＝0.1.故选C.5503．将一枚骰子先后投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数的概率为________．答案 736解析 将一枚骰子投掷两次，样本点个数为36，且每个样本点出现的可能性相等，其中“将一枚骰子投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数”所包含的样本点有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(5,5)，(6,4)，(4,6)，共7个，故“将一枚骰子先后投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数”的概率为.7364．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是________．答案 0.2解析 两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的样本点有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等，所以P ＝＝0.2.210课时对点练1．下列是古典概型的是( )A ．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点B ．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点C ．在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率D ．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点答案 C解析 A 项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A 不是；B 项中的样本点的个数是无限的，故B 不是；C 项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C 是古典概型；D 项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D 不是．2．一个家庭有两个小孩，则所有可能的样本点有( )A ．(男，女)，(男，男)，(女，女)B ．(男，女)，(女，男)C ．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D ．(男，男)，(女，女)答案 C解析 两个孩子出生有先后之分．3．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为( )A. B. C. D.153103512答案 B解析 样本点总数为10，“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为.3104．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )A. B. C. D.16121323答案 C解析 样本点有：(甲，乙，丙)、(甲，丙，乙)、(乙，甲，丙)、(乙，丙，甲)、(丙，甲，乙)、(丙，乙，甲)，共6个．甲站在中间的样本点包括：(乙，甲，丙)、(丙，甲，乙)，共2个，所以甲站在中间的概率P ＝＝.26135．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A. B. C. D.13122334答案 C解析 试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，数字之和为奇数的有4个样本点，所以所求概率为.236．(多选)投掷一枚质地均匀的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解，其中正确的有( )A ．“出现点数为奇数”的概率等于“出现点数为偶数”的概率B ．只要连掷6次，一定会“出现1点”C ．投掷前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就会加大D ．连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19答案 AD解析 掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是，故A 正确；“出现1点”是随12机事件，故B 错误；概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故C 错误；连续掷3次，若每次都出现最大点数6，则三次之和为18，故D 正确．7．在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．答案 14解析 用列举法知，可重复地选取两个数共有16个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，其中一个数是另一个数的2倍的有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(4,2)共4个样本点，故所求的概率为＝.416148．从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是________．若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是________．答案 310425解析 从5个数字中不放回地任取两数，样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等．因为都为奇数的样本点有(1,3)，(1,5)，(3,5)，共3个，所以所求概率P ＝.从5个数字中有放回的任取两数，310样本点共有25个，且每个样本点出现的可能性相等，都为偶数的样本点有(2,4)，(4,2)，(2,2)，(4,4)共4个，故概率P ＝.4259．袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其它球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个样本点概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为样本点，有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？解 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型．(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个样本点，分别记为A ：“摸到白球”，B ：“摸到黑球”，C ：“摸到红球”．因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为.111因为白球有5个，所以一次摸球摸中白球的可能性为.511同理可知，摸中黑球、红球的可能性均为.311显然这三个样本点出现的可能性不相等，所以以颜色为样本点的概率模型不是古典概型．10．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．(1)共有多少个样本点？(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？解 (1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1,2号球用(1,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．因此，共有10个样本点．(2)上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到两只白球(记为事件A )，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P (A )＝.故摸出2只球都是白球的概率为.31031011．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )A. B. C. D.12131425答案 A解析 把2个红球分别标记为红1、红2,2个白球分别标记为白1、白2，本试验样本空间所包含的样本点共有16个，其中取出的2个球同色包含的样本点有8个：(红1，红1)，(红1，红2)，(红2，红1)，(红2，红2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)．故所求概率P ＝＝.8161212．从集合A ＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的概率为( )A. B. C. D.29134959答案 A解析 直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限，即Error!选取出的两个数记为(k ，b )，则该试验的样本空间Ω＝{(－1，－2)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2,1)，(2,2)}，共9个样本点，符合题意的有(－1,1)，(－1,2)，共2个样本点，所以所求概率为.2913．每年3月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者5名，其中男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为( )A. B. 3525C. D.15310答案 B解析 设3名男生分别用A ，B ，C 表示，2名女生分别用a ，b 表示，则从5人中选出2名青年志愿者的样本空间Ω＝{(A ，B )，(A ，C )，(A ，a )，(A ，b )，(B ，C )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(a ，b )}，共有10个样本点，其中选出的2名志愿者性别相同包含的样本点有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(a ，b )，共有4个，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率P ＝＝.4102514．一次掷两枚均匀的骰子，得到的点数为m 和n ，则关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋4＝0无实数根的概率是________．答案 112解析 总的样本点个数为36，且每个样本点出现的可能性相等．因为方程无实根，所以Δ＝(m ＋n )2－16<0.即m ＋n <4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个样本点．所以所求概率为＝.33611215．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A. B. C. D.192971849答案 D解析 记“|a －b |≤1”为事件A ，由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，则事件A 包含的样本点有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16个，而依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等．因此他们“心有灵犀”的概率P ＝＝.16364916．某区的区大代表中有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A 1，A 2，乙校教师记为B 1，B 2，丙校教师记为C ，丁校教师记为D .现从这6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名．(1)请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部样本点；(2)求教师A 1被选中的概率；(3)求宣讲团中没有乙校教师代表的概率．解 (1)从6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，组成人员的全部样本点有12个，分别为：(A 1，B 1，C )，(A 1，B 1，D )，(A 1，B 2，C )，(A 1，B 2，D )，(A 1，C ，D )，(A 2，B 1，C )，(A 2，B 1，D )，(A 2，B 2，C )，(A 2，B 2，D )，(A 2，C ，D )，(B 1，C ，D )，(B 2，C ，D )．(2)组成人员的全部样本点中，A 1被选中的样本点有(A 1，B 1，C )，(A 1，B 1，D )，(A 1，B 2，C )，(A 1，B 2，D )，(A 1，C ，D )，共5个，所以教师A 1被选中的概率为P ＝.512(3)宣讲团中没有乙校教师代表的样本点有(A 1，C ，D )，(A 2，C ，D )，共2个，所以宣讲团中没有乙校教师代表的概率为P ＝＝.21216。
高一数学人教A版必修3课件：3.2.1 古典概型(1)
观察类比、推导公式
实验一中，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等， P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”） 由概率的加法公式，得 P（“正面朝上”）＋P（“反面朝上”）＝P（必然事件）＝ 因此
1 2 P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）＝
1
即
1 “出现正面朝上”所包含的基本事件的个数 P （“出现正面朝上”)＝ ＝ 2 基本事件的总数
1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
解:(1)把两个骰子标上记号1、2以便区分，可能结果有：
1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
6
进一步地，利用加法公式还可以计算这个试验 中任何一个事件的概率，例如， P（“出现偶数点”）＝P（“2点”）＋P（“4 点”） 3 1 ＋P（“6点”） 1 1 1 ＝ 6 + 6 + 6 = 6 = 6
3 P （“出现偶数点”）＝ 即 6 “出现偶数点”所包含的基本事件的个数 = 基本事件的总数
基本事件的特点：
（1）任何两个基本事件是互斥的；
（2）任何事件(除不可能事件)都可以表 示成基本事件的和。
例1 从字母a、b、c、d任意取出两个不 同字母的试验中，有哪些基本事件？ 解：所求的基本事件共有6个： A={a, b} B={a, c} C={a, d} D={b, c} E={b, d} F={c, d}
古典概型1典型例题
古典概型
【典型例题】
例1．一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，２只黑球，从中一次摸出两个球，
(1)共有多少个基本事件？
(2)摸出的两个都是白球的概率是多少？
分析：可用枚举法找出所有的等可能基本事件．
解：(1)分别记白球为1,2,3号，黑球4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1,2号球用(1,2)表示）：
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3)
(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)
因此，共有10个基本事件．
（2）上述10个基本事件法上的可能性是相同的，且只有3个基本事件是摸到两个白球（记为事件A），即(1,2),(1,3),(2,3,)，故
3
()
10
P A
∴共有10个基本事件，摸到两个白球的概率为
3 10
；
例2．用不同的颜色给右图中的3个矩形随机的涂色，每个矩形只涂一种颜色，求
(1)3个矩形颜色都相同的概率；
(2)3个矩形颜色都不同的概率．
分析：本题中基本事件比较多，为了更清楚地枚举出所有的基本事件，可以画图枚举如下：（树形图）
解：基本事件共有27个；
(1)记事件A＝“3个矩形涂同一种颜色”，由上图可以知道事件A包含的基本事件有
133
⨯=个，故
31
()
279
P A==
(2)记事件B＝“3个矩形颜色都不同”，由上图可以知道事件B包含的基本事件有236
⨯=个，故
62
()
279
P B==
答：3个矩形颜色都相同的概率为1
9
；3个矩形颜色都不同的概率为
2
9
．。
古典概型1
）：一个口袋内装有大小相同的 个红球和3个黄球 例1（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的 个红球和 个黄球， （摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的5个红球和 个黄球， 从中一次摸出两个球。 从中一次摸出两个球。 ⑴问共有多少个基本事件； 问共有多少个基本事件； 分别对红球编号为1、 、 、 、 号 对黄球编号6、 、 解： ⑴分别对红球编号为 、2、3、4、5号，对黄球编号 、7、 8号，从中任取两球，有如下等可能基本事件，枚举如下： 号 从中任取两球，有如下等可能基本事件，枚举如下：
m 15 = n 28
）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ） （1，2）、（ ，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ） （2，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ） （3，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（4， ）、（ ）、（4， ）、（ ）、（4， ） （4，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（5， ）、（ ）、（5， ） （5，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ （6，7）、（ ，8） ， ）、（6， ） ）、（ （7，8） ， ）
例题讲解：
例1（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的 摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的 ）： 个红球和3个黄球，从中一次摸出两个球。 5个红球和3个黄球，从中一次摸出两个球。 ⑴问共有多少个基本事件； 问共有多少个基本事件； ⑵求摸出两个球都是红球的概率； 求摸出两个球都是红球的概率； ⑶求摸出的两个球都是黄球的概率； 求摸出的两个球都是黄球的概率； ⑷求摸出的两个球一红一黄的概率。 求摸出的两个球一红一黄的概率。
古典概型(1)
归纳总结
由以上两问题得到，对于某些随机事件， 由以上两问题得到，对于某些随机事件，也可以不 通过大量重复实验，而只通过对一次实验中可能出现的 通过大量重复实验， 结果的分析来计算概率。 结果的分析来计算概率。 那么，对于哪些随机事件， 那么，对于哪些随机事件，我们可以通过分析其 结果而求其概率？ 结果而求其概率？
必然事件的概率为： 必然事件的概率为：1 不可能事件的概率为： 不可能事件的概率为：0
数学建构
一般地 , 如果随机事件 A 在 n 次试验中发生了 m 次,当试验的次数 n 很大时 , 我们可以将事件 m A 发生的频率 作为事件 A 发生的概率的近 n 似 值, 即 为 P A） （ m P( A) ≈ . n
随机事件的概率
如何确定一个随机事件的概率呢？ 如何确定一个随机事件的概率呢？
数学建构
思考1 在相同的条件S下重复n次试验，若某一事件A 思考1：在相同的条件S下重复n次试验，若某一事件A出 现的次数为m 则称m为事件A出现的频数，那么事件A 现的次数为m，则称m为事件A出现的频数，那么事件A出 现的频率f (A)等于什么 频率的取值范围是什么？ 等于什么？ 现的频率fn(A)等于什么？频率的取值范围是什么？
知识回顾
4.如何确定一个随机事件发生的概率呢？ 如何确定一个随机事件发生的概率呢？ 如何确定一个随机事件发生的概率呢 在相同的条件下进行大量的重复试验，随机事件 在相同的条件下进行大量的重复试验， A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，这 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定， 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定 个常数就是随机事件A发生的可能性大小 即概率。 发生的可能性大小， 个常数就是随机事件 发生的可能性大小，即概率。
第3课时 古典概型(1)
|第3课时古典概型(1)|知识技能1. 结合具体实例，理解古典概型的基本特点．2. 通过样本空间掌握计算古典概型中简单随机事件的概率的方法．思想方法通过对现实生活中古典概型问题的探究，让学生感知应用数学解决实际问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系．核心素养1. 通过掷骰子等试验，归纳古典概型试验的共同特征，进而构建古典概率模型，在此过程中发展学生的数学抽象和数学建模素养．2. 通过对古典概型问题中样本空间和随机事件包含样本点的分析，发展逻辑推理素养．重点：理解古典概型的特征，利用古典概型概率公式计算概率．难点：判断一个试验是不是古典概型，准确写出试验的样本空间和事件包含的样本点．问题导引阅读教材P233～236，思考下面的问题：1. 你能举出几个在日常生活中利用概率决策的例子吗？2. 古典概型有哪些特征？即时体验1. 古典概型的概率计算公式是P(A)＝kn＝n(A)n(Ω).2. 事件A＝“抛掷一枚骰子，结果向上的点数为1”，则P(A)＝1 6.3. 事件B＝“抛掷一枚骰子，结果向上的点数为奇数”，则P(B)＝1 2.提示这个试验的样本空间为Ω＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，样本点共有6个，而B＝{1, 3, 5}，所以由古典概型知P(B)＝36＝12.一、数学运用下列概率模型是古典概型吗？为什么？(1) 从区间(－2, 0)内任意取出一个实数，求取到－1的概率；(2) 抛掷一枚图钉，求图钉钉尖朝上的概率；(3) 抛掷一枚质地均匀的骰子，求朝上一面的点数为偶数的概率．[1](见学生用书课堂本P121)[规范板书]解(1) 不是古典概型，因为区间(－2, 0)内有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，不符合古典概型的“有限性”．(2) 不是古典概型，因为图钉不均匀导致“钉尖朝上”与“钉尖朝下”的概率不相等，不符合古典概型的“等可能性”．(3) 是古典概型，因为试验的所有可能出现的结果是有限的(6种)，而且每个面朝上的可能性相等．[题后反思]一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而不是所有的试验都是古典概型．(1) 向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？(2) 如图，射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环……命中1环和命中0环(即不命中)．你认为这是古典概型吗？为什么？[规范板书]解(1) 试验的所有可能结果是圆面内的所有点．试验的所有可能结果数是无限的．因此，尽管每一个试验结果出现的可能性相同，这个试验也不是古典概型．(2) 试验的所有可能结果只有11个，但是命中10环，命中9环……命中1环和命中0环(即不命中)不是等可能的，这个试验也不是古典概型．[题后反思] 判断随机试验是否为古典概型，抓住古典概型的两个特征：有限性和等可能性，二者缺一不可．[2] 例2是简单古典概型概率的计算．[3] 本例是古典概型的简单实际应用.一个口袋内装有1个白球和编号分别为1, 2, 3的3个黑球，它们的大小、质地相同，从中任意摸出2个球．(1) 写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；(2) 设事件A ＝“摸出的2个球都是黑球”，用集合表示事件A ，并求P (A )．[2](见学生用书课堂本P121)[规范板书] 解 (1) 这个试验的样本空间Ω＝{(白，黑1)，(白，黑2)，(白，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}，且每个样本点是等可能出现的，这个试验是古典概型．(2) A ＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}, n (A )＝3，所以P (A )＝n (A )n (Ω)＝36＝12.[题后反思] (1)求解古典概型问题的操作步骤：①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)；②根据实际问题情境判断样本点的等可能性；③计算样本点个数及事件A 包含的样本点个数，求出事件A 的概率．(2)在用枚举法列出样本点时必须按照某一顺序做到不重不漏．(3)本例解答中，一次摸出2个球没有先后之分，也可分先后顺序(看作有序抽取)，所得概率相同．无论采取哪种方式，样本空间和随机事件观察的角度必须一致，否则容易出错．一只不透明的口袋内装有大小相同的2个白球和2个黑球，从中一次摸出2个球，求摸出的2个球是1个白球和1个黑球的概率．[规范板书] 解 将4个球编号，2个白球分别为白1、白2, 2个黑球分别为黑1、黑2. 设事件A ＝“从4个球中一次摸出2个球，摸出的2个球是1个白球和1个黑球”，则样本空间Ω＝{(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，(黑1，黑2)}，共包含6个样本点．因为4个球的大小相同，所以各个样本点发生的可能性相等，因此这个试验是古典概型．又因为A ＝{(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)}，n (A )＝4，所以根据古典概型可知P (A )＝n (A )n (Ω)＝46＝23，即摸出的2个球是1个白球和1个黑球的概率是23.一次抛掷两枚硬币，观察正面、反面出现的情况，求至少出现一个正面的概率．[规范板书] 解 这个试验的样本空间可记为Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，共包含4个样本点．设事件A ＝“一次抛掷两枚硬币，至少出现一个正面”，则A ＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，A 包含3个样本点，所以根据古典概型可知P (A )＝34.[题后反思] 本题中样本空间易错误地写为{(正，正)，(正，反)，(反，反)}.人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分，这是由对应的基因决定的．生物学上已经证明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因(记为B)，另一种是隐性基因(记为b)；基因总是成对出现(如BB, bB, Bb, bb)，而成对的基因中，只要出现了显性基因，那么这个人就一定是双眼皮(也就是说，“单眼皮”的充要条件是“成对的基因是bb ”)；如果不发生基因突变的话，成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，但父母亲提供基因时都是随机的．有一对夫妻，两人成对的基因都是Bb ，不考虑基因突变，求他们的孩子是单眼皮的概率．[3](见学生用书课堂本P122)[处理建议] 画树状图分析．(例3)[规范板书] 解 用连着写的两个字母来表示孩子的成对的基因，其中第一个字母表示父亲提供的基因，第二个字母表示母亲提供的基因．画出树状图(如图)，可知样本空间中共包含4个样本点，即Ω＝{BB, Bb, bB, bb}．孩子要是单眼皮，成对的基因只能是bb ，因此根据古典概型可知所求概率为14.[题后反思] 若我们考虑的样本空间为Ω＝{BB, Bb, bb}，那么事件“他们的孩子是单眼皮”只包含Ω中的一个样本点bb ，但由此并不能得出该事件发生的概率为13，因为样本空间Ω＝{BB, Bb, bb}中的各个基本事件不具有等可能性．因此，用古典概型求概率时，要选择合适的方式表示样本点及样本空间，以使得基本事件具有等可能性，并且使所考察的事件能表示为样本空间的子集．豌豆的黄绿色性状的遗传由其一对基因决定，其中决定黄色的基因记为D ，决定绿色的基因记为d ，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd.若第二子代的D, d 基因的遗传是等可能的，求第二子代为黄色的概率(只要有基因D 就是黄色，只有两个基因全是d 时，才显现绿色)．(例2变式)[处理建议] 由于第二子代的D, d 基因的遗传是等可能的，可以将各种可能的遗传情形都列举出来，写出所有的样本点．[规范板书] 解 由于第二子代的D, d 基因的遗传是等可能的，故来自父方的配子D, d 与来自母方的配子D, d 随机组合，共有4种可能(如图)，即样本空间Ω＝{DD, Dd, dD, dd}．设事件A ＝“第二子代为黄色”，则A ＝{DD, Dd, dD}，因此，P (A )＝34.答：第二子代为黄色的概率为34.二、 课堂练习1. (多选)下列概率模型中是古典概型的是(ABD)A. 从4名同学中选2人参加数学竞赛，求每人被选中的概率B. 抛掷一枚骰子，求朝上的面的点数为1的概率C. 求近三天中有一天降雨的概率D. 4人站成一排，求甲、乙相邻的概率2. 下课以后，教室里还剩2名男生和1名女生，若他们依次走出教室，则第2个走出教室的是女生的概率为(B)A.12B. 13C. 14D. 153. 有100张卡片(从1～100编号)，从中任取一张，取得卡号是9的倍数的概率为11100.4. 从甲、乙、丙、丁四人中随机选三名代表，则甲入选的概率为34，甲不入选的概率为14.5. 一只口袋内装有除颜色外完全相同的2个白球、2个黑球、2个红球，若从中任意摸出2个小球，则摸出的2个小球是同一种颜色的概率为15.三、 课堂小结1. 古典概型的基本特征：一是样本点的有限性，二是样本点发生的等可能性．这两条缺一不可．2. 古典概型的概率计算公式：P(A)＝A包含的样本点个数Ω包含的样本点总数＝n(A)n(Ω).3. 计算样本点时，要按一定的顺序或规律来写(可借助列表、画树状图)，做到不重不漏.。
古典概型(1)
全员合作探究
探究一： 观察对比，两个模拟试验和例1都有什么共 同特点？
试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币
所有可能出现的基本事件有两 个， 由于质地均匀， 每个基本事件出现的可能性都相等，都是1/2
试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子
1点
2点
3点
4点
5点
6点 掷骰子试验
所有可能出现的基本事件有来6个，由于质地均匀 每个基本事件出现的可能性都相等，都是1/6；
A所包含的基本事件的个数 P （A）＝ 基本事件的总数
求古典概型的步骤：
• • • • （1）判断是否为等可能性事件； （2）列举所有基本事件的总结果数n． （3）列举事件A所包含的结果数m． （4）计算
注意： 古典概型，常用列举法
全员合作探究
探究三 例2、 单选题是标准化考试中常用的题 型,一般是从A、B、C、D四个选项中选 择一个正确答案.如果考生掌握了考查的 内容,他可以选择唯一正确的答案.假设考 生不会做,他随机地选择一个答案,问他答
1 0.0667 15
小结
1.基本事件的特点: （1）在同一试验中，任何两个基本事件是互斥的； （2）任何事件(除不可能事件外)都可以表示成几个基 本事件的和。 2．古典概型： （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
（有限性）
（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性） 这样两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称 古典概型。 3．古典概型下计算任何事件的概率计算公式为：
全员合作探究
探究二： 在古典概型下,基本事件出现的概率是多 少?随机事件出现的概率如何计算?
对于掷一枚质地均匀的硬币的试验,出现正面 向上的概率与反面向上的概率相等,即 P(“正面向上”)=P(“反面向上”)
古典概型1
执教时间______年_____月_____日（第____周星期____） 累计______节第 十二 章 概率、随机变量及其分布 第二节 古典概型 课题古典概型 课型 复习 共 2节，本节是_1节 教学目标1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率. 教学重点古典概型及其概率计算公式 教学难点 随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率教学程序 教学调控一、考题引路—释考纲1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”．( )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )(3)从市场上出售的标准为500±5 g 的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．( )2．一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是( )A.14B.13C.12D.233．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为( )A.25B.415C.35D.23考纲解读：全国Ⅰ对古典概型每年都会考查，主要考查实际背景的可能事件，通常与互斥事件、对立事件一起考查．在高考中单独命题时，通常以选择题、填空题形式出现，属于中低档题；与统计等知识结合在一起考查时，以解答题形式出现，属中档题.二、典例分析—讲良方例1．袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？例2、一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．三、拓展变式—悟思想拓展（1）袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为________．(2)我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A发生的概率为________．引申探究1．本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2，3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率．2．本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率．四、归纳总结—成素养1、方法小结：求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．2、布置作业：教学反思：。
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2．若抛掷一枚骰子，它落地时向上的点数 为3的概率是多少？ 为什么？
归纳：
由以上问题得到，对于某些随机事件，也可 以不通过大量重复实验，而只通过对实验中可能 出现的结果来分析计算概率。
那么，对于哪些随机事件，我们可以通过分 析其结果求其概率呢？
1．从事件发生与否的角度可将事件分为哪几类？
必然事件、不可能事件、随机事件
2．概率是怎样定义的？
一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试
验的次数n很大时，我们可以将事件A发生的频率 作为
事件A发生的概率的近似值，
即
P( A) m ,(其中P(A)为事件A发生的概率)
3、概率的性质：n 0≤P（A）≤1；
解: (1)分别记白球1,2,3号，红球为4,5号,从中摸出2只球, 有如下基本事件（摸到1，2号球用（1，2）表示）： （1，2）（1，3）（1，4）（1，5） （2，3）（2，4）（2，5） （3，4）（3，5） （4，5） 故共有10个基本事件
(2)记摸到2只白球的事件为事件A， 即（1，2）（1，3）（2，3）故 P(A)= 3/10
3
（3，1）（（33，，22）） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4
（（44，，11）） （4，2） （4，3） （4，4）（4，5） （4，6）
5
（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6
（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。
（2）在上面的结果中， （3）由于所有36种结果是等可 向上的点数之和为5的 能的，其中向上点数之和为5的 结果有4种，分别为： 结果（记为事件A）有4种，则
（1，4）,（2，3）, （3，2）,（4，1）。
P（A）＝
A所包含的基本事件的个数 基本事件的总数
我们将满足（1）（2）两个条件的随机试验的概率
模型称为古典概率模型，简称古典概型。
古典概型的概率
个，如那果么一每次一试个验基的本等事可件能的基概本率事都件是共1有。n
n
如果某个事件A包含了其中m个基本事件， 那么事件A的概率
P( A) m n
例1、 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球， 2只红球，从中一次摸出两只球. (1)共有多少基本事件 (2)摸出的两只球都是白球的概率是多少？
2号骰子 1号骰子
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
（1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
（2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
（3，1） （(33,，2)2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
（(44,，1)1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
P(Ω)＝1，P(φ)=0.
1、问题：对于随机事件，是否只能通过 大量重复的实验才能求其概率呢？
大量重复试验的工作量大，且试验数据不 稳定，且有些时候试验带有破坏性。
1．考察抛硬币的实验，在实验之前你也可以 想到抛一枚硬币，正面向上的概率为 1 ?
2
原因:（1）抛一枚硬币，可能出现的 结果只有两种；
＝
4 36
＝
1 9
为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号 会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？
如果不标上记号，类似于（3，6）和（6，3）的结果 将没有区别。
为什么要把两个骰子标上记号？如果不3，6）和（6，3）的结果 将没有区别。
用A来表示“两数都是奇数”这一事件，则 A={(13)，(15)，(3,5)}
∴m=3
∴P(A)= 3 10
偶数呢？一个是奇数，一个是偶数呢？
变1.一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个 黄球，从中一次摸出两个球。
⑴问共有多少个基本事件； ⑵求摸出两个球都是红球的概率；
⑶求摸出的两个球都是黄球的概率； ⑷求摸出的两个球一红一黄的概率。
共有36个不同的结果，其中至少有一个5点或6点的结果有
20个.
所以至少有一个5点或6点的概率为： P
例2.同时掷两个骰子，计算： （1）一共有多少种不同的结果？ （2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？ （3）向上的点数之和是5的概率是多少？
2号骰子 1号骰子
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）（1，2） （1，3）（（1，1，44）） （1，5） （1，6）
2
（2，1） （2，2）（（22，，33）） （2，4）（2，5） （2，6）
（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
P（A）＝
A所包含的基本事件的个数 基本事件的总数
＝
2 21
例3.同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率． 解法1：同时投掷两枚骰子，可能结果如下表：
求古典概型的步骤：
• （1）判断是否为等可能性事件；
• （2）计算所有基本事件的总结果数n． • （3）计算事件A所包含的结果数m．
• （4）计算 P( A) m n
练习、从1，2, 3，4, 5五个数字中，任取两数， 求两数都是奇数的概率.
解：试验的基本事件有
(12) , (13), (14) ,(15) ,(23), (24), (25), (34) ,(35) ,(45)
（3）所取的2个球中都是红球的概率是 ？ （4）取出的两个球一白一红的概率是?
解：（3）则基本事件仍为10个，其中两个球都是
红球的事件包括1个基本事件，所以，所求事件的
概率为 1
10
解：（4）则基本事件仍为10个，其中取出的两个
球一白一红的的事件包括6个基本事件，所以，所
求事件的概率为
6 3 10 5
（1）对于每次实验，只可能出现有限个不同 的实验结果
（2）所有不同的实验结果，它们出现的可能 性是相等的
在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为 基本事件. 每一个基本事件发生的可能性都相同则称这些 基本事件为等可能基本事件.
通过以上两个例子进行归纳： (1)所有的基本事件只有有限个。 (2)每个基本事件的发生都是等可能的。