古典概型本1-3

1.3 古典概型
一、古典概型的概念 二、例题选讲 三、小结
一、古典概型
1. 定义 若一个随机试验E, 具有以下两个特征： (1) 样本空间的元素(基本事件)只有为有限个， 即Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2) 每个基本事件发生的可能性是相等的， 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类试验的数学模型为古典概型。
7、小结
古典概型 应用
(1) 样本空间的元素(基本事件)只有有 限个 定义 (2) 每个基本事件发生的可能性是相等的
P( A)
k 事件A中包含的基本事件数 n 中的基本事件总数
备份题
1 在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的 纪念章,任选3个记录其纪念章的号码. (1)求最小号码为5的概率;(2)求最大号码为5的概 率. 解
２. 古典概型中事件概率的计算公式
设随机试验 E 为古典概型，其样本空间 Ω 及 事件A分别为： Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
k 事件A中包含的基本事件数 P( A) n 中的基本事件总数
3. 古典概型的基本模型:摸球模型

周五
7 12 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712 种.
2 1
2
2 3
2 4

2 12
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有212 种. 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
212 p 12 0.0000003 7
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.
进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为 :
n n ! N a) b)
C n! N
n N
n
m nm Nn . c) Cn ( N 1)
上述分房问题中，若令 N 365,n 30,m 2 ，则可演化
为生日问题.全班学生30人，
(1) (2)
某指定30天，每位学生生日各占一天的概率； 全班学生生日各不相同的概率；
首先，把 n 个人分到N间房中去共有 N n种分法，其
次，求每种情形下事件所含的样本点个数。
a)某指定n间房中各有一人，所含样本点的个数， n!; 即可能的的分法为 n b)恰有n间房中各有一人，所有可能的分法为 C N n!;
m c)某指定一间房中恰有m人，可能的分法为 Cn ( N 1) nm .
3 n C (1)总的选法种数为 10 ,
2 m C 最小号码为5的选法种数为 5,
故小号码为5的概率为
1 P C C . 12
2 5 3 10
2 , (2)最大号码为5的选法种数为 C4
故最大号码为5的概率为
P C C
2 4 3 10
1 . 20
2 将 4 只球随机地放入 6 个盒子中去 ,试求每 个盒子至多有一只球的概率.
( 2) P () 1, P () 0;
(3) 对于两两互斥的有限多个事件A1 , A2 ,, An , P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
例 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问 是否可以推断接待时间是有规定的. 解: 假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的. 7 1 周一 7 2 周二 7 3 周三 7 4 周四
(答案: p P10 10 )
2o 骰子问题 概率.
掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的
(答案 : p 3 63 )
4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
3
3
3
(1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有M个白球和 N个黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m个白 球,n个黑球的概率? 解： 设A={所取球恰好含m个白球,n个黑球} 基本事件总数为 C
mn MN
,
m M n N
A 所包含的基本事件数为 C C ,
m 故 P(A) C M C n N
(答案 : p C C
10 20
10 10
365 )
20
例 ：一套5卷的选集随机地排放在书架上，问：(1)第 1卷放在最左边的概率？(2)从左到右正好按卷号排成 12345的概率？ 解： 5卷选集在5个位置上的任一种排列，是一个基 本事件，因此，所有可能的基本事件总数(即样本空间 中的基本事件总数)为5！。
设A={第1卷放在最左边}, B={从左到右正好按卷号排 成12345},则A包含的基本事件总数为1×4!，B包含的基 本事件总数为1。从而，P(A)=4!/5!，P(B)=1/5!。
注： 1、计算样本空间所含基本事件总数，有时用排列 有 时用组合，那么，何时用排列何时用组合？一般 来 讲，当考虑“顺序”时用排列，不考虑“顺序”时 用组 合。另外，当考虑“顺序”时，样本空间及所关心 的 事件A所包含的基本事件总数的计算，都要用排列。
/C
m n M Nห้องสมุดไป่ตู้
(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次摸到红球 的概率. 解 设 A {前2次摸到黑球, 第三次摸到红球 }
第3次摸到红球 4种
1次摸到黑球 6种 第2
第3 2 1次摸球
10种
基本事件总数为 10 10 10 103 , A 所包含基本事件的个数为 6 6 4, 6 6 4 0.144 . 故 P ( A) 3 10 课堂练习 1o 号码问题 在7位数的运动员号码中,求各位数 字互不相同的概率. 7 7

2、有时可以不用排列组合
例 （分房问题） 有 n 个人，每个人都以同样的概 率 1/N 被分配在 N (n N ) 间房中的每一间中，试求 下列各事件的概率： 1)某指定 n 间房中各有一人 ; 2)恰有 n间房，其中各有一人； 3) 某指定一间房中恰有 m(m n) 人。 解： 先求样本空间中所含样本点的个数。
(3)
全年某天，恰有二人在这一天同生日的概率。
利用上述结论可得到概率分别为 :
（1） 30! 365 ; （2） C
2 C ) （3） 30 ( 3 6 4
30
30 365
30!/ 365 0.294 ;
30
(365)30
由（2）立刻得出，全班30人至少有2人生日相同 的概率等于1－0.294=0.706, 这个值大于70%。
4种 将 4 只球随机地放入 6 个盒子中去 , 共有 6 解 放法. 每个盒子中至多放一只球共有6 5 4 3 种不同放
法. 因而所求的概率为
6 5 4 3 p 64 0.2778.
3 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是优秀生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少? 解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:
A44 4 3 2 1 p( A) 4 A10 10 9 8 7
1 . 210
课堂练习 1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.
(答案: 3! 33 )
2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率.
6 3 12! 15! . p2 2! 5! 5! 5! 5! 5! 91
3
4个球放到3个杯子的所有放法 3 3 3 3 34 种,

C种
2个
2 4
C 种
2个
2 2
因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为
pC C 3
2 4 2 2
4
2 . 27
(2) 每个杯子只能放一个球
问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能
放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率. 解 设A={第1至第4个杯子各放一个球}
说明 随机选取n( 365)个人, 他们的生日各不相同的 概
率为
365 364 ( 365 n 1) p 365n
而n个人中至少有两个人生 日相同的概率为
365 364 ( 365 n 1) p 1 365n
我们利用软件包进行数值计算.
5. 古典概型的概率的性质 (1)对于任意事件A , 0 P(A) 1
例： 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率. 解 64 个人生日各不相同的概率为
365 364 ( 365 64 1) p1 36564
故64 个人中至少有2人生日相同的概率为
365 364 ( 365 64 1) 0.997. p 1 64 365
因此所求概率为
25 3!12! 15! . p1 4! 4! 4! 5! 5! 5! 91
(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种, 12! 种. 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 2! 5! 5! 因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有
(3 12! ) (2! 5! 5! ) 种, 因此所求概率为
15 10 5 15! . 5 5 5 5! 5! 5!