三棱锥顶点射影与底面三角形的心
高中数学必修二 8 6 2 直线与平面垂直(第2课时)直线与平面垂直的性质 练习(含答案)
8.6.2 直线与平面垂直第2课时直线与平面垂直的性质一、选择题1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行【答案】B【解析】由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．故选B。
2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定【答案】D【解析】如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D.3．如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定【答案】C【解析】∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.故选C。
4．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的()A．内心B．重心C．外心D．垂心【答案】C【解析】如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC.∵三棱锥的三条侧棱两两相等，∴P A＝PB＝PC.∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．5.（多选题）空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直B．相交C．不相交D．不垂直【答案】AC【解析】取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选AC.6.（多选题）已知a，b，c为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题,其中不正确的有()A.a⊥α，b∥β，且α∥β⇒a⊥b；B.a⊥b，a⊥α⇒b∥α；C.a⊥α，b⊥α，a∥c⇒b∥c；D.a⊥α，β⊥α⇒a∥β.【答案】BD【解析】 A 正确；B中b⊂α有可能成立，故B不正确；C正确；D中a⊂β有可能成立，故D不正确.故选BD.二、填空题7．已知AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，如图所示，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝ .【答案】6【解析】因为AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，所以AF ∥DE ，又AF ＝DE ，所以AFED 是平行四边形，所以EF ＝AD ＝6.8．如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，P A ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形．【答案】4【解析】∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AC ，P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，∵AC ⊥BC ，且P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC . 综上知： △ABC ，△P AC ，△P AB ，△PBC 都是直角三角形，共有4个．9.若直线AB ∥平面α，且点A 到平面α的距离为2，则点B 到平面α的距离为________.【答案】 210.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，6PD =，E 为PD 中点，过EB 作平面α分别与线段P A 、PC 交于点M ，N ，且//AC α，则PM PA =________；四边形EMBN 的面积为________. 【答案】23【解析】延伸平面α，交AC 所在的平面ABCD 于RS ，即平面α平面ABCD RS =，又B ∈平面α平面ABCD ， B RS ∴∈，即,,R S B 三点共线，又//AC α，由线面平行的性质定理可得//AC RS ， 则4ARB ABR π∠=∠=，即AR AB =，∴点A 为RD 的中点，又E 为PD 中点，则6,3,2PD RD DA DE PDA ADP π====∠=∠=，PAD RED ∴≅，MPE MRA ∴∠=∠，又,PME RMA PE RA ∠=∠=，PME RMA ∴≅，则ME MA =，过M 作MK PD ⊥交PD 于点K ，222PM MK MK ME MA PA AD DR RE PA∴==⋅=⋅=⋅， 则2PM MA =， 2233PM MA PA MA ∴==； 连接MN ，BD 由23PM PA =同理可得23PN PC =， //MN AC ∴，又PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PD AC ∴⊥，又,BD AC BD PD D ⊥=，AC ∴⊥面PBD ，又BE ⊂面PBD ，AC BE ∴⊥，MN BE ∴⊥，23MN PM AC PA ==， 2233MN AC ∴==⨯=又EB ===所以四边形EMBN 的面积为1122MN EB ⋅=⨯=.故答案为：23；三、解答题11.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. 求证：AE⊥BE.【证明】∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.12.如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD．【答案】见解析【解析】证明：(1）如图所示，取PD的中点E，连接AE、NE，∵N为PC的中点，E为PD的中点，∴NE∥CD且NE＝CD，而AM∥CD且AM＝AB＝CD，∴NE∥AM且NE＝AM，∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD，又AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，又AE∥MN，∴MN⊥CD.(2）由(1）可知CD⊥AE，MN∥AE.又∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，又E为PD的中点，∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD. 又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.。
三棱锥的几个重要性质,!资料讲解
三棱锥的几个重要性质,!直角三棱锥的几个性质有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。
循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。
我们已经学习过的直角三角形的性质有： 性质1：Rt Δ的垂心就是直角顶点。
性质2：Rt Δ的两个锐角互余。
性质3：Rt Δ两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质4：Rt Δ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，Rt Δ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。
性质5：Rt Δ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。
性质6：Rt Δ斜边上的中线等于斜边的一半。
(所以Rt Δ的外接圆半径R ＝21c ＝2122b a +)。
性质7：Rt Δ的内切圆半径r ＝22b a b a ab+++＝21(a ＋b －c)。
现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。
如图所示，在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c 。
∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴PA ⊥面PBC ，PB ⊥面PCA ，PC ⊥面PAB ， ∴面PAB 、面PBC 、面PCA 两两垂直。
作PH ⊥面ABC 于H ，连CH 并延长并交AB 于D ，连PD ，则PH ⊥AB ，PH ⊥CD ，面PCD ⊥面ABC ；而PC ⊥面PAB ⇒PC ⊥AB ，所以AB ⊥面PCD ，∴AB ⊥PD ，AB ⊥CH 。
同理，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 。
由AB ⊥面PCD 知CD ⊥AB ，而PD ⊥AB 且∠APB ＝ 90°，∴∠ABC 、∠CAB 为锐角。
同理，∠BCA 也是锐角，从而有：性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。
由AB ⊥CH ，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 易知，H 是ΔABC 的垂心，由此可得： 性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。
三棱锥的几个重要性质,!
直角三棱锥的几个性质有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。
循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。
我们已经学习过的直角三角形的性质有： 性质1：Rt Δ的垂心就是直角顶点。
性质2：Rt Δ的两个锐角互余。
性质3：Rt Δ两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质4：Rt Δ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，Rt Δ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。
性质5：Rt Δ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。
性质6：Rt Δ斜边上的中线等于斜边的一半。
(所以Rt Δ的外接圆半径R ＝21c ＝2122b a +)。
性质7：Rt Δ的内切圆半径r ＝22b a b a ab+++＝21(a ＋b －c)。
现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。
如图所示，在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c 。
∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴PA ⊥面PBC ，PB ⊥面PCA ，PC ⊥面PAB ， ∴面PAB 、面PBC 、面PCA 两两垂直。
作PH ⊥面ABC 于H ，连CH 并延长并交AB 于D ，连PD ，则PH ⊥AB ，PH ⊥CD ，面PCD ⊥面ABC ；而PC ⊥面PAB ⇒PC ⊥AB ，所以AB ⊥面PCD ，∴AB ⊥PD ，AB ⊥CH 。
同理，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 。
由AB ⊥面PCD 知CD ⊥AB ，而PD ⊥AB 且∠APB ＝90°，∴∠ABC 、∠CAB 为锐角。
同理，∠BCA 也是锐角，从而有：性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。
由AB ⊥CH ，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 易知，H 是ΔABC 的垂心，由此可得： 性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。
正三棱锥的内切球与外接球
正三棱锥的内切球与外接球要回答这个问题，先要了解什么是正三棱锥.请看正三棱锥的定义.1.底面是正三角形2.顶点在底面的射影是底面三角形的中心.满足以上两条的三棱锥是正三棱锥.由以上定义可知，正三棱锥底面为正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形.要防止和另外一个概念----正四面体混淆.正四面体的要求比正三棱锥更要.每个面都是正三角形的四面体才是正四面体.我们可以说，正四面体是特殊的正三棱锥，正三棱锥具备的性质正四面体都有，而正四面体具备的性质正三棱锥不一定有.下面来说如何寻找正三棱锥的内切球和外接球球心.在棱柱和棱锥的外接球中，谈到了一种方法，就是把符合条件的棱锥和棱柱放入长方体中，从而把问题转化、简化为长方体的外接球的问题.这是处理问题的方法之一.适合这种方法的情况可小结如下：⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.今天说说第二种方法，就是利用球的定义确定球心.基本的规律可小结如下：⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.我们利用第（4）条结论来研究正三棱锥的外接球球心的位置.举一个具体栗子来说明.外接球球心分析：在正三棱锥的高线上，先假设一个位置，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解.从图看出，此正三棱锥的外接球球心在高线PO的延长线上.再来求内切球的球心位置.由正三棱锥的对称性可知，内切球球心也在高线PO上.下面利用等体积法（即算两次体积）求内切球的半径.等体积法已经是第二次提到了，第一次提起是在线面角和点面距中.回到这位朋友的问题上来，外接球球心和内切球球心重合吗显然，多数情况下是不重合的.有童鞋可能会问，有没有重合的时候呢为了回答这个问题，我们作一般化的推导.若底边长刚好等于侧棱长，即正三棱锥变为正四面体时，奇迹发生了.画出图来是这样滴.此时，两心重合于一点，且该点把三棱锥的高分为3:1，长的那段为外接球半径，短的那一段为内切球半径.。
点线面位置关系例题与练习(含答案)
点、线、面的位置关系● 知识梳理 （一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理2：不共线．．．的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。
范围：[]0,90θ∈︒︒ 3.面面平行：①定义：//αβαβ=∅⇒；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b ab O a b ααααβ⊂=⇒判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.③面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭；（2）////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
正三棱锥
正三棱锥是锥体中底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。
正三棱锥不等同于正四面体，正四面体必须每个面都是全等的等边三角形。
1. 底面是等边三角形。
2. 侧面是三个全等的等腰三角形。
3. 顶点在底面的射影是底面三角形的中心(也是重心、垂心、外心、内心)。
4. 常构造以下四个直角三角形(见图):
(1)斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形;(含侧棱与底边夹角)
(2)高、斜高、斜高射影构成的直角三角形;(含侧面与底面夹角)
(3)高、侧棱、侧棱射影构成的直角三角形;(含侧棱与底面夹角)
(4)斜高射影、侧棱射影、底边的一半构成的直角三角形。
说明:上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有元素。
在正三棱锥计算题中，常常取上述直角三角形。
其实质是，不仅使空间问题平面化，而且使平面问题三角化，还使已知元素与未知元素集中于一个直角三角形中，利于解出。
基本公式
h为底高(法线长度)，A为底面面积，V为体积，L为斜高，C为棱锥底面周长有:三棱锥棱锥的侧面展开图是由4个三角形组成的，展开图的面积，就是棱锥的侧面积，则:(其中Si,i= 1,2为第i个侧面
的面积)S全=S棱锥侧+S底S正三棱锥=1/2CL+S底V=1/3A(底面积)*h。
射影问题
投影问题内容：立体几何中的投影问题引子：上小学的小明和小胖为在太阳下的影子问题吵翻了，找到上高中的二牛评理；小明说：我早上上学时看到我的影子朝西边，可小胖硬说影子朝东边。
小胖说：我昨天下午回家时确实看到影子朝东边。
二牛听后说你们俩都对。
他们俩半信半凝。
同学们，你们能给小明和小胖说清楚吗？投影问题可分为两类一．正投影问题解决这类问题总是过投影点向线或面作垂线1.直角三角形ABC的直角顶点C在平面α内，斜边AB∥α，A、B在α内的射影分别为A´、B´，（1）求证：ΔA ´B´C是钝角三角;（2）当AC，BC与平面α所成的角分别为30o和45o时,求cos∠A´CB´的值.2．A、B分别是60o的二面角α-l-β的面α、β上的点，AA1⊥β于A1，BB1⊥α于B1，A1B1到l的距离分别为a、b，A、B在棱l上的射影间的距离为c(如图)，求ABl3．ABCD是矩形，四个顶点在平面α内的射影分别A´、B´、C´、D´，直线A´B´与C´D´不重合。
（1）求证：A´B ´C´D´是平行四边形；（2）在怎样的条件下A´B´C´D´也是矩形？并证明你的结论。
4．设正四棱锥P的底是边长为2 的正方形，高为h，平面π平行于正方形的一条对角线，与P的底面交角为α，把P正投影到π上，问α为多大时，所得图形的面积最大？最大值是多少？二.影子长和面积问题解决这类问题总是过物体外缘作光线的平行线与地平面相交5．北纬38o 的开阔平地上，在楼高为H 的楼房北面盖新楼，欲使新楼底层全年太阳光线不被遮档，两楼距离应不小于多少？6．抗洪抡险战士在炎热的夏天准备盖一个遮阳棚，决定利用一面南北方向的墙，如图中平面BG 表示，上面用AC=3m,BC=4m,AB=5m 的角钢焊成（将AB 放在墙上），他们认为从正西方向射出的太阳光线与地面成75o角时，气温最高，要使此时遮阳棚的遮阳面积最大，遮阳棚ABC 面与水平面应成多大角度？练习1.点光源S 与屏幕之间有一个直径为2的小球，球心O 与点光源S 连线与屏幕垂直，O 点到S 与屏幕之间的距离都是2,则该球在屏幕上的投影的阴影面积为.D.16 C.3 B.4 316.ππππA2.如图,E,F 分别为正方体的面ADD 1A 1,面BCC 1B 1的中心, 则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是________. (要求:把可能的图的序号都填上)3.ΔABC 是边长为2的正三角形，BC ∥平面α，A 、B 、C 在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A ´、B ´、C ´,若ΔA ´B ´C ´为直角三角形，BC 与α间的距离为5,则A 到平面α的距离为_______.4.地球半径为R ，卫星电波能直射到地球表面三分之一，则卫星高度为_____________.5.在半径为30m 的圆形广场上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120o .若要光源恰照亮整个广场，其高度应为_________.AB C D EF A 1 B 1 C 1 D 1 ① ② ③ ④7．从平面α外一点P 向平面α引垂线PO 和斜线PA 、PB ，垂足为O ，斜足为A 、B ，PA 、PB 和平面α所成角的差为45o ,且在平面α上的射影长分别为2和12，求PO 的长8.已知直角三角形ABC 的斜边BC 在平面α内，两直角边AB ，AC 与α都斜交，A 在α上的射影是O （O 不在BC 上），求证：∠BOC 是钝角。
三棱锥常用结论
三棱锥常用结论：
1.三条棱两两相等的三棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的外心.
2.三条棱两两相互垂直的三棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的垂心.
3.三条棱两两相互垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等于三条棱的平方和.
例.已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4,则该三棱锥的外接球半径为？
解：设其外接球的半径为R，则有222
=++.
2R a b c
三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球，
就是三棱锥扩展为长方体的外接球，所以长方体的对角线的长度为：=6，所以该三棱锥的外接球的半径为：3.。
三棱锥外接球半径万能公式
三棱锥外接球半径万能公式
三棱锥的外接球半径公式：R=根号3倍的a^2÷2倍的根号(3a^2-b^2)。
其中a为侧棱长，b为三棱锥的底面边长。
一般来说，三棱锥外切球心在四个面上的射影与四个面的外心重合，据此可确定球心位置，从而计算出顶点与球心的距离。
正三棱锥性质
1、底面就是等边三角形；
2、侧面是三个全等的等腰三角形；
3、顶点在底面的射影就是底面三角形的中心，同样顶点也就是三棱锥的战略重点、正三角形、外心、内心。
正三棱锥的侧面积、体积
1、三棱锥的.两端面积等同于三个侧面的面积之和。
2、如果三棱锥为正三棱锥，那么它的侧面积公式为:s侧=(1/2)乘c乘h',其中：c为底面周长,h'是该正棱锥的斜高。
3、正三棱锥的体积公式为：v=sh/3（3/1底面积除以低）。
正三棱锥
正三棱锥：底面为等边三角形，三条侧棱相等，顶点在底面的射影是三角形的中心【即内心[到三条边的距离相等]，外心[到底面的三个顶点距离相等]，中心是外心、内心还是垂心】；各侧面和各侧棱与底面的二面角和夹角相等；外切球与内切球的球心在同一点，球心到顶点的距离等于到面距离的两倍长，即外切球球心是内切球球心的半径的两倍长。
正四棱锥：四个面都是正方形，是特殊的正三棱锥；顶点在底面的射影是三角形的中心【即内心[到三条边的距离相等]，外心[到底面的三个顶点距离相等]，中心是外心、内心还是垂心】；各侧面和各侧棱与底面的二面角和夹角相等；外切球与内切球的球心在同一点，球心到顶点的距离等于到面距离的三倍，即外切球球心是内切球球心的半径的三倍长。
正三棱柱：底面是等边三角形，侧棱相等、平行,且都垂直于底面，侧面都为长方形，上下两面互相平行。
正四棱柱：底面为正方形，侧棱相等、平行,且都垂直于底面，侧面都为长方形，上下两面互相平行。
高中数学立体几何小题题库题(适用培优)
立体几何小题题库一、单选题1．已知四面体ABCD的三组对棱的长分别相等，依次为3，4，x，则x的取值范围是A．B．C．D．2．如图所示，边长为1的正方形网络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．3．点A，B，C，D在同一个球的球面上，，，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．B．C．D．4．如图，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点分别在上，且.过点的平面与此四棱台的下底面会相交，则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为A．B．C．D．5．在长方体中，底面是边长为3的正方形，侧棱为矩形内部（含边界）一点，为中点，为空间任一点，三棱锥的体积的最大值记为，则关于函数，下列结论确的是（）A．为奇函数B．在上单调递增；C．D．6．有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料，其各棱长都为2.已知，分别为上，下底面的中心，M为的中点，过A，B，M三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为（）A．B．C．D．27．已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的半径为（）A．63+43+6B．66+23+6C．62+33+26D．64+33+268．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥各个侧面中，最大的侧面面积为（）A．2B．5C．3D．49．如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（）①圆的面积为；②椭圆的长轴为；③双曲线两渐近线的夹角为；④抛物线中焦点到准线的距离为.A．1个B．2个C．3个D．4个11．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异。
侧棱两两垂直的三棱锥的有关性质
÷Ａ ・ （ ・ ＝ ・ Ｄ ｓ Ｂ Ｃ＝
追溯数学之美 ： 第二条性质建立 了面积的数量
关系， 我们看到它的公式是非常对称、 非常漂亮 的．
《 数学之友》
２ １ 年第 ４ ００ 期
它也 可 以从 平 面几 何 中 的勾 股定 理 类 比而来． 种 这
就是 该 三 棱 锥 的 外 接 球． 以 它 的 外 接 球 半 径 ｒ 所
１
Ｐ Ｐ Ｂ， Ｃｃ面 Ｐ Ｃ Ｂ Ｊ
上面 Ｃ， 面 Ｃ上面 Ｐ Ｃ， １ Ｂ
＝
４・ Ｂ ・Ｐ Ｐ ２ Ａ （Ｄ ＋ Ｃ）
Ｐ Ｐ Ｃ ｝ 面 Ｐ Ｂ上面 Ｐ Ｃ Ａ ｃ面 Ａ ， Ａ Ｂ ，
Ｉ
＝
Ｐ Ａｃ面 Ｐ Ｂ Ｊ 同理 ： Ｐ Ｃ上面 Ｐ ＢＪ Ａ 面 Ａ Ａ
侧 面两两 垂直 ； ②三 棱 锥 的三 条侧 棱 两 两垂 直 ， 三个 侧 面 面 则 积平 方和 等于底 面的 面积平 方 ；
干 Ｅ． ＦＬＰ Ｄ Ｃ千 Ｆ ． 面 Ｂ上面 Ｐ Ｃ Ｂ ， Ｄ ＥＣ面 Ｐ Ｃ， Ｂ 面 Ｐ Ｂｎ面 Ｐ Ｃ＝Ｐ Ａ Ｂ Ｂ，
ＤＥ Ｌ ＰＢ
＜ 数学之友＞
２１ ００年第 ４ 期
侧棱 两两垂直的三棱锥的有关性质
解 题探 索
曾庆 亚
（ 江苏省郑梁梅高级 中学 ，２４ ０ ２ ３０ ）
在高中立体几何 的学习 中， 我们认识 了几种简 单的几何体 ， 它们 由点成线 ， 由线成面 ， 由面成体 ， 在 空间构成了一个个无比惊艳的图形． 它们或对称 ， 或 圆滑 ， 或尖或平 ， 给我们带来美的享受． 在享受美 的 同时 ， 我们更要去追溯美的源泉． 在众多几何体中， 我选择 了这样 的一个 几何 体—— 三条 侧棱 两两垂 直 的三棱锥 ， 大家一 起去感 受 它带来 的精彩． 与 我们从以下 ６ 个方面来追溯数学之美 ： ①三棱 锥 的三条 侧棱两 两垂 直骨 三棱锥 的三个
正三棱锥的内切球与外接球
正三棱锥的内切球与外接球Last revision on 21 December 2020正三棱锥的内切球与外接球要回答这个问题，先要了解什么是正三棱锥.请看正三棱锥的定义.1.底面是正三角形2.顶点在底面的射影是底面三角形的中心.满足以上两条的三棱锥是正三棱锥.由以上定义可知，正三棱锥底面为正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形.要防止和另外一个概念----正四面体混淆.正四面体的要求比正三棱锥更要.每个面都是正三角形的四面体才是正四面体.我们可以说，正四面体是特殊的正三棱锥，正三棱锥具备的性质正四面体都有，而正四面体具备的性质正三棱锥不一定有.下面来说如何寻找正三棱锥的内切球和外接球球心.在棱柱和棱锥的外接球中，谈到了一种方法，就是把符合条件的棱锥和棱柱放入长方体中，从而把问题转化、简化为长方体的外接球的问题.这是处理问题的方法之一.适合这种方法的情况可小结如下：⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.今天说说第二种方法，就是利用球的定义确定球心.基本的规律可小结如下：⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.我们利用第（4）条结论来研究正三棱锥的外接球球心的位置.举一个具体栗子来说明.外接球球心分析：在正三棱锥的高线上，先假设一个位置，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解.从图看出，此正三棱锥的外接球球心在高线PO的延长线上.再来求内切球的球心位置.由正三棱锥的对称性可知，内切球球心也在高线PO上.下面利用等体积法（即算两次体积）求内切球的半径.等体积法已经是第二次提到了，第一次提起是在线面角和点面距中.回到这位朋友的问题上来，外接球球心和内切球球心重合吗显然，多数情况下是不重合的.有童鞋可能会问，有没有重合的时候呢为了回答这个问题，我们作一般化的推导.若底边长刚好等于侧棱长，即正三棱锥变为正四面体时，奇迹发生了.画出图来是这样滴.此时，两心重合于一点，且该点把三棱锥的高分为3:1，长的那段为外接球半径，短的那一段为内切球半径.。
浙江职高高二数学空间几何知识点及典型习题
常考知识点及相应习题汇总一、棱锥1、正三棱锥定义：正三棱锥是锥体中底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。
性质：1．底面是等边三角形。
2．侧面是三个全等的等腰三角形。
3．顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内心）。
4. 常构造以下四个直角三角形（见图）：说明：上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有元素。
在正三棱锥计算题中，常常取上述直角三角形。
其实质是，不仅使空间问题平面化，而且使平面问题三角化，还使已知元素与未知元素集中于一个直角三角形中，利于解出。
练习1：1、三棱锥A—BCD的棱长全相等, E是AD中点, 则直线CE与直线BD所成角的余弦值为( )(A)63(B)23(C)633(D)212、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为( )A．B．2C D．3、侧棱长为2a的正三棱锥其底面周长为9a，则棱锥的高为（）A、aB、2a C、2aD、27a4、如图为正三棱柱的平面展开图，该正三棱柱的各侧面都是正方形，对这个正三棱柱有如下判断：①11//BCAB；②1AC与BC是异面直线；③1AB与BC所成的角的余弦为42；④1BC与CA1垂直.其中正确的判断是_______.5、在正三棱锥P ABC -中，6,5AB PA ==。
（1）求此三棱锥的体积V ；（2）求二面角P AB C --的正弦值。
6、正三棱锥V-ABC 的底面边长是a, 侧面与底面成60°的二面角。
求（1）棱锥的侧棱长 （2）侧棱与底面所成的角的正切值。
2、正四面体定义：正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。
它有4个面，6条棱，4个顶点。
正四面体是最简单的正多面体。
正四面体与正三棱锥的关系：正四面体属于正三棱锥，但是正三棱锥只需要底面为正三角形，其他三个面是全等的等腰三角形且顶点在底面的投影是底面三角形的中心，不需要四个面全等且都是等边三角形。
(完整版)三棱锥顶点射影问题
A
B O
C
综合练习：
关于三角形的四心问题
(3)若三条側棱两两互相垂直,则O是△ABC
的 垂心 .
P
A
B
E
OF C
综合练习：
关于三角形的四心问题
(5)若三条側棱与底面成相等的角，则O是 △ABC的_外__心__.
P
A
B
OF
E
C
例： 在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，
求证：对角线AC BD。
对棱两两垂直
O是 ABC的垂心
若三棱锥有两组对边互相垂直，则 另一组对边必然垂直
综合练习：
关于三角形的四心问题
设O为三棱锥P—ABC的顶点P在底面上的射影. (1)若PA=PB=PC，则O是△ABC的 外心 .
P
A
B
O
C
综合练习： 关于三角形的四心问题
(2)若PA=PB=PC,∠C=900,则O是AB的__中___点.
P
OA=OB=OC
O为三角形ABC的外心
A
B
O
C
例2：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱 PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面 ABC的射影的位置？
P
B
O
D
C
PA BC PO BC BC 平面PAD BC AD PA PO P
A
O为三角形ABC的垂心
例3：已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面 三角形ABC的三条边的距离相等,试判断 点P在底面ABC的射影的位置？
P
O为三角形ABC的内心
B
O
A
E
F
C
典型：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影为O
浅析三角形的“四心”
浅析三角形的“四心”作者：刘军来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2009年第03期江苏张家港第三职业高级中学215625摘要：本文就高中阶段解析几何和立体几何两章中，有关重心、垂心、外心、内心等“四心”问题展开讨论，提出自己的解题思路，并在教学实践中对有关的“四心”问题作出总结. 希望学生能通过联想，把三角形的四个“心”联系起来，把知识融会贯通起来，能够快速地解答问题，并能与实际问题联系起来，较好地解决实际问题，以此提高学生学习的兴趣和解决问题的能力.关键词：重心；垂心；外心；内心在初中几何中，三角形的四心就已经出现过，它们都是一些特殊线段的交点. 在高中阶段，有解析几何和立体几何两章几何内容，有关“四心”的问题是这两章内容应用层面的问题. 本文结合在教学实际中的总结来浅显地分析有关问题.首先来整理一下三角形的“心”.1. 重心：三条中线的交点，在物理中作为重力的受力点，分中线的长度比为2∶1.2. 垂心：三条高线的交点，顶点与垂心的连线垂直于对应的边.3. 外心：外接圆的圆心，三条边的中垂线交点，到三个顶点的距离相等.4. 内心：内切圆的圆心，三条角平分线的交点，到三边的距离相等.其实还有“旁心”，外角平分线的交点，因为在中学范围内出现得少，就不细究. 这四个“心”当中，内心、重心一定在三角形里面，另外两个的位置都取决于三角形的形状，锐角三角形在里面，直角三角形在边上，钝角三角形在外面.在教学中，尤其在上高三复习课时，如果遇到出现一个“心”的问题，就会启发学生，能不能换作其他的“心”. 这样就能系统全面地去看待这样一类问题了. 在解析几何、立体几何中，笔者就碰到过这些问题，现整理如下.[⇩]在解决问题前，先把求对称的问题分下类别，理清求解过程1. 点关于点对称如图1，求点A关于点O的对称点点B.[A][O][B]图1[A][l][B]图2比较容易解决，利用O点是A，B两点的中点.2. 点关于直线对称如图2，求点A关于直线l的对称点点B.设点A的坐标为（x1，y1），直线l为Ax+By+C=0.可以设点B的坐标为（x，y），常有两种思路来解决：（1）转化为1的情况，过点A与l垂直的直线为Bx－Ay+C′=0，代入点A的坐标可以求出C′，再联立方程Ax+By+C=0，Bx－Ay+C′=0，求出AB和l的交点，即图1中的O点，后面的求解不重复叙述.（2）直接解方程，A+B+C=0，=. 利用的是AB的中点在直线上，l和直线AB垂直. 这里对于特殊直线，平行、垂直坐标轴的直线单独处理，特殊直线的求解比较容易.3. 直线关于点对称如图3，求直线l关于点O的对称直线l′.[l][P][O][l′]图3直线l为Ax+By+C=0，点O的坐标为（x0，y0）.设点P（x，y）为l′上的任意一点，利用它关于O点的对称点在直线l上，所以有A·（2x －x）+B（2y－y）+C=0，整理一下就得到直线l′的方程.4. 直线关于直线对称如图4，直线m为A1x+B1y+C1=0，直线l为Ax+By+C=0，求直线m关于直线l对称的直线m′. 先求直线m和直线l的交点O，联立方程A1x+B1y+C1=0，Ax+By+C=0，可以求出O点的坐标，记求得的结果为（x0，y0）.再利用过点O的直线m′与l所成的角与m与l所成的角相等来求解.设m′的斜率为k（斜率不存在的情况单独考虑），l的斜率k0=－，m的斜率k1=－，则m′为y－y0=k（x－x0）. 而斜率k满足：=，求出k舍去和k1相同的值后代入点斜式即可.[⇩]解析几何中，如果知道三角形的三个顶点的坐标，如A（x1，y1），B（x2，y2），C （x3，y3），怎么求三角形的“四心”1. 求重心思路：如图5，在△ABC中，求重心O的坐标.[A][O][G][F][B][C][E]教材参考中有结论：O为，.E为BC的中点，坐标为，.又=2，设重心O为（x，y），则x－x1=2-x，y－y1=2-y.求解出来，即得结论.2. 求垂心思路：如图6，在△ABC中，求垂心O的坐标. CG，AE分别为AB，BC的高线.CG：y－y3=（x－x3），AE：y－y1=（x－x1）.（斜率不存在的情况单独考虑）[A][F][C][E][O][G][B]图6带入具体数据，联立方程就可以解出垂心O的坐标.3. 求外心思路：如图7，在△ABC中，求外心O的坐标.[A][F][G][O][C][E][B]G为AB的中点，坐标为，，简记为（xG，yG）. E为BC的中点，坐标为，，简记为（xE，yE）. OG，OE分别为AB，BC的中垂线，故OG：y－yG=（x－xG），OE：y－yE=（x－xE）（斜率不存在的情况单独考虑）. 将OG，OE的方程联立就可以求出外心O的坐标.4. 求内心思路：如图8，在△ABC中，求内心O的坐标. 应该说求内心的计算过程是最为烦琐的一个，下面来进行细心的分析.CG，AE分别为∠C，∠A的平分线.[A][F][C][O][G][B][E]图8关键就是求出角平分线，先来求AE，因为AE的走向与AB，AC相比可知kAEkAB .理论依据是各自直线的倾斜角大小关系和斜率之间的联系.kAB=，kAC=，利用=，求出kAE .方程会求出两个解按kAEkAB取. 则AE：y－y1=kAE（x－x1）.同理求出CG的方程，有点区别的是kCG取舍的条件是kAC则CG：y－y3=kCG（x－x3）. 联立这两条平分线的方程就可以求出内心的坐标.[⇩]解析几何中，如果知道三条边的直线方程，如AB:A1x+B1y+C1=0，BC：A2x+B2y+C2=0，AC：A3x+B3y+C3=0，如何求“四心”这里作简要分析，因为退一步说，联立方程可以把3个顶点都求出，就成了前面一个问题，就可以按前面一个问题的思路解决.1. 重心：联立三条直线的方程，求出三个顶点，然后用重心坐标公式解决.2. 垂心：求出点A和点C的坐标，再求出AB，BC的高线CG，AE，再求交点. 求解过程中，已知的直线方程中直接有直线的斜率信息，当然斜率不存在的情况都可以单独考虑.3. 外心：这里先求出三个顶点的坐标，再按前面一个问题的思路分析，有关直线的斜率也是从方程中直接得到的.4. 内心：求出点A和点C的坐标，再求出∠C，∠A的平分线CG，AE，最后求交点.有关直线的斜率还是从方程中直接得到.[⇩]立体几何中，三棱锥顶点在底面三角形中的射影，这里少了一种重心的情况，下面主要分析垂心、外心、内心的情况1. 垂心：如图9，在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影O为△ABC的垂心. [P][A][C][O][D][B]图9条件是PA，PB，PC两两互相垂直.解析因为PA，PB，PC两两互相垂直，所以PA⊥面PBC，则PA⊥BC.又O为点P在平面ABC上的射影，则AO为PA在平面ABC上的射影.由三垂心定理可以知道AO⊥BC. 同理可以知道CO⊥AB.故O为△ABC的垂心.2. 外心：如图10，在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影O为△ABC的外心.条件是：（1）PA=PB=PC.或者是：（2）PA，PB，PC与底面所成的角相等.[P][A][C][O][B]图10解析因为O为点P在平面ABC上的射影，所以PO⊥面ABC，△POA，△POB，△POC都为直角三角形. 若（1）PA=PB=PC或（2）PA，PB，PC与底面所成的角相等，即∠PAO=∠PBO=∠PCO，加上PO=PO=PO，可以证出这三个直角三角形全等.所以得出结论AO=BO=CO，O就为△ABC的外心. 这个命题的逆命题也成立.3. 内心：如图11，在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影O为△ABC的内心.条件是：（1）P到△ABC的三边AB，BC，AC的距离相等，即PD=PE=PF.（2）面PAB，面PBC，面PAC和底面ABC所成的角相等.解析因为O为点P在平面ABC上的射影，所以PO⊥面ABC. P到△ABC的三边AB，BC，AC的距离相等，有PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB. 且PD=PE=PF，马上可以得到它们的射影OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且OD=OE=OF.即O为△ABC的内心. 条件面PAB、面PBC、面PAC和底面ABC所成的角相等. 可以得到OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且∠PDO=∠PEO=∠PFO，可以得到三个直角三角形全等. 所以也可以得到OD=OE=OF，即O为△ABC的内心. 同样这个命题的逆命题也是成立的.[⇩]解析几何中，虽然不是直接求的“四心”，但有很强的联系，即和中线、高线、中垂线、角平分线有关系如图12，知道点A的坐标，还有l1和l2的直线方程，求解三角形，即求出三角形另外的两个顶点的坐标.[A][l2][l1]图12这两条直线分别为中线、高线、中垂线、角平分线时，怎么求？先看高线的情况，如图13，先求AB，它过点A，且和l2垂直，用点斜式可以求出，同理可以求出AC的方程，将AB的方程和l1联立可以求出点B，同理求出点C.再看中垂线的情况. 如图14，先求点A关于l2的对称点B，再求点A关于l1的对称点C，问题就解决了. 求对称的方法在第一个问题中作了详细分析，这里不重复.[B][l1][C][l2][A]图14然后看角平分线的情况. 利用求对称的方法，如图15，先求点A关于l2的对称点D，再求点A关于l1的对称点E，利用两点式就求出直线DE的方程，分析可知点B和点C也在直线DE上，所以将DE和l1联立就可以求出点B，将DE和l2联立就可以求出点C.[B][l1][C][l2][A][E][D][·][·]图15最后来解决中线的情况. 直接求点不太方便，利用方程组来解决比较好办. 如图16，CE为AB边上的中线，BD为AC边上的中线. 设点B的坐标为（x，y），则E点为AB的中点，E=，，利用B点在l1上，E点在l2上，得到方程组. 即B点满足l1的方程，E点满足l2的方程，联立求出的就是B点的坐标，同理可以求出C点.[B][l1][C][l2][A][D][E]图16。
正三棱锥的内切球与外接球
正三棱锥的内切球与外接球Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】正三棱锥的内切球与外接球要回答这个问题，先要了解什么是正三棱锥.请看正三棱锥的定义.1.底面是正三角形2.顶点在底面的射影是底面三角形的中心.满足以上两条的三棱锥是正三棱锥.由以上定义可知，正三棱锥底面为正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形.要防止和另外一个概念----正四面体混淆.正四面体的要求比正三棱锥更要.每个面都是正三角形的四面体才是正四面体.我们可以说，正四面体是特殊的正三棱锥，正三棱锥具备的性质正四面体都有，而正四面体具备的性质正三棱锥不一定有.下面来说如何寻找正三棱锥的内切球和外接球球心.在棱柱和棱锥的外接球中，谈到了一种方法，就是把符合条件的棱锥和棱柱放入长方体中，从而把问题转化、简化为长方体的外接球的问题.这是处理问题的方法之一.适合这种方法的情况可小结如下：⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.今天说说第二种方法，就是利用球的定义确定球心.基本的规律可小结如下：⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.我们利用第（4）条结论来研究正三棱锥的外接球球心的位置.举一个具体栗子来说明.外接球球心分析：在正三棱锥的高线上，先假设一个位置，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解.从图看出，此正三棱锥的外接球球心在高线PO的延长线上.再来求内切球的球心位置.由正三棱锥的对称性可知，内切球球心也在高线PO上.下面利用等体积法（即算两次体积）求内切球的半径.等体积法已经是第二次提到了，第一次提起是在线面角和点面距中.回到这位朋友的问题上来，外接球球心和内切球球心重合吗显然，多数情况下是不重合的.有童鞋可能会问，有没有重合的时候呢为了回答这个问题，我们作一般化的推导.若底边长刚好等于侧棱长，即正三棱锥变为正四面体时，奇迹发生了.画出图来是这样滴.此时，两心重合于一点，且该点把三棱锥的高分为3:1，长的那段为外接球半径，短的那一段为内切球半径.。
三棱锥外接球半径公式
三棱锥外接球半径公式
三棱锥的外接球半径公式：R=根号3倍的a^2÷2倍的根号(3a^2-b^2)。
其中a为侧棱长，b为三棱锥的底面边长。
一般来说，三棱锥外切球心在四个面上的射影与四个面的外心重合，据此可确定球心位置，从而计算出顶点与球心的距离。
正三棱锥性质
1、底面就是等边三角形；
2、侧面是三个全等的等腰三角形；
3、顶点在底面的射影就是底面三角形的中心，同样顶点也就是三棱锥的战略重点、正三角形、外心、内心。
正三棱锥的侧面积、体积
1、三棱锥的.两端面积等同于三个侧面的面积之和。
2、如果三棱锥为正三棱锥，那么它的侧面积公式为:s侧=(1/2)乘c乘h',其中：c为底面周长,h'是该正棱锥的斜高。
3、正三棱锥的体积公式为：v=sh/3（3/1底面积除以低）。
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三棱锥顶点射影与底面三角形的心
编辑整理：乔明
设有三棱锥P-ABC，P在平面ABC上的射影为O。
外心
1当三棱锥的三条侧棱相等时，顶点在底面的射影是底面三角形的外心。
2当三棱锥的三条侧棱与底面所成角相等，顶点在底面的射影是底面三角形的外心。
内心
1当三棱锥的顶点到底面三角形三边距离相等，且顶点在底面的射影在底面三角形的内部，那么射影是内心。
2当三棱锥的各个侧面与底面构成的二面角相等，且顶点在底面的射影在底面三角形的内部，那么射影是内心。
垂心
1当三棱锥的三条侧棱两两垂直(或每条侧棱都与所对的侧面垂直)时，顶
点在底面的射影是底面三角形的垂心。
2当三棱锥有两条侧棱与对应的对边垂直时，第三组侧棱与对边也垂直，且顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。
重心
当三棱锥的三个侧面在底面上的射影面积相等时，顶点在底面的射影是底面三角形的重心。
旁心
1当三棱锥的顶点到底面三角形三边距离相等，且顶点在底面的射影在底面三角形的外部，那么射影是旁心。
2当三棱锥的各个侧面与底面构成的二面角相等，且顶点在底面的射影在底面三角形的外部，那么射影是旁心。