探究三棱锥的顶点到底面射影问题
三棱锥顶点射影问题
1、重心:三条中线的交点 2、垂心:三条高的交点 3、外心:三条边垂直平分线的交点（或 说△外接圆的圆心）
4、内心:三个角平分线的交点（或说△ 内接圆圆心）
5、中心（正△ 特有）正△的重心、垂 心、内心、外心重合的点
例1：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？
证明：∵OA⊥α PQ α
A
∴ OA⊥PQ
OB⊥β, PQ β
∴ OB⊥PQ
又OA∩OB=0
P
∴PQ⊥平面OAB
而AB 平面OAB
∴ PQ⊥AB
O Q
B
作业：如图S是ABC所在平面外一点，SA SB SB SC，SC SA，H是ABC的垂心， 求证；SH 平面ABC
S
A
H
C
B
作业：如图S是ABC所在平面外一点，SA SB
【解】 如图所示，分别取AB，BC的中点D，E， 连接PD，PE，OD，OE.
因为PA＝PB＝PC， 所以PD⊥AB，PE⊥BC，
因为O是△ABC的外心， 所以OD⊥AB，OE⊥BC， 又因为PD∩DO＝D，OE∩PE＝E， 所以AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO， 于是有AB⊥PO，BC⊥PO，AB∩BC＝B， 从而推得PO⊥平面ABC.
求证：（1）PA BC
A
（2）BC 平面PAC
O
B
解：（1）
C
AB , AC ,
且AB AC A PA AC, PA AB
\ PA 又 BC
(2)QC为圆O上一点，AB 为直径
\ BC AC
由1得BC PA,又Q PA AC A
\ BC 面PAC
三棱锥的几个重要性质,!资料讲解
三棱锥的几个重要性质,!直角三棱锥的几个性质有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。
循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。
我们已经学习过的直角三角形的性质有： 性质1：Rt Δ的垂心就是直角顶点。
性质2：Rt Δ的两个锐角互余。
性质3：Rt Δ两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质4：Rt Δ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，Rt Δ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。
性质5：Rt Δ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。
性质6：Rt Δ斜边上的中线等于斜边的一半。
(所以Rt Δ的外接圆半径R ＝21c ＝2122b a +)。
性质7：Rt Δ的内切圆半径r ＝22b a b a ab+++＝21(a ＋b －c)。
现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。
如图所示，在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c 。
∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴PA ⊥面PBC ，PB ⊥面PCA ，PC ⊥面PAB ， ∴面PAB 、面PBC 、面PCA 两两垂直。
作PH ⊥面ABC 于H ，连CH 并延长并交AB 于D ，连PD ，则PH ⊥AB ，PH ⊥CD ，面PCD ⊥面ABC ；而PC ⊥面PAB ⇒PC ⊥AB ，所以AB ⊥面PCD ，∴AB ⊥PD ，AB ⊥CH 。
同理，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 。
由AB ⊥面PCD 知CD ⊥AB ，而PD ⊥AB 且∠APB ＝ 90°，∴∠ABC 、∠CAB 为锐角。
同理，∠BCA 也是锐角，从而有：性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。
由AB ⊥CH ，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 易知，H 是ΔABC 的垂心，由此可得： 性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。
专题8.3 立体几何综合问题(原卷版)文科生
【考点1】空间角，距离的求法 【备考知识梳理】 1．空间的角(1)异面直线所成的角：如图，已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线','a a b b .则把'a 与'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)．异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦. (2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0︒的角．直线与平面所成角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(3)二面角的平面角：如图在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA 和OB ，则AOB ∠叫做二面角的平面角．二面角的范围是[]0,π.(4)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 3.空间距离:（1）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；常有求法①先证线段AB 为异面直线b a ,的公垂线段，然后求出AB 的长即可．②找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离．③找或作出分别过b a ,且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线b a ,间的距离．（2）点到平面的距离：点Ｐ到直线的距离为点Ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线的距离.在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可.常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离. 【规律方法技巧】1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角. （1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π.求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角; ④补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ. （2）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π.求线面角方法:①利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. ②利用三棱锥的等体积，省去垂足,在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h,利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用斜线段长h =θsin 进行求解.③妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：21cos cos cos θθθ=，如图所示：21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴.（3）确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围[]0,π，解题时要注意图形的位置和题目的要求.求二面角的方法:①直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角,自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角, 自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；③利用定义确定平面角, 在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；DBA Cα②射影面积法.利用射影面积公式cos θ＝S S'；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 【考点针对训练】1. .【2016高考浙江文数】如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，BE=EF=FC =1，BC =2，AC =3.（I ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（II ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.2. 【2016届湖北省武汉市武昌区高三5月调研】如图，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点，Q 是PA 的中点，G 为AOC ∆的重心，AB 是圆O 的直径，且22AB AC ==．（1）求证：//QG 平面PBC ； （2）求G 到平面PAC 的距离． 【考点2】立体几何综合问题 【备考知识梳理】空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点.归纳起来常见的命题角度有： 以多面体为载体综合考查平行与垂直的证明. 探索性问题中的平行与垂直问题. 折叠问题中的平行与垂直问题. 【考点针对训练】1. 【2016届宁夏高三三轮冲刺】如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AC ⊥，AB BC ⊥．设,D E 分别为,PA AC 中点．（1）求证：//DE 平面PBC ； （2）求证：BC ⊥平面PAB ；（3）试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点D ，,E F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．2. 【2016届四川南充高中高三4月模拟三】如图，在正方形ABCD 中，点,E F 分别是,AB BC 的中点，将,AED DCF ∆∆分别沿DE 、DF 折起， 使,A C 两点重合于P .(Ⅰ)求证：平面PBD ⊥平面BFDE ； (Ⅱ)求四棱锥P BFDE -的体积. 【应试技巧点拨】 1．如何求线面角（1）利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. （2）利用三棱锥的等体积，省去垂足在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h ！利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用斜线段长h=θsin 进行求解.（3）妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：21cos cos cos θθθ=，如图所示：21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴. 2.如何求二面角（1）直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角；③利用定义确定平面角；（2）射影面积法.利用射影面积公式cos θ＝S S'；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 3.探索性问题探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.4．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．5．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．6．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可． 【三年高考】1. 【2016高考新课标1文数】平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α=平面,11ABB A n α=平面,则m ,n 所成角的正弦值为（ ）（A ）2 （B ）2 （C ）3（D ）132. 【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△CD 'A ，直线AC 与D 'B 所成角的余弦的最大值是______．3. 【2016高考北京文数】如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥（I ）求证：DC PAC ⊥平面； （II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面C F E ?说明理由.4. 【2016高考天津文数】如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF||AB ，AB=2，BC=EF=1，DE=3，∠BAD=60º，G 为BC 的中点.(Ⅰ)求证：//FG 平面BED ；(Ⅱ)求证：平面BED ⊥平面AED ；(Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.5. 【2016高考新课标1文数】如图,在已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,PA =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ,连接PE 并延长交AB 于点G . （I ）证明G 是AB 的中点；（II ）在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由）,并求四面体PDEF 的体积．PABD CGE6. 【2015高考浙江，文7】如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支7.【2015高考福建，文20】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．8.【2015高考四川，文18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (Ⅰ)请按字母F ，G ，H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明：直线DF ⊥平面BEGAB FHED C G CD EAB9.【2015高考重庆，文20】如题（20）图，三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC=2π，点D 、E 在线段AC 上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F 在线段AB 上，且EF//BC. (Ⅰ)证明：AB ⊥平面PFE.(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC 的体积为7，求线段BC 的长.题（20）图AC10. 【2014高考重庆文第20题】如题（20）图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，2,3AB BAD π=∠=，M 为BC 上一点，且12BM=. （Ⅰ）证明：BC⊥平面POM ；（Ⅱ）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积.11. 【2014高考全国1文第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11. （1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高.12.【2014高考江西文第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，111,BB B A BC AA ⊥⊥. （1）求证：111CC C A ⊥；（2）若7,3,2===BC AC AB ，问1AA 为何值时，三棱柱111C B A ABC -体积最大，并求此最大值.【一年原创真预测】1.已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，ACD ∆为等边三角形，22AD DE AB ===，F 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：平面平面BCE DCE ⊥； （Ⅱ）求B CDE 点到平面的距离.2．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC △是等腰直角三角形，且AB CB ==，且AA 1=3，D 为11AC 的中点，F 在线段1AA 上,设11A F tAA =（102t <<），设11=B C BC M ．MFDC 1B 1A 1CBA（Ⅰ）当取何值时，CF ⊥平面1B DF ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求四面体1F B DM -的体积．3.如图，三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ，PA PB AB BC 6====，点M ，N 分别为PB,BC 的中点．（I ）求证：AM ⊥平面PBC ； （Ⅱ）E 是线段AC 上的点，且AM 平面PNE .①确定点E 的位置；②求直线PE 与平面PAB 所成角的正切值．4.如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC=60°，点F 在斜边AB 上，且AB=4AF ，D ，E 是平面ABC 同一侧的两点，AD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，AD=3，AC=BE=4.(Ⅰ)求证：CD ⊥EF ；(Ⅱ)若点M 是线段BC 的中点，求点M 到平面EFC 的距离.5. 如图所示，在边长为12的正方形11ADD A 中，点,B C 在线段AD 上，且3,4AB BC ==,作11//BB AA ，分别交111,A D AD 于点1B ，P .作11//CC AA ，分别交111,A D AD 于点1C ，Q .将该正方形沿11,BB CC 折叠，使得1DD 与1AA 重合，构成如图的三棱柱111ABC A B C -.（1）求证：AB ⊥平面11BCC B ； （2）求四棱锥A BCQP -的体积.【考点1针对训练】 1.2.【考点2针对训练】 1.又因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//EF PBC ．又因为DE EF E =，所以平面//DEF 平面PBC ，所以平面DEF 内的任一条直线都与平面PBC 平行．2.【三年高考】 1. 【答案】A//',//'m m n n ,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ,过1D 作11//D E B C ,连接11,CE B D ,则CE 为'm ,同理11B F 为'n ,而111//,//BD CE B F A B ,则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角,即为60 ,故,m n所成角的正弦值为2,故选A. 2.3. 【解析】（I ）因为C P ⊥平面CD AB ，所以C DC P ⊥．又因为DC C ⊥A ，所以DC ⊥平面C PA ． （II ）因为//DC AB ，DC C ⊥A ，所以C AB ⊥A ．因为C P ⊥平面CD AB ，所以C P ⊥AB ．所以AB ⊥平面C PA ．所以平面PAB ⊥平面C PA ．（III ）棱PB 上存在点，使得//PA 平面C F E ．证明如下：取PB 中点，连结F E ，C E ，CF ．又因为E 为AB 的中点，所以F//E PA ．又因为PA ⊄平面CF E ，所以//PA 平面C F E ．4.5.6. 【答案】C【解析】由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.7.解法二：（I）、（II）同解法一．8.【解析】(Ⅰ)点F ，G ，H 的位置如图所示9.【解析】如题(20)图.由,DE EC PD PC ==知，E 为等腰PDC D 中DC 边的中点，故PE AC ^，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，PE Ì平面PAC ，PE AC ^，所以PE ^平面ABC ，从而PE AB ^.因ABC=,,AB EF 2EF BC p衈故. 从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ^平面PFE .(2)解：设BC=x ,则在直角ABC D中，从而11S AB BC=22ABC D =?由EFBC ，知23AF AE AB AC ==，得AEF ABC DD ,故224()S 39AEF ABC S D D ==，即4S 9AEF ABC S D D =.FCDEAB GHO由1AD=2AE ,11421S S =S S 22999AFB AFE ABC ABC D D D D =?=从而四边形DFBC 的面积为DFBC11S S -=29ABC ADF S D D =718=(1)知，PE PE ^平面ABC ，所以PE 为四棱锥P-DFBC 的高.在直角PEC D 中，=体积DFBC 117S 73318P DFBC V PE -=鬃=?,故得42362430x x -+=，解得2297x x ==或，由于0x >，可得3x x ==或.所以3BC =或BC =10.11.12.【解析】（1）证明：由1AA BC ⊥知1BB BC ⊥,又11BB A B ⊥,故1BB ⊥平面1,BCA 即11BB AC ⊥,又11//BB CC ，所以11.AC CC ⊥（2）设1,AA x =在11Rt A BB ∆中1BA同理1AC 在1A BC ∆中,2222111111cos 2A B AC BC BAC BAC A B AC +-∠==∠=⋅11111sin 2A BCS A B A C BA C ∆=⋅∠=从而三棱柱111ABC A B C -的体积为11133A BC V BB S ∆=⨯⨯=因=故当x =时，即1AA =时，体积V取到最大值【一年原创真预测】1.【解析】（Ⅰ）DE ⊥平面ACD ，F A ⊂平面CD A ∴DE AF ⊥，又等边三角形ACD 中AF CD ⊥, D CD D E =，D E ⊂平面CD E ，CD ⊂平面CD E ，∴平面AF ECD ⊥，取CE 的中点M ，连接BM,MF ，则MF 为△CDE 的中位线，故1////,2MF DE AB MF DE AB ==,所以四边形ABMF 为平行四边形，即MB//AF,MB⊂平面C B E ，F A ⊄平面C B E ，//BCE 平面AF ∴，平面平面BCE DCE ∴⊥.（Ⅱ）因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，所以AB //DE ，故AB //平面DCE ，B CDE 点到平面的距离h 等于A CDE 点到平面的距离d ，由体积相等A DCE E ACD V V --=得,1133DCE ADC S d S DE ∆∆⋅=⨯,011112222sin 6023232d ⋅⨯⨯⋅=⨯⨯⨯⨯，解得h d ==.2．（Ⅱ）由已知得111111==22F B DM M B DF C B DF B CDF V V V V ----=，因为FD FC 1=22CDF S DF FC ⋅=△，由（Ⅰ）得1B D ⊥平面DFC ，故112=21=33B CDF V -⨯⨯，故1F B DM -的体积为13．3.②作EH AB ⊥于H ，则EH //BC ，∴EH ⊥平面PAB ，∴EPH ∠是直线PE 与平面PAB 所成的角.∵1AH AB 23==，π6=3PA PAH =∠， ∴PH ==1EH BC 23==，∴EH tan EPH PH 7∠==，即直线PE 与平面PAB 所成角的正切值为7.4.5.。
三棱锥顶点射影与底面三角形的心
三棱锥顶点射影与底面三角形的心
编辑整理：乔明
设有三棱锥P-ABC，P在平面ABC上的射影为O。
外心
1当三棱锥的三条侧棱相等时，顶点在底面的射影是底面三角形的外心。
2当三棱锥的三条侧棱与底面所成角相等，顶点在底面的射影是底面三角形的外心。
内心
1当三棱锥的顶点到底面三角形三边距离相等，且顶点在底面的射影在底面三角形的内部，那么射影是内心。
2当三棱锥的各个侧面与底面构成的二面角相等，且顶点在底面的射影在底面三角形的内部，那么射影是内心。
垂心
1当三棱锥的三条侧棱两两垂直(或每条侧棱都与所对的侧面垂直)时，顶
点在底面的射影是底面三角形的垂心。
2当三棱锥有两条侧棱与对应的对边垂直时，第三组侧棱与对边也垂直，且顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。
重心
当三棱锥的三个侧面在底面上的射影面积相等时，顶点在底面的射影是底面三角形的重心。
旁心
1当三棱锥的顶点到底面三角形三边距离相等，且顶点在底面的射影在底面三角形的外部，那么射影是旁心。
2当三棱锥的各个侧面与底面构成的二面角相等，且顶点在底面的射影在底面三角形的外部，那么射影是旁心。
高三一轮数学知识点：棱锥的性质总结
高三一轮数学知识点：棱锥的性质总结【】到了高三总复习的时候发觉有许多的数学知识点还没有明白得，而这些知识点往往确实是必考的知识点，查字典数学网对此做了相关的高三一轮数学知识点资料，请同学们参考学习!棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面差不多上全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高).②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶专门棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径;⑧每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面差不多上等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.()(各个侧面的等腰三角形不知是否全等)ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必定垂直.简证：ABCD，ACBDBCAD. 令得，已知则iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.简证：取AC中点，则平面90易知EFGH为平行四边形EFGH为长方形.若对角线等，则观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。
随机观看也是不可少的，是相当有味的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，小孩一边观看，一边提问，爱好专门浓。
棱锥的性质总结
棱锥的性质总结
棱锥的性质总结
棱锥具有的性质：
①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高).
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.
⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.
⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.
⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径;。
射影问题
投影问题内容：立体几何中的投影问题引子：上小学的小明和小胖为在太阳下的影子问题吵翻了，找到上高中的二牛评理；小明说：我早上上学时看到我的影子朝西边，可小胖硬说影子朝东边。
小胖说：我昨天下午回家时确实看到影子朝东边。
二牛听后说你们俩都对。
他们俩半信半凝。
同学们，你们能给小明和小胖说清楚吗？投影问题可分为两类一．正投影问题解决这类问题总是过投影点向线或面作垂线1.直角三角形ABC的直角顶点C在平面α内，斜边AB∥α，A、B在α内的射影分别为A´、B´，（1）求证：ΔA ´B´C是钝角三角;（2）当AC，BC与平面α所成的角分别为30o和45o时,求cos∠A´CB´的值.2．A、B分别是60o的二面角α-l-β的面α、β上的点，AA1⊥β于A1，BB1⊥α于B1，A1B1到l的距离分别为a、b，A、B在棱l上的射影间的距离为c(如图)，求ABl3．ABCD是矩形，四个顶点在平面α内的射影分别A´、B´、C´、D´，直线A´B´与C´D´不重合。
（1）求证：A´B ´C´D´是平行四边形；（2）在怎样的条件下A´B´C´D´也是矩形？并证明你的结论。
4．设正四棱锥P的底是边长为2 的正方形，高为h，平面π平行于正方形的一条对角线，与P的底面交角为α，把P正投影到π上，问α为多大时，所得图形的面积最大？最大值是多少？二.影子长和面积问题解决这类问题总是过物体外缘作光线的平行线与地平面相交5．北纬38o 的开阔平地上，在楼高为H 的楼房北面盖新楼，欲使新楼底层全年太阳光线不被遮档，两楼距离应不小于多少？6．抗洪抡险战士在炎热的夏天准备盖一个遮阳棚，决定利用一面南北方向的墙，如图中平面BG 表示，上面用AC=3m,BC=4m,AB=5m 的角钢焊成（将AB 放在墙上），他们认为从正西方向射出的太阳光线与地面成75o角时，气温最高，要使此时遮阳棚的遮阳面积最大，遮阳棚ABC 面与水平面应成多大角度？练习1.点光源S 与屏幕之间有一个直径为2的小球，球心O 与点光源S 连线与屏幕垂直，O 点到S 与屏幕之间的距离都是2,则该球在屏幕上的投影的阴影面积为.D.16 C.3 B.4 316.ππππA2.如图,E,F 分别为正方体的面ADD 1A 1,面BCC 1B 1的中心, 则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是________. (要求:把可能的图的序号都填上)3.ΔABC 是边长为2的正三角形，BC ∥平面α，A 、B 、C 在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A ´、B ´、C ´,若ΔA ´B ´C ´为直角三角形，BC 与α间的距离为5,则A 到平面α的距离为_______.4.地球半径为R ，卫星电波能直射到地球表面三分之一，则卫星高度为_____________.5.在半径为30m 的圆形广场上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120o .若要光源恰照亮整个广场，其高度应为_________.AB C D EF A 1 B 1 C 1 D 1 ① ② ③ ④7．从平面α外一点P 向平面α引垂线PO 和斜线PA 、PB ，垂足为O ，斜足为A 、B ，PA 、PB 和平面α所成角的差为45o ,且在平面α上的射影长分别为2和12，求PO 的长8.已知直角三角形ABC 的斜边BC 在平面α内，两直角边AB ，AC 与α都斜交，A 在α上的射影是O （O 不在BC 上），求证：∠BOC 是钝角。
三棱锥常用结论
三棱锥常用结论：
1.三条棱两两相等的三棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的外心.
2.三条棱两两相互垂直的三棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的垂心.
3.三条棱两两相互垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等于三条棱的平方和.
例.已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4,则该三棱锥的外接球半径为？
解：设其外接球的半径为R，则有222
=++.
2R a b c
三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球，
就是三棱锥扩展为长方体的外接球，所以长方体的对角线的长度为：=6，所以该三棱锥的外接球的半径为：3.。
正三棱锥
正三棱锥：底面为等边三角形，三条侧棱相等，顶点在底面的射影是三角形的中心【即内心[到三条边的距离相等]，外心[到底面的三个顶点距离相等]，中心是外心、内心还是垂心】；各侧面和各侧棱与底面的二面角和夹角相等；外切球与内切球的球心在同一点，球心到顶点的距离等于到面距离的两倍长，即外切球球心是内切球球心的半径的两倍长。
正四棱锥：四个面都是正方形，是特殊的正三棱锥；顶点在底面的射影是三角形的中心【即内心[到三条边的距离相等]，外心[到底面的三个顶点距离相等]，中心是外心、内心还是垂心】；各侧面和各侧棱与底面的二面角和夹角相等；外切球与内切球的球心在同一点，球心到顶点的距离等于到面距离的三倍，即外切球球心是内切球球心的半径的三倍长。
正三棱柱：底面是等边三角形，侧棱相等、平行,且都垂直于底面，侧面都为长方形，上下两面互相平行。
正四棱柱：底面为正方形，侧棱相等、平行,且都垂直于底面，侧面都为长方形，上下两面互相平行。
高中数学知识点总结：棱锥的性质
高中数学知识点总结：棱锥的性质
高中数学知识点总结：棱锥的性质数学网整理高中数学知识点总结：包括有关函数、数列、平面解析几何、立体几何等知识点的整理。
数学网各科复习资料：
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棱锥具有的性质：
①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高).
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.
⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.。
新必修二-第八章.立体几何初步-8.6空间直线、平面的垂直(知识点一：直线与平面垂直)
8.6空间直线、平面的垂直（知识点一：直线与平面垂直）一．选择题（共30小题）1．如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB＝，D为直角边BC上的一点，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H 在线段AB上，设AH＝x，则x的取值范围是（）A．（1，）B．（，1）C．（，）D．（0，1）2．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面AA1B1B（含边界）上的动点，要使AB1⊥平面C1DF，则线段C1F 的长的最大值为（）A．B．C．D．3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AP＝2，AB ＝BC＝1，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于点F，设PF＝λPC，则λ＝（）A．B．C．D．4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列判断正确的是（）A．A1C⊥面AB1D1B．A1C⊥面AB1C1DC．A1B⊥面AB1D1D．A1B⊥AD15．如图，在△ABC中，P A⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（）A．5B．6C．7D．86．已知平面α∥β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．在三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB＝SC，则点S在平面ABC的射影一定在（）A．BC边的中线上B．BC边的高线上C．BC边的中垂线上D．∠BAC的平分线上8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是（）A．AD1⊥DP B．AP⊥B1C C．AC1⊥DP D．A1P⊥B1C9．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能使a⊥b成立是（）A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（）A．MN⊥CC1B．MN⊥平面ACC1A1C．MN∥AB D．MN∥平面ABCD11．已知三条直线a，b，c及平面α，具备以下哪一条件时a∥b？（）A．a∥α，b∥αB．a⊥c，b⊥cC．a⊥c，c⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α12．如图在矩形ABCD中，，BC＝2，将△ACD沿着AC折起．使得D折起的位置为D1，且D1在平面ABC的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，其中面面互相垂直的对数为（）A．2对B．3对C．4对D．5对13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列结论中正确的有：（）①总存在某个位置，使CE⊥平面A1DE；②总有BM∥平面A1DE；③存在某个位置，使DE⊥A1C．A．①②B．①③C．②③D．①②③14．在空间直角坐标系中，O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，c），D（2，d，﹣1），若直线OD⊥平面ABC，则实数c，d的值分别是（）A．2，﹣1B．﹣2，1C．，1D．，﹣115．在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB1⊥BC，则B1在底面ABC上的射影H 必在（）A．直线AC上B．直线BC上C．直线AB上D．△ABC内部16．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC其中正确的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④17．阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是（）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，BC⊥AC求证：BC⊥P A证明：因为平面P AC⊥平面ABC平面P AC∩平面ABC＝ACBC⊥AC，BC⊂平面ABC所以______．因为P A⊂平面P AC．所以BC⊥P AA．AB⊥底面P AC B．AC⊥底面PBC C．BC⊥底面P AC D．AB⊥底面PBC 18．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在（）A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC内部19．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内（）A．不存在与l垂直的直线B．存在一条与l垂直的直线C．存在无数条与l垂直的直线D．任一条都与l垂直20．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，A1B1的中点．点P在该正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于（）A．4B．C．D．21．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则（）A．AE⊥CC1B．AE⊥B1D1C．AE⊥BC D．AE⊥CD22．已知P是△ABC所在平面外一点，P A，PB，PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内，则H一定是△ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心23．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是（）A．B．C．D．24．如图所示，已知P A⊥面ABC，AD⊥BC于D，BC＝CD＝AD＝1，令PD＝x，∠BPC＝θ，则（）A．B．C．D．25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，则四面体P﹣ABC中直角三角形的个数为（）A．4B．3C．2D．126．如图，在下列四个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是（）A．B．C．D．27．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝2BC，E是CD上一点，若AE⊥平面PBD，则的值为（）A．B．C．3D．428．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为（）A．B．1C．D．229．下列说法不正确的是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．同一平面的两条垂线一定共面30．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列判断错误的是（）A．A1D与AC所成角为60°B．A1D⊥BC1C．A1D⊥AC1D．A1D⊥B1D1二．填空题（共20小题）31．已知四边形ABCD为平行四边形，P A⊥平面ABCD，当平行四边形ABCD满足条件时，有PC⊥BD（填上你认为正确的一个条件即可）．32．如图，已知球O的面上有四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝，则球O的体积等于．33．如图，矩形ABCD的长AB＝2，宽AD＝x，若P A⊥平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q，使得PQ⊥BQ，则x的范围是．34．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，则四个侧面△P AB，△PBC，△PCD，△P AD中，有个直角三角形．35．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝x，将△ABD沿矩形对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则．①∀x∈（0，2），都存在某个位置，使得AB⊥CD②∀x∈（0，2），都不存在某个位置，使得AB⊥CD③∀x＞1，都存在某个位置，使得AB⊥CD④∀x＞1，都不存在某个位置，使得AB⊥CD36．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝．37．已知在矩形ABCD中，AB＝，BC＝a，P A⊥平面ABCD，若在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，则a的最小值是．38．在三棱锥P﹣ABC中，点O是点P在底面ABC内的射影．①若P A＝PB＝PC，则O是△ABC心；②若P A⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的心；③若侧面P AB，PBC，P AC与底面ABC所成的二面角相等，则O是△ABC的心．39．如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF．其中正确的是（填序号）．40．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD．已知AB＝1，AA1＝，E为AB上一个动点，则D1E+CE的最小值为．41．边长为a的正三角形ABC的边AB、AC的中点为E、F，将△AEF沿EF折起，此时A 点的新位置A'使平面A'EF⊥平面BCFE，则A'B＝．42．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，PB＝BC，F为BC的中点，DE垂直平分PC，且DE分别交AC，PC于点D，E．（1）证明：EF∥平面ABP；（2）证明：BD⊥AC．43．P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．（1）若P A、PB、PC两两互相垂直，则O点是△ABC的心；（2）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC内部，则点O是△ABC的心；（3）若P A⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，则点O是△ABC的心；（4）若P A、PB、PC与底面ABC成等角，则点O是△ABC的心．44．如图，矩形ABCD的边AB＝4，AD＝2，P A⊥平面ABCD，P A＝3，点E在CD上，若PE⊥BE，则PE＝．45．已知三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，PC两两垂直，则点P在底面内的射影是△ABC的心．46．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线P A垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点．有以下四个命题：①MO∥平面P AC；②P A∥平面MOB；③OC⊥平面P AC；④平面P AC⊥平面PBC．其中正确的命题的序号是．47．已知直线l⊥平面α，垂足为O，三角形ABC的三边分别为BC＝1，AC＝2，AB＝．若A∈l，C∈α，则BO的最大值为．48．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各条棱所在的直线中，与直线AA1垂直的条数共有条．49．若△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，PC⊥平面ABC，PC＝2，P′是AB 上的动点，则△PP′C的面积的最小值为．50．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝时，CF⊥平面B1DF．8.6空间直线、平面的垂直（知识点一：直线与平面垂直）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．【分析】推导出AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D ＝90°，CH⊥平面ABC，从而AH＜AC1＝1，当CD＝1时，B与D重合，AH＝，当CD＜1时，AH＞＝，由此能求出x的取值范围．【解答】解：∵在等腰Rt△ABC中，斜边AB＝，D为直角边BC上的一点，∴AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH＝x，∴AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，∴AH＜AC1＝1，故排除选项A和选项C；当CD＝1时，B与D重合，AH＝，当CD＜1时，AH＞＝，∵D为直角边BC上的一点，∴CD∈（0，1），∴x的取值范围是（，1）．故选：B．【点评】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．2．【分析】以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段C1F长的最大值．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面AA1B1B（含边界）上的动点，以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，设F（0，a，b），0≤a≤1，0≤b≤2，由题意得A（1，0，2），B1（0，1，0），C1（0，0，0），D（，0），＝（﹣1，1，﹣2），＝（，0），＝（0，a，b），∵AB1⊥平面C1DF，∴，解得a＝2b，∴F（0，2b，b），∵0≤a≤1，0≤b≤2，a＝2b，∴0，∴线段C1F的长的最大值为：||＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查线段长的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3．【分析】延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，由已知可确定点F为三角形的重心，从而可得答案．【解答】解：延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，平面ABE即为平面AEG，连接PG，因为AD＝2BC，且AD∥BC，可得点C，B分别是DG和AG的中点，又点E是PD的中点，即GE和PC分别为△PDG的中线，从而可得点F为△PDG的重心，即PF＝λPC，可得λ＝，故选：C．【点评】本题考查平面的确定和三角形的重心的性质，考查分析和推理能力，属于中档题．4．【分析】由已知证明A1C⊥B1D1，A1C⊥AB1，得A1C⊥平面AB1D1，说明A正确，B不正确，再求出A1B与AD1所成角为60°，说明C，D错误．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，又CC1⊥B1D1，且A1C1∩CC1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C，则A1C⊥B1D1，同理A1C⊥AB1，则A1C⊥平面AB1D1，故A正确，B不正确；连接D1C，AC，则∠AD1C为A1B与AD1所成角，为60°，故C、D不正确．故选：A．【点评】本题考查直线与平面存在着的判定，考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．5．【分析】在△ABC中，P A⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，由此能求出图中直角三角形的个数．【解答】解：∵在△ABC中，P A⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，∴图中直角三角形有：△ABD，△ADC，△P AD，△P AB，△P AC，△PBD，△PCD，共7个．故选：C．【点评】本题考查直角三个形个数的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．【分析】根据题意，由直线与平面垂直的性质，结合充分必要条件的定义，分析可得答案．【解答】解：根据题意，“a⊥α”，又由平面α∥β，则有“a⊥β”，则“a⊥α”是“a⊥β”的充分条件，反之，若“a⊥β”，又由平面α∥β，则有“a⊥α”，则“a⊥β”是“a⊥β”的必要条件，则“a⊥α”是“a⊥β”的充要条件；故选：C．【点评】本题考查充分必要条件的判定，涉及直线与平面垂直的性质，属于基础题．7．【分析】设点S在平面ABC上的射影为O，连结OA、OB、OC，由SA＝SB＝SC，得到O是△ABC的外心，从而点S在平面ABC的射影一定在BC边的中垂线上．【解答】解：设点S在平面ABC上的射影为O，连结OA、OB、OC，∵SA＝SB＝SC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，∴点S在平面ABC的射影一定在BC边的中垂线上．故选：C．【点评】本题考查三棱锥中顶点到底面上的射影位置的判断，考查空间位置关系和空间思维能力的培养，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．8．【分析】推导出B1C⊥BC1，B1C⊥AB，从而B1C⊥平面ABC1D1，由此能得到AP⊥B1C．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB＝B，∴B1C⊥平面ABC1D1，∵点P是线段BC1上任意一点，∴AP⊥B1C．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．【分析】在A中，a，b相交、平行或异面；在B中，a，b相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的性质定理得a⊥b；在D中，由线面垂直的性质定理得a∥b．【解答】解：由a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，得：在A中，∵a⊥c，b⊥c，∴a，b相交、平行或异面，故A错误；在B中，∵α⊥β，a⊂α，b⊂β，∴a，b相交、平行或异面，故B错误；在C中，∵a⊥α，b∥α，∴由线面垂直的性质定理得a⊥b，故C正确；在D中，∵a⊥α，b⊥α，∴由线面垂直的性质定理得a∥b，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．10．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【解答】解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，则B（2，2，0），C1（0，2，2），M（1，2，1），D1（0，0，2），C（0，2，0），N（0，1，1），＝（﹣1，﹣1，0），＝（0，0，2），∴•＝0，∴MN⊥CC1，故A正确；A（2，0，0），＝（﹣2，2，0），＝2﹣2+0＝0，∴AC⊥MN，又MN⊥CC1，AC∩CC1＝C，∴MN⊥平面ACC1A1，故B成立；∵＝（0，2，0），＝（﹣1，﹣1，0），∴MN和AB不平行，故C错误；平面ABCD的法向量＝（0，0，1），＝0，又MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11．【分析】在A中，a，b相交、平行或异面；在B中，a，b相交、平行或异面；在C中，a，b相交、平行或异面；在D中，由线面垂直的性质定理得a∥b．【解答】解：在A中，∵a∥α，b∥α，∴a，b相交、平行或异面，故A错误；在B中，∵a⊥c，b⊥c，∴a，b相交、平行或异面，故B错误；在C中，∵a⊥c，c⊥α，b∥α，∴a，b相交、平行或异面，故C错误；在D中，∵a⊥α，b⊥α，∴由线面垂直的性质定理得a∥b，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．12．【分析】设D1在平面ABC的射影为E，连接D1E，根据线面垂直的性质与判定，面面垂直的判定定理寻找互相垂直的平面．【解答】解：设D1在平面ABC的射影为E，连接D1E，则D1E⊥平面ABC，∵D1E⊂平面ABD1，∴平面ABD1⊥平面ABC．∵D1E⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，∴BC⊥平面ABD1，又BC⊂平面BCD1，∴平面BCD1⊥平面ABD1，∵平面BC⊥平面ABD1，AD1⊂平面ABD1，∴BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C，∴AD1⊥平面BCD1，又AD1⊂平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BCD1．∴共有3对平面互相垂直．故选：B．【点评】本题考查互相垂直的平面的对数的判断，考查线面垂直的性质与判定，面面垂直的判定等基础知识，是中档题．13．【分析】在①中，总存在某个位置，使CE⊥平面A1DE；在②中，取CD中点F，连接MF，BF，可得平面MBF∥平面A1DE，总有BM∥平面A1DE；在③中，A1C在平面ABCD 中的射影为AC，AC与DE不垂直，从而DE与A1C不垂直．【解答】解：在①中，总存在某个位置，使CE⊥平面A1DE，①正确；在②中，取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥A1D且MF＝A1D，FB∥ED且FB＝ED，由MF∥A1D与FB∥ED，可得平面MBF∥平面A1DE，∴总有BM∥平面A1DE，故②正确；在③中，A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴DE与A1C不垂直，故③错误．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．14．【分析】求出＝（2，d，﹣1），＝（﹣1，2，0），＝（﹣1，0，c），由直线OD ⊥平面ABC，列出方程组，能求出实数c，d的值．【解答】解：∵在空间直角坐标系中，O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，c），D（2，d，﹣1），∴＝（2，d，﹣1），＝（﹣1，2，0），＝（﹣1，0，c），∴，解得c＝﹣2，d＝1．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．【分析】由题意知要判断B1在底面ABC上的射影H，需要看过这个点向底面做射影，观察射影的位置，根据BC与一个平面上的两条直线垂直，得到BC与两条直线组成的面垂直，根据面面垂直的判断和性质，得到结果．【解答】解：∵在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB1⊥BC，∴BC⊥AC，又AC∩AB1＝A，∴BC⊥平面ACB1，BC⊂平面ABC，∴平面ACB1⊥平面ABC，∴B1在底面ABC上的射影H必在两平面的交线AC上．故选：A．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查直线与平面垂直的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查平面与平面垂直的性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16．【分析】设等腰直角三角形△ABC的腰为a，则斜边BC＝a，①利用面面垂直的性质定理易证BD⊥平面ADC，又AC⊂平面ADC，从而可知BD⊥AC，可判断①；②依题意及设法可知，AB＝AC＝a，BD＝CD＝a，利用勾股定理可求得BC＝•a＝a，从而可判断②；③又因为DA＝DB＝DC，根据正三棱锥的定义判断；④作出平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，利用BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，从而可判断④．【解答】解：设等腰直角三角形△ABC的腰为a，则斜边BC＝a，①∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，又平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD＝AD，BD⊥AD，BD⊂平面ABD，∴BD⊥平面ADC，又AC⊂平面ADC，∴BD⊥AC，故①正确；②由A知，BD⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，∴BD⊥CD，又BD＝CD＝a，∴由勾股定理得：BC＝•a＝a，又AB＝AC＝a，∴△ABC是等边三角形，故②正确；③∵△ABC是等边三角形，DA＝DB＝DC，∴三棱锥D﹣ABC是正三棱锥，故③正确．④∵△ADC为等腰直角三角形，取斜边AC的中点F，则DF⊥AC，又△ABC为等边三角形，连接BF，则BF⊥AC，∴∠BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，由BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，故平面ADC与平面ABC不垂直，故④错误；综上所述，正确的结论是①②③．故选：B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查线面垂直的判定与应用，考查二面角的作图与运算，属于中档题．17．【分析】根据面面垂直的性质定理判断即可．【解答】解：根据面面垂直的性质定理判定得：BC⊥底面P AC，故选：C．【点评】本题考查了面面垂直的性质定理，考查数形结合思想，是一道基础题．18．【分析】由条件，根据线面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．【解答】解：如图：∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，∴AC⊥BC1，而BC1、AB为平面ABC1的两条相交直线，根据线面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．故选：B．【点评】本题主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，属于中档题．19．【分析】平面α内与l在α内的射影垂直的直线，垂直于直线l，这样的直线有无数条，故可得结论．【解答】解：平面α内与l在α内的射影垂直的直线，垂直于直线l，这样的直线有无数条，故A、B不正确，C正确；若在平面α内，任一条都与l垂直，则直线l与平面α垂直，与题设矛盾，故D不正确故选：C．【点评】本题考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．【分析】取CC1的中点G，连接DGMA，设BN交AM与点E，则使BN与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM，由此可得使BN与MP垂直的点P所构成的轨迹的周长．【解答】解：如图，取CC1的中点G，连接DGMA，设BN交AM与点E，则MG∥BC，∵BC⊥平面ABA1B1，NB⊂平面ABA1B1，∴NB⊥MG，∵正方体的棱长为1，M，N分别是A1B1，BB1的中点，△BEM中，易得∠MBE＝∠MAB，可得∠MEB＝∠ABM＝90°，可得：BN⊥AM，MG∩AM＝M，∴NB⊥平面ADGM，∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM，∵正方体的棱长为1，∴故由勾股定理可得，使B1C与MP垂直的点P所构成的轨迹的周长等于2+．故选：D．【点评】本题主要考查了立体几何中的轨迹问题，考查学生的分析解决问题的能力，解题的关键是确定使BN与MP垂直的点P所构成的轨迹，属于中档题．21．【分析】根据线面垂直和线线垂直的性质判断即可．【解答】解：如图示：，连接AC，BD，∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴ABCD是正方形，AC⊥BD，CE⊥ABCD，∴BD⊥AC，BD⊥CE，而AC∩CE＝C，故BD⊥平面ACE，∵BD∥B1D1，且B1D1⊊ACE，故B1D1⊥平面ACE，故B1D1⊥AE，故选：B．【点评】本题考查了线线，线面垂直的性质及判定，考查数形结合思想，是一道基础题．22．【分析】点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，从而证得BE⊥AC、AD⊥BC，符合这一性质的点O是△ABC垂心．【解答】解：过P点作PO⊥平面ABC，垂足为O，连结AO并延长，交BC与D，连结BO并延长，交AC与E；因P A⊥PB，P A⊥PC，故P A⊥面PBC，故P A⊥BC；因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面P AO，故AO⊥BC即AD⊥BC；同理：BE⊥AC；故O是△ABC的垂心．故选：C．【点评】本题考查线面垂直的定义与三角形的全等，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23．【分析】由已知几何体为正方体，利用线面垂直的判定逐一分析四个选项得答案．【解答】解：对于A，连接CD，则MN∥CD，在正方体AB中，可证AB⊥CD，则AB⊥MN，同理AB⊥MQ，则有直线AB⊥平面MNQ；对于B，连接CD，则MN∥CD，在正方体AB中，可证AB⊥CD，则AB⊥MN，又AB ⊥NQ，可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，显然AB⊥NQ，连接CD，可得AB∥CD，CD⊥MQ，则AB⊥MQ，∴直线AB ⊥平面MNQ；对于D，若AB⊥平面MNQ，则AB⊥MN，则AB⊥AC，而∠ACB为直角，矛盾，故直线AB与平面MNQ不垂直．故选：D．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．24．【分析】由P A⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC＝CD＝AD＝1，利用x表示P A，PB，PC，由余弦定理得到关于x的解析式，进一步利用x表示tanθ．【解答】解：∵P A⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC＝CD＝AD＝1，设PD＝x，∴可求得：AC＝，AB＝，P A＝，PC＝，BP＝，∴在△PBC中，由余弦定理知：cosθ＝＝，∴tan2θ＝﹣1＝﹣1＝，∴tanθ＝．故选：A．【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，余弦定理的应用，基本不等式的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．25．【分析】由在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，能推导出BC⊥平面P AB．由此能求出四面体P﹣ABC中有多少个直角三角形．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，∴BC⊥P A，BC⊥AB，∵P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB．∴四面体P﹣ABC中直角三角形有△P AC，△P AB，△ABC，△PBC．故选：A．【点评】本题考查直线与平面垂直的性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的灵活运用．26．【分析】画出截面图形，利用直线与平面垂直的判定定理判断即可．【解答】解：如图在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，是一个平面图形，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，满足题意，只有选项D直线BD1与平面EFG不垂直．故选：D．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．27．【分析】推导出PD⊥AE，当AE⊥BD时，AE⊥平面PBD，此时△ABD∽△DAE，由此能求出的值．【解答】解：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AE，当AE⊥BD时，AE⊥平面PBD，此时△ABD∽△DAE，则，∵AB＝2BC，∴DE＝＝CD，∴＝3．故选：C．【点评】本题考查两线段长的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．28．【分析】作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求，由C1D⊥平面AA1BB，AB1⊂平面AA1B1B，则C1D⊥AB1，AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，满足线面垂直的判定定理，则AB1⊥平面C1DF【解答】解：作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF．四边形AA1B1B为矩形，此时点F为B1B的中点．如图则有△AA1B1∽DB1F，即⇒．故选：A．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定．应熟练记忆直线与平面垂直的判定定理，属于中档题．29．【分析】对于A，空间中，一组对边平行可确定此四边形为平面四边形，再利用平行四边形的判定定理可判断①正确；对于B，由面面垂直的判定定理可判断②错误；对于C，由平面公理三得正确；对于D，同一平面的两条垂线一定平行，两平行线确定一个平面，可得共面．【解答】解：对于A，空间中，一组对边平行，则此四边形为平面四边形，由平行四边形的判定定理可知正确；对于B，当一条直线与已知平面垂直时，过这条直线的所有平面都与已知平面垂直，此时不唯一，故错误；对于C，由平面公理三得过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内，故正确；对于D，同一平面的两条垂线一定平行，两平行线确定一个平面，所以共面．正确．故选：B．【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，着重考查平面的基本性质等考点的理解，考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查空间想象能力，属于中档题．30．【分析】在A中，由A1D∥B1C，得∠ACB1是A1D与AC所成角，由AC＝B1C＝AB1，得A1D与AC所成角为60°；在B中，由C1B∥AD1，且A1D⊥AD1，得A1D⊥C1B；在C中，由A1D⊥平面AD1C1，得A1D⊥AC1；在D中，A1D与B1D1成60°角．【解答】解：由正方体ABCD﹣A1B1C1D1知在A中，∵A1D∥B1C，∴∠ACB1是A1D与AC所成角，∵AC＝B1C＝AB1，∴∠ACB1＝60°，∴A1D与AC所成角为60°，故A正确；在B中，∵C1B∥AD1，且A1D⊥AD1，∴A1D⊥C1B，故B正确；在C中，∵A1D⊥C1D1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥平面AD1C1，∵AC1⊂平面AD1C1，∴A1D⊥AC1，故C正确；在D中，A1D与B1D1成60°角，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．二．填空题（共20小题）31．【分析】推导出BD⊥P A，当四边形ABCD是菱形时，BD⊥AC，从而BD⊥平面P AC，进而PC⊥BD．【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，P A⊥平面ABCD，∴BD⊥P A，当四边形ABCD是菱形时，BD⊥AC，又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴PC⊥BD．故答案为：四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查满足线线垂直的条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．32．【分析】取CD中点M，证明BC⊥BD，故而M为外接球的球心，利用勾股定理计算出半径，代入体积公式得出答案．【解答】解：取CD的中点M，连接MA，MB，∵DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥AD，又BC⊥AB，AB∩AD＝A，∴BC⊥平面ABD，又BD⊂平面ABD，∴BC⊥BD，∴△ACD，△ABD都是直角三角形，∴MA＝MB＝MC＝MD，∴M为外接球的球心，∵AD＝AB＝BC＝，∴BD＝2，CD＝＝，∴外接球半径为r＝．∴外接球的体积V＝＝π．故答案为：π．【点评】本题考查了棱锥与外接球的位置关系，属于中档题．33．【分析】依据三垂线定理，要使PQ⊥BQ，必须有AQ⊥BQ，即以AB为直径的圆应与CD有公共点即可，从而可求x的范围．【解答】解：∵P A⊥平面ABCD，BQ⊂平面ABCD，∴P A⊥BQ；要使PQ⊥BQ，依三垂线定理得，必须有AQ⊥BQ，而Q为矩形的边CD上的一个点，∴以AB为直径的圆应与CD有公共点，∵AB＝2，宽AD＝x，∴0＜x≤1．故答案为：0＜x≤1．【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，考查等价转化思想，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．34．【分析】首先由线面垂直得P A⊥AB，P A⊥AD；再证BC⊥平面P AB，得到△PBC为直角三角形，同理得另一个也是．【解答】解：∵P A⊥平面ABCD∴P A⊥AB，P A⊥AD∴△P AB，△P AD为直角三角形事实上，BC⊥P A，BC⊥AB∴BC⊥平面P AB∴BC⊥PB∴△PBC为直角三角形同理△PDC为直角三角形∴四个侧面三角形均为直角三角形．【点评】此题考查了线面垂直与线线垂直之间的关系，难度不大．35．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当a＝1时，满足AB⊥CD，当a≠1时，不满足AB⊥CD，当a＝0时，点A1位于yoz坐标平面内，b2+c2＝1，0＜b＜1，x＝。
棱锥的性质总结
棱锥的性质总结
棱锥具有的性质：
①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高).
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.
⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.
⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.
⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径;
⑧每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.
[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.(×)(各个侧面的等腰三角形不知是否全等)
ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.
简证：AB⊥CD，AC⊥BDBC⊥AD. 令
得，已知
则.
iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.
iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.
简证：取AC中点，则平面90°易知EFGH为平行四边形EFGH为长方形.若对角线等，则为正方形.。
探究三棱锥的顶点到底面射影问题
1三棱锥的顶点到底面的射影问题三棱锥的顶点到底面的射影落在底面的什么位置，对解决三棱锥问题有很大帮助，记住以下结论，是学好三棱锥的重要环节。
1、如果三棱锥的三条侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心。
下面简要证明。
已知：三棱锥P —ABC ，PA=PB=PC ，P 在底面ABC 上的射影为O求证：O 为△ABC 的外心。
证明：连结AO ，BO ，CO ，∵P 在底面ABC 上的射影为O∴PO ⊥平面ABC ∵PA=PB=PC,∴AO=BO=CO(斜线段相等,射影相等)∴O 为△ABC 的外心。
注：外心为三角形外接圆的圆心，即三角形三条边的垂直平分线的交点。
2、如果三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心。
下面简要证明。
已知：三棱锥P —ABC ，PA ，PB ，PC 与底面所成的角相等，P 在底面ABC 上的射 影为O 求证：O 为△ABC 的外心。
证明：连结AO ，BO ，CO ，∵P 在底面ABC 上的射影为O ∴PO ⊥平面ABC∴∠PAO ，∠PBO ，∠PCO 为PA ，PB ，PC 与底面所成的角∴△PAO ≌△PBO ≌△PCO ∴AO=BO=CO ∴O 为△ABC 的外心。
P ABCO 图1PABCO图213、如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的内心。
注：三角形的内心为三条角平分线的交点 即到三角形三边距离相等的点。
如图3所示 ∠PDO 、∠PEO 、∠PFO 是三个侧面与底面所成的二面角的平面角， 它们都相等，则△PDO 、△PEO 、△PFO 全等，OD=OE=OF ， 所以O 为底面的内心4. 如果三棱锥的顶点到底面三条边的距离相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的内心。
（若射影点在多边形的内部）。
证明过程同上。
如图35.如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心。
(完整版)三棱锥顶点射影问题
A
B O
C
综合练习：
关于三角形的四心问题
(3)若三条側棱两两互相垂直,则O是△ABC
的 垂心 .
P
A
B
E
OF C
综合练习：
关于三角形的四心问题
(5)若三条側棱与底面成相等的角，则O是 △ABC的_外__心__.
P
A
B
OF
E
C
例： 在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，
求证：对角线AC BD。
对棱两两垂直
O是 ABC的垂心
若三棱锥有两组对边互相垂直，则 另一组对边必然垂直
综合练习：
关于三角形的四心问题
设O为三棱锥P—ABC的顶点P在底面上的射影. (1)若PA=PB=PC，则O是△ABC的 外心 .
P
A
B
O
C
综合练习： 关于三角形的四心问题
(2)若PA=PB=PC,∠C=900,则O是AB的__中___点.
P
OA=OB=OC
O为三角形ABC的外心
A
B
O
C
例2：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱 PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面 ABC的射影的位置？
P
B
O
D
C
PA BC PO BC BC 平面PAD BC AD PA PO P
A
O为三角形ABC的垂心
例3：已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面 三角形ABC的三条边的距离相等,试判断 点P在底面ABC的射影的位置？
P
O为三角形ABC的内心
B
O
A
E
F
C
典型：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影为O
三棱锥的几个重要性质,!
直角三棱锥的几个性质有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。
循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。
我们已经学习过的直角三角形的性质有： 性质1：Rt Δ的垂心就是直角顶点。
性质2：Rt Δ的两个锐角互余。
性质3：Rt Δ两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质4：Rt Δ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，Rt Δ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。
性质5：Rt Δ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。
性质6：Rt Δ斜边上的中线等于斜边的一半。
(所以Rt Δ的外接圆半径R ＝21c ＝2122b a +)。
性质7：Rt Δ的内切圆半径r ＝22b a b a ab+++＝21(a ＋b －c)。
现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。
如图所示，在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c 。
∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴PA ⊥面PBC ，PB ⊥面PCA ，PC ⊥面PAB ， ∴面PAB 、面PBC 、面PCA 两两垂直。
作PH ⊥面ABC 于H ，连CH 并延长并交AB 于D ，连PD ，则PH ⊥AB ，PH ⊥CD ，面PCD ⊥面ABC ；而PC ⊥面PAB ⇒PC ⊥AB ，所以AB ⊥面PCD ，∴AB ⊥PD ，AB ⊥CH 。
同理，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 。
由AB ⊥面PCD 知CD ⊥AB ，而PD ⊥AB 且∠APB ＝90°，∴∠ABC 、∠CAB 为锐角。
同理，∠BCA 也是锐角，从而有：性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。
由AB ⊥CH ，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 易知，H 是ΔABC 的垂心，由此可得： 性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。
立体几何中点在平面内的射影的确定方法
Ｂ
图２
设 Ｅ点 在 平 面 Ａ Ｃ 内 的 射 影 为 Ｇ， 由 Ｐ Ｂ Ｄ 则 Ａ上 平
面 ＡＢ Ｄ知 ， Ｇ／ Ｐ 因 而 Ｇ∈Ａ 又 Ｅ为 Ｐ 的 中 Ｃ Ｅ ／ Ａ， Ｃ Ｃ
点 ， 以 Ｇ为 ＡＣ的中点． 所 以下略．
３ 根据其他垂线来定位射影 ， ． 主要依据 ： 线面垂 直的第二判定定 理 ： 如果 两条 平行 直 线中的
Ｏ 与平 面 Ａ Ｃ所成的角 的大小是 Ｍ Ｂ
函数 表示 ）
． 用 反三 角 （
分别为 Ａ、 则 ０点 在线段 Ａ 的垂 直平 分线 上． 实 Ｂ， Ｂ 在
际应 用 中 ， 我们 可 以通 过 寻找 过 Ｐ点 的等 长 斜 线 段 来 确
分析 ： 。 点 在 平 面 ＡＢ 内 设 Ｃ 的射 影 为 Ｄ， 由 Ｏ ０ ０ 两 则 Ａ、 Ｂ、 Ｃ 两 互 相 垂 直 知 ，） 平 面 ０ Ｃ， （ Ａ上 Ｂ ｌ 从
０ 上 ＡＢ 从 而 ０ 点 是 ＡＢ 的 垂 Ｃ ， Ｃ 心． 根据 Ｏ 又 Ａ—Ｏ Ｂ一０ 知 ， 是 ｃ ０
（ 、
从这个定理可知 ， 若斜线 Ｐ Ａ上““ ， Ｏ ，ｃａ 则 Ａ上ａ Ａ （
点 为 斜 足 ） 即 ０点 在 过 斜 足 Ａ 且 与 直 线 ａ垂 直 的 直 线 ， 上 ． 别 地 ， 棱 互 相 垂 直 的 三 棱 锥 的 顶 点 在 底 面 内 的 特 对 射 影 是 底 面 三 角形 的垂 心 ．
△ＡＢ Ｃ的 外 心 ， 以 △ＡＢ 所 Ｃ是 等 边 三角形． 下略． 以
图 １
２根 据垂 面来定位射影 ， ． 主要依据有 ：
（ ） 面垂 直 的性 质 定 理 ｌ 如 果 两 个 平 面 垂 直 ， １面 ： 那 么 在 一 个 平 面 内垂 直 与 它们 交 线 的 直 线垂 直 于 另 一 个
广西崇左市2024高三冲刺(高考数学)人教版考试(强化卷)完整试卷
广西崇左市2024高三冲刺（高考数学）人教版考试(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题对任意，任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是A．B．C．D．第(2)题设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（）A．B．C．D．第(3)题设函数，其中，若仅存在两个正整数使得，则的取值范围是A．B．C．D．第(4)题已知复数满足，则（）A．B．C．D．第(5)题正实数，满足，则的最小值为（）A．B．C．D．第(6)题直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（ ）A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内第(7)题在正三棱锥(底面是正三角形,顶点在底面的射影是底面三角形的中心的三棱锥)中，三条侧棱两两垂直，正三棱锥的内切球与三个侧面切点分别为,与底面切于点,则三棱锥与的体积之比为A．B．C．D．第(8)题已知，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题复数满足，则下列说法正确的是（）A．的实部为3B．的虚部为2C．D．第(2)题已知点，若过点的直线交圆：于A，两点，是圆上一动点，则（）A．的最小值为B．到的距离的最大值为C．的最小值为D．的最大值为第(3)题已知l，m，n为空间中三条不同的直线，，，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的有（）A．若，，，则B．若，l，m分别与，所成的角相等，则C．若，，，若，则D．若，，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知直线与双曲线交于两点，若为等边三角形（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为______．第(2)题已知长方体的表面积为8，所有棱长和为16，则长方体体积的最大值为__________.第(3)题在的展开式中，求含项的系数为___________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数在与时都取得极值.(1)求的值与函数的单调区间.(2)求该函数在的极值.(3)设，若恒成立，求的取值范围.第(2)题已知函数，（1）若曲线在点处的切线与直线重合，求的值；（2）若函数的最大值为，求实数的值；（3）若，求实数的取值范围．第(3)题设函数.（1）证明:，；（2）令①求的最大值；②如果，且，证明：.第(4)题某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立(1)若，求数学期望；(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关.团队A提出函数模型为，团队B提出函数模型为.现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示.（i）试写出事件“”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）；（ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：.第(5)题(，).（1）当时，求证：；（2）当时，求证：函数有两个零点.。
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1
三棱锥的顶点到底面的射影问题
三棱锥的顶点到底面的射影落在底面的什么位置，对解决三棱锥问题有很大帮助，记住以下结论，是学好三棱锥的重要环节。
1、如果三棱锥的三条侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心。
下面简要证明。
已知：三棱锥P —ABC ，PA=PB=PC ，P 在底面ABC 上的射影为O
求证：O 为△ABC 的外心。
证明：连结AO ，BO ，CO ，∵P 在底面ABC 上的射影为O
∴PO ⊥平面ABC ∵PA=PB=PC,
∴AO=BO=CO(斜线段相等,射影相等)∴O 为△ABC 的外心。
注：外心为三角形外接圆的圆心，即三角形三条边的垂直平分线的交点。
2、如果三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心。
下面简要证明。
已知：三棱锥P —ABC ，PA ，PB ，PC 与底面
所成的角相等，P 在底面ABC 上的射 影为O 求证：O 为△ABC 的外心。
证明：连结AO ，BO ，CO ，
∵P 在底面ABC 上的射影为O ∴PO ⊥平面ABC
∴∠PAO ，∠PBO ，∠PCO 为PA ，PB ，PC 与底面所成的角
∴△PAO ≌△PBO ≌△PCO ∴AO=BO=CO ∴O 为△ABC 的外心。
P A
B
C
O 图1
P
A
B
C
O
图2
1
3、如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等，那么顶点在底面上的射影为底面
三角形的内心。
注：三角形的内心为三条角平分线的交点 即到三角形三边距离相等的点。
如图3所示 ∠PDO 、∠PEO 、∠PFO 是三个侧面与底面所成的二面角的平面角， 它们都相等，则△PDO 、△PEO 、△PFO 全等，OD=OE=OF ， 所以O 为底面的内心
4. 如果三棱锥的顶点到底面三条边的距离相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的内心。
（若射影点在多边形的内部）。
证明过程同上。
如图3
5.如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心。
如图4已知：三棱锥P —ABC ，PA ，PB ，PC 两两垂直，
P 在底面ABC 上的射影为O 求证：O 为△ABC 的垂心。
证明：连结AO ，BO ∵PA ⊥PB ，PA ⊥PC
∴PA ⊥平面PBC ∴PA ⊥BC ∴AO ⊥BC （三垂线定理逆定理） 同理BO ⊥AC ∴O 是底面三角形的垂心。
6. 如果三棱锥有两组对棱垂直，那么第三组对棱也垂直且顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心。
如图4
已知：三棱锥P —ABC ，PA ⊥BC ，PB ⊥AC
P 在底面ABC 上的射影为O
P A
B
C
O
D
E F 图3
P
C
A
O
求证：PC⊥AB，且O为△ABC的垂心。
证明：连结AO、BO、CO
∵PO⊥平面ABC 且AP⊥BC
∴AO⊥BC（三垂线定理逆定理）
同理BO⊥AC
∴O是底面三角形的垂心
图4 ∴CO⊥AB∴ PC⊥AB（三垂线定理）
1。