古典概型(老)1

次品
正品
M件 次品
N-M件
正品
这是一种无放回抽样.
……
例4 n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆， 每堆2只 . 问:“各堆都自成一双鞋”(事件A) 的概率是多少？
解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只 的分法总数为
( 2 n )! ( 2 n )! n 2!2! 2! 2

而出现事件A的分法数为n!,故
因为抽取时这些球是 完全平等的，我们没有理 由认为10个球中的某一个 会比另一个更容易取得 . 也就是说，10个球中的任 一个被取出的机会是相等 的，均为1/10.
10个球中的任一个被取 出的机会都是1/10
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
我们用 i 表示取到 i号球， i =1,2,…,10 . 则该试验的样本空间 S={1,2,…,10} , 且每个样本点(或者说 基本事件)出现的可能 性相同 .
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 一类型：
某城市每周发生7次车祸，假设每天发生 车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸 的概率. 车祸
天 你还可以举出其它例子，留作课下练习.
请看演示 “平分赌金问题”
这一讲，我们介绍了古典概型. 古典概型 虽然比较简单，但它有多方面的应用. 箱中摸球 分球入箱
k n
k n
C 常记作
k n
k n
n k
，称为组合系数。
P C k!
k n
3、组合系数与二项式展开的关系
n 组合系数 k
又常称为二项式系数，因为
它出现在下面的二项式展开的公式中：
n k n k ( a b ) a b k k 0
n! n!2 n P ( A) n ( 2 n )! / 2 ( 2 n )!
请看下面的演示 分球入箱问题
以球、箱模型为例给出一类常见的 古典概型中的概率计算
需要注意的是：
1、在应用古典概型时必须注意“等可能性” 的条件. “等可能性”是一种假设，在实际应用 中，我们需要根据实际情况去判断是否可 以认为各基本事件或样本点是等可能的.
例如，某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车,
也可以乘轮船.
火车有两班
甲地 回答是 3 + 2 种方法
轮船有三班
乙地
乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?
基本计数原理 2. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤，
则完成这件事共有 第二个步骤有n2种方法, …； n1 n2 nm 第m个步骤有nm种方法, 种不同的方法 . 必须通过每一步骤, 才算完成这件事， 第一个步骤有n1种方法，
随机取数
是常见的几种模型 .
分组分配
课下可通过作业进一步掌握.
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法.
请看演示 几何概率
几何方法的要点是： 1、设样本空间S是平面上某个区域，它的 面积记为μ(S); 2、向区域S上随机投掷一点，这里“随机 投掷一点”的含义是指该点落入S 内任何 部分区域内的可能性只与这部分区域的面 积成比例，而与这部分区域的位置和形状 无关.
m j1 n n j2 j x j x j1 0 1 j2 0 2
比较两边 xk 的系数，可得
m n k
m n i k i i 0
房
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 一类型： 有n个人，设每个人的生日是任一天的概 率为1/365. 求这n (n ≤365)个人的生日互不相 同的概率. 人 任一天
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 一类型： 有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每 个人在每站下车的概率为1/ N(N ≥ n) ，求指 定的n个站各有一人下车的概率. 旅客 车站
问：在多大程度上认为这样的结果
是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？
解：七个字母的排列总数为7！ 拼成英文单词SCIENCE 的情况数为
22 4
故该结果出现的概率为： 4 1 p 0.00079 7! 1260 这个概率很小，这里算出的概率有如 下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试 验，则我们所关心的事件在1260次试验中 大约出现1次 .
在许多场合，由对称性和均衡性，我 们就可以认为基本事件是等可能的并在此 基础上计算事件的概率.
2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须 注意不要重复计数，也不要遗漏. 例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只 鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A） 1 5 7 9 3 的概率是多少？
下面的算法错在哪里？
正确的答案是：
5 8 5 1 2 2 P ( A) 10 4
请思考： 还有其它解法吗？
Baidu Nhomakorabea
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 一类型：
有n个人，每个人都以相同的概率 1/N (N≥n)被分在 N 间房的每一间中，求指定的n 间房中各有一人的概率. 人
试验结果
e1, e2, …，eN
你认为哪个 结果出现的 可能性大？
常常把这样的试验结果称为“等可能的”.
例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 的球. 将球编号为1－10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从 中任取一球.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
这样小概率的事件在一次抽卡的试验 中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这 是魔术.
具体地说，可以99.9%的把握怀疑这 是魔术.
例2 某城市的电话号码由5个数字组成，每个 数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求 电话号码由五个不同数字组成的概率.
从10个不同数字中 取5个的排列
5 P 01 p 5 01
3把不同的钥匙的6种排列
C 3
2 3
从3个元素取出2个 的排列总数有6种
从3个元素取出2个 的组合总数有3种
P 6
2 3
排列、组合的几个简单公式 1、排列: 从n个不同元素取 k个
（1 kn)的不同排列总数为：
n! p n( n 1)( n 2) ( n k 1) ( n k )!
2
P(A)=1/10
记 B={摸到红球} P(B)=? P(B)=6/10
1 2 3 4 5 6 8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
记 B={摸到红球}
P(B)=6/10
静态 动态
这里实际上是从“比例” 转化为“概率”
当我们要求“摸到红 球”的概率时，只要找出 它在静态时相应的比例.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
称这样一类随机试验 为古典概型.
如i =2
2
5 8 4 6 19 7 3 10
定义1 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同.
称这种试验为 有穷等可能随机试验 或古典概型.
二、古典概型中事件概率的计算
记 A={摸到2号球} P(A)=?
k n
k = n时称全排列
P pn n( n 1)( n 2) 2 1 n!
n n
第1次选取
第2次选取
B
第3次选取 C 例如：n=4,
D B D B
k =3
A
C D
C
B
P 4 3 2 24
3 4
C
D
……
P4 4 3 2 1 24
从n个不同元素取 k个（允许重复）
例如，若一个男人有三顶帽子和两 件背心，问他可以有多少种打扮？
可以有 3 2 种打扮
加法原理和乘法原理是两个很重要 计数原理，它们不但可以直接解决不少 具体问题，同时也是推导下面常用排列 组合公式的基础 .
三、排列、组合的几个简单公式 排列和组合的区别：
顺序不同是 不同的排列 而组合不管 顺序
我们首先引入的计算概率的数学模型， 是在概率论的发展过程中最早出现的研究 对象，通常称为 古典概型
一、古典概型
假定某个试验有有限个可能的结果
e1, e2, …，eN ,
假定从该试验的条件及实施方法上去分 析，我们找不到任何理由认为其中某一结果 例如ei，比任一其它结果，例如ej,更有优势， 则我们只好认为所有结果在试验中有同等可 能的出现机会，即1/N的出现机会.
k
4、n个不同元素分为k组，各组元素数目 分别为r1,r2,…,rk的分法总数为
n! , r1! r2! rk !
r1个 元素
r1 r2 rk n
…
r2个 元素
r k个 元素
n个元素
因为 C r1 C r2 C rk n n r1 rk
n! r1! r2 ! rk !
n n
n k n k ( a b ) a b k k 0
n n
利用该公式，可得到许多有用的组合公式：
令 a=b=1,得
n n n n 2n 0 1 2 n
令 a=-1,b=1
n n n n n ( 1) 0 0 1 2 n
由
(1 x )
mn
mn
(1 x ) (1 x )
m
m
n
运用二项式展开
m n j 有 j x j 0
请回答： 1、怎样的一类随机试验称为古典概型？ 2、如何计算古典概型中事件的概率？ 为什么这样计算？ 下面我们就来介绍如何计算古典概率.
这里我们先简要复习一下计算古典概率 所用到的 基本计数原理 1. 加法原理
设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法, 则完成这件事总共 有n1 + n2 + … + nm …； 第m种方式有nm种方法, 种方法 . 无论通过哪种方法都可以 完成这件事，
定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n 个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定 义事件A的概率为： A包含的样本点数 P(A)＝k/n＝ S中的样本点总数
称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法 称为古典方法 . 这样就把求概率问题转化为计数问题 . 排列组合是计算古典概率的重要工具 .
5 01C p 5 01
解：
=0.3024
允许重复的排列
问：
错在何处？
计算样本空间样本点总数和所求事件 所含样本点数计数方法不同.
例3 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N 件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率. 解：令B={恰有k件次品}
P(B)=？
M N M k n k P ( B ) N n
5 8 1 2 P ( A) 10 4
2
4
6
8
10
从5双中取1双，从剩 下的 8只中取2只
错在同样的“4只配 成两双”算了两次.
2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须 注意不要重复计数，也不要遗漏. 例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只 鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A） 的概率是多少？
请回答： 对排列组合，我们介绍了几个计算公式？ 排列： 选排列，全排列， 允许重复的排列 ; 组合； 分组分配. 下面我们就用这些公式来计算.
四、古典概率计算举例 例1 把C、C、E、E、I、N、S七个字母分 别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入 同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片 取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设 排列结果恰好拼成一个英文单词： S C I E N C E
（1 kn)的不同排列总数为：
n n n n
k
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
第1张 1 2 3 第2张 1 2 3 第3张 1 2 3
1
2
3
4
n=4,k =3 共有4.4.4=43种可能取法
4
4
4
2、组合: 从n个不同元素取 k个 （1 kn)的不同组合总数为：
P n! C k! ( n k )! k!