第二讲(古典概型与概率的定义)

解 以A表示事件“第k次摸出的一个球是 红球”这一事件。把a个红球及b个白球都 看作是不同的（比如设想它们都编了号）， 若把摸出的球依次放在排列成一直线的 a+b个位臵上，则可能的排列法相当于把 a+b个元素进行全排列。将每一种排列法 作为一个样本点，那末各样本点的
出现是等可能的，样本点总数为（a+b）！， 下面求事件A所包含的样本点个数，由于第k 次摸 得红球有a种取法，而另外（a+b-1)次摸 球相当于a+b-1个球进行全排列，有（a+b-1)！ 种方法，故事件A所包含的样本点个数为 a×(a+b-1)!。于是
无论通过哪种方法都可以 完成这件事，
基本计数原理 2. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤，
则完成这件事共有 第二个步骤有n2种方法, …； n1 n2 nm 第m个步骤有nm种方法, 种不同的方法 . 必须通过每一步骤, 才算完成这件事， 第一个步骤有n1种方法，
加法原理和乘法原理是两个很重要 计数原理，它们不但可以直接解决不少 具体问题，同时也是推导下面常用排列 组合公式的基础 .
P ( A) a ( a b 1)! ( a b)! a ab .
第 1 章随机事件及其概率§3 等可能概型（古典概型）
CheckBox1
注意：计算等可能概型中事件概率时：
首先要弄清随机试验是什么？即判断有限性和等可能 性是否满足。 其次要弄清样本空间是怎样构成的，构成样本空间
每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；
（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( m k ) （3）某指定的一个盒子没有球； （4）恰有 k 个盒子中各有一球； （5）至少有两个球在同一盒子中； （6）每个盒子至多有一个球.
解 nN 设 (1) ~ (6)的各事件分别为
m
比较两边 xk 的系数，可得
m n k m n i k i i 0
k
（4）、n个不同元素分为k组，各组元素 数目分别为r1,r2,…,rk的分法总数为
n! r1! r2! rk ! , r1 r2 rk n
P n(n 1)(n 2)(n k 1) n
k
n! (n k )!
k = n时称全排列
An pn n(n 1)(n 2)2 1 n!
n
第1次选取
第2次选取
B
第3次选取 C 例如：n=4,
D B D B
k =3
A
C D
C
B
P4 4 3 2 24
解 （1）不放回情形
E: 球编号，任取一球，记下颜色，放在一 边，重复 m 次
(a b)( a b 1)(a b m 1) : n 记事件 A 为m个球中有k个白球，则
m P( a b )
n A C m Pa Pb m!
k
k
mk
k ! ( m k )! ( a k )! ( b m k )!
k
A1 A6
mA n
m
1
则
2
m A k!
1
P( A1 )
k m

k! N
k
mA Ck ( N 1)
m
P ( A2 )
P ( A3 )
Ck ( N 1) N
( N 1) N
k
k m
k
mA ( N 1)
3
k
k
mA C N k!
k
4
P ( A4 )
k
所求概率为
P
A的面积 S的面积



l sin d
0
a

2l
a
如果 l 和 a 已知，则以 值代入上式就可以算得 P 。
反之，也可以利用上式去求 的近似值，如果投针
N 次，其中针与平行线相交 n 次，以频率值
C N k! N
k
k
mA N C N k!
k
5
P( A5 )
N C N k!
k k
N
k
1 P( A4 )
mA C N k!
k
6
P( A6 ) P( A4 )
例3 n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆， 每堆2只 . 问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的 概率是多少？
n n n n n 2 0 1 2 n
令 a=-1,b=1
n n n n n ( 1) 0 0 1 2 n
( a b)
k
a b Cm a b a b
k
k
mk
记p
a ab
P( B) Cm p (1 p)
k
mk
k 1,2,, min( a, m)
称二项分布
设有 k 个不同的球, 每个 例2 （分房模型）
球等可能地落入 N 个盒子中（k N ）, 设
解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只 的分法总数为
n C 2 nC 2 n 2 C 2
2 2 2
(2n)! 2!2! 2!

(2n)! 2
n

而出现事件A的分法数为
P ( A) nA n n! (2n)!/ 2
n
nA n !
n !2
n
,故
(2n)!
例4 袋中有a个红球，b个白球，现在把球 随机地一个个摸出来，求第k次摸出的一个 球是红球的概率（1≤k≤a+b）。
则
P ( A)
概率的古典定义与统计定义是一致的：
由概率的统计定义
n
1 P ( ) P { e1 , e 2 , , e n } P ( { e i } )
n
i 1


i1
P {ei } nP {ei }
1 n
1 n
i
故
P {ei }
( i 1,2,, n).
表示 M 点到最近平行线的距离，以 表示针与此 直线的交角（见图）易知有 0 x a ，0 。
l
x a
x l sin
2a

M
x



由于这两式确定出Ox 平面上的一个矩形 S ，
针与最近的一条平行线相交的充分必要条件是：
x l sin
由这个不等式表示的区域 A 是图中的阴影部分，
3、排列、组合的几个简单公式 排列和组合的区别：
顺序不同是 不同的排列 而组合不管 顺序
3把不同的钥匙的6种排列
C3 3
2
从3个元素取出2个 的排列总数有6种
P3 6
2
从3个元素取出2个 的组合总数有3种
排列、组合的几个简单公式 （1）排列: 从n个不同元素取 k个
（1 k n)的不同排列总数为：
4
4
4
（2）、组合: 从n个不同元素取 k个 （1k n)的不同组合总数为：
Cn
k
Pn
k

n k
n! ( n k )!k!
Байду номын сангаас
k!
C n 常记作
k
k
，称为组合系数。
Pn Cn k!
k
（3）、组合系数与二项式展开的关系
组合系数
n k
C a b
称超几 何分布
不放回地逐次取 m 个球, 与一次任取 m 个 球算得的结果相同.
（2）放回 情形 E2: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放回去,
重复 m 次
2:
k k
n (a b)
2
m
记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球, 则
P( B) Cm a b
mk m
的每个基本事件出现一定要是等可能的。
上述古典概型的计算，只适用具有等可能性的 有限样本空间。若试验结果无限，则它显然已经不 适合。为了克服有限的局限性，利用几何方法，可 将古典概型的计算加以推广。
27
二、几何概型 (等可能概型的推广) 1、几何概型
向一个可度量的有限区域 内投一点, 若该点落入 内任何子区域 A 中的可能 性大小只与该区域A的度量成正比, 而与 其位臵和形状无关，则称这个随机试验 为几何型随机试验，或几何概型。
2、几何概率的计算
( ) 其中 ( ), ( A) 分别表示区域Ω ，区域A的度量。
P ( A)
( A)
例5 （会面问题）两人相约 7 点到 8 点在某 地会面，先到者等候另一个人 20 分钟，过时
就可离去，试求这两个人能会面的概率。
解：以 x , y 分别表示两个人到达时刻，则会 面的充要条件为 x y 20 即： 20 x y 20 y

P{e
j 1
ij
}
k n
.
（1.3.1）
所以，在等可能概型中事件 A 发生的概率为
P ( A) A中的样本点数 S中的样本点数
4
古典概率的性质
1 0 P( A) 1 、
非负性
规范性
A , A2 , , An 1
2、P ( ) 1
3、对于互不相容的事件
n
有
P( A k ) P( A k )
又常称为二项式系数，因为
它出现在下面的二项式展开的公式中：
n k n k ( a b) a b k 0 k
n n
n k n k ( a b) a b k 0 k
n n
利用该公式，可得到许多有用的组合公式：
令 a=b=1,得
k 1 k 1
n
有限可加性
这样就把求概率问题转化为计数问题 . 排列组合是计算古典概率的重要工具 . 这里我们先简要复习一下计算古典概率 所用到的 基本计数原理 1. 加法原理 设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法, …； 第m种方式有nm种方法, 则完成这件事总共 有n1 + n2 + … + nm 种方法 .
r1个 元素
r2个 元素
…
r k个 元素
n个元素
因为 C r1 C r2 C rk n n r r
1 k

n! r ! r2! rk ! 1
例1 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按
m 不放回与放回两种方式取m个球（ a b ), 求其中恰有 k 个 （k a, k m）白球的概率

a!

b!
则 P ( A)
C m Pa Pb
m Pa b
k
k
mk
k a, k m
又解 E1: 球编号, 一次取 m 个球,记下颜色
1:
n Ca b
m
1
记事件 A 为m个球中有k个白球，则
n A Ca Cb
k mk
因此
P ( A)
Ca Cb
m
k
mk
k a, k m
由
(1 x )
m n
m n
(1 x ) (1 x )
m
n
运用二项式展开 有
m n j j x j 0 m j1 n n j2 j x j x j1 0 1 j2 0 2
3
C
D
……
P4 4 3 2 1 24
从n个不同元素取 k个（允许重复）
（1k n)的不同排列总数为：
n n n n
k
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
第1张 1 2 3 第2张 1 2 3 第3张 1 2 3
1
2
3
4
n=4,k =3 共有4.4.4=43种可能取法
p g的面积 G的面积
60
5 9

60 40
2
2
60
2

20 G 0 20 60
g
x
例6
(Buffon 投针问题)
在平面上有等距离的平行线,平行线间的距离为 2a(a>0),该平面任意投掷一枚长为 2l(l<a)的圆柱 形的针,试求此针与任一平行线相交的概率。
解:
以 M 表示针的中点，针投在平面上，以 x
即任意基本事件{ e } 发生的概率均为
。
3
若事件 A 包含
k 个基本事件，即 A { e
k
i1
, ei , , ei }
2 k
(1 i1 i 2 i k n ) , 则有
P ( A) P{ei , ei
1
2
,,
ei } P ({ei })
k j
j 1
k
第二讲
古典概型与概率的定义
1
一、 古典概型
设 随机试验E 具有下列特点： 1） 样本点个数有限——有限性 2） 每个样本点发生的可能性相等 ——等可能性
概率的 古典定义
则称 E 为 古典(等可能)概型 古典概型中概率的计算：
记 n 中所包含的样本点的 个数
k 组成 A的样本点的个数
k n