《从梯子的倾斜程度谈起》教案
北师大九年级数学教案-从梯子的倾斜程度谈起
§1.1 從梯子的傾斜程度談起（第一課時）學習目標:1.經歷探索直角三角形中邊角關係的過程.理解正切的意義和與現實生活的聯繫.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進行簡單的計算.學習重點:1.從現實情境中探索直角三角形的邊角關係.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數學意義，密切數學與生活的聯繫.學習難點:理解正切的意義，並用它來表示兩邊的比.學習方法:引導—探索法.學習過程:一、生活中的數學問題:1、你能比較兩個梯子哪個更陡嗎？你有哪些辦法？2、生活問題數學化：⑴如圖：梯子AB 和EF 哪個更陡？你是怎樣判斷的？⑵以下三組中，梯子AB 和EF 哪個更陡？你是怎樣判斷的？二、直角三角形的邊與角的關係（如圖，回答下列問題） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什麼關係? ⑵222111B AC C B AC C 和有什麼關係？ ⑶如果改變B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢?⑷由此你得出什麼結論?三、例題：例1、如圖是甲，乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡?例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.四、隨堂練習：1、如圖，△ABC是等腰直角三角形，你能根據圖中所給資料求出tanC 嗎?2、如圖，某人從山腳下的點A走了200m後到達山頂的點B，已知點B到山腳的垂直距離為55m，求山的坡度.(結果精確到0.001)3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前進10米，則他所在的位置比原來的位置升高________米.4、菱形的兩條對角線分別是16和12.較長的一條對角線與菱形的一邊的夾角為θ，則tanθ＝______.5、如圖，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的橫截面圖，斜坡AB的長為12 m，它的坡角為45°，為了提高該堤的防洪能力，現將背水坡改造成坡比為1：1.5的斜坡AD，求DB的長.(結果保留根號)五、課後練習：1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,則tanA= _______.2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,則tanA=_______.3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,則tanC=______.4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.5、若三角形三邊的比是25:24:7,求最小角的正切值.6、如圖,在菱形ABCD中,AE⊥BC於E,EC=1,tanB=125, 求菱形的邊長和四邊形AECD的周長. E DB A C7、已知:如圖,斜坡AB 的傾斜角a,且tan α=34,現有一小球從坡底A 處以20cm/s 的速度向坡頂B 處移動,則小球以多大的速度向上升高?8、探究: ⑴、a 克糖水中有b 克糖(a>b>0),則糖的品質與糖水品質的比為_______; 若再添加c 克糖(c>0),則糖的品質與糖水的品質的比為________.生活常識告訴我們: 添加的糖完全溶解後,糖水會更甜,請根據所列式子及這個生活常識提煉出一個不等式: ____________.⑵、我們知道山坡的坡角越大,則坡越陡,聯想到課本中的結論:tanA 的值越大, 則坡越陡,我們會得到一個銳角逐漸變大時,它的正切值隨著這個角的變化而變化的規律,請你寫出這個規律:_____________. ⑶、如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延長BA 、BC,使AE=CD=c, 直線CA 、DE 交於點F,請運用(2) 中得到的規律並根據以上提供的幾何模型B A CB D AC E F證明你提煉出的不等式.。
北师大九年级数学教案-从梯子的倾斜程度谈起
第一章解直角三角形課題：§1、1從梯子的傾斜程度談起——第一課時一、教學目標：1、通過具體問題情境,抽象出銳角的正切的概念，並讓學生進一步體會用直角三角形兩直角邊的比值來刻畫梯子的傾斜程度即傾斜角的大小。
2、使學生理解從特殊到一般是認識事物的基本方法。
重點：通過豐富的實例，抽象出銳角的正切的概念。
難點：使學生理解：在直角三角形中，當銳角A固定時，它的對邊與鄰邊的比值也是一個固定值。
二、教學和活動過程：（一）教學準備：制做相應的課件（二）教學過程：第一環節：引入新課：課件播放1分鐘的錄像，說明梯子是我們日常生活中常見的物體第二環節：新課講解課件展示梯子實物，提問下列問題：實例1：（1）在圖1-1中，梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？你有幾種判斷方法？實例2：2.5m2m5m 5mFEDCBA（2）在圖1-2中，梯子AB 和EF 哪個更陡？ 你是怎樣判斷的？學生四人小組討論 設計意圖：1、課件展示梯子實物，教師應引導學生分析後，抓出關鍵的直角三角形。
2、實例1學生還可能有的思路： 1）測量∠B,∠F 的大小2）在DF 上截取DM=CB,然後比較∠EMD 與∠F 的大小。
3、實例2學生也會有許多自己的想法，教師應給學生充分的發揮空間，讓他們各抒己見，從而使課堂氣氛達到第一次高潮。
實例3： 想一想：如圖(見課本)：如果現在有一個梯子搭在城牆上， 我們手頭只有皮尺與計算器，請同學們思考我們可以通過測量哪些資料來刻畫梯子的傾斜程度呢？ 學生答：過B 1點沿著牆面向地面引垂線B 1C 1，連接AC 1，測量B 1C 1與AC 1的長度，計算B 1C 1與AC 1的比值，來刻畫梯子的傾斜程度。
假設我們的皮尺比較短，或不想爬到城牆上，還可以測量哪些資料來刻畫梯子的傾斜程度呢？為什麼？(1) 直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2是什麼關係?1.3m 1.5m3.5m 4mFEDCBA C 2B 2C 1B 1A(2)111AC C B 和222AC CB 有什麼關係? (3) 如果改變B 2在梯子上的位置呢?由此你能得到什麼結論? 設計意圖：原來教材上的問題是：小明想通過測量B 1C 1及AC 1,算出他們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則認為通過測量B 2C 2及AC 2,算出他們的比,也能說明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎? 教師做了適當的改編，以實際測量的問題的形式給出，增強趣味性。
北师大九年级数学教案-从梯子的倾斜程度谈起
第一章直角三角形的邊角關係第一課時從梯子的傾斜程度談起(一)直角三角形中邊角之間的關係是現實世界中應用廣泛的關係之—.銳角三角函數在解決現實問題中有著重要的作用.如在測量、建築、工程技術和物理學中，人們常常遇到距離、高度、角度的計算問題，一般來說，這些實際問題的數量關係往往歸結為直角三角形中邊與角的關係問題.本節首光從梯子的傾斜程度談起。
引入了第—個銳角三角函數——正切.因為相比之下，正切是生活當中用的最多的三角函數概念，如刻畫物體的傾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是類比正切的概念得到的.所以本節從現實情境出發，讓學生在經歷探索直角：三角形邊角關係的過程中，理解銳角三角函數的意義，並能夠舉例說明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比，並能夠根據直角三角形的邊角關係進行計算.本節的重點就是理解tanA、sinA、cosA的數學含義.並能夠根據它們的數學意義進行直角三角形邊角關係的計算，難點是從現實情境中理解tanA、sim4、cosA的數學含義.所以在教學中要注重創設符合學生實際的問題情境，引出銳角三角函數的概念，使學生感受到數學與現實世界的聯繫，鼓勵他們有條理地進行表達和思考，特別關注他們對概念的理解.教學目標知識與能力目標1.經歷探索直角三角形中邊角關係的過程.理解正切的意義和與現實生活的聯繫.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進行簡單的計算.過程與方法目標經歷觀察、猜想等數學活動過程，體驗數形之間的聯繫，逐步學習利用數形結合的思想分析問題和解決問題.提高解決實際問題的能力.情感與價值觀目標積極參與數學活動，對數學產生好奇心和求知欲，形成實事求是的態度以及獨立思考的習慣.教學重點1.探索直角三角形的邊角關係.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數學意義，密切數學與生活的聯繫.教學難點理解正切的意義，並用它來表示兩邊的比.教學過程創設情境，引發探究[問題1]在直角三角形中，知道一邊和一個銳角，你能求出其他的邊和角嗎?[問題2] 想一想,你能運用所學的數學知識測出這座古塔的高嗎?這節課，我們就先從梯子的傾斜程度談起.師生互動，探索新知小明的問題在圖中，梯子AB和EF哪個更陡?你是怎樣判斷的?你有幾種判斷方法?提示：1、從圖中很容易發現∠ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡.2、因為AC＝ED，所以只要比較BC、FD的長度即可知哪個梯子陡.BC<FD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡. 小穎的問題在下圖中，梯子AB 和EF 哪個更陡?你是怎樣判斷的?提示：第(1)問的圖形中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的，而水準寬度BC 和FD 不一樣長，由此我們想到梯子的垂直高度與水準寬度的比值越大，梯子應該越陡. ∵385.14==BC AC , 13353.15.3==FD ED 133538〈, ∴梯子EF 比梯子AB 更陡。
《从梯子倾斜程度谈起》教学设计
第一章直角三角形的边角关系1.从梯子的倾斜程度谈起（一）点军区第五初级中学李经玉一、学生知识状况分析本课是九年级下第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第一课时，由于学生在前一阶段已经学习过有关直角三角形的知识，但对于直角三角形只能停留在边与边之间的关系（勾股定理）与角与角之间的关系（直角三角形两锐角互余），那么，直角三角形中边与角之间是否也存在着一定的关系呢？本节课首先通过实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中边与角之间确实也存在着一定的关系。
二、教学任务分析本课是九年级下第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第一课时。
教师采用实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中边与角之间确实存在着一定的关系，从而，探索出直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的的比是由锐角的大小变化而变化的。
在实验过程中，不同学生对问题的理解是不一样的，教师应尊重学生间的差异，不要急于否定学生的答案，而要鼓励学生开展讨论，给学生提供成果展示的机会，培养学生的交流能力及学习数学的自信心.本节课教学目标如下：知识与技能：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.过程与方法：1.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.情感态度与价值观：1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点：理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.三、教学过程分析第一环节创设情境（1）有一座千年古塔，小明很想知道古塔的高度，但小明没有足够长的尺子，怎么办呢？于是聪明的小明想了这样的办法：小明在A处仰望塔顶，测得∠1的大小，再往塔的方向前进50米到B处又测得∠2的大小，根据这些他就求出了塔的高度。
从梯子倾斜程度谈起-教学设计
第一章直角三角形的边角关系1.从梯子的倾斜程度谈起（一）一、学生知识状况分析本课是九年级下第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第一课时，由于学生在前一阶段已经学习过有关直角三角形的知识，但对于直角三角形只能停留在边与边之间的关系（勾股定理）与角与角之间的关系（直角三角形两锐角互余），那么，直角三角形中边与角之间是否也存在着一定的关系呢？本节课首先通过实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中边与角之间确实也存在着一定的关系。
二、教学任务分析本课是九年级下第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第一课时。
教师采用实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中边与角之间确实存在着一定的关系，从而，探索出直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的的比是由锐角的大小变化而变化的。
在实验过程中，不同学生对问题的理解是不一样的，教师应尊重学生间的差异，不要急于否定学生的答案，而要鼓励学生开展讨论，给学生提供成果展示的机会，培养学生的交流能力及学习数学的自信心.本节课教学目标如下：知识与技能：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.过程与方法：1.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.情感态度与价值观：1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点：理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节创设情境；第二环节：探求新知；第三环节：随堂练习；第四环节：课堂小结；第五环节：课堂体会；第六环节：布置作业。
第一环节创设情境（1）有一座千年古塔，小明很想知道古塔的高度，但小明没有足够长的尺子，怎么办呢？于是聪明的小明想了这样的办法：小明在A处仰望塔顶，测得∠1的大小，再往塔的方向前进50米到B处又测得∠2的大小，根据这些他就求出了塔的高度。
从梯子的倾斜程度谈起教案
从梯子的倾斜程度谈起教案教学对象：初中一年级教学课时：2课时教学目标：1. 让学生了解梯子倾斜程度的概念，理解梯子倾斜程度与实际应用之间的关系。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
教学内容：第一课时一、导入（5分钟）1. 教师通过展示图片，引导学生观察梯子倾斜程度，提出问题：“请大家观察这些图片，说一说梯子倾斜程度与什么有关系？”2. 学生发表观点，教师总结并板书：“梯子的倾斜程度与梯子的高度和地面距离有关。
”二、新课讲解（20分钟）1. 教师讲解梯子倾斜程度的定义，即梯子与地面形成的夹角。
2. 教师通过示例，讲解如何测量梯子的倾斜程度，并引导学生总结测量方法。
3. 教师提出问题：“请大家思考一下，如何计算梯子的倾斜程度？”4. 学生思考后，教师引导学生进行小组讨论，探讨计算梯子倾斜程度的方法。
5. 各小组汇报讨论成果，教师总结并讲解梯子倾斜程度的计算方法。
三、课堂练习（15分钟）1. 教师布置练习题，要求学生独立完成，检验自己对梯子倾斜程度的理解和掌握程度。
2. 教师选取部分学生的作业进行点评，指出优点和需要改进的地方。
四、总结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结梯子倾斜程度的定义、测量方法和计算方法。
2. 学生分享自己在课堂上的收获和感受。
第二课时一、复习导入（5分钟）1. 教师通过提问方式复习上节课所学内容，检查学生对梯子倾斜程度的掌握情况。
2. 学生回答问题，教师点评并总结。
二、课堂讲解（20分钟）1. 教师提出问题：“梯子的倾斜程度在实际生活中有哪些应用？”2. 学生思考后，教师引导学生进行小组讨论，探讨梯子倾斜程度在实际生活中的应用。
3. 各小组汇报讨论成果，教师总结并讲解梯子倾斜程度在实际生活中的应用。
三、课堂练习（15分钟）1. 教师布置练习题，要求学生独立完成，运用梯子倾斜程度的知识解决实际问题。
2. 教师选取部分学生的作业进行点评，指出优点和需要改进的地方。
从梯子的倾斜程度谈起教案
一、教案基本信息教案名称：从梯子的倾斜程度谈起课时安排：1课时年级学科：小学科学教学目标：1. 让学生了解梯子倾斜程度的概念及其计算方法。
2. 培养学生运用科学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生团队合作精神，提高观察、思考、表达能力。
教学重点：1. 梯子倾斜程度的概念及其计算方法。
2. 运用科学知识解决实际问题。
教学难点：1. 梯子倾斜程度的计算方法。
2. 运用科学知识解决实际问题。
教学准备：1. 梯子两根2. 直尺一把3. 粉笔或白板笔一支4. 黑板或白板一块二、教学过程1. 导入：教师展示两根梯子，让学生观察并提问：“你们觉得这两根梯子的倾斜程度一样吗？为什么？”2. 新课讲解：教师讲解梯子倾斜程度的概念，即梯子与地面之间的夹角。
并通过示范，引导学生用直尺测量梯子与地面之间的夹角，从而计算出梯子的倾斜程度。
3. 实践操作：学生分组，每组两根梯子，用直尺测量梯子与地面之间的夹角，并计算出梯子的倾斜程度。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4. 讨论交流：学生汇报测量结果，教师引导学生总结梯子倾斜程度与梯子长短、高度之间的关系。
5. 应用拓展：教师提出实际问题：“如何选择合适的梯子，使得上下楼更加安全？”学生分组讨论，提出解决方案，并展示交流。
三、教学反思本节课通过让学生测量梯子倾斜程度，培养了学生的观察、思考、表达能力。
在实践操作过程中，学生掌握了梯子倾斜程度的计算方法，并能运用所学知识解决实际问题。
但部分学生在测量过程中，对直尺的使用还不够熟练，需要在今后的教学中加强训练。
四、课后作业1. 请学生回家后，观察家里的梯子，测量其倾斜程度，并记录在作业本上。
2. 思考如何选择合适的梯子，使得上下楼更加安全，并将想法写在作业本上。
五、教学评价通过本节课的学习，学生能掌握梯子倾斜程度的概念及其计算方法，并能运用所学知识解决实际问题。
在课后作业中，学生能主动观察生活，将所学知识与生活实际相结合。
但在测量技巧方面，部分学生还需加强练习。
从梯子的倾斜程度谈起教案
“从梯子的倾斜程度谈起”教案林埭中学：朱红一．设计理念本节内容在全书及章节的地位：《从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）》是初中数学新教材第九册（下）第一章第一节。
从梯子的倾斜程度谈起主要引出的是正切的概念,还说明梯子的倾斜程度与正切有关系。
它在教材中起着承前启后的作用，加深学生对直角三角形勾股定理的认识，使他们了解求直角三角形边与角不仅可以用勾股定理做，还可以应用三角函数；正切是学习其他三角函数的基础，且有着非常广泛的实际应用，所以说三角函数是初中数学重要内容之一。
数学思想方法分析：作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生展示尝试观察、归纳、类比、联想等数学思想方法。
二．教学目标1、基础知识目标：形成并掌握正切的概念，理解正切在生活中的应用。
并通过对梯子的倾斜程度对正切的认识。
2、能力训练目标：培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法。
3、情感目标：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。
三．教学重点，难点本节课是本章内容的第一节课，是学生学习本章的基础，为了本章后面知识的学习，首先必须掌握正切的概念，我认为正切的概念是教学的重点。
由特殊到一般，由现象到本质，要学生从一个梯子的倾斜程度来观察、归纳、类比、联想出正切的概念。
学生必须通过自己的努力来解决问题，对学生的能力要求比较高，所以我认为用正切解决生活中的问题是教学的难点。
四．教学准备多媒体五．教学流程本节首先由梯子的倾斜程度问题引出锐角三角函数正切。
此情境问题是一个开放性问题，主要看学生是否能够说出理由。
如，因为梯子的高度AC、ED相等，可以用BC、FD的距离判断梯子的倾斜程度等。
然后通过想一想，研究有一个公共角的两个直角三角形的关系（相似），得出两直角边比的关系，使学生理解当锐角固定时，它的对边与邻边的比值也固定这一事实。
由于直角三角形中的锐A确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，故定义此确定之比为角A的正切，并用符号tanA表示。
北师大九年级数学教案-从梯子的倾斜程度谈起
§1.1 第二課時從梯子的傾斜程度談起教學目標知識與能力目標理解正弦和余弦的意義.；能夠運用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比；能根據直角三角形中的邊角關係，進行簡單的計算；理解銳角三角函數的意義.過程與方法目標經歷探索直角三角形中邊角關係的過程，經歷類比、猜想等過程.發展合情推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點.體會數形結合的思想方法，並利用它分析、解決問題，提高解決問題的能力.情感與價值觀目標積極參與數學活動，對數學產生好奇心和求知欲；形成合作交流的意識以及獨立思考的習慣.教學重點1、理解銳角三角函數正弦、余弦的意義，並能舉例說明.2.能用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比.3.能根據直角三角形的邊角關係，進行簡單的計算.教學難點用函數的觀點理解正弦、余弦和正切.教學過程創設情境，引入新課[師]我們在上一節課曾討論過用傾斜角的對邊與鄰邊之比來刻畫梯子的傾斜程度，並且得出了當傾斜角確定時，其對邊與斜邊之比隨之確定.也就是說這一比值只與傾斜角有關，與直角三角形的大小無關.並在此基礎上用直角三角形中銳角的對邊與鄰邊之比定義了正切.現在我們提出兩個問題：[問題1]當直角三角形中的銳角確定之後，其他邊之間的比也確定嗎?[問題2]梯子的傾斜程度與這些比有關嗎?如果有，是怎樣的關係?師生互動、學習新課1.正弦、余弦及三角函數的定義 想一想：如圖 (1)直角三角形AB 1C 1 和直角三角形AB 2C 2有什麼關係? (2)211122BA C A BA C A 和有什麼關係? 2112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改變A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什麼結論? (4)如果改變梯子A1B 的傾斜角的大小呢?你由此又可得出什麼結論?請同學們討論後回答.[生]∵A 1C 1⊥BC 1，A 2C 2⊥BC 2，∴A 1C 1//A 2C 2.∴Rt △BA 1C 1∽Rt △BA 2C 2.211122BA C A BA C A 和2112BA BC BA BC 和(相似三角形對應邊成比例). 由於A 2是梯子A 1B 上的任意—點，所以，如果改變A 2在梯子A 1B 上的位置，上述結論仍成立.由此我們可得出結論：只要梯子的傾斜角確定，傾斜角的對邊.與斜邊的比值，傾斜角的鄰邊與斜邊的比值隨之確定.也就是說，這一比值只與傾斜角有關，而與直角三角形大小無關.[生]如果改變梯子A 1B 的傾斜角的大小，如虛線的位置，傾斜角的對邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值隨之改變.[師]我們會發現這是一個變化的過程.對邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值都隨著傾斜角的改變而改變，同時，如果給定一個傾斜角的值，它的對邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值是唯一確定的.這是一種什麼關係呢? [生]函數關係. 類比正切還可以有如下定義：在Rt △ABC 中，如果銳角A 確定，那麼∠A 的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定.如圖，∠A 的對邊與鄰邊的比叫做∠A 的正弦(sine)，記作sinA ，即 sinA ＝斜边的对边A ∠∠A 的鄰邊與斜邊的比叫做∠A 的余弦(cosine)，記作cosA ，即cosA=斜边的邻边A ∠銳角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函數[師]你能用自己的語言解釋一下你是如何理解“sinA 、cosA 、tanA 都是之A 的三角函數”呢?[生]我們在前面已討論過，當直角三角形中的銳角A 確定時.∠A 的對邊與斜邊的比值，∠A 的鄰邊與斜邊的比值，∠A 的對邊與鄰邊的比值也都唯一確定.在“∠A 的三角函數”概念中，∠A 是引數，其取值範圍是0°<A<90°；三個比值是因變數.當∠A 變化時，三個比值也分別有唯一確定的值與之對應. 2.梯子的傾斜程度與sinA 和cosA 的關係[師]我們上一節知道了梯子的傾斜程度與tanA 有關係：tanA 的值越大，梯子越陡.由此我們想到梯子的傾斜程度是否也和sinA 、cosA 有關係呢?如果有關係，是怎樣的關係? [生]如圖所示，AB ＝A 1B 1， 在Rt △ABC 中，sinA=AB BC，在 Rt △A 1B 1C 中，sinA 1=111B A CB . ∵ABBC＜111B A C B , 即sinA<sinA 1，而梯子A 1B 1比梯子AB 陡，所以梯子的傾斜程度與sinA 有關係.sinA 的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的傾斜程度. cosA=ABACcosA 1＝111B A C A ∵AB=A 1B 1ABAC＞111B A C A 即cosA>cosA 1， 所以梯子的傾斜程度與cosA 也有關係.cosA 的值越小，梯子越陡.3.例題講解19[例1]如圖，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝ 200.sinA ＝0.6，求BC 的長.分析：sinA 不是“sin ”與“A ”的乘積，sinA 表示∠A 所在直角三角形它的對邊與斜邊的比值，已知sinA ＝0.6，ACBC＝0.6. 解：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝200. sinA ＝0.6，即=ACBC0.6，BC ＝AC ×0.6＝200×0.6=120. 思考：(1)cosA ＝? (2)sinC ＝？ cosC ＝?(3)由上面計算，你能猜想出什麼結論? 解：根據畢氏定理，得AB ＝2222120200-=-BC AC =160. 在Rt △ABC 中，CB ＝90°.cosA ＝54200160==AC AB ＝0.8， sinC= 54200160==AC AB =0.8，cosC ＝ 53200120==AC BC ＝0.6，由上面的計算可知 sinA ＝cosC ＝O.6， cosA ＝sinC ＝0.8.因為∠A+∠C ＝90°，所以，結論為“一個銳角的正弦等於它餘角的余弦”“一個銳角的余弦等於它餘角的正弦”. [例2]做一做：如圖，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝1312，AC ＝10，AB 等於多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你還能得出類似例1的結論嗎?請用一般式表達.分析：這是正弦、余弦定義的進一步應用，同時進一步滲透sin(90°-A)＝cosA ，cos (90°-A)=sinA.解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=10，cosA ＝1312，cosA ＝ABAC , ∴AB=665121310131210cos =⨯==A Ac , sinB ＝1312cos ==A AB Ac 根據畢氏定理，得BC 2＝AB 2-AC 2＝(665)2-102=2222625366065=-∴BC ＝625. ∴cosB ＝1356525665625===AB BC ,sinA ＝135=AB BC 可以得出同例1一樣的結論. ∵∠A+∠B=90°，∴sinA ：cosB=cos(90-A)，即sinA ＝cos(90°-A)； cosA ＝sinB ＝sin(90°-A)，即cosA ＝sin(90°-A). 隨堂練習1.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.分析：要求sinB ，cosB ，tanB ，先要構造∠B 所在的直角三角形.根據等腰三角形“三線合一”的性質，可過A 作AD ⊥BC ，D 為垂足.解：過A 作AD ⊥BC ，D 為垂足. ∴AB=AC ，∴BD=DC=21BC=3.在Rt △ABD 中，AB ＝5，BD=3， ∴AD ＝4. sinB ＝54=AB ADcosB ＝53=AB BD , tanB=34=BD AD .2.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△ABC 的周長和面積.解：sinA=AB BC ，∵sinA=54，BC ＝20， ∴AB ＝5420sin =A BC ＝＝25. 在Rt △BC 中，AC ＝222025-=15，∴ABC 的周長＝AB+AC+BC ＝25+15+20＝60， △ABC 的面積：21AC ×BC=21×15×20＝150. 3.(2003年陝西)(補充練習) 在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21， 則sinA= .解：如圖，tanA=AC BC =21. 設BC=x ，AC=2x ，根據畢氏定理，得 AB=x x x 5)2(22=+. ∴sinA=55515===x x AB BC . 歸納提煉本節課我們類比正切得出了正弦和余弦的概念，用函數的觀念認識了三種三角函數，即在銳角A 的三角函數概念中，∠A 是引數，其取值範圍是0°<∠A<90°；三個比值是因變數.當∠A 確定時，三個比值分別唯一確定；當∠A 變化時，三個比值也分別有唯一確定的值與之對應.類比前一節課的內容，我們又進一步思考了正弦和余弦的值與梯子傾斜程度之間的關係以及用正弦和余弦的定義來解決實際問題. 課後作業習題1、2第1、2、3、4題 活動與探究已知：如圖，CD 是Rt △ABC 的斜邊AB 上的高，求證：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函數的定義證明)[過程]根據正弦和余弦的定義，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限於某一個直角三角形中，在Rt △ABC 中，CD ⊥AB.所以圖中含有三個直角三角形.例如∠B 既在Rt △BDC 中，又在Rt △ABC 中，涉及線段BC 、BD 、AB ，由正弦、余弦的定義得cosB ＝AB BC ，cosB= BC BD. [結果]在Rt △ABC 中，cosB ＝ABBC又∵CD ⊥AB.∴在Rt △CDB 中，cosB ＝BC BD ∴AB BC =BC BD BC 2＝AB ·BD.。
北师大九年级数学教案-从梯子的倾斜程度谈起
§1.1從梯子的傾斜程度談起（第二課時） 學習目標：1.經歷探索直角三角形中邊角關係的過程，理解正弦和余弦的意義.2.能夠運用sinA 、cosA 表示直角三角形兩邊的比.3.能根據直角三角形中的邊角關係，進行簡單的計算.4.理解銳角三角函數的意義. 學習重點：1.理解銳角三角函數正弦、余弦的意義，並能舉例說明.2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形兩邊的比.3.能根據直角三角形的邊角關係，進行簡單的計算. 學習難點：用函數的觀點理解正弦、余弦和正切. 學習方法：探索——交流法. 學習過程：一、正弦、余弦及三角函數的定義 想一想：如圖(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什麼關係? (2)211122BA C A BA C A 和有什麼關係? 2112BA BC BA BC 和呢?(3)如果改變A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什麼結論?(4)如果改變梯子A1B的傾斜角的大小呢?你由此又可得出什麼結論? 請討論後回答.二、由圖討論梯子的傾斜程度與sinA和cosA的關係：三、例題：例1、如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝200.sinA＝0.6，求BC的長.例2、做一做：如圖，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝1312，AC ＝10，AB 等於多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你還能得出類似例1的結論嗎?請用一般式表達.四、隨堂練習：1、在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.2、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△ABC 的周長和面積.3、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21，則sinA= .4、已知：如圖，CD 是Rt △ABC 的斜邊AB 上的高，求證：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函數的定義證明)五、課後練習：1、在Rt△ABC 中,∠ C=90°,tanA=34,則sinB=_______,tanB=______.2、在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=941,則DB AC BA CAC=______,BC=_______.3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=45,則BC=_____.4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那麼下列結論正確的是( ) A.sinA=34B.cosA=35C.tanA=34D.cosB=355、如圖,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35,則BC AC等於( ) A.34B.43C.35D.456、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=35,那麼tanA 等於( )A.43B.34C.45D.547、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,則sinA 的值是A ．135 B ．1312 C ．125D ．5128、已知甲、乙兩坡的坡角分別為α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 則下列結論正確的是( )A.tan α<tan βB.sin α<sin β;C.cos α<cos βD.cos α>cos β9、如圖,在Rt△ABC 中,CD 是斜邊AB 上的高,則下列線段的比中不等於sinA 的是( )A.CD ACB.DB CBC.CB ABD.CD CB10、某人沿傾斜角為β的斜坡前進100m,則他上升的最大高度是( )mA.100sinβB.100sinβ C.100cosβD. 100cosβ11、如圖,分別求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.12、在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC邊上的高,AD=4.求:CD,sinC.13、在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中線,BC=8,CD=5.求si n∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.14、在Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA 和cosB 有什麼關係? 15、如圖,已知四邊形ABCD中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=45. 求：s △ABD ：s △BCDBDAC。
《从梯子的倾斜程度谈起》教案
《从梯子的倾斜程度谈起》教案《从梯子的倾斜程度谈起》教案《从梯子的倾斜程度谈起》教案一、教学任务分析教学目标知识技能 1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系2. .能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算. 数学思考 1. 经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点. 2. .体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力. 3. 体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 解决问题 1. 从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2. 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 情感态度1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲. 2. 形成实事求是的态度以及独立思考的习惯. 重点理解tanA的数学含义. 难点现实情境中理解tanA的数学含义二、教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1 创设情境引入课题活动2 合作交流探索新知活动3 反馈练习落实新知活动4 应用延伸探究思考活动5 归纳小结整理反思活动6 布置作业形成技能通过“观察——实践——思考——讨论”等活动，促进师生间合作交流，探索新知。
设置巩固练习、综合运用、拓广探索题，达到落实新知的目的。
以探究的形式将知识进一步延伸，拓广了学生的思维。
让学生小结，养成良好的学习习惯。
通过作业，增强学生应用数学的意识，形成基本技能。
三、课前准备教具学具补充材料电脑、课件、课件资料四、教学过程设计问题与情境师生行为设计意图[活动1] 创设情境引入课题[问题1]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?从而引出课题在活动1中教师应重点关注: (1) 学生是否能从实际生活中发现并提出数学问题。
(2)学生的审美意识及对演示图片倾注的情感。
从梯子的倾斜程度谈起教案
一、教案基本信息教案名称：从梯子的倾斜程度谈起学科领域：数学年级：五年级课时：2课时编写日期：2024年10月二、教学目标1. 知识与技能：（1）让学生掌握梯子倾斜程度的计算方法；（2）培养学生运用梯子倾斜程度解决实际问题的能力。
2. 过程与方法：（1）通过观察、实践、探究，让学生掌握梯子倾斜程度的概念及计算方法；（2）培养学生合作、交流、归纳的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣；（2）培养学生勇于探究、积极思考的科学精神。
三、教学重点与难点重点：梯子倾斜程度的计算方法及应用。
难点：理解梯子倾斜程度的概念，并能运用到实际问题中。
四、教学方法情境教学法、合作学习法、实践操作法。
五、教学过程1. 导入新课教师通过展示图片，引导学生思考：如何判断梯子是否倾斜？从而引出本课的主题——梯子的倾斜程度。
2. 探究新知（1）教师引导学生观察梯子倾斜程度的图片，让学生初步感知梯子倾斜程度的概念；（2）学生分组讨论，合作探究梯子倾斜程度的计算方法；（3）教师讲解梯子倾斜程度的计算公式及步骤；（4）学生进行实践操作，验证梯子倾斜程度的计算方法。
3. 巩固新知（1）教师出示例题，让学生运用梯子倾斜程度的知识解决问题；（2）学生独立完成练习题，巩固梯子倾斜程度的计算方法。
4. 拓展与应用（1）教师引导学生思考：在生活中，我们如何利用梯子倾斜程度来判断梯子是否稳定？（2）学生分组讨论，分享生活中应用梯子倾斜程度解决实际问题的例子。
六、课后作业1. 完成练习册的相关题目；2. 观察生活中的梯子，尝试运用梯子倾斜程度的知识进行分析。
七、教学评价1. 学生对梯子倾斜程度的概念、计算方法的掌握程度；2. 学生在实际问题中运用梯子倾斜程度的能力；3. 学生对数学学科的兴趣及探究精神。
八、教学反思教师在课后对自己的教学进行反思，针对学生的反馈情况进行调整教学策略，以提高教学效果。
九、教学资源1. 图片素材；2. 练习题；3. 梯子实物或模型。
从梯子的倾斜程度谈起教案
一、教案基本信息从梯子的倾斜程度谈起教案课时安排：1课时年级：八年级学科：物理教学目标：1. 让学生了解梯子倾斜程度与重力的关系。
2. 培养学生运用物理学知识解决实际问题的能力。
3. 引导学生运用实验方法探究物理现象，提高动手操作能力。
教学重点：1. 梯子倾斜程度与重力的关系。
2. 运用物理学知识解决实际问题。
教学难点：1. 梯子倾斜程度与重力的联系。
2. 实验操作技巧。
二、教学过程1. 导入新课教师通过展示图片或实物，引导学生关注梯子的倾斜程度，提问：“你们注意到梯子倾斜程度与什么有关系吗？”让学生思考并回答。
2. 探究梯子倾斜程度与重力的关系3. 讲解物理学知识教师根据实验结果，讲解梯子倾斜程度与重力的关系。
引导学生了解重力在梯子倾斜过程中的作用，让学生理解为什么梯子倾斜程度越大，重力的作用效果越明显。
4. 应用物理学知识解决实际问题教师提出实际问题，如：“在搬运重物时，如何选择合适的梯子倾斜程度，以保证安全？”引导学生运用所学的物理学知识解决问题。
5. 课堂小结三、作业布置1. 请学生运用所学知识，设计一个实验，探究梯子倾斜程度与重力的关系。
2. 请学生结合生活实际，举例说明如何运用物理学知识解决相关问题。
四、课后反思教师在课后对自己的教学进行反思，分析教学过程中的优点和不足，针对性地调整教学方法，以提高教学质量。
五、教学评价教师通过学生的课堂表现、作业完成情况以及实验操作能力，对学生的学习效果进行评价，了解学生对梯子倾斜程度与重力关系的掌握程度，以及运用物理学知识解决实际问题的能力。
六、教学拓展1. 教师引导学生思考：除了梯子倾斜程度与重力的关系，还有哪些因素会影响重力的作用效果？例如，梯子的材质、质量等。
2. 教师提出拓展问题：重力在生活中的其他应用实例有哪些？请学生举例说明。
七、课堂互动1. 教师组织学生进行小组讨论，分享各自设计的实验方案，互相交流实验心得。
2. 教师邀请学生代表进行实验演示，让其他学生观察并评价实验操作的规范性。
北师大九年级数学教案-从梯子的倾斜程度谈起
§1.1.1 從梯子的傾斜程度談起教學目標1、經歷探索直角三角形中邊角關係的過程2、理解銳角三角函數（正切、正弦、余弦）的意義，並能夠舉例說明3、能夠運用三角函數表示直角三角形中兩邊的比4、能夠根據直角三角形中的邊角關係，進行簡單的計算教學重點和難點重點：理解正切函數的定義難點：理解正切函數的定義教學過程設計一、從學生原有的認知結構提出問題直角三角形是特殊的三角形，無論是邊，還是角，它都有其它三角形所沒有的性質。
這一章，我們繼續學習直角三角形的邊角關係。
二、師生共同研究形成概念1、梯子的傾斜程度在很多建築物裡，為了達到美觀等目的，往往都有部分設計成傾斜的。
這就涉及到傾斜角的問題。
用傾斜角刻畫傾斜程度是非常自然的。
但在很多實現問題中，人們無法測得傾斜角，這時通常採用一個比值來刻畫傾斜程度，這個比值就是我們這節課所要學習的——傾斜角的正切。
1）（重點講解）如果梯子的長度不變，那麼牆高與地面的比值越大，則梯子越陡；2） 如果牆的高度不變，那麼底邊與梯子的長度的比值越小，則梯子越陡；3） 如果底邊的長度相同，那麼牆的高與梯子的高的比值越大，則梯子越陡；通過對以上問題的討論，引導學生總結刻畫梯子傾斜程度的幾種方法，以便為後面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基礎。
2、 想一想（比值不變）☆ 想一想 書本P 3 想一想通過對前面的問題的討論，學生已經知道可以用傾斜角的對邊與鄰邊之比來刻畫梯子的傾斜程度。
當傾斜角確定時，其對邊與鄰邊的比值隨之確定。
這一比值只與傾斜角的大小有關，而與直角三角形的大小無關。
3、 正切函數（1） 明確各邊的名稱 （2） 的邻边的对边A A A ∠∠=tan （3） 明確要求：1）必須是直角三角形；2）是∠A 的對邊與∠A的鄰邊的比值。
☆ 鞏固練習a 、 如圖，在△ACB 中，∠C = 90°，1） tanA = ；tanB = ；2） 若AC = 4，BC = 3，則tanA = ；3） 若AC = 8，AB = 10，則tanA = ； ；b 、 如圖，在△ACB 中，tanA = 。
《从梯子的倾斜程度谈起》教学设计.doc
《从梯子的倾斜程度谈起》教学设计课题：从梯子的倾斜程度谈起教材：义务教育课程标准试验教科书数学九年级下（北京师范大学出版社）教师：西安市第七十中学张莹一、教材分析本章是九年级下册的第一章《直角三角形的边角关系》，教材内容的顺序是：正切—正弦、余弦—特殊角的三角函数值—三角函数的有关计算—三角函数的应用. 我的认识如下：从梯子的倾斜程度谈起，引出第一个三角函数—正切，先学正切，再类比正切学习正弦、余弦，接着考察特殊角的三角函数值，在此基础上过渡到利用计算器求一般角的三角函数值和已知三角函数值求角度，最后回到问题的解决和实际应用；这样安排一方面因为正切是生活中用得最多的三角函数概念，更为常见，如刻画梯子的倾斜程度、山的坡度等，因而先从实际问题引入正切，学习完正切后类比即可学习正弦、余弦；另一方面，这样的顺序更有利于初中学生的学习，符合学生从具体情境中发现问题、寻求解决问题办法，再进一步解决问题的思路，符合具体到抽象的认知规律 .本节包括正切、正弦、余弦的定义，直角三角形边角关系的简单计算两大部分，分为两课时完成 . 本节课是第一课时，将从梯子的倾斜程度引入正切，进行有关正切的简单计算 . 教材在这个内容的安排上是：先探究哪个梯子更陡，再从具体解法中提炼出刻画梯子倾斜程度的量—角的对边与邻边之比，由此抽象概括出正切的定义，最后是正切的简单计算和实际应用 . 这样的安排不仅体现出《义务教育数学课程标准》（ 2011 版）中要求从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境的教学理念，而且符合学生从具体到抽象的认知规律，有利于学生对概念的学习和理解 .通过本节课的学习，学生不仅能初步体会边角之间的数量关系，理解正切的意义，进行一些简单的计算，而且有助于学生进一步感受分类思想、转化和化归思想、数形结合的思想；同时为进一步学习锐角的正弦、余弦，解三角形奠定良好的基础，也为高中阶段学习一般角的三角函数奠定良好的基础 .二、学情分析学生在学完直角三角形的相关内容后，已经对直角三角形的边和边的关系、角和角的关系有了一定的认识，这为学生进一步学习直角三角形的边角关系奠定了一定的基础；学生也已经历了线段的比、比例和图形的相似等知识的学习，具备了计算两条边的比值、判断比值是否相等基本知识要求和推理证明的能力；同时初一初二各种探究活动的顺利开展，也让学生具备了一定的合作学习，探究学习的能力 . 这节课的授课对象是我校初三的学生，他们的数学基础知识比较扎实，具有一定的推理运算的技能、空间想象能力和抽象概括能力，有较好的学习习惯和方法，这也是本节课顺利开展的前提条件 . 三、教学目标和重点难点依据对教材和学情的分析，遵循《义务教育数学课程标准》（ 2011 年版）对本节的教学要求，我将这节课的教学目标、重点和难点设置为：教学目标：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程；2.理解正切的意义和现实生活的联系；3.能够用 tanA 表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算；4.体会分类的思想、建模的思想、转化和化归的思想、数形结合的思想在解决数学问题中的应用；5.通过梯子、坡面等实例让学生感受正切在现实生活中的应用.教学重点 :1.探索直角三角形中边角关系，从梯子倾斜程度的刻画中抽象出正切的定义；2.理解正切的数学意义；教学难点 :从梯子倾斜程度的刻画中抽象出正切的定义；理解正切的数学意义.四、教学问题诊断本节课的教学难点是从梯子倾斜程度的刻画中抽象出正切的定义和正切意义的理解 . 对教学难点的突破我采取的策略是：1.让学生通过充分的思考、小组讨论、交流，判断哪个梯子更陡，总结刻画梯子倾斜程度的各种方法，对方法进行总结、提炼，最终将梯子倾斜程度量化为两种数量：角度 , 角的对边和邻边之比 . 通过设问“能否建立角与角的对边、邻边之比之间的关系”自然的引出正切；在这一过程中，教师不作引导，由学生自己寻找方法，再将学生的结果展示交流，并进行归纳、总结；2.鉴于正切的符号表示比较抽象，学生的理解需要一定的过程，我的做法是设置不同形状的直角三角形，帮助学生理解；同时利用母子图中角的相等关系，让学生借助相似三角形有关知识进一步明确：当角度确定后，角的对边与邻边之比也将确定这一结论；在此基础上设问：结合该图形，你还能提出哪些有关正切的问题？增强问题的开放性，提高学生发现问题、提出问题的能力.五、教学过程教学过程设计说明一、创设情境，引入课题（ppt 展示 2002 年北京数学家大会的会标，中央图案是经过处理的“弦图”）提问：(1)大家还记得这个图吗？（明确考察对象：弦图中的一个直角三角形）(2)直角三角形中有哪些基本元素呢？(3)直角三角形的边和边之间有什么关系呢？角和角呢？(4)直角三角形的边和角有什么关系呢？点题：第一章直角三角形的边角关系( 展示第一章章前图)通过学生已经熟悉的“弦图” 让学生首先有一种亲切感，同时也让学生心里上产生疑惑：弦图和我们本章学习有什么关系，从而引发学生的认知冲突，激发学生的学习欲望；同时也让学生感受分类的数学思想 .今天我们从梯子的倾斜程度谈起先来了解直角三角形边角之间其中的一种关系——正切.二、问题探究，总结方法问题引入：( 动画显示梯子、水平地面、墙面所形成的直角三角形，将实际问题抽象为直角三角形，并交代图中的三个量：铅直高度、水平宽度、倾斜角)问题 1：经常会听人们说“陡”这个字，如图，哪个梯子更陡？你是如何判断的呢？问题 2：如图 (1) 、图 (2) ，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？能否用“直角三角形的一条边”刻画梯子的倾斜程度呢？（图 1）（图2）问题引入让学生明确后续讨论三个数量：铅直高度，水平宽度，倾斜角 .问题 (1) 先利用两个直观的图形展开梯子倾斜程度的探讨，明确刻画梯子倾斜程度的一种方法：倾斜角 . 为后续建立倾斜角和对边、邻边之比做好铺垫 .问题 (2) 利用标明具体长度的两组梯子探讨哪个更陡，目的是先固定一个量，考察一个变量，便于学生的理解和学习，也体现化归的数学思想；问题 (3) 让学生体会到铅直高度和水平距离两个量尽管都在变化，但是两架梯子的倾斜程度是相同的，初步感受（图 3）问题 3：如图 (3) ，梯子 AB和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？既然利用“直角三角形的一条边”无法刻画梯子的倾斜程度，如何改进呢 ?问题 4( 探究活动 ) ：如图 (4) ，梯子 AB和 EF哪个更陡？你是怎样判断的 .先安排学生独立思考，然后让学生四人为一组，利用学习提纲合作完成问题的探究 .活动步骤：1.小组成员首先思考如何解决该问题，然后结合手中学案中的图形完成问题的解答，最后思考你们是用什么量刻画梯子的倾斜程度的？2.汇报成果：先说说你们解决问题的思路，再结合学案中图形汇报你们得到的结论 . 刻画梯子的倾斜程度是由一个比值来决定的，而不单是某条线段的长短 .探究问题有一定难度，学生在自己思考基础上，小组讨论容易将学生零散的、个性化想法转化为学生共性的、完整的一个设计；通过该问题讨论，逐步提炼出可以用线段的比刻画梯子的倾斜程度（图 4）【方法总结】学生可能的方法有：一、测量倾斜角；( 通过测量学生发现本题两个角度非常接近，同时测量存在误差，不能准确的给出结论；老师顺势点拨在很多实际问题中，人们往往无法测得倾斜角，除了测量倾斜角能否有别的办法呢？ ) 二、固定铅直高度、水平宽度中一个，考察另一个长短；或者建立直角坐标系通过求直线的解析式，根据k 的大小比较 . 具体如下图：(O)结论：几种方法都可以归结为考察AC比值的大小. BC方法 1：AC一定情况下，BC越小，比值越大，梯子越陡；方法 2：BC一定情况下，AC越大，比值越大，梯子越陡；方法 3：AC比值越大(即k越大)，梯子越陡. BC问题 5：如图 (5) ，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子 AB 1的倾斜程度；小亮则认为，通过测量B2C 2及 AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度，你同意小亮的看法吗？为什么？试说明你的理由 .（图 5）问题 6：如图 (6) ，如果改变B2在梯子上的位置呢（比如在 B 3处）？由此你能得出什么结论？（图 6）问题 7：倾斜角与这个比值之间是否可以建立某种关系？问题 (5) 让学生体会到梯子与水平地面的倾斜角一旦确定，对边与邻边的比值也将确定，为引入正切奠定基础 .问题 6 让学生进一步体会数学中变与不变的量，明确当直角三角形中的锐角确定后，它的对边与邻边的比也随之确定 .通过总结提炼的两条结论：角越大，梯子越陡；比越大，梯子越陡 . 引导学生去思考两者之间的关系，自然地引出正切 .(1)前面提到：倾斜角越大—梯子越陡(2)同时发现：倾斜角所对的边与邻边之比越大—梯子越陡三、正切的定义1.正切的定义在Rt△ABC中, 如果锐角 A 确定 , 那么∠ A 的对边与邻边的比便随之确定 , 这个比叫做∠ A 的正切，记作 :tan A ，即：定义学习之后增加四个思考题，有以下用意：2.变式思考问题 1 意在让学生思考 1：∠ B 的正切又该如何表示呢？进一步巩固对于正思考 2：换一个直角三角形，∠ A ,∠B 的正切你会表示吗？切的理解；( 动画展示 Rt ACB )思考 3：（动画展示过点C作 AB边上的垂线，垂足为∠A 都可以看成是哪些直角三角形的内角？在不同的直角三角形中∠ A 的正切你会表示吗？∠A 的正切值都相同吗？思考 4：就该图，你还能提出哪些关于正切问题？四、实际应用1.问题解决议一议：前面我们讨论了梯子的倾斜程度，梯子的倾斜程度与 tan A 有关系吗？问题 2 让学生在变换直角三角形的图D）形后真正理解正切，从定义上深刻把握正切的内含；问题 3 让学生在较为复杂的图形中明确如何去求某一个角的正切，并通过两个相似的直角三角形进一步加深对于角度确定，对边与邻边的比将确定的理解;问题 4 意在培养学生发现问题，提出问题的能力 .在正切定义学习基础上，再回到本节课主题“梯子的倾斜程度”，让学生体会数学源自生活并应用于生活；明确刻tan A 越大 梯子越陡（“线段之比”刻画 ） ∠ A 越大 梯子越陡（“角”刻画 ） ∠ A 越大 tan A 越大2. 例题解析例 . 下图表示两个自动扶梯 , 哪一个自动扶梯比较陡 ?画梯子的倾斜程度除了倾斜角，还有角的正切 .例题 1 通过计算正切值判断梯子的倾斜程度是对上述结论的直接应用 .3. 联系生活正切也经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度 .通过坡度的介如图，有一山坡在水平方向上每前进100m 就升高 60m,那 绍让学生体会正切60 3.么山坡的坡度 ( 即 tan ) 就是： tan在实际生活中的应100 5用；五、课堂总结1、知识内容：(1) 正切的定义：在 Rt △ABC 中，∠ A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切 .记作 :tanA ，即： tan A BC.AC(2)倾斜角、倾斜角的正切与梯子倾斜程度的关系：A 越大 梯子越陡； tan A 越大 梯子越陡； A 越大 tan A 越大 .通过 坡度的 实际计算让学生进一步区分坡角和坡度 .培养 学生梳 理知识点，总结知识内容，建构知识体系的能力 .(3)坡度与坡角:坡度是坡角的正切通过回顾学习2、学习流程：哪个梯子总结方法变式思考实际应用流程 , 体会解决问题更陡问题引入正切理解定义联系生活的思路；探究3、思想方法：体会蕴含其中(1)分类的思想； (2)建模的思想；的数学思想和方法 .(3)转化与化归的思想； (3)数形结合的思想 .六、课后延伸这是对这节课1. 课后作业所学方法的巩固，也课本 P6，知识技能， 1 题， 2 题；是为后续内容讲解2. 课后思考作好铺垫 .如图，点 A 是某山峰的峰顶， AB、AC是这座山不同方向上的两个山坡，在山脚有两个观测点 B、C，测得 AB=630m，AC=350m，利用本节课所学知识试比较两个山坡的坡度，你都有哪些办法呢？。
从梯子的倾斜程度谈起教案
从梯子的倾斜程度谈起教案一、教学目标：1. 让学生了解梯子倾斜程度的概念及其计算方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 引导学生发现生活中的数学现象，提高对数学的兴趣。
二、教学内容：1. 梯子倾斜程度的定义及计算方法。
2. 实际生活中的梯子倾斜现象分析。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：梯子倾斜程度的计算方法及应用。
2. 教学难点：如何将实际生活中的梯子倾斜现象与数学知识相结合。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解梯子倾斜程度的定义、计算方法及应用。
2. 案例分析法：分析实际生活中的梯子倾斜现象。
3. 小组讨论法：引导学生分组讨论，发现生活中的数学现象。
五、教学准备：1. 梯子倾斜程度的定义、计算方法及应用的PPT。
2. 实际生活中的梯子倾斜现象的图片或视频。
3. 练习题及答案。
第一章：梯子倾斜程度的定义1.1 引入：展示一张梯子图片，引导学生思考梯子的倾斜程度。
1.2 讲解：解释梯子倾斜程度的定义，即梯子与地面之间的夹角。
1.3 例子：展示实际生活中的梯子倾斜现象，让学生理解梯子倾斜程度的概念。
第二章：梯子倾斜程度的计算方法2.1 引入：提问如何计算梯子的倾斜程度。
2.2 讲解：详细解释梯子倾斜程度的计算方法，即使用三角函数。
2.3 例子：给出一个具体的梯子倾斜角度，让学生计算梯子的倾斜程度。
第三章：实际生活中的梯子倾斜现象3.1 引入：展示一些实际生活中的梯子倾斜现象的图片或视频。
3.2 讲解：分析这些梯子倾斜现象，引导学生运用数学知识解决实际问题。
3.3 练习：让学生分组讨论，发现生活中的数学现象，并分享给大家。
第四章：梯子倾斜程度在实际应用中的重要性4.1 引入：讲解梯子倾斜程度在实际应用中的重要性。
4.2 例子：给出一些实际应用场景，如建筑工人使用梯子时，梯子的倾斜程度对安全的影响。
4.3 练习：让学生举例说明梯子倾斜程度在实际生活中的应用。
5.2 拓展：引导学生思考如何将梯子倾斜程度的知识应用到其他领域，如物理学、工程学等。
初中数学《从梯子的倾斜程度谈起》教学设计
初中数学《从梯子的倾斜程度谈起》教学设计这是一篇由网络搜集整理的关于初中数学《从梯子的倾斜程度谈起》教学设计的文档，希望对你能有帮助。
（一）教学知识点1。
经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义。
2。
能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比。
3。
能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算。
4。
理解锐角三角函数的意义。
（二）能力训练要求1。
经历类比、猜想等过程。
发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。
2。
体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力。
（三）情感与价值观要求1。
积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲。
2。
形成合作交流的意识以及独立思考的习惯教学重点1。
理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明。
2。
能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比。
3。
能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算。
教学难点用函数的观点理解正弦、余弦和正切。
教学过程Ⅰ。
创设情境，提出问题，引入新课[师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定。
也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关。
并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切。
现在我们提出两个问题：[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？[问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如果有，是怎样的关系？Ⅱ。
讲授新课1。
正弦、余弦及三角函数的定义多媒体演示如下内容：想一想：如图（1）直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？（2）有什么关系？呢？（3）如果改变A2在梯子A1B上的位置呢？你由此可得出什么结论？（4）如果改变梯子A1B的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论？请同学们讨论后回答。
[生]∵A1C1BC1，A2C2BC2，A1C1//A2C2。
Rt△BA1C1∽Rt△BA2C2。
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《从梯子的倾斜程度谈起》教案以下是查字典数学网为您推荐的，希望本篇文章对您学习有所帮助。
一、教学任务分析
知识
技能
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实
生活的联系
2..能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.
数学
思考
1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点.
2..体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.
3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.
解决
问题
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 情感
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
重点
理解tanA的数学含义.
难点
现实情境中理解tanA的数学含义
二、教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
活动1创设情境引入课题
活动2合作交流探索新知
活动3反馈练习落实新知
活动4应用延伸探究思考
活动5归纳小结整理反思
活动6布置作业形成技能
通过观察实践思考讨论等活动，促进师生间合作交流，探索新知。
设置巩固练习、综合运用、拓广探索题，达到落实新知的目的。
以探究的形式将知识进一步延伸，拓广了学生的思维。
让学生小结，养成良好的学习习惯。
通过作业，增强学生应用数学的意识，形成基本技能。
三、课前准备
学具
补充材料
电脑、课件、
课件资料
四、教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
[活动1]
创设情境引入课题
[问题1]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?从而引出课题
在活动1中教师应重点关注:
(1) 学生是否能从实际生活中发现并提出数学问题。
(2)学生的审美意识及对演示图片倾注的情感。
通过熟悉的物体（梯子），不仅让学生感受到生活中数学无处不在，也为后面的探究活动作好了情感准备。
[活动2]
梯子是日常生活常见的物体，让学生比较如何比较梯子的倾斜度，有哪些办法？
陡或平缓是用来描述梯子什么的?
从而引出正切的定义
教师通过引导学生观察、讨论，通过步步设问，引发学生思考。
定义在在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，即
tanA=A的对边/A的邻边
利用这个梯子模型引入，可以帮助学生直观理解正切的概念。
同时，通过学生主动的活动，让学生亲眼目睹数学过程形象而生动的性质，亲身体验如何做数学，从中感受到数学的力量，促使学生乐于学习。
让学生在讨论过程中学会与他人交流，养成良好的学习品质。
[活动3]
判断对错:
图1，
(1) tanA=BC/AC （）
tanA=AC/BC （）
图1
tanA=0.7m()
tanA=0.7 ()
图2
注意：
1.tanA是一个完整的符号，它表示A的正切，记号里习惯省去角的符号.
2.tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻
边的比.
3.tanA不表示tan乘以A.
4.初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角的正切. 05．tanA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
通过这组练习，既复习了正切的定义，又以探究的形式将知识进一步延伸，拓广了学生的思维，同时为以后学习三角函数
埋下了伏笔。
[活动4]
应用延伸探究思考
探究：
梯子的倾斜程度与tanA有什么关系？
梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，梯子越陡，tanA的值越大；反过来，tanA的值越大，梯子越陡
. [例1]如图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等.正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度.
如图，有一山坡在水平方向上每前进100m，就升高60 m，那么山坡的坡度(即坡角的正切就是tan)
[例2]在△ABC中，C=90，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.
教师出示探究题，引导学生思考。
在学生独立思考的基础上，组织学生讨论交流。
在活动4中教师要重点关注：
（1）学生独立思考、解决问题的能力。
（2）学生在探究过程中与他人的合作交流意识和情感。
（3）学生对知识的应用拓展能力。
使学生感受到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地进行表达和思考，特别关注他们对概念的理解.
例1]分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tan、tan的值，比较大小。
正切值越大，扶梯就越陡。
我们学习数学就是为了更好地应用数学.
正切在日常生活中的应用很广泛.例如建筑，工程技术等.
正切是生活当中用的最多的三角函数，如刻画物体的倾斜程度，山的坡度等都往往用正切，
[例2] 让学生利用直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算，培养学生的创新能力。
[活动5]
归纳小结整理反思
小结：
本节课你有哪些收获？
学生分组小结，各组代表发言交流，教师及时给予肯定、赞扬。
在活动5中教师应重点关注:（1）不同层次学生对本节知识的掌握情况。
（2）学生对本节课不同方面的感受。
让学生自己小结，有利于培养学生的概括能力，使学生自主构建知识体系，养成良好的学习习惯。
[活动6]
作业：
布置作业形成技能
（2）习题1.1T1 ,T2
（1）随堂练习T2
教师布置作业。
在活动6中教师应重点关注:
学生的创新能力和应用意识。
第(1)题让学生利用正切来描述山坡的坡度、堤坝的坡度，增强学生应用数学的意识。
第(2)题让学生利用直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算，培养学生的创新能力。
五、板书设计：
1.1从梯子的倾斜程度谈起(一)
1.当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定.
2.正切的定义：在Rt△ABC中，锐角A确定，那么A的对边与邻边的比随之确定，这个比叫做A的正切，记作tanA，即tanA＝.
注：(1)tanA的值越大.梯子越陡. (2)坡度通常表示斜坡的倾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.（3）tanA是一个完整的符号，它表示A的正切，记号里习惯省去角的符号。
3.例题讲解(略)
家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。
4.随堂练习
要练说，先练胆。
说话胆小是幼儿语言发展的障碍。
不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。
总之，说话时外部表现不自然。
我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。
一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。
每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。
二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。
或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。
三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。
对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。
长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
5.课时小结。