初三数学 二次函数与线段和差问题教案

教学过程

一、课堂导入

二次函数的综合问题是中考压轴题常考题型之一，考点分值12分，难度较大。主要考查形式为二次函数与一些简单几何图形的点存在性问题，既考查了学生的数形结合能力，又考查学生的计算能力。此类问题出现后，大多学生都无从下手，主要是学生的综合能力、解题技巧及实战经验不足所致。就本节二次函数与线段和差的点存在性问题，主要考查了学生是否能够在图形中寻找到线段和最小或差最大及线段长度的最值的能力。

二、复习预习

勾股定理及逆定理

1.定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2=c2）

2.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边和另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

3.逆定理：如果三角形的三边长：a，b，c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

4.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边为c。

（2）验证c2和a2+b2是否具有相等的关系，若a2+b2=c2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形。

三、知识讲解

考点1 二次函数的基础知识

1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．

2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c

而言，其顶点坐标为（－2b a

，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），?由于二次函数的图像为

抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．

考点2 探究线段和差的一般思路

线段的和的最小值：

此类问题归结为对称点问题，我们只需将其中的一个已知点关于直线的对称点找到，同时连接该对称点与另一已知的点，则该直线与已知直线的交点即为寻找的点；

线段的差的最大值：

此类问题归结为三点共线问题，我们只需将两个已知的点都转换到直线的同一侧，同时连接这两个已知的点得到的直线与已知直线的交点即为寻找的点；

线段的最值问题：

我们可以将所需线段用所设的未知数表示出来，再根据函数最值的求解方式便可以得到线段的最值了；

图形周长的最值问题：

此类问题可以归结为线段的和的最值问题，我们可以借助线段和的最值求法来研究。

当需要求解出线段的最值时，我们可以将线段放置于直角三角形中，运用勾股定理求解。

四、例题精析

例1已知：直线l：y=﹣2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ．

（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：

（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ON⊥OM．

（ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

【规范解答】

解：（1）由题意，得

，解得：，

∴抛物线的解析式为：y=

（2）如图①，设P（a，a2﹣1），就有OE=a，PE=a2﹣1，∵PQ⊥l，∴EQ=2，∴QP=a2+1．在Rt△POE中，由勾股定理，得PO==，∴PO=PQ；

（3）①如图②，∵BN⊥l，AM⊥l，∴BN=BO，AM=AO，BN∥AM，

∴∠BNO=∠BON，∠AOM=∠AMO，∠ABN+∠BAM=180°．

∵∠BNO+∠BON+∠NBO=180°，∠AOM+∠AMO+∠OAM=180°，

∴∠BNO+∠BON+∠NBO+∠AOM+∠AMO+∠OAM=360°

∴2∠BON+2∠AOM=180°，∴∠BON+∠AOM=90°，∴∠MON=90°，∴ON⊥OM；

②如图③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交抛物线与F，作F′E⊥DG于E，

∴∠EGH=∠GHF′=∠F′EG=90°，FO=FG，F′H=F′O，

∴四边形GHF′E是矩形，FO+FD=FG+FD=DG，F′O+F′D=F′H+F′D

∴EG=F′H，∴DE＜DF′，∴DE+GE＜HF′+DF′，∴DG＜F′O+DF′，∴FO+FD＜F′O+DF′，∴F是所求作的点．∵D（1，1），

）．

∴F的横坐标为1，∴F（1，3-

4

【总结与反思】

1. 由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，就可以得出﹣=0，由待定系数法求可以求出抛物线的解析式；

2. 由（1）设出P的坐标，由勾股定理就可以求出PE和PQ的值而得出结论；

3. ①由（2）的结论就可以得出BO=BN，AO=AM，由三角形的内角和定理记平行线的性质就可以求出∠MON=90°而得出结论；

②如图③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交抛物线与F，作F′E⊥DG于E，由（2）的结论根据矩形的性质可以得出

结论．

例2已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线（）过点A、B，顶点为C．点P （m，n）（n<0）为抛物线上一点．

（1）求抛物线的解析式与顶点C的坐标．

（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围．

（3）若，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（）个单位，点P、C移动后对应的点分别记为、，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．

【规范解答】(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得:

抛物线解析式为

顶点横坐标,将代入抛物线得

(2)如图,当时,设,则

过作直线轴,

(注意用整体代入法)

解得,

当在之间时，或时，为钝角.

(3)依题意，且

设移动（向右，向左）

连接则又的长度不变

四边形周长最小，只需最小即可，将沿轴向右平移5各单位到处沿轴对称为∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时

，设过的直线为，代入

∴即将代入，得：，解得：∴当，P、C向左移动单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。

【总结与反思】

1.二次函数待定系数法;

2.存在性问题,相似三角形;

3.最终问题,轴对称,两点之间线段最短

例3如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B 两点，与y轴交于C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【规范解答】解：（1）由抛物线顶点坐标为N（﹣1，），可设其解析式为y=a（x+1）2+，将M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，解得a=﹣，

故所求抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+；

（2）∵y=﹣x 2﹣x+，∴x=0时，y=，∴C（0，）．y=0时，﹣x2﹣x+=0，解得x=1或x=﹣3，∴A（1，0），B（﹣3，0），∴BC==2．

设P（﹣1，m），显然PB≠PC，所以

当CP=CB时，有CP==2，解得m=±；

当BP=BC时，有BP==2，解得m=±2．

综上，当△PBC为等腰三角形时，

点P的坐标为（﹣1，+），（﹣1，﹣），（﹣1，2），（﹣1，﹣2）；

（3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，所以BC 2+AC2=AB2，即BC⊥AC．

连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，∵B、B′关于直线AC对称，

∴QB=QB′，∴QB+QM=QB′+QM=MB′，又BM=2，所以此时△QBM的周长最小．

由B（﹣3，0），C（0，），易得B′（3，2）．设直线MB′的解析式为y=kx+n，

将M（﹣2，），B′（3，2）代入，得，解得，即直线MB′的解析式为y=x+．

，）．

同理可求得直线AC的解析式为y=﹣x+．由，解得，即Q（﹣1

3

所以在直线AC上存在一点Q（﹣1

，），使△QBM的周长最小．

3

【总结与反思】

（1）先由抛物线的顶点坐标为N（﹣1，），可设其解析式为y=a（x+1）2+，再将M（﹣2，）代入，得=a （﹣2+1）2+，解方程求出a的值即可得到抛物线的解析式；

（2）先求出抛物线y=﹣x 2﹣x+与x轴交点A、B，与y轴交点C的坐标，再根据勾股定理得到

BC==2．设P（﹣1，m），显然PB≠PC，所以当△PBC为等腰三角形时分两种情况进行讨论：①CP=CB；

②BP=BC；

（3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，由轴对称的性质可知此时△QBM的周长最小，由B（﹣3，0），C（0，），根据中点坐标公式求出B′（3，2），再运用待定系数法求出直线MB′的解析式为y=x+，直线AC的解析式为y=﹣x+，然后解方程组，即可求出Q点的坐标．

例4如图，抛物线223

=--与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横

y x x

坐标为2．

（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

A

【规范解答】解：（1）令y=0，解得x1=﹣1或x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），将C点的横坐标x=2，代入y=x2﹣2x﹣3，得：y=﹣3，∴C（2，﹣3）；∴直线AC的函数解析式是：y=﹣x﹣1；

（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），

∵P点在E点的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1

2）2+9

4

，∴当x=1

2

时，PE的最大值=9

4

；

（3）存在4个这样的点F，分别是：F

1（1，0），F2（﹣3，0），F3（，0），F4（4，0）．①如图1，