古典概型计算
古典概型
思考1： 年按365天计算，求： (1) n个人生日各不相同的概率； (2) n个人中至少有两个人生日相同的概率； (3) *n个人中恰有两个人生日相同的概率
一
思考2：
• 深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故中， 该市有两家出租车公司——红色出租车公司 和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和 红色出租车公司分别占整个城市出租车的85 ％和15％。据现场目击证人说，事故现场的 出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测 试，测得他辨认的正确率为80％，于是警察 就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑。请 问警察的认定对红色出租车公平吗？
摸球问题
• 一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标 上1，2，3……10这10个数字，今随机抽取两 个小球，如果 （1）分两次抽，小球是不放回的； （2）分两次抽，小球是放回的； （3）一次抽两个.求两个小球上的数字为相邻 整数的概率.
区分：1、是否放回；2、是否有顺序 技巧：不放回的摸取问题，常常变成排列 模型处理
（3）12/125
3、古典概型计算提高：建立概率模型
例4:口袋里装有2个白球和2个黑球,这4 个球除了颜色外完全相同, 4个人按顺序 每次从中摸出一球,试计算第二个人摸到 白球的概率.
抽奖(抽签)问题
• 在5张票中有1张中奖票，5个人按顺序从中各 抽1张以决定谁得奖。那么，先抽还是后抽 （后抽人不知道先抽人抽出的结果），对各人 来说公平吗？也就是说，各人抽到奖票的概率 相等吗？ • 袋中有9只黑球，1只白球，它们除颜色不同外， 其它方面没有差别，现随机地将球一只只摸出 来，求Ak={第k次摸出白球}的概率 （k=1,2,…,10）．
古典概型的特征和概率
求一个事件的概率的基本方法：进行大量的重复试 验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率。
3.2古典概型
）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ） （1，2）、（ ，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ 7
第 二 次 抛 掷 后 向 上 的 点 数
6 5 4 3 2 1
7 6 5 4 3 2 1
8 7 6 5 4 3 2
9 8 7 6 5 4 3
10 9 8 7 6 5 4
11 10 9 8 7 6 5
12 11 10 9 8 7 6
变式1：两数之和不 变式1 低于10 10的结果有多少 低于10的结果有多少 种？两数之和不低于 10的的概率是多少 的的概率是多少？ 10的的概率是多少？
设“摸出两个球都是红球”为事件A 摸出两个球都是红球”为事件A 中包含的基本事件有10个 则A中包含的基本事件有 个， 因此 P ( A) = 中包含的基本事件有
m 10 5（ ，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ） ， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ） （2，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ） （3，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（4， ）、（ ）、（4， ）、（ ）、（4， ） （4，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（5， ）、（ ）、（5， ） （5，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（6， ） （6，7）、（ ，8） ， ）、（ （7，8） ， ）
1-4古典概型
解：以分钟为单位, 则上一次报时时刻为下一次报时时刻长为60，
10 P ( A) 60
例9：(会面问题) 甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面, 先到者等候另一人20分钟, 过时就离开. 如果每个人可在指定 的一小时内任意时刻到达, 试计算二人能够会面的概率. 记7点为计算时刻的0时, 以分钟为单位, 用 x , y 分别记表 解： 示甲、乙两人到达指定地点的时刻, 显然
A 表示“n 个人的生日均不相同”, 这相当于每间房子至
多做一个人，
于是由例4有： P( A)
Cn 365 n ! 365n
Cn 365 n ! 365
50
n
P( A) 1 P( A) 1
经计算可得下述结果： N 20 23 30 40
.
64
100
p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
0 x 60,0 y 60
则样本空间为：
S {( x, y) | 0 x 60,0 y 60}
用字母A表示事件“两人能会面”, 则
A {( x, y ) | ( x, y) S , | x y | 20}
P(A) = 阴影部分的面积/正方形的面积
( A) 602 402 5 . 2 (S ) 60 9
1 Cm (n 1)! m n! n
练习: 一个八位数的电话号码，记住了前5位，而后三位只记 的是0、5、6三个数，而具体排列记不住，问试拨一次就拨 对的可能性有多大？
解：用A来表示“试拨一次就拨对”，
3 总的基本事件总数： P 3
3! 6
A所包含的基本事件数： 1
古典概型c上下标计算公式
古典概型c上下标计算公式在概率论中，古典概型是一种基本的概率模型，也是最简单的概率模型之一。
它可以用来描述一种实验或事件具有两个互不排斥的可能结果的情况。
古典概型的计算方法中，常常会涉及到上下标计算公式。
上下标计算公式，又称排列组合公式，是古典概型中一个重要的计算工具。
它用来计算由n个元素中任意地取出m个元素（不考虑元素的顺序）得到的可能性的数量。
根据计算公式的不同形式，又可以分为排列公式和组合公式两种。
首先，我们先来了解一下排列公式。
排列公式用来计算从n个元素中任意地取出m个元素（考虑元素的顺序）得到的可能性的数量。
排列公式的计算公式为An,m=n!/(n-m)！。
其中n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)...*3*2*1。
在排列公式中，考虑到元素的顺序，所以当元素个数一样时，不同的排列结果即为不同的可能性数量。
接下来，我们再来了解一下组合公式。
组合公式用来计算从n个元素中任意地取出m个元素（不考虑元素的顺序）得到的可能性的数量。
组合公式的计算公式为Cn,m=n!/((n-m)!*m!)。
在组合公式中，由于不考虑元素的顺序，所以当元素个数一样时，不同的排列结果会得到相同的数量。
在实际应用中，上下标计算公式经常用于解决“选取”问题。
例如，在一副扑克牌中随机抽取5张牌，我们可以使用组合公式C52,5计算可能的结果数量。
同样地，如果我们希望从20个人中选出5个人组队，我们可以使用组合公式C20,5计算可能的组队数量。
古典概型中的上下标计算公式为我们提供了一种有力的工具，可以帮助我们计算不同实验或事件的可能性数量。
通过灵活运用上下标计算公式，我们可以更好地理解和分析古典概型中的问题，并得出合理的结论。
因此，在学习和应用概率论中的古典概型时，我们应该熟练掌握上下标计算公式，以便在实际问题中进行准确的计算和推理。
数学古典概型公式p(A B)
数学古典概型公式p(A B)
古典概型也叫传统概率、其定义是由法国数学家拉普拉斯提出的。
如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。
古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。
古典概型计算公式：P（A）=m/n=A包含的基本事件的个数m/基本事件的总数n
注意：计算时间A概率的关键
（1）计算试验的所有可能结构数n。
（2）计算事件A包含的可能结果数m。
如果一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1/n；如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）=m/n=A包含的基本事件的个数m/基本事件的总数n
古典概型的概率计算公式是 P(B)=事件B包含的基本事件数n/样本空
间的基本事件总数m=n/m. 样本空间满足两个条件:
1、样本空间的基本事件总数是有限多个;
2、每个基本事件发生的概率都是等可能的,即为1/m.。
古典概型与几何概型
法的总数为
C r1 n1
Cr2 n2
…… Crk nk
．
3.一些常用等式
选排列和组合式可推广到 r 是正整数而 n 是任意实数 x 的场合，即有
Axr xx 1x r 1,
Cxr
Axr r!
xx 1
x r 1
r!
n
此外由 11 n Cnr1r1nr 得 Cn0 Cn1 Cnn 2n . r0
概率论与数 理 统 计
§1.3古典概型与几何概型
主要内容
一、古典概型的概念及计算
二、古典概型的计算 三、几何概型
一、古典概型的概念
定义：一个随机试验如果有如下特征：
有限性 样本空间的元素（即基本事件）只有有限个，
, ,
1 , 2
n
等可能性 每个基本事件出现的可能性是相等的，即
P P P
2
n
则称此试验为古典型随机试验，简称为古典概型。
二、概率的古典定义
定义：设古典概型的所有基本事件为：为：
，事
件A含有其,中, 的,k个基本事件 ，则定义事件A的概率为
12
n
P(A)
k n
A包含的基本事件数 基本事件的总数
例：投骰子A=“出现1点”，B=“出现2点” , ,F
“出现6 点”
G=“出现奇数 点” ．
40
（4）设D=“3件全是正品”， 则P(D)C33 0.7864
C3
（5）设E=“3件中至少1件次品”，
40
则 P ( E ) 1 P E 1 P D 0 .2136
（2）分房问题
例1.3.5 设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的 任意一间去住（n≤N），求下列事件的概率：
古典概型的特征和概率计算公式
古典概型的特征和概率计算公式古典概型是概率论中最简单的概型之一，它是基于等可能性假设的。
古典概型的特征和概率计算公式如下所示。
1.特征：-等可能性假设：古典概型假设所有可能的结果具有相同的发生概率。
-有限个数的可能结果：古典概型假设实验的所有可能结果可数且是有限的。
-互斥性：古典概型假设每个实验结果都是唯一的，任意两个不同结果之间是互斥的，即同一次试验只能出现一种结果。
2.概率计算公式：在古典概型下，我们可以使用以下公式来计算事件的概率。
-样本空间:古典概型中，样本空间的大小等于实验的所有可能结果数的总和。
假设样本空间为S，大小为n，即S={A1,A2,A3,...,An}。
- 事件的概率: 假设事件A是样本空间S的子集，包含m个可能结果，即A = {Ai1, Ai2, Ai3, ..., Aim}。
则事件A的概率P(A)等于事件A中所有可能结果的概率之和。
P(A) = P(Ai1) + P(Ai2) + P(Ai3) + ... + P(Aim) = m/n。
3.举例说明：为了更好地理解古典概型的特征和概率计算公式，我们来举一个简单的例子。
假设有一个标准的六面骰子，每个面上的数字是等可能的。
（1）样本空间：这个例子中，样本空间S包含了所有可能的结果，即S={1,2,3,4,5,6}。
（2）事件A：假设我们关注的事件是掷出的数字是奇数。
事件A是样本空间S的子集，A={1,3,5}。
（3）概率计算：根据公式，我们可以计算事件A的概率：P(A)=P(1)+P(3)+P(5)=1/6+1/6+1/6=3/6=1/2从这个例子中，我们可以看到事件A的概率是1/2，即掷出的数字是奇数的可能性为1/2总结起来，古典概型是概率论中最基本的概型之一、它的特征包括等可能性假设、有限个数的可能结果和互斥性。
在古典概型下，我们可以使用简单的公式来计算事件的概率，即事件中所有可能结果的概率之和。
这个概率计算公式是P(A)=m/n，其中m是事件A包含的可能结果数，n是样本空间S的大小。
古典概型的概率公式
古典概型的概率公式
概率公式是统计学中十分重要的概念，它可以给我们提供一种对客观事实的度量和估计。
古典概型是一种古老而又常用的概率模型，它是最初被发现的单一概率模型之一。
古典概型的概率公式具有简洁而有效的特点，其计算结果可以更好地反映实际情况，以便进一步的数据分析。
古典概型的概率公式可以表示为：p(x)=n/N，其中n表示特定结果出现的次数，N表示总次数。
这句概率公式意思是，在某一实验或观察中，特定结果出现的概率等于某一结果出现的次数除以总次数。
由此可以发现，古典概型的概率公式又叫做比例概型，它是以假设抽样是一个完全随机抽样（元抽样）为基础，而不考虑任何额外条件的情况下所得到的概率估计。
古典概型的概率公式由一些古典概念组成，如独立假设和同分布假设。
独立假设是指在抽样过程中，每个样本的结果和其他样本的结果无关，而同分布假设指的是，抽样样本结果和总体样本结果具有相同的分布。
这两种假设共同决定了古典概型的概率公式的形式。
此外，古典概型的概率估计还可以用来评估抽样的有效性。
通过计算抽样误差，可以知道抽样的有效性。
另外，古典概型的概率公式也可以用来检验模型的准确性。
如果观察的实验结果和古典概型的概率估计结果不符，就可以断定模型不准确，并可以进行改进。
古典概型的概率公式有很多应用，它不仅可以用来估计概率，还可以用来检验模型准确性，以及评估抽样的有效性。
古典概型的概率
估计模型已经被用于众多研究领域，如经济学、金融学、管理学、社会科学等，从而大大推动了科学技术的发展。
总之，古典概型的概率估计模型是一种十分重要的概念，它的应用范围非常广泛，可以满足科学技术领域的各种需求和要求。
古典概型的计算问题
第 1 页 共 1 页 古典概型的计算问题古典概型具备两个特征：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等.对于古典概型，任何事件的概率为：基本事件的总数包含基本事件的个数A A P =)(.根据这个公式进行计算时，关键是要求出A 包含基本事件的个数和基本事件的总数，因此，要正确理解基本事件与事件A 的相互关系，既不能重复，又不能遗漏地计算出基本事件的个数，然后利用公式正确进行古典概型的计算.例1.抛掷一枚均匀的正方体骰子，则出现的点数大于3的概率是 . 解析：所有可能出现的点数有1、2、3、4、5、6六种情况，而点数大于3的情况有4、5、6三种情况，所以抛掷骰子后出现点数大于3的概率2163=. 例 2.某种产品共100件，其中有次品3件，从中任意取出一件产品，是正品的概率是 .解析：共有100件产品，其中有3件次品，则有97件正品，因此，从中任意取出一件产品，是正品的概率是97%.例3.小明家的客厅地面上铺了15块白色的地板砖，8块黑色的地板砖，现在在他家的客厅里任意抛出一个乒乓球，最后停在白砖上的概率是 .解析：小明家客厅里所有的地板砖共有15+8=23块，而白砖有15块，因此，乒乓球最后停在白砖上的概率是2315. 例4.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则1log 2=y x 的概率为（ ）（A ）61 （B ）365 （C ）121 （D ）21 解析：由已知1log 2=y x 得x y 2=.抛掷这两枚骰子出现的点数一共有3666=⨯种结果，而满足x y 2=的只有（1，2）、（2，4）、（3，6）这三个可能，因此所求概率为121363=. 例5.从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ）（A ）12513 （B ）12516 （C ）12518 （D ）12519 解析：从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成的所有三位数的个数为12553=个，而各位数字之和等于9的三位数分别为：135、153、351、315、513、531、234、243、324、342、432、423、225、522、252、144、414、441、333共19个，因此各位数字之和等于9的概率为12519，选D.。
古典概型的概率计算公式古典概型
5
（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6
（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。
（2）在上面的结果中，向上的点数之和为5的结果有4种，
分别为： （1，4），（2，3），（3，2），（4，1）
（布，剪） （布，石）（ 布，布）
（1）在“剪刀、石头、布”游戏中，甲 赢的概率有多大？
（2）在“剪刀、石头、布”游戏中，分 不出胜负的概率多大？
问题2：抛一个质地均匀的骰子，可能出现几 个结果？
问题3; 以上问题中，每个结果出现的概率为多少？
试验结果的对称性，每个结果的可能性相同
知识点二：古典概型
古典概型的特征：
（1） 有限性 ：
试验的所有可能结果只有有限个
（2）等可能性 ：
每一个试验结果出现的可能性相 同
典型例题
例2：下列试验是否为古典概型
A、在适宜的条件下，种一粒种子，有2 个结果：发芽 与不发芽 否
B、口袋里有2个白球和2个黑球，这4个 球除颜色外完全相同，从中任取一球 是
C、向一个圆面内随机的投一个点，该点 落在圆内的任意一点 否
D、射击运动员向一靶心进行射击，命中 10环，命中9环，.....命中0环 否
思考交流3
D {b,c} E {b, d} F {c, d} 说一说
(3)设3个黑球编号分别为黑1，黑2，黑3，则从 中任意取两个球，可能的结果为：
白球与黑1，白与黑2，白与黑3， 黑1与黑2，黑1与黑3，黑2与黑3
共6种结果，即6个基本事件
思考交流2
问题1：抛一枚质地均匀的硬币，可能出现几个 结果？
古典概型的计算公式
古典概型的计算公式好的，以下是为您生成的关于“古典概型的计算公式”的文章：在咱们学习概率的这个大天地里，古典概型那可是个相当重要的角色。
要说这古典概型的计算公式，就像是打开概率世界大门的一把神奇钥匙。
先来说说啥是古典概型。
想象一下，咱有一个抽奖箱，里面的奖券数量有限，而且每张奖券被抽到的可能性都相等，这就是古典概型的一个简单例子。
古典概型的计算公式是：P(A) = n(A) / n(Ω) 。
这里的 P(A) 表示事件A 发生的概率，n(A) 是事件 A 包含的基本事件个数，n(Ω) 则是样本空间Ω包含的基本事件总数。
比如说，咱有一个盒子，里面装着 5 个红球和 3 个白球。
现在从盒子里随机摸一个球，摸到红球的概率是多少？这时候，样本空间Ω就是 8 个球，事件 A 就是摸到红球，红球有 5 个，所以摸到红球的概率P(A) 就是 5÷8 = 5/8 。
我想起之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学一脸迷糊地问我：“老师，这公式咋用啊？感觉好难！”我就跟他说：“别着急，咱来做个小游戏。
” 于是我拿出一堆卡片，上面写着不同的数字，然后跟他说：“咱们就假设从这里面随机抽一张，抽到数字3 的概率是多少？” 我们一起数了数总共有 20 张卡片，其中写着数字 3 的有 4 张。
然后按照公式，他自己算出了抽到数字 3 的概率是 4÷20 = 1/5 。
那小同学一下子就乐了，说：“原来这么简单呀！”再举个例子，咱扔骰子。
一个标准的骰子，扔一次，扔出 4 的概率是多少？这骰子一共 6 个面，也就是 6 种可能，而 4 就那一个面，所以扔出 4 的概率就是 1÷6 = 1/6 。
还有像从一副扑克牌里抽一张黑桃的概率，咱们知道扑克牌一共 54 张，其中黑桃 13 张，所以抽到黑桃的概率就是 13÷54 。
总之啊，古典概型的计算公式虽然看起来简单，但是要真正理解透，用得灵活，还得多做练习，多去实际的例子里感受感受。
古典概型a公式
古典概型a公式
古典概型是概率论中的一种基本概念，它描述的是在一定条件下，某个事件发生的可能性。
在古典概型中，所有可能的结果都是等可能的。
古典概型的概率计算公式如下：
P(A) = A发生的次数/ 所有可能发生的次数
其中，P(A)表示事件A发生的概率，A发生的次数表示在一定条件下，事件A发生的次数，所有可能发生的次数表示在所有可能的结果中，总共有多少种结果。
举个例子，抛一枚公平的硬币，正面朝上和反面朝上的概率各占1/2。
这里，抛硬币的结果有两种：正面和反面，这两种结果是等可能的。
因此，抛硬币正面朝上的概率为1/2。
古典概型的概率计算在许多实际场景中具有广泛的应用。
例如，在抽奖活动中，如果奖品分为一等奖、二等奖和三等奖，那么每个参与者获奖的概率分别为一等奖1/100，二等奖1/50和三等奖1/25。
通过计算概率，主办方可以预测活动的参与者在各种奖项中的分布情况，从而为活动的组织和策划提供数据支持。
此外，在考试中，随机抽查学生的知识点掌握情况也可以用古典概型概率来描述。
假设老师想要了解学生对某一知识点的掌握情况，他可以从学生中随机抽查10人。
如果在这10人中，有3人掌握了这个知识点，那么这个知识点的掌握率为3/10。
通过这种方法，老师可以了解学生在整个班级中的知识水平，从而调整教学策略。
总之，古典概型概率在实际生活中具有广泛的应用，掌握其概率计算方法有助于我们更好地理解和分析各种现象。
计算古典概型的概率的基本步骤
计算古典概型的概率的基本步骤
(1)计算所求事件A所包含的基本事件个数m；
(2)计算基本事件的总数n；
(3)应用公式()m
P A
n
=计算概率.
古典概型的概率公式：
()A
P A=包含的基本事件的个数
基本事件的总数
.应用公式的关键在于准确计算事件A
所包含的基本事件的个数和基本事件的总数.
要点诠释：
古典概型的判断：如果一个概率模型是古典概型，则其必须满足以上两个条件，有一条不满足则必不是古典概型.如“掷均匀的骰子和硬币”问题满足以上两个条件，所以是古典概型问题；若骰子或硬币不均匀，则每个基本事件出现的可能性不同，从而不是古典概型问题；“在线段AB上任取一点C，求AC>BC的概率”问题，因为基本事件为无限个，所以也不是古典概型问题.
第1 页共1 页。
2.1古典概型的特征和概率计算公式
单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，
D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考察的内
容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生不会做，他随机
的选择一个答案，问他答对的概率是多少？
解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选 择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考生随 机地选择一个答案即选择A，B，C，D的可能性是相等的.从 而由古典概型的概率计算公式得：
解：（1）第一个箱子的质量盘和第二个箱子的质量盘都可以从4
种不同的质量盘中任意选取.我们可以用一个“有序实数对”来表
示随机选取的结果.例如，我们用（10，20）来表示：在一次随机
的选取中，从第一个箱子取的质量盘是10 kg，从第二个箱子取的
质量盘是20 kg，表1列出了所有可能的结果.
表1
第二质量
思考题： 掷一粒均匀的骰子，骰子落地时向上的点数为
2的概率是多少？点数为4的概率呢？点数为6的概率呢？
骰子落地时向上的点数为偶数的概率是多少？
分析：用事件A表示“向上的点数为偶数”，则事件A由
“点数为2”、“点数为4”、“点数为6”三个可能结果
组成，又出现“点数为2”的概率为 1 ，出现“点数为4”
通过试验和观察的方法，我们可以 得到一些事件的概率估计值.但这种方 法费时、费力，而且得到的仅是概率的 近似值.
而对于某一类特殊的随机试验，我 们可以根据实验结果的对称性来确定随
掷硬币实验 摇骰子实验 转盘实验
试验一：抛掷一枚均匀的硬币，试验的结果有_2_个，其中出
现“正面朝上”的概率＝_0_.5_.出现“反面朝上”的概率=_0_._5.
16 4
（3）用E表示事件“不能拉开拉力器”，即总质量超过了 22 kg，总质量超过22 kg是指总质量为22.5 kg，25 kg， 30 kg，40 kg，从表2中可以看出，这样的可能结果共有7 种，因此，不能拉开拉力器的概率P(E)= 7 ≈0.44.
古典概型计算问题
古典概型计算问题一、主要知识点1.等可能事件的概率公式：P （A ）＝mn ；2.互斥事件至少有一个发生的概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；3.相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)＝P(A)P(B)；4.n 次独立重复试验事件A 恰有k 次发生的概率公式)(k P n =;)1(kn k k n p p C --⋅ 5.如果事件A 、B 互斥，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是互斥事件；6.如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1－P （AB ）＝1－P(A)P(B)；7.如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个发生的概率是1－P （A ∙B ）＝1－P(A )P(B )； 二、典型例题例1.为做好食品安全工作，上级质检部门决定对甲、乙两地的出口食品加工企业进行一次抽检.已知甲地有蔬菜加工企业2家，水产品加工企业3家；乙地有蔬菜加工企业3家，水产品加工企业4家，现从甲、乙两地各任意抽取2家企业进行检查.①求抽出的4家企业中恰有一家为蔬菜加工企业的概率；②求抽出的水产品加工企业的家数不少于蔬菜加工企业家数的概率.解：①1102021123342334222257571215C C C C C C C C P C C C C ⋅⋅=+= ②11022222233424331225787210C C C C C C C C P C C ++== ，11020311233423342225772210C C C C C C C C P C C +==， 22343225718210C C P C C == ，1235970P P P P =++= 例2.某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试。
已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。
现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为12。
2.1古典概型的特征和概率计算公式
基本事件： 在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件。
基本事件有什么特点：
1点
2点
3点
4点 5点
6点
问题（：1）在一次试验中，会同时出现 “1点” 与 “2点” 吗？
不会
任何两个基本事件是不可能同时发生的
（2）事件“出现偶数点”包含哪几个基本事件？
这下可把他们难住了。问这时应如何分这100个金币才能使 两赌徒都心服口服？
创设情境：
因为没有赌完，所以各自拿回自己的50金币，但梅累 不同意，他认为自己已经多赢一局，应多拿。
因为梅累多赢一局，所以全归梅累，但对方肯定不服，对方说 再赌下去也许他会连扳两局呢！
按赢的比例分配，按比例最合乎人们的心理习惯，所以 梅累拿三分之二，对方拿三分之一。
2
（2，1） （2，2）（2，3） （2，4）（2，5） （2，6）
3
（3，1）（3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4
（4，1） （4，2） （4，3） （4，4）（4，5） （4，6）
5
（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6
（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
判断下列试验是不是古典概型
探究4： 向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内
任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为 什么？
有限性
等可能性
探究5： 某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果有：
“命中10环”、“命中9环”、“命中8环”、“命中
7环”、“命中6环”、“命中5环”和“不中环”。
古典概型与几何概型
（3，1），（4，0）五种情形。
显然后者比前者发生的可能性大。
正确的解法为：n=10×10=100
取出的两数之和等于5由 （0，5），（1，4），（2，
3），（3，2），（4，1），（5，0）这6个基本事件组成，
k=6，则
PA 6 3
100 50
排列组合有关知识复习
加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类
n
n2
C
证：如图
SABP
1 2
AB x
x
SABC 1 AB h h
2
M
A
SABP n1即xn1 即x n1h
SABC n h n
n
P PE N F DB
若CE 1 h n
当点P落入 CMN中时，
AB与 PAB的 C 面积之n比 1 大于
则PASCMN1nh2 1
n
SABC
h2
n2
例7．在线段AB上任取三点x1,x2,x3，求：
可能的确切意义是这样的：设在区域 中有任意一个小区域A，如果它的面积为 ，则点
落入A中的可能性大小与 成正比，而与A的位置及形状无关，如果“点落入小区域A”这
个随机事件仍然记作A，则由
可得
这一类概率通 常称作几何概 率
定义：一个试验具有下列两个特征： （1）每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个 有度量的几何区域来表示
设B=“第三卷恰好 在中央”，
设C=“各卷自左向 右或自右向左恰成 12345的顺序”，
设D=“某三卷放在 一起”，
4
A 1 4
则P(D)
A33A33 A55
3 10
则P(B) 5 A 5 5
则P(A)
古典概型的概率计算公式
602 302
P( A)
2 602
87.5%.
例3 在直角三角形ABC,其中∠CAB=60°.
在斜边AB上任取一点M,那么AM小于AC的概
率有多大？ 解：记“在斜边AB上任取一点，
AM<AC”为事件A,
C
由于点M随机地落在线段AB上，
故可以认为点M落在线段AB上任一
A M C’
Байду номын сангаас
B 点是等可能的，可将线段AB 看做区 域D.
后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不 小于1m的概率有多大？
1m
1m
C
D 3m E
F
解:设“剪得的两段均不小于1米”为事件A,如图所示 基本事件可视为线段CF上任意一点,构成事件A的基本
事件可视为线段DE上任意一点,所以 P(A)= 1
3
答：剪得的两段均不小于1米的概率为 1
3
探索归纳
问题3：设立了一个可以自由 转动的转盘（如图）,转盘被 等分成12个扇形区域.如果转 盘停止转动时，指针正好指 向阴影区域，则可获得月饼 一盒.
典型例题
例3 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去 工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离 开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
典型例题
解:以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标 Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标 系,假设随机试验落在方形区域内任何一 点是等可能的,所以符合几何概型的条件. 根据题意,只要点落到阴影部 分,就表示父亲在离开家前能 得到报纸,即时间A发生,所以
顾客能拿到月饼的概率是多少？
圆的面积为S
太湖县《古典概型计算》PPT课件
有限性
等可能性
不是古典概型问 题
6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 9 8 7 6 5
（3）（摸球问题）：一个口袋内装有大小相 同的5个红球和3个黄球， 从中一次摸出2 个球。
有限性 是古典概型(两性缺一不可） 等可能性
问题2：求古典概型概率的步骤：
（1）判断是否为等可能性事件；
《古典概型计算》
【回顾复习】 问题1：什么是基本事件？什么是等可能基本事件？ 我们又是如何去定义古典概型？
在一次试验中可能出现的每一基本结果称为基本事件 若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同， 则称这些基本事件为等可能事件 满足以下两个特点的随机试验的概率模型称为古典概型： ⑴所有的基本事件只有有限个 ⑵每个基本事件的发生都是等可能的
3
⑵求摸出两个球都是红球的概率；
设“摸出两个球都是红球”为事件A
m 10 5 因此 P ( A) 则A中包含的基本事件有10个， n 28 14
⑶求摸出的两个球都是黄球的概率；
设“摸出的两个球都是黄球” 为事件B，
3 则事件B中包含的基本事件有3个，故P(B)= 28
⑷求摸出的两个球一红一黄的概率。
A所包含的基本事件的个数 3 1 P A ＝ 基本事件的总数 6 2
例2（掷骰子问题）：将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数。 问：⑴两数之和是3的倍数的结果有多少种？ 两数之和是3的倍数的概率是多少？ ⑵两数之和不低于10的结果有多少种？ 两数之和不低于10的的概率是多少？ 第 二 6 7 8 9 10 11 12 次 抛 5 6 7 8 9 10 11 掷 4 5 6 7 8 9 10 建立模型 后 向 3 4 5 6 7 8 9 上 的 2 3 4 5 6 7 8 解：由表可 点 1 2 3 4 5 6 7 知，等可能基 数 本事件总数为 1 2 3 4 5 6 36种。 第一次抛掷后向上的点数
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7 32 答： （1 ） ， （2） 33 55
作业
1、在房间里有10个人,分别佩带从1到10号 的纪念章,先任选3个人记录纪念章号码.(1) 求最小号码为5的概率.(2)最大号码为5的 概率. 2、某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶, 黑漆4桶,红漆3桶,在搬运的过程中所有标 签脱落,交货人随意将这些油漆发给顾客. 问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红 漆的顾客。能按所订颜色如数得到订货的 概率是多少？
组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个， 共有
n A n! C k k! k!(n k )!
k n k n
种取法.
1、抽球问题
例1 设合中有3个白球，2个红球，现从合中 任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A-----取到一红一白
N(S) C
50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中 有3个铆钉强度太弱.每个部件用3个铆钉; 若将3只强度太弱的铆钉装在同一个部件上, 则这个部件强度就太弱.问发生一个部件强 度太弱的概率是多少?
1 答： 1960
某人共买了11只水果,其中3只是二级品,8 只是一级品,随机地将水果分给A,B,C三人, 各人分别得到4只,6只,1只. (1)求A未拿到二级品的概率 (2)求A,B均拿到二级品而C未拿到二级品的 概率
概率论与数理统计
第二讲 古典概型的计算
古典概型
古典概型中事件的概率
概率的性质
二、古典概型的几类基本问题 复习：排列与组合的基本概念 乘法公式：设完成一件事需分两步， 第一步有n1种方法,第二步有n2种方法， 则完成这件事共有n1n2种方法
加法公式：设完成一件事可有两种途径，第 一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方 法，则完成这件事共有n1+n2种方法。
2 5
1 1 N ( A) C3 C2
CC 3 P ( A) 2 C5 5
1 3
1 2
答:取到一红一白的概率为3/5
课堂练习
袋中有a个白球和b个黑球，每次从袋中取一个球， 取出的球不放回，连续取K个球，求第k次取到白 球的概率。
在一批产品中（100个）有20个次品，从这批产 品中任意取5个产品，求其中恰有1个次品的概率。 合中有10个球，其中4个白球，4个黑球，2个红 球。现从合中随机取3个球，求：1）恰好有两个 白球的概率，2）至少含有一个白球的概率
n! n1!.... nm !
4 随机取数问题 例4 从1到200这200个自然数中任取一个,
(1)求取到的数能被6整除的概率
(2)求取到的数能被8整除的概率 (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率 解:N(S)=200, N(1)=[200/6]=33,
N(2)=[200/8]=25
N(3)=[200/24]=8
有重复排列：从含有n个元素的集合中随机
抽取k 次，每次取一个，记录其结果
后放回，将记录结果排成一列，
n n n
n
共有nk种排列方式.
无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，
每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，
n n-1 n-2
n-k+1
共有Ank=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.
(1),(2),(的定义及性质
随机取球 问题
随机分球 问题
随机取数 问题
52张扑克分发给甲、乙、丙、丁4个人，求 (1)甲拿到4个A的概率 (2)4个A在一个人手上的概率。 (3)每人手上都有A的概率。
11 44 2197 答： (1) , (2) (3) 0.105 4165 4165 20825
一般地，设合中有N个球，其中有M个白 球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有 k个白球的概率是
C C p C
k M
n k N M n N
在实际中，产品的检验、疾病的抽查 、农作物的选种等问题均可化为随机 抽球问题。我们选择抽球模型的目的 在于是问题的数学意义更加突出，而 不必过多的交代实际背景。
30! N(S) C C C 10! 10! 10!
10 30 10 20 10 10
27! 3! 9! 9! 9! 50 P ( A) N (S) 203
3 C C C P ( B) N(S)
7 27 10 20
10 10
一般地，把n个球随机地分成m组(n>m),
要求第 i 组恰 有ni个球(i=1,…m)，共有分法：
一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN)， 则每盒至多有一球的概率是：
A p N
n N n
某班级有n 个人(n365)， 问至少有两个人的生日在同一天
的概率有多大？
3.分组问题
例3 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分 成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组
2、分球入盒问题
例2 将3个球随机的放入3个盒子中去，问： （1）每盒恰有一球的概率是多少？
（2）空一盒的概率是多少？ 解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒 2 3 N ( S ) 3 N ( A) 3! P ( A) 9
P( B) 1 P{空两合} P{全有球}
3 2 2 1 3 3 9 3